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2013학년도 대학수학능력시험 대비

2012학년도 3월 고3 전국연합학력평가 정답 및 해설

수리‘가’형 정답

1	②	2	⑤	3	④	4	③	5	①
6	③	7	⑤	8	④	9	⑤	10	②
11	②	12	①	13	④	14	①	15	③
16	③	17	①	18	⑤	19	②	20	④
21	⑤	22	[eqn: 13]	23	[eqn: 8]	24	[eqn: 208]	25	[eqn: 16]
26	[eqn: 51]	27	[eqn: 9]	28	[eqn: 136]	29	[eqn: 24]	30	[eqn: 32]

해 설

1. [출제의도] 로그의 밑을 같게 하여 로그의 계산을 한다.

[eqn: {1} over {2} `log` _{3} `6 -log` _{9} `2`][eqn: =][eqn: {1} over {2} `log` _{3} `6 - 1over2 `log` _{3} `2`]

[eqn: =][eqn: {1} over {2} left(`log` _{3} `6 - `log` _{3} `2`right)]

[eqn: = 1over2 `log`_3` 6over2]

[eqn: = 1over2 `log`_3` 3][eqn: = 1over2]

2. [출제의도] 행렬의 기본연산인 덧셈, 뺄셈, 실수배 등의 계산을 한다.

[eqn: 2A=X``-B`]에서

[eqn: X=2A+B]

[eqn: `=2][eqn: {pmatrix{`1&``-2`#`2&``-1`}}][eqn: +][eqn: pmatrix { `-1&`` 2`#` -1&`` 3`}`]

[eqn: `=][eqn: pmatrix { `2& ``-4`#` 4&`` -2`}][eqn: +][eqn: pmatrix { `-1&`` 2`#` -1&`` 3`}`]

[eqn: `=][eqn: pmatrix { `1& ``-2`#` 3&`` ```````1`}]

따라서 구하는 행렬의 모든 성분의 합은 [eqn: 3]이다.

3. [출제의도] 무한등비수열의 극한값을 계산한다.

[eqn: lim _{ n->inf} {4`^n+1 - 1}over{(2`^n +1)(2`^n -1)}`][eqn: =][eqn: lim _{ n->inf} {4`^n+1 - 1}over{4^n -1}]

[eqn: `=][eqn: lim _{ n->inf} {4 - 1 over 4^n}over{1- 1over 4^n} =4]

4. [출제의도] 삼각함수의 여러 가지 공식을 이용하여 함수의 최솟값을 구한다.

[eqn: f(x)= {LEFT ( cosx+sinx RIGHT ) ^{2}} over {sin2x}]

[eqn: `= {sin2x+1} over {sin2x}]

[eqn: `=1+ {1} over {sin2x}]

[eqn: 0<sin2x LEQ 1]이므로 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: 2`]이다.

5. [출제의도] 무연근의 뜻과 무리방정식의 풀이 방법을 이해하여 무리방정식의 해를 구한다.

[eqn: sqrt {x+4} = LEFT | `x` RIGHT |` -2`] … ㉠

주어진 식의 양변을 제곱하면

[eqn: x+4=x ^{2} -4 `LEFT |` x `RIGHT |` +4`]

(ⅰ) [eqn: x`geq`0]일 때

[eqn: x ^{2} -5x=0], [eqn: x(x-5)=0`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: `x=0] 또는 [eqn: x=5]

㉠에 대입하면 [eqn: x=0`]은 무연근이다. 따라서 구       하는 근은 [eqn: x=5`]이다.

(ⅱ) [eqn: x<0`]일 때

[eqn: x ^{2} +3x=0], [eqn: `x(x+3)=0`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: `x=-3]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 모든 실근의 곱은 [eqn: -15`]       이다.

6. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 같은 값을 갖는 삼각함수를 찾는다.

[eqn: tan`10 DEG + {1} over {tan`20 DEG }][eqn: = {sin10 DEG } over {cos`10 DEG } + {cos`20 DEG } over {sin20 DEG }]

[eqn: `= {sin10°sin20°+cos`10°cos`20°} over {cos`10°sin20°}]

[eqn: `= {cos(20°-10°)} over {cos10°sin20°}]

[eqn: `= {cos`10°} over {cos`10°sin`20°}]

[eqn: `= {1} over {``sin20°}]

7. [출제의도] 극값의 뜻을 이해하여 조건을 만족시키는 다항함수의 미분계수를 구한다.

[eqn: lim _{ x`->`inf} {`{f`(x)} over x^3 }`=`1]이므로 [eqn: f`(x)`]는 삼차함수이고 삼차항의 계수는 [eqn: 1`]이다. 따라서 [eqn: f` prime(x)`]는 이차함수이고 이차항의 계수는 [eqn: 3`]이다.

[eqn: x`=`-1`]과 [eqn: x`=`2`]에서 극값을 가지므로 [eqn: f` prime(x)`]는 [eqn: x+1`]과 [eqn: x-2`]를 인수로 갖는다.

따라서 [eqn: f` prime(x)`=`3(x+1)(x-2)`]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{ h`->`0} {{f`(3+h)-f`(3-h)} over h }`]

[eqn: =` lim _{ h`->`0} {left{f`(3+h)-f`(3)right}-left{f`(3-h)-f`(3)right}} over h }`]

[eqn: =` lim _{ h`->`0}{{f`(3+h)-f`(3)}} over h }`+` lim _{ h`->`0}{{f`(3-h)-f`(3)}} over -h }]

[eqn: =`2f` prime(3)`=`2`․`3`․`4`․`1`=`24]

8. [출제의도] 무연근과 그래프의 평행이동을 이해하여 분수방정식의 해의 개수를 구한다.

방정식 [eqn: LEFT { ` {f(x)} over {g(x)} `-`1` RIGHT } ` LEFT { ` {g(x)+1} over {f(x)} `-1 RIGHT } `=`0]에서

[eqn: {` LEFT { `f(x)-g`(`x`) RIGHT } LEFT { `g`(x)`-f`(x)+1` RIGHT } `} over {f(x)``g`(x)} `=`0]이므로

[eqn: { `f(x)-g`(`x`)` = 0] 또는 [eqn: g`(`x)`-`f`(`x)`+`1=0`],

[eqn: f`(`x)`` != `0`], [eqn: g`(`x`)`` != `0`]

(ⅰ) 방정식 [eqn: `f(x)=`g`(`x`)`]의 해는 [eqn: x=a] 또는 [eqn: x=0]         또는 [eqn: x=1]이다. 그런데 [eqn: x=0]은 무연근이므로        구하는 해는 [eqn: x=a] 또는 [eqn: x=1]이다.

(ⅱ) 방정식 [eqn: g(x)=``f(`x)-`1`]의 해는 [eqn: x=b] 또는 [eqn: x=c]       또는 [eqn: x=d]이고 이들은 모두 무연근이 아니다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 해의 개수는 [eqn: 5]이다.

9. [출제의도] 위치와 속도의 관계 및 속도의 부호의 의미를 이해하여 두 점이 서로 반대 방향으로 움직인 시각을 구한다.

두 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`]의 시각 [eqn: t`]에서의 속도를 각각 [eqn: v_{rmP}`], [eqn: v_{rmQ}`]라 하면

[eqn: v_{rmP}=`{d`x_{\P} }over dt `=`2t-a`]

[eqn: v_{rmQ}`=`{d`x_{\Q}} over dt `=` 2t-1 over {t^2 -t+1} `]

두 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`]가 움직이는 방향이 서로 반대 방향이 되려면 [eqn: v_{rmP}v_{rmQ}<0]이어야 한다.

