• 2교시 수리 영역 •

1	⑤	2	④	3	②	4	③	5	②	6	①	7	①	8	④
9	⑤	10	③	11	③	12	⑤	13	③	14	①	15	④	16	④
17	⑤	18	③	19	②	20	①	21	②	22	[eqn: 173]	23	[eqn: 2]	24	[eqn: 4]
25	[eqn: 22]	26	[eqn: 200]	27	[eqn: 10]	28	[eqn: 7]	29	[eqn: 71]	30	[eqn: 64]

1. [출제의도] 다항식 계산하기

[해설] [eqn: A-BC=( it x+1)-x(x-1)=-x ^{2} +2x+1]

２. [출제의도] 무리수가 같을 조건 이해하기

[해설] [eqn: x+ sqrt {2} x-y+{root2} y +1=0]을 정리하면

[eqn: (x-y+1)+(x+y) sqrt {2} =0]이다.

[eqn: x,~y]가 유리수이므로  [eqn: x-y+1=0]이고  [eqn: x+y=0]

연립하여 풀면 [eqn: x=- {1} over {2}], [eqn: y= {1} over {2}] [eqn: THEREFORE `xy=- {1} over {4}]

3 . [출제의도] 무리식의 성질 이해하기

[해설] [eqn: {sqrt {x+1}} over {sqrt {x-1}} =- sqrt {{x+1} over {x-1}}]이므로

[eqn: x+1>=0``], [eqn: x-1<0] [eqn: therefore`-1<= x<1]

[eqn: sqrt {(x-1) ^{2`} +4x} - sqrt {(x+1) ^{2} -4x}]

[eqn: = sqrt {(x+1) ^{2}} - sqrt {(x-1) ^{2}}]

[eqn: = LEFT | x+1 RIGHT | - LEFT | x-1 RIGHT |]

[eqn: =x+1-(-x+1)]

[eqn: =2x]

4. [출제의도] 집합의 연산 이해하기

[해설] [eqn: A SMALLINTER (A-B)=A]이므로 [eqn: A SMALLINTER B= EMPTYSET]이다.

[eqn: A SMALLINTER B= EMPTYSET]이고 [eqn: A CUP B=U]이므로 [eqn: B= LEFT { `2,~3RIGHT }]

따라서 집합 [eqn: B]의 모든 원소의 합은 [eqn: 5]이다.

5 . [출제의도] 다항식의 나눗셈 이해하기

[해설] [eqn: P ``left( {1} over {2}right )=0]이므로 [eqn: k=2]

[eqn: P`(x)]를 [eqn: x+1]로 나누면

[eqn: P`(x)=(x+1)(6x ^{2} -9x+11)-12]

따라서 몫은 [eqn: 6x^2 -9x+11]이다.

6 . [출제의도] 다항식의 최대공약수의 성질을 이용하여 문제 해결하기

[해설] [eqn: A=x ^{2} +2x-3=(x-1)(x+3)]

[eqn: A]가 [eqn: A], [eqn: B]의 최대공약수이므로 [eqn: B]는 [eqn: A]로 나누어떨어진다.

[eqn: B=x ^{3} +ax ^{2} +x+b=(x-1)(x+3) LEFT ( x- {b} over {3} RIGHT )]라 하면

[eqn: a=4], [eqn: b=-6] [eqn: THEREFORE ~a-b=10]

7 . [출제의도] 명제의 참과 거짓 구별하기

[해설] ㄱ. 역 : [eqn: x=1]이면 [eqn: x ^{3} `=1]이다. (참)

ㄴ. 역 : [eqn: x+y≧2]이면 [eqn: x≧1]이고 [eqn: y≧1]이다. (거짓)

[반례] [eqn: x=0], [eqn: y=3]

ㄷ. 역 : 자연수 [eqn: x, ~y]에 대하여 [eqn: xy]가 짝수이면 [eqn: x^2 +y^2]은 홀수이다. (거짓)           [반례] [eqn: x=2], [eqn: y=4]

