• 수학 영역 •

수학‘가’형 정답

1	③	2	③	3	⑤	4	④	5	②
6	③	7	①	8	②	9	⑤	10	③
11	②	12	⑤	13	④	14	①	15	④
16	①	17	④	18	①	19	②	20	⑤
21	④	22	[eqn: 12]	23	[eqn: 11]	24	[eqn: 27]	25	[eqn: 9]
26	[eqn: 546]	27	[eqn: 64]	28	[eqn: 5]	29	[eqn: 51]	30	[eqn: 36]

해 설

1. [출제의도] 조합의 수를 계산한다.

[eqn: {}_{7}rm C_{2}][eqn: ={7times6}over{2}]
[eqn: =21]

2. [출제의도] 삼각함수의 미분계수를 계산한다.

[eqn: f(x)=x+2`sin`x`]에서

[eqn: f`'(x)=1+2`cos`x]이므로

[eqn: f` prime LEFT ( {pi } over {3} RIGHT )][eqn: =1+2`cos` {pi } over {3}]
[eqn: =1+2times { 1} over {2 }]
[eqn: =2]

3. [출제의도] 무리수 [eqn: e]의 정의를 이용하여 극한값을 계산한다.

[eqn: lim_{x`rarrow`0}left(1+2x right)^{{1}over{x}}][eqn: =lim_{x `rarrow` 0}left{ (1+2x)^{{1}over{2x}}right}^{2}]
[eqn: =e ^{2}]

4. [출제의도] 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 삼각함수의 함숫값을 계산한다.

[eqn: tan ^2 theta = (-3)^2 =9]이고

[eqn: 1+tan ^{2} ` theta =sec ^{2} ` theta]이므로

[eqn: sec ^2 `theta][eqn: = 1 + 9]
[eqn: =10]

5. [출제의도] 지수함수의 극한값을 구한다.

[eqn: lim _{x` -> `0} {} {f(x)} over {x}][eqn: = lim _{x` -> `0} {} {e ^{x} -e ^{it -x}} over {x}]
[eqn: = lim _{x` -> `0} {} {e ^{x} -1+1-e ^{it -x}} over {x}]
[eqn: = lim _{x` -> `0} {} LEFT ( {e ^{x} -1} over {x} + {e ^{it -x} -1} over {it -x} RIGHT )]

이때 [eqn: lim _{x` -> `0} {} {e ^{x} -1} over {x} `][eqn: =1], [eqn: lim _{x` -> `0} {} {e ^{it -x} -1} over {it -x} `][eqn: =1]이므로

[eqn: lim_{x `rarrow`0}{f(x)}over{x}][eqn: =1+1]
[eqn: =2]

6. [출제의도] 중복순열을 이용하여 경우의 수를 구한다.

백의 자리에 올 수 있는 수의 개수는 [eqn: 4]이고, 십의 자리와 일의 자리에 올 수 있는 수의 개수는

[eqn: {}_{5} SMALLPROD _{2} =5 ^{2} =25]이므로

곱의 법칙에 의하여 구하는 경우의 수는

[eqn: 4 TIMES 25=100]

7. [출제의도] 치환적분을 이용하여 정적분의 값을 구한다.

[eqn: x ^{2} -1=t`]로 놓으면 [eqn: 2x {dx} over {dt} =1]이고,

[eqn: x=1]일 때 [eqn: t=0]이고,

[eqn: x=2]일 때 [eqn: t=3]이므로

[eqn: int _{1} ^{2} {x sqrt {x ^{2} -1}} `dx][eqn: = {1} over {2} int _{0} ^{3} {sqrt {t}} `dt]
[eqn: = {1} over {2} LEFT [ {2} over {3} t sqrt {t} RIGHT ] _{0}^{3}]
[eqn: = {1} over {2} LEFT ( 2 sqrt {3} -0 RIGHT )]
[eqn: = sqrt {3}]

8. [출제의도] 지수함수를 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

[eqn: a>0]에서 [eqn: 0<2 ^{- {2} over {a}} <1]이므로

[eqn: 1-2 ^{- {2} over {a}} >0]이다.

[eqn: {Q`(4)} over {Q`(2)}][eqn: = {Q _{0} LEFT ( 1-2 ^{- {4} over {a}} RIGHT )} over {Q _{0} LEFT ( 1-2 ^{- {2} over {a}} RIGHT )}]
[eqn: = {1- LEFT ( 2 ^{- {2} over {a}} RIGHT ) ^{2}} over {1-2 ^{- {2} over {a}}}]
[eqn: = {LEFT ( 1-2 ^{- {2} over {a}} RIGHT ) LEFT ( 1+2 ^{- {2} over {a}} RIGHT )} over {1-2 ^{- {2} over {a}}}]
[eqn: =1+2 ^{- {2} over {a}}]

[eqn: {Q`(4)} over {Q`(2)}][eqn: = {3} over {2}]에서

[eqn: 1+2 ^{- {2} over {a}} = {3} over {2}]

[eqn: 2 ^{- {2} over {a}} = {1} over {2} =2 ^{-1}]

[eqn: - {2} over {a} =it-1]에서

[eqn: a=2]

[다른 풀이]
[eqn: {Q`(4)} over {Q`(2)}][eqn: = {3} over {2}]에서 [eqn: 2Q(4)=3Q(2)`]

[eqn: 2Q _{0} LEFT ( 1-2 ^{- {4} over {a}} RIGHT ) =3Q _{0} LEFT ( 1-2 ^{- {2} over {a}} RIGHT )]

[eqn: 2 ^{- {2} over {a}} =t`]로 놓으면 [eqn: a>0]이므로 [eqn: 0<t<1]이다.