[eqn: v_{rmP}v_{rmQ}`=][eqn: {(2t-a)(2t-1)} over {t^2 -t+1}` < 0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: {(2t-a)(2t-1)}<0] … ㉠ [eqn: (BECAUSE``t^2 -t+1`>`0)]

㉠의 해가 [eqn: 1over2 <t< 2]이므로 [eqn: a over2 =2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=4]

10. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 조건을 만족시키는 미지수의 값을 구한다.

[eqn: 2 ^{{1} over {x}} =80`] … ㉠, [eqn: 2 ^{{2} over {y}} = {1} over {10} `] … ㉡, [eqn: 2 ^{{1} over {z}} =a ^{{1} over {3}} `] … ㉢

㉠[eqn: ×]㉡[eqn: ÷]㉢ 하면

[eqn: 2 ^{{1} over {x} + {2} over {y} - {1} over {z}} = {80 TIMES {1} over {10}} over {root {3} of {a}} `]

[eqn: {80 TIMES {1} over {10}} over {root {3} of {a}} =2`], [eqn: root {3} of {a}` =`4`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=4 ^{3} =64`]
[다른풀이]

[eqn: {1} over {x} =log _{`2} ``80,`] [eqn: {1} over {y} =log _{`4} `` {1} over {10} ,`] [eqn: {1} over {z} =log _{8} ``a`]

[eqn: {1} over {x} + {2} over {y} - {1} over {z} =log _{`2} `` {80 TIMES {1} over {10}} over {root {3} of {a}} =1`]

[eqn: 2 ^{1} = {80 TIMES {1} over {10}} over {root {3} of {a}} `], [eqn: root {3} of {a}` =`4`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=4 ^{3} =2 ^{6} =64`]

11. [출제의도] 행렬의 연산법칙과 역행렬의 뜻을 이해하여 행렬의 성분의 합을 구한다.

(가)에서 [eqn: A LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) +A ^{-1} LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) =E` LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT )]

(나)에서 [eqn: LEFT ( ` pile{3#5} ` RIGHT ) +A ^{-1} LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) =` LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) `]

[eqn: A ^{-1} LEFT ( pile{`2`#`3`} RIGHT ) =` LEFT ( pile{`2`#`3`} RIGHT ) - LEFT ( pile{`3`#`5`} RIGHT ) `= LEFT ( pile{`-1`#-2} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE]  [eqn: A LEFT ( ` pile{-1`#-2`} RIGHT ) = LEFT ( ` pile{2`#3`} RIGHT ) `]

[eqn: A= {pmatrix{`a&`b`#`c`&d`}}]로 놓으면

[eqn: {pmatrix{`a&`b`#`c`&d`}} LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) =` LEFT ( ` pile{3#5} ` RIGHT )], [eqn: {pmatrix{`a&`b`#`c`&d`}} LEFT ( ` pile{-1#-2} ` RIGHT ) = LEFT ( pile{`2`#`3`} RIGHT ) `]이므로

[eqn: 2a`+`3b`=`3,```2c`+`3d`=`5]    [eqn: cdots`]㉠

[eqn: -a-`2b`=`2,```-c``-2d`=`3]   [eqn: cdots`]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a`=`12`,`````b`=`-7`,````c`=`19`,````d`=`-11]

[eqn: THEREFORE] [eqn: A=][eqn: {pmatrix{`12&``````-7`#`19&``````-11`}} `]

따라서 행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합은 [eqn: 13`]이다.

[다른풀이1]

(가)에서 [eqn: A LEFT ( pile{`2`#`3`} RIGHT ) +A ^{-1} LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) =E` LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT )]

(나)의 [eqn: A LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) = LEFT ( ` pile{3#5} ` RIGHT ) `] … ㉠을 대입하면

[eqn: LEFT ( ` pile{3#5} ` RIGHT ) +A ^{-1} LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) =` LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) `]에서 [eqn: A ^{-1} LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) =` LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) - LEFT ( pile{`3`#`5`} RIGHT ) `= LEFT ( ` pile{-1#-2} ` RIGHT )]

[eqn: THEREFORE] [eqn: A LEFT ( ` pile{-1#-2} ` RIGHT ) = LEFT ( pile{`2``#`3`} RIGHT ) `] … ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: A {pmatrix{`2&``-1`#`3&``-2`}} = {pmatrix{`3&``2`#`5&``3`}} `]

[eqn: A= {pmatrix{`3&``2`#`5&``3`}} {pmatrix{`2&``-1`#`3&``-2`}} ^{-1} `]

[eqn: = {pmatrix{`3&``2`#`5&``3`}} {pmatrix{`2&```-1`#`3&```-2`}} `][eqn: = {pmatrix{`12&``````-7`#`19&``````-11`}} `]

따라서 행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합은 [eqn: 13`]이다.

[다른풀이2]

(가)의 양변에 행렬 [eqn: A`]를 곱하면 [eqn: A ^{2} +E=A`]

[eqn: A ^{2} LEFT ( pile{`2#`3} RIGHT ) +E`` LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) =A` LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT )]에서 (나)의 [eqn: A LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) = LEFT ( ` pile{3#5} ` RIGHT ) `] … ㉠을

대입하면 [eqn: A LEFT ( ` pile{3`#5`} RIGHT ) + LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) =` LEFT ( ` pile{3#5} ` RIGHT ) `]

[eqn: THEREFORE] [eqn: `A LEFT ( ` pile{3#5} ` RIGHT ) =` LEFT ( ` pile{1#2} ` RIGHT ) `] … ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: A {pmatrix{`2&``3`#`3&``5`}} = {pmatrix{`3&``1`#`5&``2`}} `]

[eqn: A= {pmatrix{`3&``1`#`5&``2`}} {pmatrix{`2&``3`#`3&``5`}} ^{-1}][eqn: = {pmatrix{`3&``1`#`5&``2`}} {pmatrix{`````````5&```-3`#`-3&``````````2`}} `][eqn: = {pmatrix{`12&``````-7`#`19&``````-11`}} `]

따라서 행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합은 [eqn: 13`]이다.

12. [출제의도] [eqn: sum`]의 성질과 극한의 성질을 이용하여 극한값을 구한다.

[eqn: n< a_n <n+1`]에서

[eqn: sum_k=1^n k < sum_k=1^n a_k <sum_k=1^n (k+1)]이므로

[eqn: n(n+1)over2 < sum_k=1^n a_k < n(n+3)over2`]

[eqn: n(n+1)over2n^2 < 1overn^2 sum_k=1^n a_k < n(n+3)over2n^2`]

[eqn: lim_n->inf n(n+1)over2n^2 =lim_n->inf n(n+3)over2n^2`= 1over2`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim_n->inf 1overn^2 sum_k=1^n a_k`= 1over2]

13. [출제의도] 도형의 닮음을 이용하여 무한급수의 합을 구한다.

점 [eqn: rm C_1`]은 정삼각형 [eqn: rm A_1 OB_1 `]의 무게중심이므로 삼각형 [eqn: rm A _{1} OC _{1} `]의 넓이와 삼각형 [eqn: rm C_1 OB_1]의 넓이는 각각 삼각형 [eqn: rm A_1 OB_1`]의 넓이의 [eqn: 1 over3 `]이다. 따라서 삼각형 [eqn: rm C_1 OB_1]의 넓이는 [eqn: {1} over {3}` ·` {sqrt {3}} over {4}` ·` LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT ) ^{2} = sqrt {3} `]이다.

[eqn: S _{1}]은 부채꼴 [eqn: \A_1 OB_1]의 넓이에서 두 삼각형 [eqn: rm A _{1} OC _{1} `], [eqn: \C _{1} OB _{1}]의 넓이를 뺀 값이므로

[eqn: S _{1} `= {1} over {2}` ·` LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT ) ^{2}` ·` {pi } over {3} `-2 sqrt {3} =2 pi -2 sqrt {3} `]

부채꼴 [eqn: \A_1 OB_1]과 부채꼴 [eqn: rm A _{2} OB _{2} `]의 닮음비는

[eqn: 2root3` : 2 = root3` :1`]이므로 넓이의 비는 [eqn: 3:1`]이다.

