A형 정답

1	④	2	③	3	④	4	③	5	④
6	⑤	7	①	8	①	9	②	10	①
11	⑤	12	③	13	②	14	③	15	⑤
16	①	17	⑤	18	②	19	②	20	④
21	④	22	7	23	160	24	11	25	16
26	32	27	31	28	49	29	40	30	5

A형 해설

1. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 계산하기

[eqn: sqrt {8} TIMES root {4} of {4} =2 ^{{3} over {2} + {1} over {2}} =2 ^{2} =4]

2. [출제의도] 행렬 계산하기

[eqn: AB`-2B` & =(A-2E)B# & = {pmatrix{-1`&``2``#```````3&``2``}} {pmatrix{1&``-2``#``1``&-4}} = {pmatrix{1&`-6#``5``&-14`}}]

따라서 행렬 [eqn: AB-2B]의 모든 성분의 합은 [eqn: -14`]

3. [출제의도] 함수의 극한값 계산하기

[eqn: lim _{x -> 2} {{x ^{3} -a} over {x-2} =b}]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -a`]라 하면 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =0`]이므로 [eqn: a=8`]

[eqn: lim _{x -> 2} {{x ^{3} -8} over {x-2} = lim _{x` -> `2} {LEFT ( x ^{2} +2x+4 RIGHT )} =12} =b]

따라서 [eqn: a+b=20`]

4. [출제의도] 행렬과 그래프 이해하기

그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 모든 성분의 개수는 [eqn: 16`]이므로 [eqn: p+q=16]

[eqn: q=](주어진 그래프의 변의 개수)[eqn: TIMES `2=8], [eqn: p=8]

따라서 [eqn: `p-q=0`]

(예시) [eqn: {pmatrix{`0&`1&`1&`0`#`1&`0&`1&`0`#``1`&1&`0&`1`#`0&`0&`1&`0`}}]

5. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x -> -1+0} {f(x)+} lim _{x -> 1-0} {f(x)} =0+1=1``]

6. [출제의도] 조건부확률 이해하기

두 사건 [eqn: A`]와 [eqn: B`]는 서로 독립이므로

[eqn: rm P][eqn: (B```□``A`)=`][eqn: rm P][eqn: (B`)= {2} over {3} `]

따라서

[eqn: rm P][eqn: (A CUP B`)][eqn: =][eqn: rm P][eqn: (A)+`][eqn: rm P][eqn: (B`)-`][eqn: rm P][eqn: (A SMALLINTER B`)`]
[eqn: rm =P][eqn: (A)+`][eqn: rm P][eqn: (B`)-`][eqn: rm P][eqn: (A) rm P( it B`)][eqn: = {3} over {8} + {2} over {3} - {1} over {4} = {19} over {24}]

7. [출제의도] 함수의 최대, 최소 이해하기

[eqn: f` prime (x)=-3x ^{2} +6x=-3x(x-2)]

[eqn: x]	[eqn: -2]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2]
[eqn: `f`prime(x)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: `f(x)]	[eqn: a+20]	[eqn: SEARROW]	[eqn: a]	[eqn: NEARROW]	[eqn: a+4]

[eqn: x=0]일 때, 최솟값을 가지므로 [eqn: a=-4]

따라서 [eqn: x=-2]일 때, 최댓값은 [eqn: 16]

8. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 수학내적 문제해결하기

함수 [eqn: y=3 ^{x+1} ``]의 그래프를 [eqn: x``]축의 방향으로 [eqn: 3`]만큼 평행이동하면 함수 [eqn: y=3 ^{x-2} `]의 그래프이다.

