Do your best ♥ Be the best ★★                                            수학연구소/數/理/院/

수학연구소 /數/理/院/

수능기출

년도	1993년 11월 16일 (2차)
대상	고3 공통 A형

1994학년도 수능 2차《공통》

[eqn: sin`theta + cos`theta = 1 over 3]일 때, [eqn: 1 over {cos`theta} LEFT( tan`theta + 1 over {tan^2 `theta} RIGHT)]의 값

은?

정답 ④

[eqn: sin theta +cos theta = {1} over {3}]에서 양변을 제곱하면,

[eqn: sin ^{2} theta +2sin theta cos theta +cos ^{2} theta = {1} over {9}]

[eqn: RARROW ````1+2sin theta cos theta = {1} over {9}] [eqn: RARROW ````sin theta cos theta =- {4} over {9}]

[eqn: {1} over {cos theta } LEFT ( tan theta + {1} over {tan ^{2} theta } RIGHT )][eqn: = {1} over {cos theta } LEFT ( {sin theta } over {cos theta } + {cos ^{2} theta } over {sin ^{2} theta } RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( {sin theta } over {cos ^{2} theta } + {cos theta } over {sin ^{2} theta } RIGHT )][eqn: = LEFT ( {sin ^{3} theta +cos ^{3} theta } over {cos ^{2} theta sin ^{2} theta } RIGHT )]

[eqn: = {(sin theta +cos theta )(sin ^{2} theta -sin theta cos theta +cos ^{2} theta )} over {sin ^{2} theta cos ^{2} theta }]

[eqn: = {1 over 3 left{ 1-left( - 4 over 9 right) right}} over{ left( - 4 over 9 right)^2 }][eqn: = 39 over 16]

[1994학년도 수능 2차]

①　[eqn: 45 over 16]	②　[eqn: 43 over 16]	③　[eqn: 41 over 16]

④　[eqn: 39 over 16]	⑤　[eqn: 37 over 16]

서로 다른 두 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 [eqn: alpha+beta =1]일

때, [eqn: lim from { x` -> `inf } {root{x+alpha^2} - root{x+beta^2}} over {root{4x+alpha} - root{4x+beta}}]의 값은?

정답 ③

[eqn: lim _{n -> INF } {{sqrt {x+ alpha ^{2}} - sqrt {x+ beta ^{2}}} over {sqrt {4x+ alpha } - sqrt {4x+ beta }}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} LEFT ( {sqrt {x+ alpha ^{2}} - sqrt {x+ beta ^{2}}} over {sqrt {4x+ alpha } - sqrt {4x+ beta }} TIMES {sqrt {x+ alpha ^{2}} + sqrt {x+ beta ^{2}}} over {sqrt {4x+ alpha } + sqrt {4x+ beta }} TIMES RIGHT .]	[eqn: LEFT. {sqrt {4x+ alpha } + sqrt {4x+ beta }} over {sqrt {x+ alpha ^{2}} + sqrt {x+ beta ^{2}}} RIGHT )]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {( alpha ^{2} - beta ^{2} ``)( sqrt {4x+ alpha } + sqrt {4x+ beta } )} over {( alpha - beta )( sqrt {x+ alpha ^{2}} + sqrt {x+ beta ^{2}} )}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} LEFT { ( alpha + beta ``) {LEFT ( sqrt {4+ {alpha } over {x}} + sqrt {4+ {beta } over {x}} `` RIGHT )} over {LEFT ( sqrt {1+ {alpha ^{2}} over {x}} + sqrt {1+ {beta ^{2}} over {x}} `` RIGHT )} RIGHT }][eqn: = 1․(2+2) over 1+1 = 2]

[1994학년도 수능 2차]

①　[eqn: 1]	②　[eqn: 1 over 2]	③　[eqn: 2]

④　[eqn: 1 over 4]	⑤　[eqn: 4]

오른쪽 그림은 [eqn: y=f``(x)]의

그래프이다. 함수 [eqn: g`(x)]를

[eqn: g`(x) = INT _{ x}^{ x+1} f``(t)dt]라 할 때,

[eqn: g`(x)]의 최소값은?

