Do your best ♥ Be the best ★★                                            수학연구소/數/理/院/

수학연구소 /數/理/院/

수능기출

년도	2002년 11월 6일
대상	고3 예체능계

2003학년도 수능《예체능계》

[eqn: sqrt {2} TIMES sqrt {16}]을 간단히 하면?

정답 ①

[eqn: root {3} of {2} TIMES root {6} of {16} =2 ^{{1} over {3}} TIMES LEFT ( 2 ^{4} RIGHT ) ^{{1} over {6}} =2 ^{{1} over {3}} TIMES 2 ^{{2} over {3}} =2 ^{{1} over {3} + {2} over {3}} =2]

[2점][2003학년도 수능]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: sqrt {2}]

④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -5x-2=0]의 두 근을 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]라 할

때, [eqn: {1} over {alpha +1} + {1} over {beta +1}]의 값은?

정답 ④

근과 계수와의 관계에서 [eqn: alpha `+ `beta `=5,~ alpha ` beta `=-2]이므로

[eqn: 1 OVER {alpha+1}+ 1 OVER { beta+1}`` ={ alpha `+ beta `+2}over{ alpha ` beta `+( alpha `+ beta `)+1}= 7over4]

[2점][2003학년도 수능]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 3`]	③ [eqn: 3 OVER 2]

④ [eqn: 7 OVER 4]	⑤ [eqn: 5 OVER 2]

함수 [eqn: f`(x)= {x+1} over {x-1}]에 대하여 [eqn: (f` CIRC f`)(10)]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: f`(10`)= 10+1 over 10-1 = 11over9]이므로

[eqn: (f CIRC f`)``(10)=f`(f`(10))=f` LEFT ( 11over9 RIGHT )={11over9 +1}over{11over9 -1}= {20 over9}over{2over9}=10]

[2점][2003학년도 수능]

① [eqn: 1over10`]	② [eqn: 9over10`]	③ [eqn: 10over9`]

④ [eqn: 9`]	⑤ [eqn: 10`]

[eqn: 3x=2y]일 때, [eqn: {x ^{2} +y ^{2}} over {(x+y) ^{2}}]의 값은? (단, [eqn: xy != 0])

정답 ⑤

[eqn: 3x=2y]에서 [eqn: y= {3} over {2} x]

[eqn: {x ^{2} +y ^{2}} over {(x+y) ^{2}} = {x ^{2} + LEFT ( {3} over {2} x RIGHT ) ^{2}} over {LEFT ( x+ {3} over {2} x RIGHT ) ^{2}} = {x ^{2} + {9} over {4} x ^{2}} over {x ^{2} +3x ^{2} + {9} over {4} x ^{2}}]

[eqn: = {{13} over {4} x ^{2}} over {{25} over {4} x ^{2}} = {13} over {25}]

[2점][2003학년도 수능]

① [eqn: {3} over {5}]	② [eqn: {4} over {5}]	③ [eqn: {9} over {25}]

④ [eqn: {11} over {25}]	⑤ [eqn: {13} over {25}]

전체집합 [eqn: U``]의 세 부분집합 [eqn: P,```Q,```R]가 각각 세

조건 [eqn: p,```q,```r]의 진리집합이고, 두 명제 [eqn: p``` -> ```q]와 [eqn: q``` -> ```r]

가 모두 참일 때, <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면?

정답 ③

[eqn: p``` -> ```q]에서 [eqn: P SUBSET R]이고, [eqn: q``` -> ```r]에서 [eqn: P SUBSET R]이다.

이것을 벤 다이어그램으로 나타내면 그림과 같다.

따라서, 참인 것은 ①, ③이다.

[2점][2003학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: P SUBSET R] ㄴ. [eqn: (P CUP Q) SUBSET R ^{c}] ㄷ. [eqn: (P ^{c} SMALLINTER R ^{c} ) SUBSET Q ^{c}]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 상수 [eqn: a``]와 [eqn: b``]에 대하여 부등식 [eqn: x ^{2} +ax+b LEQ 0]의

해가 [eqn: -1 LEQ x LEQ 3]일 때, 부등식 [eqn: x ^{2} -ax+b LEQ]의 해는?

정답 ③

해가 [eqn: -1 LEQ x LEQ 3]이고, 이차항의 계수가 1인 이차부등

식은 [eqn: x ^{2} -2x-3 LEQ 0]이므로 [eqn: a=-2,~b=-3`]

따라서, 부등식 [eqn: x ^{2} +ax+b LEQ 0]

즉, [eqn: x ^{2} +2x-3 LEQ 0]의 해는 [eqn: -3 LEQ x LEQ 1]

[2점][2003학년도 수능]

① [eqn: -3 LEQ x LEQ -1]	② [eqn: -2 LEQ x LEQ 2]	③ [eqn: -3 LEQ x LEQ 1]

④ [eqn: -1 LEQ x LEQ 2]	⑤ [eqn: 1 LEQ x LEQ 3]

두 상수 [eqn: a]와 [eqn: b]에 대하여 두 다항식 [eqn: x ^{2} +x+a]와

[eqn: x ^{2} -ax+b]의 최대공약수가 [eqn: x-1]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: f`(x`)=x^2 + x+a `,~g`(x`)=x^2 -ax+b`]라 할 때,

두 다항식 [eqn: f`(x`)]와 [eqn: g`(x`)]의 최대공약수가 [eqn: x-1`]이므로

두 다항식은 [eqn: x-1`]로 나누어 떨어진다.

