• 수학 영역 •

수학 A형 정답

1	①	2	⑤	3	④	4	③	5	④
6	②	7	④	8	①	9	③	10	①
11	②	12	④	13	③	14	⑤	15	②
16	③	17	⑤	18	②	19	④	20	⑤
21	①	22	[eqn: 23]	23	[eqn: 19]	24	[eqn: 98]	25	[eqn: 4]
26	[eqn: 12]	27	[eqn: 112]	28	[eqn: 45]	29	[eqn: 3]	30	[eqn: 160]

해 설

1. [출제의도] 지수가 유리수인 수들의 곱을 계산한다.

[eqn: 2 ^{` {2} over {3}} TIMES 54 ^{{1} over {3}} =2 ^{{2} over {3} + {1} over {3}} TIMES 3 ^{{3} over {3}}]

[eqn: =6]

2. [출제의도] 행렬의 덧셈의 뜻을 알고, 이를 계산한다.

[eqn: A+B=E]에서 [eqn: B=E-A]이므로

[eqn: B= LEFT ( {matrix{`1&```0`#`0&```1}} RIGHT ) - LEFT ( {matrix{`2&```-3`#`4&```-1}} RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( {matrix{`-1&```3`#`-4&``2}} RIGHT )]

3. [출제의도] 행렬의 정의를 알고 행렬의 성분의 합을 구한다.

[eqn: a _{ij} = ij+1`]의 [eqn: i], [eqn: j]에 [eqn: i=1, ``2], [eqn: j=1,`` 2]를 각각 대입하면

[eqn: a_11 = 1 times 1 +1=2]

[eqn: a_12 = 1 times 2 +1=3]

[eqn: a_21 = 2 times 1 +1=3]

[eqn: a_22 = 2 times 2 +1=5]

따라서 [eqn: A= LEFT ( {matrix{`a_11&```a_12`#`a_21&```a_22}} RIGHT ) = LEFT ( {matrix{`2&```3`#`3&``5}} RIGHT )]이므로 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합은 [eqn: 2+3+3+5= 13]이다.

4. [출제의도] 그래프를 나타내는 행렬과 그래프의 관계를 이용하여 변의 개수를 구한다.

그래프에서 변의 개수가 [eqn: 9]이므로 이 그래프를 나타내는 행렬의 성분 중 [eqn: 1]의 개수는 [eqn: 9]의 [eqn: 2]배인 [eqn: 18]이다.

5. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 지수를 계산한다.

[eqn: 3^a =4] … ㉠

[eqn: 9^a+b =48]에서

[eqn: ( 3^2 )^a+b =3^2(a+b) =48] … ㉡

㉡[eqn: ÷]㉠에서 [eqn: 3^2(a+b)-a = 12]

∴ [eqn: 3^a+2b =12]

[다른 풀이]

[eqn: 3^a =4] … ㉠

[eqn: 9^a+b =48]에서 [eqn: 9^a 9^b = (3^a )^2 9^b =48] … ㉡

㉡에 ㉠을 대입하면

[eqn: 4^2 times 9^b =48], [eqn: 9^b = 3]

∴ [eqn: 3^a+2b = 3^a 3^2b = 3^a 9^b = 4 times 3 =12]

6. [출제의도] 행렬의 연산의 성질을 이용하여 역행렬을 구한다.

[eqn: (AB) ^{-1} = {pmatrix{`-1`&`1`#~~1`&`0`}}`]에서

[eqn: AB = {{pmatrix{`-1`&`1`#~~1`&`0`}}`}pile{`^-1#}]

[eqn: = 1 over 0-1 {{pmatrix{```````0`&`-1`#`-1`&`-1`}}`}]

[eqn: = {{pmatrix{`0`&`1`#`1`&`1`}}`}] … ㉠

[eqn: A= {pmatrix{`1`&`1`#`2`&`3`}}`], [eqn: B= {pmatrix{`-1`&~~a`#~~b`&`-1`}}`]이므로

[eqn: AB= {pmatrix{`1`&`1`#`2`&`3`}}{pmatrix{`-1`&~~a`#~~b`&`-1`}}`= {pmatrix{`-1+b`&a-1`#-2+3b`&`2a-3`}}``] … ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: -1+b = 0], [eqn: a-1=1], [eqn: -2+3b=1], [eqn: 2a-3 = 1]이므로 [eqn: a=2], [eqn: b=1]

∴ [eqn: a+b =3]

7. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 함숫값을 구한다.