[eqn: bar{rm AB it} =3``]이고 [eqn: {bar{rm AB it}} = {bar{rm AC it}} ``]이므로 [eqn: bar{rm `AC it} =3``]

점 [eqn: rm `A]의 좌표를 [eqn: LEFT ( `a``,``3 ^{a+1} ` RIGHT ) `]이라 하면

점 [eqn: rm C`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( `a``,``3 ^{a-2} ` RIGHT ) `]이므로 [eqn: {bar{rm `AC it}} =3 ^{a+1} -3 ^{a-2} `][eqn: =3`‧`3 ^{a} - {1} over {9} `‧`3 ^{a} = {26} over {9} `‧`3 ^{a} =3`]

따라서 점 [eqn: rm`A]의 [eqn: y]좌표 [eqn: 3 ^{a+1} = {81} over {26} `]

9. [출제의도] 연립일차방정식과 행렬의 관계를 이용하여 수학내적 문제해결하기

[eqn: x`], [eqn: y`]에 대한 연립일차방정식 [eqn: {pmatrix{t+5&```2#t-1&```t}} {pmatrix{`x`#`y`}} = {pmatrix{```````0&```1`#-1&```0`}} {pmatrix{`x`#`y`}}]에서

[eqn: {pmatrix{t+5&```1#t&````t`}} {pmatrix{`x`#`y`}} = {pmatrix{`0`#`0`}}]이 [eqn: x=0`], [eqn: y=0`] 이외의

해를 가지려면 이차정사각행렬 [eqn: {pmatrix{t+5&```1#``t&`````t`}}]의

역행렬은 존재하지 않아야 한다.

[eqn: t(t+5)-t=t ^{2} +4t=0]

따라서 모든 실수 [eqn: t`]의 값의 합은 [eqn: -4`]

10. [출제의도] 접선의 방정식 이해하기

곡선이 [eqn: rm (1,~1)]을 지나므로 [eqn: a+b=-1]

[eqn: f` prime (x)=6x ^{2} +a]이고 [eqn: f`prime(1)=2] 이므로 [eqn: 6+a=2``]

[eqn: a=-4], [eqn: b=3`]

따라서 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =25]

11. [출제의도] 역행렬의 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: A AST O=A ^{2} =O`]이면 [eqn: A=O] (거짓)
반례) [eqn: A= {pmatrix{0&```0#1&```0}} `]

ㄴ. [eqn: A astB=A ast(-B)`]이므로 [eqn: AB=BA`]이다.
[eqn: (AB) ^{2} =A ^{2} B ^{2} `] (참)

ㄷ. [eqn: A ast E=A``]이므로 [eqn: A ^{2} -A-E=O]
[eqn: A ^{2} -A-E=][eqn: (A+E)(A-2E)+E=O`] [eqn: (A+E)(2E-A)=E`]이므로 [eqn: (A+E) ^{-1} =2E-A`] (참)

따라서 ㄴ, ㄷ

12. [출제의도] 무한수열의 극한을 이용하여 수학내적 문제해결하기

사다리꼴 [eqn: rm P _{it n rm} rm Q _{it n rm} rm Q _{it n rm +1} P _{it n+1 rm} rm]의 꼭짓점의 좌표는

[eqn: rm P _{it n rm} ( it n,~2 ^{n} )], [eqn: rm Q _{it n rm} LEFT ( it n,~ LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} RIGHT )],[eqn: rm Q _{it n+1 rm} LEFT ( itn+1,~ LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n+1} RIGHT ) `],  [eqn: rm P _{it n+1 rm} ( it n+1,~2 ^{n+1} )]

이므로 사다리꼴 [eqn: rm P _{it n rm} rm Q _{it n rm} rm Q _{it n rm +1} P _{it n+1 rm} rm]의 넓이 [eqn: A _{n} = {1} over {2} ·1· LEFT { LEFT ( 2 ^{n} - LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} RIGHT ) + LEFT ( 2 ^{n+1} - LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n+1} RIGHT ) RIGHT }]

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {{A _{n}} over {2 ^{n-1}} = lim _{n -> INF } {LEFT { 1- LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{n} +2- {1} over {3} LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{n} RIGHT } =3}}]

13. [출제의도] 독립시행의 정리 이해하기

시행을 [eqn: `5`]번 한 후 앞면이 나온 횟수를 [eqn: k`]라 하면 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: LEFT ( `k`,~5-k` RIGHT ) `]

점 [eqn: rmP]가 직선 [eqn: x-y=3`] 위에 있으려면

[eqn: k- LEFT ( 5-k RIGHT ) =3`]이므로 [eqn: k=4`]