[eqn: THEREFORE ~f`(1`)=2+a`=`0,~g`(1`)=1-a+b`=`0]에서

[eqn: a=-2,~b=-3]이므로 [eqn: a`+`b`=`-5`]

[2점][2003학년도 수능]

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

[eqn: a]와 [eqn: b]가 실수일 때, [eqn: LEFT | ` {a+b} over {2} -a` RIGHT | + LEFT | ` {a+b} over {2} -b` RIGHT |]를 간단

히 하면?

정답 ⑤

[eqn: LEFT | ` {a+b} over {2} -a` RIGHT | + LEFT | ` {a+b} over {2} -b` RIGHT | = LEFT | ` {b-a} over {2} ` RIGHT | + LEFT | ` {a-b} over {2} ` RIGHT |]

ⅰ) [eqn: a GEQ b]이면 [eqn: - {b-a} over {2} + {a-b} over {2} =a-b]

ⅱ) [eqn: a<b]이면 [eqn: {b-a} over {2} - {a-b} over {2} =-a+b]

ⅰ), ⅱ)에서 [eqn: LEFT | `a-b` RIGHT |]

[2점][2003학년도 수능]

① [eqn: 0]	② [eqn: {LEFT | `a+b` RIGHT |} over {2}]	③ [eqn: {LEFT | `a-b` RIGHT |} over {2}]

④ [eqn: LEFT | `a+b` RIGHT |]	⑤ [eqn: LEFT | `a-b` RIGHT |]

중심이 [eqn: rm O]이고 반지름의

길이가 [eqn: R``]인 구면거울이

있다.

그림과 같이 [eqn: rm OX]축에

평행하게 입사된 빛이

거울에 반사된 후 축과

만나는 점을 [eqn: rm A]라고 할 때,

선분 [eqn: rm OA]의 길이는?

정답 ①

구면거울과 만나는 점을 [eqn: B`]라

하면 [eqn: ANGLE `AOB`=`theta `~( BECAUSE ~]엇각)이고,

[eqn: TRIANGLE OAB`]는 이등변삼각형이므로

[eqn: bar OA `=`bar AB`]이다.

또, 점 [eqn: A`]에서 [eqn: bar OB`]에 내린 수선

의 발을 [eqn: H`]라 하면

[eqn: bar AB cdot cos`theta `= R over2]이므로

[eqn: bar AB `= R over{2cos`theta }]

(단, 입사각과 반사각의 크기는 [eqn: theta]로 같고,

[eqn: 0 DEG < theta <20 DEG]이다.)

[2점][2003학년도 수능]

① [eqn: R over {2 costheta}]	② [eqn: R over {2 sintheta}]	③ [eqn: R`` (1- costheta`)]

④ [eqn: R over {2 cos 2theta}]	⑤ [eqn: R over {2 sin2 theta}]

[eqn: (z-1) ^{2}]이 실수가 되는 복소수 [eqn: z]전체의 집합을

[eqn: A`]라고 할 때, <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면?

정답 ②

[eqn: (z-1)^2``]이 실수이므로 [eqn: z-1]은 실수 또는 순허수이다.

즉, [eqn: z`]는 실수 또는 [eqn: 1`+`b`i```(b`]는 실수)의 꼴이다.

① [eqn: z IN A]이면 [eqn: z-1]은 실수 또는 허수이다.  (거짓)

② [eqn: z IN A]이면 [eqn: bar{z} =]실수 또는 [eqn: 1-b`i`]이므로 [eqn: bar{z} IN A] (참)

③ [eqn: z _{1} =1+2i,```z _{2} =1-i]에 대하여 [eqn: z _{1} `z _{2} =3+i]이므로

[eqn: z _{1} `z _{2} notIN A]이다. (거짓)

따라서, 옳은 것은 ②번이다.

[3점][2003학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: z IN A]이면 [eqn: z-1]은 순허수이다. ㄴ. [eqn: z IN A]이면 [eqn: bar{z} IN A]이다. (단, [eqn: bar{z}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.) ㄷ. [eqn: z _{1} IN A]이고 [eqn: z _{2} IN A]이면 [eqn: z _{1} `z _{2} IN A]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 사각형

[eqn: rmABCD]는 선분 [eqn: rmBC]를 지름

으로 하는 원 [eqn: rmO]에 내접하고

있다. [eqn: rm bar{BC} =13]이고 [eqn: rm bar{CD} =5]일

때, [eqn: sinA]의 값은?