[eqn: 2(1-t ^{2} )=3 LEFT ( 1-t RIGHT )]

[eqn: 2(1-t)(1+t)=3(1-t)]

[eqn: 2(1+t)=3]

[eqn: t= {1} over {2}]

즉 [eqn: 2 ^{- {2} over {a}} =2 ^{-1}]

[eqn: - {2} over {a} =it-1]에서

[eqn: a=2]

9. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 삼각형의 넓이를 구한다.

[eqn: f(0)=2 ^{0} +1=2], [eqn: g(0)= it -2` ^{-1} +7`][eqn: = {13} over {2}]이므로

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 좌표는 각각

[eqn: rm A LEFT ( 0,```2 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 0,``` {13} over {2} RIGHT ) `]이다. 따라서

[eqn: bar{rmAB}][eqn: = {13} over {2} -2][eqn: = {9} over {2}]

두 식 [eqn: y=2` ^{x} +1], [eqn: y=it-2` ^{x-1} +7`]을 연립하여 풀면

[eqn: 2^{`x}+1][eqn: = it -2` ^{x-1} +7]

[eqn: {3} over {2} TIMES 2` ^{x}][eqn: =6]

[eqn: 2` ^{x}][eqn: =4]

[eqn: x=2]

[eqn: f(2)=2 ^{2} +1=5]이므로 점 [eqn: rm C`]의 좌표는 [eqn: (2,```5)`]이다.

따라서 삼각형 [eqn: rmACB]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 2 TIMES {9} over {2}][eqn: ={9}over{2}]

10. [출제의도] 몫의 미분법을 이용하여 함수의 극댓값과 극솟값의 합을 구한다.

[eqn: f(x)= {x-1} over {x ^{`2} -x+1} `]에서

[eqn: f` prime (x)][eqn: = {(x ^{2} -x+1)-(x-1)(2x-1)} over {(x ^{2} -x+1) ^{2}}]
[eqn: = {-x ^{2} +2x} over {(x ^{2} -x+1) ^{2}}]

[eqn: f`` prime (x)=0]에서

[eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

함수 [eqn: f(x)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: 2]	[eqn: cdots]
[eqn: f`'(x)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	↘	극소	↗	극대	↘

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극소이고, [eqn: x=2]에서 극대이므로 극댓값과 극솟값의 합은

[eqn: f(2)+f(0)][eqn: = {2-1} over {2 ^{2} -2+1} + {0-1} over {0 ^{2} -0+1}]
[eqn: = 1 over 3 +(-1)]
[eqn: =it- {2} over {3}]

11. [출제의도] 닫힌 구간에서 지수함수의 최댓값을 구한다.

[eqn: f(x)= LEFT ( {3} over {a} RIGHT ) ^{x}]에서

(ⅰ) [eqn: {3} over {a} >1], 즉 [eqn: 0<a<3]일 때,
함수 [eqn: f(x)`]는 증가함수이므로 [eqn: x=2`]에서 최댓값을 갖는다.
[eqn: f(2)= LEFT ( {3} over {a} RIGHT ) ^{2} =4]에서
[eqn: a ^{2} = {9} over {4}]
[eqn: a=+- {3} over {2}]
[eqn: 0<a<3]이므로
[eqn: a= {3} over {2}]

(ⅱ) [eqn: {3} over {a} =1], 즉 [eqn: a=3`]일 때,
[eqn: f(x)=1`]이므로 함수 [eqn: f(x)`]의 최댓값이 [eqn: 4`]가 아니다.

(ⅲ) [eqn: 0< {3} over {a} <1], 즉 [eqn: a>3]일 때,
함수 [eqn: f(x)]는 감소함수이므로 [eqn: x=it-1]에서 최댓값을 갖는다.

[eqn: f(-1)][eqn: = LEFT ( {3} over {a} RIGHT ) ^{-1}]
[eqn: = {a} over {3}]
[eqn: =4]에서

[eqn: a=12]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 모든 양수 [eqn: a]의 값의 곱은

[eqn: {3} over {2} TIMES 12=18]

12. [출제의도] 정적분을 이용하여 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구한다.

[eqn: 4]개의 점 [eqn: {rmO}(0,```0)], [eqn: {rmA}(1,```0)], [eqn: {rmB}(1,```e)], [eqn: {rmC}(0,```e)`]를 꼭짓점으로 하는 직사각형의 넓이는

[eqn: 1times{e][eqn: =e]

이고, 곡선 [eqn: y=xe` ^{x} `]과 [eqn: x`]축 및 직선 [eqn: x=1`]로 둘러싸인 도형의 넓이는

[eqn: int_{0}^{1}x`e^{`x}}`dx][eqn: = LEFT [ pile{`#`} xe` ^{x} ` RIGHT ] _{0}^{1} - int _{0} ^{1} {} e` ^{x} `dx]
[eqn: =e-(e-1)]
[eqn: =1]이므로

구하는 도형의 넓이는 [eqn: e-1`]이다.

13. [출제의도] 함수의 도함수를 활용하여 접선의 [eqn: y]절편을 구한다.

[eqn: f(x)=0`]에서

[eqn: ln` LEFT ( tan`x RIGHT ) =0]

[eqn: tan`x=1]

[eqn: 0`<x<` {pi } over {2}]에서 [eqn: x= {pi} over {4}]이므로

점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {pi } over {4} ,```0 RIGHT )]이다.

[eqn: f` prime (x)][eqn: = {LEFT ( tan`x RIGHT ) prime } over {tan`x}]
[eqn: = {sec ^{2} `x} over {tan`x}]

[eqn: f` prime LEFT ( {pi} over {4} RIGHT )][eqn: = {LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) ^{2}} over {1}]
[eqn: =2]이므로

점 [eqn: rmP]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=2 LEFT ( x- {pi } over {4} RIGHT )]

[eqn: y=2x- {pi } over {2}]이므로

이 접선의 [eqn: y]절편은 [eqn: - {pi } over {2}]이다.

