• 수리 영역 •

수리‘가’형 정답

1	④	2	②	3	⑤	4	③	5	③
6	①	7	⑤	8	④	9	②	10	②
11	⑤	12	④	13	⑤	14	②	15	④
16	③	17	⑤	18	③	19	①	20	①
21	②	22	[eqn: 32]	23	[eqn: 49]	24	[eqn: 6]	25	[eqn: 90]
26	[eqn: 8]	27	[eqn: 17]	28	[eqn: 120]	29	[eqn: 9]	30	[eqn: 6]

해 설

1. [출제의도] 로그의 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log` _{3} 12-log _{3} {4} over {27} `][eqn: =log _{3} left(`12 TIMES {27} over {4}`right)`]

[eqn: =log _{3} 81=4]

2. [출제의도] 행렬의 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: X=B-AB]

[eqn: = LEFT ( E-A RIGHT ) B]

[eqn: = pmatrix{`0&1#-1`&2} pmatrix{0&`1#`1&0}]

[eqn: = pmatrix{1&0#2&-1}]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 2]이다.

[다른 풀이]

행렬 [eqn: E``-A]에 행렬 [eqn: B]를 곱하면 행렬 [eqn: E``-A]의 1열과 2열이 바뀌므로 행렬의 성분의 합에는 영향을 주지 않는다. 따라서 행렬 [eqn: X]의 성분의 합은 행렬 [eqn: E-A]의 성분의 합과 같다.

3. [출제의도] 함수의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{x -> 3} {} {x ^{2} -3x} over {sqrt {x+1} -2}]

[eqn: = lim _{x -> 3} {} {x(x-3) LEFT ( sqrt {x+1} +2 RIGHT )} over {x-3}]

[eqn: = lim _{x -> 3} {``x LEFT ( sqrt {x+1} +2 RIGHT )}]

[eqn: =3 LEFT ( sqrt {3+1} +2 RIGHT )]

[eqn: =3 CDOT 4=12]

4. [출제의도] 삼각방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2(2cos ^{2} x-1)=1+cosx]

[eqn: 4cos ^{2} x-cosx-3=0]

[eqn: (4cosx+3)(cosx-1)=0]

∴ [eqn: cosx`=- {3} over {4} ,``cosx`=`1``]

이때 [eqn: cos` alpha `=` {3} over {4} `] [eqn: LEFT ( `0`<` alpha `<` {pi } over {2} ` RIGHT )`]라 하면

[eqn: cosx`=- {3} over {4} `]의 해는 [eqn: x`=` pi - alpha `,``x`=` pi + alpha]이다.

[eqn: `cosx`=`1`]의 해는 [eqn: x=0`]

따라서 모든 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: 2 pi]이다.

5. [출제의도] 고차부등식의 계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ⅰ) [eqn: a<0]일 때,

[eqn: a^2`-2a<a^2`-4a<a^2`-6a]이므로 해는

[eqn: a^2`-2a<x<a^2`-4a`], [eqn: `x>a ^{2} `-6a]

[eqn: a ^{2} `-2a=8`], [eqn: a ^{2} `-4a=12`], [eqn: a ^{2} `-6a=16]이다.

따라서 연립방정식을 만족하는 [eqn: a=-2]이다.

ⅱ) [eqn: a=0]일 때,

[eqn: x^3`>0]

따라서 [eqn: x>0]이므로 조건에 맞지 않는다.

ⅲ) [eqn: a>0]일 때,

[eqn: a^2`-2a>a^2`-4a>a^2`-6a]이므로 해는

[eqn: a ^{2} `-6a<x<a ^{2} `-4a`], [eqn: x>a ^{2} `-2a]

[eqn: a ^{2} `-2a=16`], [eqn: a ^{2} `-4a=12`], [eqn: a ^{2} `-6a=8]이다.

따라서 연립방정식을 만족하는 상수 [eqn: a]는 존재하지 않는다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여 [eqn: a=`-2]

[다른 풀이]

[eqn: a` not=0]일 때  세 수 [eqn: a ^{2} `-2a], [eqn: a ^{2} `-4a], [eqn: a ^{2} `-6a] 중 크기가 작은 수부터 두 번째 수는 [eqn: a ^{2} -4a]이다. 그러므로

[eqn: a ^{2} `-4a=12`], [eqn: (a+2)(a-6)=0]

[eqn: therefore][eqn: a=-2] 또는 [eqn: a=6]

그런데 [eqn: a=6]인 경우는 주어진 해의 범위를 만족하지 않는다.

[eqn: therefore``a=-2]

6. [출제의도] 역함수의 접선의 기울기를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f `prime (x)=e ^{x} +(x-1)e ^{x} =xe ^{x}]

[eqn: g` prime `(x)= {`1} over {f` prime LEFT ( y RIGHT )}]이므로

[eqn: g'(e ^{2} )= {1} over {f'(2)} = {1} over {2e ^{2}}]

7. [출제의도] 삼각함수의 배각 공식을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm bar{P _{1} P _{2}} =rm bar{P _{5} P _{6}}=2sin {pi} over {10}], [eqn: rm ` bar{P _{1} P _{4}} =2cos {pi} over {5}], [eqn: rm bar{P _{1} P _{5}} =2cos {pi} over {10}]

[eqn: rm bar{P _{1} P _{2}} CDOT ` bar{P _{1} P _{4}} CDOT ` bar{P _{1} P _{5}} =8`sin {pi } over {10} `cos {pi } over {5} `cos {pi } over {10}]

[eqn: rm =4`sin {pi } over {5} `cos {pi } over {5}]

[eqn: rm =2`sin {2 } over {5}pi]

[다른 풀이]

[eqn: rm bar{P _{1} P _{2}} =2cos {2 } over {5}pi], [eqn: rm ` bar{P _{1} P _{4}} =2cos { pi } over {5}], [eqn: rm bar{P _{1} P _{5}} =2cos {pi} over {10}]

[eqn: S=][eqn: rm bar{P _{1} P _{2}} `` TIMES bar{`P _{1} P _{4}} ` TIMES bar{`P _{1} P _{5}}]라고 하면

[eqn: sin` {` pi } over {10} `S][eqn: =sin` {` pi } over {10} CDOT `2```cos` {2` } over {5}pi CDOT `2```cos` {` pi } over {5} CDOT `2```cos {pi } over {10}]

[eqn: =sin` {` pi } over {10} CDOT `2``cos` {` pi } over {10} CDOT `2`cos` {` pi } over {5} CDOT `2`cos {2 } over {5} pi]

[eqn: =sin` {`` pi `} over {5} ` CDOT `2`cos` {` pi } over {5} CDOT `2`cos {2 } over {5}pi]

[eqn: =sin` {`2 } over {5}pi ` CDOT `2`cos {2 } over {5}pi]

[eqn: =sin` {`4` } over {5} `pi]이므로

[eqn: S= {sin {4` } over {5}pi} over {sin` {` pi } over {10}} = {sin {` pi } over {5}} over {sin` {pi} over {10}}]

[eqn: = {2`sin` {pi } over {10} `cos {pi } over {10}} over {sin` {` pi } over {10}}]

[eqn: =2cos {pi } over {10} `]

[eqn: =`2`sin {2` pi `} over {5} `]