정답 ①

[eqn: rm ANGLE BDC=90 DEG]

(∵ 반원의 원주각)이므로

[eqn: rm bar{BD` ^{2}} + bar{CD` ^{2}} = bar{BC` ^{2}}]

[eqn: THEREFORE ```rm bar{BD} =12]

[eqn: rm TRIANGLE ABD]에서 [eqn: {bar{rmBD}} over {sinA} =2R]이므로

[eqn: {12} over {sinA} =13]  [eqn: THEREFORE ```sinA= {12} over {13}]

[3점][2003학년도 수능]

① [eqn: {12} over {13}]	② [eqn: {7} over {13}]

③ [eqn: {5} over {13}]	④ [eqn: {7} over {12}]	⑤ [eqn: {5} over {12}]

실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 [eqn: f`(x`)``]와

[eqn: g`(x`)``]에 대하여 함수 [eqn: h`(x`)``]를 다음과 같이 정의한다.

[eqn: h` (x`) = { 1over 3} f`(x`)+ {2 over 3} g`(x`)``]

<보기> 중 옳은 것을 모두 고르면?

정답 ②

① [eqn: f`(x`)]와 [eqn: g`(x`)]가 임의의 점에서 만나면

[eqn: f`(a`)=g`(a`)=`k`]이므로

[eqn: h` (a`) = { 1over 3} f`(a`)+ {2 over 3} g`(a`)``=`k`]

② [eqn: f`(x`)]와 [eqn: g`(x`)]가 [eqn: y``]축에 대하여 대칭이면

[eqn: f`(x`)=f`(-x`),~g`(x`)=g`(-x`)]이므로

[eqn: h` (-x`) = { 1over 3} f`(-x`)+ {2 over 3} g`(-x`)`]

[eqn: =` { 1over 3} f`(x`)+ {2 over 3} g`(x`)``=h`(x`)]

③ [eqn: f`(x`)=3x^3 ,~g`(x`)=- 3over2 x`]라면 [eqn: f`(x`)]와 [eqn: g`(x`)]가

일대일 대응이지만 [eqn: h`(x`)=x^3 -x`]는 일대일 대응이

아니다.

따라서, 옳은 것은 ①, ②이다.

[3점][2003학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 어떤 점에서 만나면 [eqn: y=h(x)]의 그래프는 그 교점을 지난다. ㄴ. [eqn: y=f`(x)]와 [eqn: y=g`(x)]의 그래프가 모두 [eqn: y]축에 대하여 대칭이면 [eqn: y=h(x)]의 그래프도 [eqn: y]축에 대하여 대칭이다. ㄷ. [eqn: y=f`(x)]와 [eqn: y=g`(x)]가 모두 일대일 대응이면 [eqn: y=h(x)]도 일대일 대응이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

양의 실수 [eqn: a]와 [eqn: b]에 대하여 집합 [eqn: A]와 [eqn: B]를 다음

과 같이 정의한다.

[eqn: A= LEFT { `x`|`(x-a)`(x+a) LEQ 0 RIGHT }]

[eqn: B= LEFT { `x`|``|`x-1`| LEQ b RIGHT }]

이때, [eqn: A` SMALLINTER `B= phi]이기 위한 필요충분조건은?

정답 ④

두 집합 [eqn: A= LEFT { `x`|`(x-a)`(x+a) LEQ 0 RIGHT }],

[eqn: B= LEFT { `x`|``|`x-1`| LEQ b RIGHT }]에서 [eqn: A `∩` B= phi``]이므로

[eqn: 2]가지 경우로 나누어 보면

① [eqn: a`<`1-b`]이므로 [eqn: a`+`b`<`1`]

② [eqn: a,```b]는 양의 실수이므로 항상 [eqn: 1`+`b`>`-a`]이다.

그러므로 그림과 같이 나올 수도 있다.

따라서, ①, ②에 의해서 [eqn: a`+`b`<`1`]

[3점][2003학년도 수능]

① [eqn: a - b `<`1``]	② [eqn: a - b `>`1 `]	③ [eqn: a+ b=1 `]

④ [eqn: a + b `<`1 `]	⑤ [eqn: a+ b`>`1 `]

[eqn: n]이 자연수일 때, <보기>의 부등식 중 항상

성립하는 것을 모두 고르면?

정답 ⑤

[eqn: y=log` _{2} `x]와 [eqn: y=log` _{3} `x]의 그래프는 다음과 같다.

① [eqn: log_2 n`]은 증가함수이므로 진수를 비교하면 된다.

즉 [eqn: n`+`3`>`n`+`2`]이므로

[eqn: log_2 `(n+3`)`> `log_2 `(n+2`)]이다.

② [eqn: x`>`1`]이면 [eqn: log_2 x`>`log_3 x`]이므로 성립한다.

③ [eqn: n`=`1]을 대입하면 [eqn: log_2 `3`> `log_3 `4`]

[eqn: n`=`2]를 대입하면 [eqn: log_2 `4`> `log_3 `5`]

[eqn: vdots`]

따라서, ①, ②, ③은 항상 성립한다.

