◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형 / ‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

2010학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지

수리 영역 (나형)

성명			수험번호						3

제 2 교시

◦ 문제지에 성명과 수험번호를 정확히 써 넣으시오.

◦ 답안지에 성명과 수험번호를 써 넣고, 또 수험번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

고 3	수리 영역 (나형)

	수리 영역 (나형)	고 3

8

8

1. [eqn: LEFT . log`` _{3} `` LEFT ( sqrt {3 ^{3}} ․` root {3} of {3} RIGHT . RIGHT ) ^{2}`]의 값은? [[eqn: 2`]점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 10 over 3]	③ [eqn: 11over 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 13 over 3]

2. 두 사건 [eqn: A,``B`]에 대하여

[eqn: {rm P}(A)=` {1} over {2} `,```{rm P}(A SMALLINTER B)=` {1} over {4} `,```{rm P}(A CUP B)=` {7} over {12}]

일 때, [eqn: {rm P}(B)`]의 값은? [[eqn: 2`]점]

① [eqn: 1 over 4]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 1 over 2]	④ [eqn: 2 over 3]	⑤ [eqn: 3 over 4]

3. [eqn: lim _{n -> `INF } {{1} over {sqrt{n^2 +n+1} - sqrt {n^2 -n +1}}}`]의 값은? [[eqn: 2`]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

4. 남자 [eqn: 3`]명과 여자 [eqn: 4`]명이 한 줄로 서서 등산을 할 때, 남자가 양끝에 서는 경우의 수는? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 360]	② [eqn: 480]	③ [eqn: 600]	④ [eqn: 720]	⑤ [eqn: 1440]

5. 실수 전체의 집합에서 양의 실수의 집합으로 대응되는 함수 [eqn: f(x)`]가 임의의 실수 [eqn: a`,```b`]에 대하여 [eqn: f(ab)= LEFT { f(b) RIGHT } ^{a} `]을 만족할 때, [eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) +f LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) +f LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) `]의 값은? (단, [eqn: f(1)=64 `]) [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]	④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

6. 첫째항과 공차가 같은 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]의 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, [eqn: S _{n} =ka _{n}`]을 만족하는 [eqn: k`]가 두 자리 자연수가 되게 하는 [eqn: n`]의 최댓값은? (단, [eqn: a _{1} != 0`]) [[eqn: 3]점]

① [eqn: 191]	② [eqn: 193]	③ [eqn: 195]	④ [eqn: 197]	⑤ [eqn: 199]

7. 이차정사각행렬 [eqn: A`]는 다음 두 조건을 만족한다.

	(가) [eqn: A^2 - A+E``=O] (나) [eqn: A`` pmatrix { ``1``#``2`` }= pmatrix{```````3``# ``-1``}`]

연립방정식 [eqn: (A+E)`` PMATRIX{``x ``#``y``}=pmatrix{``3``#``6``}`]의 해를 [eqn: x= alpha`,``` y= beta`]라고 할 때, [eqn: alpha + beta`]의 값은? (단, [eqn: O`]는 영행렬이고, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [[eqn: 4`]점]

① [eqn: 0`]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: 2`]	④ [eqn: 3`]	⑤ [eqn: 4]

8. 부등식 [eqn: y >= x ^{2} `]의 영역에 속하는 점 [eqn: {rm P} (x`,```y)`]에 대하여 [eqn: log` _{2} (y+1)-log` _{2} `|`x`|`]의 최솟값은? [[eqn: 4`]점]

① [eqn: {3} over {4}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {5} over {4}]	④ [eqn: {3} over {2}]	⑤ [eqn: {7} over {4}]

9. 영행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 [eqn: A`,```B]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: O`]는 영행렬이고, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [[eqn: 4`]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: AB=O``]이면 [eqn: A ^{2} B ^{2} =O] ㄴ. [eqn: A+B=E``]이면 [eqn: AB=BA] ㄷ. [eqn: A ^{2} =O``]이면 행렬 [eqn: A+E]의 역행렬이 존재하지 않는다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

