1	⑤	6	①	11	④	16	③	21	②	26	11
2	②	7	③	12	①	17	④	22	③	27	16
3	①	8	①	13	④	18	⑤	23	④	28	22
4	④	9	⑤	14	①	19	④	24	②	29	47
5	③	10	②	15	⑤	20	③	25	5	30	1.25

2001 대학수학능력시험문제 수리탐구영역 (I)

인문계

Yang Jae Won(http://yjaewon.wo.to)	백석고등학교

[eqn: (SQRT { 2})^5 =( SQRT { 2} )^4 SQRT { 2} = 4 SQRT { 2}]	답 ⑤

근과 계수와의 관계에서 [eqn: alpha +beta=-7,]  [eqn: alpha beta=1]

∴[eqn: (alpha^2 + beta^2 )+7(alpha+beta)=(alpha + beta )^2 -2alpha beta+7(alpha+beta)]

[eqn: = (-7)^2 -2 cdot 1+7 cdot (-7)]

[eqn: =49-2-49=-2]	답 ②

[eqn: sin { pi} over {3 }= { SQRT { 3} } over {2 } `],  [eqn: tan { pi} over {3 } = SQRT {3} `]에서

(주어진 식)[eqn: =(2+2 cdot { SQRT { 3} } over {2 }) `(2- SQRT { 3} ) `]

[eqn: =(2+ SQRT { 3} )(2- SQRT { 3} )`]

[eqn: =2^2 -( SQRT { 3} )^2 = 4-3=1`]	답 ①

[eqn: f`'(x)=5x^4 +1`]에서 [eqn: f`'(1)=5 cdot 1^4 +1=6`]	답 ④

[eqn: bar OA =1`]이므로 점 [eqn: A]의 좌표를 [eqn: A(a,`b)`]로 놓으면

[eqn: cos theta =a,`` sin theta=b`]

이 때, [eqn: cos (pi-theta) =-cos theta`]이므로 [eqn: cos (pi-theta) =-a`]

그런데, 점 [eqn: A]와 점 [eqn: C]는 원점에 대해 대칭이므로 점 [eqn: C]의 좌표는 [eqn: C(-a,`-b)`]

따라서,[eqn: cos (pi -theta)`]는 점 [eqn: C]의 [eqn: x]좌표와 같다.	답 ③

[eqn: y=(g CIRC f)(x)=g(f(x))`]이고 [eqn: y=f`(x)`]의 그래프를 보면

(ⅰ) [eqn: x<1] 일 때, [eqn: f`(x)=1`]이므로

[eqn: y=(g CIRC f)(x)=g(f(x))=g(1)=1`]

(ⅱ) [eqn: 1 <=x] 일 때, [eqn: f`(x)=3`]이므로

[eqn: y=(g CIRC f)(x)=g(f(x))=g(3)=1`]

이상에서 모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: y=(g CIRC f)(x)=1`]이다.

즉, 그래프는 ①과 같다.	답 ①

[eqn: A= PMATRIX { {1 }& {0 }`` # { 1}& {1 }& } `]에서

[eqn: A^-1 = { 1} over {1-0 } PMATRIX { {1 }& {0 }`` # { -1}& {1 }& } = PMATRIX { {1 }& {0 }`` # { -1}& {1 }& } `]

∴ [eqn: A^-1 +AB= PMATRIX { {1 }& {0 }`` # { -1}& {1 }& } + PMATRIX { {1 }& {0 }`` # { 1}& {1 }& } PMATRIX { {1 }& {1 }`` # { 0}& {-1 }& } `]

[eqn: = PMATRIX { {1 }& {0 }`` # { -1}& {1 }& } + PMATRIX { {1 }& {1 }`` # { 1}& {0 }& } `]

[eqn: = PMATRIX { {2 }& {1 }`` # { 0}& {1 }& } `]	답 ③

오른쪽 그림을 보면 [eqn: y= { 1} over {x } `]의 그래프는 직선 [eqn: y=+-x`]에 대해 대칭이다. 즉, [eqn: a=+-1`]	답 ①

오른쪽 그림에서 원기둥을 수평으로 뉘었을 때 수면과 옆면이 만나서 이루는 활꼴 부분의 넓이[eqn: S`]는[eqn: S = 1 over2 r^2 theta - 1 over 2 r^2 sin theta`]