따라서 [eqn: k=4`]일 확률은

[eqn: {} _{5} {rmC} _{4} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{1} = {5} over {32} `]

14. [출제의도] 여러 가지 수열을 이용하여 수학내적 문제해결하기

[eqn: 1`]번 시행 : [eqn: rm P _{1} (0,`1)], [eqn: rm P _{2} LEFT ( 1,`0 RIGHT )]

[eqn: 2`]번 시행 : [eqn: rm P _{3} LEFT ( 0,`2 RIGHT ) `], [eqn: rm P _{4} LEFT ( 1,`1 RIGHT ) `], [eqn: rm P _{5} LEFT ( 2,`0 RIGHT ) `]

⋮

[eqn: n`]번 시행 : [eqn: rm P _{it {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2} rm} LEFT ( 0,`itn RIGHT ) `], ⋯ , [eqn: rm P _{it {n LEFT ( n+3 RIGHT )} over {2} rm} LEFT ( itn,`0 RIGHT )]

[eqn: {13 TIMES 14} over {2} <100< {13 TIMES 16} over {2} `]

그러므로 [eqn: rm P _{100} ` it (a,```b)]는 시행을 [eqn: 13`]번 한 후 위치할 수 있는 점이다.

[eqn: rm P _{91} LEFT ( `0`,~13` RIGHT ) `], [eqn: cdots`],[eqn: rm P _{104} LEFT ( `13`,~0` RIGHT ) `]

이므로 [eqn: rm P _{100} LEFT ( `9`,~4` RIGHT ) `]

따라서 [eqn: a-b`=5`]

15. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 추론하기

	주어진 식에 의하여 [eqn: (n+1)a _{n+1} =2na _{n} `+n·`2 ^{n+1}] 이다. [eqn: b _{n} = {n} over {2 ^{n}} a _{n} `]이라 하면 [eqn: b _{n+1} =b _{n} + {BOX{`n`}} `~ LEFT ( n` GEQ 1 RIGHT )] 이고 [eqn: b _{1} = {BOX{`6`}} `]이므로 [eqn: b _{n} =` {BOX{`` {n ^{2} -n+12} over {2} ``}} `` LEFT ( n` GEQ 1 RIGHT )] 이다. 그러므로 [eqn: a _{n} `=` {2 ^{n}} over {n} TIMES {BOX{`` {n ^{2} -n+12} over {2} `}} ~ LEFT ( n` GEQ 1 RIGHT )] 이다.

[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =n`], [eqn: p=6`],

[eqn: g LEFT ( n RIGHT ) =b _{n} =6+ sum _{k=1} ^{n-1} `k] [eqn: LEFT ( n` GEQ 2 RIGHT )]

[eqn: g(n)=6+ {n(n-1)} over {2} = {n ^{2} -n+12} over {2}]

따라서 [eqn: f LEFT ( p RIGHT ) +g LEFT ( p RIGHT ) =f LEFT ( 6 RIGHT ) +g LEFT ( 6 RIGHT ) =6+21=27]

16. [출제의도] 무한급수와 정적분의 관계 이해하기

[eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) {k ^{2} +2nk} over {n ^{3}}} &][eqn: = lim _{n -> INF } {` sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) LEFT { LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) +1-1 RIGHT } {1`} over {n}} &][eqn: = lim _{n -> INF } {` sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) LEFT { LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) ^{2} -1 RIGHT } {1`} over {n}} &][eqn: = lim _{n -> INF } {` sum _{k=1} ^{n} LEFT { LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) ^{2} +1 RIGHT } LEFT { LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) ^{2} -1 RIGHT } {1`} over {n}} &]

[eqn: = int _{1} ^{2} {` LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT )} ``dx`= {26} over {5}]

17. [출제의도] 로그와 시그마의 성질을 이용하여 수학내적 문제해결하기

[eqn: a ^{log _{`5} `16} =16 ^{log _{`5} `a} =2 ^{4log _{`5} `a}]이므로

[eqn: 2 ^{4`log _{`5} `a} =2,~2 ^{2} ,~2 ^{3} ,` CDOTS]