정답 ②

문제의 주어진 그림에서

[eqn: f``(x)=a(x-1)(x-4)]

[eqn: =a(x ^{2} -5x+4)~(a>0)]

[eqn: g``(x)= int_x ^ x+1 f``(t) dt ``]

위의 주어진 양변을 [eqn: x``]에 관하여 미분하면

[eqn: g``'(x) = f``(x+1 )- f``(x)]

[eqn: = a left{ (x+1)^2 - 5(x+1) + 4 right} - a``(x^2 - 5x +4 )]

[eqn: =2a (x-2)]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: x<2]에서 [eqn: g``'(x)<0 ,]

[eqn: x>2]에서 [eqn: g``'(x)>0]

따라서, [eqn: g``(x)]는 [eqn: x=2]에서 극소이고 최소이므로

최소값은 [eqn: g``(2)]

[1994학년도 수능 2차]

①　[eqn: g`(1)]	②　[eqn: g`(2)]	③　[eqn: g` LEFT( 5 over 2 RIGHT)]

④　[eqn: g` LEFT( 7 over 2 RIGHT)]	⑤　[eqn: g`(4)]

첫째 항이 [eqn: m], 공차가 [eqn: 1]인 등차수열의 첫째 항부터

제 [eqn: n]항까지의 합이 [eqn: 50]일 때, [eqn: m+n]의 값은?

정답 ①

[eqn: n``]째 항까지의 합을 [eqn: S_n `]이라 하면

[eqn: S_n ={ n `left{ 2m + (n-1)․1 right}} over 2][eqn: = 50][eqn: = 2․ 5^2]

[eqn: THEREFORE ```n(2m+n-1)=2 ^{2} ․5 ^{2}]

[eqn: n``]은 자연수이므로 [eqn: 2^2 ․5^2 ``]의 약수이고,

[eqn: m<= 10 ``]이므로 [eqn: 2m+n-1 <= 20``` CDOTS CDOTS ```①]

①을 만족하는 자연수 [eqn: n``]은 [eqn: n= 5]

그러므로 [eqn: 2m+ n-1 = 20]에서 [eqn: m= 8]

[eqn: THEREFORE ```m+n=13]

(단, [eqn: m≦10]인 자연수)

[1994학년도 수능 2차]

①　[eqn: 13]	②　[eqn: 14]	③　[eqn: 15]

④　[eqn: 16]	⑤　[eqn: 17]

무한등비급수 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf r^n]이 수렴할 때, 다음 중 반드시

수렴한다고 할 수 없는 것은?

정답 ⑤

[eqn: sum_n=1 ^inf r^n]이 수렴하므로, [eqn: |`r`|<1``` CDOTS CDOTS ```㈎]

따라서, [eqn: |`r ^{2} ``|<1,```|`-r`|<1]이므로

[eqn: sum_n=1 ^inf r^n ,] [eqn: sum_n=1 ^inf r^2n ,] [eqn: sum_n=1 ^inf (- r) ^n]은 모두 수렴한다.

즉, ①, ②, ③은 수렴한다.

④ : ㈎에서 [eqn: -1<r`<1] [eqn: ` RARROW ```-2<r-1`<0]

[eqn: RARROW ```-1< {r-1} over {2} <0]이므로

[eqn: sum_n=1 ^inf left( r-1 over 2 right)^n ``]은 수렴한다.

⑤ : [eqn: - 1 over 2 < r over 2 < 1 over 2] [eqn: RARROW ```- {3} over {2} < {r} over {2} -1<- {1} over {2}]

[eqn: sum_n=1 ^inf left( r over 2 -1 right)^n ``]은 수렴하지 않는다.

[1994학년도 수능 2차]

① [eqn: SUM from { { n}=1} to inf (r^n +r^2n `)]	② [eqn: SUM from { { n}=1} to inf (r^n -2r^2n `)]

③ [eqn: SUM from { { n}=1} to inf {r^n +(-r)^n} over 2]	④ [eqn: SUM from { { n}=1} to inf LEFT( r-1 over 2 RIGHT)^n]

⑤ [eqn: SUM from { { n}=1} to inf LEFT( r over 2 -1 RIGHT)^n]

직선 [eqn: y=3x+2]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: k]만큼 평행이동

시킨 직선이 포물선 [eqn: y^2 =4x]에 접할 때, [eqn: k]의 값은?