점 [eqn: rm C]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: 1 over16]이므로 점 [eqn: rm C left( ita,``1 over 16right)]로 놓으면

[eqn: left( 1 over 2right)^a = 1 over 16], [eqn: 2^{ - a} = 2^-4]에서 [eqn: a=4]

∴ [eqn: rm C left( it4,``1 over 16right)]

따라서 점 [eqn: \B]의 좌표는 [eqn: rm B left( it4,``4right)]이므로 점 [eqn: rm A]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 4]이다.

점 [eqn: rm A left( itb,`` 4right)]로 놓으면

[eqn: left( 1 over 2right)^b = 4], [eqn: 2^{ - b} = 2^2]에서 [eqn: b=-2]

따라서 점 [eqn: rm A]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: -2]이다.

8. [출제의도] 치환을 이용하여 지수방정식의 해를 구한다.

[eqn: 2^2x+1 - 9`·`2^x +4=0`]에서

[eqn: 2 `·` (2^x )^2 - 9`·`2^x +4=0`]

[eqn: 2^x =t ``(t>0)]으로 놓으면 주어진 방정식은

[eqn: 2t^2 -9t+4=0], [eqn: (t-4)(2t-1)=0]

∴ [eqn: t=4] 또는 [eqn: t= 1 over 2]

[eqn: 2^x =4 = 2^2] 또는 [eqn: 2^x = 1 over 2 = 2^-1]

∴ [eqn: x=2] 또는 [eqn: x =-1]

따라서 모든 실근의 곱은 [eqn: 2 times (-1)=-2]

9. [출제의도] 실생활 관련 문제를 행렬의 곱셈으로 표현한다.

[eqn: \A`]학과 일반 전형의 지원자 수는 [eqn: 30 times5.1]

[eqn: \B`]학과 일반 전형의 지원자 수는 [eqn: 40 times10.7]

[eqn: \A`]학과 특별 전형의 지원자 수는 [eqn: 10 times21.4]

[eqn: \B`]학과 특별 전형의 지원자 수는 [eqn: 20 times 11.5]

[eqn: \A`], [eqn: \B`] 두 학과의 일반 전형 지원자 수의 합 [eqn: m]은

[eqn: m=][eqn: 30 times 5.1 + 40 times 10.7]

[eqn: \B`]학과의 일반 전형과 특별 전형 지원자 수의 합 [eqn: n]은

[eqn: n=40 times 10.7 + 20 times11.5]

한편, 두 행렬 [eqn: P= {pmatrix{`30`&`40`#`10`&`20`}} `], [eqn: Q= {pmatrix{`5.1`&`21.4`#`10.7`&`11.5`}} `]에서

[eqn: PQ= {pmatrix{`30 TIMES 5.1+40 TIMES 10.7````&`30 TIMES 21.4+40 TIMES 11.5`#10 TIMES 5.1+20 TIMES 10.7`&`10 TIMES 21.4+20 TIMES 11.5`}} `]

[eqn: QP= {pmatrix{`5.1 times30 + 21.4 times 10````&`5.1 times40+21.4 times20`#10.7 times 30+11.5 times10`&`10.7times 40 + 11.5 times 20`}} `]

이므로 [eqn: m]은 행렬 [eqn: PQ]의 [eqn: (1,``1)]성분과 같고, [eqn: n]은 행렬 [eqn: QP]의 [eqn: (2,``2)]성분과 같다.

따라서 [eqn: m+n]의 값은 행렬 [eqn: PQ`]의 [eqn: (1,``1)`]성분과 행렬 [eqn: QP`]의 [eqn: (2,``2)`]성분의 합과 같다.

10. [출제의도] 지수함수를 활용하여 조건에 맞는 행렬을 찾아 역행렬을 구한다.

[eqn: rmA(1,``2)], [eqn: rmB(2,``4)], [eqn: rmC ``LEFT ( 1,`` {1} over {2} RIGHT )], [eqn: rmD left(2,``1 over 4 right)]이므로

[eqn: a=2], [eqn: b=4], [eqn: c= 1 over 2], [eqn: d= 1 over 4]

행렬 [eqn: P= {pmatrix{`2`&`4`#`1 over 2`&`1 over 4`}}`]이므로

[eqn: P ^{-1} = {1} over {{1} over {2} -2} {pmatrix{```````` {1} over {4} `&`-4`#`- {1} over {2} `&````````2`}} `][eqn: =- {2} over {3} {pmatrix{````````` {1} over {4} `&`-4`#`- {1} over {2} `&````````2`}} `]

[eqn: = {pmatrix{`````- {1} over {6} `&````````` {8} over {3} `#```````````` {1} over {3} `&``- {4} over {3} `}} `]

따라서 [eqn: P^-1]의 모든 성분의 합은

[eqn: - 1 over 6 + 8 over 3 + 1 over 3 - 4 over 3 = 3 over 2]

11. [출제의도] 곡선 위의 두 점을 잇는 직선의 기울기를 구한다.

