[eqn: 5 TIMES 9^{ { 1} over {2 }}]의 값은? [2점]

2016학년도 11월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(나형)

제 2 교시

수학 영역(나형)

수학 영역(나형)

① [eqn: 5]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 25]	④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 45]

12

두 집합 [eqn: A= LEFT { `1,``3,``5,``7,``9 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { `5,``7,``9 RIGHT }]에 대하여
집합 [eqn: A SMALLINTER B`]의 원소의 개수는? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{4n ^{2} +n} over {5n ^{2} -7}}]의 값은? [2점]

① [eqn: 1 over 5]	② [eqn: 2 over 5]	③ [eqn: 3 over 5]	④ [eqn: 4 over 5]	⑤ [eqn: 1]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +3x]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x+1]의 역함수가 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]일 때, [eqn: g LEFT ( 4 RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``x ^{2} +3 _{`{} _{`}} ```````&LEFT ( x != 3 RIGHT ) _{{`} _{` }}#`````````a ^{{`} ^{`}} `````````````````````&LEFT ( x=3 RIGHT ) ^{{`} ^{`}}}}]

이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

명제

‘[eqn: x = 4]이면 [eqn: 2x^2 -ax +12= 0]이다.’

가 참이 되도록 하는 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {3x^2 dx}]

이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1]일 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: 20]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 24]	④ [eqn: 26]	⑤ [eqn: 28]

양수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: 18a + {1 } over {2a }]의 최솟값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

공비가 [eqn: 1over3]이고 모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left{ a_n right}]에 대하여
[eqn: a _{3} `a _{5} =1]일 때, [eqn: a_2]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 12]

함수 [eqn: y= f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y= f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: lim _{x` -> `0-} { f LEFT ( x RIGHT ) `+ lim _{x` -> `1+} { f LEFT ( x RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( 2a _{n} -5 RIGHT ) =6]

일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{4a _{n}} over {2a _{n} -3}}]의 값은? (단, [eqn: a _{n} != {3} over {2}]) [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: {11} over {2}]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: {13} over {2}]	⑤ [eqn: 7]

실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a]는 [eqn: 2]의 세제곱근이고 [eqn: sqrt2]는 [eqn: b]의 네제곱근
일 때, [eqn: LEFT ( { b} over { a} RIGHT ) ^{3}]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 32]

닫힌 구간 [eqn: LEFT [`0,``5 RIGHT ]]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = x^3 - 9x^2 +15x +a]의
최솟값이 [eqn: -15]일 때, 최댓값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

전체집합 [eqn: U="{"x` |` x`]는 [eqn: 10]이하의 자연수[eqn: "}"]의 두 부분집합
[eqn: A= LEFT { `1,``2,``3 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { `4,``5,``6 RIGHT }]에 대하여 다음 조건을 만족시키는
[eqn: U`]의 부분집합 [eqn: X`]의 개수는? [4점]

(가) [eqn: A -X` = EMPTYSET]

(나) [eqn: B `SMALLINTER X`=emptyset]

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 64]

우물에서 단위 시간당 끌어올리는 물의 양을 양수량이라 한다.
양수량이 일정하면 우물의 수위는 일정한 높이를 유지하게 된다.
우물의 영향권의 반지름의 길이가 [eqn: R`][eqn: rm LEFT ( m RIGHT )]인 어느 지역에
반지름의 길이가 [eqn: r`][eqn: rm LEFT ( m RIGHT )]인 우물의 양수량을 [eqn: Q`][eqn: "("][eqn: rm m ^{3} /]분[eqn: ")"],
원지하수의 두께를 [eqn: H`][eqn: rm LEFT ( m RIGHT )], 양수 중 유지되는 우물의 수심을 [eqn: h][eqn: rm LEFT ( m RIGHT )]
라고 할 때, 다음 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: Q`={k LEFT ( H ^{`2} -h ^{2} RIGHT )} over {`log` LEFT ( {R} over {r} RIGHT )^` }] (단, [eqn: k]는 양의 상수이다.)

우물의 영향권의 반지름의 길이가 [eqn: 512][eqn: rm m]로 일정한 어느 지역에
두 우물 [eqn: A], [eqn: B`]가 있다. 반지름의 길이가 [eqn: 1][eqn: rm m]인 우물 [eqn: A]와 반지름의
길이가 [eqn: 2][eqn: rm m]인 우물 [eqn: B`]의 양수량을 각각 [eqn: Q_A][eqn: "("][eqn: rm m ^{3} /]분[eqn: ")"], [eqn: Q_B`][eqn: "("][eqn: rm m ^{3} /]분[eqn: ")"]
이라 하자.
우물 [eqn: A], [eqn: B`]의 원지하수의 두께가 모두 [eqn: 8][eqn: rm m]일 때, 양수 중 두 우물의
수심이 모두 [eqn: 6][eqn: rm m]를 유지하였다. [eqn: { Q_A} over {Q_ B}]의 값은? [4점]

