나 형	수리 영역

	수리 영역	나 형

나    형

제 2 교시

1

성명

수험 번호

8

대전광역시교육청 주관

2011학년도 대학수학능력시험 11월 모의평가 문제지

수리 영역

[eqn: root {3} of {27}+log _{`3} sqrt {81}]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 행렬 [eqn: A= pmatrix{`3&````1`#`2&````1`} `], [eqn: B`=` {pmatrix{`-1`````&2`#-2`````&3`}} `]에 대하여 행렬 [eqn: A ^{-1} B`]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: lim _{n -> INF } {``` {2n+1} over {sqrt {n ^{2} +1} +n}}]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: 4^x =2^y `]을 만족하는 [eqn: 0`]이 아닌 두 실수 [eqn: x,``y`]에 대하여, [eqn: y over x + 2x over y `]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수의 합이 [eqn: 4`]이하일 확률은? [3점]

① [eqn: 1over12]	② [eqn: 1over6]	③ [eqn: 1over4]	④ [eqn: 1over3]	⑤ [eqn: {1} over {2} `]

[eqn: 1,~2,~3,~4,~5,~6]의 숫자가 하나씩 적힌 [eqn: 6`]개의 주머니에 각각 [eqn: 6`]개의 공이 들어 있다. 각 주머니에 들어 있는 흰 공의 개수는 주머니에 적힌 숫자와 같다. [eqn: 6`]개의 주머니 중에서 임의로 하나를 택하여 한 개의 공을 꺼낸다. 꺼낸 공이 흰 공일 때, 이 공이 짝수가 적힌 주머니에서 나왔을 확률은? [3점]

① [eqn: 5over14]	② [eqn: 3over7]	③ [eqn: 1over2]	④ [eqn: 4over7]	⑤ [eqn: 9over14]

집합 [eqn: A="{"1,~2,~3,~4"}"]에서 [eqn: A]로의 함수 [eqn: f] 중에서, [eqn: f(1)<f(2) <= f(3)]을 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는? [3점]

① [eqn: 40]	② [eqn: 44`]	③ [eqn: 48`]	④ [eqn: 52`]	⑤ [eqn: 56`]

확률변수 [eqn: X]의 평균과 분산은 각각 [eqn: 10,``16`]이다. 두 실수 [eqn: a,``b`]에 대하여 확률변수 [eqn: Y=aX+b`]의 평균과 분산이 각각 [eqn: 9,``4`]일 때, [eqn: ab`]의 값은? (단, [eqn: a>0`]) [3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

[eqn: z]	[eqn: rm P it(0≦Z≦z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413`]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332`]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772`]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938`]

숫자가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 10]장의 카드가 있다. 이 [eqn: 10`]장의 카드 중 적혀 있는 숫자가 [eqn: 2,``3,``5`]인 카드는 각각 두 장, 세 장, 다섯 장이다. [eqn: 10]장의 카드 중에서 임의로 [eqn: 3]장의 카드를 뽑아 숫자를 확인한 후 다시 섞는다. 이 시행을 [eqn: 448]번 하였을 때, 세 카드에 쓰여 있는 숫자의 합이 [eqn: 9]이하인 횟수를 확률변수 [eqn: X`]라 하자. [eqn: X`]가 [eqn: 49]이상 [eqn: 70]이하가 될 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4점]

① [eqn: 0.6826`]	② [eqn: 0.7745`]	③  [eqn: 0.8185]

④ [eqn: 0.8351`]	⑤ [eqn: 0.9270`]

[eqn: 2009]년도 어느 나라의 이산화탄소 배출량은 [eqn: 6]억 톤이었다.    이 나라에서는 이산화탄소 배출로 인해 발생하는 지구 온난화 현상을 개선하기 위해 매년 전년도보다 [eqn: 5%`]씩 이산화탄소 배출량을 감소시키는 정책을 [eqn: 2010]년부터 추진하고 있다. 이 정책이 계획대로 추진된다고 할 때, 이산화탄소 배출량이 처음으로 [eqn: 4`]억 톤 이하가 되는 시기는? (단, 측정 주기는 [eqn: 1`]년이고, [eqn: log`2=0.`301,`][eqn: `log`3=0.477,``log`9.5`=0.`978`]로 계산한다.)                                                         [3점]

① [eqn: 2014]년～[eqn: 2016]년	② [eqn: 2017]년～[eqn: 2019]년	③ [eqn: 2020]년～[eqn: 2022]년	④ [eqn: 2023]년～[eqn: 2025]년	⑤ [eqn: 2026]년～[eqn: 2028]년