8. [출제의도] 주기함수와 연속함수의 정의를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ⅰ) 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x -> 1-0} {(2x+a} )= lim _{x -> 1+0} {(x ^{2} +bx+3)} `]

[eqn: 2+a=1+b+3]

따라서 [eqn: a-b=2]

ⅱ) [eqn: f(x+5)=f(x)]이므로

[eqn: f(3)=f(-2)]

[eqn: 3 ^{2} +3b+3=2 TIMES (-2)+a]

따라서 [eqn: a-3b=16]

ⅰ), ⅱ)에 의하여 [eqn: a=-5], [eqn: b=-7]

∴ [eqn: f(x)= cases{2x-5&(-2` LEQ `x`<1)#x ^{2} -7x+3&`(1` LEQ `x` LEQ 3)}]

[eqn: f(2011)``=f(402times5+1)`]

[eqn: =f(1)`][eqn: =1-7+3][eqn: =`-3]

9. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

(가)에서 [eqn: 3]은 한 자리의 양의 정수이므로 [eqn: f(3)=0], [eqn: 2011]은 네 자리의 양의 정수이므로 [eqn: f(2011)=3]

[eqn: f(n)=1] 또는 [eqn: f(n)=2`]이다.

(나)에서 주어진 식의 좌변을 인수분해하면

[eqn: LEFT { g(n)-log2 RIGHT } LEFT { g(n)-log5 RIGHT }<0]

∴  [eqn: log`2 < g(n) < log`5]

이때 [eqn: log``n`=`f`(n)`+`g`(n)`]이므로

ⅰ) [eqn: f`(n)`=`1``]일 때 [eqn: 1`+`log`2`<`f`(n`)`+`g`(n)`<`1`+`log`5`]

∴ [eqn: log``20`<`log``n`<`log``50`]

따라서 양의 정수 [eqn: n``]은 [eqn: 21`,``22`,`` CDOTS `,``49`]로 [eqn: 29``]개다.

ⅱ) [eqn: f`(n)`=`2``]일 때 [eqn: 2`+`log`2`<`f`(n`)`+`g`(n)`<`2`+`log`5`]

∴ [eqn: log``200`<`log``n`<`log``500`]

따라서 양의 정수 [eqn: n``]은 [eqn: 201`,``202`,`` CDOTS `,``499`]로 [eqn: 299``]개다.

ⅰ), ⅱ)에 의하여 양의 정수 [eqn: n`]의 개수는 [eqn: 29+299=328``]이다.

10. [출제의도] 로그방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

로그의 진수조건에 의하여

[eqn: x`>0], [eqn: y`>`3``]

그런데 행렬 [eqn: A``]의 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: log_{2}`(x`+`1)`+`log_{2}`(y`-`3)`=`0``]

[eqn: log_{2}``(x`+`1)(y`-`3)`=`0``]

[eqn: (x`+`1)(y`-`3)`=`1``]

[eqn: THEREFORE ``xy-3x+y-4=0]   … ㉠

또, 행렬 [eqn: B``]의 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: (1`+`log_{`3}`x`)`-`log_{`3}`y`=`0``]

[eqn: log_{``3}``{3x}over{y}`=`0``]

∴[eqn: ` {3x} over {y} `=`1``]

∴ [eqn: y`=`3x``]	… ㉡

㉠과 ㉡을 연립하면

∴ [eqn: x`y``=`4``]

11. [출제의도] 행렬의 연산에 대한 성질을 이용하여 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A(-B)=E``]이므로 [eqn: A ^{-1} =`-B``]

[eqn: BA=`-A ^{-1`} A=`-E=AB]

ㄱ. [eqn: A ^{2} +B ^{`2} = LEFT ( A+B` RIGHT ) ^{2} -AB``-BA]

[eqn: =3E] (참)

ㄴ. 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여

[eqn: A^n+2 + B^n+2]

[eqn: = LEFT ( A ^{n+1} +B ^{`n+1} RIGHT ) (A+B`)-A ^{n+1} B`-B ^{``n+1} A]

[eqn: =A ^{n+1} +B`` ^{n+1} -A ^{n} AB-B`` ^{``n} BA]

[eqn: =A ^{n+1} +B`` ^{n+1} +A ^{n} +B``` ^{n}] (참)

ㄷ. ㄴ을 이용해서

[eqn: A ^{3} +B`` ^{3} =A ^{2} +B`` ^{2} +A+B=3E+E=4E]

[eqn: A ^{4} +B`` ^{4} =A ^{3} +B`` ^{3} +A ^{2} +B`` ^{2} =4E+3E=7E]

[eqn: A ^{5} +B`` ^{5} =A ^{4} +B`` ^{4} +A ^{3} +B`` ^{3} =7E+4E=11E]

[eqn: vdots]

[eqn: A ^{9} +B``` ^{9} =A ^{8} +B`` ^{8} +A ^{7} +B`` ^{7} =76`E] (참)

[다른 풀이]

ㄱ. [eqn: B=E`-A`]이므로

[eqn: AB=A(E-A)=A-A ^{2} `=`-E``]에서

[eqn: A ^{2} =A+E`]   … ㉠

같은 방법으로

[eqn: B ^{`2} =B+E`]   … ㉡

그러므로

[eqn: A ^{2} +B`` ^{2} =A+E+B+E]

[eqn: =(A+B)+2E`=3E`]

ㄴ. ㉠의 양변에  [eqn: A ^{n}]을 곱하면

[eqn: A ^{n+2} =A ^{n+1} +A ^{n} `]  … ㉢

㉡의 양변에  [eqn: B ^{n}]을 곱하면

[eqn: B`` ^{n+2} =B`` ^{n+1} +B`` ^{n} `]  … ㉣

㉢과 ㉣에서

[eqn: A ^{n+2} +B`` ^{n+2} =A ^{n+1} +B ^{``n+1} +A ^{n} +B`` ^{n} `]

12. [출제의도] 분수방정식의 근을 구하는 과정을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {1} over {x-1} - {1} over {x+1} = {a} over {2x ^{2}}]의 양변에

분모의 최소공배수 [eqn: 2x ^{2} (x-1)(x+1)]을 곱하면

[eqn: 2x ^{2} (x+1)-2x ^{2} (x-1)=a(x ^{2} -1)]

[eqn: 4x ^{2} =ax ^{2} -a]

[eqn: (a-4)x ^{2} =a]

ⅰ) [eqn: a=4]인 경우

[eqn: 0` CDOT x ^{2} =4]이므로 해가 존재하지 않는다.

ⅱ) [eqn: a` not= 4]인 경우

[eqn: x ^{2} = {a} over {a-4}] … ㉠

(1) [eqn: {a} over {a-4} ge0]이면 실근이 존재하지만

이 해가 모두 무연근이어야 하므로

㉠에서 [eqn: x=0]이면 [eqn: a=0]

㉠에서 [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=1]이면 [eqn: a-4=a]이므로

실수 [eqn: a]가 존재하지 않는다.

(2) [eqn: {a} over {a-4} <0]이면 실근이 존재하지 않으므로

[eqn: a(a-4)<0]

[eqn: 0<a<4]

따라서 정수 [eqn: a]는 [eqn: 1,`2,`3]이다.

ⅰ), ⅱ)에서 정수 [eqn: a]는 [eqn: 0,`1,`2,`3,`4]로 [eqn: 5]개다.