[3점][2003학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: log_2 `(n+3`)`> `log_2 `(n+2`)] ㄴ. [eqn: log_2 `(n+2`)`> `log_3 `(n+2`)] ㄷ. [eqn: log` _{{1} over {2}} `(n+2`)`>`log` _{{1} over {3}} `(n+2`)]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[그림1]과 같이 가로, 세로의

[그림1]

길이가 각각 [eqn: 12rmcm,```8rmcm]인 직사각형

모양의 타일이 있다. 아래쪽에서 반지

름의 길이가 [eqn: 3rmcm]인 반원 모양을 오려

내어 위쪽에 붙이고, 오른쪽에는 반지

[그림2]

름의 길이가 [eqn: 1rmcm]인 반원 모양을 오려

내어 왼쪽에 붙여 [그림2]와 같은

모양의 타일을 만들었다.

이러한 타일 [eqn: 24]개를 겹치지 않고 빈틈

없이 이어 붙인 후 직사각형 모양의 벽면에 붙였더니

아래 그림처럼 타일의 가장자리가 벽면의 각 모서리에

꼭 들어맞았다.

이때, 벽면에서 타일이 붙어 있지 않은 흰색 부분의

넓이는 몇 [eqn: rmcm ^{2}]인가?

정답 ④

그림에서 위의 도드라진 부분을 떼어내어 아래의 빈 곳을 메우고, 마찬가지로 왼쪽의 도드라진 부분을 떼어내어 오른쪽의 빈 곳을 메운다.

따라서 흰 부분의 넓이는 [eqn: 1 TIMES 35+72 TIMES 3=251]

[3점][2003학년도 수능]

① [eqn: 221]	② [eqn: 231]	③ [eqn: 241]

④ [eqn: 251]	⑤ [eqn: 261]

자연수 [eqn: n]에 대하여 집합 [eqn: A _{n}]을 다음과 같이 정의

한다.

[eqn: A _{n} = LEFT { LEFT [ ` {1 ^{2}} over {n} ` RIGHT ] ,``` LEFT [ ` {2 ^{2}} over {n} ` RIGHT ] ,``` LEFT [ ` {3 ^{2}} over {n} ` RIGHT ] ,``` CDOTS ,``` LEFT [ ` {n ^{2}} over {n} ` RIGHT ] RIGHT }]

여기서 [eqn: LEFT [ `x` RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.

예를 들면,

[eqn: A _{1} = LEFT { LEFT [ ` {1 ^{2}} over {n} ` RIGHT ] RIGHT } = LEFT { 1 RIGHT }], [eqn: A _{2} = LEFT { LEFT [ ` {1 ^{2}} over {n} ` RIGHT ] ,``` LEFT [ ` {2 ^{2}} over {n} ` RIGHT ] RIGHT } = LEFT { 0,```2 RIGHT }]

이다. 집합 [eqn: A _{3} ,```A _{4} ,```A _{5}] 중 [eqn: 3]을 원소로 갖는 집합을

모두 찾으면?

정답 ④

[eqn: A _{3} = LEFT { LEFT [ ` {1 ^{2}} over {3} ` RIGHT ] ,``` LEFT [ ` {2 ^{2}} over {3} ` RIGHT ] ,``` LEFT [ ` {3 ^{2}} over {3} ` RIGHT ] RIGHT } = LEFT { 0,```1,```3 RIGHT }]

[eqn: A _{4} = LEFT { LEFT [ ` {1 ^{2}} over {4} ` RIGHT ] ,``` LEFT [ ` {2 ^{2}} over {4} ` RIGHT ] ,``` LEFT [ ` {3 ^{2}} over {4} ` RIGHT ] ,``` LEFT [ ` {4 ^{2}} over {4} ` RIGHT ] RIGHT } = LEFT { 0,```1,```2,```4 RIGHT }]

[eqn: A _{5} = LEFT { LEFT [ ` {1 ^{2}} over {5} ` RIGHT ] ,``` LEFT [ ` {2 ^{2}} over {5} ` RIGHT ] ,``` LEFT [ ` {3 ^{2}} over {5} ` RIGHT ] ,``` LEFT [ ` {4 ^{2}} over {5} ` RIGHT ] ,``` LEFT [ ` {5 ^{2}} over {5} ` RIGHT ] RIGHT }]

[eqn: = LEFT { 0,```1,```3,```5 RIGHT }]

따라서 [eqn: 3]을 원소로 갖는 집합은 [eqn: A _{3} ,```A _{5}]이다.

[3점][2003학년도 수능]

① [eqn: A _{3}]	② [eqn: A _{3} ,```A _{4}]	③ [eqn: A _{4} ,```A _{5}]

④ [eqn: A _{3} ,```A _{5}]	⑤ [eqn: A _{3} ,```A _{4} ,```A _{5}]

[그림1]의 연산장치는 입력값이 [eqn: A]와 [eqn: B]일 때

출력값 [eqn: C``]를 표에 주어진 것과 같이 결정한다.

이 연산장치 [eqn: 4`]개를 [그림2]와 같이 연결하였다.