10. 어떤 고등학교 학생회장 선거에 갑과 을, 두 명의 후보가 출마했다. 갑과 을의 선거운동 시작 전 지지율은 각각 [eqn: 70%`], [eqn: 30%`]이었으나 선거 운동 후 갑을 지지하던 학생 중 [eqn: 60%`]가  을에게 투표하여 을이 [eqn: 57%`]의 득표율로 당선되었다. 투표 후 을에게 투표한 학생 중 한 명을 선택했을 때 이 학생이 선거운동 시작 전에도 을 후보를 지지하던 학생일 확률은? (단, 기권과 무효표는 없다.) [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 3 over {19}]	② [eqn: 4 over {19}]	③ [eqn: 5 over {19}]	④ [eqn: 6over {19}]	⑤ [eqn: 7 over {19}]

11. 그림과 같이 [eqn: {rm bar AB} = 10`]인 평행사변형 [eqn: rm ABCD `]가 있다. 이 도형을 대각선 [eqn: rm BD`]를 따라 접어서 생기는 삼각형 [eqn: rm EBC`]의 넓이가 평행사변형 [eqn: rm ABCD `]의 넓이의 [eqn: {1} over {5}]이고, [eqn: rm bar{CE} `], [eqn: rm bar{EB} `], [eqn: rm bar{BD} `]의 길이가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 선분 [eqn: rm {AD} `]의 길이는? [[eqn: 4`]점]

① [eqn: 2sqrt11]	② [eqn: 3sqrt5]	③ [eqn: sqrt46]	④ [eqn: sqrt47]	⑤ [eqn: 4sqrt3]

12. 그림과 같이 함수 [eqn: y=log_2 `x `]의 그래프와 직선 [eqn: y= {m} x`]의 두 교점을 [eqn: rm A`,```B`]라 하고, 함수 [eqn: y={2}^x`]의 그래프와 직선 [eqn: y= {n} x`]의 두 교점을 [eqn: rm C`,```D`]라 하자. 사각형 [eqn: rm ABDC`]는 등변사다리꼴이고 삼각형 [eqn: rm OBD`]의 넓이는 삼각형 [eqn: rm OAC`]의 넓이의 [eqn: 4`]배일 때, [eqn: m+n``]의 값은? (단, [eqn: rm O`]는 원점) [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 5 over 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: {10} over {3}]	⑤ [eqn: 4]

13. 다음 순서도에서 인쇄되는 [eqn: S`]의 값은? (단, [eqn: [`x`]`]는 [eqn: x`]를 넘지 않는 최대 정수) [[eqn: 4`]점]

① [eqn: 2 ^{18}TIMES 3 ^{12} `]	② [eqn: 2 ^{12} TIMES 3 ^{18} `]	③ [eqn: 2 ^{14}TIMES 3 ^{11} `]

④ [eqn: 2 ^{17} TIMES 3 ^{12} `]	⑤ [eqn: 2 ^{12} TIMES 3 ^{17} `]

14. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]의 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, 다음은 등식

[eqn: nS _{n} ````- sum _{k=1} ^{n-1} `S _{k}```=sum _{k=1} ^{n} `k``a _{k} `] [eqn: (`n >= 2`)`] [eqn: CDOTS CDOTS] (★)

이 성립함을 증명한 것이다.

