수학 B형 정답

1	①	2	③	3	③	4	④	5	②
6	②	7	④	8	⑤	9	②	10	③
11	②	12	①	13	②	14	⑤	15	③
16	①	17	④	18	⑤	19	①	20	④
21	⑤	22	[eqn: 96]	23	[eqn: 4]	24	[eqn: 34]	25	[eqn: 32]
26	[eqn: 440]	27	[eqn: 120]	28	[eqn: 160]	29	[eqn: 5]	30	[eqn: 35]

해 설

1. [출제의도] 지수가 유리수인 수들의 곱을 계산한다.

[eqn: 2 ^{` {2} over {3}} TIMES 54 ^{{1} over {3}} =2 ^{{2} over {3} + {1} over {3}} TIMES 3 ^{{3} over {3}}]

[eqn: =6]

2. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 로그를 계산한다.

[eqn: log _{3} ``18-log _{3} ``4 + log _{3} ``6]

[eqn: =log` _{3} `left({18 times 6} over {4} right)]

[eqn: =log _{3} ``27]

[eqn: =log _{3} ``3 ^{3}]

[eqn: =3]

3. [출제의도] 그래프를 나타내는 행렬과 그래프의 관계를 이용하여 변의 개수를 구한다.

그래프에서 변의 개수가 [eqn: 9]이므로 이 그래프를 나타내는 행렬의 성분 중 [eqn: 1]의 개수는 [eqn: 9]의 [eqn: 2]배인 [eqn: 18]이다.

4. [출제의도] 그래프의 평행이동을 이용하여 로그함수의 값을 구한다.

함수 [eqn: y=log` _{5} `x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동시키면

[eqn: y-2=log` _{5} `(x-a)]

이 그래프가 점 [eqn: (9,``3)]을 지나므로

[eqn: 3-2=log` _{5} `(9-a)]

[eqn: log` _{5} `(9-a)=1]

[eqn: 9-a=5]

∴ [eqn: a=4]

5. [출제의도] 등차수열의 일반항을 구한다.

수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } `]은 공차가 [eqn: 2]인 등차수열이므로

[eqn: a _{n} =a _{1} +2(n-1)`]

[eqn: a_3 `a_5 = a_2 `a_8`]이므로

[eqn: (a _{1} +4)(a _{1} +8)=(a _{1} +2)(a _{1} +14)`]

[eqn: a _{1} ` ^{2} +12a _{1} +32=a _{1} ` ^{2} +16a _{1} +28`]

[eqn: 4a _{1} =4`]

[eqn: a _{1} =1]

따라서 [eqn: a _{n} =1+2(n-1)][eqn: =2n-1]이다.

∴ [eqn: a _{7} =13]

6. [출제의도] 로그부등식의 해를 구한다.

로그의 진수 조건에서

[eqn: x-10>0`]이고 [eqn: x-20>0`]

∴ [eqn: x>20`] … ㉠

[eqn: log`(x-10)+log`(x-20)<2+log``6]에서

[eqn: log`(x-10)(x-20)<log``600]

[eqn: (x-10)(x-20)<600]

[eqn: x ^{2} -30x-400<0]

[eqn: (x+10)(x-40)<0]

[eqn: -10<x<40] … ㉡

㉠, ㉡에서 부등식의 해는 [eqn: 20<x<40]이다.

∴ [eqn: alpha + beta =20+40][eqn: =60]

7. [출제의도] 행렬의 역행렬을 구한다.

[eqn: A ^{-1}= {pmatrix{```````3&``````````2#-2&``-1}}^-1][eqn: = {pmatrix{`-1&```-2#``````2&``````````3}}]

[eqn: pA+qE= {pmatrix{```3p+q&`````2p#-2p&``-p+q}}]

[eqn: A^-1 = pA+qE`]에서

[eqn: 3p+q=-1], [eqn: 2p=-2]

[eqn: p=-1], [eqn: q=2]

∴ [eqn: pq=-2]

8. [출제의도] 행렬과 로그를 이용하여 연립방정식의 해를 갖지 않도록 하는 조건을 구한다.

주어진 연립방정식이 해를 갖지 않으므로

행렬 [eqn: {pmatrix{`log `_{3} `a`&3#`1`&`log `_{3} `{a} over {9}`}}]의 역행렬이 존재하지 않는다.

[eqn: log` _{3} a TIMES log _{3} {a} over {9} -3times1=0]

[eqn: log` _{3} a(log` _{3} a-2)-3=0]

[eqn: LEFT ( log` _{3} a right) ^{2} -2log` _{3} a-3=0 RIGHT .]

[eqn: t=log` _{3} a]로 놓으면

[eqn: t ^{2} -2t-3=0]

[eqn: (t+1)(t-3)=0]

[eqn: t=-1] 또는 [eqn: t=3]

[eqn: log` _{3} `a=-1] 또는 [eqn: log` _{3} `a=3]

[eqn: a= {1} over {3}] 또는 [eqn: a=27]

(ⅰ) [eqn: a= {1} over {3}]일 때,

[eqn: {pmatrix{`-1`&````````3#```````1`&``-3`}} `` {pmatrix{``x``#``y``}} `= {pmatrix{~~1`#`-1`}} `]이므로

[eqn: {-1} over {1} = {3} over {-3} = {1} over {-1}]이다.

