수학 영역 (가 형)

고 2

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수학 영역 (가 형)

고 2

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2016학년도 6월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시           수학 영역 (가 형)

5지 선다형(1 ~ 21)

1. [eqn: root {3} of {27} ` TIMES 16 ^{{1} over {2}} `]의 값은? [2점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 18]

12

2. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{(2n+1)(3n-1)} over {n ^{2} +1}} `]의 값은? [2점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

3. 전체집합 [eqn: U= LEFT { `x ` LEFT | `x`는```8이하의```자연수` RIGHT } RIGHT .]의 부분집합 [eqn: A= LEFT { `2,``4,``6,``8 RIGHT } `]에 대하여 집합 [eqn: A ^{C} `]의 모든 원소의 합은? [2점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

4. 실수 [eqn: a`]에 대하여 세 수 [eqn: a`], [eqn: a+4], [eqn: a+9`]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

5. 무리함수 [eqn: y= sqrt {x} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: b`]만큼 평행이동하였더니 무리함수 [eqn: y= sqrt {x+2} +9`]의 그래프와 일치하였다. 두 상수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

6. 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]에 대하여

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n}} `=`2`],    [eqn: `` lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( 3a _{n} -b _{n} RIGHT )} `=`4]

일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {b _{n}} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 6`]	④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 10`]

7. [eqn: log _{2} {8} over {n} `]의 값이 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: n`]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

8. 실수 [eqn: x`]에 대하여 두 조건 [eqn: p], [eqn: q`]가

[eqn: p`:` LEFT | x-1 RIGHT | <k],   [eqn: q`:`x` LEQ `6]

이다. [eqn: p`]는 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이 되도록 하는 실수 [eqn: k`]의 최댓값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

9. 유리함수 [eqn: y= {3x-14} over {x-5} `]의 그래프가 직선 [eqn: y=x+k`]에 대하여 대칭일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? [3점]

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]	④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

10. 집합 [eqn: X= LEFT { `x` LEFT | `x` GEQ `1` RIGHT } ` RIGHT .]에 대하여 함수 [eqn: f:X``` -> ``X`]가

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=`x ^{2} -2x+2]

이다. 방정식 [eqn: f(x)=f ^{`-1} (x)`]의 모든 근의 합은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

11. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: x]

[eqn: rm`O]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y]

[eqn: lim _{x` ->` 1-} {f LEFT ( x RIGHT ) ```+`` lim _{x` ->` 2+} {f LEFT ( 5-x RIGHT ) `}} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

12. 음파가 서로 다른 매질의 경계를 투과하면서 잃어버리는 음파의 에너지의 정도를 나타내는 투과손실을 [eqn: TL``(rmdB)`], 입사되는 음파의 에너지를 [eqn: I`], 투과된 음파의 에너지를 [eqn: T ``]라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: TL`=10`log` {I} over {T}]

어떤 음파를 매질 [eqn: A`]에서 매질 [eqn: B`]로 투과시킬 때, 입사되는 음파의 에너지가 투과된 음파의 에너지의 [eqn: a`]배일 때의 투과손실을 [eqn: TL_1`]이라 하고, 매질 [eqn: A`]에서 매질 [eqn: C``]로 투과시킬 때, 입사되는 음파의 에너지가 투과된 음파의 에너지의 [eqn: 4`]배일 때의 투과손실을 [eqn: TL_2`]라 하자. [eqn: {TL _{1}} over {TL _{2}} = {5} over {2} `]일 때, [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 24]	④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 40]

[13 ~ 14] 자연수 [eqn: {bold{n}} `]에 대하여 직선 [eqn: {bold{x=n`}} `]이               두 무리함수 [eqn: {bold{y= sqrt {x}}} `], [eqn: {bold{y=2 sqrt {x}}} `]의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: rm boldA _{it n rm}], [eqn: rm {bold{B _{it n rm}}} `]이라 하자. (단, [eqn: {bold{rm O it}} `][eqn: boldrm`O`]는 원점이다.)
13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

[eqn: y=2 sqrt {x}]

[eqn: x=n]

[eqn: y= sqrt {x}]

[eqn: {rm B} it rm _{n}]

[eqn: {rm A } _{n}]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm`O]