행렬로 나타낸 [eqn: x,``y`]에 대한 연립방정식                                    [eqn: pmatrix{a``&```1#6`&```a} pmatrix{``x`#y} = pmatrix{`3````````````0`#`0`````-2`} pmatrix{``x`#y} `]                       가 [eqn: x=0,``y=0```]이외의 해를 갖도록 하는 모든 [eqn: a`]값의 곱은?                                                             [3점]

① [eqn: -20`]	② [eqn: -18`]	③ [eqn: -16]	④ [eqn: -14`]	⑤ [eqn: -12`]

다음은 [eqn: 3]이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식 [eqn: sum _{i=1} ^{n-1} {n} over {(n-i)`2 ^{i-1}} `<4]가 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

(가)

<증명>

자연수 [eqn: n(n>=3)]에 대하여 [eqn: S _{n} = sum _{i=1} ^{n-1} {n} over {(n-i)`2 ^{i-1}}] 이라 하자.

(1) [eqn: n=3]일 때,  [eqn: S _{3} =3`<4`]이므로 성립한다.

(2) [eqn: n=k(k >= 3)`]일 때, [eqn: S _{k} <4`]가 성립한다고 가정하자.

[eqn: n=k+1]일 때,

[eqn: S _{k+1} ```=`` sum _{i=1} ^{k} LEFT ( {k+1} over {k+1-i} TIMES {1} over {2 ^{`i-1}} RIGHT ) `]

[eqn: = {k+1} over {k} + {1} over {2} LEFT ( {k} over {k-1} + {k} over {k-2} TIMES {1} over {2} + CDOTS + {k} over {2 ^{k-2}} RIGHT )]

[eqn: +~~~~~~~~`````````` TIMES LEFT ( {k} over {k-1} + {k} over {k-2} TIMES {1} over {2} + CDOTS + {k} over {2 ^{k-2}} RIGHT )]

[eqn: =1+ {1} over {k} +~~~~~~~~````````` TIMES S _{k}]

(나)

그런데, [eqn: k >= 3,``S _{k} <4] 이므로

[eqn: S _{k+1} =1+ {1} over {k} +~~~~~`````````````````````` TIMES S _{k} <4] 이다.

(나)

그러므로 (1), (2)에 의하여 [eqn: 3`]이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 부등식이 성립한다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식의 합을 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) `]의 값은? [4점]

① [eqn: {2} over {3} `]	② [eqn: {3} over {4} `]	③ [eqn: {4} over {5} `]	④ [eqn: {5} over {6} `]	⑤ [eqn: {6} over {7} `]

이차정사각행렬 [eqn: A,``B,``C``]가                                         [eqn: AB ^{2} C``=AB``=` pmatrix{````````3&````-2`#`-4&```````````3`} ,```C`BA``=` pmatrix{```````1&````-2`#`-1&``````````3}]           을 만족할 때, 행렬 [eqn: B`]의 모든 성분의 합은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

빨간색 공 [eqn: 1`]개, 노란색 공 [eqn: 2`]개, 파란색 공 [eqn: 3`]개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 색깔을 확인한 후, 그 공을 주머니에 다시 넣는다. 이 시행을 [eqn: 6`]번 할 때, 빨간색 공 [eqn: 1`]번, 노란색 공 [eqn: 2`]번, 파란색 공 [eqn: 3`]번이 뽑힐 확률은? (단, 모든 공의 크기와 모양은 같다.) [4점]

① [eqn: 1over12]	② [eqn: {1} over {9}]	③ [eqn: {5} over {36}]	④ [eqn: {1} over {6}]	⑤ [eqn: {7} over {36}]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: sqrt {2}]인 정육각형이 있다.       이 정육각형의 한 변을 [eqn: 1:3]과 [eqn: 3:1]로 내분하는 두 점을 대각선의 양 끝점으로 하는 정사각형을 각 변에 만들어 얻은 그림을 [eqn: R_{ 1}]이라 하자. 그림 [eqn: R_{ 1}]의 정사각형들의 꼭짓점 중에서 정육각형의 내부에 있는 꼭짓점들을 연결하여 정육각형을 만들고, 이 정육각형의 한 변을 [eqn: 1:3]과 [eqn: 3:1]로 내분하는 두 점을 대각선의 양 끝점으로 하는 정사각형을 각 변에 만들어 얻은 그림을 [eqn: R_{ 2}]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번 째 얻은 그림 [eqn: R_{ n}]의 모든 정사각형의 둘레의 길이의 합을 [eqn: l _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {l _{n}}]의 값은? [4점]

[eqn: sqrt {2}]
정육각형	[eqn: R _{1}]
[eqn: R _{2}]	[eqn: R _{3}]

