가 형	수리 영역

	수리 영역	가 형

제 2 교시

1

성명

수험 번호

[eqn: 8 ^{- {1} over {2}} TIMES sqrt {{2} ^{``5}}`]의 값은? [2점]

21

① [eqn: {sqrt {2}} over {4}]	② [eqn: { sqrt { 2} } over { 2}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 4]

대전광역시교육청 주관

2010학년도 대학수학능력시험 10월 모의평가 문제지

수리 영역

가    형

두 이차정사각행렬 [eqn: A,`~`B``]에 대하여
[eqn: A-B````=``` pmatrix{~~3&```5`#-4&```2`} `,`````2A+B`=` pmatrix{6&```-2`#1&``````````4`} ``]
를 만족할 때, 행렬 [eqn: B``]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

함수
[eqn: f(x)= cases{&2x+x ^{2} `sin {1} over {x}&``````(x != 0)#&0&``````(x=`0)}]

에 대하여 [eqn: f` prime (0)]의 값은? [2점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

분수방정식 [eqn: { k} over {x+1 }- {2} over {x ^{2} -1} +1=0`]이 단 하나의 실근 [eqn: alpha `]를 가질 때, [eqn: k+alpha`]의 값은? (단, [eqn: k`]는 실수이다.) [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2`]

그림과 같이 최고차항의 계수가 양수인 사차함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 [eqn: x`]축과 네 점 [eqn: LEFT ( - {9} over {2} ,~0 RIGHT ) ,~ LEFT ( - {1} over {2} ,~0 RIGHT ) ,~ LEFT ( {1} over {2} ,~0 RIGHT ) ,~ LEFT ( {9} over {2} ,~0 RIGHT )]
에서 만날 때, 부등식

[eqn: {f(x)`} over {x ^{2} -x-2} <= 0``]

을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는? [3점]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: 9 over2]

[eqn: - {9} over {2}]

[eqn: - 1 over2]

[eqn: \O]

[eqn: 1 over2]

[eqn: x]

[eqn: y]

① [eqn: 4]	②  [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

타원 [eqn: {x ^{2}} over {2} +y ^{2} =1``]
위를 움직이는 점 [eqn: rm `P`]에서의 접선을 [eqn: l`]이라 하자. 또, 두 초점 [eqn: rm F _{1}``], [eqn: rm F _{2} `]에서 직선 [eqn: l`]에 내린  수선의 발을 각각 [eqn: rm H _{1} `,``H _{2} `]라 하자.
[eqn: bar{rm H _{1} F _{1} it} =`][eqn: alpha ``], [eqn: bar{rm H _{2} F _{2} it} =`][eqn: beta ``]
일 때, [eqn: alpha `], [eqn: beta `] 사이의 관계를 나타내는 그래프의 개형은? [3점]

[eqn: \F_2]

[eqn: \F_1]

[eqn: \H_2]

[eqn: \H_1]

[eqn: \P]

[eqn: {x ^{2}} over {2} +y ^{2} =1``]

[eqn: l]

[eqn: \ O]

[eqn: x]

[eqn: y]

①	②	③

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

[eqn: \O]

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

[eqn: \O]

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

[eqn: \O]

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

[eqn: \O]

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

[eqn: \O]

④	⑤

[eqn: 1<b<a`]에 대하여  두 함수
[eqn: f(x)=a ^{`x} ,````````` rm g it (x)= LEFT ( {1} over {b} RIGHT ) ^{`x} `]
가 있다.  [eqn: y=k```(k>1)`]가 두 함수 [eqn: f(x),`` rm `g it (x)`]의 그래프와 만나는 점의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: alpha ,``` beta `]라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) - rm g it LEFT ( - sqrt {3} RIGHT ) ```>`0] ㄴ. [eqn: LEFT | `beta `` RIGHT | `a ^{alpha } `- LEFT | `alpha ` RIGHT | ` LEFT ( {1} over {b} RIGHT ) ^{beta } ```>`` LEFT | `beta `` RIGHT | `- LEFT | `alpha ` RIGHT | `] ㄷ. [eqn: rm g it left (` {1} over {3} alpha + {2} over {3} beta right )```> `{1} over {3} ` rm g it ( alpha )+ {2} over {3} rm g it ( beta )`]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: RMA`]고등학교의 학생들은 점심 식사를 하기 위하여 학생증이나 주민등록번호 중 하나의 인증도구를 이용하여 컴퓨터에 연결된 인증시스템을 거쳐야 한다. 어느 날 점심 식사를 마친 학생 [eqn: 1200`]명에 대한 인증도구별 인원 현황은 다음과 같다.

인증도구 학년	학생증(명)	주민등록번호(명)
[eqn: 1`]학년	[eqn: 386]	[eqn: 14]
[eqn: 2`]학년	[eqn: 358]	[eqn: 42]
[eqn: 3`]학년	[eqn: 316]	[eqn: 84]

점심 식사를 마친 [eqn: 1200`]명의 학생 중에서 임의로 한 명을 택하였더니 주민등록번호로 인증을 받아 점심 식사를 한 학생이었다. 이 때, 그 학생이 [eqn: 3`]학년일 확률은? [3점]

①  [eqn: {1} over {10}]	②  [eqn: {3} over {10}]	③  [eqn: {2} over {5}]

④  [eqn: {3} over {5}]	⑤  [eqn: {7} over {10}]

폐구간 [eqn: [-2,``2]``]에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 아래 그림과 같다.

함수 [eqn: rm g it (x)=2cos pi x`]일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: lim _{x -> 1} {`` rm g it LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT ) `} `]가 존재한다. ㄴ. 함수 [eqn: f(f(x)`)`]는 [eqn: x=0`]에서 연속이다. ㄷ. 함수 [eqn: f(` rm g it (x)`)`]는 개구간 [eqn: (-2,``0)``]에서 연속이다.

[eqn: y=f(x)``]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: \ O]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

[eqn: -2]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

모든 항이 양수인 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} ` RIGHT }``], [eqn: LEFT { b _{n} ` RIGHT }``]이                                         [eqn: sum _{k=1} ^{n} ``a _{k} = sum _{k=1} ^{n} `b _{k}``]                         를 만족할 때, 다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: sum _{k=1} ^{n} `` {a _{k} ` ^{2}} over {a _{k} +b _{k}} >= `][eqn: ` sum _{k=1} ^{n} `a _{k}]

(다)

이 성립함을 증명한 것이다.

<증명>

절대부등식 [eqn: LEFT ( x+y RIGHT ) ^{2} >=`4xy``]을 이용하면
[eqn: sum _{k=1} ^{n} ` {a _{k} b _{k}} over {a _{k} +b _{k}} ` <= ` sum _{k=1} ^{n} `] [eqn: = {1} over {2} ` sum _{k=1} ^{n} `a _{k} ``]

(가)

이 성립한다.
[eqn: sum _{k=1} ^{n} ` { a _{k} ` ^{2}} over {a _{k} +b _{k}}] [eqn: = sum _{k=1} ^{n} `] [eqn: - sum _{k=1} ^{n} `` {a _{k} `b _{k}} over {a _{k} +b _{k}}]
[eqn: >= `][eqn: ` sum _{k=1} ^{n} `a _{k}]

(나)

(다)

따라서, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: sum _{k=1} ^{n} `` { a _{k} ` ^{2}} over {a _{k} +b _{k}} >= `][eqn: ` sum _{k=1} ^{n} `a _{k}`]이 성립한다.
(단, 등호는 [eqn: a _{k} =b _{k}] [eqn: LEFT ( k=1,~2,~···,~n RIGHT )``]일 때 성립한다.)

(다)

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: {1} over {4} ` LEFT ( a _{k} +b _{k} RIGHT )]	[eqn: `a _{k}]	[eqn: {1} over {2}]
②	[eqn: {1} over {2} ` LEFT ( a _{k} +b _{k} RIGHT )]	[eqn: `a _{k}]	[eqn: {1} over {2}]
③	[eqn: {1} over {4} ` LEFT ( a _{k} +b _{k} RIGHT )]	[eqn: `a _{k}]	[eqn: {1} over {4}]
④	[eqn: {1} over {2} ` LEFT ( a _{k} +b _{k} RIGHT )]	[eqn: `a _{k} ` ^{2}]	[eqn: {1} over {4}]
⑤	[eqn: {1} over {4} ` LEFT ( a _{k} +b _{k} RIGHT )]	[eqn: `a _{k} ` ^{2}]	[eqn: {1} over {4}]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

	<보 기>
ㄱ. 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f(-x)=`-f(x)`]일 때, [eqn: f(x)`]가 미분가능하면 [eqn: f` prime (-x)=f` prime (x)`]이다. ㄴ. 임의의 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: |f(x)| <= M`x ^{2}`]이면 [eqn: f` prime (0)=0`]이다. (단, [eqn: M`]은 양의 상수이다.) ㄷ. [eqn: lim _{h` -> `0} {} {f(c+h)+f(c-h)-2f(c)} over {h} =0`]이면 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=c`]에서 미분가능하다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

복소수 [eqn: z=a+bi``(`a,~b`]는 실수)에 대하여 행렬 [eqn: M LEFT ( z RIGHT ) `]를
[eqn: M`(z)= pmatrix{a&``-b#b&````````a} ``]                         로 정의하자. 예를 들어, [eqn: z=3+4i`]에 대하여 [eqn: M`(z)= pmatrix{`3```&-4#4```&```````3} `]이다. 이 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이고, [eqn: i= sqrt {-1} `]이다.) [4점]