13. [출제의도] 로그함수를 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: T``=`0``]일 때 [eqn: P``=`4.8``]이므로 [eqn: a`+`{b}over{c}`=`log``4.8``]이다.       그런데 [eqn: log``4`<`log``4.8`<`log``5``]에서

[eqn: 2`log``2`<`log``4.8`<`1`-`log``2``]이므로

[eqn: 0.602`<`a`+` {b} over {c} `<`0.699``] (참)

ㄴ. [eqn: y=log`P``]라 하면 [eqn: y=a`+` {b} over {c`+`T``} ``]의 그래프는 점근선이 [eqn: T=-c], [eqn: y=a`]이다. 그런데 주어진 표를 이용하면 [eqn: T````]의 값이 증가할 때 [eqn: y]의 값도 증가하므로 분수함수의 그래프는 그림과 같아야 한다.

∴ [eqn: b``<`0``] (참)

ㄷ. ㄴ의 [eqn: y=`a`+` {b} over {c`+`T} ``]의 그래프에서 [eqn: T```>`-c``]인 모든 실수 [eqn: T``]에 대하여 [eqn: y<a]이다.

∴ [eqn: logP<a]

따라서 [eqn: P``<`10` ^{a} ``]이다. (참)

14. [출제의도] 지수함수를 이해하고 지수방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {\P}`(k`,``a^{k}`)`,``{\Q}`(k`,``a^{2k}`)`,``{\R}`(k`,``k`)``]라 하면

[eqn: k`=`2``]일 때 [eqn: a^{2k}`=`k``]이므로 [eqn: a^{4}`=`2``]

∴ [eqn: a`=`root{``4}of{2}``] (∵ [eqn: a`>`1`])

∴ [eqn: a ^{x} `=`2 ^{{x} over {4}} `],  [eqn: a ^{2x} `=`2 ^{{x} over {2}} `]

ㄱ. [eqn: k`=`4``]이면 [eqn: LEFT ( root{4}of{2} RIGHT )^{`8}`=`4``]이므로 [eqn: a^{2k}`=`k``]이다.

따라서 점 [eqn: rm Q]와 점 [eqn: rmR]는 일치한다. (참)

ㄴ. [eqn: bar{\PQ}`=` LEFT | `2^{{k}over{2}}`-`2^{{k}over{4}}`RIGHT |``=12``]이다.

이때 [eqn: 2 ^{{k} over {4}} `=`t``(t>0)]라 하면

[eqn: t ^{`2} `-`t`=`12``] 또는 [eqn: t ^{`2} `-`t`=`-12``]이다.

i) [eqn: t ^{`2} `-`t`=`12``]인 경우 [eqn: (t`-`4)(t`+`3)`=`0``]에서

[eqn: t>0]이므로 [eqn: t=4]

∴ [eqn: 2^{{k}over{4}}`=`4``]

∴ [eqn: {k}over{4}`=`2`]

∴ [eqn: k`=`8``]

ii) [eqn: t ^{`2} `-`t`=`-12``]인 경우 [eqn: t ^{2} `-`t`+`12`=`0``]의 판별식이 음수이므로 [eqn: t>0] 조건을 만족시키는 실수 [eqn: t``]가 존재하지 않는다. 따라서, [eqn: k]도 존재하지 않는다.

i), ii)에 의하여 [eqn: k`=`8``]이므로 [eqn: {\Q}`(8`,``16`)``], [eqn: {\R}`(8`,``8`)``]

∴ [eqn: bar{\QR}`=`8``] (참)

ㄷ. [eqn: bar{\PQ}`=` LEFT | `2^{{k}over{2}}`-`2^{{k}over{4}}`RIGHT |``]에서 [eqn: 2^{{k}over{4}}`=`t``]([eqn: t`>`0``])라 하면 [eqn: bar{\PQ}`=`|`t^{`2}`-`t``|``]이다.

이때 [eqn: y`=` LEFT | t ^{2} `-`t` RIGHT | `=` LEFT | LEFT ( t`-` {1} over {2} RIGHT ) ^{`2} `-` {1} over {4} `` RIGHT | `]의 그래프는 다음과 같다.

따라서 [eqn: bar{rm PQ it} `=` {1} over {8} `]을 만족시키는 양의 실수 [eqn: t]의 값은 3개이므로 실수 [eqn: k``]의 값도 [eqn: 3``]개이다. (거짓)

15. [출제의도] 무한등비급수를 활용하여 수학내적문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

삼각형 [eqn: rm PQR``]의 내접원의 반지름을 [eqn: a _{1}]이라 하면[eqn: sqrt {2} a _{1} +a _{1} =root2]에서 [eqn: a _{1} =2-root2]이고

[eqn: S _{1} = {1} over {2} times ( 2root2 -2 ) times 1 = root2 -1]

삼각형 [eqn: rm PP_{it n-1} R_{it n-1}]의 내접원의 반지름을 [eqn: a_n]이라 하면

[eqn: sqrt {2} a _{n} +a _{n} = {sqrt {2} a _{n-1}} over {2}]

∴ [eqn: a _{n} = {sqrt {2} -1} over {sqrt {2}} a _{n-1}`]

따라서 수열 [eqn: LEFT { a_{n}`RIGHT }``]이 공비가 [eqn: {sqrt {2} -1} over {sqrt {2}}]인 등비수열을 이루므로 수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }]은 공비가 [eqn: LEFT ( {sqrt {2} -1} over {root2} RIGHT ) ^{2} = {3-2 sqrt {2}} over {2}]인 등비수열을 이룬다.

∴ [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {sqrt {2} -1} over {1- {3-2 sqrt {2}} over {2}} = {6-2 sqrt {2}} over {7}]

∴ [eqn: p+q={4}over{7}]

16. [출제의도] 함수의 연속의 정의를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: lim _{x -> -0} {} f(x)=-1] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{x -> 1-0} {} LEFT { f(x)+g(x) RIGHT } =(-1)+1=0]이고

[eqn: lim _{x -> 1+0} {} LEFT { f(x)+g(x) RIGHT } =1+(-1)=0]이므로

[eqn: lim _{x -> 1} {} LEFT { f(x)+g(x) RIGHT } =0]이다.

[eqn: x=1]에서 함숫값 [eqn: f(1)+g(1)=0]이다.

[eqn: lim _{x -> 1} {} LEFT { f(x)+g(x) RIGHT } =f(1)+g(1)]이므로

[eqn: f(x) + g(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다. (참)

ㄷ. (반례) [eqn: lim _{x -> 1-0} {} (f CIRC g)(x)= lim _{x -> 1-0} {} f(x)=`-1]이고

[eqn: lim _{x -> 1+0} {} (f CIRC g)(x)= lim _{x -> -1+0} {} f(x)=`-1]이므로

[eqn: lim _{x -> 1} {} (f CIRC g)(x)=`-1],

[eqn: (f CIRC g)(1)= f left( g(1) right) = f(0)=0]이다.