[eqn: BULLET BULLET BULLET `]

① [eqn: {48(5+2 sqrt {3} )} over {13}]	② [eqn: {28(2+3 sqrt {3} )} over {15}]	③ [eqn: {18(1+2 sqrt {3} )} over {11}]

④ [eqn: {6(3+2 sqrt {3} )} over {11}]	⑤ [eqn: {4(1+3 sqrt {3} )} over {13}]

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=a ^{`x}`]과 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `=log _{`b} `x`]의 교점의 개수를 [eqn: k`]라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?              (단, [eqn: a != 1,``a>0,``b != 1,``b>0])  [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a= {1} over {2} ,```b=2]이면, [eqn: k=1]이다. ㄴ. [eqn: a=b=root2 `]이면, [eqn: k=2]이다. ㄷ. [eqn: ab>2]이면, [eqn: k=2`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 [eqn: rm A_1 (1,``0)], [eqn: rm A_2 (-1,``0)], [eqn: rm A_3 (2,``0)`], [eqn: rm A_4 (-2,``0)`], [eqn: cdots `]에 대하여 [eqn: rm bar{OA_1}`]을 지름으로 하는 반원을 [eqn: C_1`], [eqn: rm bar {A_1 A_2 }`]를 지름으로 하는 반원을 [eqn: C_2], [eqn: rm bar {A_2 A_3} `]를 지름으로 하는 반원을 [eqn: C_3 `]라 하자.                                                                                   이와 같은 방법으로 만든 반원 [eqn: C_k ```(k=1,``2,``3,``cdots)`]의 호의 길이를 [eqn: l_k `]라 하자. [eqn: sum from k=1 to n ``l_k = 189pi``]를 만족시키는 [eqn: n`]에 대하여, [eqn: rm A_{it n} `]의 좌표가 [eqn: (a,``0)`]일 때, [eqn: a+50`]의 값은? [4점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

[eqn: -2]

[eqn: cdot]

[eqn: cdot]

[eqn: cdot]

[eqn: cdot]

[eqn: rm A_1]

[eqn: rm A_3]

[eqn: rm A_2]

[eqn: rm A_4]

[eqn: C_1]

[eqn: C_2]

[eqn: C_3]

[eqn: C_4]

① [eqn: 27]	② [eqn: 33]	③ [eqn: 39]	④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 69]

단 답 형

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: a _{3} =2,~a _{6} =17`]을 만족시킬 때, [eqn: a_8 `]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: left( x^2 + 1 over x right)^5]의 전개식에서 [eqn: x^4]의 계수를 구하시오. [3점]

[eqn: (log _{3} `x) ^{2} -12`=``log _{3} `x ^{4}]을 만족하는 두 근을 [eqn: alpha ,`` beta]라 할 때, [eqn: alpha beta]의 값을 구하시오. [3점]

연속확률변수 [eqn: X`]가 갖는 값의 범위가 [eqn: 0 <= X <= 2`]이고, 확률밀도함수의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: k]

[eqn: 2]

[eqn: rm P(it a <= X <= b)= 1 over 2 `]일 때, [eqn: k`]의 값은 [eqn: k= q over p `]이다. [eqn: p^2 +q^2 `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,``q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{n} = sum _{r=0} ^{n} ` _{n} ` rm C _{it `r rm} `3 ^{` it r rm} 2 ^{` it n-r rm} `]이다. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {3 ^{n} -2 ^{n}} over {a _{n}} = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,``q]는 서로소인 자연수이다.) [3점]

그림과 같이 원점 [eqn: rm O]에서 두 점 [eqn: rm A( sqrt {3} ,``0),`` rm B LEFT ( 0,``1 RIGHT )]을 이은 선분 [eqn: rmAB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm P _{1}]이라 하자. 점 [eqn: rm P _{1}]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q _{1}], 점 [eqn: rm Q _{1}]을 지나고 선분 [eqn: rmAB`]와 평행한 직선의 [eqn: y]절편을 [eqn: rm R _{1}], 점 [eqn: rm R _{1}]에서 선분 [eqn: rmAB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm P _{2}]라 하자. 점 [eqn: rm P _{2}]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q _{2}], 점 [eqn: rm Q _{2}]를 지나고 선분 [eqn: rmAB`]와 평행한 직선의 [eqn: y]절편을 [eqn: rm R _{2}], 점 [eqn: rm R _{2}]에서 선분 [eqn: rmAB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm P _{3}]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 점 [eqn: rm Q _{it n` rm} ,``R _{it n _{rm } rm} ,``P _{it n+1 rm}]을 정하여 나갈 때, 점 [eqn: rm Q _{itn}]의 [eqn: x]좌표 [eqn: x _{n}]에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {``x _{n} =a`}]이다. [eqn: 100a ^{2`}]의 값을 구하시오. [4점]