따라서 수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 2pi`-2root3], 공비가 [eqn: {1} over {3}]인 등비수열이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {2 pi -2 sqrt {3}} over {1- {1} over {3}} =3` pi -3 sqrt {3}]

14. [출제의도] 로그의 성질을 이해하여 로그로 나타내어진 실생활 문제를 해결한다.

[eqn: E`_{\K} = t` log` {LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\O }} over{ LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\I`` }}]이므로 [eqn: p`=`t`log`a over b]

또, [eqn: p+60 `=`t left(1+log`a over b right)]

[eqn: =`t+t`log`a over b]

[eqn: =`t+p]

[eqn: THEREFORE] [eqn: t`=`60]

따라서 [eqn: p+q``=`t`log`{10^2 a} over {sqrt10 b}]

[eqn: =`t left( 3 over 2 +log`a over b right)]

[eqn: =`3 over 2 t +p]

[eqn: THEREFORE] [eqn: q``= 3 over 2 t ``= 3 over 2 ``․``60`=90]

15. [출제의도] 로그함수의 미분법을 이해하여 미분계수를 구한다.

[eqn: g`(`x`)=`ln `f`` prime (x)`]

[eqn: =`ln` LEFT ( 1+ LEFT { f`(x) RIGHT } ^{2} right) RIGHT .]에서

[eqn: g` prime(x)`=`{2f`(x)`f` prime(x)} over{1+left{f`(x)right}^2}]

[eqn: =`{2f`(x)`[1+left{f`(x)right}^2 ]} over{1+left{f`(x)right}^2}]

[eqn: =`2f`(x)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: g`` prime ` LEFT ( {pi } over {4} ` RIGHT ) `=`2`f` LEFT ( ` {pi } over {4} ` RIGHT ) `=2` CDOT `1`=`2`]

[다른풀이]

[eqn: g`(`x`)=`ln `f`` prime (x)`]이므로

[eqn: g` prime (`x)=` {f`` '' `(`x)} over {f`` prime (`x)} ``=` {2`f`(x)``f` prime (x)} over {`f`` prime (x)} ``=`2`f`(`x`)`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: g`` prime ` LEFT ( {pi } over {4} ` RIGHT ) `=`2`f` LEFT ( ` {pi } over {4} ` RIGHT ) `=2` CDOT `1`=`2`]

[참고]

함수 [eqn: y= tan `x`]는 주어진 조건을 만족시킨다.

16. [출제의도] 함수의 연속의 뜻을 이해하여 주어진 함수의 연속 여부를 판정한다.

ㄱ.

[eqn: x` -> ```0`]일 때 [eqn: g`(x)` -> ``+0`]이므로

[eqn: lim _{x` -> ``0} {`f`(g`(x))} `=` lim _{t` -> `+0} {`f`(t)} `=`0]

[eqn: f`(g`(0))`=`f`(0)`=`0`]

따라서 [eqn: lim _{x` -> ``0} {`f`(g`(x))} `=`f`(g`(0))`=`0]이므로

함수 [eqn: f` LEFT ( `g(x) RIGHT )]는 [eqn: x`=`0`]에서 연속이다.

ㄴ.

[eqn: x` -> ```0`]일 때 [eqn: g`(x)` -> ``+0`]이므로

[eqn: lim _{x` -> ``0} {`f`(g`(x))} `=` lim _{t` -> `+0} {`f`(t)} `=`0]

[eqn: f`(g`(0))`=`f`(0)`=`0`]

따라서 [eqn: lim _{x` -> ``0} {`f`(g`(x))} `=`f`(g`(0))`=`0]이므로

함수 [eqn: f` LEFT ( `g(x) RIGHT )]는 [eqn: x`=`0`]에서 연속이다.

ㄷ.

[eqn: x` -> ``0`]일 때,  [eqn: g`(x)` -> `1-0`]이므로

[eqn: lim _{x` -> `0} {`f`(g`(x))} `=` lim _{t` -> `1-0} {`f`(t)} `=`2]

[eqn: f`(g`(0))`=`f`(1)`=`0`]

따라서 [eqn: lim _{x` -> ``0} {`f`(g`(x))} ` != `f`(g`(0))`]이므로

함수 [eqn: f` LEFT ( `g(x) RIGHT )]는 [eqn: x`=`0`]에서 불연속이다.

이상에서 [eqn: x`=`0`]에서 연속인 것은 ㄱ, ㄴ이다.

17. [출제의도] 증명 과정을 이해하여 빈 칸에 들어갈 식을 구한다.

[eqn: a_n+12 -a_n = {(n+12)(n+13)}over2 - n(n+1) over2]

[eqn: =6(2n+13)]

[eqn: b_4n-3 = a_12n-9][eqn: = 6(4n-3)(3n-2)]

[eqn: b_4n-2 = a_ 12n-4][eqn: = 6(3n-1)(4n-1)]

[eqn: b_4n-1 = a_12n-1][eqn: = 6n(12n-1)]

[eqn: b_4n =a_12n = 6n(12n+1)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: sum _{ k=1} ^{4n }b_k][eqn: =sum _{ k=1} ^{n } LEFT ( b_4k-3 + b_4k-2 + b_4k-1 +b_4k ` RIGHT )]

[eqn: =sum _{ k=1} ^{n }][eqn: 6LEFT ( 48k^2 -24k +7 RIGHT )]

[eqn: = 6(16n^3 +12n^2 + 3n)]

따라서 [eqn: f(n)=6(2n+13)`], [eqn: g(n)=6n(12n-1)],

[eqn: h(k)= 6(48k^2 -24k+7)]이므로

[eqn: f(1)+g(2)+h(1)= 90+276+186=552`]

18. [출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 행렬의 성질에 대한 명제의 참ㆍ거짓을 판정한다.

ㄱ. 조건 (가)에서 [eqn: B`(A+E``)=E`]이므로 [eqn: B`]의 역행렬      은 [eqn: A+E``]이다. (참)

ㄴ. ㄱ에서 [eqn: B```^-1 = A+E``]이므로

[eqn: AB```=][eqn: LEFT ( B```^-1 -E`` RIGHT )B]

[eqn: =E-B]

[eqn: =B`` LEFT ( B```^-1 -E`` RIGHT )]

[eqn: =BA] (참)

ㄷ. [eqn: AB```=BA]이므로 (나)에서

[eqn: A^2 B= A(AB``) =A(BA)]

[eqn: =A(E-B``)][eqn: = A-AB``][eqn: =A+E]

[eqn: THEREFORE] [eqn: AB```= `-E`]

따라서 행렬 [eqn: AB`]의 모든 성분의 합은 [eqn: -2`]이다.       (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[참고]

[eqn: B`(A+E``)=E`]에서 역행렬의 정의에 의해

[eqn: `(A+E``)B=E`]가 성립한다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: AB=BA]

19. [출제의도] 도함수의 성질을 이해하여 절댓값을 포함하는 함수의 미분계수를 구한다.

[eqn: g(x)=x`|`x`|`], [eqn: h(x)=|`x-1`|`^3`]으로 놓으면

두 함수 [eqn: g(x)], [eqn: h(x)]는 실수 전체에서 미분가능하므로 함수 [eqn: f(x)]도 실수 전체에서 미분가능하다.