정답 ①

[eqn: y^2 = 4 x``]에 접하고 기울기가 [eqn: 3]인 접선의 방정식을

[eqn: y = 3x+ a ``]라 하고, [eqn: x = y^2 over 4]을 대입하면

[eqn: y=3․ {y ^{2}} over {4} +a] [eqn: RARROW ```3y ^{2} -4y+4a=0]에서

[eqn: D over 4 = 4 - 12a `` =0]  [eqn: THEREFORE ```a= {1} over {3}]

즉, 접선의 방정식은 [eqn: y=3x+ {1} over {3} ``` CDOTS CDOTS ```①]

[eqn: y = 3x + 2]를 [eqn: x``]축의 방향으로 [eqn: k``]만큼 평행 이동시키면,

[eqn: y = 3(x-k)+2][eqn: =3x-3k+2``` CDOTS CDOTS ```②]

①, ②에서 [eqn: - 3k +2 = 1 over 3]

[eqn: THEREFORE ```k= {5} over {9}]

[1994학년도 수능 2차]

①　[eqn: 5 over 9]	②　[eqn: 4 over 9]	③　[eqn: 2 over 9]

④　[eqn: 2 over 3]	⑤　[eqn: 1 over 3]

실수 전체의 집합의 부분집합 [eqn: A]가 다음 조건을

만족시킨다.

[eqn: x∈A]이면 [eqn: 1 over 2 x`∈A]이다.

다음 중 항상 옳은 것은?

정답 ②

① [eqn: sqrt 2 in A ``]이면 [eqn: sqrt 2 over 2 in A ``]

그러나 [eqn: 0 not in A ``]임은 알 수 없다.

② ｢[eqn: 2in`A `]이면 [eqn: 1 IN A,``` {1} over {2} IN A,``` {1} over {4} IN A,``` CDOTS]이므로

[eqn: A``]는 무한집합이다.｣인 명제의 대우를 취하면

집합 [eqn: A``]가 유한집합이면 [eqn: 2 not in A``]이다.  <참>

③ 주어진 조건 [eqn: x IN A]이면 [eqn: {1} over {2} x IN A]에서

[eqn: x!=0]이면 [eqn: A]는 무한집합이지만 [eqn: 0 notIN A]이다.

④ [eqn: x = 1 over 2]이면 [eqn: left( 1 over 2 right)^n in A ``]([eqn: n``]은 자연수)

[eqn: y = 1 over 2]이면[eqn: left( 1 over 2 right)^m in A ``]([eqn: m``]은 자연수)

[eqn: THEREFORE ```x+y=1` notIN A]이다.

⑤ [eqn: x = 1 over 3]이면 [eqn: 1 over 3 left( 1 over 2 right)^n in A ``]([eqn: n``]은 자연수)

[eqn: y = 1 over 5]이면 [eqn: 1 over 5 left( 1 over 2 right)^m in A ``]([eqn: m``]은 자연수)

[eqn: THEREFORE ```xy= {1} over {15} notIN A]

[1994학년도 수능 2차]

①　[eqn: root 2 ∈A]이면 [eqn: 0∉A]이다.

②　[eqn: A]가 유한집합이면 [eqn: 2∉A]이다.

③　[eqn: A]가 무한집합이면 [eqn: 0∈A]이다.

④　[eqn: x`∈A]이고 [eqn: y`∈A]이면 [eqn: x+y`∈A]이다.

⑤　[eqn: x`∈A]이고 [eqn: y`∈A]이면 [eqn: xy`∈A]이다.

자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a]를 [eqn: b]로 나눈 나머지를

[eqn: a``◇b]라 하자. 예를 들면, [eqn: 1993◇5=3]이다.

다음 중 옳지 않은 것은?

정답 ⑤

① [eqn: 2^4n = (2^4 )^n][eqn: = (1+15)^n ``]

[eqn: =` _{n} C _{0} + _{n} C _{1} 15+ _{n} C _{2} 15 ^{2} + CDOTS + _{n} C _{n} 15 ^{n}]

[eqn: =1+ LEFT { ` _{n} C _{1} 15+ _{n} C _{2} 15 ^{2} + CDOTS + _{n} C _{n} 15 ^{n} RIGHT }]

[eqn: ` _{n} C _{1} 15+ _{n} C _{2} 15 ^{2} + CDOTS + _{n} C _{n} 15 ^{n}]은 [eqn: 5]의 배수이므로,

[eqn: 2^4n ◊5 =1]

② [eqn: n``]이 자연수일 때, [eqn: 2^2n ``]은 [eqn: 5]의 배수가 될 수 없으므

로 [eqn: 2^n ◊5 !=0]

③ [eqn: 2^n]을 [eqn: 5]로 나누었을 때 몫이 [eqn: a``,] 나머지가 [eqn: b``,]

[eqn: 2^m ``]을 [eqn: 5]로 나누었을 때 몫이 [eqn: c``,] 나머지가 [eqn: d``]라고

하면 [eqn: 2^n = 5a +b``,] [eqn: 2^m = 5c + d ``]