	<보 기>
ㄱ. 두 복소수 [eqn: z _{1} ,~z _{2}]에 대하여 [eqn: M LEFT ( z _{1} +z _{2} RIGHT ) =M LEFT ( z _{1} RIGHT ) +M LEFT ( z _{2} RIGHT ) `]이다. ㄴ. 두 복소수 [eqn: z _{1} ,~z _{2}]에 대하여 [eqn: M LEFT ( z _{1} z _{2} RIGHT ) =M LEFT ( z _{1} RIGHT ) M LEFT ( z _{2} RIGHT ) `]이다. ㄷ. [eqn: left{M(z) right}^{3} =E`]를 만족하는 허수 [eqn: z``]가 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

등변사다리꼴 [eqn: rm ABCD`]에서 두 대각선 [eqn: rm bar{AC}`]와 [eqn: rm bar{BD}`]의 교점을 [eqn: rm P _{1} `]이라 하고, [eqn: rm P _{1} `]에서 [eqn: rm bar{BC}`]에 평행인 선을 그어 [eqn: rm bar{CD}`]와 만나는 점을 [eqn: rm Q _{1} `]이라 하자. 마찬가지 방법으로, [eqn: rm bar{AQ _{1}}`]과 [eqn: rm bar{BD}`]의 교점을 [eqn: rm P _{2} ``]라 하고, [eqn: rm P _{2} ``]에서 [eqn: rm bar{BC}`]에 평행인 선을 그어 [eqn: rm bar{CD}`]와 만나는 점을 [eqn: rm Q _{2} `]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 점 [eqn: rm P _{1} ,``Q _{1} ,``P _{2} ,``Q _{2}, ``` CDOTS ,``P _{it n rm} ,``Q _{it n rm} ,`` CDOTS ``]을 얻는다. [eqn: rm bar{P _{it n rm} Q _{it n rm}} ``=`` it x _{it n}`]이라 할 때,  [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `x _{n} ․`x _{n+1}`]의 값은? [3점]

[eqn: 3]

[eqn: \ A]

[eqn: \ D]

[eqn: \ B]

[eqn: \C]

[eqn: rm `Q _{2}]

[eqn: rm `Q _{1}]

[eqn: rm `P _{2}]

[eqn: rm `P _{1}]

[eqn: 2]

[eqn: bold{VDOTS }]

[eqn: rm `P _{itn}]

[eqn: rm Q _{itn}]

① [eqn: { 12} over {5 }]	② [eqn: { 18} over {5 }]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: { 25} over {6 }]	⑤ [eqn: { 9} over {2 }]

반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 [eqn: rmO`]가 있다.
원 [eqn: rmO`]의 중심에서 서로 외접하고 원 [eqn: rmO`]에 내접하는 두 원 [eqn: A _{1} ,````A _{1} prime `]을 그린 후, 두 원 [eqn: A_1 `]과 [eqn: A_1 '`]에 외접하며 원 [eqn: rmO`]에 내접하는 두 원 [eqn: B _{1} ,`````B _{1} prime]을 그려서 얻은 그림을 [eqn: {R} _{1}`]이라 하자. 새로 그려진 네 원 [eqn: A _{1} ,``A _{1} prime ,`` B _{1} ,``B _{1} prime `]의 내부에 그림 [eqn: {R} _{1}`]의 제작 과정을 반복하여 얻은 그림을 [eqn: {R} _{2}`]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻어진 그림을 [eqn: {R} _{itn}`]이라 하자.
또한, 그림 [eqn: {R} _{1}, ``{R} _{2}, `` CDOTS,``{R} _{n}, ``CDOTS] 각각에 아래와 같이 어둡게 색칠을 하자. 그림 [eqn: {R} _{itn}`]의 어두운 부분의 넓이의 합을 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, [eqn: Sum_n=1^inf S_n `]의 값은? [4점]

[eqn: {R} _{1}`]

[eqn: A_1]

[eqn: A_1 ']

[eqn: B_1]

[eqn: `B_{1} prime]

[eqn: \O]

[eqn: {R} _{2}`]

[eqn: {R} _{3}`]

① [eqn: pi `]	② [eqn: {9} over {5}pi`]	③ [eqn: {13} over {5}pi`]	④ [eqn: {17} over {5}pi`]	⑤ [eqn: {21} over {5}pi`]

그림과 같이 주머니 속에 서로 다른 색이 칠해져 있는 [eqn: 7`]개의 공이 들어 있다. 각각의 공에는 색에 따라 아래와 같이 숫자가 적혀 있다.

색	빨강	주황	노랑	초록	파랑	남색	보라
숫자	[eqn: 1]	[eqn: 5]	[eqn: 9]	[eqn: 11]	[eqn: 13]	[eqn: 19]	[eqn: 25]

주머니 속에서 임의로 하나의 공을 꺼내어 색과 숫자를 확인하고 다시 넣는 작업을 반복하면서 다음과 같은 방법으로 계산한다.
『이전에 나왔던 공들과 다른 색의 공이 나오면 공에 적혀 있는 수를 더하고, 이전에 나왔던 공들과 같은 색의 공이 나오면 나온 횟수가 홀수 번째일 경우 적혀 있는 수를 더하고 짝수 번째일 경우에는 적혀 있는 수를 뺀다.』
예를 들어, <빨강→주황→빨강→파랑→파랑→빨강〉의 순서로 공이 나왔다면 계산의 결과는 [eqn: 1+5-1+13-13+1=6`]이다.

[eqn: 9`]번의 반복된 작업을 통해 다음에 적힌 순서대로 공이 나왔다.

빨강

주황

노랑

초록

파랑

남색

보라

파랑, 주황, (   ), 노랑, (   ), 파랑, (   ), 초록, 파랑

계산 결과가 [eqn: 57`]일 때, 세 괄호 안에 공이 배열되는 경우의 수는?                                                         [4점]

① [eqn: 13]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 17]	④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 21]

[eqn: rm A`,``B`,``C`,``D`,``E`,``F`]가 각각 적힌 [eqn: 6`]개의 상자가 있다. 이들 상자에 서로 다른 [eqn: 10`]개의 공을 임의로 넣을 때, [eqn: rmA,``B,``C`] 세 상자에 들어가는 공의 개수의 합이 [eqn: 4`]일 확률은? (단, 각 상자에 들어가는 공의 개수에는 제한이 없다.) [4점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

① [eqn: {45} over {256}]	② [eqn: {105} over {512}]	③ [eqn: {15} over {64}]	④ [eqn: {135} over {512}]	⑤ [eqn: {75} over {256}]

[eqn: z]	[eqn: rm P LEFT ( it 0<=Z<=z RIGHT )]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.341]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.433]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.477]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.494]
[eqn: 3.0]	[eqn: 0.499]

어느 회사에서 생산되는 비누의 무게는 정규분포를 따르며, 무게가 [eqn: 100 rm `g`]미만인 것은 불량품으로 판정한다. 회사에서는 판매 촉진을 위해 비누를 [eqn: 4`]개씩 포장하여 만든 세트상품을 판매하기로 하였다.
각 세트상품은 그 안에 들어있는 비누 무게의 평균이 [eqn: 100 rm `g`]미만인 경우에 불량품으로 판정된다고 할 때, 상품 [eqn: 1000`]세트 중 [eqn: 1`]세트의 비율로 불량품이 생긴다고 한다. 회사에서 생산된 비누 [eqn: 1`]개를 검사할 때, 불량품으로 판정될 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?
(단, 포장지의 무게는 무시한다.) [4점]

① [eqn: 0.001]	② [eqn: 0.006]	③ [eqn: 0.023]

④ [eqn: 0.067]	⑤ [eqn: 0.159]

단 답 형

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: f(x+2)=f(x)`]를 만족시키고, [eqn: -1 <= x <= 1`]에서 다음과 같이 정의된다.
[eqn: f(x)=30x ^{2} +15`]
이 때, [eqn: lim _{`n -> ` INF } {} {1} over {n} ` sum _{k=1} ^{n} `f` LEFT ( 10+ {2k} over {n} RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: \A]

[eqn: \C]

[eqn: \E]

[eqn: rm P]

[eqn: \G]

[eqn: rm N]

[eqn: \B]

[eqn: \D]

[eqn: \H]

[eqn: rm M]

[eqn: \Q]

[eqn: \F]

그림과 같이 한 변의
길이가 [eqn: sqrt {6} `]인 정육면체 [eqn: RM`ABCD-EFGH`]가 있다. 모서리 [eqn: rm `AE`], [eqn: RMAB`], [eqn: RMFG`], [eqn: RMCG`]의 중점을 각각 [eqn: rm P,```Q,```M,```N`]이라 하자.        [eqn: LEFT |` vec{rm PQ it} + {1} over {2} vec{rm `NM it}` RIGHT |`` = {b} over {a}]
일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a,``b]는 서로소인 자연수이다.) [3점]

좌표평면 위의 두 원
[eqn: x ^{2} +(y-2) ^{2} =4,]
[eqn: `(x-2) ^{2} +y ^{2} =4`]
로 둘러싸인 어두운 부분을 [eqn: x`]축 둘레로 회전하여 얻은 입체의 부피를 [eqn: p`pi+q` pi ^{2`}`]이라 할 때, [eqn: p ^{2} +q ^{2}``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,~q`]는 유리수이다.) [3점]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: (x-2) ^{2} +y ^{2} =4]

[eqn: x ^{2} +(y-2) ^{2} =4]

[eqn: y]