[eqn: g'(0)=0], [eqn: h'(1)=0]이고

[eqn: x>0]일 때 [eqn: g(x)=x^2],

[eqn: x<1]일 때 [eqn: h(x)=`-(x-1)^3]이므로

[eqn: f`'(0)=0+h'(0)][eqn: =`-3(0-1)^2 =`-3]

[eqn: f`'(1)=g'(1)+0= 2``·``1=2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f`'(0)+f`'(1)=-3+2=`-1]

[다른풀이1]

[eqn: f(x)=x`|`x`|+|`x-1`|` ^{3}]에서 [eqn: f(0) =1], [eqn: f(1) =1]

[eqn: lim _{``h`` -> +0} {f(0+h)`-`f(0)`} over h][eqn: = lim _{``h`` -> +0} {} {h`|h|`+|`h-1| ^{3`} `-1} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> +0} {} {h ^{2} -(`h-1) ^{3} `-1} over {h}][eqn: = lim _{``h`` -> +0} {} {-h ^{3`} +4h ^{2`} -3h`} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> +0} {} (-h ^{2`} +4h-3)`][eqn: =``-3]

[eqn: lim _{``h`` -> -0} {} {f(0+h)`-`f(0)`} over {h}][eqn: = lim _{``h`` -> -0} {} {h`|h|`+|`h-1| ^{3`} `-1} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> -0} {} {-h ^{2} -(`h-1) ^{3} `-1} over {h}][eqn: = lim _{``h`` -> -0} {} {-h ^{3`} +2h ^{2`} -3h`} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> -0} {} (-h ^{2`} +2h-3)`][eqn: =``-3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f``'(0`)`=`-3`]

[eqn: lim _{``h`` -> +0} {} {f(1+h)`-`f(1)`} over {h}][eqn: = lim _{``h`` -> +0} {} {(1+h)`|1+h|`+|`1+h-1`|` ^{3`} `-1} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> `+0`} {} {(1+h)` ^{2} +|`h`|` ^{3`} `-1} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> ``+0`} {} {h ^{3`} +`h ^{2`} +2h`} over {h}][eqn: = lim _{``h`` -> ```+0`} {} (`h ^{2`} +`h+2)`][eqn: = 2]

[eqn: lim _{``h`` -> -0} {} {f(1+h)`-`f(1)`} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> -0} {} {(1+h)`|1+h|`+|`1+h-1`| ` ^{3`} `-1} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> `-0`} {} {(1+h)` ^{2} +|`h`|` ^{3`} `-1} over {h}][eqn: = lim _{``h`` -> ``-0`} {} {-h ^{3`} +`h ^{2`} +2h`} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> ```-0`} {} (`-h ^{2`} +`h+2)`][eqn: =`` 2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f`` prime (1`)`=``2`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f` prime (0)+f` prime (1)=`-`3`+`2``=`-1]

[다른풀이2]

[eqn: f(x)][eqn: =`` {cases{``x ^{2} ```+`(x-1) ^{3} &(x` GEQ 1`)#``x ^{2`} `-``(x-1) ^{3} &(`0 LEQ x<`1)#`-x ^{2`} `-(x-1) ^{3} &(`x<0)}} ``]

이므로

[eqn: f`'(x)`=`` {cases{`2`x```+`3(x-1) ^{2} &(x>1`)#``2x``-`3(x-1) ^{2} &(`0<x<1)#`-2x`-3(x-1) ^{2} &(`x<0)}}]

[eqn: lim _{x` -> `+0} {} f` prime(x)=2`` ․ ``0`-`3(0-1) ^{2`} `=`-3`]

[eqn: lim _{x` -> `-`0} {} f` prime (x)=`-2`` ․ ``0``-`3(0-1) ^{2`} `=`-3`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f` prime (0)=`-3]

[eqn: lim _{x` -> `1+0} {} f` prime (x)=2`` ․ ``1`+`3(1-1) ^{2`} `=2`]

[eqn: lim _{x` -> `1-`0} {} f` prime(x)=2`` ․ ``1`-`3(1-1) ^{2`} `=2`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f` prime (1)=2]

이상에서 [eqn: f` prime (0)+f` prime (1)=`-3`+`2=`-1]

20. [출제의도] 삼각함수의 극한과 도형의 성질을 이용하여 함수의 극한값을 구한다.

삼각형 [eqn: rmPAO`]에 내접하는 원의 중심을 [eqn: rm Q`], 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하자.

[eqn: TRIANGLE rmAOP][eqn: = TRIANGLE rm AOQ``+ TRIANGLE OPQ``+ TRIANGLE PAQ]이므로

[eqn: {1} over {2} ``․`` bar{rm AO it} `` ․` rm bar{OP} `` ․`` sin LEFT ( pi - theta RIGHT )][eqn: = {r} over {2} ``․`` bar{rmAO} + {r} over {2} ``․`` bar{rmOP} + {r} over {2} ``․`` bar{rmPA}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: sin`theta`=r LEFT ( 2+ bar{rmPA} RIGHT )]  … ㉠

직각삼각형 [eqn: \ABP]에서

[eqn: bar{rmPA}`= bar{rmAB}`cos` theta over 2 ` = 2`cos` theta over 2 `] … ㉡이므로

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: r= {sin`theta} over {2+ 2cos` theta over 2}]이다.

따라서 [eqn: f`( theta )`=` pi r ^{2} `=` {pi`sin ^{2} theta} over {LEFT ( 2+ 2`cos` theta over 2 } RIGHT ) ^{2}}]이므로

[eqn: lim _{` theta ` -> `+0} {` {f`( theta )} over {` theta ` ^{2}}} `=` lim _{` theta ` -> +`0} {` {sin ^{2} theta} over {` theta ` ^{2}}} `·` {pi} over {LEFT ( 2+ 2`cos` theta over 2 RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: `=` lim _{` theta ` -> +`0} {` {sin ^{2} theta } over {` theta ` ^{2}}} `·` lim _{theta-> +0} {{pi } over {LEFT ( 2+ 2`cos` theta over 2 } RIGHT ) ^{2}}}]

[eqn: =1^2`·` {pi} over {16}][eqn: = {pi} over {16}]

[다른풀이]

삼각형 [eqn: rmPAO`]에 내접하는 원의 중심을 [eqn: rm Q`]라 하고 원 [eqn: rmQ`]와 변 [eqn: rmAP`]의 접점을 [eqn: rmR`]라 하면

[eqn: bar{rmOR}` BOT`bar{rmAP}`], [eqn: bar{rm QR it} ` BOT ` bar{rm AP it} `]이다.

삼각형 [eqn: rm AOR`]에서 [eqn: ANGLE rmRAO`=` theta over 2 `]이므로

[eqn: bar{rmAR}`=bar{rmOA} `cos ` theta over 2 `=`cos` theta over 2]

삼각형 [eqn: rm AQR`]에서 [eqn: ANGLE rmRAQ`=` theta over 4 `]이므로

[eqn: bar{rmQR}`=bar{rmAR} `tan ` theta over 4 `=`cos` theta over 2`tan` theta over 4]

따라서 [eqn: f`( theta )`=` pi ` bar{rm QR it }`^{2}} `=` pi `cos` ^{2} {pi } over {2} `tan` ^{2} `` {theta } over {4} `]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{ ` theta` ->`+0} { `{f`( theta)} over { `theta`^2 }}`=`lim _{ ` theta` ->+`0} { `{pi`cos`^2 theta over 2 `tan`^2 theta over 4 `} over { `theta`^2 }}]

[eqn: `=`lim _{ ` theta` ->+`0} { `{pi`cos`^2 theta over 2 `tan`^2 theta over 4 `} over { `left( theta over 4 right)^2 ․`16 }}]

[eqn: =` {pi } over {16} ` lim _{` theta ` -> `+0} {} ` {tan` ^{2} ` {theta } over {4}} over {LEFT ( {theta } over {4} RIGHT ) ^{2}} `` lim _{` theta ` -> `+0} {`cos` ^{2} ` {theta } over {2}}]

[eqn: `=` {pi } over {16} `․`1 ^{2} `․`1^2 `=` {pi } over {16}]

21. [출제의도] 조건을 만족시키는 수열을 추론하여 식의 값을 구한다.