직선 [eqn: rmAB]의 기울기는

[eqn: m _{1} = {4-2} over {2-1} =2]

직선 [eqn: rm CD]의 기울기는

[eqn: m _{2} = {{1} over {4} - {1} over {2} } over {2-1}][eqn: =][eqn: - 1 over 4]

[eqn: m_2 =km_1]에서 [eqn: - 1 over 4 = 2 k]

∴ [eqn: k=- 1over8]

12. [출제의도] 역행렬을 이용하여 연립방정식의 해를 구한다.

[eqn: f(2)=3`]이므로

[eqn: root {2a+b} = 3`]에서 [eqn: 2a+b=9`] … ㉠

[eqn: g(2)=3`]에서 [eqn: f(3)=2`]이므로

[eqn: root {3a+b} = 2`]에서 [eqn: 3a+b=4`] … ㉡

㉠, ㉡을 행렬로 나타내면

[eqn: pmatrix { ``2``&``1`` # ``3``&``1`` }pmatrix { ``a`` # ``b`` } = pmatrix { ``9`` # ``4`` } `]

[eqn: pmatrix { ``a`` # ``b`` } = { pmatrix { ``2``&``1`` # ``3``&``1`` }}^-1 pmatrix { ``9`` # ``4`` } `]

[eqn: `= {pmatrix{``-1``&`~~1``#`~~3``&``-2``}} {pmatrix{``9``#``4``}} `]

[eqn: m=1`], [eqn: n=3`]

∴ [eqn: m+n=4`]

13. [출제의도] 역행렬의 정의를 이용하여 역행렬의 성분의 합을 구한다.

[eqn: AB=B-A]에서 [eqn: AB+A-B=O]

[eqn: A(B+E)-(B+E)=-E]

[eqn: (A-E)(B+E)=-E]

[eqn: (E-A)(B+E)=E]

∴ [eqn: (B+E) ^{-1} =E-A]

행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합이 [eqn: 10]이므로

행렬 [eqn: B+E]의 역행렬인 행렬 [eqn: E-A]의 모든 성분의 합은 [eqn: 2-10 =-8]이다.

14. [출제의도] 역행렬이 존재하기 위한 조건을 구한다.

[eqn: A= {pmatrix{`3`&`4`#`2`&`1`}}`]에서 [eqn: A - x E= {pmatrix{`3-x`&`4`#`2`&`1-x`}}`]

행렬 [eqn: A-x E]의 역행렬이 존재하려면

[eqn: (3-x)(1-x)-4 times2 !=0]

[eqn: x^2 - 4 x -5 !=0]

[eqn: (x-5)(x+1)!=0]

[eqn: x !=5]이고 [eqn: x!=-1]

조건 [eqn: p]를 만족하는 집합을 [eqn: P], 조건 [eqn: q]를 만족하는 집합을 [eqn: Q]라 할 때

[eqn: P= "{" x``|``x>a "}"]

[eqn: Q= "{"x``|``x< -1 ,``-1<x<5, ``x>5"}"]

[eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이 되려면 [eqn: P⊂Q]이어야 하므로 [eqn: a GEQ 5]이다.

따라서 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 5]이다.

15. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

[eqn: P_1 = 72-65 over 14 times (1.05)^10`][eqn: = 1 over 2 times 1.05^10`] … ㉠

[eqn: 4P_1 = 79-65 over 14 times (1.05)^x`][eqn: = 1.05^x`] … ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: 4 times 1 over 2 times 1.05^10 = 1.05^x`]

[eqn: 1.05^x-10 = 2`]

[eqn: 1.05^14 = 2]이므로

[eqn: 1.05^x-10][eqn: =1.05^14`]

[eqn: x-10 =14`]

∴ [eqn: x=24`]

16. [출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 그래프를 추론한다.

행렬 [eqn: P+Q]의 모든 성분의 합이 [eqn: 18]이므로

[eqn: a+b+c+d +10 = 18]

[eqn: a+b+c+d=8] … ㉠

그래프를 나타내는 행렬 [eqn: P, ``Q]의 각 성분은 [eqn: 0] 또는 [eqn: 1]이므로 행렬 [eqn: P+Q]의 성분이 가질 수 있는 값은 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2]이다.