따라서 주어진 연립방정식은 무수히 많은 해를 갖는다.

(ⅱ) [eqn: a=27]일 때,

[eqn: {pmatrix{`3`&``3#`1`&``1}} `` {pmatrix{``x``#``y``}} `= {pmatrix{~~1`#`-1`}} `]이므로

[eqn: {3} over {1} = {3} over {1} != {1} over {-1}]이다.

따라서 주어진 연립방정식은 해를 갖지 않는다.

∴ [eqn: a=27]

9. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

[eqn: P_1 = 72-65 over 14 times (1.05)^10`]

[eqn: = 1 over 2 times 1.05^10`] … ㉠

[eqn: 4P_1 = 79-65 over 14 times (1.05)^x`]

[eqn: = 1.05^x`] … ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: 4 times 1 over 2 times 1.05^10 = 1.05^x`]

[eqn: 1.05^x-10 = 2`]

[eqn: 1.05^14 = 2]이므로

[eqn: 1.05^x-10][eqn: =1.05^14`]

[eqn: x-10 =14`]

∴ [eqn: x=24`]

10. [출제의도] 상용로그의 지표를 이용하여 수열의 합을 구한다.

(ⅰ) [eqn: 1 LEQ n <10]일 때,

[eqn: log`1 LEQ log`n<log`10]

[eqn: 0le log`n<1]

[eqn: a _{n} = 0]

(ⅱ) [eqn: 10 LEQ n <100]일 때,

[eqn: log`10 LEQ log`n<log`100]

[eqn: 1 LEQ log`n<2]

[eqn: a _{n} =1]

(ⅲ) [eqn: 100 LEQ n LEQ200]일 때,

[eqn: log`100 LEQ log`n le log`200][eqn: <log`1000]

[eqn: 2 LEQ log`n<3]

[eqn: a _{n} = 2]

∴ [eqn: sum _{k=1} ^{200} (-1) ^{a _{k}}]

[eqn: =(-1) ^{a _{1}} +(-1) ^{a _{2}} +(-1) ^{a _{3}} +cdots+(-1) ^{a _{200}}]

[eqn: =(-1) ^{0} TIMES 9+(-1) ^{1} TIMES 90+(-1) ^{2} TIMES 101]

[eqn: =9-90+101]

[eqn: =20]

11. [출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 명제의 참, 거짓을 판단한다.

ㄱ. [eqn: AB+A^2 =A(B+A)=E`]

[eqn: A^-1 = B+A]

따라서 [eqn: A`]의 역행렬이 존재한다. (참)

ㄴ. [eqn: AB+A^2 =E]에서

[eqn: AB=E-A^2] … ㉠

ㄱ에서 [eqn: A^-1 = B+A`]이므로

[eqn: A(B+A)=][eqn: (B+A)A=E`]

[eqn: BA+A^2 =E`]

[eqn: BA=E-A^2] … ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: AB=BA`] (참)

ㄷ. ㄴ에서 [eqn: AB=BA`]이므로

[eqn: AB+BA =A^2 +B^2 `]에서

[eqn: 2AB=A^2 +B^2`] … ㉢

[eqn: AB+A^2 =E]에서

[eqn: A^2 = E-AB] … ㉣

㉣을 ㉢에 대입하면

[eqn: 2AB=E-AB+B^2]

[eqn: 3AB-B^2 =E`]

[eqn: (3A-B)B=E`]

[eqn: B^-1 =3A-B`]

[eqn: p=3], [eqn: q=-1]

[eqn: p+q=2] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

12. [출제의도] 지수함수를 활용하여 조건에 맞는 행렬을 찾아 역행렬을 구한다.

[eqn: rmA(1,``2)], [eqn: rmB(2,``4)], [eqn: rmC ``LEFT ( 1,`` {1} over {2} RIGHT )], [eqn: rmD left(2,``1 over 4 right)]이므로

[eqn: a=2], [eqn: b=4], [eqn: c= 1 over 2], [eqn: d= 1 over 4]

행렬 [eqn: P= {pmatrix{`2`&`4`#`1 over 2`&`1 over 4`}}`]이므로

[eqn: P ^{-1} = {1} over {{1} over {2} -2} {pmatrix{```````` {1} over {4} `&`-4`#`- {1} over {2} `&````````2`}} `][eqn: =- {2} over {3} {pmatrix{````````` {1} over {4} `&`-4`#`- {1} over {2} `&````````2`}} `]

[eqn: = {pmatrix{`````- {1} over {6} `&````````` {8} over {3} `#```````````` {1} over {3} `&``- {4} over {3} `}} `]

따라서 [eqn: P^-1]의 모든 성분의 합은

[eqn: - 1 over 6 + 8 over 3 + 1 over 3 - 4 over 3 = 3 over 2]

13. [출제의도] 곡선 위의 두 점을 잇는 직선의 기울기를 구한다.

직선 [eqn: rmAB]의 기울기는

[eqn: m _{1} = {4-2} over {2-1} =2]

직선 [eqn: rm CD]의 기울기는

[eqn: m _{2} = {{1} over {4} - {1} over {2} } over {2-1}][eqn: =][eqn: - 1 over 4]

[eqn: m_2 =km_1]에서 [eqn: - 1 over 4 = 2 k]

∴ [eqn: k=- 1over8]

14. [출제의도] 지수함수의 그래프에서 조건을 만족하는 원의 개수를 추론한다.