[eqn: log _{5} `a= {1} over {4} ,~ {2} over {4} ,~ {3} over {4} ,` CDOTS]

[eqn: a _{1} =5 ^{{1} over {4}} ,~a _{2} =5 ^{{2} over {4}} ,~a _{3} =5 ^{{3} over {4}} ,` CDOTS]

따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{40} log _{`5} `a _{k} ` & = {1} over {4} + {2} over {4} + {3} over {4} +` CDOTS `+ {40} over {4}]

[eqn: = {1} over {4} · {40(40+1)} over {2} =205`]

18. [출제의도] 함수의 연속 이해하기

[eqn: lim _{x -> INF } {{f(x)} over {x ^{2}} `=1}]이므로

[eqn: f(x)`]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수

[eqn: lim _{x -> 1} {{f(x)} over {x-1} `=`k}`]이므로 [eqn: f(x)=(x-1)(x-a)`]

[eqn: lim _{x -> 1} {{f(x)} over {x-1} `=1-a=`k}]

[eqn: h(x)=f(x)g(x)`]가 [eqn: x=2`]에서 연속이므로

[eqn: h(2)= lim _{x -> 2+0} {h(x)`} = lim _{x -> 2-0} {h(x)`}]

[eqn: h(2)=f(2)g(2)=3 LEFT ( 2-a RIGHT ) `]

[eqn: lim _{x -> 2+0} {h(x)`} = lim _{x -> 2+0} {LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( 2-x RIGHT ) =0``}]

[eqn: lim _{x -> 2-0} {h(x)`}= lim _{x -> 2-0} {LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT )]

[eqn: =3 LEFT ( 2-a RIGHT ) ```}]

따라서 [eqn: a`=2`]이므로 [eqn: k=`-1`]

19. [출제의도] 정적분으로 정의된 함수를 이용하여 수학내적 문제해결하기

함수 [eqn: f`'`(x)=(x-a)(x-b)`]이고

(가)에서 [eqn: f(x)`]가 [eqn: x= {1} over {2} `]에서 극값을 가지므로 [eqn: a= {1} over {2} `] 또는 [eqn: b= {1} over {2} `]

[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) -f LEFT ( b RIGHT )]

[eqn: = int _{0} ^{a} {LEFT ( t-a RIGHT ) LEFT ( t-b RIGHT ) dt} `-` int _{0} ^{b} {LEFT ( t-a RIGHT ) LEFT ( t-b RIGHT ) dt}]

[eqn: = int _{0} ^{a} {LEFT ( t-a RIGHT ) LEFT ( t-b RIGHT ) dt} `+` int _{b} ^{0} {LEFT ( t-a RIGHT ) LEFT ( t-b RIGHT ) dt}]

[eqn: = int _{b} ^{a} {LEFT ( t-a RIGHT ) LEFT ( t-b RIGHT ) dt}][eqn: =- {LEFT ( a-b RIGHT ) ^{3}} over {6} = {1} over {6}]

이므로 [eqn: b-a=1`]

[eqn: b= {`1} over {2} `]이면 [eqn: a=- {1} over {2} `]이므로 모순

따라서 [eqn: a= {1} over {2}]이고 [eqn: b= {3} over {2}]이므로 [eqn: a+b=2]

20. [출제의도] 도형과 무한수열의 극한을 이용하여 수학내적 문제해결하기

[eqn: C _{1 rm}]: [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]

[eqn: C _{2 rm}]: [eqn: (x-2) ^{2} +y ^{2} =2 ^{2}]

[eqn: C _{3}]: [eqn: LEFT { x- LEFT ( 2+2 ^{2} RIGHT ) RIGHT } ^{2} +y ^{2} = LEFT ( 2 ^{2} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: C _{itn rm}]: [eqn: LEFT { x- LEFT ( 2+2 ^{2} + CDOTS +2 ^{n-1} RIGHT ) RIGHT } ^{2} +y ^{2} = LEFT ( 2 ^{n-1} RIGHT ) ^{2}]

원 [eqn: C _{itn} `]의 중심의 [eqn: x`]좌표 [eqn: a _{n} =2+2 ^{2} + CDOTS +2 ^{n-1} =2 ^{n} -2] [eqn: LEFT ( n GEQ 2 RIGHT ) `]