이때, ㉠에 의해 [eqn: a=b=c=d=2]이므로 두 행렬 [eqn: P,``Q]의 [eqn: (1,``2)]성분, [eqn: (2,``1)]성분, [eqn: (3,``4)]성분, [eqn: (4,``3)]성분은 모두 [eqn: 1]이다.

또한, 행렬 [eqn: P+Q]에서 [eqn: (2,``3)]성분과 [eqn: (3,``2)]성분이 [eqn: 2]이므로 두 행렬 [eqn: P, ``Q]의 [eqn: (2,``3)]성분과 [eqn: (3,``2)]성분은 모두 [eqn: 1]이다.

그러므로 두 행렬 [eqn: P,``Q]가 나타내는 그래프는 각각 적어도 [eqn: 3]개의 변을 가진다.

∴ [eqn: p ge3], [eqn: q ge3] … ㉡

행렬 [eqn: P+Q]의 모든 성분의 합이 [eqn: 18]이므로 [eqn: p+q = 9]이다.

㉡에서 [eqn: p = 6], [eqn: q = 3] 또는 [eqn: p = 3], [eqn: q = 6]일 때, [eqn: |`p-q`|]의 최댓값은 [eqn: 3]이다.

[참고]

조건을 만족시키는 두 행렬은 각각

[eqn: {pmatrix{`0&``1`&`1`&`1`#`1&``0`&`1`&`1`#`1&``1`&`0`&`1`#`1&``1`&`1`&`0`}}], [eqn: {pmatrix{`0&``1``&0``&0`#`1&``0``&1``&0`#`0&``1``&0``&1`#`0&``0``&1``&0`}}]

이다.

17. [출제의도] 행렬의 거듭제곱을 구하는 과정을 추론한다.

[eqn: A ^{2} -2A+E=O`]에서

[eqn: A ^{2`}-A = A-E`]

[eqn: A ^{3} -A ^{2} =A(A^2 -A)`][eqn: =A(A-E)`][eqn: =A ^{2} -A`]

[eqn: =A-E`]

[eqn: A ^{4} -A ^{3} =A(A ^{3} -A ^{2} )`][eqn: =A(A-E)`][eqn: =A ^{2} -A`]

[eqn: =A-E`]

[eqn: VDOTS`]

[eqn: A ^{n} -A ^{n-1} =A-E`]

위 등식들을 변끼리 더하면

[eqn: (A^n -A^n-1 )+(A^n-1 - A^n-2 )+ `cdots`+(A^3 -A^2 )+(A^2 -A)]

[eqn: = (A-E)+(A-E) +`cdots`+(A-E)+(A-E)]

이 식을 정리하면

[eqn: A ^{n} -A= BOX{```(n-1)^{`}``} `(A-E)`]

∴ [eqn: A^n = box{``n^{`}``} ` A - box{``(n-1)^{`}``}`E`]

따라서 [eqn: f(n)=n-1], [eqn: g(n)=n]이므로

[eqn: f(100)+g(100)=99+100=199]

[참고]

[eqn: A ^{2} -2A+E=O`]에서 [eqn: A ^{2`}-A = A-E`]이므로

[eqn: A^n - A ^n-1 = A^n-2 (A^2 -A)][eqn: =A^n-2 (A-E)]

[eqn: =A^n-3 (A^2 -A)][eqn: =A^n-3 (A-E)]

[eqn: VDOTS`]

[eqn: =A(A^2 -A)][eqn: =A (A-E)]

[eqn: =A^2 -A][eqn: =A-E]

18. [출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 명제의 참, 거짓을 판단한다.

ㄱ. [eqn: AB+A^2 =A(B+A)=E`]

[eqn: A^-1 = B+A]

따라서 [eqn: A`]의 역행렬이 존재한다. (참)

ㄴ. [eqn: AB+A^2 =E]에서

[eqn: AB=E-A^2] … ㉠

ㄱ에서 [eqn: A^-1 = B+A`]이므로

[eqn: A(B+A)=][eqn: (B+A)A=E`]

[eqn: BA+A^2 =E`]

[eqn: BA=E-A^2] … ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: AB=BA`] (참)

ㄷ. ㄴ에서 [eqn: AB=BA`]이므로

[eqn: AB+BA =A^2 +B^2 `]에서

[eqn: 2AB=A^2 +B^2`] … ㉢

[eqn: AB+A^2 =E]에서

[eqn: A^2 = E-AB]  … ㉣

㉣을 ㉢에 대입하면

[eqn: 2AB=E-AB+B^2]

[eqn: 3AB-B^2 =E`]

[eqn: (3A-B)B=E`]

∴ [eqn: B^-1 =3A-B`]

[eqn: p=3], [eqn: q=-1]이므로 [eqn: p+q=2] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

19. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 조건을 만족하는 점의 좌표를 구한다.