따라서 [eqn: lim _{x -> 1} {} (f CIRC g)(x) != (f CIRC g)(1)]이므로

함수 [eqn: left( f circ g right)(x)]는 [eqn: x=1]에서 불연속이다. (거짓)

17. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용한 증명을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sum _{i=1} ^{2k+1} LEFT ( i+k ^{2} RIGHT )]

[eqn: = sum _{i=1} ^{2k-1} LEFT ( i+k ^{2} RIGHT ) + sum _{i=2k} ^{2k+1} LEFT ( i+k ^{2} RIGHT )]

[eqn: = sum _{i=1} ^{2k-1} LEFT ( i+k ^{2} RIGHT ) + LEFT ( 2k+k ^{2} RIGHT ) + LEFT ( 2k+1+k ^{2} RIGHT )]

[eqn: = sum _{i=1} ^{2k-1} LEFT { i+(k-1) ^{2} +(2k-1) RIGHT } + LEFT ( 2k ^{2} +4k+1 RIGHT )]

[eqn: = sum_{i=1}^{2k-1} LEFT {i+(k-1)^2 right} + sum_{i=1}^{2k-1}{(2k -1)} + LEFT ( 2k^2 +4k+1 RIGHT )]

이므로 [eqn: f(k)=2k^2 +4k+1]이다.

한편

[eqn: sum _{i=1} ^{2k-1} LEFT { i+(k-1) ^{2} RIGHT } + sum _{i=1} ^{2k-1} (2k-1)+ LEFT ( 2k ^{2} +4k+1 RIGHT )]

[eqn: =(k-1) ^{3} +k ^{3} + sum _{i=1} ^{2k-1} (2k-1)+ LEFT ( 2k ^{2} +4k+1 RIGHT )]

[eqn: =(k-1) ^{3} +k ^{3} +(2k-1) ^{2} + LEFT ( 2k ^{2} +4k+1 RIGHT )]

[eqn: =k ^{3} -3k ^{2} +3k-1+k ^{3} +4k ^{2} -4k+1+2k ^{2} +4k+1`]

[eqn: =k ^{3} +k ^{3} +3k ^{2} +3k +1]

[eqn: =k ^{3} + LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{3}]

그러므로 [eqn: g(k)=k ^{3} +(k+1) ^{3}]이다.

∴ [eqn: {g(4)} over {f(4)} = {189} over {49} = {27} over {7}]

18. [출제의도] 함수에서 접선의 뜻을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

두 접점의 좌표를

[eqn: rm P LEFT ( `alpha ,``` alpha ^{3} -3` alpha ^{2} +2 alpha ` RIGHT )], [eqn: rm Q LEFT ( `beta ,``` beta ` ^{3} -3 beta ` ^{2} +2 beta ` RIGHT )]라 하면

ㄱ. [eqn: y'=3x ^{2} -6x+2]이므로 기울기가 [eqn: m]인 접선의 두 접점의 [eqn: x]좌표는  [eqn: 3x ^{2} -6x+2-m=0]을 만족하므로 [eqn: alpha+beta=2]이다. (참)

ㄴ. 기울기가 [eqn: m]인 접선의 두 접점이 존재하므로 [eqn: alpha], [eqn: beta]는 서로 다른 실수이다.

[eqn: 3x ^{2} -6x+2-m=0] 이 서로 다른 실근을 가지므로

[eqn: 3 ^{2} -3(2-m)>0]

[eqn: therefore] [eqn: m>-1] (참)

ㄷ. 두 접선은 평행하므로 두 접선 사이의 거리가 [eqn: rmbarPQ]가 되기 위해서는 두 접점 [eqn: rmP], [eqn: rm`Q]를 지나는 직선과 접선이 수직이어야 한다. 즉, 기울기의 곱은 [eqn: -1]이다.

[eqn: m TIMES {LEFT ( alpha ^{3} -3` alpha ^{2} +2 alpha RIGHT ) `- LEFT ( beta ` ^{3} -3` beta ` ^{2} +2 beta ` RIGHT )} over {alpha - beta } =`-1]

[eqn: m LEFT { alpha ^{2} + beta ^{2} + alpha ` beta `-3( alpha + beta )+2 RIGHT }` =`-1]

[eqn: m LEFT { ( alpha + beta ) ^{2} - alpha ` beta `-3( alpha + beta )+2 RIGHT }` =`-1]

그런데, [eqn: alpha`,``beta`]는 [eqn: 3x^{2}`-`6x`+`2`-`m`=`0``]의 두 근이므로

근과 계수와의 관계에 의하여

[eqn: alpha `+` beta `=`2`], [eqn: alpha `beta `=`{2`-`m}over{3}``]

∴ [eqn: m LEFT ( {2-m} over {3} RIGHT ) =1]

∴ [eqn: m ^{2} -2m+3=0]

판별식 [eqn: D over 4`=1 ^{2} -3=-2<0]이므로 실수 [eqn: m]이 존재하지 않는다.

따라서 두 접선 사이의 거리와 [eqn: rmbarPQ]가 같아지는 실수 [eqn: m]은 존재하지 않는다. (거짓)

19. [출제의도] 수열의 규칙성을 찾고 수열의 극한을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: n``]행에 있는 유리수들은

[eqn: 1 over 2^n], [eqn: {3} over {2 ^{n}}], [eqn: {5} over {2 ^{n}}], [eqn: cdots], [eqn: {2 ^{n} -1} over {2 ^{n}}]

이고, 분자를 나열한 수열이 첫째항이 [eqn: 1``]이고 공차가 [eqn: 2``]인 등차수열이므로 [eqn: n``]행의 총 항수를 [eqn: k``]라 하면 [eqn: 2k`-`1`=`2 ^{n} `-`1`]에서 [eqn: k`=`2 ^{n-1} ``]이다.

∴ [eqn: a _{n} `=` {2 ^{n} `-`1`} over {2 ^{n} ``}]

∴ [eqn: b_{n}`=` {1} over {2 ^{n}} ` TIMES ` {2 ^{n-1} ` LEFT { 1`+`(2 ^{n} `-`1`) RIGHT }} over {2} `][eqn: `=` {2 ^{n}} over {4} `]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {{b _{n}} over {(2 ^{n} +1)a _{n}}}`]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {{2 ^{n}} over {4}} over {(2 ^{n} +1) {2 ^{n} -1} over {2 ^{n}}}]

[eqn: = lim _{n -> INF }{2 ^{n} TIMES `2 ^{n}} over {4(2 ^{n} +1)(2 ^{n} -1)}]

[eqn: = lim _{n -> INF }{4 ^{n}} over {4(4 ^{n} -1)} `]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {1} over {4` LEFT { 1- LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n} RIGHT }} = {1} over {4}]

20. [출제의도] 도형의 넓이의 순간변화율을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

내접하는 사각형의 [eqn: x]축, [eqn: y]축 위의 두 꼭짓점을 각각 [eqn: rmS], [eqn: rmR]라 하고 선분 [eqn: rm {OC} `]와 선분 [eqn: rmPQ], 선분 [eqn: rm {RS}]의 교점을 각각 [eqn: rm{D}], [eqn: rmE]라 하자.

