수학 나형 정답

1	②	2	⑤	3	③	4	②	5	③
6	③	7	①	8	①	9	②	10	①
11	②	12	④	13	④	14	④	15	③
16	⑤	17	①	18	②	19	⑤	20	⑤
21	④	22	[eqn: 12]	23	[eqn: 17]	24	[eqn: 60]	25	[eqn: 90]
26	[eqn: 15]	27	[eqn: 107]	28	[eqn: 380]	29	[eqn: 46]	30	[eqn: 127]

해 설

1. [출제의도] 두 집합의 교집합을 구한다.

두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,`2,`3 RIGHT }`], [eqn: B= LEFT { 2,`3,`4,`5 RIGHT }`]를 벤 다이어그램으로 나타내면 아래 그림과 같다.

∴ [eqn: A SMALLINTER B= LEFT { 2,`3 RIGHT }]

2. [출제의도] 복소수의 곱셈을 계산한다.

[eqn: i ^{``2} =`-1]에서

[eqn: (1+i)(1-i)=1-i ^{``2}][eqn: =1-(-1)=2]

3. [출제의도] 다항식의 곱셈을 이용하여 주어진 항의 계수를 구한다.

[eqn: LEFT ( x+2y RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +xy RIGHT )][eqn: =x ^{3} +x ^{2} y+2x ^{2} y+2xy ^{2}]
[eqn: =x ^{3} +3x ^{2} y+2xy ^{2}]

따라서 [eqn: x ^{2} y]의 계수는 [eqn: 3]이다.

4. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 계산한다.

[eqn: 2 ^{{1} over {3}} TIMES 4 ^{{1} over {3}}][eqn: =2 ^{{1} over {3}} TIMES (2 ^{2} ) ^{{1} over {3}}][eqn: =2 ^{{1} over {3}} TIMES 2 ^{{2} over {3}}]
[eqn: =2 ^{{1} over {3} + {2} over {3}}]
[eqn: =2 ^{1} =2]

[다른 풀이]

[eqn: 2 ^{{1} over {3}} TIMES 4 ^{{1} over {3}}][eqn: = LEFT ( 2 TIMES 4 RIGHT ) ^{{1} over {3}} =8 ^{{1} over {3}} = LEFT ( 2 ^{3} RIGHT ) ^{{1} over {3}} =2]

5. [출제의도] 이차방정식의 판별식을 이용하여 조건을 만족시키는 정수의 개수를 구한다.

이차방정식 [eqn: x ^{2} -2ax+3=0`]의 판별식을 [eqn: D``]라 하자.

이차방정식이 서로 다른 두 허근을 가지려면 [eqn: D<0`]이어야 하므로

[eqn: D over 4 =a ^{2} -3][eqn: <0]

[eqn: left( a- sqrt3` right)(a+ sqrt3` )<0]

∴ [eqn: - sqrt3` <`a`<` sqrt3]

따라서 구하는 정수는 [eqn: -1`], [eqn: 0`], [eqn: 1`]의 [eqn: 3]개이다.

6. [출제의도] 등비수열의 성질을 이용하여 항의 값을 구한다.

등비수열 [eqn: 3], [eqn: 12], [eqn: a`]에서 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: 3r=12]

∴ [eqn: r=4]

[eqn: a=12r=12times4=48]

[다른 풀이]

세 수 [eqn: 3], [eqn: 12], [eqn: a]가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 [eqn: 12`]는 [eqn: 3`]과 [eqn: a`]의 등비중항이다.

[eqn: 12 ^{2} =3a`]

∴ [eqn: a=48]

7. [출제의도] 유리함수의 그래프에서 점근선의 방정식을 구한다.

[eqn: y= {2x-3} over {x-4} `][eqn: = {2(x-4)+5} over {x-4}][eqn: =2+` {5} over {x-4}]

유리함수 [eqn: y=` {5} over {x-4} +2`]의 그래프는 유리함수 [eqn: y= {5} over {x} `]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 4`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 2`]만큼 평행이동한 것이다.

따라서 유리함수 [eqn: y=` {5} over {x-4} +2`]의 그래프의 점근선의 방정식은 [eqn: x=4`], [eqn: y=2`]이므로 [eqn: p=4`], [eqn: q=2]

∴ [eqn: p+q=`6]

8. [출제의도] 합성함수의 성질을 이용하여 함숫값을 구한다.

[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) = sqrt { 1+3}+1=3]

[eqn: f` LEFT ( 3 RIGHT ) =3 ^{2} -1`=`8`]

이므로

[eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( g LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 3 RIGHT ) =8]

9. [출제의도] 충분조건을 만족시키는 실수의 최댓값을 구한다.

두 조건 [eqn: p], [eqn: q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q``]라 하자.

조건 [eqn: p`:`2x+4>0`]에서

[eqn: x>][eqn: -2`]

[eqn: P= LEFT { x LEFT | `x>`-2` RIGHT } RIGHT .]

조건 [eqn: q`:`x GEQ a`]에서

[eqn: Q= LEFT { x LEFT | x`gea` RIGHT } RIGHT .]

[eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이므로 [eqn: P SUBSET Q``]이어야 한다.

∴ [eqn: a LEQ `-2]

따라서 실수 [eqn: a`]의 최댓값은 [eqn: -2`]이다.

10. [출제의도] 연립방정식의 해를 구한다.

[eqn: {cases{`2x-y=5&CDOTS CDOTS ㉠#`x ^{2} -2y=6&CDOTS CDOTS ㉡ ^{` ^{`}}}}]

㉠, ㉡을 연립하면

[eqn: x ^{2} -2(2x-5)=6]

[eqn: x ^{2} -4x+4=0]

[eqn: (x-2) ^{2} =0]

∴ [eqn: x=2]

㉠에서

[eqn: y=`-1]

따라서 [eqn: alpha=2], [eqn: beta =`-1]이므로 [eqn: alpha+beta=1]

11. [출제의도] 집합의 연산법칙을 이용하여 주어진 집합을 벤 다이어그램으로 나타낸다.