한편 원기둥에 들어 있는 물의 부피 [eqn: V`]를 두 경우에 대해 구해 보면

[eqn: V = S TIMES 1 = pi r^2 h`` `]

[eqn: 1 over 2 r^2 theta - 1 over 2 r^2 sin theta = pi r^2 h ` `]

[eqn: therefore h = 1 over {2 pi} left ( theta - sin theta right )`` `]	답 ⑤

확률밀도함수의 정의에 따라 [eqn: INT _{ 0}^{1 } f left ( x right ) d x = 1 `], [eqn: INT _{ 0}^{1 } left ( a x + a right ) = 1 `]

[eqn: {{left [ a over 2 x^2 + a x right ] }_0}^1 = 3 over 2 a = 1 ` `]

[eqn: therefore a = 2 over 3 ` ` `]	답 ②

[eqn: f(a) = {f``}^' ( a) = 0 `] 이고 [eqn: f(x) `]는 삼차함수이므로

[eqn: f(x) = {(x-a)}^2 (P x + Q) `] 꼴로 나타낼 수 있다. 또한 [eqn: f(b) = 0 `] 이므로 [eqn: Pb + Q = 0 ~~~~therefore Q = - P b ~~~~ cdots cdots ~~ ㉠ `]

한편 [eqn: {f ``}^' (c) = 0 `]이므로 [eqn: 2(c - a) (Pc + Q) + {(c - a)}^2 P = 0 `]

[eqn: 2(Pc + Q) + (c - a) P = 0 ~~~~ cdots cdots ~~ ㉡ ` `]

㉠을 ㉡에 대입하고 정리하면 [eqn: P (3c-2b - a) = 0 `]

[eqn: therefore c = {a + 2 b} over3 ` `]	답 ④

두 차량이 움직인 거리를 각각 [eqn: x, `` y `]라 하면 [eqn: x + y = 4 `] (단, [eqn: x, `` y `]는 양의 정수)

[eqn: therefore x = 1, `` y =3 `] 또는 [eqn: x = 2, `` y = 2 `] 또는 [eqn: x = 3, `` y =1 `]

각각의 경우에 해당하는 점 [eqn: P ` `]의 위치를 모두 모아서 그림으로 나타내면 위와 같다.	답 ①

오른쪽 그림에서 알 수 있듯이 점 A, B, C, D에 대하여, 각각의 x좌표 a, b, c, d의 크기는 ∴  d < a < c < b	답 ④

점 P(x, y), A(-1, -1), R(0, y), Q(x, 0)에 대하여 [eqn: bar PA = bar PQ + bar PR `]에서

[eqn: root{(x+1)^2 + (y+1)^2 `} `] = y + x이다.

이 때, 양변을 제곱하면, [eqn: (x+1)^2 + (y+1)^2 `] = [eqn: (x + y)^2 `]

[eqn: x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 `] = [eqn: x^2 + 2xy + y^2 `]

2x + 2y + 2 = 2xy

x + y + 1 = xy

∴[eqn: y = x+1 over x-1 = 1 + 2 over x-1 ` `]

따라서, 그래프는 오른쪽과 같다.

하지만. 점 P(x, y)가 1사분면 위의 점이므로, 실선만이 구하는 자취이다.	답 ①

ㄱ. [eqn: 3^2 `] = 9 = 1×5 + 4 = [eqn: 14_(5) `] 이므로 f(3) = 4이다.

ㄴ. 모든 자연수 n에 대하여, [eqn: rm n^2 `]을 오진법으로 나타냈을 때, 일의 자리수는 0, 1, 2, 3, 4 중에 하나이다.

ㄷ. [eqn: 1^2 `]=1=[eqn: 1_(5) `],	-> f(1) = 1

[eqn: 2^2 = 4 = 4_(5) `]   -> f(2) = 4

[eqn: 3^2 =9 = 1 times 5 + 4 = 14_(5) `]  -> f(3) = 4

[eqn: 4^2 = 16 = 3 times 5 + 1 = 31_(5) `] -> f(4) = 1

[eqn: 5^2 = 25 = 1 times 5^2 + 0 times 5 + 0 = 100_(5) `] -> f(5) = 0

[eqn: 6^2 = 36 = 1 times 5^2 + 2 times 5 + 1 = 121_(5) `] -> f(6) = 1

[eqn: 7^2 = 49 = 1 times 5^2 + 4 times 5 + 4 = 144_(5) `] -> f(7) = 4

□

으로 자연수 n의 제곱 [eqn: n^2 ` `]에 대하여, f(n)은 1, 4, 4, 1, 0이 계속 반복됨을 알 수 있다.