출력값이 [eqn: T_1 =1], [eqn: T _{2} =0]이 되는 입력값 [eqn: S_1], [eqn: S_2 ``]를

<보기> 중에서 모두 고르면?

정답 ②

[eqn: T_1 `=`1]이므로 입력값이 모두 [eqn: 0`]이어야 한다.

따라서, [eqn: S_1 `=`0]이 된다.

[eqn: T_2 `=`0]이므로 입력값이 모두 [eqn: 0`]인 경우는 없으므로

다른 연산장치와 비교하면 [eqn: S_2 `=`1]이어야 한다.

따라서, [eqn: S_1 `=`0,~S_2 `=`1]일 때만 성립한다.

[3점][2003학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: S_1`=`0], [eqn: S_2`=`0] ㄴ. [eqn: S_1`=`0], [eqn: S_2`=`1] ㄷ. [eqn: S_1`=`1], [eqn: S_2`=`0] ㄹ. [eqn: S_1`=`1], [eqn: S_2`=`1]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄷ, ㄹ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 세 자연수 [eqn: a,```b,```c] ([eqn: a<b<c])에 대하여

[eqn: P=(b^2 -a^2 `) (c^2 - a^2 `)(c^2 - b^2 `)]이 [eqn: 12``]의 배수임을 증명

한 것이다.

	[ 증 명 ]
[eqn: a,```b,```c]를 각각 [eqn: 2]로 나누었을 때 나머지는 [eqn: BOX{~~㈎~~}] 같다. 이 중 나머지가 같은 두 수를 [eqn: a``]와 [eqn: b``]라고 하면 [eqn: b^2`-`a^2`]은 [eqn: 4]의 배수이다. 그러므로 [eqn: P]도 [eqn: 4]의 배수이다. ……… ㉠ 다음으로, [eqn: a ^{2} ,```b ^{2} ,```c ^{2}]을 [eqn: 3]으로 나누었을 때 나머지를 알아보자. [eqn: a ^{2} ,```b ^{2} ,```c ^{2}]을 각각 [eqn: 3]으로 나눈 나머지는 [eqn: BOX{~~㈏~~}] 이므로 [eqn: a ^{2} ,```b ^{2} ,```c ^{2}] 중에는 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 같은 것이 적어도 [eqn: 2]개가 있다. 그러므로 [eqn: P]는 [eqn: 3]의 배수이다. ……… ㉡ ㉠과 ㉡으로부터 [eqn: P]는 [eqn: 12]의 배수이다.

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은?

정답 ③

세 자연수 [eqn: a,```b,```c] ([eqn: a<b<c])에 대하여

[eqn: 2]로 나눈 나머지는 [eqn: 0`] 또는 [eqn: 1`]이므로

적어도 [eqn: 2]개가 같다.

또, [eqn: a ^{2} ,```b ^{2} ,```c ^{2}]을 [eqn: 3``]으로 나눈 나머지는 [eqn: 0`] 또는 [eqn: 1`]이므로

나머지가 같은 것이 적어도 [eqn: 2]개가 있다.

[2점][2003학년도 수능]

(가)                      (나)

① 모두	[eqn: 0`] 또는 [eqn: 1`]

② 모두	[eqn: 1`] 또는 [eqn: 2]

③ 적어도 [eqn: 2``]개가	[eqn: 0`] 또는 [eqn: 1`]

④ 적어도 [eqn: 2``]개가	[eqn: 0`] 또는 [eqn: 2]

⑤ 적어도 [eqn: 2``]개가	[eqn: 1`] 또는 [eqn: 2]

그림과 같이 길이가 [eqn: a]인

선분 [eqn: rm AB]를 지름으로 하는

원 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]가

있다. 선분 [eqn: rm PA]와 선분 [eqn: ` rm PB]의

중점을 각각 [eqn: rm M]과 [eqn: rm N]이라고

하면,

[eqn: rm bar{PA} ` ^{2} + rm bar{PB} ` ^{2} = BOX{~~㈎~~}]이다.

따라서 [eqn: rm bar{AN} ` ^{2} + rm bar{BM} ` ^{2} = BOX{~~㈏~~}]이므로

[eqn: rm bar{AN} BULLET bar{BM}]의 최대값은 [eqn: BOX{~~㈐~~}]이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

정답 ②

[eqn: rm bar{AB} `]가 지름이므로 [eqn: rmANGLE P`=`90 DEG]이다.