① [eqn: 4 over 5]	② [eqn: 5 over 6]	③ [eqn: 6 over 7]	④ [eqn: 7 over 8]	⑤ [eqn: 8 over 9]

양수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {ax} over {x+1}]의 그래프의 점근선인
두 직선과 직선 [eqn: y=x]로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 18]일 때,
[eqn: a]의 값은? [4점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

중심이 [eqn: rm O], 반지름의 길이가 [eqn: 6]이고 중심각의 크기가 [eqn: 60 DEG]인
부채꼴 [eqn: rm OA _{1} B _{1}]이 있다.
그림과 같이 호 [eqn: rm A _{1} B _{1}]을 이등분하는 점 [eqn: rm M _{1}]에서 두 선분 [eqn: rm OA _{1}], [eqn: rm OB _{1}]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm P _{1}], [eqn: rm Q _{1}]이라 하고, 중심이 [eqn: rm M _{1}], 반지름의
길이가 [eqn: bar {rm `M _{1} P _{1}]인 부채꼴 [eqn: rm M _{1} P _{1} Q _{1}]을 그린다. 점 [eqn: rm O]를 중심으로 하고
호 [eqn: rm P _{1} Q _{1}]에 접하는 원이 두 선분 [eqn: rm OA _{1}], [eqn: rm OB _{1}]과 만나는 점을 각각
[eqn: rm A _{2}], [eqn: rm B _{2}]라 할 때, 호 [eqn: rm P _{1} Q _{1}], 호 [eqn: rm A _{2} B _{2}], 선분 [eqn: rm P _{1} A _{2}], 선분 [eqn: rm Q _{1} B _{2}]로
둘러싸인  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에 호 [eqn: rm A _{2} B _{2}]를 이등분하는 점 [eqn: rm M _{2}]에서 두 선분 [eqn: rm OA _{2}], [eqn: rm OB _{2}]에
내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm P _{2}], [eqn: rm Q _{2}]라 하고, 중심이 [eqn: rm M _{2}], 반지름의
길이가 [eqn: bar {rm `M _{2} P _{2}]인 부채꼴 [eqn: rm M _{2} P _{2} Q _{2}]를 그린다. 점 [eqn: rm O]를 중심으로 하고
호 [eqn: rm P _{2} Q _{2}]에 접하는 원이 두 선분 [eqn: rm OA _{2}], [eqn: rm OB _{2}]와 만나는 점을 각각
[eqn: rm A _{3}], [eqn: rm B _{3}]이라 할 때, 호 [eqn: rm P _{2} Q _{2}], 호 [eqn: rm A _{3} B _{3}], 선분 [eqn: rm P _{2} A _{3}], 선분 [eqn: rm Q _{2} B _{3}]으로
둘러싸인  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는
부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n` ->` INF } {S _{n}}]의 값은? [4점]

[eqn: rmO]

[eqn: rm A _{3}]

[eqn: rm P _{2}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm B _{3}]

[eqn: rm Q _{2}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm M _{2}]

[eqn: R_2]

[eqn: rm 6]

[eqn: rmO]

[eqn: rm A _{1}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm P _{1}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm M _{1}]

[eqn: 60 DEG]

[eqn: R _{1}]

[eqn: rm Q _{1}]

[eqn: cdots]

[eqn: cdots]

① [eqn: 6 LEFT ( 2 sqrt 3 - pi RIGHT )]	② [eqn: 7 LEFT ( 2 sqrt {3} - pi RIGHT )]	③ [eqn: 8 LEFT ( 2 sqrt {3} - pi RIGHT )]

④ [eqn: 9 LEFT ( 2 sqrt {3} - pi RIGHT )]	⑤ [eqn: 10 LEFT ( 2 sqrt {3} - pi RIGHT )]

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 2k-1 RIGHT ) 2 ^{k-1} = LEFT ( 2n-3 RIGHT ) 2 ^{n} +3] [eqn: CDOTS CDOTS LEFT ( ✽ RIGHT )]

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(1) [eqn: n=1]일 때,
(좌변)[eqn: =LEFT ( 2 times1 - 1 RIGHT ) times 2^0 =1],
(우변)[eqn: = LEFT ( 2 times 1-3 RIGHT ) times 2^1 +3=1]이므로 [eqn: LEFT ( ✽ RIGHT )]이 성립한다.

(2) [eqn: n=m`]일 때, [eqn: LEFT ( ✽ RIGHT )]이 성립한다고 가정하면
[eqn: sum _{k=1} ^{m} LEFT ( 2k-1 RIGHT ) 2 ^{k-1} = LEFT ( 2m-3 RIGHT ) 2 ^{m} +3]이다.