직선 [eqn: x=3]이 두 곡선과 만나는 점은 각각

[eqn: rm P LEFT ( it 3~,~ left(sqrt {3} right)^3 RIGHT )], [eqn: rm Q LEFT ( it 3~,~ -left(sqrt {3} right)^3 RIGHT )]이므로

∴ [eqn: rm bar{PQ} =2` left(sqrt {3} right)^3 = 6sqrt3]

삼각형 [eqn: rm PQT]는 한 변의 길이가 [eqn: 6sqrt { 3}]인 정삼각형이다.

점 [eqn: rmM(3,``0)], 삼각형 [eqn: rm PQT]의 무게중심을 [eqn: \G]라 할 때, [eqn: rmbar{PM}=rmbar{QM}]이고 [eqn: rmbar PQ BOT bar MT]이므로 [eqn: \G]는 [eqn: x]축 위에 있다.

한편, [eqn: rm bar MT = sqrt 3 over 2 times bar PQ = sqrt3 over 2 times 6 sqrt3 = 9]이므로

[eqn: rm bar MG = 1 over 3 times bar MT = 1 over 3 times 9 = 3]

따라서 무게중심 [eqn: \G]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 3 +3 =6]이다.

20. [출제의도] 지수함수의 그래프에서 조건을 만족하는 원의 개수를 추론한다.

반지름의 길이가 [eqn: r]이고 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 모두 접하는 원의 중심의 좌표는

[eqn: (r,``r)], [eqn: (r,``-r)], [eqn: (-r,``r)], [eqn: (-r,``-r)]

꼴이므로 원의 중심이 직선 [eqn: y=x] 또는 [eqn: y=-x] 위에 있다.

그러므로 원의 중심이 곡선 [eqn: y=2`^x +n] 위에 있고 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 모두 접하는 원의 개수는 곡선 [eqn: y=2^x +n]과 직선 [eqn: y=x] 또는 [eqn: y=-x]의 교점 중 원점이 아닌 점의 개수와 같다.

(ⅰ) [eqn: n =-2]일 때,

곡선 [eqn: y=2`^x -2]는 직선 [eqn: y=x]와 원점이 아닌 서로 다른 두 점에서 만나고, 직선 [eqn: y=-x]와 원점이 아닌 한 점에서 만난다.

∴ [eqn: f(-2) =2+1=3]

(ⅱ) [eqn: n=0]일 때,

곡선 [eqn: y=2`^x]은 직선 [eqn: y=x]와 만나지 않고, 직선 [eqn: y=-x]와 원점이 아닌 한 점에서 만난다.

∴ [eqn: f(0)=1]

(ⅲ) [eqn: n =2]일 때,

곡선 [eqn: y=2`^x +2]는 직선 [eqn: y=x]와 만나지 않고, 직선 [eqn: y=-x]와 원점이 아닌 한 점에서 만난다.

∴ [eqn: f(2)=1]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여

[eqn: f(-2) +f(0) +f(2)]

[eqn: = 3+1+1=5]

21. [출제의도] 해가 무수히 많을 조건을 이용하여 직선의 기울기의 최댓값을 구한다.

[eqn: {pmatrix{`a``&``-1`#`b``&``a-2`}} {pmatrix{`x`#`y`}} = {pmatrix{`x`#`y`}}`]에서

[eqn: {pmatrix{`a``&``-1`#`b``&``a-2`}} {pmatrix{`x`#`y`}} = {pmatrix{`1&```0`#`0&```1`}} {pmatrix{`x`#`y`}} `]

[eqn: {pmatrix{a-1````&-1#b````&a-3}} {pmatrix{x#y}} = {pmatrix{0#0}}]

연립방정식이 [eqn: x=0], [eqn: y=0] 이외의 해를 가지므로 행렬 [eqn: {pmatrix{a-1````&-1#b````&a-3}}]의 역행렬이 존재하지 않는다.

[eqn: (a-1)(a-3)+b=0]

[eqn: b= -a^2 +4a-3] ([eqn: a>0], [eqn: b>0])

즉, 점 [eqn: {\P}(a,``b)]는 곡선 [eqn: y = - x^2 +4x-3]의 제[eqn: 1]사분면에 있는 부분 위의 점이다.

직선 [eqn: rm OP]의 기울기를 [eqn: m]이라 하면 직선 [eqn: rm OP]의 방정식은 [eqn: y=mx]이다.