8 . [출제의도] 두 직선의 위치 관계 이해하기

[해설] (ⅰ) 수직일 때

[eqn: a`․1+2(a+1)=0]이므로 [eqn: a=- {2} over {3}] [eqn: therefore` m = - 2 over3]

(ⅱ) 평행일 때

[eqn: {a} over {1} = {2} over {a+1} != {2} over {2}] 이므로 [eqn: a ^{2} +a-2=0]이고 [eqn: a != 1]

따라서 [eqn: a=-2] [eqn: therefore` n = - 2]

[eqn: THEREFORE `mn= {4} over {3}]

9 . [출제의도] 대칭이동 이해하기

[해설] 점 [eqn: rm `A(1,~3)]을 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 대칭이동한 점은

각각 [eqn: rm `B(1,~-3)], [eqn: rm `C(-1,~3)]이다.

점 [eqn: rm `D( it `a,~b)]를 [eqn: x]축에 대칭이동한 점은 [eqn: rm `E( it a,~-b)]이다.

세 점 [eqn: rm B,~C,~E]가 한 직선 위에 있으므로 [eqn: rm bar{BC}]의 기울기와 [eqn: rm bar{CE}]의 기울기는 같다.

[eqn: rm bar{BC}]의 기울기는 [eqn: {3-(-3)} over {-1-1} `=`-3]

[eqn: rm bar{CE}]의 기울기는 [eqn: {-b-3} over {a-(-1)} = {-b-3~} over {```a+1}]

[eqn: {-b-3~} over {```a+1} `=`-3] 따라서 [eqn: b=3a]

[eqn: rm bar{AD}]의 기울기는 [eqn: {b-3} over {a-1}][eqn: = {3a-3} over {a-1}][eqn: =3]이다.

10. [출제의도] 실수의 성질을 이용하여 대소 관계 유추하기

[해설] ㄱ. [eqn: {a} over {b} - {a} over {c} `= {a(c-b)} over {bc} `<0] [eqn: THEREFORE ` {a} over {b} `< {a} over {c}]  (참)

ㄴ. [반례] [eqn: a=`-1], [eqn: b=1], [eqn: c=3] (거짓)

ㄷ.  [eqn: {c} over {a-b} - {b} over {a-c} = {c(a-c)-b(a-b)} over {(a-b)(a-c)}]

[eqn: = {(b-c)(-a+b+c)} over {(a-b)(a-c)} `<0]

[eqn: THEREFORE ` {c} over {a-b} `< {b} over {a-c}]  (참)

11. [출제의도] 표준편차를 이용하여 실생활 문제 해결하기

[해설] [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C]의 평균은 모두 12이다.

[eqn: rm A]의 표준편차는 [eqn: {sqrt {70}} over {5}]，[eqn: rm B]의 표준편차는 [eqn: {2 sqrt {5}} over {5}]

[eqn: rm C]의 표준편차는 [eqn: {sqrt {230}} over {5}]

따라서 표준편차가 작은 순서대로 나열하면 [eqn: rm B,~A ,~ C]이다.

12. [출제의도] 이차부등식의 풀이 이해하기

[해설] [eqn: A SMALLINTER B= LEFT { x``□``1<x <= 3 RIGHT }]이므로

[eqn: x^2 +x-a=0] 의 한 근이 1이고, [eqn: x^2 -ax+b=0]의 한 근이 3이다.

따라서 [eqn: a=2], [eqn: b=-3]이다.

[eqn: A= LEFT { x``□``x ^{2} -2x-3 <= 0 RIGHT } `= LEFT { x``□``-1 <= x <= 3 RIGHT }]

[eqn: B= LEFT { x``□``x ^{2} +x-2>0 RIGHT }]

[eqn: = LEFT { x``□``x < - 2 RIGHT .] 또는 [eqn: LEFT . x>`1 RIGHT }]

[eqn: therefore]

[eqn: A CUP B``= LEFT { x``□``x < - 2 RIGHT .] 또는 [eqn: LEFT . x >= -1 RIGHT }]

13. [출제의도] 복소수의 성질을 이용하여 추론하기

[해설] [eqn: {i+1} over {i-1} `=`-i], [eqn: {i-1} over {i+1} =i]이므로 [eqn: LEFT . LEFT . LEFT . `f(n)=`(-i RIGHT ) ^{n} +i ^{n} RIGHT . RIGHT .]