삼각형 [eqn: rm DOP]에서

[eqn: rm bar{DP} = bar{OP} sin {pi } over {36} it t][eqn: rm =sin {pi } over {36} t]

[eqn: rm bar{OD} = bar{OP} cos {pi } over {36} it t][eqn: =cos {pi } over {36} t]

[eqn: rm ANGLE EOS= {pi} over {4}]이므로 [eqn: rm bar{OE} `= bar{ES} `(= bar{DP} )]

이다. 그러므로 [eqn: rm□PQRS]의 넓이 [eqn: S(t)]는

[eqn: S(t)= rm bar{PQ} `cdotbarPS]

[eqn: = rm 2 bar{DP} ` CDOT LEFT ( bar{OD} - bar{OE} RIGHT )]

[eqn: =2sin {pi } over {36} t` LEFT ( cos {pi } over {36} t-sin {pi } over {36} t RIGHT )]

[eqn: =2sin {pi } over {36} t``cos {pi } over {36} t-2sin ^{2} {pi } over {36} t]

[eqn: =sin {pi } over {18} t`-2sin ^{2} {pi } over {36} t]

[eqn: S`` prime (t)= {pi } over {18} LEFT ( cos {pi } over {18} t-2sin {pi } over {36} t``cos {pi } over {36} t RIGHT )]

[eqn: = {pi } over {18} LEFT ( cos {pi } over {18} t-sin {pi } over {18} t RIGHT )]

[eqn: S`` prime (6)= {pi } over {18} LEFT ( cos {pi } over {3} -sin` {pi } over {3} RIGHT )]

[eqn: = {1- sqrt {3} `} over {36} pi]

21. [출제의도] 수열의 일반항을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{n} = rm barOP_{it n}]이라 하자.

[eqn: y_n = a_n`` sin { n-1 }over{3} pi]에서

[eqn: y_1 =0], [eqn: y_2 >0], [eqn: y_3 >0], [eqn: y_4 =0], [eqn: y_5 <0], [eqn: y_6 <0], [eqn: y_7 =0], [eqn: cdots] 으로 [eqn: y_n]의 부호가 주기적으로 바뀐다.

따라서 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 첫째항부터 몇 개의 항을 구하면

[eqn: a_1 = 1]	[eqn: a_2 = 1]	[eqn: a_3 = 1 over 2]
[eqn: a_4 = LEFT ( { 1} over {2 } RIGHT )^2]	[eqn: a_5 = LEFT ( { 1} over {2 } RIGHT )^2]	[eqn: a _{6} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} left( {4} over {3} right)]
[eqn: a _{7} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2}]	[eqn: a _{8} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2}LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2}]	...

으로 동경 [eqn: {rm OP}_1]에서 동경 [eqn: {rm OP}_7]까지 동경이 [eqn: 2 pi]만큼 회전하면 [eqn: a_7]은 [eqn: a_1]의  [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2}]배이다.

즉, [eqn: 2 pi]만큼씩 회전할 때마다 그 이전 길이의 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2}][eqn: = LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2}]배가 된다.

[eqn: a_n+6 = LEFT ( 2over3 RIGHT )^2 a_n]인 관계가 성립하므로

[eqn: a _{50} = LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} a _{44} = ``CDOTS`` = LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{16} a _{2} = LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{16}]

22. [출제의도] 거듭제곱근의 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(좌변)[eqn: = root {n} of {2} TIMES root {n} of {8} = root {n} of {16}]

(우변)[eqn: = root {8} of {2} = root {8 TIMES 4} of {2 ^{4}} = root {32} of {16}]

따라서 [eqn: n=32]이다.

[다른 풀이]

[eqn: 2^{1over n} times 2^{3 over n} = 2^{4 over n} = 2^{1 over 8}]

따라서 [eqn: {4} over {n} = {1} over {8}]이므로 [eqn: n=32]이다.

23. [출제의도] 무리방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 3^x`=`t(t>0)]라 하면 [eqn: t-root{t+2}=4]

∴ [eqn: t-4= sqrt {t+2}] ([eqn: t>4])

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: t ^{2} `-9t+14=0]

[eqn: (t-2)(t-7)=0], [eqn: t=2,```7]

[eqn: therefore`t=7] ([eqn: because][eqn: t>4])

[eqn: 3 ^{alpha} =7]

[eqn: therefore][eqn: 9` ^{alpha } =(3 ^{alpha} ) ^{2} =49]

24. [출제의도] 삼각함수의 합성을 이용하여 최댓값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sin` alpha `+`cos alpha `+sin` beta `+`cos beta `]

[eqn: = sqrt {2} `sin LEFT ( alpha + {pi } over {4} RIGHT ) + sqrt {2} `sin LEFT ( beta + {pi } over {4} RIGHT ) ```]

[eqn: = sqrt {2} ` LEFT { sin LEFT ( alpha + {pi } over {4} RIGHT ) +`sin` LEFT ( beta +` {pi } over {4} RIGHT ) RIGHT } `]

[eqn: =2 sqrt {2} `sin LEFT ( {alpha + beta } over {2} + {pi } over {4} RIGHT ) `cos LEFT ( {alpha - beta } over {2} RIGHT ) `]

[eqn: =2 sqrt {2} `sin LEFT ( {alpha + beta } over {2} + {pi } over {4} RIGHT ) `cos` {pi } over {6}]

[eqn: = sqrt {6} ``sin LEFT ( {alpha + beta } over {2} + {pi } over {4} RIGHT ) ``]

그러므로 [eqn: `sin LEFT ( {alpha + beta } over {2} + {pi } over {4} RIGHT ) ``=1]일 때

최댓값 [eqn: M```= sqrt {6}]이고, [eqn: `M`` ^{2} =6]

[참고]

[eqn: alpha = {5} over {12} pi]이고 [eqn: beta = {pi } over {12}]일 때

두 식 [eqn: {alpha +beta } over {2} = {pi } over {4}]과 [eqn: {alpha-beta } over {2} = {pi } over {6}]를 만족시킨다.

25. [출제의도] 삼각함수와 관련된 수학내적문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그림에서 [eqn: rmbar{AC _{2}} =2], [eqn: rm bar{C _{1} C _{2}}=2root10]이므로

[eqn: rm bar{AC _{1}} = sqrt { LEFT ( 2root10 RIGHT ) ^2 - 2^2} = root36 =6]

[eqn: rmangleC_2 C_1 A = { theta} over {2 }]이므로 [eqn: tan {theta } over {2} = {2} over {6} = {1} over {3}]

[eqn: tan` theta `= {2tan {theta } over {2}} over {1-tan ^{2} {theta } over {2}}]

[eqn: = {{2} over {3}} over {1- {1} over {9}} = {3} over {4}]

[eqn: therefore`120`tan`theta`=90]

26. [출제의도] 미분계수의 정의를 이용하여 미분계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: y=0``]을 대입하면

[eqn: f(x)=f(x)f(0)+4f(x)+4f(0)+12]

[eqn: LEFT { f(x)+4 RIGHT } LEFT { f(0)+3 RIGHT } =0]

[eqn: f(0)=-3]

[eqn: f` prime (x)= lim _{h -> 0} {{f(x+h)-f(x)`} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{f(x)f(h)+4f(x)+4f(h)+12-f(x)`} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{f(x)f(h)+3f(x)+4f(h)+12} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{LEFT { f(x)+4 RIGHT } LEFT { f(h)+3 RIGHT }} over {h}}]

[eqn: ={LEFT { f(x)+4 RIGHT } lim _{h -> 0} {{ f(h)+3 } over {h}} }]

[eqn: = LEFT { f(x)+4 RIGHT } lim _{h -> 0} {{f(h)-f(0)} over {h}}]

[eqn: = LEFT { f(x)+4 RIGHT } f`'(0)]

[eqn: =2 LEFT { f(x)+4 RIGHT }]

