5지선다형

1. [eqn: 2 ^{{2} over {3}} ` TIMES root {3} of {54} `]의 값은? [2점]

수학 영역(A형)

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수학 영역(A형)

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2013학년도 6월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(A형)

제 2 교시

12

① [eqn: 6`]	② [eqn: 7``]	③ [eqn: 8`]	④ [eqn: 9`]	⑤ [eqn: 10`]

2. 행렬 [eqn: A= LEFT ( {matrix{`2`&`-3`#`4`&`-1`}} RIGHT )`]에 대하여 [eqn: A+B =E``]를 만족시키는 행렬 [eqn: B`]는? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [2점]

① [eqn: LEFT ( {matrix{`3`&`-3`#`4`&~~0`}} RIGHT )`]	② [eqn: LEFT ( {matrix{`2`&`-3`#`1`&`-2`}} RIGHT )`]	③ [eqn: LEFT ( {matrix{`-1`&~~3`#`-1`&`-2`}} RIGHT )`]

④ [eqn: LEFT ( {matrix{`-2`&`-3`#~~4`&~~1`}} RIGHT )`]	⑤ [eqn: LEFT ( {matrix{`-1`&`3`#`-4`&`2`}} RIGHT )`]

3. 이차정사각행렬 [eqn: A`]의 [eqn: (i,``j)`]성분 [eqn: a _{ij}`]를

[eqn: a _{ij} = ij+1`] ([eqn: i=1,``2`], [eqn: j=1,``2`])

라 하자. 행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 10`]	② [eqn: 11`]	③ [eqn: 12`]	④ [eqn: 13`]	⑤ [eqn: 14`]

4. 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성분 중 [eqn: 1`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 14`]	② [eqn: 16`]	③ [eqn: 18`]	④ [eqn: 20`]	⑤ [eqn: 22`]

5. 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: 3 ^{a}=4`], [eqn: 9 ^{a+b}=48`]일 때, [eqn: 3 ^{a+2b}`]의 값은?

[3점]

① [eqn: 9`]	② [eqn: 10`]	③ [eqn: 11`]	④ [eqn: 12`]	⑤ [eqn: 13`]

6. 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`1`&`1`#`2`&`3`}}`], [eqn: B= {pmatrix{`-1`&~~a`#~~b`&`-1`}}`]에 대하여

[eqn: (AB) ^{-1} = {pmatrix{`-1`&`1`#~~1`&`0`}}`]일 때, [eqn: a+b`]의 값은? [3점]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 3`]	③ [eqn: 4`]	④ [eqn: 5`]	⑤ [eqn: 6`]

7. 그림과 같이 곡선 [eqn: y= LEFT ( {1} over {{2}} RIGHT ) ^{`x}`] 위의 한 점 [eqn: \A`]를 지나고 [eqn: x`]축과 평행하게 그은 직선이 직선 [eqn: y=`x`]와 만나는 점을 [eqn: \B`]라 하자. 또, 점 [eqn: \B`]를 지나고 [eqn: y`]축과 평행하게 그은 직선이 곡선 [eqn: y= LEFT ( {1} over { {2}} RIGHT ) ^{`x}`]과 만나는 점을 [eqn: \C`]라 하자. 점 [eqn: \C`]의 [eqn: y`]좌표가 [eqn: 1over16`]일 때, 점 [eqn: \A`]의 [eqn: x`]좌표는? [3점]

① [eqn: - 7over2 `]	② [eqn: -3]	③ [eqn: - 5over2]	④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: - 3over2]

8. 방정식 [eqn: 2^2x+1 - 9`·`2^x +4=0`]의 모든 실근의 곱은? [3점]

① [eqn: -2`]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 2`]

9. 표는 [eqn: 2013 `]학년도 수시 모집에서 어느 대학 [eqn: \A`]학과와 [eqn: \B`]학과의 선발 인원수와 경쟁률을 나타낸 것이다.

<선발 인원수>

구분	[eqn: \A`]학과	[eqn: \B`]학과
일반 전형	[eqn: 30`]	[eqn: 40`]
특별 전형	[eqn: 10`]	[eqn: 20`]

<경쟁률>

구분	일반 전형	특별 전형
[eqn: \A`]학과	[eqn: 5.1`]	[eqn: 21.4`]
[eqn: \B`]학과	[eqn: 10.7`]	[eqn: 11.5`]

경쟁률은 [eqn: { (지원자``수)} over {(선발``인원수) }`]의 값이고, 일반 전형과 특별 전형에 동시에 지원할 수 없으며, [eqn: \A`]학과와 [eqn: \B`]학과에 동시에 지원할 수 없다고 한다. [eqn: 2013`]학년도 수시 모집에서 이 대학 [eqn: \A`], [eqn: \B`] 두 학과의 일반 전형 지원자 수의 합을 [eqn: m`], [eqn: \B`]학과의 일반 전형과 특별 전형 지원자 수의 합을 [eqn: n`]이라 하자.