[eqn: 2^n]이 [eqn: 1]이 될 때까지 시행이 [eqn: n]번 반복된다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: a_{2^n} =n]

따라서 다음이 성립한다.

[eqn: k]	[eqn: 2^n]	[eqn: 2^n +1]	[eqn: 2^n +2]	[eqn: 2^n +3]
시행	[eqn: 2^n-1]	[eqn: 2^n]	[eqn: 2^n-1 +1]	[eqn: 2^n +2]
	[eqn: 2^n-2]	⋮	[eqn: 2^n-1]	⋮
	⋮		⋮
	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]
[eqn: a_k]	[eqn: n]	[eqn: n+1]	[eqn: n+1]	[eqn: n+2]

따라서 [eqn: S_n = sum _{ k=2^n} ^{2^n +3 } a_k][eqn: = 4n+4]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: S`_50][eqn: =204]

22. [출제의도] 등차수열의 뜻을 이해하여 등차수열의 항을 구한다.

[eqn: a _{1} +a _{4} =a _{2} +a _{3}]이므로 [eqn: 4+a _{4} =17]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{4} =13]

[다른풀이1]

공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a _{2} +a _{3} =17]에서 [eqn: 2a _{1} +3d=17]

[eqn: THEREFORE] [eqn: d=3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{4} =13]

[다른풀이2]

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} =21]이므로 [eqn: 3a _{2} =21]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{2} =7]

[eqn: a _{1} =4], [eqn: a _{2} =7]이므로 공차는 [eqn: 3]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{4} =13]

23. [출제의도] 지수함수의 미분법을 이해하여 접선의 방정식을 구한다.

[eqn: y` prime`=`e^3-x `(3-x) prime`=`-e^3-x `]이므로

(접선의 기울기)[eqn: =`-e^3-3`=`-e^0`=`-1`]

따라서 접선의 방정식은 [eqn: y-1`=`-(x-3)`], [eqn: y`=`-x+4`] 접선의 [eqn: x`]절편과 [eqn: y`]절편은 각각 [eqn: 4`]이므로

구하는 도형의 넓이는 [eqn: 1 over 2 TIMES4 TIMES4`=`8``]이다.

24. [출제의도] 극한의 성질을 이해하여 조건을 만족시키는 다항함수를 구한다.

조건 (가)에서 [eqn: f(x)]는 이차함수임을 알 수 있다.

[eqn: f(x)=ax^2 +bx+c`]로 놓으면

[eqn: lim_x->inf {left{f(x) right}^2 }overx^4 =lim_x->inf {(ax^2 +bx+c)^2 }overx^4 =a^2 =4]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=2] ([eqn: BECAUSE][eqn: a>0])

조건 (나)에서

[eqn: f(x)-x^2 = (2x^2 +bx+c)-x^2]

[eqn: =x^2 +bx+c]

[eqn: =(x-1)(x-c)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{x -> 1} {} {f(x)-x ^{2}} over {x-1} =lim _{x -> 1} {(x-1)(x-c)} over x-1]

[eqn: = 1-c=3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: c=-2], [eqn: b=1]

따라서 [eqn: f(x)=2x^2 +x-2]이므로 [eqn: f(10)=208]

25. [출제의도] 고차부등식과 분수부등식의 풀이 방법을 이해하여 연립부등식의 해를 구한다.

[eqn: ``x(x-2)(x+3)>0`]에서

[eqn: -3<x<0] 또는 [eqn: x>2] [eqn: cdots] ㉠

[eqn: {x-n} over {x+`2} LEQ 0`]에서

[eqn: (x-`n)`(x`+`2) LEQ 0], [eqn: x!= -2`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: -2<x≤n] [eqn: cdots] ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: -2<x<0`] 또는 [eqn: 2<x≤n`]이므로

만족시키는 정수 [eqn: x `]는 [eqn: -1], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], …, [eqn: n`]으로

[eqn: (`n-1`)]개이다.

따라서 [eqn: n -1 = 15]이므로 [eqn: n``=16``]이다.

26. [출제의도] 조건을 만족시키는 수열을 추론하여 항의 값을 구한다.

수열 [eqn: LEFT {a_n RIGHT }]의 각 항을 구하면 다음과 같다.

[eqn: a _{3} =a _{1} `=1], [eqn: a_5 = a_3][eqn: =1], [eqn: a_ 7 = a_ 5][eqn: =1], [eqn: cdots]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a_2n-1 = 1`]

[eqn: a _{4} =a _{2} `+`1=`2], [eqn: a _{6} =a _{4} `+`1=`3], [eqn: a _{8} =a _{6} `+`1=`4], [eqn: cdots]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{2n} =n`]

따라서 [eqn: a_100 + a_101][eqn: = 50 + 1 = 51]이다.

27. [출제의도] 수열의 합 [eqn: S_n `]과 일반항 [eqn: a_n `]의 관계를 이해하여 무한급수의 합을 구한다.

[eqn: S _{n`} = {6n} over {n+1}]에서

[eqn: a_n =S_n -S_n-1]

[eqn: = 6n over n+1 - 6(n-1) over n]

[eqn: = {6n^2 -6(n^2 -1)}over n(n+1)]

[eqn: = 6 over n(n+1)]([eqn: n≥2])

[eqn: a_1 =S_1 = 3]이므로 [eqn: a_n][eqn: = 6 over n(n+1)]([eqn: n≥1])

[eqn: THEREFORE] [eqn: a_n +a_n+1 = 6over{n(n+1)} + 6 over{(n+1)(n+2)}]

[eqn: = 6 LEFT ( 1over n - 1over n+1 RIGHT )+6 LEFT ( 1over n+1 - 1over n+2 RIGHT )]

[eqn: =6 LEFT ( 1over n - 1over n+2 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE] [eqn: sum _{n=1} ^{INF } left(a _{n} +a _{n+1}` right)][eqn: =][eqn: 6 sum _{ n=1} ^{inf } LEFT ( 1over n - 1over n+2 RIGHT )]

[eqn: =6 lim _{ n->inf} sum _{ k=1} ^{n } LEFT ( 1over k - 1over k+2 RIGHT )]

[eqn: =6 lim _{ n->inf} LEFT ( 1+ 1over2 - 1over n+1 - 1over n+2 RIGHT )]

[eqn: = 6 LEFT ( 1+ 1over2 RIGHT ) = 9]

[다른풀이1]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} S _{n} = lim _{n` -> ` INF } {} {6n} over {n+1} =6``]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} S _{n+1} = lim _{n` -> ` INF } {} {6n+6} over {n+2} =6``]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } (`a _{n} ``+a _{n+1} `)`= lim _{n`-> ` INF } {} sum _{k=1} ^{n} (a _{k} +a _{k+1} )]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( ` sum _{k=1} ^{n} a _{k} + sum _{k=1} ^{n} a _{k+1} RIGHT )]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( S _{n} +S _{n+1} -a _{1} RIGHT )]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} S _{n} `+ lim _{n` -> ` INF } {} S _{n+1} `-a _{1} `]

[eqn: =6+6-3=9`] ([eqn: BECAUSE `a _{1} =S _{1} =3])

[다른풀이2]

[eqn: a_n +a_n+1 = LEFT ( S_n -S_n-1 RIGHT )+ LEFT ( S_n+1 -S_n` RIGHT )]

[eqn: =][eqn: S_n+1 -S_n-1]

[eqn: = 6(n+1) over n+2 - {6(n-1) over n]

[eqn: = {6n(n+1)-6(n-1)(n+2)}overn(n+2)]

[eqn: = 12 over n(n+2)]

[eqn: =6 LEFT ( 1over n - 1over n+2 RIGHT )]([eqn: n≥2])

[eqn: a_1 +a_2 = S_2 = 4]이므로

[eqn: a_n +a_n+1][eqn: =6 LEFT ( 1over n - 1over n+2 RIGHT )]([eqn: n≥1])

28. [출제의도] 도형의 성질과 삼각함수의 합성을 이용하여 최댓값을 구한다.