∙

[eqn: rm O]

∙

∙

∙

[eqn: rm B`]

[eqn: rm A`]

[eqn: 1]

[eqn: root 3]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm P_1]

[eqn: rm R_1]

[eqn: rm P_2]

∙

∙

∙

∙

[eqn: rm Q_2]

[eqn: rm Q_1]

[eqn: log`x]의 지표와 가수를 각각 [eqn: f(x),``g(x)`]라 하자. 실수 [eqn: M`]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: 10 <= M<100`]

(나) [eqn: f LEFT ( M ^{`2} RIGHT ) =`f LEFT ( M `RIGHT ) +1`]

(다) [eqn: g LEFT ( M ^{2} RIGHT ) =1-g LEFT ( M `RIGHT ) `]

[eqn: 36`log`M`]의 값을 구하시오. [4점]

[그림 [eqn: 1]]은 길이가 [eqn: 1 rm m]인 철근 [eqn: 4`]개를 가지고 철근의 끝점과 끝점을 용접하여 만든 조형물이다.                              [그림 [eqn: 2]]는 길이가 [eqn: 1 rm m]인 철근 [eqn: 13`]개를 가지고 철근의 끝점과 끝점을 용접하여 만든 조형물이다.

			[eqn: cdot cdot cdot]
[그림 [eqn: 1]]	[그림 [eqn: 2]]	[그림 [eqn: 3]]

이와 같이 길이가 [eqn: 1 rm m]인 철근의 끝점과 끝점을 용접하여 만든 [eqn: n`]번째 조형물에 사용된 [eqn: 1 rm m]인 모든 철근의 수를 [eqn: a _{n} `], 용접한 모든 지점의 수를 [eqn: b _{n} `]이라 하자. 예를 들어, [eqn: a _{2} =13,``b _{2} =10`]이다. 이때, [eqn: lim from {n`rarrow`inf} {a_2n +b_2n} over a_n `]의 값을 구하시오. [4점]

5 지 선 다 형

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]에서 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합 [eqn: S_n `]이

[eqn: it S _{n} =5(2 ^{n} -1)`````(n=1,``2,``3,`` CDOTS )~]

을 만족시킬 때, [eqn: a _{7}]의 값은? [3점]

① [eqn: 315`]	② [eqn: 320]	③ [eqn: 325`]	④ [eqn: 330`]	⑤ [eqn: 335`]

[eqn: z]	[eqn: rm`P`it(0 <= Z <= z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413`]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332`]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772`]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938`]

어느 회사에서 생산하는 비누의 무게는 평균이 [eqn: 250]g, 표준편차가 [eqn: 20]g인 정규분포를 따른다. 이 회사 비누 중에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출하여 조사한 비누 무게의 표본평균을 [eqn: bar {X`}]라 할 때,  [eqn: rm P it LEFT ( `242 <= bar{X`} <= 258` RIGHT ) <= 0.9544]를 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최댓값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 36]	④ [eqn: 49]	⑤ [eqn: 64]

역행렬을 가지는 두 이차정사각행렬 [eqn: A,```B`]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬 이다.) [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: ABA=E`]이면 [eqn: AB=BA `]이다. ㄴ. [eqn: A ^{-1} +B ^{-1} =E`]이면 [eqn: AB`=BA`]이다. ㄷ. [eqn: AB=BA`]이면 [eqn: A^-1 (B+B^-1 )A=B+B^-1 `]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ	④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이

[eqn: cases{a _{1} =a _{2} =1&#a _{n+2} = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} a _{n} a _{n+1}&``(단,```n=1,``2,``3,`` CDOTS )}]          을 만족시킬 때, [eqn: sum _{k=1} ^{2011} a _{k}]의 값은? [4점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

단 답 형

[eqn: 1,``2,``3,``4,``5,``6] 여섯 개의 숫자를 한 번씩만 사용하여 두 개의 세 자리 자연수를 만들고, 이 두 자연수의 합을 구한다고 한다.  이때, 두 자연수의 합이 [eqn: 500`]보다 작은 경우의 수를 구하시오.  (단, [eqn: 124+365], [eqn: 164+325`]와 같이 두 자연수의 합의 결과가 같으면 한 가지로 센다.) [4점]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: 3]

[eqn: 6]

[eqn: 5]

[eqn: 4]

[eqn: 8]

[eqn: 9]

[eqn: bold +]

* 확인 사항

◦  답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.