13. 삼각형 [eqn: rm OA it rm _{n} rm B it rm _{n} rm `]의 넓이를 [eqn: S(n)`]이라고 할 때, [eqn: S(2 ^{10} )=2 ^{k} `]이다.   [eqn: k`]의 값은? [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

14. 선분 [eqn: rm `A _{it n rm} B _{it n rm} `]의 길이를 [eqn: a _{n} `]이라 할 때,

[eqn: sum _{n=1} ^{80} {1} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) a _{n} +na _{n+1}} `=` {q} over {p}]

이다. [eqn: p+q`]의 값은? (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

① [eqn: `17]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 19]	④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 21]

15. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: y`]

[eqn: x`]

[eqn: x`]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( ka _{k} -6k ^{2} +2 RIGHT ) `=3n ^{2} +5n]

을 만족시킨다. [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 375]	② [eqn: 380]	③ [eqn: 385]	④ [eqn: 390]	⑤ [eqn: 395]

16. 함수

[eqn: f(x)= {cases{`x ^{2} -4x+5&```````(x LEQ 2)````````````````````````&```#`````````````x-2``&```````(x>2)&`}}]

와 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: {g(x)} over {f(x)} `]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: g LEFT ( 5 RIGHT ) `]의 값은? [4점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

[eqn: y]

[eqn: 2]

[eqn: x]

[eqn: rm`O]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

17. 곡선 [eqn: y= {1} over {x} `] 위의 두 점 [eqn: rmA LEFT ( -1,`-1 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( it`a,` {1} over {a} RIGHT )] [eqn: LEFT ( a>1 RIGHT ) `]를 지나는 직선이 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rmQ]라 하자.  점 [eqn: rmB`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm B prime]라 할 때, 두 삼각형 [eqn: rm `POQ`], [eqn: rm PB prime B`]의 넓이를 각각 [eqn: S _{1}], [eqn: S _{2} `]라 하자.            [eqn: S _{1} +S _{2} `]의 최솟값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4점]

① [eqn: {2- sqrt {3}} over {2}]	② [eqn: {sqrt {2} -1} over {2}]	③ [eqn: 2- sqrt {3}]

④ [eqn: {sqrt {3} -1} over {2}]	⑤ [eqn: sqrt {2} -1]

[eqn: rmA]

[eqn: rmP]

[eqn: rm B']

[eqn: rm B]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y= {1} over {x}]

18. 다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: y`]

[eqn: x`]

[eqn: x`]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} k LEFT ( n+1-k RIGHT ) 2 ^{k-1} `=` LEFT ( n-2 RIGHT ) 2 ^{n+1} +n+4] [eqn: cdots cdots](*)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(1) [eqn: n=1`]일 때,

[eqn: (좌변)`=1`], [eqn: (우변)=1`]이므로 (*)이 성립한다.

(2) [eqn: n=m`]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum _{k=1} ^{m} k LEFT ( m+1-k RIGHT ) 2 ^{k-1} `=` LEFT ( m-2 RIGHT ) 2 ^{m+1} +m+4]

이다. [eqn: n=m+1`]일 때, (*)이 성립함을 보이자.

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} k LEFT ( m+2-k RIGHT ) 2 ^{k-1}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m+1} k LEFT ( m+1-k RIGHT ) 2 ^{k-1} + sum _{k=1} ^{m+1} k`2 ^{k-1}]

[eqn: = {BOX{`````(가)`````}} `+ LEFT ( m+4 RIGHT ) + sum _{k=1} ^{m+1} k`2 ^{k-1}]

이다. 한편 [eqn: S= sum _{k=1} ^{m+1} k`2 ^{k-1} `]이라고 하면

[eqn: S=1`․`2 ^{0} +2`․`2 ^{1} +3`․`2 ^{2} +` CDOTS `+ LEFT ( m+1 RIGHT ) `2 ^{m}]

이다.