[eqn: k=1,``2,``3,`` CDOTS]에 대하여

(ⅰ) [eqn: n=4k]일 때, [eqn: f(n)=2]

(ⅱ) [eqn: n=4k-1]일 때, [eqn: f(n)=0]

(ⅲ) [eqn: n=4k-2]일 때, [eqn: f(n)=-2]

(ⅳ) [eqn: n=4k-3]일 때, [eqn: f(n)=0]

[eqn: therefore`A= LEFT { `-2,~0,~2` RIGHT }]

ㄱ. [eqn: f(100)=2] (참)

ㄴ. [반례] [eqn: 2+2 NOTIN A] (거짓)

ㄷ. 집합 [eqn: A]의 부분집합의 개수는 8개이다. (참)

14. [출제의도] 사차방정식의 해 구하기

[해설] [eqn: x ^{4} -6x ^{2} +24x-35=0]을 변형하면

[eqn: x ^{4} -2x ^{2} +1-4x ^{2} +24x-36=(x ^{4} -2x ^{2} +1)-4(x ^{2} -6x+9)]

[eqn: LEFT ( `x ^{2} -1` RIGHT ) ^{2} -box{~```^`4(x-3) ^{2}`_```~}``=0]의 좌변을 인수분해하면

[eqn: LEFT ( x ^{2} +2x+ box{`^`~(-7)```_`}` RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -2x+box{~~`^`5`_`~~} `RIGHT ) =0]

15. [출제의도] 연립방정식을 활용하여 실생활 문제 해결하기

[해설] , , 의 한 개의 가격을 각각 [eqn: x]원, [eqn: y]원, [eqn: z]원이라 하자.

[eqn: cases{2x+2y+2z&=10000#````x+2y+3z&=~9000 # 2x+3y+~z&=~9500}]을 연립하여 풀면

[eqn: x=2500], [eqn: y=1000], [eqn: z=1500]이므로 [eqn: rmD]가 지불한 금액은

[eqn: 3x+y+2z=11500](원)이다.

16. [출제의도] 도형의 평행이동 이해하기

[해설]  직선 [eqn: 2x-y+1=0]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동하면 [eqn: 2(x-a)-(y-b)+1=0]

[eqn: 2x - y - 2a + b +1 = 0]이  [eqn: 2x-y+3=0]과 일치하므로

[eqn: -2a + b + 1 = 3]

[eqn: therefore `b=2a+2]

17. [출제의도] 삼각형의 무게중심의 성질 이용하여 문제 해결하기

[해설] [eqn: rm TRIANGLE ADB]에서 [eqn: rmD(-4,`root3 )]이므로 무게중심의 좌표는 [eqn: rmX LEFT ( -2,`sqrt {3} RIGHT )]

[eqn: rm TRIANGLE BEC]에서 [eqn: rmE(0,`-root3 )]이므로 무게중심의 좌표는 [eqn: rm Y LEFT (0,`- {sqrt {3}} over {3} RIGHT )]

정삼각형 [eqn: rmXYZ]의 한 변의 길이는 [eqn: rm bar{XY} = sqrt {{28} over {3}}]이므로

넓이는 [eqn: {sqrt {3}} over {4} TIMES {28} over {3} = {7 sqrt {3}} over {3}]이다.

[eqn: rm A]

[eqn: x]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: y]

[eqn: rm D]

[eqn: rm F]

[eqn: rm E]

[eqn: rm X]

[eqn: rm Y]

[eqn: rm Z]

[eqn: rm O]

18. [출제의도] 이항연산의 정의를 이용하여 유추하기

[해설] [eqn: x◎y]는 [eqn: (x+y)]를 [eqn: 2]로 나눈 나머지이므로

[eqn: x◎y=0] 또는 [eqn: x◎y=1]이다.