14. [출제의도] 적분을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

[eqn: {d} over {dt} `ln` LEFT | T`(t)-20 RIGHT | = {T`` prime (t)} over {T`(t)-20} `]이므로

[eqn: ln` LEFT | T`(t)-20 RIGHT |][eqn: =k`t+C] 가 성립한다.

[eqn: t=0`]일 때, [eqn: ln `left| T(0)-20right|][eqn: =C``]에서

[eqn: C``=`ln`80] …… ㉠

[eqn: t=3`]일 때, [eqn: ln `left|T(3)-20 right|][eqn: =3k+C``]에서

[eqn: 3k+C``=ln`40] …… ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: 3k][eqn: =ln `40-ln`80]
[eqn: =ln` {1} over {2}]
[eqn: = it -ln`2]

[eqn: k][eqn: = it - {ln`2} over {3}]

15. [출제의도] 접선의 방정식을 이용하여 합성함수의 미분계수를 구한다.

조건 (가)에서 직선 [eqn: l]이 제[eqn: 2]사분면을 지나지 않고, 조건 (나)에서 직선 [eqn: l]과 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형인 직각이등변삼각형의 넓이가 [eqn: 2]이므로 아래 그림과 같이 직선 [eqn: l`]의 [eqn: x`]절편과 [eqn: y`]절편은 각각 [eqn: 2], [eqn: -2`]이다.

함수 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: LEFT ( 4,```f(4) RIGHT )]에서의 접선 [eqn: l`]은 기울기가 [eqn: 1]이고, 점 [eqn: LEFT ( 2,```0 RIGHT )]을 지나므로 직선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: y=x-2]이다.

따라서 [eqn: f(4)=2], [eqn: f`` prime (4)=1]이다.

[eqn: g(x)=xf(2x)`]에서

[eqn: g'(x)][eqn: =f(2x)+2xf`` prime (2x)]이므로

[eqn: g'(2)][eqn: =f(4)+4f`` prime (4)]
[eqn: =2+4]
[eqn: =6]

16. [출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 수열의 합을 구한다.

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (a,```b)] (단, [eqn: a], [eqn: b]는 양수)라 하고, 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H it]라 하자.

이때 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]를 지나는 직선의 기울기가 [eqn: -1]이므로 삼각형 [eqn: rmPHQ`]는 [eqn: bar{rmPH}=bar{rmHQ}]인 직각이등변삼각형이다.

이때 [eqn: bar{rmPQ}= sqrt {2} n`]이므로

[eqn: bar{rmPH}=n], 즉 [eqn: b=n]이다.

점 [eqn: rm P it (a,```n)]이 곡선 [eqn: y=log` _{2} `(x+1)] 위의 점이므로

[eqn: n][eqn: =log _{2} (a+1)]

[eqn: a][eqn: =2^n -1]

이때 [eqn: {bar{rm OQ it}} = {bar{rm OH it}} + {bar{rm HQ it}}], [eqn: bar{rmHQ}=n]이므로

[eqn: x _{n}][eqn: =a+n]
[eqn: =2 ^{n} -1+n]

따라서

[eqn: sum _{k=1} ^{5} x _{k}][eqn: = sum _{k=1} ^{5} LEFT ( 2 ^{k} -1+k RIGHT )]
[eqn: = sum _{k=1} ^{5} 2 ^{k} - sum _{k=1} ^{5} 1+ sum _{k=1} ^{5} k]
[eqn: =` {2` TIMES (2 ^{5} -1)} over {2-1} -5 TIMES 1+ {5 TIMES 6} over {2}]
[eqn: =62-5+15]
[eqn: =72]

[다른 풀이]

점 [eqn: rm P`]의 좌표를 [eqn: (a,```b)] (단, [eqn: a], [eqn: b]는 양수)라 하자.

점 [eqn: rmQ`]의 좌표가 [eqn: LEFT ( x _{n} ,```0 RIGHT )]이고 직선 [eqn: rm PQ`]의 기울기가 [eqn: -1]이므로

[eqn: {0-b} over {x _{n} -a} = it -1]에서 [eqn: x _{n} -a=b]

[eqn: x _{n} =a+b]

[eqn: {bar{rm PQ it}}][eqn: = sqrt {(x _{n} -a) ^{2} +(0-b) ^{2}}]
[eqn: = sqrt {b ^{2} +b ^{2}}]
[eqn: = sqrt {2} b]

[eqn: bar{rmPQ} = sqrt2 n]에서 [eqn: b=n]이다.

점 [eqn: rm P it (a,```n)]이 곡선 [eqn: y=log` _{2} `(x+1)] 위의 점이므로

[eqn: n=log _{2} (a+1)]에서

[eqn: a][eqn: =2 ^{n} -1]

[eqn: x _{n}][eqn: =a+b]
[eqn: =2^n - 1 +n]

따라서

[eqn: sum _{k=1} ^{5} x _{k}][eqn: = sum _{k=1} ^{5} LEFT ( 2 ^{k} -1+k RIGHT )]
[eqn: = sum _{k=1} ^{5} 2 ^{k} - sum _{k=1} ^{5} 1+ sum _{k=1} ^{5} k]
[eqn: =` {2` TIMES (2 ^{5} -1)} over {2-1} -5 TIMES 1+ {5 TIMES 6} over {2}]
[eqn: =62-5+15]
[eqn: =72]

17. [출제의도] 역함수의 미분을 이용하여 조건을 만족하는 함숫값을 구한다.