([eqn: a,```b,```c,```d]는 정수 [eqn: 0 <= b,```d <= 4])

[eqn: 2^m+n = 2^m ․ 2^n][eqn: = (5a+b)(5c+d `)]

[eqn: = 5(5ac + ad + bc `)+ bd ``]이므로

[eqn: 2^m+n ◊5][eqn: =b`d`` ◊5]

[eqn: left{ 2^m `(2^n ◊5) right}◊5][eqn: = left{ 2^m `․b right}◊5][eqn: = left{ (5c+d ``)․b right}◊5]

[eqn: =b`d`` ◊5]

[eqn: THEREFORE ```2 ^{m+n} ◊5= LEFT { 2 ^{m} `(2 ^{n} ◊5) RIGHT } ◊5]

④ 위 ③과 같이 하면

[eqn: left{ (2^m ◊5) `(2^n ◊5) right}◊5 = bd `◊5]

∴ [eqn: 2^m+n ◊5 = left{ (2^m ◊5) `(2^n ◊5) right}◊5]

⑤ 위와 같이 하면

(좌변)[eqn: =(2^m +2^n `) ◊5][eqn: = ( b+d )` ◊5]

(우변)[eqn: = ( 2^m ◊5 )` + (2^n ◊5)][eqn: = b+d ``]

즉, [eqn: (b+d) ◊5 `= b+d ``]가 성립한다고 볼 수 없다.

[1994학년도 수능 2차]

①　모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2^4n ◇5=1]이다.

②　모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2^n ◇5≠0]이다.

③　모든 자연수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여

[eqn: 2 ^{m+n} ◇5= LEFT { 2 ^{m} (2 ^{n} ◇5) RIGHT } ◇5]이다.

④　모든 자연수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여

[eqn: 2 ^{m+n} ◇5= LEFT { (2 ^{m} ◇5)(2 ^{n} ◇5) RIGHT } ◇5]이다.

⑤　모든 자연수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여

[eqn: ( 2^m + 2^n )◇5= (2^m ◇5)+ (2^n ◇5)]이다.

[eqn: A]가 [eqn: 2]차 정사각행렬일 때, <보기>에서 참인 명제

를 모두 고른 것은? (단, [eqn: E]는 [eqn: 2]차 단위행렬이다.)

정답 ①

Ⅰ. [eqn: A^3 = A^5 = E ``]이면 [eqn: E = A^5 = A^3 ․A^2 = A^3 ``]

[eqn: Rarrow~∴A^2 = E ``]

[eqn: E = A^3 = A^2 ․A =EA ``][eqn: Rarrow ~ A= E ``]<참>

Ⅱ. [eqn: A^3 + A^2 + A + E = O ``]

양변에 [eqn: (A-E ``)]을 곱하면

[eqn: (A-E``)(A^3 + A^2 + A + E``) = O ``][eqn: Rarrow ~A^4 - E = O ``][eqn: ∴ A^4 = E ``]

즉, [eqn: (A^4 )^-1 = E ``]  [eqn: ∴ (A^-1 )^4 = E ``]

그러므로 [eqn: A^-1 ``]도 존재한다 <참>

Ⅲ. [eqn: A^k = A^m = A^n = E ``]

[eqn: k=2,```m=4,```n=8]일 때 [eqn: A= -E ``]일 수 있다.<거짓>

[1994학년도 수능 2차]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: A^3 =A^5 =E]이면 [eqn: A=E]이다. ㄴ. [eqn: A^3 +A^2 +A+E=O]이면 [eqn: A]는 역행렬을 갖는 다. ㄷ. [eqn: A^k = A^m = A^n =E]를 만족시키는 서로 다른 자연수 [eqn: k], [eqn: m], [eqn: n]이 존재하면 [eqn: A=E]이다.

①　ㄱ, ㄴ	②　ㄱ, ㄷ	③　ㄴ, ㄷ

④　ㄱ	⑤　ㄷ

그림과 같은 정육면체를 평면으로

자른 단면의 모양은 <보기> 중 몇

가지가 될 수 있는가?

정답 ⑤

삼각형

직사각형

마름모

오각형

육각형

위의 [eqn: 5]가지 모양이 모두 생긴다.