좌표공간에서 다섯 개의 점
[eqn: rm P(1,``2,``5),` rm `A LEFT ( 0,`-5,``0 RIGHT ) ,` rm `B(1,`-1,`-1),` rm `C(2,``3,``-2),` rm `D(-2,``2,``0)]
이 꼭짓점인 사각뿔 [eqn: rm P-ABCD`]가 있다.
평면 [eqn: 2x+y-z-k=0`]가 사각뿔 [eqn: rm P-ABCD`]와 교점을 갖기 위한 실수 [eqn: k``]의 값의 범위가 [eqn: `a` <= `k` <= `b`]일 때, [eqn: b-a]의 값을 구하시오.                                                         [3점]

[그림 1]과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 6`], 모선의 길이가 [eqn: 10`]인 원뿔 두 개가 점 [eqn: rm `O`]를 공유하면서 밑면이 서로 평행한 입체도형을 [eqn: V``]라 하자. [eqn: V`]의 밑면과 수직인 평면 [eqn: alpha `]로 [eqn: V``]를 자르면 단면에 쌍곡선이 생긴다. [그림 2]와 같이 반지름의 길이가 [eqn: 3`]인 두 개의 구가 잘린 입체도형의 옆면 및 단면에 접할 때, 두 개의 구와 평면 [eqn: alpha `]가 접하는 점을 각각 [eqn: RM F _{1} ``], [eqn: RM`F _{2} `]라 하자. 이 때, 쌍곡선 위의 점 [eqn: RM`P`]에 대하여 [eqn: rm ` LEFT | `barPF _{1} - barPF _{2} ` RIGHT | `]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: \O]

[eqn: \F _{1}]

[eqn: \F _{2}]

[eqn: \P]

[eqn: 3]

[eqn: alpha]

[eqn: 6]

[eqn: 10]

[eqn: \O]

[eqn: V]

[그림 1]                           [그림 2]

[eqn: 5`]이하의 자연수 중에서 중복을 허락하여 차례대로 뽑은 수 [eqn: a _{1} ,~a _{2} ,~a _{3} ,~a _{4} ,~a _{5} `]를 각각 [eqn: xy`]평면 위의 점
[eqn: left(1,``a` _{1} right),~left(2,``a _{2} right),~left(3,``a _{3} right),~left(4,``a _{4} right ),~left(5,``a _{5} right)`]
에 대응시키는 시행을 한다.
이 때, 대응된 [eqn: 5`]개의 점 [eqn: LEFT ( `k,````a _{k} ` RIGHT ) `][eqn: (k=1,~2,~ 3,~4,~5`)`]가 모두 영역 [eqn: cases{``y<x+1#``y>log`x} `]에 속할 확률은 [eqn: {b} over {a} `]이다. 이 때, [eqn: a +b ``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,~b`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

반지름의 길이가 각각 [eqn: 2,``4,``8`]이고 서로 외접하는 세 개의 구가 평면 [eqn: alpha `] 위에 놓여 있다. 세 구의 중심을 각각 [eqn: rm `A,``B,``C`]라 하고, 평면 [eqn: RM`ABC`]와 평면 [eqn: alpha`]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta`]라 하자. [eqn: cos` theta `=` {b} over {a} sqrt {2} `]일 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,``b`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

좌표공간에서
중심이 점 [eqn: \A`]인 구 [eqn: (x-2) ^{2} +(y-1) ^{2} +(z +1) ^{2} = 9 over4`]와
중심이 점 [eqn: \B]인 구 [eqn: (x-3) ^{2} +(y-3) ^{2} +(z-1) ^{2} = 27 over4`]가 만나서 생기는 원을 [eqn: S`]라 하자. 원 [eqn: S`] 위의 두 점 [eqn: rm P,``Q`]에 대하여 [eqn: vec{rm AP it} BULLET vec{rm BQ it}`]의 최댓값을 [eqn: M`], 최솟값을 [eqn: m`]이라고 할 때, [eqn: M-m`=`{b} over {a}`]이다. [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a, ``b`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

26번부터 30번까지는 선택과목 문항입니다. 선택한 과목의 문제를 풀기 바랍니다.

미분과 적분

[eqn: 0` <= `x` <= ` pi `]일 때, 방정식 [eqn: 2`cos ^{2} `2x-1=2`sin`x`cos`x`]를 만족하는 모든 [eqn: x]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: {3} over {4} pi]	② [eqn: pi]	③ [eqn: {5} over {4} pi `]	④ [eqn: {3} over {2} pi]	⑤ [eqn: {7} over {4} pi]

함수 [eqn: f(x)=e ^{x} `sin {pi } over {2} x`]에 대하여
[eqn: S(t)= int _{0} ^{t} {} 2`x` LEFT {` f(t)-f(x) RIGHT } `dx`]
일 때, [eqn: S`` prime (2)`]의 값은? [3점]

① [eqn: -2 pi e ^{2}]	② [eqn: - pi e ^{2}]	③ [eqn: pi e ^{2}]

④ [eqn: 2 pi `e ^{2}]	⑤ [eqn: pi ^{2} `e ^{2}]

그림은 원점을 출발하여 [eqn: 10`]초 동안 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P`]의 시각 [eqn: t`]에서의 위치 [eqn: x(t)`]를 나타낸 그래프이다. [eqn: x(t)`]가 이계도함수를 가질 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, 함수 [eqn: x(t)`]는 [eqn: t=a _{3} ,~a _{5} ,~a _{7} ,~a _{9} `]에서만 변곡점을 갖는다.) [3점]

[eqn: x(t)]

[eqn: t](초)

[eqn: a_2]

[eqn: a_3]

[eqn: a_4]

[eqn: a_5]

[eqn: a_6]

[eqn: a_7]

[eqn: a_8]

[eqn: 0=a_1]

[eqn: \O]

[eqn: a_9]

[eqn: a_10 =10]

	<보 기>
ㄱ. 점 [eqn: rm P]는 출발 후 원점을 [eqn: 2`]번 지난다. ㄴ. 점 [eqn: rm P]는 출발하고 나서 [eqn: 10`]초 동안 운동 방향이 [eqn: 4`]번 바뀐다. ㄷ. [eqn: 9`]개의 개구간 [eqn: I _{n} =(a _{n} ,~a _{n+1} )`(n=1,~2,~ CDOTS ,~9)`] 중 점 [eqn: rm P]의 속도가 증가하는 구간의 개수는 [eqn: 5`]개이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1`]이고 중심이 점 [eqn: rm O]인 원이 있다. 원 밖의 한 점 [eqn: rm P`]에서 원에 그은 한 접선의 접점을 [eqn: rm T`]라 하자. 선분 [eqn: rm PO`]의 연장선이 원과 만나는 점을 [eqn: rm A]라 하고, [eqn: rm ANGLE APT= theta `]라 하자. [eqn: rm TRIANGLE APT`]의 넓이를 [eqn: S( theta )`]라 할 때, [eqn: lim _{theta ` -> ` {pi } over {2} -0} {} ``` {S( theta )} over {theta - {pi } over {2}}]의 값은? [4점]

[eqn: { - 1 over2}]

[eqn: theta]

[eqn: rm O]

[eqn: rm P]

[eqn: rm T]

[eqn: rm A]

① [eqn: -1]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

단 답 형

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rm P(itx,`y)`]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가             [eqn: x=9`cost-cos9`t,~y=9`sint-sin9`t`]
로 나타내어지는 곡선이 있다. 점 [eqn: rm P`]가 [eqn: t=0`]에서 [eqn: t=` {pi } over {8}`]까지 움직인 거리를 [eqn: s]라 할 때, [eqn: 2s]의 값을 구하시오. [4점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오..

확률과 통계

아래의 줄기와 잎 그림은 이메일 사용자 [eqn: 30`]명에 대하여 어느 날 하루 동안의 이메일 사용시간(분)을 조사하여 십의 자리의 수를 줄기로, 일의 자리의 수를 잎으로 나타낸 것이다.

줄기	잎
0	5	7	8
1	1	2	3	4	5
2	2	3	3	6	6	7	7	9
3	2	4	6	6	6	6	7	8
4	2	4	4	4
5	8	9

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점]

	<보 기>
ㄱ. 중앙값은 [eqn: 28`]이다. ㄴ. 최빈값의 개수는 [eqn: 8`]개 이다. ㄷ. 이메일의 사용시간이 [eqn: 40`]분 이상일 확률은 [eqn: {1} over {5} `]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 어느 고등학교의 한 학생의 기말고사 성적표이다. 이수단위에 가중치를 두었을 때, 이 학생의 가중평균은? [3점]

과목	국어	영어	수학	사회	과학	음악	미술	체육
점수	80	85	70	90	83	92	90	100
이수단위	4	6	6	3	2	1	1	1

① [eqn: 79]	② [eqn: 80]	③ [eqn: 81]	④ [eqn: 82]	⑤ [eqn: 83]

[eqn: 1,~2,~3,~ CDOTS ,~n``]이 차례대로 적힌 [eqn: n``]개의 공이 있다. 공과 반지름의 길이가 같은 [eqn: 2]개의 원기둥 [eqn: rm A,~B``]에 [eqn: n``]개의 공을 나누어 넣는다. 아래로 갈수록 공의 번호가 커지도록 넣는 방법의 수가 [eqn: 254`]가지 일 때, [eqn: n`]의 값은?
(단, 공의 크기는 모두 같고, 각각의 원기둥에는 적어도 [eqn: 1``]개의 공을 넣는다.) [3점]

[eqn: rm B]

[eqn: VDOTS]

[eqn: rm A]

[eqn: VDOTS]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

통계청 조사에 따르면 학생 [eqn: 1`]인당 월 사교육비 및 참여율은 아래와 같다.