각 집합을 벤 다이어그램으로 나타내면 다음과 같다.

① [eqn: A capB^C` = A -B`]

② [eqn: left( A cap B `right)cupB^C `][eqn: =` left( A cup B^C`` right) cap (B cup B^C``)]
[eqn: =` left( A cup B^C`` right) capU]
[eqn: =`A cup B^C`]

③ [eqn: left( A cap B^C `right)cupA^C `][eqn: =` left( A cup A^C`` right) cap (B^C cup A^C``)]
[eqn: =`U cap (A cap B``)^C]
[eqn: =` (A cap B``)^C]

④ [eqn: LEFT ( A` CUP B`` RIGHT ) SMALLINTER LEFT ( A` SMALLINTER B`` RIGHT ) ^{C}][eqn: = LEFT ( A` CUP B`` RIGHT ) - LEFT ( A` SMALLINTER B`` RIGHT )]

⑤ [eqn: LEFT ( A`-B`` RIGHT ) CUP left( A^C cap B^C ``right)][eqn: =LEFT ( A`capB^C`` RIGHT ) CUP left( A^C cap B^C ``right)]
[eqn: =LEFT ( A`cup A^C`` RIGHT ) cap B^C]
[eqn: =U` cap B^C]
[eqn: = B^C]

12. [출제의도] 나머지정리를 이용하여 상수의 값을 구한다.

[eqn: P`(x)=(kx ^{3} +3)(kx ^{2} -4)-kx`]라 할 때, 다항식 [eqn: P`(x)`]가 [eqn: x+1`]로 나누어떨어지려면 [eqn: P`(-1)=0`]이어야 한다.

[eqn: P`(-1)][eqn: =(-k+3)(k-4)+k`]
[eqn: =`-k ^{2} +7k-12+k`]
[eqn: =`-(k ^{2} -8k+12)`]
[eqn: =`-(k-2)(k-6)`][eqn: =0`]

∴ [eqn: k=2`] 또는 [eqn: k=6`]

따라서 모든 실수 [eqn: k`]의 값의 합은 [eqn: 8`]이다.

13. [출제의도] 이차함수의 그래프와 직선이 만나는 두 점 사이의 거리를 구한다.

곡선 [eqn: y=x ^{2} `]과 직선 [eqn: y=4x-2`]의 두 교점을 각각

[eqn: rm A( it alpha ,```4 alpha -2)`], [eqn: rm B( it beta ,```4 beta -2)`]라 하자.

[eqn: y=x ^{2}], [eqn: y=4x-2]를 연립하면

[eqn: x ^{2} =4x-2]

[eqn: x ^{2} -4x+2=0]

이차방정식의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta `]이므로 근과 계수의 관계에 의해 [eqn: alpha+beta=4], [eqn: alpha beta =2]

[eqn: {bar{rm AB it}} `][eqn: = sqrt {LEFT ( beta - alpha RIGHT ) ^{2} + LEFT { LEFT ( 4 beta -2 RIGHT ) - LEFT ( 4 alpha -2 RIGHT ) RIGHT } ^{2}}]
[eqn: = sqrt {LEFT ( beta - alpha RIGHT ) ^{2} +16 LEFT ( beta - alpha RIGHT ) ^{2}} `]
[eqn: = sqrt {17 LEFT ( beta - alpha RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: LEFT ( beta - alpha RIGHT ) ^{2} = LEFT ( beta + alpha RIGHT ) ^{2} -4 alpha beta][eqn: =16-8=8`]이므로

[eqn: {bar{rm AB it}} `= sqrt {17 TIMES 8}]

[eqn: =2 sqrt {34}]

[다른 풀이]

곡선 [eqn: y=x ^{2} `]과 직선 [eqn: y=4x-2`]의 두 교점을 각각

[eqn: rm A( it alpha ,``alpha^2 )], [eqn: rm B( it beta ,`` beta ^{``2} )]이라 하자.

[eqn: y=x ^{2}], [eqn: y=4x-2`]를 연립하면

[eqn: x ^{2} =4x-2]

[eqn: x ^{2} -4x+2=0]

이차방정식의 두 근이 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]이므로 근과 계수의 관계에 의해  [eqn: alpha+beta=4], [eqn: alphabeta=2]

[eqn: LEFT ( beta - alpha RIGHT ) ^{2} = LEFT ( beta + alpha RIGHT ) ^{2} -4 alpha beta][eqn: =16-8=8`]이므로

[eqn: {bar{rm AB` it}} = sqrt {LEFT ( beta - alpha RIGHT ) ^{2} + LEFT ( beta ^{``2} - alpha ^{2} RIGHT ) ^{2}} `]

[eqn: = sqrt {LEFT ( beta - alpha RIGHT ) ^{2} +(beta+alpha) ^{2} LEFT ( beta - alpha RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: = sqrt {8+16 TIMES 8} =2 sqrt {34}]

14. [출제의도] 직선의 기울기와 근과 계수의 관계를 이용하여 [eqn: sum _{ } ^{ }]의 값을 구한다.