직선 [eqn: rmOP]가 곡선 [eqn: y = - x^2 +4x-3]과 제[eqn: 1]사분면에서 서로 접할 때 직선 [eqn: rmOP]의 기울기 [eqn: m]은 최댓값을 갖는다.

두 식 [eqn: y=mx], [eqn: y = - x^2 +4x-3]을 연립하면

[eqn: mx = -x^2 +4x-3]

[eqn: x^2 +(m-4)x+3=0] … ㉠

㉠의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D= (m-4)^2 -12 =0]

∴ [eqn: m= 4-2sqrt3] 또는 [eqn: m = 4+2sqrt3]

[eqn: 0<m<1]이므로 [eqn: m= 4-2sqrt3]

[다른 풀이]

원점 [eqn: rm O]와 곡선 위의 점 [eqn: rm P(it a,``b)] ([eqn: 1 < a < 3])을 지나는 직선의 기울기는

[eqn: {b-0} over {a-0} = b overa]

[eqn: ={-a ^{2} +4a-3} over {a}]

[eqn: = -a + 4 - 3 over a]

[eqn: =4- left( a + 3 over a right)]

[eqn: a]는 양수이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의해

[eqn: a + 3 over a ≥2 sqrt{ a `·`3 over a} = 2 sqrt 3]

(단, 등호는 [eqn: a = 3 over a], 즉 [eqn: a= sqrt3]일 때 성립)

[eqn: sqrt3]은 [eqn: a]의 범위에 포함되므로

(직선 [eqn: rm OP]의 기울기)=[eqn: 4- left( a + 3 over a right)][eqn: le4-2 sqrt { 3}]

22. [출제의도] 역행렬을 이용하여 연립방정식의 해를 구한다.

[eqn: {pmatrix{``````2&`-3`#`-5`&````````8`}} {pmatrix{`x`#`y`}} = {pmatrix{`1`#`2`}} `]에서

[eqn: {pmatrix{`x`#`y`}} = {pmatrix{`````````2`&``-3`#`-5`&`````````8`}} ^{-1} {pmatrix{`1`#`2`}} `]

[eqn: = 1 over {16-15} {pmatrix{``8`&`3`#``5`&`2`}} {pmatrix{`1`#`2`}}`]

[eqn: = {pmatrix{`14`#`9`}}`]

∴ [eqn: alpha +beta=14 + 9=23]

23. [출제의도] 행렬의 연산의 성질을 이용하여 행렬의 합을 구한다.

[eqn: A+2B=` {pmatrix{`5`&`13`#`2`&`10`}} `], [eqn: 2A+B`=` {pmatrix{``4``&``11``#``1``&``11``}} `]에서

두 식을 변끼리 더하면

[eqn: 3A+3B= {pmatrix{``9``&``24``#``3``&``21``}} `]

∴ [eqn: A+B= {pmatrix{``3``&``8``#``1``&``7``}} `]

따라서 모든 성분의 합은

[eqn: 3+8+1+7=19]

[다른 풀이]

[eqn: A+2B=` {pmatrix{`5`&`13`#`2`&`10`}} `] … ㉠

[eqn: 2A+B`=` {pmatrix{``4``&``11``#``1``&``11``}} `] … ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 3A=` {pmatrix{`3`&`9`#`0`&`12`}} `]

∴ [eqn: A=` {pmatrix{`1`&`3`#`0`&`4`}} `]

㉡에 대입하면 [eqn: B=` {pmatrix{`2`&`5`#`1`&`3`}} `]

24. [출제의도] 지수방정식의 해를 구한다.

방정식 [eqn: 2^x+3 - 2^x = n]에서 [eqn: 7 `· `2 ^{x} =n]

주어진 방정식이 정수인 해를 갖기 위해서는 [eqn: n = 7 `· ` 2^k]([eqn: k]는 음이 아닌 정수)의 꼴이어야 한다.

이 조건을 만족하는 두 자리 자연수는 [eqn: 14,~ 28,~ 56]이므로 모든 두 자리 자연수 [eqn: n]의 값의 합은

[eqn: 14 + 28 + 56=98]

25. [출제의도] 행렬의 거듭제곱을 구한다.

[eqn: A^2 =][eqn: {pmatrix{``2``&``-1``#``5``&``-2``}} ^2 =][eqn: {pmatrix{``2``&``-1``#``5``&``-2``}} {pmatrix{``2``&``-1``#``5``&``-2``}}]

[eqn: ={pmatrix{``-1``&````````0``#````````0``&``-1``}} =-E]

[eqn: A^4 = (-E)^2 = E]

[eqn: A^2013 = (A^4 )^503 A][eqn: = E ^503 A][eqn: = A]

따라서 [eqn: A^2013]의 모든 성분의 합은

[eqn: 2-1+5-2=4]

[참고]

[eqn: n]이 자연수일 때,

[eqn: A^4n-3 =A], [eqn: A^4n-2 = -E], [eqn: A^4n-1 =-A], [eqn: A^4n =E]

26. [출제의도] 조건을 만족하는 그래프의 변의 개수를 구한다.