[eqn: g(f(x))][eqn: =x]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: g` prime (f(x))f` prime (x)][eqn: =1]

조건 (나)에서 [eqn: g'(f(x))!=0`]이고

[eqn: g` prime (f(x))][eqn: = {1} over {f`'(x)}]이므로

[eqn: f(x)g prime (f(x))][eqn: = {f(x)} over {f` prime (x)}]
[eqn: = {1} over {x ^{2} +1}]

[eqn: {f``'(x)} over {f(x)}][eqn: =`x ^{2} +1]

양변을 [eqn: x`]에 대하여 적분하면

[eqn: ln` LEFT | f(x) RIGHT |][eqn: = {1} over {3} x ^{3} +x+C] (단, [eqn: C`]는 적분상수)

[eqn: left|f(x)right|][eqn: =e ^{` {1} over {3} x ^{3} +x+C}]

조건 (가)에서 [eqn: f(0)][eqn: =1`][eqn: >0]이고 함수 [eqn: f(x)`]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{{1} over {3} x ^{3} +x+C}]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1]에서

[eqn: C] [eqn: =0]

따라서 [eqn: f(x)][eqn: =e ^{` {1} over {3} x ^{3} +x}]이므로

[eqn: f(3)=e ^{`12}]

18. [출제의도] 이항정리를 이용하여 부등식의 해결 과정을 완성한다.

[eqn: (1+x) ^{2n} `]의 전개식에서 [eqn: x ^{n} `]의 계수는 [eqn: box{~ _{2n} rm C it rm _{n} ~}`]이다.

[eqn: (1+x) ^{n} (1+x) ^{n} `]의 전개식에서 [eqn: x ^{n} `]의 계수는

[eqn: sum _{k=0} ^{n} LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{k} TIMES ` _{n} rm C it rm _{n-k} ` RIGHT )][eqn: =][eqn: sum _{k=0} ^{n} LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{k} ` RIGHT ) ^{2}]이므로

[eqn: sum _{k=0} ^{n} LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{k} ` RIGHT ) ^{2}][eqn: =` _{2n} rm C it rm _{n}]이 성립한다.

그러므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT { 2k TIMES LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{k} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: = sum _{k=1} ^{n} LEFT { k TIMES LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{k} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT } + sum _{k=1} ^{n} LEFT { k TIMES LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{n-k} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: = LEFT { LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{1} ` RIGHT ) ^{2} +2 TIMES LEFT ( ` _{n} rm C _{2} ` RIGHT ) ^{2} +it CDOTS it+n TIMES LEFT ( ` _{n} rm C _{n} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: + LEFT { LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{n-1} ` RIGHT ) ^{2} +2 TIMES LEFT ( ` _{n} rm C _{n-2} ` RIGHT ) ^{2} +it CDOTS it+n TIMES LEFT ( ` _{n} rm C _{0} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: = LEFT { LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{1} ` RIGHT ) ^{2} +2 TIMES LEFT ( ` _{n} rm C _{2} ` RIGHT ) ^{2} +it CDOTS it+n TIMES LEFT ( ` _{n} rm C _{n} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: + LEFT { n` TIMES LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{0} ` RIGHT ) ^{2} +(n-1) TIMES LEFT ( ` _{n} rm C _{1} ` RIGHT ) ^{2} +it CDOTS it+ LEFT ( ` _{n} rm C _{n-1} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: =n TIMES LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{0} ` RIGHT ) ^{2} +n TIMES LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{1} ` RIGHT ) ^{2} + it CDOTS it +n TIMES LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{n} ` RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = {BOX{~n~}} ` TIMES LEFT { LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{0} ` RIGHT ) ^{2} + LEFT ( ` _{n} rm C _{1} ` RIGHT ) ^{2} +it CDOTS it+ LEFT ( ` _{n} rm C _{n} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: =box{~n~}` TIMES `box{~ _{2n} rm C it _{n} ~}]

이다. 한편

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT { 2k TIMES LEFT ( ` _{n} rm C it rm _{k} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT } GEQ 10 TIMES _{2n} rm C it rm _{n+1}]

[eqn: n times `_2n {rmC} _n][eqn: geq 10 times `_{2n} {rmC}_n+1]

[eqn: n` TIMES {LEFT ( 2n RIGHT ) !} over {n!` TIMES n!} ` GEQ `10`times {LEFT ( 2n RIGHT ) !} over {(n+1)!` TIMES (n-1)!}]

[eqn: n` TIMES {1} over {n} ` GEQ `10` TIMES {1} over {n+1}]

[eqn: n+1ge10]

[eqn: n geq 9]

따라서 부등식을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: box{~9~}`]이다.

[eqn: f(n) = `_2n {rmC}_n], [eqn: g(n)=n], [eqn: p=9]이므로

[eqn: f(3)+g(3)+p][eqn: =` _{6} rm C it _{3} +3+9]
[eqn: =20+3+9]
[eqn: =32]

19. [출제의도] 삼각함수의 성질을 이용하여 삼각함수의 극한값을 구한다.

[eqn: rmangleBPA= {pi} over {2} `]이므로 [eqn: ANGLE rm QBR][eqn: =alpha]라 하면

[eqn: 3alpha][eqn: ={pi}over{2}-theta]

[eqn: alpha= {pi } over {6} `-` {theta } over {3}]

[eqn: rm bar{rmBP}][eqn: =sin` theta]이므로

[eqn: bar{rm PQ}][eqn: =sin` theta ``tan`2alpha]

[eqn: bar{rm PR}][eqn: =sin` theta ``tan`alpha]

이다. 따라서

[eqn: S(theta)][eqn: ={1}over{2} times bar{rmBP}timesbar{rm PQ}`-`{1}over{2} times bar{rm BP} timesbar{rm PR}]
[eqn: = {1} over {2} `sin ^{2`} ` theta ` LEFT ( tan`2alpha-tan`alpha RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} `sin ^{`2} ` theta ` LEFT { tan` LEFT ( {pi } over {3} - {2} over {3} theta RIGHT ) -tan LEFT ( {pi } over {6} - {theta } over {3} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: lim _{theta ` -> `0+} {} {sin ^{`2} ` theta } over {theta ^{`2}}][eqn: =` lim _{theta ` -> `0+} {} LEFT ( {sin` theta } over {theta } RIGHT ) ^{`2}]
[eqn: =1]이므로

[eqn: lim _{theta ` -> `0+} {} {S( theta )} over {theta ^{`2}}][eqn: =` {1} over {2} lim _{theta ` -> `0+} {} {sin ^{`2} ` theta } over {theta ^{`2}} LEFT { tan` LEFT ( {pi } over {3} - {2} over {3} theta RIGHT ) -tan LEFT ( {pi } over {6} - {theta } over {3} RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: = {1} over {2} LEFT ( tan` {pi } over {3} -tan {pi } over {6} RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} LEFT ( sqrt {3} - {sqrt {3}} over {3} RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} TIMES {2 sqrt {3}} over {3}]
[eqn: ={sqrt{3}}over{3}]

20. [출제의도] 정적분으로 정의된 함수의 성질을 추론한다.