곡선 [eqn: y=x ^{2} `]과 직선 [eqn: y=n`x-2`]의 두 교점을 각각

[eqn: rm A( it alpha ,``alpha^2 )], [eqn: rm B( it beta ,`` beta ^{``2} )]이라 하면

[eqn: a _{n} = {alpha ^{2}} over {alpha} =alpha`]

[eqn: b _{`n} = {beta ^{``2}} over {beta } = beta `]

[eqn: a _{n} +b _{n} =alpha+beta]

한편 [eqn: y=x ^{2} `]과 [eqn: y=nx-2`]를 연립하면

[eqn: x ^{2} =nx-2`]

[eqn: x ^{2} -n `x+2=0`]

이차방정식의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta`]이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta =n`]

∴ [eqn: a _{n} +b _{n} =n]

∴ [eqn: sum _{n=3} ^{20} LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT )][eqn: = sum _{n=3} ^{20} `n]
[eqn: = sum _{n=1} ^{20} n`-` LEFT ( 1+2 RIGHT )]
[eqn: = {20 TIMES 21} over {2} - LEFT ( 1+2 RIGHT )]
[eqn: =207]

[다른 풀이]

곡선 [eqn: y=x ^{2} `]과 직선 [eqn: y=n`x-2`]의 두 교점을 각각

[eqn: rm A( it alpha ,```n` alpha -2)`], [eqn: rm B( it beta ,```n` beta -2)`]라 하면

[eqn: a _{n} = {n alpha -2} over {alpha } =n- {2} over {alpha} `]

[eqn: b _{`n} = {n beta-2} over {beta } =n- {2} over {beta } `]

[eqn: a _{n} +b _{n} =2n- LEFT ( {2} over {alpha} + {2} over {beta} RIGHT )]

[eqn: =2n- {2 LEFT ( alpha+beta RIGHT )} over {alphabeta}]

한편 [eqn: y=x ^{2} `]과 [eqn: y=nx-2`]를 연립하면

[eqn: x ^{2} =nx-2`]

[eqn: x ^{2}-n `x+2=0`]

이차방정식의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta`]이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta =n`], [eqn: alpha`beta=2]

∴ [eqn: a _{n} +b _{n} =2n- {2n} over {2} =n]

∴ [eqn: sum _{n=3} ^{20} LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT )][eqn: = sum _{n=3} ^{20} `n]
[eqn: = sum _{n=1} ^{20} n`-` LEFT ( 1+2 RIGHT )]
[eqn: = {20 TIMES 21} over {2} - LEFT ( 1+2 RIGHT )]
[eqn: =207]

[참고]

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 그래프의 교점의 좌표는

[eqn: ( alpha ,```f( alpha ))] 또는 [eqn: ( alpha ,```g( alpha ))]로 놓을 수 있다.

이때 구하고자 하는 값에 따라 적절히 점의 좌표를 선택하면 계산 과정이 간단해진다.

15. [출제의도] 원의 성질을 이용하여 조건을 만족시키는 현의 개수를 구한다.

[eqn: x ^{2} + y ^{2} - 10x =0`]에서

[eqn: (x-5) ^{2} +y ^{2} =5 ^{2} `]

그림과 같이 원의 중심을 [eqn: rm C`]라 하고 점 [eqn: rm A` it (`1,`0)`]을 지나는 직선이 이 원과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm P`], [eqn: rm Q`]라 하자.

현 [eqn: rm PQ`]의 길이가 최소일 때는 [eqn: rm {bar{CA}} BOT {bar{PQ}} `]일 때이고 이때 [eqn: rm barAP = bar AQ]이다.

직각삼각형 [eqn: rm ACP]에서 [eqn: rm {bar{CA}} =4], [eqn: rm {bar{CP}} =5]이므로

[eqn: rm {bar{AP}} =3]

∴ [eqn: rm bar PQ ` =` 2 times rm bar AP `=`6]

따라서 현 [eqn: rm PQ`]의 길이의 최솟값은 [eqn: 6]이다.

현 [eqn: rm PQ`]의 길이가 최대일 때는 현 [eqn: rm PQ]가 지름일 때이므로 현 [eqn: rm PQ]의 길이의 최댓값은 [eqn: 10`]이다.

따라서 현의 길이가 자연수인 경우는

[eqn: 6`], [eqn: 7`], [eqn: 8], [eqn: 9], [eqn: 10`]

이다.

이때 길이가 [eqn: 7`], [eqn: 8], [eqn: 9`]인 현은 각각 [eqn: 2]개씩 존재하고, 길이가 [eqn: 6], [eqn: 10`]인 현은 각각 [eqn: 1]개씩 존재한다.

따라서 구하는 현의 개수는

[eqn: 3 times 2 + 2 times 1 = 8]

16. [출제의도] 원의 방정식과 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 상수의 값의 합을 구한다.

원의 중심을 [eqn: rm C`]라 하고, 두 점 [eqn: RM A`], [eqn: RM B`]에서 각각 이 원에 접하는 두 직선의 교점을 [eqn: rm D`]라 하자.

원의 중심과 접점을 연결한 선분은 접선에 수직이다.

또, 원 밖의 점 [eqn: rm D`]와 두 접점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`] 사이의 거리는 서로 같다.

따라서 사각형 [eqn: rmADBC`]는 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정사각형이다.

대각선 [eqn: rm AB`]의 중점을 [eqn: rm M`]이라 하면

[eqn: rm {bar{CM}} = it {sqrt {2}} over {2} `]

점 [eqn: rm`C]와 직선 [eqn: y=mx] 사이의 거리가 선분 [eqn: rm `CM`]의 길이와 같으므로

[eqn: {|`m-1`|} over root{m^2 +1}][eqn: = {sqrt {2}} over {2}]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: m^2 - 4m +1=0`]

이 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 가지므로 근과 계수의 관계에 의해 모든 실수 [eqn: m]의 값의 합은 [eqn: 4]이다.

[다른 풀이]

중심이 [eqn: (1,``1)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원의 방정식은

[eqn: (x-1)^2 + (y-1)^2 =1]

두 점 [eqn: rm A], [eqn: rmB`]의 좌표를 각각 [eqn: ( alpha ,``m` alpha )], [eqn: ( beta ,``m` beta )]라 하자.