	<증명> (1) [eqn: n=2`]일 때, (좌변)[eqn: =](우변)[eqn: =] 이므로 (★)이 성립한다. (가) (2) [eqn: n=i`]([eqn: i>=2`])일 때, (★)이 성립한다고 가정하면, [eqn: & (i+1)`S _{i+1} ````- sum _{k=1} ^{i} `S _{k} =(i+1)S _{i+1} `-left( sum _{k=1} ^{i-1} S _{k} ``+S _{i} `right)] [eqn: =(i+1)S _{i+1} `-][eqn: (] [eqn: )] (나) [eqn: = sum _{k=1} ^{i} `k``a _{k} ``+] (다) [eqn: = sum _{k=1} ^{i+1} `k`a _{k}] 따라서, [eqn: n=i+1`]일 때, [eqn: (i+1)`S _{i+1} ````- sum _{k=1} ^{i} `S _{k} `=sum _{k=1} ^{i+1} `k``a _{k} `]가 성립한다. (1)과 (2)에 의하여 등식 (★)은 [eqn: 2`]이상의 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [[eqn: 4`]점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: a _{1} `+a _{2}]	[eqn: (i-1)S _{i} ``- sum _{k=1} ^{i} ``k``a _{k}]	[eqn: i(`S _{i} ``-S _{i -1} `)]
②	[eqn: a _{1} `+a _{2}]	[eqn: (i+1)S _{i} ``- sum _{k=1} ^{i} ``k``a _{k}]	[eqn: i(`S _{i+1} ``-S _{i} `)]
③	[eqn: a _{1} `+2a _{2}]	[eqn: (i+1)S _{i} ``- sum _{k=1} ^{i} ``k``a _{k}]	[eqn: i(`S _{i+1} ``-S _{i} `)]
④	[eqn: a _{1} `+2a _{2}]	[eqn: (i+1)S _{i} ``- sum _{k=1} ^{i} ``k``a _{k}]	[eqn: (i+1)(`S _{i+1} ``-S _{i} `)]
⑤	[eqn: a _{1} `+2a _{2}]	[eqn: (i-1)S _{i} ``- sum _{k=1} ^{i} ``k``a _{k}]	[eqn: (i+1)(`S _{i+1} ``-S _{i} `)]

15. 그림과 같은 바둑판 모양의 도로망이 있다.

[eqn: {\P}`]지점에서 출발하여 [eqn: {\Q}`]지점까지 도로를 따라 최단 거리로 갈 때, 도중에 방향을 바꾸는 횟수가 [eqn: x`]번인 경로의 수를 [eqn: f(x)`]라 하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4`]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: f(1)=2] ㄴ. [eqn: f(2)=f(12) `] ㄷ. [eqn: f(x)`]의 최댓값은 [eqn: f(7)`]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

16. 동심원 [eqn: A _{1} `,```A _{2`} ,``` CDOTS ``,```A _{n`} ,``` CDOTS `]의 반지름의 길이를 각각  [eqn: r _{`1} `,```r _{2`} ,```` CDOTS ``,```r _{n`} ,``` CDOTS `]이라 하고, 그 넓이를 각각
[eqn: S _{1} ,```S _{2} ,````` CDOTS ``,```S _{n} ,``` CDOTS `]이라 할 때, [eqn: S _{n+1} =2S _{n}] ([eqn: n=1`,```2`,``` CDOTS `])이 성립한다. [eqn: r _{1} =1]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {r _{n}} `]의 값은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 1+ sqrt {2}]	② [eqn: 2+ sqrt {2}]	③ [eqn: 1+2 sqrt {2}]

④ [eqn: 2+2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 1+3 sqrt {2}]

17. 달걀의 신선도를 결정하는 중요한 요소 중 하나가 HU(호우 유니트)값이다. 농후단백의 높이(뭉쳐있는 흰자의 높이)가 [eqn: h(rmmm)`]이고 무게가 [eqn: w(rmg)`]일 때, HU는 다음과 같이 계산한다.

[eqn: rm HU it =100```log``(h+7.57-1.7``w ^{0.37} )]

[eqn: RM HU=90]이고 무게가 [eqn: 50rmg]일 때 농후단백의 높이 [eqn: h`]의 값은?

(단, [eqn: 1.7`` TIMES ```50 ^{0.37} =7.24,~log```2=0.30`]으로 계산한다.) [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 6.24]	② [eqn: 6.50]	③ [eqn: 6.87]

④ [eqn: 7.13]	⑤ [eqn: 7.67]

단답형(18 ~ 25)

18. 방정식 [eqn: LEFT ( {1} over {sqrt {3}} RIGHT ) ^{3x} =`9 ^{3-x} `]의 해를 구하시오. [[eqn: 3`]점]

19. 행렬 [eqn: A= pmatrix{``-2&`````3#``-1&`````2}` ,```B= pmatrix{`-1&``````0#````````1&``````2}`]에 대하여 행렬

[eqn: A ^{-1} (2A+B)]의 모든 성분의 합을 구하시오. [[eqn: 3`]점]

20. [eqn: sum _{ k=1} ^{10 } {left( x+ 1 over x^3 right)^k `]의 전개식에서 상수항을 구하시오. [[eqn: 3`]점]

21. 임의의 자연수 [eqn: p`,```q`,```r`]에 대하여,

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]은 [eqn: a _{1} =10`], [eqn: a _{p} +a _{q} +a _{r} =a _{p+q+r}`]를 만족하고,

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }`]은 [eqn: b _{1} = {3} over {5}`], [eqn: b _{p} `b _{q} =`b _{p+q}`]를 만족한다.