[eqn: S-2S=1+2+2 ^{2} +2 ^{3} +` CDOTS `+2 ^{m} - LEFT ( m+1 RIGHT ) 2 ^{m+1}]

[eqn: = {BOX{`````(나)`````}} `- LEFT ( m+1 RIGHT ) 2 ^{m+1}]

이므로

[eqn: S= LEFT ( m+1 RIGHT ) 2 ^{m+1} -` {BOX{`````(나)`````}}]

이다. 따라서

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} k LEFT ( m+2-k RIGHT ) 2 ^{k-1}][eqn: =` LEFT ( m-1 RIGHT ) 2 ^{m+2}][eqn: +m+5]

그러므로 [eqn: n=m+1`]일 때도 (*)이 성립한다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)`], [eqn: g(m)`]이라 할 때, [eqn: {f LEFT ( 15 RIGHT )} over {g LEFT ( 15 RIGHT ) +1} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

19. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: -1<x`le1`]일 때,

[eqn: f(x)= lim _{n` -> ` INF } {{3x ^{2n} + LEFT | x RIGHT |} over {x ^{2n} +1}} `]

이고, 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x)=f(x+2)`]이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: f(3)=2`] ㄴ. 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =2`]와 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 만나지 않는다. ㄷ. 원 [eqn: x^2 +y^2 =k`][eqn: LEFT ( k>0 RIGHT )]와 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 서로 다른 네 점에서 만나도록 하는 [eqn: 100`]이하의 [eqn: k`]의 개수는 [eqn: 6`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. 중심이 [eqn: rm O`]이고 길이가 [eqn: 4`]인 선분 [eqn: rm A _{1} B _{1} `]을 지름으로 하는 반원이 있다. 그림과 같이 반원 위에 [eqn: rm ANGLE C _{1} A _{1} B _{1} =30 DEG], [eqn: rm ANGLE D _{1} B _{1} A _{1} =30 DEG]가 되도록 두 점 [eqn: rm`C _{1}], [eqn: rm D _{1} `]을 각각 정하고,     두 선분 [eqn: rm `A _{1} C _{1} `], [eqn: rm `B _{1} D _{1} `]과 두 호 [eqn: rm `B _{1} C _{1}], [eqn: rm `A _{1} D _{1} `]로 둘러싸인     모양에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1} `]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1} `]에서 중심이 [eqn: rm O`]이고 두 선분 [eqn: rm`A _{1} C _{1}], [eqn: rm `B _{1} D _{1} `]에 접하는 원이 선분 [eqn: rm A _{1} B _{1} `]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA _{2}], [eqn: rm B _{2} `]라 하자. 선분 [eqn: rm A _{2} B _{2} `]를 지름으로 하는 반원에 그림 [eqn: R _{1} `]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는  모양에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2} `]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R_n `]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{n}} `= {a` pi +b sqrt {3}} over {9} `]이다.       [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: `b`]는 정수이다.) [4점]

[eqn: rmD _{1}]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: rm A _{1}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm`O]

[eqn: R _{1}]

[eqn: R _{2}]

[eqn: R _{3}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm`O]

[eqn: rmD _{1}]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: rm A _{1}]

[eqn: rm 30 DEG]

[eqn: rm 30 DEG]

[eqn: rm B _{1}]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

21. 함수

[eqn: f(x)= {cases{```````x ^{2} +a-1&``&(x`<0)#-x ^{2} +a+7&``&(x` GEQ 0)}}]

가 있다. 실수 [eqn: t`]에 대하여 점 [eqn: LEFT ( 0,`5 RIGHT ) `]를 지나고 기울기가 [eqn: t`]인 직선이 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 만나는 점의 개수를 [eqn: g(t)`]라 하자. 함수 [eqn: g(t)`]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 정수 [eqn: a`]의 값의 합은? [4점]

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

단답형(22 ~ 30)

22. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a _{1} =5], [eqn: a _{2} =7`]일 때, [eqn: a _{4} `]의 값을 구하시오. [3점]

23. [eqn: log _{2} LEFT ( 3+ sqrt {5} RIGHT ) +log _{2} LEFT ( 3- sqrt {5} RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [3점]

24. 이차함수 [eqn: f(x)`]에 대하여

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {` {f(x)} over {x ^{2} +2x+3} `=`1`}],   [eqn: lim _{x` -> `3} {{f(x)} over {x-3} `=`5}]

일 때, [eqn: f(7)`]의 값을 구하시오. [3점]