[eqn: (x-1) ^{2} +(y-1) ^{2} =1`]과 [eqn: y=m`x`]를 연립하면

[eqn: (x-1) ^{2} +(m`x-1) ^{2} =1]

[eqn: (1+m ^{2} )`x ^{2} -2(1+m)`x+1=0]

이차방정식의 두 실근이 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta = {2(1+m)} over {1+m ^{2}} `], [eqn: alpha beta = {1} over {1+m ^{2}} `] [eqn: cdotscdots] ㉠

이 원의 중심을 [eqn: rm C`]라 하고, 두 점 [eqn: RM A`], [eqn: rm B`]에서 각각 이 원에 접하는 두 직선의 교점을 [eqn: rm D`]라 하자.

원의 중심과 접점을 연결한 선분은 접선에 수직이다.

또, 원 밖의 점 [eqn: rm D`]와 두 접점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`] 사이의 거리는 서로 같다.

따라서 사각형 [eqn: rmADBC`]는 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정사각형이다.

∴ [eqn: rm bar AC ⊥ bar BC]

[eqn: {m alpha -1} over {alpha -1} TIMES {m beta -1} over {beta -1} =`-1`]

[eqn: (1+m^2 )alpha beta - (1+m) (alpha +beta ) +2 = 0]

㉠을 이 식에 대입하면

[eqn: 1 - {2(1+m)^2 } over {1+m^2 } + 2 = 0]

[eqn: m^2 -4m +1 =0]

이 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 가지므로 근과 계수의 관계에 의해 모든 실수 [eqn: m]의 값의 합은 [eqn: 4]이다.

17. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 수열의 일반항을 추론한다.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때,
(좌변)[eqn: =a _{1} =1], (우변)[eqn: =1times1=1]
따라서 ㉡이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때, ㉡이 성립한다고 가정하면
[eqn: a _{k} = LEFT ( 1+2+3+ CDOTS +k RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS + {1} over {k} RIGHT ) `]
이다.

㉠에서 [eqn: a_k+1 over k+2 = a_k over k + 1 over 2]이므로

이 등식의 양변에 [eqn: k+2]를 곱하면

[eqn: a _{k+1}][eqn: = {BOX{ k+2 over k}} ``a _{k} + {k+2} over {2}]
[eqn: = {BOX{ k+2 over k} ` LEFT ( 1+2+3+ CDOTS +k RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS + {1} over {k} RIGHT )][eqn: + {k+2} over {2}]

[eqn: = k+2 over k times {k (k+1 )} over 2 times left( 1 + 1 over 2 + 1 over 3 + cdots + 1 over k right) + k+2 over 2]
[eqn: = {BOX{{(k+1)(k+2)} over {2}}} `` LEFT ( 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS + {1} over {k} RIGHT ) + {k+2} over {2}]

[eqn: = {(k+1)(k+2)} over {2} LEFT ( 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS + {1} over {k} RIGHT ) + {(k+1)(k+2)} over {2(k+1)}]

[eqn: = {(k+1)(k+2)} over {2} ` LEFT { ` LEFT ( 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS + {1} over {k} RIGHT ) + {1} over {k+1} RIGHT }]
[eqn: = LEFT { 1+2+3+ CDOTS +(k+1) RIGHT } LEFT ( 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +cdots+ {1} over {k+1} RIGHT )]

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 ㉡이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ㉡이 성립한다.

[eqn: f(k)= {k+2} over {k} `], [eqn: g(k)= {(k+1)(k+2)} over {2} `]이므로

[eqn: f(10) times g(9 ) = 12 over 10 times {10 times 1 1} over2 = 66]

18. [출제의도] 점의 대칭이동과 삼각형의 닮음을 이용하여 상수의 값을 구한다.

두 점 [eqn: rm A(4,``` it a)], [eqn: rm B(2,```1)]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점은 각각 [eqn: rm A prime ( it a,```4)], [eqn: rm B prime (1,```2)]이다.

두 직선 [eqn: rm AA'], [eqn: rm BB']은 각각 직선 [eqn: y=x]와 서로 수직이므로 두 직선 [eqn: rm AA'], [eqn: rm BB']은 서로 평행하다.

따라서 두 삼각형 [eqn: rm APA'`], [eqn: rm BPB']은 서로 닮은 삼각형이다.

두 삼각형 [eqn: rm APA'`], [eqn: rm BPB']의 넓이의 비가 [eqn: 9:4]이므로 두 삼각형 [eqn: rm APA'`], [eqn: rm BPB']의 닮음비는 [eqn: 3:2]이다.

∴ [eqn: bar{ rm AA'} ``:``bar {rm BB'}``=``3`:`2`]

[eqn: rm {bar{AA prime }} = it sqrt {(a-4) ^{2} +(4-a) ^{2}} = sqrt {2} (a-4)] (∵ [eqn: a>4])

[eqn: rm {bar{BB prime }} = sqrt {(-1) ^{2} +1 ^{2}} = sqrt {2}]

[eqn: bar{ rm AA'} ``:``bar {rm BB'}``=``3`:`2`]에서

[eqn: sqrt {2} (a-4)`:` sqrt {2} ``=3`:`2]

[eqn: 2(a-4)=3]에서 [eqn: a= 11 over 2]

[다른 풀이1]

두 점 [eqn: rm A(4,``` it a)], [eqn: rm B(2,```1)]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점은 각각 [eqn: rm A prime ( it a,```4)], [eqn: rm B prime (1,```2)]이다.

두 직선 [eqn: rm AA'], [eqn: rm BB']은 각각 직선 [eqn: y=x]와 서로 수직이므로 두 직선 [eqn: rm AA'], [eqn: rm BB']은 서로 평행하다.

따라서 두 삼각형 [eqn: rm APA'`], [eqn: rm BPB']은 서로 닮은 삼각형이다.

두 삼각형 [eqn: rm APA'`], [eqn: rm BPB']의 넓이의 비가 [eqn: 9:4]이므로 두 삼각형의 닮음비는 [eqn: 3:2]이다.