[eqn: n=m+1]일 때, [eqn: LEFT ( ✽ RIGHT )]이 성립함을 보이자.
[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} LEFT ( 2k-1 RIGHT ) 2 ^{k-1}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( 2k-1 RIGHT ) 2 ^{k-1} + LEFT ( `` LEFT . {BOX{``````````(가) _{`} ^{`} `````````}} RIGHT . `` RIGHT ) TIMES 2 ^{m}]

[eqn: = LEFT ( `2m-3` RIGHT ) 2 ^{m} +3+ LEFT ( `` LEFT . {BOX{``````````(가) _{`} ^{`} `````````}} `` RIGHT . RIGHT ) TIMES 2 ^{m} `]

[eqn: =` LEFT ( `` LEFT . {BOX{``````````(나) _{`} ^{`} `````````}} RIGHT . `` RIGHT ) TIMES 2 ^{m+1} +3]

따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 [eqn: LEFT ( ✽ RIGHT )]이 성립한다.

(1), (2)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT ( ✽ RIGHT )]이 성립한다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT (m RIGHT )], [eqn: g LEFT ( m RIGHT )]이라 할 때,

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) ` TIMES `g LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은? [4점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 21]	④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 27]

그림과 같이 양수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=x^2] 위의 점 [eqn: rm P LEFT ( it`t,``t^2 RIGHT )]을
지나고 선분 [eqn: rm OP]에 수직인 직선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rm Q]라 하자.
삼각형 [eqn: rm OPQ]의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, [eqn: lim _{t `->` 0+} {{S `LEFT ( t RIGHT )} over {t}}]의 값은?
(단, [eqn: rm O]는 원점이다.) [4점]

[eqn: rm O]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm P]

[eqn: y=x^2]

[eqn: x]

[eqn: y]

① [eqn: { 1} over { 3}]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 2 over 3]	④ [eqn: 5 over 6]	⑤ [eqn: 1]

실수 [eqn: t]에 대하여 두 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-t RIGHT ) ^{2} -1],   [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{```-x _{` _{`}}``````` &LEFT ( x LEQ 1 RIGHT ) _{{} _{` _{`}}}#``x+2` ^{` ^{`}} ``````````&LEFT ( x>1 RIGHT ) ^{` ^{`}}}}]

의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]라 할 때,
<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: lim _{t` ->` -1+} {h LEFT ( t RIGHT ) =3] ㄴ. 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t=1]에서 연속이다. ㄷ. 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: t=a]에서 불연속이 되는 모든 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 15 over 4]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단 답 형

등차수열 [eqn: left{ a_n right}]에 대하여 [eqn: a_5 - a_3 = 4]일 때, 수열 [eqn: left{ a_n right}]의 공차를
구하시오. [3점]

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -3], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x-1]에 대하여 [eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( 3 RIGHT )]의
값을 구하시오. [3점]

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =5], [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( b _{k} -4 RIGHT ) =50]일 때,
[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 2a _{k}+b_k` RIGHT )]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 1]보다 큰 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: log` _{a} `8=2]일 때, [eqn: 10 TIMES log _{`2} `a]의 값을
구하시오. [3점]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +ax+b]가 [eqn: lim _{h `->` 0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -4} over {h} =3}]을
만족시킬 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a^2 + b^2]의 값을 구하시오.
[4점]

그림과 같이 양수 [eqn: a]에 대하여 직선 [eqn: x=a]와 두 곡선 [eqn: y= sqrt {x}],
[eqn: y= sqrt {3x}]가 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. 점 [eqn: rmB]를 지나고
[eqn: x]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y= sqrt {x}]와 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하고,
점 [eqn: rmC]를 지나고 [eqn: y]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y= sqrt {3x}]와 만나는
점을 [eqn: rmD]라 하자. 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmD]를 지나는 직선의 기울기가 [eqn: {1} over {4}]일 때,
[eqn: a]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y= sqrt {x}]

[eqn: y= sqrt {3x}]

[eqn: x=a]

[eqn: rm A]

[eqn: rm D]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = x^3 - ax]에 대하여
점 [eqn: LEFT ( `0,``16 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y= f LEFT ( x RIGHT )]에 그은 접선의 기울기가 [eqn: 8]일 때,
[eqn: f LEFT ( a RIGHT )]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 상수이다.) [4점]

그림과 같이 자연수 [eqn: n]에 대하여
점 [eqn: rm A LEFT ( `2 it n,``n+3 RIGHT )]을 지나는 기울기가 양수인 직선이
점 [eqn: rm B LEFT ( it `n,``0 RIGHT )]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: n]인 원에 접할 때, 이 직선이 원과 만나는 점을 [eqn: rm `C], [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rm D]라 하자.
사각형 [eqn: rm OBCD]의 둘레의 길이와 넓이를 각각 [eqn: l _{n}], [eqn: S _{n}]이라 할 때,
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{`l _{n} times`S _{n}} over {n ^{3}}}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm O]는 원점이다.) [4점]

[eqn: rm A]

[eqn: x]

[eqn: rm B]

[eqn: rm D]

[eqn: rm C]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

좌표평면에서 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와
원점을 지나는 직선 [eqn: y= g LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서 극댓값 [eqn: 27]을 갖는다.

(나) 함수 [eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]는 [eqn: x=`-3]에서만 미분가능하지 않다.

(다) 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 직선 [eqn: y= g LEFT ( x RIGHT )]는 서로 다른 두 점에서
만난다.

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극솟값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.