ㄱ. [eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {} sin`( pi `cos`t)dt`]에서
[eqn: f` prime (x)=sin`( pi `cos`x)]

[eqn: f`'(0)][eqn: =sin`( pi `cos`0)]
[eqn: =sin`pi]
[eqn: =0] (참)

ㄴ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: f(-x)][eqn: = int _{0} ^{-x} {sin` LEFT ( pi `cos`t RIGHT ) dt}]

[eqn: -t=y]로 놓으면 [eqn: - {dt} over {dy} =1]이고
[eqn: t=0]일 때 [eqn: y=0], [eqn: t=it-x]일 때 [eqn: y=x]이므로

[eqn: f(-x)][eqn: = it - int _{0} ^{x} {sin` LEFT { pi `cos`(-y) RIGHT } dy}]
[eqn: = it - int _{0} ^{x} {sin` LEFT ( pi `cos`y RIGHT ) dy}]
[eqn: = it -f(x)]

따라서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. (참)

ㄷ. [eqn: pi -t=y]라 하면 [eqn: - {dt} over {dy} =1`]이고,
[eqn: t=0]일 때 [eqn: y= pi], [eqn: t=pi]일 때 [eqn: y= it 0]이므로

[eqn: f( pi )][eqn: = int _{0} ^{pi } {} sin`( pi `cos`t)dt`]
[eqn: = it - int _{pi } ^{0} {} sin` LEFT { pi `cos` LEFT ( pi -y RIGHT ) RIGHT } dy]
[eqn: = it - int _{pi } ^{0} {} sin` LEFT ( - pi `cos`y RIGHT ) dy]
[eqn: = int _{pi } ^{0} {} sin` LEFT ( pi `cos`y RIGHT ) dy]
[eqn: = it - int _{0} ^{pi } {} sin` LEFT ( pi `cos`y RIGHT ) dy]
[eqn: =it-f LEFT ( pi RIGHT )]

[eqn: 2f LEFT ( pi RIGHT ) =0]이므로
[eqn: f LEFT ( pi RIGHT ) =0]이다. (참)

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 참이다.

[참고]

함수 [eqn: y=sin` LEFT ( pi`cos`x RIGHT ) `]의 그래프는 그림과 같다.

21. [출제의도] 합성함수의 미분법을 이용하여 함수의 미분계수를 구한다.

[eqn: f(1)][eqn: =(1+a+b)e]
[eqn: =e]에서

[eqn: a+b=0] …… ㉠

[eqn: f` prime (x)][eqn: = LEFT { x ^{2} +(a+2)x+a+b RIGHT } e ^{x} `]이므로

[eqn: f`'(1)][eqn: = LEFT { 1+(a+2)+a+b RIGHT } e]
[eqn: =e]에서

[eqn: 2a+b=it-2] …… ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: a=it-2], [eqn: b=2]

[eqn: f(x)][eqn: =(x ^{2} -2x+2)e ^{x}]에서

[eqn: f``'(x)][eqn: =x^{2}e^{x}]
[eqn: f``''(x)][eqn: =x(x+2)e^{x}]이므로

[eqn: f``''(1)][eqn: =3e]

이때 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`` prime LEFT ( x RIGHT ) ` GEQ 0]이므로

함수 [eqn: f` LEFT ( x RIGHT )]는 역함수가 존재한다.

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =e]에서 [eqn: f ^{`-1} LEFT ( e RIGHT ) =1]이므로

역함수의 미분법에 의하여

[eqn: LEFT ( f ^{`-1} RIGHT ) ` prime LEFT ( e RIGHT )][eqn: = {1} over {f`` prime LEFT ( 1 RIGHT )}]
[eqn: = {1} over {e}]

한편 [eqn: g LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =f`` prime LEFT ( 1 RIGHT )], 즉 [eqn: g LEFT ( e RIGHT ) =e]이고

[eqn: g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =f``' LEFT ( x RIGHT )]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g` prime LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) f`` prime LEFT ( x RIGHT ) =f`` '' LEFT ( x RIGHT )] …… ㉢

㉢의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: g`' LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) f``' LEFT ( 1 RIGHT ) =f``'' LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: g`' LEFT ( e RIGHT ) times`e=3e]

[eqn: g`' LEFT ( e RIGHT ) =3]

따라서

[eqn: h`' LEFT ( e RIGHT )][eqn: = LEFT ( f ^{`-1} RIGHT ) ` prime LEFT ( e RIGHT ) g LEFT ( e RIGHT ) +f ^{`-1} LEFT ( e RIGHT ) g` prime LEFT ( e RIGHT )]
[eqn: = {1} over {e} TIMES e+1times3]
[eqn: =4]

22. [출제의도] 로그부등식의 해를 구한다.

진수의 조건에 의하여

[eqn: x-2>0], [eqn: x>2] …… ㉠

[eqn: log _{2} (x-2)<2]에서 로그의 정의에 의하여

[eqn: x-2<2 ^{2}], [eqn: x<6] …… ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 2<x<6]이다.

따라서 부등식을 만족시키는 자연수 [eqn: x]는

[eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]이므로 그 합은

[eqn: 3+4+5=12]

23. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 삼각함수의 값을 계산한다.