∴ [eqn: rm bar AP ``:``bar BP``=``3``:``2``]

점 [eqn: rm P]는 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 3`:`2`]로 내분하는 점이므로 점 [eqn: rm P]의 좌표는

[eqn: LEFT ( {3 TIMES 2+2 TIMES 4} over {3+2} ,``` {3 TIMES 1+2 TIMES a} over {3+2} RIGHT )]

즉 [eqn: LEFT ( {14} over {5} ,``` {2a+3} over {5} RIGHT )]

두 직선 [eqn: rmAB], [eqn: rm A'B']은 직선 [eqn: y=x]에 대하여 서로 대칭이므로 두 직선 [eqn: rmAB], [eqn: rm A'B']의 교점 [eqn: rm P]는 직선 [eqn: y=x] 위의 점이다.

[eqn: 14 over 5 = {2a+3} over {5}]

∴ [eqn: a= 11 over 2]

[다른 풀이2]

두 점 [eqn: rm A(4,``ita)], [eqn: rm B(2,``1)]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점은 각각 [eqn: rm A'(ita,``4)], [eqn: rm B ' (1,``2)]이다.

두 직선 [eqn: rm AA'], [eqn: rm BB']은 각각 직선 [eqn: y=x]와 서로 수직이므로 두 직선 [eqn: rm AA'], [eqn: rm BB']은 서로 평행하다.

따라서 두 삼각형 [eqn: rm APA'`], [eqn: rm BPB']은 서로 닮은 삼각형이다.

점 [eqn: rm A]와 직선 [eqn: y=x] 사이의 거리와 점 [eqn: rm B]와 직선 [eqn: y=x] 사이의 거리의 비가 닮음비 [eqn: 3``:2]와 같다.

[eqn: {|`4-a`|} over {sqrt {1 ^{2} +(-1) ^{2}}} `:` {1} over {sqrt {1 ^{2} +(-1) ^{2}}} `=`3`:`2]

[eqn: 2(a-4)=3] (∵ [eqn: a>4])

∴ [eqn: a= 11 over 2]

19. [출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 자연수의 순서쌍의 개수를 구한다.

함수 [eqn: y=f ^{`-1} (x)]의 그래프는 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이므로 함수 [eqn: y=f` ^{-1} (x)`]의 그래프는 아래 그림과 같다.

[eqn: f ^{`-1} (1)=g(5)= {1} over {2}]

[eqn: f ^{`-1} (2)=g(4)=1]

[eqn: f ^{`-1} (3)=g(3)=3]

[eqn: f ^{`-1} (4)=g(2)=5]

[eqn: f ^{`-1} (5)=g(1)= {11} over {2}]

이므로 등식 [eqn: f ^{`-1} (a)=g(b)]를 만족시키는 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍은

[eqn: LEFT ( 1,```5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,```4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3,```3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4,```2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 5,```1 RIGHT )]

의 [eqn: 5]개다.

[다른 풀이]

등식 [eqn: f ^{`-1} LEFT ( a RIGHT ) =g LEFT ( b RIGHT ) `]에서 [eqn: f LEFT ( g LEFT ( b RIGHT ) RIGHT ) =a`]이고 [eqn: a`]가 자연수이므로 가능한 [eqn: g LEFT ( b RIGHT ) `]의 값은 [eqn: {1} over {2} `], [eqn: 1`], [eqn: 3`], [eqn: 5`], [eqn: {11} over {2} `], [eqn: 6`]이다.

[eqn: g LEFT ( b RIGHT ) = {1} over {2} `]에서 [eqn: b=5`]이고 [eqn: f LEFT ( g LEFT ( b RIGHT ) RIGHT ) =1`]

[eqn: g LEFT ( b RIGHT ) =1`]에서 [eqn: b=4`]이고 [eqn: f LEFT ( g LEFT ( b RIGHT ) RIGHT ) =2]

[eqn: g LEFT ( b RIGHT ) =3`]에서 [eqn: b=3`]이고 [eqn: f LEFT ( g LEFT ( b RIGHT ) RIGHT ) =3]

[eqn: g LEFT ( b RIGHT ) =5`]에서 [eqn: b=2`]이고 [eqn: f LEFT ( g LEFT ( b RIGHT ) RIGHT ) =4]

[eqn: g LEFT ( b RIGHT ) = {11} over {2} `]에서 [eqn: b=1]이고 [eqn: f LEFT ( g LEFT ( b RIGHT ) RIGHT ) =5]

[eqn: g LEFT ( b RIGHT ) =6`]에서 [eqn: b=0`]이고 [eqn: f LEFT ( g LEFT ( b RIGHT ) RIGHT ) =6]

이므로 등식 [eqn: f LEFT ( g LEFT ( b RIGHT ) RIGHT ) =a`]를 만족시키는 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍은

[eqn: LEFT ( 1,```5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,```4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3,```3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4,```2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 5,```1 RIGHT )]

의 [eqn: 5]개다.

20. [출제의도] 이차함수와 항등식의 성질을 이용하여 주어진 명제의 참, 거짓을 판단한다.

ㄱ. (참) [eqn: k=1]일 때

[eqn: f(x) = (x-1)^2 -2]이므로 [eqn: rm A(1,``-2)]

∴ [eqn: rm bar{OA} `=`sqrt{1^2 +(-2)^2 } = sqrt5]

ㄴ. (참) [eqn: y=k (x-1)^2 -4k+2]를 [eqn: k]에 대하여 정리하면

[eqn: k left{` (x-1)^2 -4 `right} +2-y = 0]

이 등식이 [eqn: 0]이 아닌 실수 [eqn: k]의 값에 관계없이 성립하려면

[eqn: (x-1)^2 =4], [eqn: 2-y = 0]

이어야 하므로

[eqn: x=3], [eqn: y=2] 또는 [eqn: x=`-1], [eqn: y=2]

따라서 곡선 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: 0]이 아닌 실수 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 두 점 [eqn: (3,```2)], [eqn: (-1,```2)]를 지난다.