[eqn: therefore][eqn: f`'(ln2)= 2left{ f(ln2) +4 right} =8]

[다른 풀이]

(가)에서 양변에 [eqn: 4]를 더하여 인수분해하면

[eqn: f(x+y)+4= LEFT { f(x)+4 RIGHT } LEFT { f(y)+4 RIGHT }]

[eqn: f(x)+4=g(x)]라 하면

[eqn: g(x+y)=g(x)g(y)]  …㉠

㉠에서 [eqn: y=0]이라 하면

[eqn: g(x)=g(x)g(0)]

[eqn: g(x) LEFT { 1-g(0) RIGHT } =0]

[eqn: g(0)=1]

[eqn: f`'(x)=g'(x)]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{g(x+h)-g(x)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h-> 0} {{g(x)g(h)-g(x)} over {h}}]

[eqn: =g(x)` lim _{h -> 0} {{g(h)-1} over {h}}]

[eqn: =g(x)`` lim _{h -> 0} {{g(h)-g(0)} over {h}}]

[eqn: =g(x)``g` prime (0)] [eqn: (` BECAUSE `g` prime (0)=f` prime (0)=2)]

[eqn: =2g(x)=2 LEFT { f(x)+4 RIGHT }]

따라서

[eqn: f prime (ln2)=2 LEFT { f(ln2)+4 RIGHT }][eqn: =2times4][eqn: =8]

27. [출제의도] 삼각함수의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: rm O _{1}]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm F], 직선 [eqn: rmO _{1} O _{2}]와 현 [eqn: rmBC], 호 [eqn: rmBC]의 교점을 각각 [eqn: rm D], [eqn: rmE]라 하자.

[eqn: rm bar{O _{1} F}][eqn: = rm bar{O _{1} E}][eqn: =f(theta)], [eqn: rm ANGLE OO _{1} F= theta]

[eqn: rm bar{OE} = bar{OO _{1}} + bar{O _{1} E}][eqn: = {f( theta ) it} over {cos theta } +f( theta )][eqn: =1]

[eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) = {costheta} over {1+costheta}]

[eqn: rm bar{OD} =sin theta], [eqn: rm bar{ED} =1-sin theta `]이므로

[eqn: g( theta )= {1-sin theta } over {2}]

[eqn: lim _{theta -> {pi } over {2} -0} { {g( theta )} over {LEFT { f( theta ) RIGHT } ^{2}} }= lim _{theta -> {pi } over {2} -0} {{ {1-sin theta } over {2}} over {LEFT ( {costheta} over {1+costheta} RIGHT )^2}}]

[eqn: = lim _{theta -> {pi } over {2} -0} { {(1-sin theta )(1+cos theta ) ^{2}} over {2cos ^{2} theta }}]

[eqn: {pi } over {2} -theta =t]라 하면, [eqn: theta={pi } over {2} -t]이고

[eqn: sin` theta =sin` LEFT ( {pi } over {2} -t RIGHT ) =cos`t], [eqn: cos` theta =cos` LEFT ( {pi } over {2} -t RIGHT ) =sin`t]

[eqn: theta-> {pi} over {2} -0]일때 [eqn: t -> +0]이다.

(주어진 식) [eqn: = lim _{t -> +0} {} {(1-cost)(1+sint) ^{2}} over {2sin ^{2} t}]

[eqn: = lim _{t -> +0} {} {(1-cost`)(1+sint) ^{2}} over {2 LEFT ( `1-cos ^{2} t` RIGHT )}]

[eqn: = lim _{t -> +0} {} {(1+sint) ^{2}} over {2(1+cost)}]

[eqn: = {1} over {4} = {q} over {p}]

따라서 [eqn: p=4], [eqn: q = 1`]이므로 [eqn: p ^{2} +q ^{2} =17]이다.

28. [출제의도] 무한급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그림에서 [eqn: a _{n} =2n-1`(n ge1)]

[eqn: sum _{n=1} ^{24} {500} over {LEFT ( `a _{n} +1` RIGHT ) LEFT ( `a _{n} +3` RIGHT )} = sum _{n=1} ^{24} {500} over {2n(`2n+2`)}]

[eqn: = sum _{n=1} ^{24} {125} over {n(n+1)}]

[eqn: =125 sum _{n=1} ^{24} LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+1} RIGHT )=120]

29. [출제의도] 그래프의 경로를 이해하는가를 묻는 문제이다.

그림과 같이 [eqn: rm P `, `Q `,` R] 순으로 지나는 경로가 [eqn: 4]개, [eqn: rm P `, `Q `,`R,` Q] 순으로 지나는 경로가 [eqn: 2]개, [eqn: rm Q`, `P `,`Q,` R] 순으로 지나는 경로가 [eqn: 2]개, [eqn: rm R `, `Q `,` `P] 순으로 지나는 경로가 [eqn: 1]개로 모두 [eqn: 9]개다.

30. [출제의도] 수열의 규칙성을 찾아 수열의 극한값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(k)= LEFT ( k-1 RIGHT ) n+n-k+1]

[eqn: = LEFT ( n-1 RIGHT ) k+1]

이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} f(k)`=` sum _{k=1} ^{n} LEFT { (n-1)k+1 RIGHT }]

[eqn: =`(n-1) {n(n+1)} over {2} +n]

[eqn: = {1} over {2} n LEFT ( n ^{2} +1 RIGHT )]

[eqn: lim _{n -> INF } {{12 sum _{k=1} ^{n} f(k)} over {n ^{3}}} = lim _{n -> INF } {{6n LEFT ( n ^{2} +1 RIGHT )} over {n ^{3}}} =6]

수리‘나’형 정답

1	④	2	②	3	①	4	④	5	①
6	⑤	7	③	8	①	9	②	10	②
11	⑤	12	③	13	⑤	14	②	15	④
16	④	17	⑤	18	③	19	①	20	③
21	②	22	[eqn: 32]	23	[eqn: 105]	24	[eqn: 97]	25	[eqn: 65]
26	[eqn: 5]	27	[eqn: 570]	28	[eqn: 120]	29	[eqn: 9]	30	[eqn: 6]

해 설

1~2. ‘가’형과 동일

3. [출제의도] 수열의 극한을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: cos`n` pi `=`(-1) ^{n} `]이므로

[eqn: ` lim _{n -> INF } {} {n ^{2} +n`cos`n` pi } over {n ^{2} `+`1} ``=` lim _{n -> INF } {} {1+ {1} over {n} `cos`n` pi } over {1`+` {1} over {n ^{2}}} ``]

[eqn: =` lim _{n -> INF } {} {1+ {(-1) ^{n}} over {n}} over {1`+` {1} over {n ^{2}}} ``][eqn: =1]

[다른 풀이]

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: -1`` LEQ `cos`n `pi`le`1``]이므로
[eqn: -` {n} over {n ^{2} `+`1} ` LEQ ` {n} over {n ^{2} `+`1} `cos`n pi ` LEQ ` {n} over {n ^{2} `+`1} ``]

그런데 [eqn: lim _{n -> INF } {} {n} over {n ^{2} `+`1} `=` lim _{n -> INF } {} {{1} over {n}} over {1`+` {1} over {n ^{2}}} `=`0``]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} {n`} over {n ^{2} `+`1} `cos`n` pi `=`0``]