25. 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +3], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2x-10`]에 대하여 [eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) LEFT ( a RIGHT ) =103`]일 때, 양수 [eqn: a`]의 값을 구하시오. [3점]

26. 전체집합 [eqn: U= LEFT {` x` LEFT | `x`는```자연수` RIGHT } ` RIGHT .]의 부분집합 [eqn: A`]는 원소의 개수가 [eqn: 4`]이고, 모든 원소의 합이 [eqn: 21`]이다. 상수 [eqn: k`]에 대하여 집합 [eqn: B= it LEFT { `x+k` LEFT |` x` IN A`` RIGHT } RIGHT . `]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: A SMALLINTER B= LEFT { `4,`6` RIGHT }]

(나) [eqn: A CUP B`]의 모든 원소의 합이 [eqn: 40`]이다.

집합 [eqn: A`]의 모든 원소의 곱을 구하시오. [4점]

27. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: x+y=n``]이 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]라 하고, 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: 1:2`]로 내분하는 점을 [eqn: rm P], [eqn: 2:1`]로 내분하는 점을 [eqn: rm Q`]라 하자. 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rm Q`]를 지날 때,      함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 일차항의 계수를 [eqn: a _{n}], 상수항을 [eqn: b _{n} `]이라 하면 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{9b _{n}} over {na _{n}} `=k}`]이다. [eqn: 10k ^{2} `]의 값을 구하시오. [4점]

28. 어느 고등학교 학생들을 대상으로 수학문제집 [eqn: rm A], [eqn: rmB], [eqn: rm C`]의 구매 여부에 대하여 조사한 결과가 다음과 같다.

(가) [eqn: rm A`]와 [eqn: rm B`]를 모두 구매한 학생은 [eqn: 15`]명, [eqn: rm B`]와 [eqn: rm C`]를 모두 구매한 학생은 [eqn: 12`]명, [eqn: rm C`]와 [eqn: rm A`]를 모두 구매한 학생은 [eqn: 11`]명이다.

(나) [eqn: rm A`]와 [eqn: rm B] 중 적어도 하나를 구매한 학생은 [eqn: 55`]명, [eqn: rm B`]와 [eqn: rm C] 중 적어도 하나를 구매한 학생은 [eqn: 54`]명, [eqn: rm C`]와 [eqn: rm A`]중 적어도 하나를 구매한 학생은 [eqn: 51`]명이다.

수학문제집 [eqn: rm A`]를 구매한 학생의 수를 구하시오. [4점]

29. 모든 항이 양수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은

[eqn: a _{26} =30`],  [eqn: sum _{n=1} ^{13} LEFT { LEFT ( a _{2n} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( a _{2n-1} RIGHT ) ^{2} RIGHT } `=260]

을 만족시킨다. [eqn: a _{11} `]의 값을 구하시오. [4점]

30. 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정사각형 [eqn: rm ABCD`]와 점 [eqn: rm A`]가 중심이고 선분 [eqn: rm AB`]를 반지름으로 하는 원이 있다. 원 위를 움직이는     점 [eqn: rmP`]에 대하여 사각형 [eqn: rm APQR`]가 정사각형이 되도록 원 위에  점 [eqn: rmR`]와 원의 외부에 점 [eqn: rmQ`]를 잡는다.

그림과 같이 선분 [eqn: rm BC`]와 선분 [eqn: rm QR`]가 만나도록 할 때, 선분 [eqn: rm BC`]와 선분 [eqn: rm QR`]의 교점을 [eqn: rm I`]라 하자. 삼각형 [eqn: rm IQC`]의 둘레의 길이를 [eqn: L`], 넓이를 [eqn: S`]라 할 때, 점 [eqn: rm P`]가 점 [eqn: rmB`]에 한없이 가까워지면 [eqn: {L ^{2}} over {S} `]의 값이 [eqn: a+b sqrt {2} `]에 한없이 가까워진다.                     [eqn: a ^{2} +b ^{2} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 유리수이다.) [4점]

[eqn: rm`A]

[eqn: rm `B]

[eqn: rm `C]

[eqn: rm `D]

[eqn: rm `P]

[eqn: rm `Q]

[eqn: rm `R]

[eqn: rm `I]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.