ㄷ. (참) [eqn: rm A it (1,```-4k+2)`], [eqn: rm B it (0,```-3k+2)`]이고

직선 [eqn: rmAB`]의 기울기는

[eqn: {(-4k+2)-(-3k+2)} over {1-0} =`-k]

따라서 직선 [eqn: rmAB`]의 방정식은

[eqn: y=`-kx-3k+2]

이 등식을 [eqn: k`]에 대하여 정리하면

[eqn: k(x+3)+y-2=0`]

이 등식이 [eqn: 0`]이 아닌 실수 [eqn: k`]의 값에 관계없이 성립하려면

[eqn: x+3=0`], [eqn: y-2= 0]

이어야 하므로

[eqn: x=`-3`], [eqn: y=2]

따라서 직선 [eqn: rm AB`]는 [eqn: 0`]이 아닌 실수 [eqn: k`]의 값에 관계없이 항상 점 [eqn: (-3,```2)`]를 지난다.

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

21. [출제의도] 점의 대칭이동과 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 점의 좌표를 구한다.

점 [eqn: rm B`]가 곡선 [eqn: y= 2 over x] 위의 점이므로

[eqn: beta = 2 over alpha], 즉 [eqn: alpha ` beta =2] [eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: alpha > sqrt2]이므로 [eqn: 0<beta<sqrt2], 즉 [eqn: 0< beta < alpha]

두 점 [eqn: rm B,``C]가 직선 [eqn: y=x]에 대하여 서로 대칭이므로

[eqn: rm C LEFT ( it beta ,``` alpha RIGHT )]

∴ [eqn: rm {bar{BC}} `=` sqrt {it LEFT ( beta - alpha RIGHT ) ^{2} + LEFT ( alpha - beta RIGHT ) ^{2} rm} = sqrt {2} it LEFT ( alpha - beta RIGHT )] (∵[eqn: alpha>beta])

직선 [eqn: rm BC]와 직선 [eqn: y=x]가 서로 수직이므로 직선 [eqn: rm BC]의 기울기는 [eqn: -1]이다. 또한 이 직선이 점 [eqn: rm B]를 지나므로 직선 [eqn: rm BC]의 방정식은

[eqn: y- beta =`- LEFT ( x- alpha RIGHT )], 즉 [eqn: x+y - left( alpha + beta right) = 0]

점 [eqn: rmA]와 직선 [eqn: rmBC] 사이의 거리를 [eqn: h`]라 하면

[eqn: h= {LEFT | -2+2- LEFT ( alpha+ betaRIGHT ) RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +1 ^{2}}} = 1 over sqrt2 left({alpha+ beta} }right) `] (∵[eqn: alpha >0`], [eqn: beta>0`])

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: 2 sqrt3]이므로

[eqn: triangle rm ABC][eqn: = {1} over {2} TIMES rm {bar{BC}} TIMES it h]
[eqn: = {1} over {2} TIMES sqrt2 LEFT ( alpha- beta RIGHT ) TIMES 1 over sqrt2 left( {alpha+ beta } right)]
[eqn: = {1} over {2} LEFT ( alpha ^{2} - beta ^{``2} RIGHT )][eqn: = 2 sqrt3]

[eqn: alpha ^{2} - beta ^{``2} =4 sqrt {3}] [eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: ( alpha ^{2} + beta ^{``2} ) ^{2}][eqn: =( alpha ^{2} - beta ^{``2} ) ^{2} +4 alpha ^{2} beta ^{``2}]
[eqn: =(4 sqrt {3} ) ^{2} +4 TIMES 2 ^{2}]
[eqn: = 64]

[eqn: alpha ^{2} + beta ^{``2} >0]이므로

[eqn: alpha ^{2} + beta ^{``2} =8]

22. [출제의도] 로그의 값을 계산한다.

[eqn: log`_2 16 times log`_3 27][eqn: = log`_2 2^4 times log`_3 3^3]
[eqn: = 4 log`_2 2 times 3 log` _3 3]
[eqn: = 4 times 3]
[eqn: =12]

23. [출제의도] 외분점의 좌표를 구한다.

두 점 [eqn: rm A(3,```4)], [eqn: rm B(5,```7)]에 대하여 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 2`:`1]로 외분하는 점의 좌표는

[eqn: LEFT ( {2 TIMES 5-1 TIMES 3} over {2-1} ,``` {2 TIMES 7-1 TIMES 4} over {2-1} RIGHT )], 즉 [eqn: LEFT ( 7,```10 RIGHT )]

∴ [eqn: a=7], [eqn: b=10]

∴ [eqn: a+b = 17]

24. [출제의도] 부등식이 나타내는 영역의 넓이를 구한다.

부등식 [eqn: (x ^{2} +y ^{2} -4)(x ^{2} +y ^{2} -64) LEQ 0`]에서

[eqn: x^2 + y^2 =X][eqn: (X ge 0)]로 놓으면

[eqn: (X-4)(X-64) le 0]

[eqn: 4 le X le 64]

[eqn: 4 le x^2 +y^ 2 le 64] [eqn: cdotscdots] ㉠

좌표평면에서 부등식 ㉠이 나타내는 영역은 그림과 같이 어두운 부분이다.

따라서 구하는 넓이는

[eqn: pi TIMES 8 ^{`2} - pi TIMES 2 ^{`2} =60` pi `]

∴ [eqn: a=60]

25. [출제의도] 등차수열의 성질을 이용하여 수열의 합을 구한다.