자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여

[eqn: a◎b=1]이고 [eqn: {a+b-16} over {2} =1]인 자연수 [eqn: a], [eqn: b]는 존재하지 않으며

[eqn: b◎c =0]이고 [eqn: {b+c-11} over {2} =0]인 자연수 [eqn: b], [eqn: c]는 존재하지 않으므로

조건을 만족하는 경우는

[eqn: a◎b= {a+b-16} over {2} =0], [eqn: b◎c= {b+c-11} over {2} =1]일 때이다.

따라서 이를 만족하는 [eqn: (a, ``b,``c)=][eqn: (4,``12,``1)], [eqn: (5,``11,``2)], [eqn: (6, ``10,``3)], [eqn: cdots], [eqn: (15,``1,``12)]이다.

ㄱ. (참),  ㄴ. (참), ㄷ. (거짓)

19. [출제의도] 절대부등식을 이용하여 최솟값 추론하기

[해설]   [eqn: -p+q+r=l`cdots㉠], [eqn: p-q+r=m`cdots㉡], [eqn: p+q-r=n`cdots㉢]

㉠， ㉡， ㉢ 세 식을 더하면 [eqn: p+q+r = l+m+n]

[eqn: box{`^`~(l+m+n)`_`~} LEFT ( {1} over {l} + {1} over {m} + {1} over {n} RIGHT ) `]

[eqn: = & LEFT { LEFT ( sqrt {l} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( sqrt {m} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( sqrt {n} RIGHT ) ^{2} RIGHT } LEFT { LEFT ( sqrt {{1} over {l}} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( sqrt {{1} over {m}} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( sqrt {{1} over {n}} RIGHT ) ^{2} RIGHT }# >= & (1+1+1) ^{2} = BOX{````` ^{`} 9````` _{`}}]

등호는 [eqn: l=m=n]일 때 성립한다.

따라서 최솟값은 [eqn: 9]이다.

20. [출제의도] 부등식의 영역을 이용하여 문제 해결하기

[해설] 연립부등식 [eqn: cases{`` LEFT | ``x`` RIGHT | `` <= 2` _{`}#` ^{``} LEFT | ``y`` RIGHT | `` <= 2}]를 만족하는 영역은 [그림1]과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: -2]

[eqn: -2]

[eqn: rmO]

[그림1]

[eqn: (x-a) ^{2} +(y-b) ^{2} <= 1]은 중심이 [그림1]의 정사각형 내부와 경계에 있는 점[eqn: (a,```b)]이고  반지름의 길이가 1인 원의 내부이다. 이를 좌표평면 위에 나타내면 [그림2]와 같다.

[그림2]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 3]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

21. [출제의도] 부등식의 영역을 활용하여 실생활 문제 해결하기

[해설]  제품 [eqn: rmA,``B]를 하루에 각각  [eqn: x]개, [eqn: y]개 만든다고 하면

(ⅰ) [eqn: {cases{x >= 0#y >= 0#x+2y <= 15#3x+y <= 20}}]을 만족하는 부등식의 영역은 [그림1]의 색칠된 부분이다.

[eqn: (5,~5)]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: 15]

[eqn: {15} over {2}]

[eqn: 20]

[eqn: 20over3]

[eqn: y]

[그림1]

이때, 순이익 [eqn: 30x+20y=k_1](만 원)은

두 직선 [eqn: x+2y=15], [eqn: 3x+y=20]의 교점 [eqn: (5,~5)]를 지날 때 최대이므로 [eqn: k_1 =30 TIMES 5+20 TIMES 5=250](만 원) [eqn: THEREFORE `a=2500000]

(ⅱ) [eqn: rm Q]의 양이 줄었을 때,

[eqn: {cases{x >= 0#y >= 0#x+2y <= 15#3x+y <= 15}}]를 만족하는 부등식의 영역은 [그림2]의 색칠된 부분이다.