따라서 f(n) = 2인 자연수는 n은 없다.	답 ⑤

집합 A={2, 3, 4}, B={1, 2, 5}, C={2, 4, 5}에 대하여,   A□B={1, 2, 3, 4, 5},   A□B={2}

B□C={1, 2, 4, 5},      B□C={2, 5}

A□C={2, 3, 4, 5},      A□C={2, 4}이고,

(A□B) - (A□B)={1, 3, 4, 5} 에서 B□A

(B□C) - (B□C)={1, 4}에서 B□C

(A□C) - (A□C)={3, 5}에서 A□C이다. □ B□A□C	답 ③

지수와 로그의 정의에서 [eqn: r=log _a x```` LRARROW x=a^r `], [eqn: s=log _a y```` LRARROW y=a^s `]

이 때, 지수법칙으로부터 [eqn: a^r+s =a^r a^s =xy `]

∴ [eqn: r+s = log_a xy `]

즉, [eqn: log_a x+log_a y =log_a xy `]	답 ④

삼각형의 성질에서 내각의 크기의 순서는 그에  대응되는 변의 길이의 순서와 같다.

이 때, [eqn: TRIANGLE ADE `]에서 [eqn: ANGLE A `]의 대변은 [eqn: bar DE `], [eqn: ANGLE D `]의 대변은 [eqn: bar AE `], [eqn: ANGLE E `]의 대변은 [eqn: bar AD `]이므로 [eqn: ANGLE A ``< ``ANGLE ADE ``<``ANGLE``AED `] [eqn: LRARROW `] [eqn: barDE ``<``bar AE``<``bar AD `] 이다.	답 ⑤

로그의 성질에서 [eqn: log(sin theta) -log (cos theta) =log { sin theta} over {cos theta } `]

[eqn: =log tan theta `]

즉, [eqn: log tan theta = { 1} over {2 } log3=log SQRT { 3} `]을 풀면 [eqn: tan theta = SQRT { 3} `]

이 때, [eqn: tan { pi} over {3 } = SQRT { 3} `] 이므로 [eqn: theta= { pi} over {3 } `]	답 ④

다음 그림에서 알 수 있듯이 모두 6개의 2차 함수가 존재 한다.

(참고) (*)의 이차 함수를 구해보면, [eqn: rm y = ax^2 + bx + c `]

에서 (*)은 점 (-1, -1), (0, -1), (1, 1)을 지나므로, 위 식에 대입하면, -1 = a - b + c

-1 = c

1 = a + b + c

□ a = 1, b = 1, c = -1

[eqn: rm therefore ~y = x^2 + x - 1 `]	답 ③

다음 그림에서 알 수 있듯이  A - B는 그림 (가)의 가장 큰 직사각형의 넓이와 그림 (나)의 가장 작은 직사각형의 넓이의 차와 같다.

따라서 A - B = [eqn: rm 1 over n cdot f(1) ``-`` 1 over n cdot f(0) `]= [eqn: rm 2 over n ``-`` 1 over n `]= [eqn: rm 1 over n <= 0.15 ` ` `]    □ n □ 6.6666....

즉, 구하는 n의 최소값은 7이다.	답 ②

□□□□□[eqn: `_(2) `]

^ 1 0 1 0 1[eqn: `_(2) `]

1 1 0 0 1[eqn: `_(2) `] 이 식이 성립하려면,

□□□□□[eqn: `_(2) `]은 01100[eqn: `_(2) `]이다.

이 때, [eqn: 1100_(2) =1×2^3 +1×2^2 =12 `]

따라서,  01100[eqn: `_(2) `]는 12번째이므로 구하는 알파벳은 L이다.	답 ③

오른쪽 그림과 같이 네 점 (-2, 2), (4, 2), (4, -2), (1, -2)을 차례로 A, B, C, D라 하고 선분 AB, 선분 BC의 수직이등 분선의 교점 (1, 0)를 M이라 하자.

로봇팔이 고정된 점 P가 M일 때 [eqn: overline{PA} = overline{PB} = overline{PC} = root{3^2 + 2^2} = root 13 , `` overline{PD} = 2 `]이므로 로봇팔의 길이는 [eqn: root 13 `]이면 된다.