원 [eqn: C _{itn} `]의 반지름의 길이 [eqn: r _{n} =2 ^{n-1} `]

따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {`` {`a _{n}} over {r _{n}}} it = lim _{n` -> ` INF } {`` {2 ^{n} -2} over {2 ^{n-1}}} =2`]

21. [출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 수학내적 문제해결하기

사차함수 [eqn: f(x)`]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이고

함수 [eqn: f(x)`]의 그래프가 직선 [eqn: x=2]에 대해 대칭이므로 [eqn: f(x)=(x-2) ^{4} +a(x-2) ^{2} +b`]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) <f LEFT ( 2 RIGHT ) `]이고 방정식 [eqn: f LEFT ( LEFT | x RIGHT | RIGHT ) =1`]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3`]이려면 [eqn: f(x)`]가 [eqn: x=0`], [eqn: 4`]에서 극솟값 [eqn: 1`]을 갖고 [eqn: x=2`]에서 극댓값을 가져야 한다.

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( 4 RIGHT ) =1]에서 [eqn: 16+4a+b=1]

[eqn: f` prime ` LEFT ( x RIGHT ) =4 LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{3} +2a(x-2)]에서[eqn: f` prime `(0)=f` prime `(4)=0]이므로 [eqn: -32-4a=0`]

[eqn: a=-8], [eqn: b=17`]이므로

[eqn: f(x)=(x-2) ^{4} -8(x-2) ^{2} +17`]

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 극댓값 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =17]

22. [출제의도] 무한급수의 성질 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{inf} (a _{n} -7)`]이 수렴하므로 [eqn: lim _{n-> inf} {(a _{n} -7)=0`}]

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} =7}]

23. [출제의도] 이항정리 이해하기

[eqn: (x+2) ^{6} `]의 전개식에서 [eqn: x ^{3} `]의 계수는

[eqn: {} _{6} rm C _{3} ·`` it 2 ^{3}][eqn: =160`]

24. [출제의도] 미분계수 계산하기

[eqn: f` prime (x)=3x ^{2} -1]이므로 [eqn: f` prime LEFT ( 2 RIGHT ) `=`11]

25. [출제의도] 등차수열 이해하기

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]은 공차가 [eqn: 3`]인 등차수열이므로 [eqn: b _{n} =3n-3+b _{1}]

주어진 조건에 의하여

[eqn: a _{n} =b _{n} -2n`][eqn: =][eqn: n-3+b _{1}]

[eqn: a _{10} =7+b _{1} =11]

[eqn: b _{1} =4]

따라서 [eqn: b _{5} =4+12=16]

26. [출제의도] 로그방정식을 이용하여 수학외적 문제해결하기

주어진 조건에 의하여

[eqn: E _{1} `][eqn: =300R``log _{`a} 16`], [eqn: E _{2} `][eqn: =240R``log _{`a} x`]이고,

[eqn: E _{1} `=E _{2} `]이므로 [eqn: 300R``log _{`a} 16`][eqn: =240R``log _{`a} x`]

[eqn: {5} over {4} `log` _{a} `16=log _{`a`} 32=log` _{a} `x]

따라서 [eqn: x=32`]

27. [출제의도] 상용로그의 성질 이해하기

[eqn: log``x=`1+` alpha `` LEFT ( 0< alpha <1 RIGHT ) `]이라 하자.

[eqn: log` sqrt {x} = {1+alpha} over {2} `]이고 [eqn: log` {1} over {x} =`-2+ LEFT ( 1- alpha RIGHT ) `]

주어진 조건에 의하여 [eqn: {1+ alpha } over {2} =`5 LEFT ( 1- alpha RIGHT ) `]

[eqn: alpha= {9} over {11}]이므로 [eqn: log``x=`1+ {9} over {11} = {20} over {11} `]

따라서 [eqn: p+q=31`]