두 행렬 [eqn: P= {pmatrix{`30`&`40`#`10`&`20`}} `], [eqn: Q= {pmatrix{`5.1`&`21.4`#`10.7`&`11.5`}} `]에 대하여 [eqn: m+n`]의 값과 같은 것은? [3점]

① 행렬 [eqn: PQ`]의 [eqn: (1,``1)`]성분과 [eqn: (2,``2)`]성분의 합

② 행렬 [eqn: PQ`]의 [eqn: (1,``1)`]성분과 행렬 [eqn: QP`]의 [eqn: (1,``1)`]성분의 합

③ 행렬 [eqn: PQ`]의 [eqn: (1,``1)`]성분과 행렬 [eqn: QP`]의 [eqn: (2,``2)`]성분의 합

④ 행렬 [eqn: PQ`]의 [eqn: (2,``2)`]성분과 행렬 [eqn: QP`]의 [eqn: (1,``1)`]성분의 합

⑤ 행렬 [eqn: PQ`]의 [eqn: (2,``2)`]성분과 행렬 [eqn: QP`]의 [eqn: (2,``2)`]성분의 합

[10 ~ 11] 그림과 같이 곡선 [eqn: y= 2^x`]이 두 직선 [eqn: x= 1`], [eqn: x= 2`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]라 하고, 곡선 [eqn: y = LEFT ( 1over2 RIGHT )^x`]이 두 직선 [eqn: x= 1`], [eqn: x= 2`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmC`], [eqn: rmD`]라 하자. [eqn: 10`]번과 [eqn: 11]번의 두 물음에 답하시오.

10. 네 점 [eqn: \A`], [eqn: \B`], [eqn: \C`], [eqn: \D`]의 [eqn: y`]좌표를 각각 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`]라 하고 이를 성분으로 하는 행렬을 [eqn: P=][eqn: {pmatrix{`a`&``b`#`c`&``d`}} `]라 하자. 행렬 [eqn: P`]의 역행렬 [eqn: P ^{-1} `]의 모든 성분의 합은? [3점]

① [eqn: 3over2]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 5over2]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 7over2]

11. 직선 [eqn: rmAB`]의 기울기를 [eqn: m_1`], 직선 [eqn: rmCD`]의 기울기를 [eqn: m_2`]라 하자. [eqn: m_2 = k` m_1`]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? [3점]

① [eqn: - 1over10]	② [eqn: - 1over8]	③ [eqn: - 1over6]	④ [eqn: - 1over4]	⑤ [eqn: - 1over2]

12. 무리함수 [eqn: f(x)= root ax+b`]의 역함수를 [eqn: g(x)`]라 하자. 두 함수 [eqn: y=f(x)`]와 [eqn: y=g(x)`]의 그래프가 모두 점 [eqn: (2,``3)`]을 지날 때,

[eqn: pmatrix { ``a`` # ``b`` } = pmatrix { `-1`&~~m` # ~~n`&`-2` } pmatrix { ``9`` # ``4`` } `]

가 성립한다. 두 상수 [eqn: m`], [eqn: n`]의 합 [eqn: m+n`]의 값은? (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

13. 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B``]가 [eqn: AB``=B-A`]를 만족시킨다. 행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합이 [eqn: 10`]일 때, 행렬 [eqn: B+E``]의 역행렬의 모든 성분의 합은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [3점]

① [eqn: -10`]	② [eqn: -9`]	③ [eqn: -8`]	④ [eqn: -7`]	⑤ [eqn: -6`]

14. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`3`&`4`#`2`&`1`}}`]과 실수 [eqn: x`]에 대한 두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]가 다음과 같다.

[eqn: p``:`][eqn: x>a`]

[eqn: q``:`]행렬 [eqn: A-xE``]의 역행렬이 존재한다.