[eqn: (3,~6)]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: 15 over {2}]

[eqn: 15]

[eqn: 15]

[eqn: 5]

[그림2]

이때, 순이익 [eqn: 30x+20y=k_2](만 원)은

두 직선 [eqn: x+2y=15], [eqn: 3x+y=15]의 교점 [eqn: (3,~6)]을 지날 때 최대이므로

[eqn: k_2 =30 TIMES 3+20 TIMES 6=210](만 원) [eqn: THEREFORE `b=2100000]

따라서 [eqn: a-b=400000]이다.

22. [출제의도] 나머지 정리를 이용하여 나머지 구하기

[해설] [eqn: P`(x)=x ^{3} +2x ^{2} -3x+13]이라 하면

[eqn: P`(x)]를 [eqn: x-5]로 나눈 나머지는

[eqn: P`(5)=5 ^{3} +2 TIMES 5 ^{2} -3 TIMES 5+13=173]

23. [출제의도] 유리식의 비례 관계 이해하기

[해설] [eqn: cases{3x-4y+5z=0&CDOTS ①#````x-3y+5z=0 ^{{} ^{}}&CDOTS ② ^{{} ^{{} ^{}}}}]

[eqn: ①-②]하여 정리하면 [eqn: y=2x CDOTS ③]

[eqn: ③]을 [eqn: ②]에 대입하여 정리하면 [eqn: z=x]

[eqn: {3x+5y-5z} over {x+y+z} = {8x} over {4x} =2]

24. [출제의도] 두 원의 위치 관계 이해하기

[해설] 두 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =20]과 [eqn: (x-a) ^{2} +y ^{2} =4]의 교점을 지나는 직선의 방정식은 [eqn: 2ax=a^2 +16]이다.

[eqn: 2ax=a^2 +16]이 원 [eqn: (x-a) ^{2} +y ^{2} =4]의 중심 [eqn: (a,~0)]을 지날 때, 공통현의 길이가 최대가 된다.

[eqn: 2a ^{2} =a ^{2} +16]

[eqn: THEREFORE `a=4``][eqn: (a>0)]

25. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수와의 관계 이해하기

[해설] 이차방정식 [eqn: x^2 -ax+120=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~ beta]라 하면

[eqn: alpha+ beta=a], [eqn: alpha beta=120]

[eqn: alpha,`` beta]는 양의 정수이므로

[eqn: alpha beta =1 TIMES 120=2times60=3 times 40=`cdots`=10 times 12]

따라서 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 10+12=22]이다.

26. [출제의도] 선분의 내분점과 외분점 이해하기

[해설] [eqn: rm B(-1,~3)], [eqn: rm D(3,~-1)]을 지나는 직선의 방정식은 [eqn: y=-x+2]이다.

점[eqn: rm `A,``B,``C,``D,``E]가 한 직선 위에 있으므로

[eqn: rm A( it a,``-a+2)], [eqn: {rmC}(it c,``-c+2)], [eqn: {rm E}(it e,``-e+2)]라 하자.

[eqn: rm B]는 선분 [eqn: rm AC]의 중점이고 [eqn: rm C]는 선분 [eqn: rm AD]를 [eqn: 2 ``:`1]로 내분하는 점이므로 [eqn: rm C]는 선분 [eqn: rm BD]의 중점이다. [eqn: THEREFORE` rm C it ( it 1,~1)]

[eqn: rm B]는 선분 [eqn: rm AC]의 중점이므로 [eqn: {a+1} over {2}`=`-1] [eqn: THEREFORE` a=`-3]

따라서 [eqn: rm`A(-3,~5)]이다.

[eqn: rm`E]는 선분 [eqn: rm`CD]를 [eqn: 3``:`2]로 외분하는 점이므로

[eqn: e= {3 TIMES 3-2 TIMES 1} over {3-2} =7] 따라서 [eqn: rm E(7, ``-5)]이다.