[1994학년도 수능 2차]

	[ 보 기 ]
∙ 삼각형 ∙ 정사각형이 아닌 직사각형 ∙ 정사각형이 아닌 마름모 ∙ 오각형 ∙ 육각형

①　[eqn: 1]가지	②　[eqn: 2]가지	③　[eqn: 3]가지

④　[eqn: 4]가지	⑤　[eqn: 5]가지

오른쪽 그림에 나타나는

수를 크기 순으로 나열하여 다음

과 같은 수열을 만들었다.

[eqn: 1,```2,```3,```11,```12,```13,]

[eqn: 21,```22,```23,```31,```32,```33,]

[eqn: 111,```112,```113,```121,``` CDOTS]

이 수열의 제[eqn: 200]항은?

정답 ②

한 자리수는 [eqn: 3]개, 두 자리 수는 [eqn: 3^2 ``]개

즉, [eqn: n``]자리의 수는 [eqn: 3^n``]개

[eqn: 3^n <= 200 ``]에서 [eqn: 3 ^{4} =81<200<3 ^{5} =343]이므로 [eqn: n<= 4 ``]

[eqn: sum_k=1 ^4 3^k ``][eqn: ={ 3(3^k -1)} over 3-1 = 120]

따라서, 제 [eqn: 200]항은 [eqn: n=5],

즉 [eqn: 5]자리의 수로서 [eqn: 80]번째 수이다.

[eqn: 5]자리의 수 중 첫째 자리의 숫자가 [eqn: 1]인 것이 [eqn: 3^4 = 81]개

이고, 이 수는 [eqn: 13333]

[eqn: THEREFORE ```80]번째 수는 [eqn: 13332]

[1994학년도 수능 2차]

①　[eqn: 13323]

②　[eqn: 13332]

③　[eqn: 21111]

④　[eqn: 21113]

⑤　[eqn: 21122]

[eqn: a]와 [eqn: b]는 서로 다른 두 정수이고 다항식 [eqn: f``(x)]는

다음 두 성질 [eqn: (A)]와 [eqn: (B)]를 갖는다.

[eqn: (A)] [eqn: f``(x)]의 모든 계수는 정수이다.

[eqn: (B)] [eqn: f``(a)`f``(b)=-(a-b)^2]

다음 증명은 위의 성질과 사실 [eqn: (C)]를 이용하여 [eqn: {f``(a)} over {a-b}]

가 정수임을 보인 것이다.

[eqn: (C)] 정수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 이차방정식 [eqn: x^2 +mx+n=0]

의 근이 유리수이면 이 근은 정수이다.

	[ 증 명 ]
자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a^n -b^n]은 [eqn: a-b]로 나누어 떨어지므로 ㉠ [eqn: (A)]에 의하여 [eqn: f``(a)-f``(b)]는 [eqn: a-b]로 나누어 떨어진다. 따라서, [eqn: {f``(a)-f``(b)} over a-b]는 정수이다. [eqn: {f``(a)} over a-b]와 [eqn: {-f``(b)} over a-b]를 두 근으로 하는 이차방정식 은 근과 계수와의 관계와 ㉡ [eqn: (B)]에 의하여 [eqn: x^2 - LEFT( {f``(a)-f``(b)} over a-b RIGHT) `x+1=0]이다. [eqn: {f``(a)} over a-b]는 ㉢ [eqn: (A)]에 의하여 유리수이고 [eqn: {f``(a)-f``(b)} over a-b]는 정수이므로, ㉣ [eqn: (C)]에 의하여 [eqn: {f``(a)} over a-b]는 정수이다.

위의 증명 과정에서 밑줄 친 부분 중 [eqn: (A)], [eqn: (B)], [eqn: (C)]를 잘못 이용한 곳은?

정답 ⑤

[eqn: f``(x)=a _{0} `x ^{n} +a _{1} `x ^{n-1} +a _{2} `x ^{n-2} + CDOTS +a _{n} ``]이라고 하면,

[eqn: f``(a)- f``(b)][eqn: =a _{0} (a ^{n} -b ^{n} )+a _{1} (a ^{n-1} -b ^{n-1} ) CDOTS +a _{n-1} (a-b`)]

Ⅰ) 에 의하여 [eqn: a _{0} ,```a _{1} ,```a _{2} ,``` CDOTS ,```a _{n}]이 모두 정수이므로,

[eqn: f``(a) - f``(b)]는 [eqn: a-b ``]로 나누어 떨어진다.

즉, ㈎는 옳다.