[eqn: ANGLE rmCAB=theta]라 하면 [eqn: 0<theta< {pi} over {2}]이고

[eqn: S _{1} = {1} over {2} ``․`` 5 ``․`` 4sin` theta], [eqn: S _{2} = {1} over {2} ``․`` 3 ``․`` 4cos`theta]

[eqn: S _{1} +S _{2} =10`sin`theta+6`cos`theta]

[eqn: `=root136 `sin LEFT ( theta + alpha RIGHT )]

[eqn: left(`cos alpha= 10over root136], [eqn: sin alpha = 6over root136 `right)]

따라서 [eqn: S ` _{1} +S ` _{2}]의 최댓값은 [eqn: root136]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: M```^2 = 136]

29. [출제의도] 로그함수와 도형의 성질을 이용하여 도형의 넓이를 구한다.

[eqn: log`_2`x^3][eqn: -log`_2`x][eqn: =3log`_2`x][eqn: -log`_2`x]

[eqn: =2log`_2`x]

이므로 두 점 [eqn: \F,``G]는 두 선분 [eqn: \BD,``CE]를 각각 [eqn: 2:1]로 내분하는 점이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: □` \BFGC = 2over3 ×□` BDEC]

[eqn: = 2over3 LEFT ( 8 ×△ \ADB RIGHT )]

[eqn: = 16over3 × 9 over 2]

[eqn: = 24]

30. [출제의도] 주어진 함수의 그래프에서 접선이 곡선보다 위쪽에 놓이도록 하는 접점의 범위를 구한다.

직선 [eqn: y=f`'(t)(x-t)+f(t)]는 곡선 위의 점 [eqn: \P][eqn: (t,``f(t))]에서의 접선이므로 접선이 주어진 곡선의 위쪽에 놓이려면 접점은 곡선이 위로 볼록한 부분의 점이다.

그런데 위로 볼록한 부분에 있는 점에서의 접선 중에는 구간 [eqn: [`0,``2`]`]에서 [eqn: y=f(x)]의 그래프 아래쪽을 지나는 직선이 생길 수 있다.

그러므로 원점에서 그은 접선의 접점과 점 [eqn: (2,``0)]에서 그은 접선의 접점의 [eqn: x]좌표를 조사하면 된다.

[eqn: y=x^2 (x-2)^2`]에서

[eqn: y'=2x(x-2)^2 +2x^2 (x-2)]

[eqn: = 4x(x-1)(x-2)]

점 [eqn: (a,``f(a))]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-a^2 (a-2)^2 =4a(a-1)(a-2)(x-a)]

[eqn: x=0], [eqn: y=0]을 대입하면

[eqn: -a^2 (a-2)^2 =`-4a^2 (a-1)(a-2)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a= 2over3]

한편 곡선 [eqn: y=x^2 (x-2)^2]은 직선 [eqn: x=1`]에 대하여 대칭이므로 점 [eqn: (2,``0)]에서 그은 접선의 접점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: b`]라 하면 [eqn: 2over3 + b=2`]에서 [eqn: b= 4over3]

따라서 주어진 부등식을 만족시키는 실수 [eqn: t]의 값의 범위는 [eqn: 2over3 ≤t≤ 4over3]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: 36pq = 36 ``·``2over3 ``·`` 4over3 = 32]

수리‘나’형 정답

1	②	2	⑤	3	④	4	⑤	5	①
6	③	7	②	8	②	9	④	10	②
11	②	12	①	13	④	14	①	15	③
16	③	17	①	18	⑤	19	③	20	④
21	⑤	22	[eqn: 13]	23	[eqn: 98]	24	[eqn: 70]	25	[eqn: 36]
26	[eqn: 51]	27	[eqn: 9]	28	[eqn: 23]	29	[eqn: 24]	30	[eqn: 462]

해 설

1~3. ‘가’형과 동일

4. [출제의도] 역행렬의 성질을 이해하여 역행렬을 구한다.

[eqn: A ^{-1} = {pmatrix{3&`````1#2&`````1}}]이고 [eqn: LEFT ( {1} over {2} A RIGHT ) ^{-1} =2A ^{-1}]이므로

[eqn: LEFT ( {1} over {2} A RIGHT ) ^{-1} =][eqn: 2` {pmatrix{3&`````1#2&`````1}}][eqn: =][eqn: ` {pmatrix{6&`````2#4&`````2}}]

따라서 구하는 행렬의 모든 성분의 합은 [eqn: 14]이다.

5. [출제의도] 수렴하는 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]과 [eqn: lim _{n-> inf} {a _{n} }`]의 관계를 이용하여 극한값을 구한다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 수렴하므로 [eqn: lim _{n-> inf} {a _{n} =0}``]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{n-> inf} {{2a _{n} -3} over {a _{n} +1}}][eqn: = {2``․``0-3} over {0+1} =-3]

6. [출제의도] 행렬로 나타내어진 연립방정식의 해가 무수히 많을 조건을 구한다.

[eqn: {pmatrix{`1``&`2`#`4``&3`}} LEFT ( pile{``log``x`#`log``y`} RIGHT ) `=k` LEFT ( pile{``log``x`#`log``y`} RIGHT ) `]

⇔ [eqn: {pmatrix{1-k``&```2#4``&``3-k}} LEFT ( pile{log``x#log``y} RIGHT ) =` LEFT ( pile{0#0} RIGHT ) `] [eqn: cdots] ㉠

이므로  ㉠이 [eqn: x=1,`] [eqn: y=1] 이외의 해를 가질 필요충분조건은 행렬 [eqn: {pmatrix{1-k``&```2#4``&``3-k}} `]의 역행렬이 존재하지 않는 것이다.

따라서 [eqn: LEFT ( 1-k RIGHT ) LEFT ( 3-k RIGHT ) -2`·``4=0`]에서 [eqn: k ^{2} -4k-5=0]

[eqn: (k-5)(k+1)=0], [eqn: k=5] 또는 [eqn: k=-1]

따라서 구하는 모든 실수 [eqn: k`]의 값의 합은 [eqn: 4`]이다.

7. [출제의도] 지수방정식의 풀이 방법을 이해하여 두 양의 실근을 가질 조건을 구한다.

[eqn: 5 ^{x} =t`]로 치환하면 주어진 방정식은

[eqn: t ^{2} -5t+k=0`] [eqn: cdots] ㉠

[eqn: x>0`]이면 [eqn: t>1`]이므로 주어진 방정식이 서로 다른 두 양의 실근을 가지려면 ㉠이 [eqn: 1]보다 큰 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.

[eqn: f(t)=t ^{2} -5t+k`]라 놓으면 [eqn: y=f(t)`]의 그래프는 다음과 같아야 한다.

[eqn: f(1)=1-5+k>0`] [eqn: cdots] ㉡

(판별식)[eqn: =][eqn: 25-4k>0`] [eqn: cdots] ㉢

㉡, ㉢에서 [eqn: 4<k< {25} over {4} `], [eqn: k=5,``6]

따라서 구하는 정수 [eqn: k`]의 개수는 [eqn: 2`]이다.

8. [출제의도] 등차중항의 뜻을 이해하여 로그방정식의 해를 구한다.