[eqn: p`]는 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이 되도록 하는 실수 [eqn: a`]의 최솟값은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [4점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

15. 어떤 물질의 부패지수 [eqn: P`]와 일평균 습도 [eqn: H`]([eqn: %`]), 일평균 기온 [eqn: t`]([eqn: ℃`]) 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: P= H-65 over 14 times (1.05)^t`]

일평균 습도가 [eqn: 72%`], 일평균 기온이 [eqn: 10``℃`]인 날에 이 물질의 부패지수를 [eqn: P_1`]이라 하자. 일평균 습도가 [eqn: 79%`], 일평균 기온이 [eqn: x``℃`]인 날에 이 물질의 부패지수가 [eqn: 4P_1`]일 때, [eqn: x`]의 값은? (단, [eqn: 1.05^14 =2`]로 계산한다.) [4점]

① [eqn: 22`]	② [eqn: 24`]	③ [eqn: 26`]	④ [eqn: 28`]	⑤ [eqn: 30`]

16. [eqn: 4`]개의 꼭짓점으로 이루어진 두 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬을 각각 [eqn: P`], [eqn: Q`]라 할 때, 두 행렬 [eqn: P`], [eqn: Q`]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: P``+Q= {pmatrix{`0`&`a`&`1`&`1`#`b`&`0`&`2`&`1`#`1`&`2`&`0`&`c`#`1`&`1`&`d`&`0`}} `]

(나) 행렬 [eqn: P``+Q`]의 모든 성분의 합이 [eqn: 18`]이다.

두 그래프의 변의 개수를 각각 [eqn: p`], [eqn: q`]라 할 때, [eqn: |`p-q`|`]의 최댓값은? [4점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

17. 이차정사각행렬 [eqn: A`]가 등식 [eqn: A ^{2} -2A+E=O`]를 만족시킨다.  다음은 [eqn: n`]이 [eqn: 2`] 이상의 자연수일 때, 행렬 [eqn: A ^{n} `]을 구하는 과정이다. (단, [eqn: E``]는 단위행렬이고, [eqn: O`]는 영행렬이다.)

[eqn: A ^{2} -2A+E=O`]에서

[eqn: A ^{2`}-A = A-E`]

[eqn: A ^{3} -A ^{2} =A(A^2 -A)`][eqn: =A(A-E)`][eqn: =A ^{2} -A`]

[eqn: =A-E`]

[eqn: A ^{4} -A ^{3} =A(A ^{3} -A ^{2} )`][eqn: =A(A-E)`][eqn: =A ^{2} -A`]

[eqn: =A-E`]

[eqn: VDOTS`]

[eqn: A ^{n} -A ^{n-1} =A-E`]

위 등식들을 변끼리 더하면

[eqn: A^n - A = {box{```(가)```}}`(A-E)`]

∴ [eqn: A^n = box{```(나)```} ` A - box{```(가)```}`E`]

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)`], [eqn: g(n)`]이라 할 때, [eqn: f(100)+g(100)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 191`]	② [eqn: 193`]	③ [eqn: 195`]	④ [eqn: 197`]	⑤ [eqn: 199`]

18. 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B``]에 대하여

[eqn: AB+A^2 =E``], [eqn: AB+BA =A^2 +B^2 `]

이 성립할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: A`]의 역행렬이 존재한다. ㄴ. [eqn: AB``=BA`] ㄷ. [eqn: B ^{`-1} =pA+qB`]이면 [eqn: p+q=3`]이다. (단, [eqn: p], [eqn: q`]는 상수이다.)

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

19. 두 곡선 [eqn: y={ left( sqrt {3} right) }^{`x}`], [eqn: y=- LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{`x}`]과 직선 [eqn: x=3`]이 만나는 점을 각각 [eqn: rm P`], [eqn: \Q`]라 하자. 두 점 [eqn: rm P`], [eqn: \Q`]와 [eqn: x`]축 위의 한 점 [eqn: {rmT `}(`t,``0)`]([eqn: `t>3`])에 대하여 삼각형 [eqn: \ PQT`]가 정삼각형일 때, 삼각형 [eqn: \ PQT`]의 무게중심의 [eqn: x`]좌표는? [4점]

① [eqn: 4`]	② [eqn: 3root 3`]	③ [eqn: 4 root2`]	④ [eqn: 6`]	⑤ [eqn: 4 root3`]

20. 그림은 곡선 [eqn: y=2 ^{`x} `]과 직선 [eqn: y=x`]이다. 정수 [eqn: n`]에 대하여 중심이 곡선 [eqn: y=2`^x +n`] 위에 있고 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축에 모두 접하는 원의 개수를 [eqn: f(n)`]이라 하자. [eqn: f(-2)+f(0)+f(2)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