반지름의 길이가 [eqn: r]이고 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 모두 접하는 원의 중심의 좌표는

[eqn: (r,``r)], [eqn: (r,``-r)], [eqn: (-r,``r)], [eqn: (-r,``-r)]

꼴이므로 원의 중심이 직선 [eqn: y=x] 또는 [eqn: y=-x] 위에 있다.

그러므로 원의 중심이 곡선 [eqn: y=2`^x +n] 위에 있고 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 모두 접하는 원의 개수는 곡선 [eqn: y=2^x +n]과 직선 [eqn: y=x] 또는 [eqn: y=-x]의 교점 중 원점이 아닌 점의 개수와 같다.

(ⅰ) [eqn: n =-2]일 때,

곡선 [eqn: y=2`^x -2]는 직선 [eqn: y=x]와 원점이 아닌 서로 다른 두 점에서 만나고, 직선 [eqn: y=-x]와 원점이 아닌 한 점에서 만난다.

∴ [eqn: f(-2) =2+1=3]

(ⅱ) [eqn: n=0]일 때,

곡선 [eqn: y=2`^x]은 직선 [eqn: y=x]와 만나지 않고, 직선 [eqn: y=-x]와 원점이 아닌 한 점에서 만난다.

∴ [eqn: f(0)=1]

(ⅲ) [eqn: n =2]일 때,

곡선 [eqn: y=2`^x +2]는 직선 [eqn: y=x]와 만나지 않고, 직선 [eqn: y=-x]와 원점이 아닌 한 점에서 만난다.

∴ [eqn: f(2)=1]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여

[eqn: f(-2) +f(0) +f(2)]

[eqn: = 3+1+1=5]

15. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 삼각형 넓이의 일반항을 구하여 그 합을 구한다.

곡선 [eqn: y=4 ^{x}] 위의 점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: ( a_n ` ,``4 ^{a_n} `)]이라 하면

삼각형 [eqn: rm OAP]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES root {3} of {2} TIMES 4 ^{a_n} =2 ^{-1} TIMES 2 ^{{1} over {3}} TIMES 2 ^{2a_n}]

[eqn: =2 ^{2a_n - {2} over {3}}]

[eqn: {TRIANGLE rm OAP}=4 ^{n}]이므로

[eqn: 2 ^{2a_n - {2} over {3}} =4 ^{n}][eqn: =2 ^{2n}]

[eqn: 2a_n - {2} over {3} =2n]

[eqn: a _{n} =n+ {1} over {3}]

∴ [eqn: sum _{k=1} ^{9} a _{k} `][eqn: = sum _{k=1} ^{9} LEFT ( `k+ {1} over {3} ` RIGHT ) `]

[eqn: = sum _{k=1} ^{9} k+ sum _{k=1} ^{9} {1} over {3}]

[eqn: = {9times10} over {2} +9times {1} over {3}]

[eqn: =48]

16. [출제의도] 수열의 합과 일반항과의 관계를 이용하여 일반항을 구한다.

[eqn: sum _{k=1} ^{15} `left(` S _{2k} - S _{2k-1} right)]

[eqn: =(S _{2} -S _{1} )+(S _{4} -S _{3} )+cdots+(S _{30} -S _{29} )][eqn: =a _{2} +a _{4} +a _{6} +` CDOTS `+a _{30}]

이때, 수열 [eqn: left{a _{n} right}]의 공차가 [eqn: 3]이므로 수열 [eqn: left{a _{2n} right}]은 첫째항이 [eqn: a _{2} =a _{1} +3]이고 공차가 [eqn: 6]인 등차수열이다.

[eqn: a _{2} +a _{4} +a _{6} +` CDOTS `+a _{30}]

[eqn: =][eqn: {15 LEFT { 2(a _{1} +3)+(15-1) TIMES 6 RIGHT }} over {2}]

[eqn: = 15(a_1 + 45)]

[eqn: =750]

[eqn: a _{1} +45=50]

[eqn: a _{1} =5]

∴ [eqn: a _{30} =`a _{1} +29 TIMES 3]

[eqn: =5+87]

[eqn: =92]

17. [출제의도] 행렬의 연산과 등비수열의 합을 이용하여 행렬의 거듭제곱을 추론한다.

[eqn: A ^{2} -3A+2E=O`]에서

[eqn: A ^{2`}-A = 2(A-E)]

[eqn: A ^{3} -A ^{2} =A(A^2 -A)][eqn: =2A(A-E)][eqn: =2(A ^{2} -A)]

[eqn: =4(A-E)]

[eqn: =2 ^{2} (A-E)]

[eqn: A ^{4} -A ^{3} =A(A ^{3} -A ^{2} )][eqn: =4A(A-E)][eqn: =4(A ^{2} -A)]

[eqn: =8(A-E)]

[eqn: =2 ^{3} (A-E)]

[eqn: vdots`]

[eqn: A ^{n} -A ^{n-1} = BOX{```2^n-1```} `(A-E)]

위 등식들을 변끼리 더하면 좌변은

[eqn: (A ^{2} -A)+(A ^{3} -A ^{2} )+(A ^{4} -A ^{3} )+cdots+(A ^{n} -A ^{n-1} )]

[eqn: =A ^{n} -A]

이고, 우변은

[eqn: (2+2 ^{2} +2 ^{3} +cdots+2 ^{n-1} )(A-E)]

[eqn: = {2(2 ^{n-1} -1)} over {2-1} (A-E)]

[eqn: =(2 ^{n} -2)(A-E)]

이다. 그러므로

[eqn: A ^{n} -A= BOX{```(2 ^{n} -2)```} `(A-E)]

∴ [eqn: A ^{n} = BOX{```(2 ^{n} `-2)``} `(A-E)+A]

[eqn: f(n)=2 ^{n-1}], [eqn: g(n)=2 ^{n} -2]

∴ [eqn: f(9)+g(9)=2 ^{8} +2 ^{9} -2]

[eqn: =766]

18. [출제의도] 접선의 기울기를 이용하여 부분분수로 표현된 수열의 합을 구한다.