[eqn: m`n]의 값이 홀수이려면 [eqn: m], [eqn: n]이 모두 홀수이어야 한다.

따라서 변의 개수는 [eqn: 6]개의 점 중 서로 다른 두 점을 선택하는 경우의 수에서 세 점 [eqn: {\A_1}], [eqn: {\A_3}], [eqn: {\A_5}] 중 서로 다른 두 점을 선택하는 경우의 수를 빼면 된다.

[eqn: `_6 {rmC}_2 - `_3 {rmC}_2`][eqn: = 15-3 =12`]

[다른 풀이]

조건을 만족하도록 그래프를 그리면 다음과 같다.

따라서 변의 개수는 [eqn: 12`]개

27. [출제의도] 지수부등식의 해를 구한다.

부등식 [eqn: 2 ^{2x} +3 `·`2 ^{x+1} -a<0]의 해가 [eqn: x<3]이므로 [eqn: 2^x <8]

[eqn: 2 ^{2x} +3 `·`2 ^{x+1} -a = (2^x -8)(2^x +14)][eqn: <0]

양변을 비교하면

[eqn: -a = -112]

∴ [eqn: a=112]

[다른 풀이]

[eqn: 2 ^{2x} +3 `·`2 ^{x+1} -a<0]에서 [eqn: 2^x = t]([eqn: t>0])라 하면

집합 [eqn: A]에서 [eqn: 0<t<8]

집합 [eqn: B]에서 [eqn: t^2 + 6t -a<0][eqn: (t>0)]

함수 [eqn: f(t) = t^2 +6t -a]([eqn: t>0])의 그래프에 대하여 [eqn: t]축 보다 아래에 있는 [eqn: t]값의 범위가 [eqn: 0<t<8]이 되기 위해서는 [eqn: f(8) =0]이어야 한다.

[eqn: f(8 ) = 64+48-a =0]

∴ [eqn: a=112]

28. [출제의도] 역행렬이 존재하지 않을 조건을 이용하여 도형의 길이를 구한다.

행렬 [eqn: {pmatrix{`1`&`9 ^{-a}`#`27`&`3 ^{b}}`}`]의 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: 1 `·` 3^b - 9^-a`·`27 =0]

[eqn: 3^b = 3^{-2a+3]

∴ [eqn: b= -2a+3]

[eqn: a ≥0], [eqn: b ≥0]이므로 점 [eqn: (a,``b)]가 나타내는 도형의 길이는 직선 [eqn: y=-2x+3]이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 두 점 [eqn: left( 3 over 2 ,``0right)], [eqn: (0,``3)]을 양 끝점으로 하는 선분의 길이와 같다.

따라서 구하는 값은

[eqn: 4`l^2 = 4 left(9 over4 + 9 right)= 45]

29. [출제의도] 행렬의 연산과 역행렬의 성질을 이용하여 조건을 만족시키는 행렬을 구한다.

조건 (가)에서

[eqn: 2A ^{2} -A=E]

[eqn: A(2A-E)=E]

[eqn: A ^{-1} =2A-E] … ㉠

조건 (나)에서 등식의 양변의 왼쪽에 [eqn: A ^{-1}]을 곱하면

[eqn: LEFT ( ` {matrix{3#0}} ` RIGHT )][eqn: =A ^{-1}][eqn: LEFT ( ` {matrix{1#2}} ` RIGHT )]

㉠에서 [eqn: LEFT ( ` {matrix{3#0}} ` RIGHT )][eqn: =(2A-E)][eqn: LEFT ( ` {matrix{1#2}} ` RIGHT )]

[eqn: 2A LEFT ( ` {matrix{1#2}} ` RIGHT )][eqn: -][eqn: LEFT ( ` {matrix{1#2}} ` RIGHT )][eqn: =][eqn: LEFT ( ` {matrix{3#0}} ` RIGHT )]

[eqn: 2A LEFT ( ` {matrix{1#2}} ` RIGHT )][eqn: =][eqn: LEFT ( ` {matrix{4#2}} ` RIGHT )]

[eqn: A LEFT ( ` {matrix{1#2}} ` RIGHT )][eqn: =][eqn: LEFT ( ` {matrix{2#1}} ` RIGHT )] … ㉡