이 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF }` {a _{n} `b _{n}} over {n} `]의 값을 구하시오. [[eqn: 4`]점]

22. 그림과 같이 점 [eqn: rm A`]를 꼭짓점으로 하고 선분 [eqn: rm BC`]를 밑면의 지름으로 하며 [eqn: rm bar{AB} `=100`], [eqn: rm bar{BC} `=50`]인 직원뿔이 있다. 모선 [eqn: rm AC`]위의 점 [eqn: rm Q _{1} `]은 점 [eqn: rm B`]에서 원뿔의 옆면을 돌아 모선 [eqn: rm AC`]에 최단 거리로 이르는 점이고, 모선 [eqn: rm AB`]위의 점 [eqn: rm Q _{2} `]는 점 [eqn: rm Q _{1} `]에서 원뿔의 옆면을 돌아 모선 [eqn: rm AB`]에 최단 거리로 이르는 점이다. 이와 같은 방법으로 점 [eqn: {rm Q }it _{n} `]은 모선 [eqn: rm AB`] 또는 [eqn: rm AC`]위의 점 [eqn: {rm Q} _{n-1} `]에서 원뿔의 옆면을 돌아 다른 모선에 최단 거리로 이르는 점이라고 하자. 점 [eqn: {{rmQ}_n-1]에서 점 [eqn: {rm Q}_n }`]에 이르는 최단 거리를 [eqn: l_n `]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}` l_n `]의 값은 [eqn: a+b sqrt2 `]이다. [eqn: a+b `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm B=` rm Q it rm _{0}], [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 유리수이다.) [[eqn: 4`]점]

23. 다섯 개의 숫자 [eqn: 0`], [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`]를 중복 사용하여 만들 수 있는 네 자리의 자연수를 [eqn: a _{1} ``a _{2} ``a _{3} ``a _{4} `]라 한다. 예를 들면, [eqn: 1230]인 경우 [eqn: a _{1} =1,```a _{2} =2,``][eqn: a _{3} =3,```a _{4} =0]이다. 이와 같이 네 자리 자연수 [eqn: a _{1} ``a _{2} ``a _{3} ``a _{4} `]가 [eqn: a _{1} <a _{2} <a _{3} `], [eqn: a _{3} >a _{4}`]를 만족할 확률은 [eqn: q over p `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 4`]점]

24. 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `,````` LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {` {a _{n}} over {2n+3}} =2],

[eqn: lim _{n -> INF } {` {b _{n}} over {3n+1}} =3]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {` {a _{n} b _{n}} over {n ^{2} +4}}]의 값을 구하시오. [[eqn: 3`]점]

25. 그림과 같이 함수 [eqn: y=log `_{2} `x `]의 그래프와 직선 [eqn: y=k`] ([eqn: k`]는 자연수), [eqn: x]축과의 교점을 각각 [eqn: rm A`,```B`]라 하고, 직선 [eqn: y=k`] 위의 한 점 [eqn: rm`P]에 대하여 직선 [eqn: rm`OP]가 [eqn: ANGLE rm AOB`]를 이등분할 때, 선분 [eqn: rm `AP]의 길이를 [eqn: f(k) `]라 하자. [eqn: sum _{k=1} ^{4} `left{f(k) right} ^{2} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm O`]는 원점)

[[eqn: 4`]점]

5지선다형(26 ~ 29)

26. 체력단련장에서 사용하는 운동기구에는 그림과 같이 운동 관련 정보 안내 화면이 [eqn: 3`]개 있다. 한 화면이 최소 [eqn: 1`]가지, 최대 [eqn: 2`]가지의 정보를 동시에 보여줄 수 있다. 다섯 가지 정보인 속도, 거리, 시간, 심장 박동수, 칼로리 소모량을 동시에 모두 보여줄 수 있는 방법의 수는? (단, 한 화면에서 두 정보의 위치는 고려하지 않는다.) [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 90]	② [eqn: 91]	③ [eqn: 92]	④ [eqn: 93]	⑤ [eqn: 94]