[eqn: THEREFORE ``` bar{rmPA} ` ^{2} + bar{rmPB} ` ^{2} =a ^{2}]

[eqn: rmTRIANGLE `APN]에서 [eqn: RMOVERLINEPA`^2 +RMOVERLINEPN`^2][eqn: =RMOVERLINEPA`^2 + LEFT ( 1over2 RMOVERLINEPB RIGHT )`^2 =RMOVERLINEAN`^2]

[eqn: rmTRIANGLE `BPM`]에서 [eqn: RMOVERLINEPB`^2 +RMOVERLINEPM`^2][eqn: =RMOVERLINEPB`^2 + LEFT ( 1over2 RMOVERLINEPA RIGHT )`^2 =RMOVERLINEBM`^2]

따라서,

[eqn: RMOVERLINEAN`^2 +RMOVERLINEBM`^2][eqn: = bar{rm PA it} ` ^{2} + bar{rm PB it} ` ^{2} + {1} over {4} LEFT ( bar{rmPA} ` ^{2} + bar{rmPB} ` ^{2} RIGHT ) = {5} over {4} a ^{2}]

에서 [eqn: rm bar{AN} ` ^{2} + rm bar{BM} ` ^{2} ` GEQ 2 bar{AN} CDOT bar{BM}]이므로

[eqn: rm bar{AN} BULLET bar{BM}]의 최대값은 [eqn: 5 over 8 a^2]이다.

[3점][2003학년도 수능]

(가)	(나)	(다)

① [eqn: a^2]	[eqn: 5 over4 a^2]	[eqn: root{5``} over 2 a^2]

② [eqn: a^2]	[eqn: 5 over4 a^2]	[eqn: 5 over 8 a^2]

③ [eqn: a^2]	[eqn: 3 over2 a^2]	[eqn: 3 over 4 a^2]

④ [eqn: 2`a^2]	[eqn: 3 over2 a^2]	[eqn: root{5``} over 2 a^2]

⑤ [eqn: 2`a^2]	[eqn: 5 over4 a^2]	[eqn: 5 over 8 a^2]

그림과 같이 [eqn: rm bar{AB} = bar{AC}]인 이등변삼각형 [eqn: RM ABC]의

변 [eqn: rm BC] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]가 있다. 점 [eqn: rm P]에서 변 [eqn: rm AB]

또는 그 연장선에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q], 변 [eqn: rmAC] 또는

그 연장선에 내린 수선의 발을 [eqn: RM R``]라고 하자.

[eqn: bar{rmBP} =x]와 [eqn: bar{rmPQ} + bar{rmPR} =y]에 대하여 [eqn: y]를 [eqn: x]의 함수로

나타낼 때, 그 그래프의 개형은?

정답 ③

그림과 같이 삼각형 [eqn: ABC`]를 좌표축에 옮겨 놓고

풀어도 일반성을 잃지 않는다.

또 [eqn: A(a,```b)]라 하면 삼각형 [eqn: ABC`]가 이등변삼각형이므

로 [eqn: C`(2a,```0)]이다.

직선 [eqn: AB``` RARROW ```y= {b} over {a} x]

직선 [eqn: AC~ RARROW ~y`=` - b over a (x`-2a`)][eqn: =- b over a x `+`2b`]

선분 [eqn: BC`] 위의 한 점 [eqn: (x,```0)]에서 두 직선 [eqn: bx-ay`=`0,]

[eqn: bx`+`ay`-2a b`=0]까지의 거리의 합은

[eqn: {vert bx vert}over{sqrt{a^2 +b^2}}+{vert bx-2a b vert}over{sqrt{a^2 +b^2}}={vert 2a b vert}over{sqrt{a^2 +b^2}}]로 일정하다.

[eqn: BECAUSE ~x`<`2a`]이므로 [eqn: vert bx`-`2 a `b`vert=2a b`-`bx`]

[별해]

위의 그림과 같이 [eqn: rmBC]에 대한 [eqn: rmA]의 대칭점을 잡아서

[eqn: rmA`']이라 하면

사각형 [eqn: rmABA`'C]는 평행사변형(마름모)이 된다.

또한 [eqn: rmR]의 [eqn: bar{rmBC}]에 대한 대칭점을 [eqn: rmR']이라 하면

[eqn: y= rm bar{PQ} + bar{PR} = bar{PQ} + bar{PR` prime } = bar{QR'}] (일정)

(∵평행사변형)

[3점][2003학년도 수능]

①

②

③

④

⑤

좌표평면에서 중심이 [eqn: (a,```b)]이고 [eqn: x]축에 접하는

원이 두 점 [eqn: rm A(0,```5)]와 [eqn: rm B(8,```1)]을 지난다. 이때, 원의

중심 [eqn: (a,```b)]와 직선 [eqn: rm AB] 사이의 거리는?

정답 ②

[eqn: (x`-`a`)^2 +(y`-`b`)^2 =b^2]이 두 점

[eqn: rm A(0,```5)]와 [eqn: rm B(8,```1)]을 지나므로

[eqn: a ^{2} +(5`-`b`) ^{2} =b ^{2}], [eqn: (8-a`)^2 +(1-b`)^2 =b^2]에서

[eqn: a`=`5] 또는 [eqn: a`=`15]

[eqn: 0 LEQ a LEQ 8]이므로 [eqn: a`=`5`]만 만족한다.