세 수 [eqn: 1], [eqn: {log _{`2} LEFT ( 2 ` ^{x} +1 RIGHT )}], [eqn: {`log` _{2} ` LEFT ( 4 ` ^{x} -1 RIGHT )}]이 이 순서대로 등차수열을 이루므로

[eqn: 2`log` _{2} ` LEFT ( 2 ` ^{x} +1 RIGHT ) `=1+`log` _{2} ` LEFT ( 4 ` ^{x} -1` RIGHT ) `]

[eqn: LEFT ( 2 ` ^{x} +1 RIGHT ) ^{2} =2` LEFT ( 4 ` ^{x} -1 RIGHT ) `]

[eqn: 4` ^{x} -2``․``2 ` ^{x} -3=0`]

[eqn: LEFT ( 2 ` ^{x} -3 RIGHT ) LEFT ( 2 ` ^{x} +1 RIGHT ) =0`]

[eqn: 2 ` ^{x} `=3 ``LEFT ( BECAUSE ```2 `^{x} >0 RIGHT ) `]

[eqn: THEREFORE] [eqn: alpha =log` _{2} `3`]

그런데 [eqn: log` _{2} `2 <log _{2} `3<log` _{2} `4`]이므로

[eqn: THEREFORE] [eqn: 1< alpha <2]

9. [출제의도] 계차수열의 뜻을 이해하여 두 항의 차를 구한다.

[eqn: a_n+1 -a_n =b_n]으로 놓으면

[eqn: a_10 -a_7 = LEFT ( a_10 -a_9 RIGHT )+ LEFT ( a_9 -a_8 RIGHT )+ LEFT ( a_8 -a_7 RIGHT )]

[eqn: =b_9 +b_8 +b_7]

[eqn: =LEFT ( 2^4 +9 RIGHT )+ LEFT ( 2^3 +8 RIGHT )+ LEFT ( 2^2 + 7 RIGHT )]

[eqn: = 52]

10~14. ‘가’형과 동일

15. [출제의도] [eqn: sum`]의 성질을 이용하여 [eqn: sum`]로 나타내어진 방정식의 해를 구한다.

[eqn: sum _{ k=0} ^{n } (`x-k`)`^2 = sum _{ k=1} ^{n }(`x+k`)`^2]에서

[eqn: x^2 +][eqn: sum _{ k=1} ^{n } (`x-k`)`^2 = sum _{ k=1} ^{n }(`x+k`)`^2]

[eqn: x^2 +][eqn: sum _{ k=1} ^{n } left{(`x-k`)`^2 -(`x+k`)`^2 right} =0]

[eqn: x^2][eqn: -sum _{ k=1} ^{n } 4kx =0], [eqn: x^2][eqn: -4x`sum _{ k=1} ^{n } k =0]

[eqn: x^2 -4x ``․`][eqn: `n(n+1) over2][eqn: =0]

[eqn: x!=0]이므로 [eqn: x][eqn: =2n(n+1)][eqn: =a_n]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a_10 = 20``․``11=220]

16. [출제의도] 지수와 로그의 성질을 이해하여 명제의 참ㆍ거짓을 판정한다.

ㄱ. [eqn: b= {1} over {2} `]이면 [eqn: 2 `^{a} =5 ^{{1} over {2}}]에서 [eqn: a=log` _{2} ` sqrt {5} ``=log` _{4} ``5] (참)

ㄴ. [eqn: 2 ` ^{a} =5 `^{b} `]에서 [eqn: 2 ^{{a} over {b}} =5`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: {a} over {b} =log _{`2} `5`]

그런데 [eqn: log _{`2} `4<log _{`2} `5<log _{`2} `8`]에서 [eqn: 2<log _{`2} `5<3`]이므     로 [eqn: 2< {a} over {b} <3``] (참)

ㄷ. (반례) [eqn: 2 ` ^{a} =5 ` ^{b} =10]으로 놓으면

[eqn: 2=10 ^{{1} over {a}} `], [eqn: 5=10 ^{{1} over {b}} `]에서 [eqn: {1} over {a} =log` _{} `2`], [eqn: {1} over {b} =log` _{} ``5`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: {1} over {a} + {1} over {b} =log` _{} `2+log _{} ``5][eqn: =log` _{} `10=1] (유리수) (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[다른풀이]

ㄴ. [eqn: 2 ` ^{a} =5 ` ^{b} `]의 양변에 상용로그를 취하면

[eqn: a`log``2=b`log``5`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: {a} over {b} = {log``5} over {log``2} =log` _{2} `5]

[참고]

[eqn: 2` ^{a} =5 `^{b} =k``` LEFT ( k>1 RIGHT )]로 놓으면

[eqn: 2= k^{1over a}`], [eqn: 5= k^{1over b}`]에서

[eqn: 1over a = log`_k`2`], [eqn: 1over b = log`_k`5`]

[eqn: {1} over {a} + {1} over {b} =log` _{k} `2+log` _{k} `5][eqn: =log`_k`10]

이므로 [eqn: k = 10^{n over m}`](단, [eqn: m`], [eqn: n`]은 자연수)일 때

[eqn: {1} over {a} + {1} over {b}]은 유리수이다.

17~18. ‘가’형과 동일

19. [출제의도] 도형의 넓이를 나타내는 수열을 구한 후 부분분수로 변형하여 무한급수의 합을 구한다.

네 직선 [eqn: x=1`], [eqn: x=n+1], [eqn: y=x`], [eqn: y=2x`]로 둘러싸인 사각형은 그림과 같이 평행한 두 변의 길이가 각각 [eqn: 1], [eqn: (n+1)`]이고, 높이가 [eqn: n`]인 사다리꼴이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: S _{n} = {n(n+2) over {2} `]

[eqn: THEREFORE] [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {S _{n}} `= sum _{n=1} ^{INF } {2} over {n(n+2)}]

[eqn: = lim _{ n->inf} { } sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+2} RIGHT ) }]

[eqn: = lim _{n`-> INF } left({1+ {1} over {2} - {1} over {n+1}} - {1} over {n+2}right)]

[eqn: = 3over2]

20. [출제의도] 상용로그의 지표의 성질을 이용하여 조건을 만족시키는 자연수의 개수를 구한다.

[eqn: LEFT [ `log` _{3} `n` RIGHT ] =3`]에서 [eqn: 3 ^{3} ` LEQ `n`<3 ^{4} `]이므로

[eqn: LEFT [ log`2n RIGHT ] =1`] 또는 [eqn: LEFT [ `log`2n RIGHT ] =2`]이다.

(ⅰ) [eqn: LEFT [ log`2n RIGHT ] =1`]일 때 즉, [eqn: 27` LEQ `n`<50`]일 때

(나)에서 [eqn: LEFT [ `2`log`n RIGHT ] =3]이므로

[eqn: 3` LEQ `2`log`n<4], [eqn: {3} over {2} ` LEQ `log`n<2]

∴ [eqn: log`10 sqrt {10} ` LEQ `log`n`<log`100], [eqn: 10 sqrt {10} LEQ n<100]

따라서 주어진 조건을 만족시키는 [eqn: n`]은

[eqn: 32` LEQ `n<50`]이므로 자연수 [eqn: n`]의 개수는 [eqn: 18`]이다.

(ⅱ) [eqn: LEFT [ `log`2n RIGHT ] =2`]일 때 즉, [eqn: 50` LEQ`n`<81`]일 때

(나)에서 [eqn: LEFT [ `2`log`n RIGHT ] =4`]이므로

[eqn: 4` LEQ `2`log`n<5`], [eqn: 2` LEQ `log``n< {5} over {2}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: log`100` LEQ `log`n`<log`100 sqrt {10} `], [eqn: 100 LEQ n<100 sqrt {10}]

따라서 만족시키는 [eqn: n`]의 값은 존재하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 자연수 [eqn: n`]의 개수는 [eqn: 18`]이다.