점 [eqn: (2n,``0)]에서 원에 그은 접선 [eqn: l]의 기울기를 [eqn: m]이라 하면

[eqn: y=m(x-2n)]

[eqn: mx-y-2mn=0]

이 직선이 중심이 [eqn: (-1,``0)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원에 접하므로

[eqn: {|-m-2mn|} over {sqrt{m^2 +1}} =1]

[eqn: m^2 (2n+1)^2 = m^2 +1]

[eqn: m^2 (4n^2 +4n+1) = m^2 +1]

[eqn: 4n(n+1)m^2 = 1]

[eqn: m^2 = 1 over {4n(n+1)}]

[eqn: a_n = left(`]접선 [eqn: l]의 기울기의 제곱[eqn: `right)]이므로

[eqn: a_ n][eqn: = 1 over {4n(n+1)}]

∴ [eqn: sum _{k=1} ^{40} ` a_k][eqn: = sum _{k=1} ^{40} {1} over {4k(k+1)}]

[eqn: = 1over4sum _{k=1} ^{40} {1} over {(k+1)-k} left( {1} over {k} - {1} over {k+1} right)]

[eqn: = {1} over {4} sum _{k=1} ^{40} left( {1} over {k} - {1} over {k+1} right)]

[eqn: = {1} over {4} LEFT { LEFT ( {1} over {1} - {1} over {2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( {1} over {40} - {1} over {41} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = {1} over {4} left(1- {1} over {41} right)]

[eqn: = {10} over {41}]

[다른 풀이]

점 [eqn: {rm A }it _{n}]을 [eqn: (2n,`0)], 원의 중심을 [eqn: rmC][eqn: (-1,`0)]이라 하자. 점 [eqn: {rm A }it rm _{n}]에서 원에 그은 두 개의 접선 [eqn: l_1], [eqn: l_2]의 접점을 각각 [eqn: rmT_1], [eqn: rmT_2]라 하면 삼각형 [eqn: rm C A it rm _{n}\T _{1}]은 [eqn: bar{{rmA}_n{rmC}} it =2n+1`], [eqn: rm bar{CT _{1}} =1`]인 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리에 의하여

[eqn: bar{rm T _{1} rm A it rm _{n} it} = sqrt {(2n+1) ^{2} -1} = sqrt {4n(n+1)}]

[eqn: ANGLE rm CA it rm _{n} rm T _{1} = theta `]라 하면 접선 [eqn: l _{1]의 기울기는

[eqn: tan`(180°- theta )=-tan` theta `]

[eqn: ANGLE rm CA it rm _{n} rm T _{1} = ANGLE rm CA it rm _{n} rm T _{2}]이므로

접선 [eqn: l _{2}]의 기울기는

[eqn: tan(180°+theta)=tantheta]

[eqn: a _{n} = tan^2 theta]

[eqn: = 1over{4n(n+1)]

19. [출제의도] 상용로그의 지표의 성질을 이용하여 조건을 만족하는 자연수를 구한다.

[eqn: log``4N]의 지표와 [eqn: log ``N^2]의 지표가 같으려면 [eqn: 4N]과 [eqn: N^2]의 자리수가 같아야 한다.

(ⅰ) [eqn: 1 le 4N <10]이고 [eqn: 1 le N^2 <10]일 때,

[eqn: N = 1], [eqn: 2]

(ⅱ) [eqn: 10 le 4N <100]이고 [eqn: 10 le N^2 <100]일 때,

[eqn: N =][eqn: 4], [eqn: 5], …, [eqn: 9]

(ⅲ) [eqn: 100 le 4N <1000]이고 [eqn: 100 le N^2 <1000]일 때,

[eqn: N =][eqn: 25], [eqn: 26], …, [eqn: 31]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 조건을 만족하는 [eqn: N]은

[eqn: 1, ``2], [eqn: 4,``5,`` cdots,` 9], [eqn: 25,``26,`` cdots,``31]

이므로 [eqn: N]의 개수는 [eqn: 15]이다.

[참고]

(ⅰ) [eqn: 31^2 = 961], [eqn: 32^2 =( 2^5 )^2 =2^10 = 1024]이므로

[eqn: N GE32]인 두 자리 자연수 [eqn: N]에 대하여 [eqn: 4N]은 세 자리의 자연수, [eqn: N^2]은 네 자리의 자연수이므로 조건을 만족시키는 [eqn: N]은 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: N]이 [eqn: n]자리수이면 [eqn: 4N]은 최대 [eqn: (n+1)]자리수이고, [eqn: N^2]은 최소 [eqn: (2n-1)]자리수이다.