또, [eqn: {f``(a)} over a-b ``]와[eqn: {- f``(b)} over a-b ``]를 두 근으로 하는 이차방정식

은 근과 계수와의 관계에 의하여

[eqn: x^2 - left( {f``(a) - f``(b)} over a-b right) x + {f``(a)} over a-b ․{- f``(b)} over a-b =0]

그런데 Ⅱ) 에서 [eqn: f``(a) f``(b) = -(a-b)^2 ``]이므로

[eqn: x^2 - left( {f``(a) - f``(b)} over a-b right) x + 1 =0]이다.

즉, ㈏도 옳다.

또 Ⅰ)에 의하여 [eqn: f``(a)]가 정수이고 [eqn: a-b ``]도 정수이므

로 [eqn: {f``(a)} over a-b ``]는 유리수이다.

즉, ㈐도 옳다.

또 Ⅲ)에 의하여 [eqn: {f``(a) - f``(b)} over a-b]와 [eqn: 1]이 정수이므로,

한 근인 [eqn: {f``(a)} over a-b ``]는 정수이다.  즉, ㈑도 옳다.

[1994학년도 수능 2차]

①　㉠	②　㉡	③　㉢

④　㉣	⑤　없다.

부등식 [eqn: |`log_2 `a - log_2 `10`|+log_2 `b≦1]을 만족시키는

두 자연수 [eqn: a,```b]의 순서쌍 [eqn: (a,```b)]의 개수는?

정답 ②

[eqn: |log_2 `a - log_2 10 `|+ log_2 `b <=1]

[eqn: left| log_2 `{a over 10} `right|<=1 - log_2 `b][eqn: = log_2 {2 over b }]

[eqn: - log _2 {2 over b }<= log_2 a over 10 <= log _2 2 over b]

[eqn: log _2 {b over 2 }<= log_2 a over 10 <= log _2 2 over b] [eqn: RARROW ``` {b} over {2} <= {a} over {10} <= {2} over {b} `]

[eqn: ∴ 5b<= a , ab <=20 `]

[eqn: 5b^2 <= ab ,]  즉, [eqn: 5b^2 <= 20] [eqn: RARROW ```b ^{2} <= 4]

[eqn: b``]는 자연수이므로 [eqn: b=1] 또는 [eqn: b=2]

[eqn: b=1]이면 [eqn: 5<= a<=20]  [eqn: THEREFORE ```a]는 [eqn: 16]개

[eqn: b=2]이면 [eqn: 10 <=a<=10]  [eqn: THEREFORE ```a]는 [eqn: 1]개

따라서 순서쌍 [eqn: (a,```b)]는 [eqn: 17]개

[1994학년도 수능 2차]

①　[eqn: 15]	②　[eqn: 17]	③　[eqn: 19]

④　[eqn: 21]	⑤　[eqn: 23]

모든 실수 [eqn: x,```y]에 대하여 행렬의 곱

[eqn: {pmatrix{x&&y}} {pmatrix{a&&b#b&&a}} {pmatrix{x#y}}]의 성분이 음이 아닐 때, [eqn: a^2 +(b-2)^2]

의 최소값은?

정답 ③

[eqn: {pmatrix{x&&y}} {pmatrix{a&&b#b&&a}} {pmatrix{x#y}}][eqn: = pmatrix{a`x+by `````b`x+a`y `}pmatrix{x`#y`}]

[eqn: =(ax+by)x+(bx+ay)y][eqn: =a`x ^{2} +2b`x`y+a`y ^{2}]

[eqn: a`x^2 + 2b`x`y + a`y^2 ``>=0]이 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여

성립하므로 [eqn: D over 4 = b^2 `y^2 - a^2 `y^2 <=0]

[eqn: THEREFORE ```(b ^{2} -a ^{2} `)y ^{2} <= 0]

이것이 모든 실수 [eqn: y``]에 대하여 성립할 조건은

[eqn: y^2 >=0]이므로 [eqn: b^2 - a^2 <=0] [eqn: RARROW ```b ^{2} <= a ^{2}]

[eqn: ∴ a^2 + (b-2)^2 >= b^2 + (b-2)^2][eqn: = 2(b-1)^2 + 2 >=2]

따라서, [eqn: a^2 + (b-2)^2]의 최소값은 [eqn: 2]이다.

[1994학년도 수능 2차]

①　[eqn: 1]	②　[eqn: 1 over 2]	③　[eqn: 2]

④　[eqn: 1 over 4]	⑤　[eqn: 4]

실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: t^2 =x^3 -x]를 만족시키는 실수

[eqn: t]의 개수를 [eqn: f``(x)]라 하자. 함수 [eqn: y=f``(x)]의 그래프

개형은?