[eqn: a _{1} +2`a _{10} =34] [eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: a _{1} -a _{10} =`-14] [eqn: cdotscdots] ㉡

㉠-㉡에서

[eqn: 3a _{10} =48]이므로

[eqn: a _{10} =16`]

[eqn: a _{1} =2]

따라서 구하는 수열의 합은

[eqn: {10` LEFT ( a _{1} +a _{10} RIGHT )} over {2} = {10 TIMES 18} over {2}]

[eqn: =90]

[다른 풀이]

등차수열 [eqn: left{ a_ n right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{1} -a _{10} =`-14]에서

[eqn: -9d=`-14]

∴ [eqn: d = 14 over 9]

[eqn: a_1 + 2 a_10 = 34]에서

[eqn: a+2(a+9d)=3a+18d]

[eqn: =3a+28]

[eqn: =34]

∴ [eqn: a=2]

따라서 구하는 수열의 합은

[eqn: {10 LEFT ( 2 TIMES 2+9 TIMES {14} over {9} RIGHT )} over {2} = {10 TIMES 18} over {2}]

[eqn: =90]

26. [출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 이용하여 거리의 최솟값을 구한다.

직선 [eqn: y=2x+k`]와 평행하고 곡선 [eqn: y=`-x ^{2} +4`]에 접하는 직선의 방정식을 [eqn: y=2x+k prime `]이라 하자.

곡선 [eqn: y=`-x ^{2} +4]와 직선 [eqn: y=2x+k prime `]의 방정식을 연립하면

[eqn: -x^2 + 4 = 2x+k']

[eqn: x^2 + 2x + k' -4 = 0]

이 이차방정식이 중근을 가져야 하므로 이차방정식의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: {D} over {4} =1-(k' -4)=0]

∴ [eqn: `k'=5]

따라서 직선 [eqn: y=2x+k`]와 평행하고 곡선 [eqn: y=`-x ^{2} +4`]에 접하는 직선의 방정식은 [eqn: y=2x+5`]이다.

이 직선 위의 한 점 [eqn: rm (0,``5)`]와 직선 [eqn: y=2x+k] 사이의 거리가 곡선 [eqn: y=`-x ^{2} +4] 위의 점과 직선 [eqn: y=2x+k] 사이의 거리의 최솟값과 같으므로

[eqn: {LEFT | -5+k RIGHT |} over {sqrt {2 ^{2} +(-1) ^{2}}} = 2 sqrt5]

[eqn: LEFT | k-5 RIGHT | =10]

∴ [eqn: `k=15`] 또는 [eqn: k=`-5]

[eqn: k=`-5`]이면 곡선 [eqn: y=`-x ^{2} +4`]와 직선 [eqn: y=2x-5`]가 만나므로 조건을 만족하지 않는다.

∴ [eqn: `k =15]

[참고]

(1) 직선과 곡선이 만나는 경우
곡선 위의 점과 직선 사이의 거리의 최솟값은 [eqn: 0`]이다.

(2) 직선과 곡선이 만나지 않는 경우
직선 [eqn: l]에 평행하고 곡선 위의 한 점 [eqn: rmP]에서 접하는 직선을 [eqn: m]이라 하자. 곡선 위의 점과 직선 [eqn: l] 사이의 거리의 최솟값은 점 [eqn: rmP]와 직선 [eqn: l] 사이의 거리와 같다.
한편, 두 직선 [eqn: l], [eqn: m]이 평행하면 직선 [eqn: m] 위의 임의의 점과 직선 [eqn: l] 사이의 거리는 항상 같다.

27. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

가용 대역폭이 [eqn: B``][eqn: (rm Hz)]로 일정하고, 수신 신호 전력이 [eqn: 1.2][eqn: rmW`]일 때, 잡음 전력이 [eqn: 0.4][eqn: rmW`]인 채널 용량을 [eqn: C _{``1}][eqn: ( rm b`ps)]이라 하면

[eqn: C _{``1} =B```log` _{2} LEFT ( 1+ {1.2} over {0.4} RIGHT ) =B```log` _{2} 4=2B]

가용 대역폭이 [eqn: B``][eqn: (rm Hz)]로 일정하고, 수신 신호 전력이 [eqn: 1.2][eqn: rmW`]일 때, 잡음 전력이 [eqn: a][eqn: (rm W)]인 채널 용량을 [eqn: C _{``2}][eqn: ( rm b`ps)]라 하면

[eqn: C _{``2} =B`log` _{2} LEFT ( 1+ {1.2} over {a} RIGHT )]

[eqn: C _{``2} =3C _{``1}]이므로

[eqn: B log`_2 left(1 + 1.2 over a right) = 3 times 2B]

[eqn: log _{`2} LEFT ( 1+ {1.2} over {a} RIGHT ) =6]

로그의 정의에 의하여

[eqn: 1 + 1.2 over a =2^6]

[eqn: 1.2 over a = 63]

∴ [eqn: a= {1.2} over {63} = {2} over {105}]

[eqn: p = 105], [eqn: q=2]이므로

[eqn: p+q = 107]

28. [출제의도] 부등식의 영역을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

이 학생이 자전거를 탄 전체 시간과 줄넘기를 한 전체 시간을 각각 [eqn: x]분, [eqn: y]분이라 하자.

(가)에서 자전거를 탄 전체 시간과 줄넘기를 한 전체 시간의 차가 [eqn: 10]분 이하이므로

[eqn: |``x-y``| le 10]

[eqn: -10 le y-x le 10]

[eqn: x-10 le y le x+10]

(나)에서 자전거를 탄 전체 시간과 줄넘기를 한 전체 시간의 합이 [eqn: 1]시간 이하이므로

[eqn: x+y le 60]

따라서 연립부등식

[eqn: {cases{x` GEQ 0,```y` GEQ 0&#x-10` LEQ `y` LEQ `x+10&#x+y` LEQ `60&}}]

이 나타내는 영역은 그림과 같다. (단, 경계선 포함)

이 학생이 자전거를 탄 전체 시간과 줄넘기를 한 전체 시간이 각각 [eqn: x]분, [eqn: y]분일 때의 칼로리 소모량의 합은 [eqn: 4x+8y]이므로

[eqn: 4x+ 8y = a]

직선 [eqn: 4x+ 8y = a]가 두 직선 [eqn: x+y=60], [eqn: y=x+10]의 교점을 지날 때, [eqn: a]의 값이 최대이다.