따라서 [eqn: n GE 3]이면 [eqn: n+1 < 2n-1]이므로 조건을 만족하는 자연수 [eqn: N]은 존재하지 않는다.

20. [출제의도] 수열의 규칙을 발견하여 조건을 만족시키는 일반항을 구한다.

조건 (나)에서

[eqn: a_2 = 8+ a_1]

[eqn: a_3 = 8+ (a_1 +a_2 )][eqn: =`2a _{2}]

[eqn: a _{4} =8+(a_1 +a_2 + a_3 ) = 2a_3 = 2^2 a_2]

[eqn: vdots]

[eqn: a _{10} = 2^8 a_2]

조건 (가)에 의해 [eqn: a_10 = 2^8 a _{2} LEQ 5120`]

[eqn: a _{2} = 8+ a_1 leq20]

[eqn: a_1 le 12]

따라서 [eqn: a_1]의 최댓값은 [eqn: 12]이다.

[다른 풀이]

[eqn: S_n = sum _{ k=1} ^{n }a_k]라 하면 조건 (나)에 의해

[eqn: a_n = 8+ S_n-1] [eqn: (n ge 2)] … ㉠

㉠에 [eqn: n]대신 [eqn: n+1]을 대입하면

[eqn: a_n+1 = 8 +S_n] … ㉡

㉡[eqn: -]㉠을 하면

[eqn: a_n+1 - a_n = S_n - S_n-1]

[eqn: =a_n] [eqn: (n ge 2)]

[eqn: a_n+1 = 2a_n] [eqn: (n ge 2)]

∴ [eqn: a_n = a_2 `·`2^n-2] [eqn: (n ge 2)]

조건 (가)에 의해 [eqn: a_10 = 2^8 a _{2} LEQ 5120`]

[eqn: a _{2} = 8+ a_1 leq20]

[eqn: a_1 le 12]

따라서 [eqn: a_1]의 최댓값은 [eqn: 12]이다.

21. [출제의도] 등차수열을 이용하여 물통을 채우는 시간을 구한다.

물통 [eqn: rm A,~B,~C,~D`]의 반지름의 길이는 이 순서대로 등차수열을 이루므로

[eqn: a,~a+d,~a+2d,~a+3d`] (단, [eqn: a], [eqn: d]는 양의 실수)

라 하고, 물통의 높이를 [eqn: h`]라 하자.

물통 [eqn: rm A,~B,~C,~D`]의 부피는 각각

[eqn: a ^{2} h` pi], [eqn: (a+d) ^{2} h` pi], [eqn: (a+2d) ^{2} h` pi], [eqn: (a+3d) ^{2} h` pi `]

이고, 물통에 매분 [eqn: pi] L의 물을 넣어 물통 [eqn: rm A], [eqn: \B], [eqn: \C], [eqn: \D]를 채우는 데 걸리는 시간은 각각

[eqn: {a ^{2} h` pi } over {pi } =a ^{2} h`]

[eqn: {(a+d) ^{2} h`pi`} over {pi} =(a+d) ^{2} h]

[eqn: {(a+2d) ^{2} h` pi } over {pi } =(a+2d) ^{2} h]

[eqn: {(a+3d) ^{2} h` pi `} over {pi } =(a+3d) ^{2} h]

이다. 조건 (가), (나)에 의해

[eqn: {(a+d) ^{2} h`}`=` {a ^{2} h} +8`]

[eqn: {(a+2d) ^{2} h`} `=` {(a+d) ^{2} h} +16`]

두 식을 연립하면 [eqn: {adh} =2,`] [eqn: {d ^{2} h} =4`]이다.

[eqn: a`]와 [eqn: d`]는 모두 양수이므로 [eqn: d = 2a], [eqn: h = 1overa^2]

따라서 물통 [eqn: rm D`]를 채우는 데 걸리는 시간은

[eqn: {(a+3d) ^{2} h`}][eqn: = LEFT ( 7 a} RIGHT ) ^{2} `·`1overa^2 `=49`](분)

[다른 풀이]

물통 [eqn: rmA]를 채우는 데 걸리는 시간을 [eqn: t](분)이라 놓자. 물통의 높이와 물통에 들어가는 물의 양이 일정하므로 물통의 부피의 비는 밑면의 넓이의 비와 같고 각 물통을 채우는 데 걸리는 시간의 비와 같다.

따라서

[eqn: {(a+d) ^{2}} over {a ^{2}} = {t+8} over {t}] … ㉠

[eqn: {(a+2d) ^{2}} over {(a+d) ^{2}} = {t+24} over {t+8}] … ㉡

㉠, ㉡을 변끼리 곱하면

[eqn: {(a+2d) ^{2}} over {a ^{2}} = {t+24} over {t}] … ㉢

㉠, ㉢에서

[eqn: 3 TIMES {(a+d) ^{2} }OVERa^2 -{(a+2d) ^{2}} over {a ^{2}}][eqn: ={ 3(t+8)} over {t } - { t+24} over {t }]

[eqn: {2a ^{2} +2ad-d ^{2}}over{a ^{2}} =2]

[eqn: 2a ^{2} +2ad-d ^{2} =2a ^{2}]

[eqn: d(2a-d)=0]

[eqn: d!=0]이므로 [eqn: d=2a]

㉠에 대입하면 [eqn: {9a ^{2}} over {a ^{2}} = {t+8} over {t}]

[eqn: 9= {t+8} over {t}]

∴ [eqn: t=1]

물통 [eqn: \D]를 채우는 데 걸리는 시간을 [eqn: t_{\D}]라 하면

[eqn: t_{\D}over {t }= {(a+3d) ^{2}} over {a ^{2}}][eqn: = 49]

∴ [eqn: t_{\D} = 49]

22. [출제의도] [eqn: sum _{ } ^{ }]의 성질을 이용하여 수열의 합을 구한다.