또, [eqn: lim _{n -> INF } {} {n^{2}} over {n ^{2} `+`1} `=` lim _{n -> INF } {} {1} over {1`+` {1} over {n ^{2}}} `=`1``]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {} {n(n`+`cos`n` pi )} over {n ^{2} `+`1} `]

[eqn: =` lim _{n -> INF } {} {n ^{2}} over {n ^{2} `+`1} ``+` lim _{n -> INF } {} {n`} over {n ^{2} `+`1} `cos`n` pi `]

[eqn: =`1`]

4. [출제의도] 지수법칙을 이해하여 주어진 식의 값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 3 ^{x} `=`t``]라 하면 [eqn: t`>`0``]이고

[eqn: 3 ^{1`-`x} `=` {3} over {3 ^{x}} `=` {3} over {t} `], [eqn: 9^{x}`=`3^{2x}`=`t^{2}`], [eqn: 9 ^{1-x} `=` {9} over {9 ^{x}} `=` {9} over {t ^{2}} `]

∴ [eqn: 9 ^{x} `+`9 ^{1-x} `=`t ^{2} `+` {9} over {t ^{2}} `=` LEFT ( t`+` {3} over {t} RIGHT ) ^{2} `-`2`․`t`․` {3} over {t} `]

[eqn: =`10 ^{2} `-`6`=`94``]

[참고]

산술평균과 기하평균 사이의 관계에 의해

모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: 3 ^{x} `+`3 ^{1-x} ` GEQ `2` sqrt {3 ^{x`+`(1`-`x)}} `=`2` sqrt {3} `]

5. [출제의도] 그래프를 행렬로 나타낼 수 있는가를 묻는 문제이다.

그래프의 꼭짓점 사이의 연결 관계를 행렬로 나타내었을 때, 행렬의 모든 성분의 합은 그래프의 변의 개수의 [eqn: 2]배이다. 주어진 그래프의 변의 개수가 [eqn: 7]이므로 성분의 합은 [eqn: 14]이다.

[다른 풀이]

구하는 행렬은

[eqn: pmatrix{``0``&``0``&``1``&``1``&``1``#0&0&1&1&1#1&1&0&1&0#1&1&1&0&0#1&1&0&0&0}]

이므로 모든 성분의 합은 [eqn: 14]이다.

6. [출제의도] 로그의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log`` _{a`} 2=log` _{b} `5=log` _{c`} 10=log` _{abc`} `x= {1} over {k}] 이라고 하면,

[eqn: log` _{2`} a=log` _{5`} b=log` _{10`} c=log` _{x`} abc=k] 이다. 따라서,

[eqn: a=2 ^{k}], [eqn: b=5 ^{k}], [eqn: c=10 ^{k}] 이므로 [eqn: ab=c] 이다.

∴ [eqn: k=log` _{x`} `abc=log` _{x`} c ^{2} `]

이때, [eqn: k=log` _{x} `c ^{2} `=log` _{x`} 10 ^{2k} =k`log` _{x} 100] 이므로

[eqn: x=100]

[다른 풀이]

[eqn: {log ``2}over{log``a}={log`` 5}over{log`` b} = {log``10}over{log``c}={log`` 2 + log``5 + log`` 10}over{log``a + log`` b + log``c }]

[eqn: ={log`` 100}over{log`` abc}=log``_{abc}100]

∴ [eqn: x=100]

7. [출제의도] 행렬을 이용하여 연립일차방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: pmatrix{`5&2#2`&5} pmatrix{x#y} = pmatrix{k&0#0&k} pmatrix{x#y}]를 정리하면

[eqn: {pmatrix{`5-k&2#2`&5-k}} {pmatrix{x#y} = {pmatrix{0#0}}]

행렬 [eqn: pmatrix{`5-k&2#2`&5-k}]의 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: LEFT ( 5-k RIGHT )^2 - 2^2 =0]     ∴ [eqn: k=3], [eqn: 7]

따라서 모든 상수 [eqn: k]의 합은 [eqn: 10]이다.

8. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 수의 대소를 비교할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: c={x+1}over{x}]이라 하면 [eqn: log `_{a`}c > log`_{b`}c>0]이다.

[eqn: {1} over {log`_{c`}a} > {1} over {log`_{c`}b}>0]이므로 [eqn: 0<log` _{c} a<log` _{c`} b]이다.

그런데  [eqn: c>1]이므로 [eqn: 1<a<b]이다.

9~11. ‘가’형과 동일

12. [출제의도] 무한등비급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

등비수열 [eqn: left{a _{n}right}]의 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} = { 1} over {1-r }=3]이므로 [eqn: r={ 2} over {3 }]이다.

수열 [eqn: LEFT { a_3n-2 RIGHT }]는 첫째항이 [eqn: 1]이고 공비가 [eqn: 8 over 27]인 등비수열이고

수열 [eqn: LEFT { a _{3n-1} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: {2} over {3}]이고 공비가 [eqn: 8 over 27]인 등비수열이다. 따라서

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{3n-2} -a _{3n-1} RIGHT ) = {1} over {1- {8} over {27}} - {{2} over {3}} over {1- {8} over {27}}]

[eqn: = 9 over 19]

13~15. ‘가’형과 동일

16. [출제의도] 수열의 규칙성을 찾고 수열의 극한값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a_n = bar { {rm OA}_n}], [eqn: b_n = bar { {rm OB}_n}]이라 하면

[eqn: a _{n} =2+ LEFT ( n-1 RIGHT ) a], [eqn: b _{n} =2+ LEFT ( n-1 RIGHT ) b]이므로

[eqn: S _{n} = {1} over {2} a _{n} b _{n} sin {pi } over {3} = {sqrt {3}} over {4} LEFT ( an+2-a RIGHT ) LEFT ( bn+2-b RIGHT )]

이다. 그런데

[eqn: lim _{n -> INF } {{S _{n}} over {n ^{2}}} = lim _{n -> INF } {{sqrt {3}} over {4} LEFT ( a+ {2-a} over {n} RIGHT ) LEFT ( b+ {2-b} over {n} RIGHT )}]

[eqn: = {sqrt {3}} over {4}ab=5 sqrt { 3}]

이므로 [eqn: ab=20]이다. 따라서 양의 정수 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( a`, ``b RIGHT )]의 개수는 [eqn: 6]이다.

17. ‘가’형과 동일

18. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이해하여 수열의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{n} =3 ^{n-1}], [eqn: b _{n} =n(n-1)cdot cdots cdot 2 cdot 1 =n!]