[eqn: rm THEREFORE `{ bar{AE} `^`} ^2} =200]

27. [출제의도] 이차방정식을 이용한 실생활 문제 해결하기

[해설] 기름 값을 [eqn: a]원에서 [eqn: x]% 내리면 [eqn: a left(1- {x} over {100} right)]원

판매량이 [eqn: b`rm`L]에서 [eqn: 2x]% 증가하면 [eqn: b left(1+ {2x} over {100} right )`rm`L]

전체 판매액은 [eqn: ab]에서 [eqn: 8]% 증가하여 [eqn: ab left(1+ {8} over {100} right)]원이 되므로

[eqn: a left(1- {x} over {100} right)b left(1+ {2x} over {100} right)=ab left(1+ {8} over {100} right)]

[eqn: x ^{2} -50x+400=0]

[eqn: x=10] 또는 [eqn: x=40]

[eqn: 0<x<30]이므로  [eqn: x=10]

28. [출제의도] 원과 직선의 위치 관계 이해하기

[해설]  [eqn: x ^{2``}+y^2 =4]와  [eqn: y=ax+2 sqrt { b}]를 연립하면

[eqn: x^2 +(ax+2 sqrt { b})^2 =4]

[eqn: (1+a ^{2} )x ^{2} +4a sqrt {b} x+4b-4=0]

원과 직선이 접하려면

[eqn: {D} over {4}][eqn: =(2a sqrt {b} ) ^{2} -4(1+a ^{2} )(b-1)][eqn: =4a ^{2} -4b+4][eqn: =0]

[eqn: THEREFORE` b=a ^{2} +1]

[eqn: 10]보다 작은 자연수 [eqn: a,``b]에 대해 [eqn: b=a ^{2} +1]인 [eqn: (a,~b)]는 [eqn: (1,~2)]와 [eqn: (2,~5)]이므로 [eqn: b]의 모든 값의 합은 [eqn: 7]이다.

[별해] 원의 중심 [eqn: (0,~0)]에서 직선 [eqn: ax-y+2 sqrt {b} =0]까지의

거리는 [eqn: {LEFT | 2 sqrt {b} RIGHT |} over {sqrt {a ^{2} +1}} `=2]이므로 [eqn: b=a ^{2} +1]

29. [출제의도] 일차부등식 이해하기

[해설] [eqn: a LEFT [ a RIGHT ] -b LEFT [ b RIGHT ] <x<a LEFT [ a RIGHT ] +b LEFT [ b RIGHT ]]이므로

[eqn: a LEFT [ a RIGHT ] -b LEFT [ b RIGHT ] =8]이고  [eqn: a LEFT [ a RIGHT ] +b LEFT [ b RIGHT ] =30]이다.

연립하여 풀면 [eqn: a LEFT [ a RIGHT ] =19], [eqn: b LEFT [ b RIGHT ] =11]

[eqn: LEFT [ a RIGHT ] =n] ([eqn: n]은 양의 정수)라 하면 [eqn: n <= a<n+1]이므로

[eqn: n ^{2} <= a LEFT [ a RIGHT ] <n ^{2} +n]

[eqn: n ^{2} <= 19<n ^{2} +n]을 만족하는 [eqn: n=4]이므로 [eqn: a= {19} over {4}]

같은 방법으로 [eqn: b= {11} over {3}]

[eqn: THEREFORE `8a+9b=71]

30. [출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 현의 길이 구하기

[해설]

[eqn: 16-x]

[eqn: 8]

[eqn: x]

[eqn: x^2 + 8^2 =(16-x)^2]이므로 [eqn: x=6]

직사각형을 좌표평면 위에 그림과 같이 놓으면

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm O]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm P]

[eqn: x]

[eqn: rm G(4,``4)]

[eqn: rm H]

[eqn: rm F(2,``8)]

[eqn: y]

[eqn: rm E(-2,``0)]

직선 [eqn: rm EF]의 방정식은 [eqn: y= 2x + 4]이고

[eqn: bar{rmGH}]는 원의 중심 [eqn: rmG]에서 직선 [eqn: rm EF]까지의 거리이므로 [eqn: 8 over root5]이다.

[eqn: rm bar {PH}= sqrt{4^2 - {left(8 overroot5right)}^2} = 4 over root5]

[eqn: k= rm bar {PQ} `= 2 bar{PH} `= 8 over root5]

[eqn: therefore`5k^2 = 64]