[eqn: sum _{k=5} ^{10} ` (2k+1 )][eqn: = sum _{k=1} ^{10} ` (2k+1 ) - sum _{k=1} ^{4} ` (2k+1 )]

[eqn: = 2 times {10 times 11} over {2} +10 - left( 2 times {4 times 5} over {2} +4right)]

[eqn: = 96]

[다른 풀이]

[eqn: sum _{k=5} ^{10} ` (2k+1 )]은 첫째항이 [eqn: 11], 끝항이 [eqn: 21], 항의 개수가 [eqn: 6]인 등차수열의 합이므로

[eqn: sum _{k=5} ^{10} ` (2k+1 ) = {6(11+21)} over {2} = 96]

23. [출제의도] 행렬의 거듭제곱을 구한다.

[eqn: A^2 =][eqn: {pmatrix{``2``&``-1``#``5``&``-2``}} ^2 =][eqn: {pmatrix{``2``&``-1``#``5``&``-2``}} {pmatrix{``2``&``-1``#``5``&``-2``}}]

[eqn: ={pmatrix{``-1``&````````0``#````````0``&``-1``}} =-E]

[eqn: A^4 = (-E)^2 = E]

[eqn: A^2013 = (A^4 )^503 A][eqn: = E ^503 A][eqn: = A]

따라서 [eqn: A^2013]의 모든 성분의 합은

[eqn: 2-1+5-2=4]

[참고]

[eqn: n]이 자연수일 때,

[eqn: A^4n-3 =A], [eqn: A^4n-2 = -E], [eqn: A^4n-1 =-A], [eqn: A^4n =E]

24. [출제의도] 계차수열을 이용하여 수열의 일반항을 구한다.

[eqn: a _{n+1} -a _{n} =2n+3]이므로

[eqn: a _{5} =a _{1} + sum _{k=1} ^{4} (2k+3)]

[eqn: = 2+ 2 times {4times 5}over2 + 3 times 4]

[eqn: =34]

[다른 풀이]

[eqn: a _{n+1} -a _{n} =2n+3]에서

[eqn: a _{n+1} =a _{n} +2n+3]이고

[eqn: a_1 = 2]이므로

[eqn: a _{2} =a _{1} +5=7]

[eqn: a _{3} =a _{2} +7=14]

[eqn: a _{4} =a _{3} +9=23]

[eqn: a _{5} =a _{4} +11=34]

25. [출제의도] 연립방정식의 해가 무수히 많을 조건을 구한다.

[eqn: {pmatrix{``5``&``2``#``4``&``8``}} ` {pmatrix{``x``#``y``}} =k {pmatrix{``x``#``y``}}]

[eqn: {pmatrix{``5``&``2``#``4``&``8``}} ` {pmatrix{``x``#``y``}}][eqn: =pmatrix {` k& ````0`#`0 &````k` } pmatrix { `x` #` y` }]

[eqn: {pmatrix{``5-k``&``2``#``4``&``8-k``}} ` {pmatrix{``x``#``y``}} = {pmatrix{``0``#``0``}}]

이 연립방정식이 [eqn: x=0], [eqn: y=0] 이외의 해를 가지므로

행렬 [eqn: {pmatrix{``5-k``&``2``#``4``&``8-k``}}]의 역행렬이 존재하지 않는다.

[eqn: (5-k)(8-k)-8=0]

[eqn: k ^{2} -13k+32=0]

이 이차방정식의 두 실근을 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면 근과 계수와의 관계에 의해

[eqn: alpha beta = 32]

26. [출제의도] 약수의 개수와 관련하여 수열의 합을 구한다.

[eqn: 6 ^{n} =(2times3) ^{n} =2 ^{n}`·` 3 ^{n}]에서 [eqn: 6 ^{n}]의 전체 양의 약수의 개수는 [eqn: (n+1)(n+1)=][eqn: (n+1) ^{2}]이다.

한편, 짝수인 양의 약수의 개수는 전체 양의 약수의 개수에서 홀수인 양의 약수의 개수를 뺀 것과 같다. 이때, 홀수인 양의 약수는 [eqn: 3 ^{n}]의 양의 약수와 같으므로 그 개수는 [eqn: n+1]이다. 즉,

[eqn: a _{n} =(n+1) ^{2} -(n+1)][eqn: =n ^{2} +n]

∴ [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} = sum _{k=1} ^{10} (k ^{2} +k)]

[eqn: = {10 TIMES 11 TIMES 21} over {6} + {10 TIMES 11} over {2}]

[eqn: =385+55]

[eqn: =440]

[다른 풀이]

[eqn: 6 ^{n} =2 ^{n}`·` 3 ^{n}]의 짝수인 양의 약수는 반드시 [eqn: 2]를 인수로 가진다. 그러므로 [eqn: 6 ^{n}]의 짝수인 양의 약수의 개수는 [eqn: 2^n-1 `·`3^n]의 양의 약수의 개수와 같다.