조건 (다)에서 등식의 양변의 왼쪽에 [eqn: B]를 곱하면

[eqn: B(A-B ^{-1} )][eqn: LEFT ( ` {matrix{1#2}} ` RIGHT )][eqn: =][eqn: B][eqn: LEFT ( ` {matrix{0#0}} ` RIGHT )]

[eqn: BA][eqn: LEFT ( ` {matrix{1#2}} ` RIGHT )][eqn: -][eqn: LEFT ( ` {matrix{1#2}} ` RIGHT )][eqn: =][eqn: LEFT ( ` {matrix{0#0}} ` RIGHT )]

[eqn: BA][eqn: LEFT ( ` {matrix{1#2}} ` RIGHT )][eqn: =][eqn: LEFT ( ` {matrix{1#2}} ` RIGHT )]

㉡에서 [eqn: BA][eqn: LEFT ( ` {matrix{1#2}} ` RIGHT )][eqn: =B][eqn: LEFT ( ` {matrix{2#1}} ` RIGHT )][eqn: =][eqn: LEFT ( ` {matrix{1#2}} ` RIGHT )]이므로

[eqn: B][eqn: LEFT ( ` {matrix{2#1}} ` RIGHT )][eqn: =][eqn: LEFT ( ` {matrix{1#2}} ` RIGHT )]

∴ [eqn: a=1], [eqn: b=2]이므로 [eqn: a+b =3]

[다른 풀이]

조건 (가)에서 등식의 양변의 오른쪽에 행렬 [eqn: LEFT ( ` {matrix{3#0}} ` RIGHT )]을 곱하면

[eqn: (2A^2 -A-E) LEFT ( ` {matrix{3#0}} ` RIGHT ) = LEFT ( ` {matrix{0#0}} ` RIGHT )]

[eqn: 2A^2 {pmatrix{3#0}} -A {pmatrix{3#0}} - {pmatrix{3#0}} = LEFT ( ` {matrix{0#0}} ` RIGHT )]

조건 (나)에서

[eqn: 2A {pmatrix{1#2}} -{pmatrix{1#2}} - {pmatrix{3#0}} = LEFT ( ` {matrix{0#0}} ` RIGHT )]

[eqn: A {pmatrix{1#2}} = {pmatrix{2#1}}] … ㉠

조건 (다)와 ㉠에서

[eqn: A pmatrix{1#2}-B ^{-1} pmatrix{1#2} = pmatrix{0#0}]

[eqn: B^-1][eqn: LEFT ( ` {matrix{1#2}} ` RIGHT )][eqn: =][eqn: A pmatrix{1#2}][eqn: =LEFT ( ` {matrix{2#1}} ` RIGHT )]

이 등식의 양변의 왼쪽에 [eqn: B]를 곱하면

[eqn: B][eqn: LEFT ( ` {matrix{2#1}} ` RIGHT )][eqn: =][eqn: LEFT ( ` {matrix{1#2}} ` RIGHT )]

∴ [eqn: a+b = 3]

30. [출제의도] 부등식의 영역을 이용하여 지수함수의 최댓값을 구한다.

집합 [eqn: A cup B`]를 나타내는 영역은 그림과 같다.

[eqn: left( 1 over 2 right)^3x+4y]에서 [eqn: 0< 1over2 <1]이므로

[eqn: 3x+4y]가 최솟값을 가질 때, [eqn: left( 1 over 2 right)^3x+4y]은 최댓값을 갖는다.

[eqn: 3x+4y=k]로 놓으면 직선 [eqn: y = - 3 over 4 x + k over 4]가 제[eqn: 3]사분면에서 원과 접할 때, [eqn: k]의 값이 최소이다.

따라서 [eqn: {|`-k`|} over {sqrt{3^2 +4^2 }} = 1], [eqn: k = -5] (∵ [eqn: k<0])

∴ [eqn: M_1 =][eqn: left( 1 over 2 right)^-5 = 32]

또, [eqn: 2^3x-4y]에서 [eqn: 2>1]이므로 [eqn: 3x-4y]가 최댓값을 가질 때, [eqn: 2^3x-4y]은 최댓값을 갖는다.

[eqn: 3x-4y=k]로 놓으면 직선 [eqn: y = 3 over 4 x - k over 4]가 점 [eqn: (1,``-1)]을 지날 때, [eqn: k]의 값이 최대이다.

[eqn: k = 3 `·`1 -4`·`(-1 )=7]

∴ [eqn: M_2 =][eqn: 2^7 = 128]

따라서 [eqn: M_1 + M_2 = 32+128=160]