탄젠트 함수의 덧셈정리에 의하여

[eqn: tan LEFT ( alpha + beta RIGHT )][eqn: = {tan` alpha +tan` beta } over {1-tan` alpha `tan` beta }]
[eqn: = {4+ LEFT ( -2 RIGHT )} over {1-4`times LEFT ( -2 RIGHT )}]
[eqn: = {2} over {9}]

[eqn: p=9], [eqn: q=2]이므로

[eqn: p+q=11]

24. [출제의도] 자연수의 분할의 수와 집합의 분할의 수를 구한다.

[eqn: 5=1+1+3=1+2+2]

이므로 [eqn: P` LEFT ( 5,``3 RIGHT ) =2]이다.

한편, 원소의 개수가 [eqn: 5]인 집합을 공집합이 아닌 서로 다른 [eqn: 3]개의 부분집합으로 분할할 때, 부분집합의 원소의 개수는 각각 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 3] 또는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2]이다.

(ⅰ) 부분집합의 원소의 개수가 각각 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 3]인 경우
[eqn: 5]개의 원소 중 [eqn: 3]개를 선택하여 원소의 개수가 [eqn: 3]인 부분집합을 만들고, 나머지 [eqn: 2]개의 원소로 각각 원소의 개수가 [eqn: 1]인 부분집합을 만들면 되므로 구하는 경우의 수는
[eqn: ` _{5} rm C it rm _{3} =` _{5} rm C it rm _{2} = {5` TIMES 4} over {2` TIMES `1} =10]

(ⅱ) 부분집합의 원소의 개수가 각각 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2]인 경우
[eqn: 5]개의 원소 중 [eqn: 1]개를 선택하여 원소의 개수가 [eqn: 1]인 부분집합을 만들고, 나머지 [eqn: 4]개의 원소 중 [eqn: 2]개의 원소를 선택하여 원소의 개수가 [eqn: 2]인 부분집합을 만들면 나머지 [eqn: 2]개의 원소로 이루어진 부분집합이 정해진다. 이때 각 경우가 [eqn: 2]가지씩 중복되므로 구하는 경우의 수는

[eqn: ` _{5} rm C it rm _{1} TIMES ` _{4} rm C it rm _{2} TIMES ` _{2} rm C it rm _{2} TIMES {1} over {2}][eqn: =5`` TIMES ` {4` TIMES 3} over {2` TIMES `1} TIMES 1 TIMES {1} over {2}]
[eqn: =15]

위의 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: S` LEFT ( 5,``3 RIGHT ) =10+15=25]

따라서

[eqn: P` LEFT ( 5,``3 RIGHT ) +S` LEFT ( 5,``3 RIGHT )][eqn: =2+25][eqn: =27]

25. [출제의도] 삼각함수의 성질을 이용하여 함수의 최댓값을 구한다.

[eqn: sin ^{2} `x=1-cos ^{2} `x], [eqn: sin` LEFT ( x+ {pi } over {2} RIGHT ) =cos`x]이므로

[eqn: f(x)][eqn: =sin ^{2} `x+sin` LEFT ( x+ {pi } over {2} RIGHT ) +1]
[eqn: =1-cos ^{2} `x+cos`x+1]
[eqn: = it - LEFT ( cos`x- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + {9} over {4}]

이때 [eqn: -1` LEQ `cos`x` LEQ 1]이므로

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: cos`x= {1} over {2}]일 때 최댓값 [eqn: {9} over {4}]를 갖는다.

따라서 [eqn: M= {9} over {4}]이므로

[eqn: 4M=9]

26. [출제의도] 같은 것이 있는 순열의 수를 구한다.

선택한 [eqn: 7]개의 문자 중 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]의 개수를 차례로   [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 하면 세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 모두 홀수이고 그 합이 [eqn: 7]이어야 하므로 다음 경우가 나온다.

(ⅰ) [eqn: (a,```b,```c)=][eqn: (1,```1,```5)]인 경우
[eqn: 7]개의 문자 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmC], [eqn: rmC], [eqn: rmC], [eqn: rmC]를 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: 7]개 중 같은 것이 각각 [eqn: 1]개, [eqn: 1]개, [eqn: 5]개 있는 순열의 수와 같으므로
[eqn: {7!} over {5!}][eqn: =7times6][eqn: =42]
[eqn: (a,```b,```c)=][eqn: (1,```5,```1)], [eqn: (5,```1,```1)`]인 경우의 수도 모두 [eqn: 42`]이다.

(ⅱ) [eqn: (a,```b,```c)=][eqn: (1,```3,```3)]인 경우
[eqn: 7]개의 문자 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmB], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmC], [eqn: rmC]를 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: 7]개 중 같은 것이 각각 [eqn: 1]개, [eqn: 3]개, [eqn: 3]개 있는 순열의 수와 같으므로

[eqn: {7!} over {3!times3!}][eqn: = {7 TIMES 6` TIMES 5 TIMES 4 TIMES 3 TIMES 2 TIMES 1} over {(3 TIMES 2 TIMES 1) TIMES (3 TIMES 2 TIMES 1)}]
[eqn: =140]

[eqn: (a,```b,```c)=][eqn: (3,```1,```3)], [eqn: (3,```3,```1)`]인 경우의 수도 모두 [eqn: 140]이다.

위의 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 경우의 수는

[eqn: 3 TIMES 42+3times140][eqn: =546]

27. [출제의도] 정적분의 성질을 이용하여 함숫값을 구한다.

[eqn: x int _{0} ^{x} {} f(t)dt- int _{0} ^{x} {tf(t)dt}][eqn: =ae ^{2x} -4x+b`] …… ㉠

㉠의 양변에 [eqn: x=0`]을 대입하면

[eqn: 0=a+b] …… ㉡

㉠의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: int _{0} ^{x} {} f(t)dt+xf(x)-xf(x)][eqn: =2ae ^{2x} -4]

즉 [eqn: int _{0} ^{x} {f(t)dt} =2ae ^{2x} -4] …… ㉢

㉢의 양변에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: 0=2a-4], 즉 [eqn: a= it 2]

이므로 ㉡에서 [eqn: b=it-2]이다.