[eqn: z]	[eqn: rm P LEFT ( it 0<=Z<=z RIGHT )]
[eqn: 1.25]	[eqn: 0.39]
[eqn: 1.50]	[eqn: 0.43]
[eqn: 2.00]	[eqn: 0.48]
[eqn: 2.50]	[eqn: 0.49]

<학생  1인당 월 사교육비 및 참여율>

학교급 지역	초등학교 (만원)	중학교 (만원)	일반계고 (만원)	전문계고 (만원)	사교육 참여율
농산어촌	13	13	8	8	66%
중소도시	24	23	23	8	78%
대도시	25	26	28	5	80%

대도시의 학생 [eqn: 100`]명을 임의로 택하여 조사하였을 때, 사교육에 참여하는 학생이 [eqn: 85`]명 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4점]

① [eqn: 0.01]	② [eqn: 0.02]	③ [eqn: 0.07]

④ [eqn: 0.43]	⑤ [eqn: 0.45]

단 답 형

어느 고등학교 [eqn: 500`]명의 학생을 대상으로 수학 교과에 대한 선호도를 조사한 결과 아래와 같이 나타났다.

설문지의 ① 또는 ② 에 답한 학생을 수학 교과를 선호하는 학생으로 본다. 전국에 있는 학생들 중에서 수학 교과를 선호하는 학생의 비율을 신뢰도 [eqn: 99%`]로 추정한 신뢰구간의 길이를 [eqn: l`]이라 할 때, [eqn: 1000`l`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: rm P LEFT ( it 0<=Z<=2.5 RIGHT ) =0.495], [eqn: sqrt {4.8} =2.2`]로 계산한다.) [4점]

[질문] 수학 교과를 좋아하는 정도는?

① 매우 좋아한다.     ② 좋아한다.     ③ 보통이다.

④ 싫어한다.          ⑤ 매우 싫어한다.

문 항	①	②	③	④	⑤	합계
응답인원 (명)	60	140	185	65	50	500
비 율	0.12	0.28	0.37	0.13	0.10	1

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오..

이산수학

같은 종류의 과일 [eqn: 8`]개를 같은 종류의 [eqn: 3`]상자에 나누어 넣으려고 한다. 빈 상자가 생기는 것을 허용할 때, 넣는 방법의 수는? [3점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

다음 그래프에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

	<보 기>
ㄱ. 평면그래프이다. ㄴ. 해밀턴회로가 존재한다. ㄷ. 수형도를 만들려면 [eqn: 6`]개의 변을 제거해야 한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음의 표는 어떤 일을 수행하는 데 필요한 작업의 종류, 각 작업에 걸리는 시간, 선행되어야 할 작업을 나타낸 것이다.       이 일을 완료하는 데 필요한 최소의 시간은? [3점]

작업	A	B	C	D	E	F	G
작업시간	1	4	2	7	6	3	4
선행작업	없음	A	B	B	C, D	D	E, F

① [eqn: 22]      ② [eqn: 23]      ③ [eqn: 24]       ④ [eqn: 25]       ⑤ [eqn: 26]

다음 그래프의 서로 다른 생성수형도의 총 개수는? [4점]

① [eqn: 87]	② [eqn: 100]	③ [eqn: 114]	④ [eqn: 123]	⑤ [eqn: 135]

단 답 형

평면 위에 있는 [eqn: n] 개의 원에 대하여 어떤 두 원을 택하더라도 교점이 [eqn: 2`]개라 하자. 이 원들에 의하여 나누어지는 영역의 개수를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: a_6]을 구하시오. (단, [eqn: a _{1} =2`]) [4점]

* 확인 사항

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• 2교시 수리 영역 •

‘가’형 정답

1	③	2	①	3	⑤	4	④	5	③
6	②	7	②	8	④	9	①	10	①
11	③	12	⑤	13	①	14	③	15	④
16	②	17	④	18	25	19	13	20	80
21	14	22	8	23	649	24	3	25	35
미분과적분
26	③	27	①	28	⑤	29	①	30	9
확률과통계
26	③	27	④	28	①	29	⑤	30	110
이산수학
26	③	27	⑤	28	①	29	④	30	32

해 설

1. [출제의도] 주어진 지수 식을 간단히 계산 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 8 ^{- {1} over {2}} TIMES sqrt {2 ^{5}} & =(2 ^{3} ) ^{- {1} over {2}} TIMES 2 ^{{5} over {2}} & =2 ^{- {3} over {2} + {5} over {2}} & =2]

2. [출제의도] 행렬의 덧셈과 뺄셈을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A-B````=``` {pmatrix{3&```5#-4&```2}} ~~ CDOTS ~~①], [eqn: 2A+B`=` {pmatrix{6&```-2#1&``````4}} ```````` CDOTS ```````②]
①+②를 하면
[eqn: 3A= {pmatrix{`````9````&`3#-3```````&6}}], [eqn: THEREFORE ~`A= {pmatrix{3``&1#-1`````````&`2}}]
[eqn: B= {pmatrix{```3``&`1#-1```````&`2}} - {pmatrix{````````3``&``5#-4``&``2}} = {pmatrix{0````&-4#3```&``````0}} `]
따라서 행렬 [eqn: B`]의 모든 성분의 합은 [eqn: -1`]이다.

3. [출제의도] 미분계수의 정의를 이용하여 미분계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f` prime (0) & = & lim _{h -> 0} {} ` {f(h)-f(0)} over {h} = lim _{h -> 0} {} ` {2h+h ^{2} sin {1} over {h}} over {h}# # & = & lim _{h -> 0} {`} LEFT ( 2+h`sin {1} over {h} RIGHT ) =2]

4. [출제의도] 분수방정식에서 무연근의 의미를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 분수방정식에서 양변에 [eqn: x ^{2`} -1~]곱하여 정리하면 이차방정식 [eqn: x^2 +kx-k-3=0]을 얻는다. 이 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가지므로 그 중 한 근은 무연근이어야 한다.
(ⅰ) [eqn: x=1]일 때;
[eqn: x=1]을 이차방정식에 대입하면 [eqn: 1+k-k-3=0], [eqn: -2 !=0]이므로 성립하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: x=-1]일 때;
[eqn: x=-1]을 이차방정식에 대입하면  [eqn: 1-k-k-3=0]이다. 따라서 [eqn: k=-1]이다,
[eqn: k=-1]을 이차방정식 [eqn: x^2 +kx-k-3=0]에 대입하면 방정식  [eqn: x^2 -x-2=0]을 얻고  [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=2]의 해를 갖는다. [eqn: therefore][eqn: alpha=2]
(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: k+alpha=(-1)+2][eqn: =1]이다.

5. [출제의도] 주어진 분수부등식의 해를 그래프를 이용하여 구할 수 있는가를 묻는 문항이다.

[eqn: {f(x)} over {x ^{2} -x-2} <= 0`] ⇔ [eqn: {f(x)} over {(x-1)(x+2)} <= 0`]

(i) [eqn: f(x) >= 0], [eqn: (x+1)(x-2)<0`]
[eqn: f(x) >= 0``RARROW `x <= - 9 over 2 ,``- 1 over 2 ` <= x <= ` 1 over 2 ,``x >= ` 9 over 2 ```cdots```①]
[eqn: (x+1)(x-2)<0```` RARROW ````-1<x<2`cdots②]
①，②를 동시에 만족시키는 [eqn: x`]의 범위는 [eqn: -{1 } over {2 } <=x <= 1 over 2]
∴ 정수해는 [eqn: 0]이다.   ∴ [eqn: 1]개.
(ii) [eqn: f(x) <= 0,~(x+1)(x-2)>0]
[eqn: f(x)<=0``` RARROW ``- {9} over {2} <=x<=- {1} over {2} ,``` {1} over {2} <=x<=` {9} over {2} ``` CDOTS ```③]
[eqn: (x+1)(x-2)>0```` RARROW ````x<`-1,```x>2``cdots④]
③, ④의 공통부분의 범위는 [eqn: - {9} over {2} <= x<`-1,```2< x <= {9} over {2}]
∴ 정수의 해는 [eqn: -4,`-3,`-2,`3,`4`]이다. ∴ [eqn: 5`]개
i), ii)에 의해 정수해의 개수는 [eqn: 6`]개이다.

6. [출제의도] 타원의 임의의 접선의 방정식과 타원의 두 초점까지의 거리의 곱은 항상 일정함을 확인하는 문제이다.

(ⅰ) 점 [eqn: \P]가 [eqn: x`]축 위에 있을 때 ;
[eqn: alpha beta = LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) LEFT ( sqrt {2} +1 RIGHT ) =1]
(ⅱ) 점 [eqn: \P]가 [eqn: x`]축 위에 있지 않을 때 ;
타원 위의 점 [eqn: \P]에서 접선의 기울기를 [eqn: m]이라고 하면 타원의 접선의 방정식은 [eqn: y=mx+- root {2m^2 +1}]이다. 두 초점 [eqn: (-1,``0)], [eqn: (1,``0)]에서 접선까지의 거리를 각각 구하면
[eqn: alpha `= {LEFT | -m+- sqrt {2m ^{2} +1} RIGHT |} over {sqrt {m ^{2} +1}}], [eqn: beta `= {LEFT | m+- sqrt {2m ^{2} +1} RIGHT |} over {sqrt {m ^{2} +1}}]
이때, [eqn: alpha`beta][eqn: `= {LEFT | -m+- sqrt {2m ^{2} +1} RIGHT |} over {sqrt {m ^{2} +1}}][eqn: {LEFT | m+- sqrt {2m ^{2} +1} RIGHT |} over {sqrt {m ^{2} +1}}][eqn: =1]이다.
따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: beta `=`1 over alpha]의 관계를 나타나는 그래프의 개형은 ②이다.

7. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm A(0,1)], [eqn: rm B it left( alpha ,``a ^{alpha } right)], [eqn: rm C left( it beta ,``b ^{- beta } right)]라 하면
ㄱ. [eqn: f( sqrt {3} )> rm g(- sqrt {3} )]이므로 성립              ∴ 참
ㄴ. AB의 기울기: [eqn: { a^alpha -1 }over alpha], AC의 기울기 : [eqn: {b^-beta -1 } over beta]
그런데, [eqn: {dmatrix{{a ^{alpha } -1} over {alpha }}} ```>`` {dmatrix{{b ^{- beta } -1} over {beta }}}]
[eqn: RARROW ```` {a ^{alpha } -1} over { vert alpha vert }} ```>`` { b^{- beta } -1} over { vert beta vert }]
[eqn: RARROW ```` LEFT | ` beta ` RIGHT | LEFT ( a ^{alpha } -1 RIGHT ) ```>`` LEFT ( b ^{- beta } -1 RIGHT ) LEFT | ` alpha ` RIGHT |]
[eqn: RARROW ```````` LEFT | `beta `` RIGHT | `a ^{alpha } `- LEFT | `alpha ` RIGHT | ` LEFT ( {1} over {b} RIGHT ) ^{beta } ```>` LEFT | `beta `` RIGHT | `- LEFT | `alpha ` RIGHT | `]        ∴ 참
ㄷ. [eqn: 1 over 3` alpha + {2} over {3} ` beta `]는 두 점 [eqn: ( alpha ,``0),`( beta ,``0)]를 [eqn: 2`:`1]로 내분하는 점의 [eqn: x`]좌표이다.

그림에서 [eqn: rm bar{PQ} < bar{PR} `]이므로
[eqn: rm g` left ( it {1} over {3} alpha ``+ {2} over {3} beta right )``<` {1} over {3} rm g it ( alpha )+ {2} over {3} rm g it ( beta )`]
∴ 거짓

[eqn: y= rm g it LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: rm A` LEFT ( 0,``1 RIGHT )]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=f it LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: y=k]

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

[eqn: sqrt {3}]

[eqn: - sqrt {3}]

[eqn: y= rm g it LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm R]

[eqn: rm Q]

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

[eqn: t]

[eqn: 2t]

[eqn: rm P]

8. [출제의도] 조건부확률의 개념을 이해하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주민등록번호로 인증을 받아 점심식사를 한 학생은 [eqn: 140`]명이고 이 중에서 [eqn: 3`]학년 학생은 [eqn: 84`]명이므로 구하는 확률은 [eqn: {84} over {140} = {3} over {5}]이다.

9. [출제의도] 함수의 연속에 관한 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. ① [eqn: lim _{x -> 1+0} {`` rm g it LEFT ( `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT ) `}][eqn: = lim _{t -> `1-0} {`` rm g it LEFT ( `t RIGHT ) `}][eqn: =-2]
② [eqn: lim _{x -> 1-0} {`` rm g it LEFT ( `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT ) `}][eqn: = lim _{t -> `-1+0} {`` rm g it LEFT ( `t RIGHT ) `}][eqn: =-2]
[eqn: lim _{x -> 1+0} {`` rm g it LEFT ( `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT ) `}][eqn: = lim _{x -> 1-0} {`` rm g it LEFT ( `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT ) `}]이므로 [eqn: x=1] 에서
극한값이 존재한다.                     ∴ 참
ㄴ. ①[eqn: lim _{x -> +0} {``f LEFT ( `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT ) `}][eqn: = lim _{t -> 1-0} {``f LEFT ( `t RIGHT ) `} =-1],
②[eqn: lim _{x -> -0} {``f LEFT ( `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT ) `}][eqn: = lim _{t -> -1+0} {``f LEFT ( `t RIGHT ) `} =0] 이므로,

[eqn: x=0]에서 극한값이 존재하지 않으므로 불연속이다.
[eqn: therefore] 거짓
ㄷ. (반례)
①[eqn: lim _{x -> - {1} over {2} +0} {``f LEFT ( ` rm g LEFT ( it x RIGHT ) ` RIGHT ) `}][eqn: = lim _{t -> +0} {``f LEFT ( `t RIGHT ) `} =1]
②[eqn: lim _{x -> -{1} over {2} -0} {``f LEFT ( ` rm g it LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT ) `}][eqn: = lim _{t -> -0} {``f LEFT ( `t RIGHT ) `} =-1]
[eqn: therefore] [eqn: lim _{x -> -{1} over {2} +0} {``f LEFT ( ` rm g it LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT ) `}][eqn: != lim _{x -> - {1} over {2} -0} {``f LEFT ( ` rm g it LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT ) `}]
[eqn: x=- {1} over {2}]에서 불연속이다.               [eqn: therefore] 거짓

10. [출제의도] 절대부등식의 성질을 이용하여 연역적인 추론을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 실수 [eqn: x,~y`]에 대하여 [eqn: xy <= {1} over {4} LEFT ( x+y RIGHT ) ^{2} `]이므로
[eqn: sum _{k=1} ^{n} {a _{k} `b _{k}} over {a _{k} +b _{k}} <= sum _{k=1} ^{n} {{1} over {4} LEFT ( a _{k} +b _{k} RIGHT ) ^{2}} over {a _{k} +b _{k}} = {1} over {4} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( a _{k} +b _{k} RIGHT ) = {1} over {2} sum _{k=1} ^{n} a _{k}]
이므로 (가) [eqn: {1} over {4} ` LEFT ( a _{k} +b _{k} RIGHT )]   (나) [eqn: `a _{k}]  (다) [eqn: {1} over {2}]

11. [출제의도] 도함수의 정의를 이용하여 도함수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ.  [eqn: f` prime (x) & = lim _{h -> 0} {} {f(x+h)-f(x)} over {h} = lim _{h -> 0} {} {-f(-x-h)+f(-x)} over {h}# # & = lim _{h -> 0} {} {f(-x-h)-f(-x)} over {-h} =f` prime (-x)~~~~~~~~ THEREFORE ``참]
ㄴ. [eqn: |f(0)|<=M cdot 0^2 =0]에서 [eqn: f(0)=0]이다. 따라서,
[eqn: | f prime (0) | & = & lim _{h -> 0} {} LEFT | {f(h)-f(0)} over {h} RIGHT | = lim _{h -> 0} {} LEFT | {f(h)} over {h} RIGHT |# # & <= & lim _{h -> 0} {} {M``h ^{2}} over {|h|} = lim _{h -> 0} {} M``|h|=0]
[eqn: THEREFORE ````f` prime (0)=0`]                                   [eqn: THEREFORE] 참
ㄷ. (반례) [eqn: f(x)= cases{x+1&(x>0)#0&(x=0)#x-1&(x<0)}]는
[eqn: lim _{h` -> `0} {} LEFT { {f(0+h)+f(0-h)-2f(0)} over {h} RIGHT } =0]
이지만 [eqn: x=0]에서 불연속이므로 미분가능하지 않다.
[eqn: THEREFORE ````거짓]

12. [출제의도] 주어진 정의를 이해하고 복소수의 연산과 행렬의 곱셈에 대한 성질을 이용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

복소수 [eqn: z _{1} =a+bi,`z _{2} =c+di`(a,~b,~c,````d``]는 실수)라 하면
[eqn: z_1 + z_2 = (a+c)+(b+d)i], [eqn: z_1 z_2 = (ac -bd)+(ad+bc)i]이므로
ㄱ. [eqn: M(z _{1} +z _{2} )= {pmatrix{a+c&```-(b+d)#b+d&``````````a+c}}]
[eqn: M(z _{1} )+M(z _{2} ) & = pmatrix{a&``-b#b``&``````a} + pmatrix{c```&-d#d&````c} & = pmatrix{a+c```&-(b+d)#b+d&``````a+c}]
이므로 [eqn: M LEFT ( z _{1} RIGHT ) +M LEFT ( z _{2} RIGHT ) =M(z _{1} +z _{2} )]이다.        ∴ 참
ㄴ.  [eqn: M(z _{1} )M(z _{2} ) & = pmatrix{a&``-b#b``&``````a} pmatrix{c```&-d#d&````c} = pmatrix{ac-bd```&`````-(ad+bc)#ad+bc&```````````ac-bd}# # & =M(z _{1} z _{2} )~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ THEREFORE 참]
ㄷ. [eqn: "{"M(z)"} " ^{3} =M LEFT ( z ^{3} RIGHT ) =E`]을 만족하는 복소수 [eqn: z`]는 [eqn: z^3 =1]인 [eqn: z]를 구하면 된다.
[eqn: z^3 -1 = (z-1)(z^2 +z+1)=0]
이므로 [eqn: z=1,````z= {-1± sqrt {3} i} over {2}]이다.
따라서 허수 [eqn: z= {-1± sqrt {3} i} over {2}]이 존재한다.    [eqn: THEREFORE ~]참

13. [출제의도] 도형의 닮음비를 이용하여 점화관계를 찾아 해결하는 문제이다.