정답 ④

[eqn: t^2 = x^3 - x ``]에서 [eqn: t = +- sqrt {x^3 - x `}]

ⅰ) [eqn: x(x^2 -1 ) >0 `]일 때, [eqn: f``(x) =2]

즉, [eqn: x(x-1)(x+1)>0]에서

[eqn: -1<x<0,```x>1]일 때, [eqn: f``(x)=2]

ⅱ) [eqn: x(x^2 -1 ) =0 `]일 때, [eqn: f``(x)=1]

즉, [eqn: x=-1,```0,```1]일 때, [eqn: f``(x)=1]

ⅲ) [eqn: x(x^2 -1 ) <0 `]일 때, [eqn: f``(x)=0]

즉, [eqn: x PREC -1,```0<x<1`]일 때, [eqn: f``(x)=0]

[1994학년도 수능 2차]

①	②

[eqn: x``]

[eqn: y``]

[eqn: 1``]

[eqn: 1``]

[eqn: 2``]

[eqn: -1`]

[eqn: rmO``]

[eqn: x``]

[eqn: y``]

[eqn: 1``]

[eqn: 1``]

[eqn: 2``]

[eqn: -1`]

[eqn: rmO``]

③	④

[eqn: x``]

[eqn: y``]

[eqn: 1``]

[eqn: 1``]

[eqn: 2``]

[eqn: -1`]

[eqn: rmO``]

[eqn: x``]

[eqn: y``]

[eqn: 1``]

[eqn: 1``]

[eqn: 2``]

[eqn: -1`]

[eqn: rmO``]

⑤

[eqn: x``]

[eqn: y``]

[eqn: 1``]

[eqn: 1``]

[eqn: 2``]

[eqn: -1`]

[eqn: rmO``]

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 양의 실수일 때, 다음 연립부등식

[eqn: cases {ax^2 -bx+c＜0 # cx^2 -bx+a＜0}]  의 해가 존재하기 위한 필요충분조건

은?

정답 ②

[eqn: a,```b,```c>0]일 때,

[eqn: cases{ax^2 -bx+c<0 #cx^2 - bx + a<0}]에서 두 식을 합하여 정리하면

[eqn: (a+c)x ^{2} -2bx+(c+a)<0``` CDOTS CDOTS ```㈎]

[eqn: a+c >0]이므로 부등식 ㈎의 해가 존재하려면

[eqn: D over 4 = b^2 - (a+c)^2 >0] [eqn: RARROW ```(b+a+c)(b-a-c`)>0]에서

[eqn: a+b+c>0 ``]이므로 [eqn: b -a-c>0 ``][eqn: RARROW ```b>a+c]

[1994학년도 수능 2차]

①　[eqn: a+c＜ b over 2]	②　[eqn: a+c＜b]	③　[eqn: a+c＜2b]

④　[eqn: a+c＜1]	⑤　[eqn: a+c＜2]

함수 [eqn: f``(x)=4x^2 -4x+1 `(0≦x≦1)]에 대하여,

[eqn: y=f``(x)]와 [eqn: y=f``(f``(x))]의 그래프 개형은 각각 다음과

같다.

이 때 집합 [eqn: LEFT { x`|`f``(f``(f``(x)))=x,~0 <= x <= 1 RIGHT }]의 원소의

개수는?

정답 ③

주어진 그래프는 다음과 같다.

위 그래프들을 이용하여 [eqn: y = f``(f``(f``(x`)))] 그래프를

그리면 다음 그림과 같다.

[eqn: y=x``]와 [eqn: 8]번 만나므로 원소의 개수는 [eqn: 8]개다.

[별해]

[eqn: (f``(f``(x))) = x ``]의 해를 [eqn: a,```b,```c,```d]라고 하면

[eqn: f``(f`(a)) = a ``]

[eqn: f``(a`)]인 [eqn: a]가 [eqn: 2]개, [eqn: f``(b`)]인 [eqn: b]가 [eqn: 2]개

[eqn: f``(c`)]인 [eqn: c]가 [eqn: 2]개, [eqn: f``(d`)]인 [eqn: d]가 [eqn: 2]개

[eqn: THEREFORE ```8개]

[1994학년도 수능 2차]

①　[eqn: 16]	②　[eqn: 12]	③　[eqn: 8]

④　[eqn: 6]	⑤　[eqn: 5]

어떤 의사가 암에 걸린 사람을 암에 걸렸다고

진단할 확률은 [eqn: 98%]이고, 암에 걸리지 않은 사람을

암에 걸리지 않았다고 진단할 확률은 [eqn: 92%]라고 한다.