[eqn: x+y=60], [eqn: y=x+10]을 연립하면

[eqn: x+(x+10)=60]

∴ [eqn: x= 25], [eqn: y=35]

직선 [eqn: 4x+ 8y = a]가 점 [eqn: (25,``35)]를 지날 때

[eqn: a= 4 times 25 + 8 times 35 = 380]

이므로 칼로리 소모량의 합 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 380]이다.

29. [출제의도] 수열의 규칙을 발견하여 조건을 만족시키는 자연수를 구한다.

집합 [eqn: A _{n} = LEFT { `x``|``(x-n)(x-2n+1) LEQ 0` RIGHT } `]에서

[eqn: (x-n)(x-2n+1)le0]

[eqn: n LEQ x LEQ 2n-1]

∴ [eqn: A _{n} = LEFT { `x``|``n LEQ x`le`2n-1` RIGHT }]

[eqn: 25 ∊A_n]인 [eqn: n`]의 값의 범위를 구하면

[eqn: n le 25 le2n-1]

[eqn: n le 25]이고 [eqn: n GEQ 13`]에서 [eqn: 13 le n le 25]

∴ [eqn: a _{n} = {cases{`-1&~~~ LEFT ( 1 LEQ `n` LEQ 12```또는````n` GEQ 26 RIGHT )#`````````1&~~~ LEFT ( 13 LEQ `n` LEQ 25 RIGHT ) ^{{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}}]

[eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} =`-20`]에서 [eqn: m GEQ 26`]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k}][eqn: = sum _{k=1} ^{12} a _{k} + sum _{k=13} ^{25} a _{k} + sum _{k=26} ^{m} a _{k}]
[eqn: =(-1) TIMES 12+1 TIMES 13+(-1) TIMES (m-25)]
[eqn: =`-m+26=`-20]

∴ [eqn: m =46]

30. [출제의도] 집합의 성질을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 집합의 개수를 구한다.

[eqn: 50 = 2times 5^2]이므로 집합 [eqn: B]의 모든 원소는 [eqn: 2]의 배수도 아니고 [eqn: 5]의 배수도 아니다.

(나)에서 [eqn: X SMALLINTER B= EMPTYSET]이므로 집합 [eqn: X]의 모든 원소는 [eqn: 2]의 배수이거나 [eqn: 5]의 배수이어야 한다.

(다)에서 [eqn: 12= 2^2 times3]이므로 집합 [eqn: X]의 모든 원소는 [eqn: 2]의 배수도 아니고 [eqn: 3]의 배수도 아니다.

따라서 집합 [eqn: X]의 모든 원소는 [eqn: 100] 이하의 [eqn: 5]의 배수 중에서 [eqn: 2]의 배수도 아니고 [eqn: 3]의 배수도 아닌 수이다.

따라서 집합 [eqn: X]의 원소가 될 수 있는 수는

[eqn: 5`], [eqn: 25`], [eqn: 35`], [eqn: 55`], [eqn: 65`], [eqn: 85`], [eqn: 95`]

이다. (가)에서 집합 [eqn: X`]는 집합

[eqn: LEFT { `5,``25,``35,``55,``65,``85,``95 RIGHT } `]

의 공집합이 아닌 부분집합이어야 하므로

집합 [eqn: X]의 개수는

[eqn: 2 ^{7} -1][eqn: =128-1]

[eqn: =127`]

[다른 풀이]

집합 [eqn: A`]를 전체집합으로 생각하자.

(가)에서 [eqn: X`` SUBSET `A]이므로 집합 [eqn: X`]의 모든 원소는 [eqn: 100] 이하의 자연수이다.

집합 [eqn: A`]의 부분집합 중에서 [eqn: 2]의 배수의 집합을 [eqn: A _{2`}], [eqn: 3]의 배수의 집합을 [eqn: A _{3} `], [eqn: 5]의 배수의 집합을 [eqn: A _{5} `]라 하자.

(나)에서 [eqn: X SMALLINTER B= EMPTYSET]이고, [eqn: 50=2times5^2]이므로 집합 [eqn: X]의 모든 원소는 [eqn: 2]의 배수이거나 [eqn: 5]의 배수이다.

따라서 집합 [eqn: X`]의 모든 원소는 [eqn: A _{2`} `cup`A _{5``}]에 속한다.

(다)에서 집합 [eqn: X]의 모든 원소는 [eqn: 2]의 배수도 아니고 [eqn: 3]의 배수도 아니다.

따라서 집합 [eqn: X`]의 모든 원소는

[eqn: A _{2`}^C ` cap `A _{3``} ^C` =left( A_2 cup A_3 ` right)^C`]

에 속한다.

(가), (나), (다)에서 집합 [eqn: X`]의 모든 원소는

[eqn: left( A_2 cup A_5` right) cap (A_2 cup A_3 ) ^C = A_5 - (A_2 cup A_3 `)]

에 속한다.

따라서 집합 [eqn: X]의 모든 원소는 [eqn: 100] 이하의 [eqn: 5]의 배수 중에서 [eqn: 2]의 배수도 아니고 [eqn: 3]의 배수도 아닌 수이다.

그러므로 집합 [eqn: X]의 원소가 될 수 있는 수는

[eqn: 5`], [eqn: 25`], [eqn: 35`], [eqn: 55`], [eqn: 65`], [eqn: 85`], [eqn: 95`]

이다.

(가)에서 집합 [eqn: X`]는 집합

[eqn: LEFT { `5,``25,``35,``55,``65,``85,``95 RIGHT } `]

의 공집합이 아닌 부분집합이어야 하므로 집합 [eqn: X]의 개수는

[eqn: 2 ^{7} -1][eqn: =128-1]

[eqn: =127`]