27. 철수는 [eqn: 3`]개의 예선문제와 결과에 따라 [eqn: 1`]개의 찬스문제가 주어지는 퀴즈대회에 참가하는데, 찬스문제는 예선문제를 [eqn: 2`]개 맞히고 [eqn: 1`]개 틀린 경우만 주어진다. [eqn: 3`]개의 예선문제를 모두 맞히거나 찬스문제를 맞혀야 예선을 통과한다. 각각의 예선문제를 맞힐 확률이 [eqn: {1} over {3}`]이고, 찬스문제를 맞힐 확률이 [eqn: {1} over {4}`]일 때, 예선을 통과할 확률은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 5over 54]	② [eqn: 1 over 9]	③ [eqn: 7over54]	④ [eqn: 4 over 27]	⑤ [eqn: 1 over 6]

28. 한 면은 흰 색, 다른 면은 검은색인 같은 크기의 정사각형 모양의 카드를 다음 규칙에 의해 그림과 같이 놓는다.

	[[eqn: 1`]단계] 검은색 면이 보이도록 카드를 한 개 놓는다. [[eqn: 2`]단계] [eqn: 1`]단계에서 놓여진 카드를 흰 색 면이 보이도록 뒤집고 그 카드 위쪽과 오른쪽에 검은색 면이 보이도록 두 개의 카드를 놓는다. [[eqn: 3`]단계] [eqn: 2`]단계에서 놓여진 모든 카드의 색이 바뀌도록 뒤집고 [eqn: 2`]단계에서 새로 놓은 카드의 위쪽과 오른쪽에 검은색 면이 보이도록 세 개의 카드를 놓는다. [eqn: CDOTS] [[eqn: n`]단계] [eqn: n-1`]단계에서 놓여진 모든 카드의 색이 바뀌도록 뒤집고 [eqn: n-1`]단계에서 새로 놓은 카드의 위쪽과 오른쪽에 검은색 면이 보이도록 [eqn: n`]개의 카드를 놓는다.

[eqn: n`]단계에서 보이는 면의 색이 검은색인 카드의 개수를 [eqn: a_n`]이라 할 때, [eqn: a_n+1 - a_n = 15 `]가 되는 모든 [eqn: n`]의 값의 합은? [[eqn: 4`]점]

① [eqn: 29]	② [eqn: 31]	③ [eqn: 49]	④ [eqn: 57]	⑤ [eqn: 65]

29. 실수 [eqn: k`]와 행렬 [eqn: A= {pmatrix{``2&`````3#``3&`````4}} `]에 대하여, 행렬 [eqn: A-kE `]의 역행렬이 존재하지 않도록 하는 [eqn: k`]의 값을 [eqn: k_1 `,```k_ 2 `]라 할 때, [eqn: k _{1} ^{``2} +k _{2} ^{``2} `]의 값은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [[eqn: 3`]점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

① [eqn: 37]	② [eqn: 38]	③ [eqn: 39]	④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 41]

단답형

30. 그림과 같이 넓이가 [eqn: M`]인 삼각형 [eqn: rm ABC`]가 있다.

자연수 [eqn: n`]과 선분 [eqn: rm AC`]위의 두 점 [eqn: rm D,`E`]에 대하여

[eqn: rm bar{AD} `:` bar{DE} `:` bar{EC} `][eqn: =`n:(2n+1):(3n+2)`]이고

[eqn: rm ` bar{DF} // rm ` bar{AB} `,``` rm ` bar{G E} // rm ` bar{BC} `]이다. 선분 [eqn: rm DF`]와 선분 [eqn: rm G E`]의 교점을 지나는 선분 [eqn: rm HI`]는 선분 [eqn: rm AC`]와 평행하다. 어두운 부분의 넓이의 합을 [eqn: S _{n`}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{ S} _{n}} `][eqn: = {q} over {p}][eqn: M`]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 4`]점]