이 의사가 실제로 암에 걸린 사람 [eqn: 400]명과 실제로 암에

걸리지 않은 사람 [eqn: 600]명을 진찰하여 암에 걸렸는지

아닌지를 진단하였다. 이들 [eqn: 1000]명 중 임의로 한 사람

을 택했을 때, 그 사람이 암에 걸렸다고 진단받은 사람

일 확률은?

정답 ④

택한 한사람이 암에 걸린 사람이고, 이 사람이 암에

걸렸다고 진단받을 사건을 [eqn: A``]라 하면,

[eqn: P(A`)= 400 over 1000 × 98 over 100][eqn: = 392 over 1000]

택한 한 사람이 암에 걸리지 않은 사람이고, 이 사람이

암에 걸렸다고 진단 받을 사건을 [eqn: B``]라 하면,

[eqn: P(B`) = 600 over 1000 ×left( 1- 92 over 100 right)][eqn: = 48 over 1000]

구하는 확률은 [eqn: P(A∪B `)]이고, [eqn: A,```B]는 배반사건이므로

[eqn: P(A∪B `) = 392 over 1000 + 48 over 1000][eqn: = 440 over 1000][eqn: = 44 over 100]

따라서, [eqn: 44%]이다.

[1994학년도 수능 2차]

①　[eqn: 39.2%]	②　[eqn: 40.0%]	③　[eqn: 40.8%]

④　[eqn: 44.0%]	⑤　[eqn: 44.8%]

높이 [eqn: 1`m]인 담장이

반지름의 길이가 [eqn: 5`m]인

원 모양의 땅을 둘러싸고

있다. 광원이 원의 중심

[eqn: rmO]에서 [eqn: 2`m]되는 지점에

수직으로 [eqn: 6`m]되는 위치에

있을 때, 이 광원에 의하

여 생긴 담장의 그림자의

넓이는?

정답 ①

광원에서 땅에 내린 수선의 발을 [eqn: H``]라 하고,

[eqn: barOH ``]에 수직되게 앞에서 본 단면의 모양은 아래와

같다.

담장의 그림자의 넓이는 같은 높이의 광원에 대하여

일정하므로, [eqn: H``]를 [eqn: O``]에 겹치게 이동하였을 때의

넓이와 같다.

[eqn: THEREFORE ``` pi TIMES 6 ^{2} - pi TIMES 5 ^{2} =11 pi ``(m ^{2} )]

[1994학년도 수능 2차]

① [eqn: 11 pi `m^2]	② [eqn: 14 pi `m^2]	③ [eqn: 17 pi `m^2]

④ [eqn: 20 pi `m^2]	⑤ [eqn: 24 pi `m^2]

고속 열차가 출발하여 [eqn: 3`km]를 달리는 동안은

시각 [eqn: t]분에서의 속력이 [eqn: v`(t)= {3} over {4} t ^{2} + {1} over {2} t][eqn: (km]/분)이고

그 이후로는 속력이 일정하다.

출발 후 [eqn: 5]분 동안 이 열차가 달린 거리는?

정답 ③

[eqn: 3km]를 달리는 시간을 [eqn: t``]분이라 하면,

[eqn: 3 = int_0 ^t left( 3 over 4 t^2 + 1 over 2 t right) dt `][eqn: = left[ t^3 over 4 + t^2 over 4 right]_0 ^t ``][eqn: = t^3 over 4 + t^2 over 4]

[eqn: THEREFORE ```t` ^{3} +t` ^{2} =12][eqn: RARROW ```t` ^{3} +t` ^{2} -12=0]

[eqn: (t-2)(t^2 + 3t +6 ) =0]에서

[eqn: t`^2 +3t +6`>0 `]이므로 [eqn: t =2]

따라서, [eqn: 2]분 후에 [eqn: 3km]를 가고 [eqn: 2]분 후의 속도는

[eqn: v(2) = 3 over 4 × 2^2 + 1 over 2 × 2][eqn: = 3+1 =4]

따라서, [eqn: 5]분까지는 [eqn: 3]분을 더 가야 하므로

[eqn: 3+ 4×3 = 15 (km `)]

[1994학년도 수능 2차]

①　[eqn: 17`km]	②　[eqn: 16`km]	③　[eqn: 15`km]

④　[eqn: 14`km]	⑤　[eqn: 13`km]

정답과 해설