따라서 조건을 만족하는 양의 약수의 개수는

[eqn: "{"(n-1)+1"}"(n+1)=n(n+1)]

[참고]

자연수 [eqn: N]을 소인수분해하였을 때,

[eqn: N=p ^{alpha} q ^{beta} r ^{gamma}]

([eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]는 서로 다른 소수, [eqn: alpha`geq1], [eqn: beta`geq1], [eqn: gamma`geq1])

이라고 하면 [eqn: N]의 양의 약수의 개수는

[eqn: (alpha+1)(beta+1)(gamma+1)]

27. [출제의도] 등비수열의 합을 이용하여 등식을 만족시키는 조건을 구한다.

주어진 등비수열의 일반항을 [eqn: b _{n}], 공비를 [eqn: r`]라 하면 [eqn: b _{1} =3]이므로 [eqn: b _{n} =3r ^{n-1}]이고, 수열 [eqn: left{ {1} over {b _{n}} right}]은 첫째항이 [eqn: {1} over {3}], 공비가 [eqn: {1} over {r}]인 등비수열이다.

[eqn: 3+a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{10} +40][eqn: = {3(r ^{12} -1)} over {r-1}]

[eqn: {1} over {3} + {1} over {a _{1}} + {1} over {a _{2}} + `CDOTS `+ {1} over {a _{10}} + {1} over {40}]

[eqn: = { 1over3 LEFT { 1- LEFT ( 1overr RIGHT )^12 RIGHT } } over {1- 1over r }]

[eqn: = {r(r ^{12} -1)} over {3r ^{12} (r-1)}]

[eqn: 3+a _{1} +a _{2} + `CDOTS `+a _{10} +40`][eqn: =k` LEFT ( {1} over {3} + {1} over {a _{1}} + {1} over {a _{2}} + CDOTS + {1} over {a _{10}} + {1} over {40} RIGHT ) `]

[eqn: {3(r ^{12} -1)} over {r-1} = {kr(r ^{12} -1)} over {3r ^{12} (r-1)}]

∴ [eqn: k = 9r^11]

[eqn: b _{12} =3r^11 =40]이므로

[eqn: k = 9r^11][eqn: = 3 `·`3 r^11 = 3 times 40][eqn: =120]

28. [출제의도] 부등식의 영역을 이용하여 지수함수의 최댓값을 구한다.

집합 [eqn: A cup B`]를 나타내는 영역은 그림과 같다.

[eqn: left( 1 over 2 right)^3x+4y]에서 [eqn: 0< 1over2 <1]이므로 [eqn: 3x+4y]가 최솟값을 가질 때, [eqn: left( 1 over 2 right)^3x+4y]은 최댓값을 갖는다.

[eqn: 3x+4y=k]로 놓으면 직선 [eqn: y = - 3 over 4 x + k over 4]가 제[eqn: 3]사분면에서 원과 접할 때, [eqn: k]의 값이 최소이다.

따라서 [eqn: {|`-k`|} over {sqrt{3^2 +4^2 }} = 1], [eqn: k = -5] (∵ [eqn: k<0])

∴ [eqn: M_1 =][eqn: left( 1 over 2 right)^-5 = 32]

또, [eqn: 2^3x-4y]에서 [eqn: 2>1]이므로 [eqn: 3x-4y]가 최댓값을 가질 때, [eqn: 2^3x-4y]은 최댓값을 갖는다.

[eqn: 3x-4y=k]로 놓으면 직선 [eqn: y = 3 over 4 x - k over 4]가 점 [eqn: (1,``-1)]을 지날 때, [eqn: k]의 값이 최대이다.

[eqn: k = 3 `·`1 -4`·`(-1 )=7]

∴ [eqn: M_2 =][eqn: 2^7 = 128]

따라서 [eqn: M_1 + M_2 = 32+128=160]

29. [출제의도] 등차수열의 성질을 이용하여 여러 가지 수열의 일반항을 구한다.

수열 [eqn: left{b _{n} right}]의 첫째항과 공차가 같으므로

[eqn: b _{2} =2b _{1}], [eqn: b _{3} =3b _{1}]

[eqn: b _{1} = {a _{2}} over {a _{1}}]에서 [eqn: a _{2} =a_1 b _{1}]

[eqn: b _{2} = {a _{3}} over {a _{2}} =2b _{1}]에서 [eqn: a _{3} =2a_2 b _{1} =2a_1 b _{1} ` ^{2}]

[eqn: b _{3} = {a _{4}} over {a _{3}} =3b _{1}]에서 [eqn: a _{4} =3a_3 b _{1} =6a_1 b _{1} ` ^{3}]

[eqn: a _{4} =144]에서 [eqn: a_1 b _{1} ` ^{3} =24]

이때, [eqn: 24=2 ^{3} times3]이고 네 개의 수 [eqn: a_1`], [eqn: a_2`], [eqn: a_3`], [eqn: a_4`]와 [eqn: b _{1}]이 자연수이고 [eqn: a_1 <a_2 <a_3 <a_4]이므로

[eqn: a_1 =3`], [eqn: b _{1} =2`]

∴ [eqn: a _{1} +b _{1} =5]

30. [출제의도] 규칙성을 찾아 여러 가지 수열의 일반항을 구한다.