28. [출제의도] 확률의 덧셈정리를 이용하여 수학외적 문제해결하기

[실행 [eqn: 3]]까지 할 때, 상자 [eqn: rm B`]의 흰 공의 개수가 홀수가 되려면

(ⅰ) [실행 [eqn: 2]]에서 상자 [eqn: rm B`]에서 검은 공 [eqn: 2]개를 상자 [eqn: rmA`]로 넣고 [실행 [eqn: 3]]에서는 상자 [eqn: rmA`]에서 검은 공 [eqn: 1]개, 흰 공 [eqn: 1]개를 상자 [eqn: rm B`]로 넣는 경우
[eqn: rm {{} _{10} C _{2}} over {{} _{12} C _{2}} TIMES {{} _{8} C _{1} TIMES _{2} C _{1}} over {{} _{10} C _{2}} = {8} over {33} `]

(ⅱ) [실행 [eqn: 2]]에서 상자 [eqn: rm B`]에서 검은 공 [eqn: 1]개, 흰 공 [eqn: 1]개를 상자 [eqn: rmA`]로 넣고 [실행 [eqn: 3]]에서는 상자 [eqn: rmA`]에서 흰 공 [eqn: 2]개를 상자 [eqn: rm B`]로 넣는 경우
[eqn: rm {{} _{10} C _{1} TIMES _{2} C _{1}} over {{} _{12} C _{2}} TIMES {{} _{9} C _{2}} over {{} _{10} C _{2}} = {8} over {33} `]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: {8} over {33} + {8} over {33}][eqn: =][eqn: {16} over {33} `]

따라서 [eqn: p+q=49]

29. [출제의도] 정적분의 성질 추론하기

(가)에서 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프는 [eqn: y`]축 대칭

(다)에서 [eqn: int _{-1} ^{1} {LEFT ( 2x+3 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) ``dx= int _{-1} ^{1} {3f LEFT ( x RIGHT ) ``dx=1}} 5]

이므로 [eqn: int _{-1} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) ``dx=5}]

(나)에 의해[eqn: int _{-6} ^{10} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =8 int _{-1} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx=40`} `]

30. [출제의도] 도형과 무한등비급수 추론하기

[eqn: S _{1} =][eqn: 2 LEFT { (]삼각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} `]의 넓이[eqn: )]

[eqn: -(]부채꼴 [eqn: rm B _{1} A _{1} C _{2} `]의 넓이[eqn: ) RIGHT }]
[eqn: =2 LEFT ( 4- {1} over {2} ·8· {pi } over {4} RIGHT ) =2 LEFT ( 4- pi RIGHT )]

[eqn: S _{2} =][eqn: 2 LEFT { (]삼각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} `]의 넓이[eqn: )]

[eqn: -(]부채꼴 [eqn: rm B _{2} A _{2} C _{3} `]의 넓이[eqn: ) RIGHT }]

[eqn: =2 LEFT ( 4- pi RIGHT ) ( sqrt {2} -1) ^{2}]

[eqn: rm {bar{B _{it n rm} C _{it n rm}}} =it2l _{n} ``], [eqn: rm {bar{B _{it n+1 rm} C _{it n+1 rm}}} =it2l _{n+1}]이라 하면 [eqn: rm {bar{A _{it n rm} B _{it n rm}}} = it {bar{rm B _{it n rm} rm C _{it n rm +1} it}} = sqrt {2} l _{n} `]이고[eqn: rm {1} over {2} {bar{rm B _{it n rm} C _{it n rm _{it rm } rm} it rm}} + {1} over {2} {bar{rm B _{it n+1 rm} C _{it n rm _{it rm } rm +1} it rm}} = {bar{B _{it n rm} C _{it n+1 rm}} `]이므로

[eqn: l _{n} +l _{n+1} = sqrt {2} l _{n} `]

[eqn: l _{n+1} = LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) l _{n} `]

[eqn: S _{n+1} = LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{2} S _{n} `]

[eqn: {1} over {4-pi} sum _{n=1} ^{inf} S _{n} = {1} over {4- pi } · {2(4- pi )} over {1-( sqrt {2} -1) ^{2}}][eqn: =1+ sqrt {2}]

[eqn: a=1`], [eqn: b=2`]

따라서 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =5`]