21. [eqn: x`], [eqn: y`]에 대한 연립방정식 [eqn: {pmatrix{`a``&``-1`#`b``&``a-2`}} {pmatrix{``x``#``y``}} = {pmatrix{``x``#``y``}}`]가 [eqn: x=0`], [eqn: y=0`] 이외의 해를 갖도록 하는 두 양수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 원점 [eqn: \O`]와 점 [eqn: {\P}(a,``b)`]를 지나는 직선의 기울기의 최댓값은? [4점]

① [eqn: 4-2sqrt3]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 2- sqrt {3}]

④ [eqn: sqrt3 -1]	⑤ [eqn: 1]

단답형

22. 연립방정식 [eqn: {pmatrix{~~2`&`-3`#`-5`&~~8`}} {pmatrix{``x``#``y``}} = {pmatrix{``1``#``2``}} `]의 해를 [eqn: x= alpha `], [eqn: y= beta `]라 할 때, [eqn: alpha + beta `]의 값을 구하시오. [3점]

23. 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B`]가

[eqn: A+2B=` {pmatrix{``5``&``13``#``2``&``10``}} `], [eqn: 2A+B`=` {pmatrix{``4``&``11``#``1``&``11``}} `]

을 만족시킬 때, 행렬 [eqn: A+B``]의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

24. [eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: 2 ^{x+3} -2 ^{x} =n`]이 정수인 해를 갖도록 하는 모든 두 자리 자연수 [eqn: n`]의 값의 합을 구하시오. [3점]

25. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{``2`&```-1`#``5`&```-2`}} `]에 대하여 행렬 [eqn: A^2013 `]의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

26. [eqn: 6`]개의 꼭짓점 [eqn: \A_1], [eqn: \A_2], [eqn: \A_3], [eqn: \A_4], [eqn: \A_5], [eqn: \A_6]으로 이루어진 그래프가 있다. [eqn: 6`] 이하의 서로 다른 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 다음 조건이 성립한다.

(가) [eqn: m`n`]의 값이 짝수이면, 꼭짓점 [eqn: {rmA}_m `]과 꼭짓점 [eqn: {rmA}_n`]을 연결하는 변이 존재한다.

(나) [eqn: m`n`]의 값이 홀수이면, 꼭짓점 [eqn: {rmA}_m `]과 꼭짓점 [eqn: {rmA}_n`]을 연결하는 변이 존재하지 않는다.

이 그래프의 변의 개수를 구하시오. [4점]

27. 두 집합 [eqn: A= LEFT { x``|``x<3 RIGHT }]와 [eqn: B= LEFT { x`` LEFT | ``2 ^{2x} +3 `·`2 ^{x+1} -a<0 RIGHT } RIGHT .]에 대하여 [eqn: A = B``]가 되도록 하는 실수 [eqn: a`]의 값을 구하시오. [4점]

28. 행렬 [eqn: {pmatrix{`1`&`9 ^{-a}`#`27`&`3 ^{b}}`}`]의 역행렬이 존재하지 않도록 음이 아닌 두 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]의 값을 정할 때, 점 [eqn: (a,``b)`]가 나타내는 도형의 길이를 [eqn: l`]이라 하자. [eqn: 4`l ^{`2}`]의 값을 구하시오. [4점]

29. 역행렬이 존재하는 두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: 2A ^{2} -A-E```=O`]

(나) [eqn: A` {pmatrix{``3``#``0``}}`= {pmatrix{``1``#``2``}}`]

(다) [eqn: (A-B^-1 )` {pmatrix{``1``#``2``}}`= {pmatrix{``0``#``0``}}`]

[eqn: B` {pmatrix{``2``#``1``}} `=` {pmatrix{``a``#``b``}} `]를 만족시키는 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: E``]는 단위행렬이고, [eqn: O`]는 영행렬이다.) [4점]

30. 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]에 대하여 두 집합 [eqn: A`], [eqn: B`]를

[eqn: A= LEFT { `(x,``y)`left|{ pile{ `#` } }`x^2 +y^2 le 1` RIGHT }`]

[eqn: B= LEFT { `(x,``y)` LEFT | pile{`#`} `|`x`| LEQ 1,``|`y`| LEQ 1,``xy LEQ 0` RIGHT } ` RIGHT .]

라 하자.

집합 [eqn: A cup B`]의 임의의 원소 [eqn: (x,``y)`]에 대하여 [eqn: LEFT ( 1over2 RIGHT ) ^{3x+4y}], [eqn: 2^{`3x-4y}]의 최댓값을 각각 [eqn: M_{`1}`], [eqn: M_{`2}`]라 할 때, [eqn: M_{`1}`+M_{`2}`]의 값을 구하시오.

[4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.