표에 나열된 수를 다음과 같이 묶어보자.

([eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5])

([eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: cdots], [eqn: 14])

([eqn: 15`], [eqn: 16], [eqn: 17`], [eqn: cdots], [eqn: 27])

[eqn: vdots]

[eqn: n`]번째 묶음의 첫째항을 [eqn: a_n `]이라 하면

[eqn: left{`a_n`right}`] : [eqn: 1`], [eqn: 6], [eqn: 15], [eqn: 28], [eqn: cdots`]

[eqn: b_n = a_n+1 -a_n `]이라 하면

[eqn: left{`b_n`right}`] : [eqn: 5], [eqn: 9], [eqn: 13], [eqn: cdots`]

수열 [eqn: left{`b_n`right}`]은 첫째항이 [eqn: 5]이고 공차가 [eqn: 4]인 등차수열이므로

[eqn: b _{n} =5+4(n-1)=4n+1]

∴ [eqn: a _{n} =1+ sum _{k=1} ^{n-1} (4k+1)=2n ^{2} -n]

[eqn: a _{9} =153<174<190=a _{10} `]이므로 [eqn: 174]는 [eqn: 9]번째 묶음의 [eqn: 22]번째 수이다.

[eqn: n]번째 묶음에 포함된 수의 개수를 나열하면

[eqn: 5], [eqn: 9], [eqn: 13], …

즉, 첫째항이 [eqn: 5]이고 공차가 [eqn: 4]인 등차수열을 이룬다. 따라서 [eqn: 9]번째 묶음에 포함된 수의 개수는

[eqn: 5+(9-1) TIMES 4=37`]

이때, [eqn: 9]번째 묶음은 제[eqn: 19]행의 제[eqn: 1`]열부터 제[eqn: 18]열까지 앞에서부터 [eqn: 18]개의 수가 배열되고 제[eqn: 18]행, 제[eqn: 1`8]열에 하나의 수가 배열되고 제[eqn: 18]행, 제[eqn: 19]열부터 위쪽으로 [eqn: 18]개의 수가 배열된다.

따라서 [eqn: 174]는 제[eqn: 16]행, 제[eqn: 19]열의 수이다.

∴ [eqn: 16+19=35]

	[eqn: cdots]	제[eqn: 14]열	제[eqn: 15]열	제[eqn: 16]열	제[eqn: 17]열	제[eqn: 18]열	제[eqn: 19]열
[eqn: vdots]							[eqn: vdots]
제[eqn: 16]행							[eqn: 174]
제[eqn: 17]행							[eqn: 173]
제[eqn: 18]행						[eqn: 171]	[eqn: 172]
제[eqn: 19]행	[eqn: cdots]	[eqn: 166]	[eqn: 167]	[eqn: 168]	[eqn: 169]	[eqn: 170]

[다른 풀이]

제[eqn: 2n`]행, 제[eqn: 2n`]열에 있는 수를 [eqn: a_n`]이라 하자.

제[eqn: 2`]행, 제[eqn: 2`]열에 있는 수는 [eqn: 3`]이고, 제[eqn: 4`]행, 제[eqn: 4`]열로 이동하기 위해서는 제[eqn: 3`]열의 [eqn: 2`]칸, 제[eqn: 5`]행의 [eqn: 5`]칸을 지나온 것과 같으므로 제[eqn: 4`]행, 제[eqn: 4`]열의 수는

[eqn: 3+(2+5)=10`]

같은 방법으로 제[eqn: 4`]행, 제[eqn: 4`]열의 수가 제[eqn: 6`]행, 제[eqn: 6`]열의 수로 이동하기 위해서는 제[eqn: 5`]열의 [eqn: 4`]칸, 제[eqn: 7`]행의 [eqn: 7`]칸을 지나온 것과 같으므로 제[eqn: 6`]행, 제[eqn: 6`]열의 수는

[eqn: 10+(4+7)=21`]

같은 방법으로 제[eqn: 6`]행, 제[eqn: 6`]열의 수가 제[eqn: 8`]행, 제[eqn: 8`]열의 수로 이동하기 위해서는 제[eqn: 6`]열의 [eqn: 6`]칸, 제[eqn: 9`]행의 [eqn: 9]칸을 지나온 것과 같으므로 제[eqn: 8`]행, 제[eqn: 8`]열의 수는

[eqn: 21+(6+9)=36`]

그러므로 수열 [eqn: left{a_n `right}]의 계차수열 [eqn: left{ `b_n ` right}]은 첫째항이 [eqn: 7`]이고 공차가 [eqn: 4`]인 등차수열이다.

[eqn: b_n = 7+4(n-1)]

[eqn: =4n+3`]

[eqn: a_1 = 3]이므로

[eqn: a_n = 3+ Sum from k=1 to n-1 `(4k+3)`]

[eqn: =2n^2 +n `]

[eqn: a_9 = 171`]이고 [eqn: 3`]칸을 더 이동해야 [eqn: 174`]가 되므로 오른쪽으로 [eqn: 1`]칸 이동한 후 위로 [eqn: 2`]칸 이동한 빈칸에 [eqn: 174`]가 배열된다.

따라서 [eqn: 174`]는 제[eqn: 16`]행, 제[eqn: 19`]열의 수이다.