[eqn: rm TRIANGLE P _{1} AD∾� TRIANGLE P _{1} CB]이고 닮음비가 [eqn: 2``:``3`]이므로
[eqn: rm bar DP_1 ``: `bar {P_1 B }= 2``:``3]이고 [eqn: rm bar { P_1 Q_1 } ⫽ barBC]이므로
[eqn: rm bar P_1 Q_1 } ``:`` bar BC = bar{DP_1 } ``:``bar DB ~ ```RARROW ```it`x_1 ``:``3``=``2``:``5] [eqn: THEREFORE ``x_1 = 6 over 5]

[eqn: x _{n+1} ``:``x _{n} ``=`` rm bar{DP _{it n+1 rm}} ``:`` bar{DP _{it n rm}} ` it =2``:``(2+x _{n} )]
[eqn: 2x _{n} =x _{n+1} (2+x _{n} )``` RARROW ```x _{n+1} CDOT x _{n} =2(x _{n} -x _{n+1} )]
[eqn: S_n = Sum_k=1^n x_k x_k+1 = 2 Sum_k=1^n (x_k - x_ k+1 )=2 (x_1 - x_n+1 )]
[eqn: Sum_n=1^inf x_n x_n+1 = lim_n->inf S_n = 2 x_1 = 2 times 6 over 5 = 12 over 5]

[eqn: rm A]

[eqn: rm D]

[eqn: rmQ_{it n}]

[eqn: rmP_{it n}]

[eqn: rmP_{it n+1}]

[eqn: rm Q_{it n+1}]

[eqn: x_n]

[eqn: x_n+1]

[eqn: 2]

14. [출제의도] 무한등비급수의 합 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm O]

[eqn: 1-r]

[eqn: 1over 2 +r]

[eqn: 1over 2]

원 [eqn: rm O,] [eqn: A _{1} ,~B _{1} ``]의 중심을 각각 [eqn: rm O,~ A,~B``]라 하면 [eqn: R_1]의 내부의 큰 원의 반지름은 [eqn: 1 over 2]이고, 작은 원의 반지름을 [eqn: r]이라 하면
[eqn: left( 1 over 2 +r right)^2 = left( 1over 2 right)^2 + (1-r)^2]
이므로 [eqn: r = 1 over 3]이다. 작은 원의 반지름의 길이가 [eqn: 1 over 3]이다. 따라서 [eqn: R_1]의 어두운 부분의 넓이는 [eqn: {13} over {18} pi `]이다. 넓이의 합 [eqn: S _{n} ``]은 공비가 [eqn: 13 over 18]인 등비수열이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {{13} over {18} pi } over {1- {13} over {18}} = {13} over {5} pi]이다.

15. [출제의도] 주어진 상황을 이해하고 순열을 이용하여 경우의 수를 구하는 문제이다.

(  )를 제외한 나머지의 공의 색에 새겨진 수를 주어진 규칙에 따라 계산해 보면 [eqn: 13+5+9-13+11+13=38]이다. (  )부분과의 합이 [eqn: 57`]이 되기 위해서는 [eqn: 19``]를 더해야 된다. [eqn: 3`]개의 (  )안의 수를 계산하면 [eqn: 19`]가 되어야 한다. 이와 같은 결과를 얻기 위해서는 같은 공이 두 번 나오고 나머지 하나의 공이 남색 공이 나와야 한다.
①　남색 공이 아닌 공이 두 번 나오고 남색 공이 한　번     나오는 경우 : [eqn: {} _{6} rm C _{1} TIMES {3!} over {2!} =18] (가지)
②　남색 공이 세　번 나오는 경우 : [eqn: 1`](가지)

③ 남색이 나오지 않는 경우 : [eqn: 0](가지)
따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 18+1=19`](가지)이다.

16. [출제의도] 독립시행의 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

한 번의 시행에서 한 개의 공이 [eqn: rm A,~B,~C`] [eqn: 3`]개의 상자 중 어느 하나에 들어가는 사건 [eqn: X`]가 일어날 확률은  [eqn: {1} over {2} `]이다. [eqn: 10``]회의 독립시행에서 사건 [eqn: X`]가 [eqn: 4`]회 일어날 확률은 [eqn: rm _{10} {rmC} _{4} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6} = {210} over {2 ^{10}} = {105} over {512}]이다.

17. [출제의도] 표본평균 [eqn: bar{X``} `]의 분포와 [eqn: X`]의 분포의 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

비누 [eqn: 1``]개의 무게에 대한 확률변수 [eqn: X`]가 정규분포 [eqn: rm N LEFT ( it m,~ sigma ^{2} RIGHT ) `]을 따른다고 하자. 비누를 [eqn: 4`]개씩 묶은 제품의 무게의 평균 [eqn: bar{X it ``} `]는 정규분포 [eqn: rm N LEFT ( it m,~ LEFT ( {sigma } over {2} RIGHT ) ^{2} RIGHT ) `]을 따른다. 따라서 [eqn: rm P LEFT ( it bar{X``} <100 RIGHT ) =0.001`]이므로
[eqn: rm P LEFT ( it bar{X``} <100 RIGHT ) & = & rm P LEFT ( it Z< {100-m} over {{sigma } over {2}} RIGHT ) = rm P LEFT ( it Z< {2 LEFT ( 100-m RIGHT )} over {sigma } RIGHT )# & = & 0.5- rm P LEFT ( it 0<Z<`- {2 LEFT ( 100-m RIGHT )} over {sigma } RIGHT ) =0.001``]
이다. 따라서 [eqn: rm P LEFT ( it 0<Z<`- {2 LEFT ( 100-m RIGHT )} over {sigma } RIGHT ) =0.499`]이므로
[eqn: - {2 LEFT ( 100-m RIGHT )} over {sigma } =3]이다. 즉, [eqn: {100-m} over {sigma } =-1.5`]이다. 그러므로 비누 [eqn: 1`]개를 검사했을 때 불량품으로 판정될 확률은 다음과 같다.
[eqn: rm P LEFT ( it X<100 RIGHT ) & = & rm P LEFT ( it Z< {100-m} over {sigma } RIGHT ) = rm P LEFT ( it Z<`-1.5 RIGHT )# & = & 0.5- rm P LEFT ( it 0<Z<1.5 RIGHT ) =0.5-0.433# & `= & 0.067`]
따라서 구하는 확률은 [eqn: 0.067`]이다.

18. [출제의도] 정적분의 정의를 이용하여 주기함수의 적분을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{`n -> ` INF } {} {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( 10+ {2k} over {n} RIGHT ) & = & {1} over {2} int _{10} ^{12} {} f(x)dx & = & {1} over {2} int _{-1} ^{````1} {} f(x)dx]
[eqn: ```````( BECAUSE ````f(x+2)=f(x))]에서 구하는 값은 다음과 같다.
[eqn: {1} over {2} int _{-1} ^{````1} {} (30x ^{2} +15)dx= int _{0} ^{1} {LEFT ( 30x ^{2} +15 RIGHT ) dx} =25]

19. [출제의도] 평행이동시킨 벡터를 찾아 벡터의 내적계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: \AD]의 중점을 [eqn: \S]라 하자.
[eqn: vec{rm `NM it} = vec {rm SP}]이고, [eqn: triangle][eqn: rmSPQ]는
정삼각형이므로
[eqn: LEFT | vec{rm PQ it} + {1} over {2} vec{rm `NM it} RIGHT | ^{2}]
[eqn: = LEFT | vec{rm PQ it} + {1} over {2} vec{rm `SP it} RIGHT | ^{2}]
[eqn: = LEFT | vec{rm PQ it} RIGHT | ^{2} + LEFT | vec{rm PQ it} RIGHT | LEFT | vec{rm SP it} RIGHT | cos120DEG+ {1} over {4} LEFT | vec{rm SP it} RIGHT | ^{2}]
[eqn: =( sqrt {3} ) ^{2} + sqrt {3} CDOT sqrt {3} ` CDOT LEFT ( - {1} over {2} ` RIGHT ) + {1} over {4} ( sqrt {3} ) ^{2}][eqn: = 9 over4]
따라서 [eqn: LEFT | vec{rm PQ it} + {1} over {2} vec{rm `SP it} RIGHT | ^{} =][eqn: {3} over {2}]이므로 [eqn: a^2 +b^2 =13]이다.

20. [출제의도] 두 곡선으로 둘러싸인 부분을 회전시킨 회전체의 부피를 묻는 문제이다.

두 원 [eqn: x ^{2} +(y-2) ^{2} =4,~(x-2) ^{2} +y ^{2} =4]으로 둘러싸인 어두운 부분은 [eqn: y=2- sqrt {4-x ^{2}}], [eqn: y= sqrt {4-(x-2) ^{2}}]으로 둘러싸인 부분과 같으므로
[eqn: & & int _{0} ^{2} {} pi LEFT { (-x ^{2} +4x)-(-x ^{2} +8-4 sqrt {4-x ^{2}} ) RIGHT } dx# & = & pi int _{0} ^{2} {} LEFT { 4x-8+4 sqrt {4-x ^{2}} RIGHT } dx# & = & pi LEFT { int _{0} ^{2} {(4x-8)dx} +4 int _{0} ^{2} {sqrt {4-x ^{2}} dx} RIGHT } =`-8 pi +4 pi ^{2}]
따라서 [eqn: p=-8,``q=4]에서 [eqn: p ^{2} +q ^{2} =80]이다.

21. [출제의도] 법선벡터가 정해진 평면과 공간도형이 교점이 가지는 경우를 이해할 수 있는지 문제이다.