[다른풀이]

[eqn: LEFT [ `log` _{3} `n` RIGHT ] =3`]에서 [eqn: 27 LEQ `n`<81`] …  ㉠

㉠에서 [eqn: 27 LEQ `n`<32`]일 때, [eqn: n ^{2} `]은 세 자리의 정수이므로 [eqn: LEFT [ `log`n ^{2} ` RIGHT ] =2``]이다.

[eqn: 32` LEQ `n`<81`]일 때, [eqn: n ^{2} `]은 네 자리의 정수이므로

[eqn: LEFT [ `log`n ^{2} ` RIGHT ] =3``]이다.

또, [eqn: 27 LEQ `n`<50`]일 때, [eqn: 2n`]은 두 자리의 정수이므로

[eqn: LEFT [ `log``2n` RIGHT ] =1``]이다.

[eqn: 50 LEQ `n`<81`]일 때, [eqn: 2n`]은 세 자리의 정수이므로

[eqn: LEFT [ `log``2n` RIGHT ] =2``]이다.

위에서 (나)를 만족시키는 [eqn: n`]의 값의 범위는

[eqn: 32` LEQ `n`<`50``]이다.

따라서 구하는 자연수 [eqn: n`]의 개수는 [eqn: 18``]이다.

21~22. ‘가’형과 동일

23. [출제의도] 지수법칙을 이해하여 식의 값을 구한다.

[eqn: LEFT ( a ^{{1} over {2}} +a ^{- {1} over {2}} RIGHT ) ^{2} =a+2+a ^{-1}]이므로

[eqn: a+a ^{-1} =][eqn: LEFT ( a ^{{1} over {2}} +a ^{- {1} over {2}} RIGHT ) ^{2} -2]

[eqn: =100-2=98]

24. [출제의도] 로그의 성질을 이해하여 로그함수의 그래프를 평행이동시킨 그래프의 식을 구한다.

[eqn: y=log _{`3} ` LEFT ( {x} over {9} `-1 RIGHT ) `]

[eqn: `=log _{`3} ` x-9 over9]

[eqn: =log_3 (x-9)-log_3 `9]

[eqn: =log_3 (x-9)-2]

이므로 함수 [eqn: y=log _{`3} ` LEFT ( x over {9} -1 RIGHT ) `]의 그래프는 함수

[eqn: y=log _{`3} `x`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 9`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -2`]만큼 평행이동시킨 것이다.

따라서 [eqn: m=9`], [eqn: n=-2`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 10(m+n)=70]

25. [출제의도] 그래프의 연결 관계를 나타내는 행렬의 뜻을 이해하여 그래프의 변의 개수를 구한다.

조건에 따라 행렬 [eqn: P``]를 구하면 다음과 같다.

[eqn: P```= {pmatrix{``0&``1&``0&``1``&0`#``1&``0&``1&``0``&1`#``0&``1&``0&1&0`#``1&``0&``1&``0``&1`#``0&``1&``0&1&0`}} ``]

그래프 [eqn: G`]의 모든 변의 개수는 행렬 [eqn: P``]의 모든 성분의 합의 [eqn: 1over2]과 같으므로 [eqn: m= {1} over {2} ``․``12=6`]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: m ^{2} =36]

26~27. ‘가’형과 동일

28. [출제의도] 수렴하는 수열에 대한 극한의 성질을 이해하여 극한값을 구한다.

[eqn: c_{it n}=2a_n -5b_n`]이라 하면  [eqn: b _{it n} = {1} over {5} LEFT ( `2a _{n} -`c _{n`} ` RIGHT ) `]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {c _{n}} = 3]이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {} {c _{n}} over {a _{n}} =`0]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {2a` _{n} +`3b` _{n}} over {a` _{n} +`b` _{n}} `][eqn: = lim _{n -> INF } {} {2a` _{n} +`3`·` {1} over {5} LEFT ( `2a _{n} -`c _{n`} ` RIGHT ) `} over {a` _{n} +` {1} over {5} LEFT ( `2a _{n} -`c _{n`} ` RIGHT ) `} `]

[eqn: =` lim _{n -> INF } {} {16a` _{n} `-3c _{n}} over {7a` _{n} -c _{n} `} `]

[eqn: =` lim _{n -> INF } {} {16`-3``·`` {c _{n}} over {a _{n}}} over {7- {c _{n}} over {a _{n}} `} `]

[eqn: = {16} over {7}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: `p`+`q`=7`+`16`=`23]

[다른풀이]

[eqn: lim_n->inf (2a_n -5b_n )=3`]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} a_n LEFT ( 2-5`` ·``{b _{n}} over {a _{n}} RIGHT ) =3]에서

[eqn: lim_n->inf `a`_n`][eqn: =inf] 이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT ( 2-5` `·``{b _{n}} over {a _{n}} RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim_n->inf b_n overa_n = 2over5]

[eqn: lim_n->inf {2a_n +3b_n}over{a_n +b_n} = lim_n->inf {2+3 ``‧``b_n overa_n }over{1+ b_n overa_n }]

[eqn: ={2+3``․`` 2over5}over{1+ 2over5}= 16over7]

[eqn: THEREFORE] [eqn: `p`+`q``=7`+`16``=`23]

29. ‘가’형과 동일

30. [출제의도] 조건을 만족시키는 수열을 추론하여 항의 값을 구한다.

점 [eqn: {\P}_n`], [eqn: {\Q}_n]의 좌표는 다음과 같다.

[eqn: \P_1 (0,``0)], [eqn: \Q_1 (1,``1)]

[eqn: \P_2 (0,``2)], [eqn: \Q_2 (2,``4)]

[eqn: \P_3 (1,``5)], [eqn: \Q_3 (4,``8)]

[eqn: \P_4 (3,``9)], [eqn: \Q_4 (7,``13)]

[eqn: \P_5 (6,``14)], [eqn: \Q_5 (11,``19)]

[eqn: \P_6 (10,``20)], [eqn: \Q_6 ( 16,``26)]

[eqn: vdots]

수열 [eqn: LEFT {a_n RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 1], 계차수열이 [eqn: left{n right}`]인

수열이므로 [eqn: a_21 = 1+ sum _{ k=1} ^{ 20} k = 1+ {20``․``21}over2 = 211]

수열 [eqn: LEFT {b_n RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 1], 계차수열이 [eqn: left{n+2 right}`]인 수열이므로

[eqn: b_21 = 1+ sum _{ k=1} ^{ 20} (k+2) = 1+ {20``․``21}over2 +2``․``20= 251]

∴ [eqn: a_21 +b_21 = 211+251 = 462]

[다른풀이]

[eqn: \P_1 (0,``0)]으로부터 [eqn: \Q_1 (1,``1)]이므로 [eqn: a _{1} =1,`] [eqn: b _{1} =1`]

[eqn: rm Q it ` _{n} `]의 좌표 [eqn: (`a` _{n} `,```b` _{n} )]으로부터

[eqn: rm P it ` _{n+1}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( a _{n} -1,```b _{n} +1 RIGHT ) `]

[eqn: rm Q it ` _{n+1} `]의 좌표는 [eqn: LEFT ( a _{n} -1+ LEFT ( n+1 RIGHT ) ,```b _{n} +1+ LEFT ( n+1 RIGHT ) RIGHT ) `]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{n+1} =a _{n} +n,] [eqn: b _{n+1} =b _{n} +n+2`]

[eqn: a _{n+1} +b _{n+1}][eqn: =a _{n} +b _{n} +2n+2`]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} +b _{n} RIGHT } `]은 첫째항이 [eqn: a _{1} +b _{1} =2`],

계차수열이 [eqn: LEFT { 2n+2 RIGHT } `]인 수열이므로

[eqn: a _{21} +b _{21} `][eqn: =2+ sum _{k=1} ^{20} (2k+2)]

[eqn: =`2`+2` CDOT ` {20``․``21} over {2} +2``·``20``][eqn: =462`]