한편 점 P가 어느 위치에 있든 [eqn: overline{PA} + overline{PC} >= overline{AC} = root{6^2 + 4^2} = 2 root 13 `]이므로 [eqn: overline{PA} >= root 13 `] 또는 [eqn: overline{PC} >= root 13 `]이다. 즉, 로봇팔의 길이는 [eqn: root 13 `]이상이 되어야 한다.

따라서, 로봇팔의 길이를 최소로 할 수 있는 점 P의 위치는 접 M(1, 0)이다.	답 ④

석유 소비량의 변화를 그림으로 나타내면

따라서 10년이 [eqn: x `]회만큼 지난 후에 현재의 석유 매장량 [eqn: b `]가 모두 소모된다고 하면	[eqn: a + 2a + 4a + 8a + cdots + 2^{x-1}a = b `]

[eqn: { 2^x - 1} over {2 - 1 } a = b `]

[eqn: 2^x = b over a + 1 ~~~~ therefore x = log_2 left ( b over a + 1 right ) `]

그러므로 앞으로 석유를 사용할 수 있는 기간은

[eqn: 10 log_2 left (b over a + 1 RIGHT) `](년)	답 ②

역함수의 성질에서 [eqn: f`(a)=b```` LRARROW ````f`^-1 (b)=a `]

즉 [eqn: f`^-1 (5)=2 `] 이면, [eqn: f`(2)=5 `]이다.

따라서, [eqn: f`(x)=ax^3 +b `] 에서

[eqn: f`(2)=8a +b=5 `]	답 5

[eqn: f`(x) `]를 [eqn: (x-1)(x-2) `]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x) `]라 하면 나머지가 [eqn: 4x+3 `]이므로 [eqn: f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+4x+3 `]

∴[eqn: f(2x)=(2x-1)(2x-2)Q(2x)+8x+3 `]

[eqn: =(x-1)left{2(2x-1)Q(2x) +8 right}+11 `]

즉, [eqn: f`(2x) `]를 [eqn: x-1 `]로 나눈 나머지는 11이다.	답 11

[eqn: lim from { x ->1 } { 8(x^4 -1)} over {(x^2 -1)f`(x) }=1 `]을 풀면 [eqn: lim from { x ->1 } { 8(x^2 -1)(x^2 +1)} over {(x^2 -1)f`(x) }=1 `]에서

[eqn: lim from { x ->1 } { 8(x^2 +1)} over {f`(x) }=1 `]

따라서, [eqn: { 8(1^2 +1)} over {f`(1) }=1 `]  ∴[eqn: f`(1)=16 `]	답 16

28.  [eqn: a,``b,``c `] 에서 중복을 허락하여 3개를 뽑아 나열하는 방법의 수는 [eqn: 3^3 =27 `]

여기서 [eqn: a `]가 연속하여 있는 경우를 생각한다.

(ⅰ) [eqn: a `] 가 2개 연속할 때.

[eqn: a`a`b `], [eqn: a`a`c, `] [eqn: b`a`a `], [eqn: c`a`a `]    즉, 4개

(ⅱ) [eqn: a `]가 3개 연속인 경우,

[eqn: a`a`a `]     즉. 1개

따라서, 수신 가능한 단어의 수는 [eqn: 27-(4+1)`=`22 `] (개)	답 22

29. [eqn: SUM from { { k}=1} to9 f`(k+1)= SUM from { { k}=2} to10 f`(k) `]

[eqn: SUM from { { k}=2} to10 f`(k-1)= SUM from { { k}=1} to9 f`(k) `]

따라서,[eqn: SUM from { { k}=1} to9 f`(k+1)= f(2)+ f(3)+ CDOT CDOT CDOT + f(10) `]

[eqn: SUM from { { k}=2} to10 f`(k-1)= f(1)+ f(2)+ CDOT CDOT CDOT + f(9) `]

∴ [eqn: SUM from { { k}=1} to9 f`(k+1) - SUM from { { k}=2} to 10 f(k-1)=f(10)-f(1) `]

[eqn: =50-3 `][eqn: =47 `]	답 47

30. [eqn: INT _{ 0}^{1 } (x+1)(x^2 -x+1)dx = INT _{ 0}^{1 } (x^3 +1)dx `]

[eqn: = LEFT [ { x^4 } over {4 }+x RIGHT ]_{0 } ^{1 } `][eqn: = { 1} over {4 } + 1= { 5} over {4 } =1.25 `]	답 1.25