평면 [eqn: alpha]가 각 꼭짓점과 만나기 위한 [eqn: k]의 값을 구하자.
[eqn: f(x,y,z)=2x+y-z-k]라 하면
[eqn: f( rm P it )=-k-1=0]	[eqn: THEREFORE ````k=-1]
[eqn: f( rm A) it =-k-5=0`]	[eqn: THEREFORE ````k=-5]
[eqn: f( rm B it )=-k+2=0]	[eqn: THEREFORE ````k=2]
[eqn: f( rm C it )=-k+9=0]	[eqn: THEREFORE ````k=9]
[eqn: f( rm D it )=-k-2=0]	[eqn: THEREFORE ````k=-2]
이다. 따라서 사각뿔 [eqn: rm P-ABCD]와 평면 [eqn: alpha `]가 이 만나기 위한 [eqn: k]의 범위를 구하면 [eqn: -5 <= `k` <= 9]이므로
[eqn: b-a=9-(-5)=14]이다.

22. [출제의도] 구에서 접선의 길이를 이용하여 쌍곡선의 정의를 유도할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: \F_1]과 [eqn: \Q]는 구의 밖의 한 점 [eqn: \P]에서 그은 접점이므로
[eqn: rm bar{ PF} _{1} =bar{PQ}]
이다. 마찬가지로
[eqn: rm bar{PF} _{2} =bar{PR}]
이므로,
[eqn: rm ` LEFT | bar{PF _{1}} - bar{PF _{2}} RIGHT | `` rm & = & rm ` LEFT | bar{PQ} - bar{PR} RIGHT | ` rm & = & bar{QR}]
이다. 따라서
[eqn: {1} over {2} rm bar{QR} ``:3=8:6]
이므로 [eqn: rm `barQR =8]이다.

23 [출제의도] 로그함수의 그래프를 이해하고 격자점의 개수를 이용하여 확률을 구하는 문제이다.

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[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

주어진 영역 안에 있는 격자점의 개수는 15개이다.
[eqn: (k,````a _{k} )]의 모든 점이 영역 안에 존재하려면
[eqn: k=1]일 때는 5개의 점 중에서 1가지
[eqn: k=2]일 때는 5개의 점 중에서 2가지
⋮
[eqn: k=5]일 때는 5개의 점 중에서 5가지
이다. [eqn: (k,````a _{k} )]의 점이 영역 안에 들어가기 위한 각각의 경우에 대한 확률은
[eqn: rm P LEFT ( it k=m RIGHT ) = {m} over {5}]  ([eqn: m=1,~2,~3,~4,~5])
이다. 따라서 구하는 확률은 [eqn: {5} over {5} TIMES {4} over {5} TIMES {3} over {5} TIMES {2} over {5} TIMES {1} over {5} = {24} over {625}]이므로 [eqn: a+b=625+24=649]이다.

24. [출제의도] 구의 내접 외접 성질과 코사인제이법칙을 이용하여 공간도형에서의 정사영 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: rm A,~B,~C`]를 평면 [eqn: alpha] 위로 정사영시킨 점을 각각 [eqn: rm A prime ,~B prime ,~C prime `]라 하자. 또한, 점 [eqn: rm A]를 선분 [eqn: rm BB`` prime], 선분[eqn: rm CC`` prime]위로 정사영시킨 점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm R]이라 하고, 점 [eqn: rm B]를 선분 [eqn: rm CC`` prime]위로 정사영시킨 점을 [eqn: rm Q]라고 할 때, 세 개의 구가 서로 외접하므로
[eqn: AB=2+4=6],
[eqn: BC=4+8 =12],
[eqn: CA=8+2=10]

이다. 세 구가 평면 [eqn: alpha]위에 있으므로
[eqn: rm BP=4-2=2],
[eqn: rm CQ=8-4=4],
[eqn: rm CR=8-2=6]
이다. 피타고라스 정리에 의해
[eqn: rm A prime B`` prime =AP= sqrt {6 ^{2} -2 ^{2}} =4 sqrt {2}]
[eqn: rm B` prime C`` prime =BQ= sqrt {12 ^{2} -4 ^{2}} =8 sqrt {2}]
[eqn: rm C`` prime A` prime =RA= sqrt {10 ^{2} -6 ^{2}} =8]

이다. 제이코사인법칙에 의해
[eqn: cos rm B= {6 ^{2} +12 ^{2} -10 & ^{2}} over {2 CDOT 6 CDOT 12} = {5} over {9}]
[eqn: cos rm B`` prime = {(4 sqrt {2} ) ^{2} +(8 sqrt {2} ) ^{2} -8 ^{2}} over {2 CDOT (4 sqrt {2} ) CDOT (8 sqrt {2} )} =][eqn: 3 over4]
[eqn: rm TRIANGLE ABC= {1} over {2} CDOT 6 CDOT 12 CDOT sqrt {1- LEFT ( {5} over {9} RIGHT ) ^{2}} =8 sqrt {14}]
[eqn: rm TRIANGLE A'B'C'= {1} over {2} CDOT (4 sqrt {2} ) CDOT (8 sqrt {2} ) CDOT sqrt {1- LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{2}} =8 sqrt {7}]
[eqn: therefore] [eqn: cos theta = {8 root7} over {8 root 14} = 1 over2 root2]
따라서 [eqn: a=1 ,``` b=2]이므로 [eqn: a+b=3]이다.

25. [출제의도] 공간에서 직선, 평면, 구 사이의 관계를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다

[eqn: vec{rm AP it} BULLET vec{rm BQ it}``][eqn: =][eqn: LEFT | vec{rm AP it} RIGHT | LEFT | vec{rm BQ it} ` RIGHT | `cos theta]이고, [eqn: LEFT | vec{rm AP it} RIGHT | =][eqn: 3 over2], [eqn: LEFT | vec{rm BQ it} RIGHT | =][eqn: {3root3} over2]
이므로 두 벡터가 이루는 각 [eqn: theta]에 의하여 최댓값과 최솟값이 결정된다. 최댓값은 원 [eqn: S``]에서 [eqn: \P]와 [eqn: rm Q]가 서로 만날 때, 최솟값은 원 [eqn: S``]에의 지름의 양끝 점에서 두 벡터의 종점이 위치할 때의 값이다. 두 구의 중심 [eqn: \A]와 [eqn: \B]사이의 거리는[eqn: root {(3-2)^2 + (3-1)^2 +(1+1)^2 }=3]이고
[eqn: rm | vec{AP} |= {3} over {2}], [eqn: rm | vec{BQ} |= {3 sqrt {3}} over {2}]
이므로, 내적의 최댓값은
두 벡터가 이루는 각의 크기가 [eqn: {pi } over {2}]일 때로 [eqn: 0`]이고, 내적의 최솟값은 두 벡터가 이루는 각의 크기가 [eqn: {5} over {6} pi]일 때로
[eqn: vec{rm AP it} BULLET vec{rm BQ it} `` & = & LEFT | vec{rm AP it} RIGHT | LEFT | vec{rm BQ it} ` RIGHT | `cos theta # # &=& {3} over {2} CDOT {3 sqrt {3}} over {2} CDOT LEFT ( - {sqrt {3}} over {2} RIGHT )# # & = & - {27} over {8}]
이므로 [eqn: M-m=0- LEFT ( - {27} over {8} RIGHT ) = {27} over {8} `]이다. [eqn: THEREFORE `a+b=35]

(미분과적분)

26. [출제의도] 삼각방정식의 특수해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2(1-sin ^{2} `2x)-1 & = & 2cos ^{2} `2x-1 & = & 2sinx`cosx & = & sin2x]
에서
[eqn: sin2x=`-1] 또는 [eqn: 1over 2].
[eqn: sin2x=`-1]에서 [eqn: x= pi - {pi } over {4}]
[eqn: sin2x= 1 over2]에서 [eqn: x= {pi } over {12} ,~ {pi } over {2} - {pi } over {12}].
이므로 모든 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: {5} over {4} pi]이다.

27. [출제의도] 적분과 미분 사이의 관계를 이용하여 미분계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: S(t)= int _{0} ^{t} {} 2x LEFT { f(t)-f(x) RIGHT } dx# ```````````````=f(t) int _{0} ^{t} {} 2xdx- int _{0} ^{t} {} 2xf(x)dx]
에서

[eqn: S`` prime (t)=t ^{2} f` prime (t)`+2t`f(t)-2t`f(t)=t ^{2} `f` prime (t)]
한편, [eqn: f` prime (x)=e ^{x} sin {pi } over {2} x+ {pi } over {2} e ^{x} cos {pi } over {2} x`]이므로
[eqn: S`prime(2)=4 f`prime(2)=-2pi e^2]

28. [출제의도] 도함수와 운동하는 물체 사이의 관계를 파악할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: t=a _{3},~a_9]에서 원점을 지난다.             [eqn: THEREFORE ````참]

ㄴ. [eqn: x`prime(t)]의 부호가 바뀌는 시각은 [eqn: t=a_2 ,~a_4 ,~a_6 ,~a_8]로      운동방향은 4번 바뀐다.                   [eqn: THEREFORE ````참]

ㄷ. 속도 [eqn: x`prime(t)]가 증가하려면 [eqn: x`primeprime(t)>0]이어야 한다.        따라서 속도가 증가하는 구간은
[eqn: LEFT ( a _{1} ,~a _{2} RIGHT ) ,~ LEFT ( a _{2} ,~a _{3} RIGHT ) ,~ LEFT ( a _{5} ,~a _{6} RIGHT ) ,~ LEFT ( a _{6} ,~a _{7} RIGHT ) ,~ LEFT ( a _{9} ,~a _{10} RIGHT )]
이므로 구하는 구간의 개수는 5개이다.     [eqn: THEREFORE ````참]