[eqn: int _{0} ^{x} {f(t)dt} =4e ^{2x} -4]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x)= it 8e ^{2x}]이므로

[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) f LEFT ( b RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 2 RIGHT ) f LEFT ( -2 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( 8e ^{4} RIGHT ) times LEFT ( 8e ^{-4} RIGHT )]
[eqn: =64e ^{4-4}]
[eqn: =64]

28. [출제의도] 정적분의 정의를 이용하여 급수의 합을 구한다.

[eqn: x _{k} =1+ {k} over {n}]로 놓으면 [eqn: DELTA `x= {1} over {n}]이므로 정적분의 정의에 의하여

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} sum _{k=1} ^{n} {k} over {n ^{2}} f` LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT )][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} sum _{k=1} ^{n} {k} over {n} f` LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) {1} over {n}]
[eqn: = int _{1} ^{2} {} (x-1)f(x)dx]

이다. 따라서

[eqn: int _{1} ^{2} {} (x-1)`ln`x`dx][eqn: = LEFT [ LEFT ( {1} over {2} x ^{2} -x RIGHT ) ln``x` RIGHT ] _{1}^{2} - int _{1} ^{2} {} {1} over {x} LEFT ( {1} over {2} x ^{2} -x RIGHT ) dx]
[eqn: = LEFT ( 0-0 RIGHT ) - int _{1} ^{2} {} LEFT ( {1} over {2} x-1 RIGHT ) dx]
[eqn: =it- LEFT [ {1} over {4} x ^{2} -x` RIGHT ] _{1}^{2}]
[eqn: = it - LEFT ( 1-2 RIGHT ) + LEFT ( {1} over {4} -1 RIGHT )]
[eqn: = {1} over {4}]

[eqn: p=4], [eqn: q=1`]이므로

[eqn: p+q][eqn: =5]

29. [출제의도] 중복조합을 이용하여 경우의 수를 구한다.

[eqn: 6]개의 과일에서 선택한 [eqn: 4]개의 과일 중 사과, 배, 귤의 개수를 각각 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z`]라 하자.

(ⅰ) [eqn: (x,```y,```z)][eqn: =][eqn: LEFT ( 0,```2,```2 RIGHT ) `]인 경우
배 [eqn: 2`]개와 귤 [eqn: 2`]개를 [eqn: 2`]명의 학생에게 나누어주는 경우의 수는 각각 [eqn: {}_{2} {rmH} _{2}], [eqn: {}_{2} rm H it rm _{2} `]이고, [eqn: 4`]개의 과일을 한 명의 학생에게 모두 주는 경우는 제외해야 하므로 구하는 경우의 수는

[eqn: {}_{2} rm H it rm _{2} TIMES ` _{2} rm H it rm _{2} -2][eqn: =` _{3} rm C it rm _{2} TIMES ` _{3} rm C it rm _{2} -2]
[eqn: =3 TIMES 3-2]
[eqn: =7]

[eqn: (x,```y,```z)][eqn: =][eqn: LEFT ( 2,```0,```2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,```2,```0 RIGHT ) `]인 경우의 수도 모두 [eqn: 7`]이다.

(ⅱ) [eqn: (x,```y,```z)][eqn: =][eqn: LEFT ( 1,```1,```2 RIGHT ) `]인 경우
사과 [eqn: 1`]개, 배 [eqn: 1`]개, 귤 [eqn: 2`]개를 [eqn: 2]명의 학생에게 나누어주는 경우의 수는 차례로 [eqn: {}_{2} {rmH} _{1}], [eqn: {}_{2} {rmH} _{1}], [eqn: {}_{2} rm H it _{2} `]이고, [eqn: 4]개의 과일을 한 명의 학생에게 모두 주는 경우는 제외해야 하므로 구하는 경우의 수는

[eqn: {}_{2} rm H it rm _{1} TIMES _{2} rm H it rm _{1} TIMES _{2} rm H it rm _{2} -2][eqn: =` _{2} rm C it rm _{`1} TIMES ` _{2} rm C it rm _{1} TIMES ` _{3} rm C it rm _{2} -2]
[eqn: =2 TIMES 2 TIMES 3-2]
[eqn: =10]

[eqn: (x,```y,```z)][eqn: =][eqn: LEFT ( 1,```2,```1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,```1,```1 RIGHT ) `]인 경우의 수도 모두 [eqn: 10`]이다.

위의 (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 3 TIMES 7+3 TIMES 10=51]

[다른 풀이]

[eqn: 6`]개의 과일에서 선택한 [eqn: 4`]개의 과일 중 사과, 배, 귤의 개수를 각각 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z`]라 하고, [eqn: 2`]명의 학생을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB`]라 하자.

이때 과일을 하나도 받지 못하는 학생이 없어야 하고, 학생 [eqn: rm A`]가 받는 과일이 정해지면 학생 [eqn: rmB`]가 받는 과일도 정해진다.

(ⅰ) [eqn: (x,```y,```z)][eqn: =][eqn: LEFT ( 0,```2,```2 RIGHT ) `]인 경우
학생 [eqn: rm A`]가 받는 배와 귤의 수를 순서쌍으로 나타내면
[eqn: LEFT ( 0,```1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0,```2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,```0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,```1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,```2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,```0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,```1 RIGHT )]
이므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 7`]이다.
이때 [eqn: (x,```y,```z)][eqn: =][eqn: LEFT ( 2,```0,```2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,```2,```0 RIGHT ) `]인 경우의 수도 모두 [eqn: 7`]이다.