[eqn: THEREFORE ~a`=`b`=`5`]

원에서 [eqn: rm bar{AB} `=` sqrt {64+16} =4 sqrt {5}]이므로 [eqn: rm bar{AH} `=`2 sqrt {5}]

[eqn: rmTRIANGLE OHA]가 직각삼각형이므로 [eqn: rm bar{OH} `=` sqrt {25-20} = sqrt {5}]

(단, [eqn: 0 LEQ a LEQ 8])

[3점][2003학년도 수능]

① [eqn: sqrt {3}]	② [eqn: sqrt {5}]	③ [eqn: sqrt {6}]

④ [eqn: sqrt {7}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]

겨울철에 바람이 불면 바람이 불지 않을 때보다

더 춥게 느껴진다. 이와 같이 실제 느껴지는 온도를

체감온도라고 하며, 기온을 [eqn: t`], 풍속을 [eqn: v`], 복사량을 [eqn: I`]라

고 할 때 체감온도 [eqn: T`]는 다음과 같다고 한다.

[eqn: T=t－4 sqrt {v} ＋12I]

어느 해의 대학수학능력시험 날, 어떤 지역의 오후의

기온은 오전보다 [eqn: 6]도 상승했지만 오후의 풍속이 오전

의 [eqn: 4]배가 되어 체감온도는 변하지 않았다. 이 지역의

그날 오전의 풍속은?

정답 ④

체감온도 [eqn: T`]는 [eqn: T=t－4 sqrt {v} ＋12`I]에서

오전과 오후의 체감온도가 같으므로

[eqn: (t+6)－4 sqrt {4v} ＋12`I=t－4 sqrt {v} ＋12`I]에서

[eqn: 6=4 sqrt {v}]   [eqn: THEREFORE ```v= {9} over {4}]

(단, 그날 오전과 오후의 복사량 [eqn: I``]의 값은 같았다.)

[3점][2003학년도 수능]

① [eqn: 3]	② [eqn: 2.75]	③ [eqn: 2.5]

④ [eqn: 2.25]	⑤ [eqn: 2]

광통신에서는 광섬유를 이용하여 신호를 먼 곳까

지 보낸다. 신호가 광섬유를 [eqn: rm 1`km]지날 때마다 신호의

세기는 [eqn: rm 1`km]전의 세기의 [eqn: 99`%]가 된다고 하자.

신호의 세기가 처음 세기의 [eqn: 1over2]이 되는 곳에 중계소를

설치하려고 할 때, 처음 신호를 보내는 곳에서 중계소

까지 광섬유의 길이는 약 몇 [eqn: rm km]인가?

정답 ①

처음 신호의 세기를 [eqn: a`]라 하면 [eqn: a`times0.99^n = 1over2 a`]

양변에 [eqn: log]를 취하면 [eqn: n`log0.99`=`log 1over2]

[eqn: THEREFORE ```n= {0.3010} over {0.0044} =68.4` CDOTS]

길이는 약 [eqn: 68rm km`]이다.

(단, [eqn: log`2=0.3010], [eqn: log`9.9=0.9956]으로 계산한다.)

[3점][2003학년도 수능]

① [eqn: 68]	② [eqn: 78]	③ [eqn: 88]

④ [eqn: 98]	⑤ [eqn: 108]

다음은 어떤 상품의 수요와 공급에 관한 시장균

형모형을 설명한 것이다.

이 상품의 가격 [eqn: P``]의 변화

에 따른 수요량을 [eqn: Q_1],

공급량을 [eqn: Q_2``]라고 하면

아래와 같이 이들을 각각

[eqn: P``]에 대한 일차함수로

나타낼 수 있다.

[eqn: Q _{1} =a-bP],  [eqn: Q _{2} =-c+dP]

여기서 [eqn: a,```b,```c,```d]는 양수이다.

두 함수 [eqn: Q_1]과 [eqn: Q _{2}]의 그래프의 교점 [eqn: rm A]가

제[eqn: 1]사분면에 있을 때 시장균형가격이 결정된다.

위의 모형에서 시장균형가격이 결정되기 위한

[eqn: a,```b,```c,```d] 사이의 관계로 알맞은 것은?

정답 ③

[eqn: Q _{1} `a-bP], [eqn: Q _{2} =-c+dP]에서 교점 [eqn: A`]를 구하면

[eqn: a-bP=-c+dP]에서 [eqn: P= {a+c} over {b+d}]

[eqn: THEREFORE ~a`-`b`P`=`a`-`b` LEFT ( {a`+`c}over{b`+`d} RIGHT ) ={a`d`-`b`c}over{b`+`d}]

따라서, 교점 [eqn: A`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {a+c} over {b+d} ,``` {ad-bc} over {b+d} RIGHT )]이고

이 점이 제 [eqn: 1]사분면에 있으므로

[eqn: ad-bc>0]이어야 한다.

[3점][2003학년도 수능]

① [eqn: ad`-`bc=0`]	② [eqn: ac`-`bd=0`]

③ [eqn: ad`-`bc`>`0`]	④ [eqn: ad`-`bc`<`0`]

⑤ [eqn: ac`-`bd`>`0`]

주관식 문항 (25～30)

전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A]와 [eqn: B]에 대하여

[eqn: A SMALLINTER B ^{c} =A], [eqn: n(A)=9], [eqn: n(B)=14]

일 때, [eqn: n(A CUP B)]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 23]

[eqn: A SMALLINTER B ^{c} =A-B=A-(A SMALLINTER B)=A]이므로

[eqn: A SMALLINTER B= phi]이다.