29. [출제의도] 삼각형의 넓이를 삼각함수를 이용하여 표현하고 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: S( theta )= {1} over {2} `cot theta + {1} over {2} `cos theta `]이므로
[eqn: lim_{theta-> {pi over 2 -0}} { 1 over 2 (cot theta +cos theta)} over{theta- piover2} =-1]

30. [출제의도] 매개변수로 표시된 곡선의 길이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {dx} over {dt} =-9sint+9sin9t,`````` {dy} over {dt} =9cost-9cos9t`]이므로
[eqn: sqrt {LEFT ( {dx} over {dt} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {dy} over {dt} RIGHT ) ^{2}} & = & 18 sqrt {{1-cos8t} over {2}} & = & 18sin4t]
따라서,

[eqn: s= int_0^{pi over8} 18 sin4t ` dt = 9 over2]. [eqn: therefore~ 2s=9]

(확률과 통계)

26. [출제의도] 줄기 잎 그림을 이용한 자료해석을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. 자료의 개수가 짝수([eqn: N`])개일 때의 중앙값은 [eqn: {N} over {2} `]번째 수와 [eqn: {N+1} over {2} `]번째 수의 평균을 나타낸다. 주어진 자료의 수가 [eqn: 30`]개이므로 [eqn: 15`]번째 자료 [eqn: 27`]과 [eqn: 16`]번째 자료 [eqn: 29`]의 평균이 [eqn: 28`]이므로 중앙값은 [eqn: 28`]이다.  ∴ 참
ㄴ. 최빈값은 [eqn: 36`]이므로 그 개수는 [eqn: 4`]이다.  ∴ 거짓
ㄷ. 이메일을 하루 동안 [eqn: 40`]분 이상 이용하는 사람은 [eqn: 6`]명이므로 구하는 확률은 [eqn: {6} over {30} = {1} over {5} `]이다.     ∴ 참

27. [출제의도] 가중치평균의 정의를 알고 구하는 문제이다.

구하고자 하는 가중치평균을 [eqn: m`]이라 하면
[eqn: m & = & {80 TIMES 4+85 TIMES 6+70 TIMES 6+90 TIMES 3+83 TIMES 2+92+90+100} over {4+6+6+3+2+1+1+1}# # & = & {1968} over {24} =82~(점)]

28. [출제의도] 이항계수의 성질을 이용하여 2개의 조로 분할하는 방법의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

선택된 [eqn: k`` LEFT ( 1<k<n RIGHT ) `]개의 공을 하나의 원기둥에 넣는 순서는 정해져 있으므로 그 방법의 수는 [eqn: 1`]가지이다. 따라서 구하는 방법의 수는 [eqn: n`]개의 공을 [eqn: 2`]개조 [eqn: rm A,~B`]로 나누는 방법의 수와 같다. 즉,
[eqn: {} _{n} rm C _{1} + it rm _{it n} rm C _{2} +` CDOTS `+ it it rm _{it n} rm C _{it n-1 rm} = it 2 ^{n} -2]
이므로 [eqn: 2 ^{n} -2=254`]가 되기 위한 [eqn: n`]의 값은 [eqn: 8`]이다.

29. [출제의도] 표본비율의 분포를 통해 집단의 분포의 이해를 묻는 문제이다.

표본비율 [eqn: hat{p} = {4} over {5} =0.8``]이고, [eqn: n hat{p} =80 >= 5,~n hat{q} =20 >= 5``]이므로 표본비율 [eqn: hat{p} ``]의 분포는 근사적으로 정규분포 [eqn: rm N LEFT ( it 0.8,~ LEFT ( 0.04 RIGHT ) ^{2} RIGHT ) ``]을 따른다. 따라서 구하는 확률은 다음과 같다.
[eqn: rm P LEFT ( it hat{p} >= 0.85 RIGHT ) & = & rm P LEFT ( it Z >= {0.85-0.8} over {0.04} RIGHT ) =P LEFT ( it Z >= 1.25 RIGHT )# & = & 0.5- rm P LEFT ( 0 <= it Z <= 1.25 RIGHT ) =0.5-0.05# & = & 0.45]

30. [출제의도] 모비율의 개념을 알고 정규분포를 이용하여 신뢰구간을 추정할 수 있는가를 묻는 문제이다.

표본비율 [eqn: hat{p} =0.4`]이고, [eqn: n hat{p} =200 GEQ 5,~n hat{q} =300 GEQ 5`]이므로 표본비율 [eqn: hat{p} `]의 분포는 근사적으로 정규분포를 따른다. 따라서 모비율 [eqn: p`]에 대한 신뢰도 [eqn: 99`%`]의 신뢰구간의 양끝 값을 구하면 다음과 같다.
[eqn: hat{p} -2.5 sqrt {{hat{p} hat{q}} over {n}} =0.4-2.5 sqrt {{0.4 TIMES 0.6} over {500}} =0.345]
[eqn: hat{p} +2.5 sqrt {{hat{p} hat{q}} over {n}} =0.4+2.5 sqrt {{0.4 TIMES 0.6} over {500}} =0.455]
따라서 구하는 신뢰구간은 [eqn: LEFT [ 0.345,~0.455 RIGHT ] ``]이다. 따라서 구하는 신뢰구간의 길이 [eqn: l`]은
[eqn: l=0.455-0.345=0.110]
이므로 [eqn: 1000l=110]이다.

(이산수학)

26. [출제의도] 수의 분할을 활용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

같은 종류의 과일 8개를 같은 종류의 3상자에 나누어 넣는 경우이고 빈 상자가 생기는 것을 허용함으로, 8을 3개 이내의 수의 합으로 분할하는 방법의 수와 같다. 실제로,
[eqn: (8)], [eqn: (1,7)], [eqn: (2,6)], [eqn: (3,5)], [eqn: (4,4)],
[eqn: (1,1,6)], [eqn: (1,2,4)],[eqn: (1,3,4)],[eqn: (2,2,4)],[eqn: (2,3,3)]
의 [eqn: 10]가지가 있다.

27. [출제의도] 여러 가지 그래프의 성질을 이해할 수 있는지를 묻는 문제이다.

ㄱ. 주어진 그래프 임의의 두 변을 선택하더라도 꼭짓점에서만 만나도록 그릴 수 있으므로 평면그래프이다. ∴ 참
ㄴ. 각 꼭짓점을 모두 한 번씩만 거쳐 다시 돌아오는 회로가 존재한다. ∴ 참
ㄷ. 수형도는 꼭짓점의 개수보다 변의 개수가 1만큼 적다. 꼭짓점이 7개이므로 수형도가 되려면 변이 6개  있어야 하는 데 그래프의 변이 12개이므로 6개의 변을 제거해야 한다. ∴ 참

28. [출제의도] 최적화 알고리즘을 이해하여 문제를 해결할 수 있는 지를 묻는 문제이다.

작업	A	B	C	D	E	F	G
일수	1	4	2	7	6	3	4
선행	없음	A	B	B	C,D	D	E,F

주어진 표를 그래프로 나타내면 다음과 같다.

A→G로 가는 모든 경로에 대해 작업 시간을 조사하면 다음과 같다.

* [eqn: rm A `rarrow`B` rarrow`C` rarrow`E` rarrow`G : `` 17]
* [eqn: rm A `rarrow`B` rarrow`D` rarrow`E` rarrow`G : ``22]
* [eqn: rm A `rarrow`B` rarrow`D` rarrow`F` rarrow`G : `` 19]
따라서 모든 작업을 완료하는 데 필요한 최소 시간은 22시간이다.

29. [출제의도] 그래프에서 생성수형도의 개수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

B영역

A영역

e

주어진 그래프는 10개의 꼭짓점을 가지고 있으므로 수형도가 되려면 변이 9개 필요하다. 그러므로 13개의 변 중 9개의 변을 택하면 된다.
여기서, 변 e는 반드시 택해져야 하므로 나머지 12개의 변 중 8개가 선택되어야 한다. 따라서 구하고자 하는 생성수형도의 개수는
[eqn: ` _{12} rm C _{8}]-(4개의 변을 제거할 때, 성립하지 않는 경우의 수)
이다. 4개의 변을 제거하여 생성수형도가 되지 않는 경우는 제거하는 변의 개수에 따라 다음과 같이 분류할 수 있다.
(ⅰ) A에서 0개, B에서 4개 : [eqn: ` _{9} rm C _{4} =126]
(ⅱ) A에서 1개, B에서 3개 :
[eqn: 3 TIMES (7+7+7+6+6+10)=129]
변 4개의 변을 제거해야 한다.
(ⅲ) A에서 2개, B에서 2개 : [eqn: `3 TIMES _9 rmC_2 =108]
(ⅳ) A에서 3개, B에서 1개 : [eqn: `1 TIMES 9=9]
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에서의 총합은 [eqn: 372]개이다.
∴ [eqn: ` _{12} rmC _{8} -372=495-372=123]

30. [출제의도] 점화관계를 파악하여 일반항을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

평면 위에 있는 [eqn: n]개의 원에 대하여 어떤 두 원을 택하더라도 교점이 [eqn: 2`]개이므로,

[eqn: a _{1} =2]       [eqn: a _{2} =a_1 +2]       [eqn: a _{3} =a_2 +4]

이 되고, 일반적으로 [eqn: a _{n+1} =a_n +2n]이 성립한다. 따라서,         [eqn: a _{n} =a _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} 2k=2+2 {n(n-1)} over {2} =n ^{2} -n+2]
이므로 [eqn: a _{6`} =32] 이다.