(ⅱ) [eqn: (x,```y,```z)][eqn: =][eqn: LEFT ( 1,```1,```2 RIGHT ) `]인 경우
학생 [eqn: rm A`]가 받는 사과, 배, 귤의 수를 순서쌍으로 나타내면
[eqn: LEFT ( 0,```0,```1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0,```0,```2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0,```1,```0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0,```1,```1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0,```1,```2 RIGHT )],
[eqn: LEFT ( 1,```0,```0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,```0,```1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,```0,```2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,```1,```0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,```1,```1 RIGHT )]
이므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 10`]이다.
이때 [eqn: (x,```y,```z)][eqn: =][eqn: LEFT ( 1,```2,```1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,```1,```1 RIGHT ) `]인 경우의 수도 모두 [eqn: 10`]이다.

위의 (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 3 TIMES 7+3 TIMES 10=51]

30. [출제의도] 정적분으로 정의된 함수의 극댓값과 극솟값을 구하는 문제를 해결한다.

(ⅰ) [eqn: 0`<`x`le1]일 때,

그림에서 [eqn: 0<t LEQ x]일 때, [eqn: f(x) GEQ f(t)]이므로

[eqn: g(x)][eqn: = int _{0} ^{x} {LEFT | f(x)-f(t) RIGHT | dt}]
[eqn: = int _{0} ^{x} {left{f(x)-f(t)`right}dt}]
[eqn: = int _{0} ^{x} {LEFT ( e ^{x} -e ^{t} RIGHT ) dt}]
[eqn: = LEFT [ ``te ^{x} -e ^{t`} pile{`#`} RIGHT ] _{0}^{x}]
[eqn: =xe ^{x} -e ^{x} +1]
[eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) e ^{x} +1]

(ⅱ) [eqn: 1<`x<2]일 때,

그림에서
[eqn: 0<`t`<2-x]일 때, [eqn: f(x)gef(t)]
[eqn: 2-x LEQ `t`<x]일 때, [eqn: f(x)lef(t)]이므로

[eqn: g(x)][eqn: = int _{0} ^{x} {left|f(x)-f(t) right|dt}]
[eqn: = int _{0} ^{2-x} {LEFT { f(x)-f(t) RIGHT } dt}]
[eqn: + int _{2-x} ^{x} {LEFT { f(t)-f(x) RIGHT } dt}]

위의 (ⅰ)에 의하여

[eqn: int _{0} ^{2-x} {LEFT { f(x)-f(t) RIGHT } dt}][eqn: = LEFT ( 2-x-1 RIGHT ) e ^{2-x} +1]
[eqn: = LEFT ( 1-x RIGHT ) e ^{2-x} +1]

한편, 함수 [eqn: y=e ^{2-x}]의 그래프는 함수 [eqn: y=e ^{x}]의 그래프와 직선 [eqn: x=1]에 대하여 대칭이므로
[eqn: int _{2-x} ^{x} {LEFT { f(t)-f(x) RIGHT } dt}]
[eqn: =2 int _{1} ^{x} {LEFT { f(t)-f(x) RIGHT } dt}]
[eqn: =2 int _{1} ^{x} {LEFT ( e ^{2-t} -e ^{2-x} RIGHT ) dt}]
[eqn: =2 LEFT [ ``-e ^{2-t} -te ^{2-x`} pile{`#`} RIGHT ] _{1}^{x}]
[eqn: =2 LEFT { LEFT ( -e ^{2-x} -xe ^{2-x} RIGHT ) - LEFT ( -e-e ^{2-x} RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: =2e-2x`e ^{2-x}]
따라서

[eqn: g(x)][eqn: = LEFT ( 1-x RIGHT ) e ^{2-x} +1][eqn: +2e-2x`e ^{2-x}]
[eqn: = LEFT ( 1-3x RIGHT ) e ^{2-x} +2e+1]

위의 (ⅰ), (ⅱ)에서
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{` LEFT ( x-1 RIGHT ) e ^{x} +1 _{{}_{`}}^{{}^{`}}&&{}_{{}_{`}}^{{}^{`}} LEFT ( 0<x LEQ 1 RIGHT )#` LEFT ( 1-3x RIGHT ) e ^{2-x} +2e+1 _{{}_{`}}^{{}^{{}_{`}}}&&{}_{{}_{`}}^{{}^{`}} LEFT ( 1<x<2 RIGHT )}}]이므로
[eqn: g` prime (x)= {cases{``xe ^{x} ` _{{}_{`}}^{{}^{`}}&&{}_{{}_{`}}^{{}^{`}} LEFT ( 0<x<1 RIGHT )#` LEFT ( 3x-4 RIGHT ) e ^{2-x} ` _{{}_{`}}^{{}^{`}}&&{}_{{}_{`}}^{{}^{`}} LEFT ( 1<x<2 RIGHT )}}]
함수 [eqn: g(x)]의 증가와 감소를 나타내는 표는 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: (0)]	…	[eqn: 1]	…	[eqn: {4} over {3}]	…	[eqn: (2)]
[eqn: g`'(x)]		[eqn: +]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g(x)]		↗	극대	↘	극소	↗

(극댓값)[eqn: =g(1)]
[eqn: = LEFT ( 1-1 RIGHT ) e+1]
[eqn: =1]

(극솟값)[eqn: =g LEFT ( {4} over {3} RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( 1-4 RIGHT ) e ^{{2} over {3}} +2e+1]
[eqn: =2e-3e ^{{2} over {3}} +1]

함수 [eqn: g(x)]의 극댓값과 극솟값의 차는

[eqn: 1- LEFT ( 2e-3e ^{{2} over {3}} +1 RIGHT )][eqn: = it -2e+3e ^{{2} over {3}}]
[eqn: =it-2e+3 root {3} of {e ^{2}}]

[eqn: a=it-2], [eqn: b=3]이므로

[eqn: LEFT ( ab RIGHT ) ^{2}][eqn: =36]