[eqn: 1 LEQ n LEQ 4] 일 때 [eqn: a _{n} ge b _{n}]이므로 [eqn: c_n = b _{n}]

[eqn: n GEQ 5]일 때 [eqn: a _{n} <b _{n}]이므로 [eqn: c _{n} =a _{n}]

[eqn: n]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: cdots]
[eqn: a _{n}]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 9]	[eqn: 27]	[eqn: 81]	[eqn: cdots]
[eqn: b _{n}]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 6]	[eqn: 24]	[eqn: 120]	[eqn: cdots]
[eqn: c _{n}]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 6]	[eqn: 24]	[eqn: 81]	[eqn: cdots]

∴[eqn: sum _{n=1} ^{50} 2c _{n} =`2` LEFT ( sum _{n=1} ^{4} n!+ sum _{n=5} ^{50} 3 ^{n-1} RIGHT )]

[eqn: =2 `LEFT { 1+2+6+24+ {3 ^{4} (3 ^{46} -1)} over {3-1} RIGHT }]

[eqn: =3 ^{50}-15]

19. ‘가’형과 동일

20. [출제의도] 수열을 귀납적인 방법을 이용하여 항의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{1} =1,```````b _{1} =1] 이고,

[eqn: a _{n+1} =a _{n} +b _{n} ,``````b _{n+1} =a _{n}] 이므로

[eqn: a _{2} =2], [eqn: b _{2} =1]

[eqn: a _{3} =3], [eqn: b _{3} =2]

[eqn: a _{4} =5], [eqn: b _{4} =3]

[eqn: a _{5} =8], [eqn: b _{5} =5]

[eqn: a _{6} =13], [eqn: b _{6} =8]

[eqn: a _{7} =21], [eqn: b _{7} =13]

∴[eqn: a`_7 + b`_7 = 34]

[다른 풀이]

[eqn: a _{1} =1,```````b _{1} =1] 이고, [eqn: a _{n+1} =a _{n} +b _{n} ,``````b _{n+1} =a _{n}] 이므로

[eqn: {pmatrix{a _{n+1}#b _{n+1}}} = {pmatrix{1``&1#1``&0}} {pmatrix{a _{n}#b _{n}}}]로 나타낼 수 있다. 이 때,

[eqn: A= pmatrix{1&`1#1&`0}] 이라 하면,

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{2&`1#1&``1}}], [eqn: A ^{3} = pmatrix{3&`2#2&`1}], [eqn: A ^{4} = pmatrix{5&`3#3&`2}],

[eqn: A ^{5} = pmatrix{8&`5#5&`3}], [eqn: A ^{6} = pmatrix{13&`8#8&`5}]이므로

[eqn: pmatrix{a _{7}#b _{7}} =A ^{6} it pmatrix{a _{1}#b _{1}} = pmatrix{13&8#8&5} pmatrix{1#1} = pmatrix{21#13}]

∴[eqn: a`_7 + b`_7 = 34]

21~22. ‘가’형과 동일

23. [출제의도] 등비수열을 이용하여 등차수열의 합을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a_n = 5^n]이므로

[eqn: sum_{n=1}^{20} log_{25} a_n = sum_{n=1}^{20} log_{25} 5^n]

[eqn: = sum _{n=1} ^{20} {n} over {2} = {1} over {2} CDOT {20 LEFT ( 20+1 RIGHT )} over {2} =105]

24. [출제의도] 계차수열을 이용하여 수열의 극한값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: b _{n} = {4} over {n(n+2)} =2 LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+2} RIGHT)]

[eqn: a _{n} =a _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} b _{k}]

[eqn: = a_1 + sum _{k=1} ^{n-1} 2 LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+2} RIGHT )]

[eqn: =a _{1} +2 LEFT { LEFT ( 1- {1} over {3} RIGHT ) RIGHT . + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {4} RIGHT ) + `CDOTS `+ LEFT ( {1} over {n-1} - {1} over {n+1} RIGHT ) right}]

[eqn: =a _{1} +2 LEFT (1+ 1over2 - 1overn - 1 overn+1 right)]

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} = lim _{n->inf} { LEFT { a _{1} +2 LEFT (1+ 1over2 - 1overn - 1 overn+1 right) RIGHT } }]

[eqn: =a _{1} +3=100]

이므로 [eqn: a_1 = 97]이다.

25. [출제의도] 수열의 합을 이용하여 수열의 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: S_n = {}_{n+2}{rm C}_{3}={(n+2)(n+1)n}over{6}]이다.

[eqn: n=1]일 때, [eqn: a_1 = S_1 = 1]이고

[eqn: n geq 2]일 때,

[eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1}]

[eqn: = {(n+2)(n+1)n} over {6} - {(n+1)n(n-1)} over {6}]

[eqn: = {n(n+1)} over {2}]

이므로

[eqn: n geq 1]일 때, [eqn: a_n = {n LEFT ( n+1 RIGHT ) }over{2}]이다.

∴[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{k+1} -a _{k} RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( a _{2} -a _{1} RIGHT ) + LEFT ( a _{3} -a _{2} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( a _{11} -a _{10} RIGHT )]

[eqn: =a_11 -a_1]

[eqn: =66-1=65]

[다른 풀이]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{k+1} -a _{k} RIGHT )][eqn: = sum _{k=1} ^{10} a _{k+1} - sum _{k=1} ^{10} a _{k}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{11} a _{k} - sum _{k=1} ^{10} a _{k} -a _{1}]

[eqn: =S _{11} -S _{10} -S _{1}]

[eqn: = _{13} rm C it rm _{3} - _{12} rm C it rm _{3} - _{3} rmC _{3}]

[eqn: = _{12} rm C it rm _{2} - _{3} rmC _{3} =65]

[참고]

[eqn: n ge 1]이고 [eqn: 1 le k le n]일 때,

[eqn: {}_{n+1}{rm C}_{k} = {}_{n}{rm C}_{k}+{}_{n}{rm C}_{k-1}]

26. [출제의도] 수열의 극한값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A _{n} = {6n(1+6n)} over {2} =3n(6n+1)]

[eqn: B _{n} =A _{n} - sum _{k=1} ^{2n} 3k]

[eqn: =3n(6n+1)-3n LEFT ( 2n+1 RIGHT )][eqn: =12n ^{2}]

이므로

[eqn: lim_{n -> inf}{ { A_n} over {B_n } } = lim_{n -> inf } { { 3n(6n+1)} over {12n^2 } } = { 3} over {2 }]

∴[eqn: p+q=5]

27. [출제의도] 수열의 규칙성을 찾고 수열의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a_n = k]([eqn: k]는 자연수)라 하면

[eqn: k- 1over 2 < sqrt n < k + 1over 2]

[eqn: k^2 -k + 1over 4 < n < k^2 + k + 1over 4]

그런데 [eqn: n]은 자연수이므로 [eqn: a_n = k]을 만족하는 [eqn: n]은 [eqn: k ^2 - k+1]부터 [eqn: k^2 +k]까지 모두 [eqn: 2k]개다. 즉,

[eqn: a_1 = a_2 = 1]

[eqn: a_3 = a_4 = a_5 = a_6 = 2]

[eqn: a _{7} =a _{8} =a _{9} =a _{10} =][eqn: a _{11} =a _{12} =3]

[eqn: vdots]

[eqn: a_73 = a_74 = `cdots` = a_90 = 9]

[eqn: sum _{n=1} ^{90} a _{n} =1 CDOT 2+2 CDOT 4+3 CDOT 6+ cdots+9 CDOT 18]

[eqn: = sum _{k=1} ^{9} k CDOT 2k][eqn: =2 sum _{k=1} ^{9} k ^{2}]

[eqn: =2 TIMES {9 cdot 10 cdot19} over {6}][eqn: =570]

[참고]

두 정수 [eqn: a], [eqn: b] ([eqn: a<b])에 대하여

[eqn: a<n<b]을 만족시키는 정수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: b-a-1]

[eqn: a`le`n<b]을 만족시키는 정수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: b-a]

[eqn: a<n leb]을 만족시키는 정수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: b-a]

[eqn: a le n le b]을 만족시키는 정수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: b-a+1]

28~30. ‘가’형과 동일