[eqn: THEREFORE ```n(A CUP B)=n(A)+n(B)=9+14=23]

(단, [eqn: n`(X`)`]는 집합 [eqn: X``]의 원소의 개수이다.)

[2점][2003학년도 수능]

[eqn: log` _{2} ` {24} over {5} +log` _{2} ` {80} over {3}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 7]

[eqn: log` _{2} ` {24} over {5} +log` _{2} ` {80} over {3} =log` _{2} ` {24} over {5} · {80} over {3}][eqn: =log` _{2} `8·16]

[eqn: =log` _{2} `2 ^{3} ·2 ^{4} =log` _{2} `2 ^{7} =7log` _{2} `2=7]

[2점][2003학년도 수능]

다항식 [eqn: f`(x`)=x ^{3} +x ^{2} +2x+1]에 대하여 [eqn: f`(x)]를

[eqn: x-a]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R _{1}], [eqn: f`(x)]를 [eqn: x+a]로

나누었을 때의 나머지를 [eqn: R _{2}]라고 하자.

[eqn: R _{1} +R _{2} =6]일 때, [eqn: f`(x)]를 [eqn: x-a ^{2}]으로 나눈 나머지를

구하시오.

정답 [eqn: 17]

[eqn: f`(a`)`=`a^3 +a^2 +2a+1`=`R_1 `]

[eqn: f`(-a`)=-a^3 +a^2 -2a+1`=`R_2]이므로

[eqn: R_1 `+`R_2 `=`2a^2 +2=6]에서 [eqn: a^2 `=`2]

[eqn: THEREFORE ```f`(a ^{2} )=a ^{6} +a ^{4} +2a ^{2} +1=17]

[3점][2003학년도 수능]

좌표평면에서 다음 연립부등식이 나타내는 영역

의 넓이를 구하시오.

정답 [eqn: 4]

[eqn: {cases{y LEQ - LEFT | `x-1` RIGHT | +3&``` CDOTS CDOTS ```①#y GEQ LEFT | `x` RIGHT |&``` CDOTS CDOTS ```②}}]

[eqn: ①]과 [eqn: ②]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: y=- LEFT | `x-1` RIGHT | +3]의 그래프는 [eqn: y= LEFT | `x` RIGHT |]을 [eqn: x]축 대칭이동한 후 [eqn: x]축, [eqn: y]축의 방향으로 각각 [eqn: 1,```3]만큼 평행이동한 것이다.

[eqn: rm bar{OA}]는 [eqn: (0,```0)]에서 [eqn: y=x=2]에 이르는 거리이므로

[eqn: {LEFT | `2` RIGHT |} over {sqrt {2}} = {2r2} over {2} = sqrt {2}]

[eqn: rm bar{OC}]는 [eqn: (0,```0)]에서 [eqn: y=-x+4]에 이르는 거리이므로

[eqn: {LEFT | `4` RIGHT |} over {sqrt {2}} =2 sqrt {2}]

[eqn: THEREFORE ```rm□OABC]의 넓이는 [eqn: sqrt {2} TIMES 2 sqrt {2} =4]

[eqn: {cases{y LEQ - LEFT | `x-1` RIGHT | +3&#y GEQ LEFT | `x` RIGHT |&}}]

[3점][2003학년도 수능]

두 실수 [eqn: x]와 [eqn: y]가 방정식 [eqn: x-y+4=0]을 만족시

킬 때, [eqn: x ^{2} +y ^{2}]의 최소값을 구하시오.

정답 [eqn: 8]

[eqn: x-y+4=0]에서 [eqn: y=x+4]이므로

[eqn: x ^{2} +y ^{2}]에 대입하면

[eqn: x ^{2} +(x+4) ^{2} =x ^{2} +x ^{2} +8x+16][eqn: =2x ^{2} +8x+16]

[eqn: =2(x+2) ^{2} +8]

[eqn: THEREFORE ```x=-2]일 때 최소값은 [eqn: 8]이다.

[3점][2003학년도 수능]

[eqn: rm TRIANGLE ABC]에서 [eqn: rm ANGLE A=60 DEG ,``` bar{AB} =9,``` bar{AC} =6]일 때,

변 [eqn: rmBC]의 길이를 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. (단, [eqn: sqrt {7} =2.65]로 계산한다.)

정답 [eqn: 7.95]

제[eqn: 2]코사인법칙에 의하여

[eqn: rm bar{BC` ^{2}} =9 ^{2} +6 ^{2} -2 TIMES 9 TIMES 6 TIMES cos60 DEG][eqn: =117-54=63]

[eqn: THEREFORE ```rm bar{BC} = sqrt {63} =3 sqrt {7} image 3 TIMES 2.65=7.95]

[3점][2003학년도 수능]

정답과 해설