두 집합 [eqn: A= LEFT { `1,``2,``3,``4 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { `1,``3,``5 RIGHT }]에 대하여 집합 [eqn: A SMALLINTER B`]의
모든 원소의 합은? [2점]

2018학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(나형)

제 2 교시

수학 영역(나형)

수학 영역(나형)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

12

[eqn: LEFT ( 3 ^{4} RIGHT ) ^{{1} over {2}}]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 81]

[eqn: {}_{9`} rm P _{2}]의 값은? [2점]

① [eqn: 72]	② [eqn: 76]	③ [eqn: 80]	④ [eqn: 84]	⑤ [eqn: 88]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} =20`]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} (a _{n} -1)]의 값은?

[3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 18]

그림은 함수 [eqn: f:`X`` -> ``Y``]를 나타낸 것이다.

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: -1]

[eqn: -2]

[eqn: -3]

[eqn: -4]

[eqn: X]

[eqn: Y]

[eqn: f]

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +f ^{`-1} LEFT ( -3 RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

자연수 [eqn: 7]을 세 개의 자연수로 분할하는 방법의 수는? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

함수 [eqn: y= sqrt {x} +k]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼,
[eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동시킨 그래프가 점 [eqn: LEFT ( `0,``4` RIGHT )]를
지날 때, 상수 [eqn: k]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

전체집합 [eqn: U= LEFT { `1,``2,``3,``4,``5 RIGHT }]의 부분집합 [eqn: A= LEFT { `1,``2 RIGHT }]에 대하여
[eqn: A SUBSET B`]를 만족시키는 [eqn: U`]의 부분집합 [eqn: B`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

함수 [eqn: y= {3x+2} over {x-2}]의 그래프의 점근선은
두 직선 [eqn: x=m], [eqn: y=n]이다. 두 상수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여
[eqn: m+n]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: y]

[eqn: 4]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: rmO]

[eqn: 1]

[eqn: 4]

[eqn: x]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) + lim _{x` -> `4-} {f LEFT ( x RIGHT )}]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: a _{1} =1]이고 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+1} = {a _{n} +1} over {3a _{n} -2}]

을 만족시킬 때, [eqn: a _{4}]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: log _{`a} ` LEFT ( -2a+14 RIGHT )]가 정의되도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수는? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`` {x ^{2} -2x-3} over {x-3 _{` _{`}}}&~ LEFT ( x != 3 RIGHT ) _{`}#``````a ^{`}&~ LEFT ( x=3 RIGHT ) ^{`}}}]

가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{3n-1} over {n+1}} =a]일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a ^{n+2} +1} over {a ^{n} -1}}]의 값은?
(단, [eqn: a]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

실수 [eqn: x]에 대한 세 조건

[eqn: p`:`x LEFT ( x-3 RIGHT ) LEQ 0]

[eqn: q`:`x>4]

[eqn: r`:` LEFT | x-1 RIGHT | LEQ 2]

에 대하여 <보기>에서 참인 명제만을 있는 대로 고른 것은?

[4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: p` -> `q] ㄴ. [eqn: p` -> `r] ㄷ. [eqn: r` -> SIM q]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

자연수 [eqn: n]에 대하여 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4n ^{2}]과 직선 [eqn: y= sqrt {n}]이
제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a _{n}]이라 할 때,
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( 2n-a _{n} RIGHT )}]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {16}]	② [eqn: {1} over {8}]	③ [eqn: {3} over {16}]	④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {5} over {16}]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? [4점]

(가) [eqn: lim _{x` -> ` INF } {LEFT { {f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2}} +1 RIGHT } =0}]

(나) [eqn: lim _{x` -> `0} {{f LEFT ( x RIGHT ) -3} over {x ^{2}}} = it -1]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} D]가 있다.
정사각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} D]의 두 대각선의 교점을 [eqn: RMB _{2}]라 하고, 점 [eqn: RMB _{2}]에서
두 변 [eqn: rm A _{1} D], [eqn: rm C _{1} D]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm A _{2}], [eqn: rm C _{2}]라 하자.
점 [eqn: rm B _{2}]를 지나고 두 변 [eqn: rm A _{1} B _{1}], [eqn: rm B _{1} C _{1}]에 동시에 접하는 원을 [eqn: O _{`1}]이라
하고, 원 [eqn: O _{`1}]이 두 변 [eqn: rm A _{1} B _{1}], [eqn: rm B _{1} C _{1}]에 접하는 점을 각각 [eqn: rm P _{1}], [eqn: rm Q _{1}]
이라 할 때, 삼각형 [eqn: rm B _{2} P _{1} Q _{1}]의 내부에 색칠하여 얻은 그림을
[eqn: R _{`1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{`1}]에서 정사각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D]의 두 대각선의 교점을 [eqn: rm B _{3}]이라
하고, 점 [eqn: rm B _{3}]에서 두 변 [eqn: rm A _{2} D], [eqn: rm C _{2} D]에 내린 수선의 발을 각각
[eqn: rm A _{3}], [eqn: rm C _{3}]이라 하자. 점 [eqn: rm B _{3}]을 지나고 두 변 [eqn: rm A _{2} B _{2}], [eqn: rm B _{2} C _{2}]에 동시에
접하는 원을 [eqn: O _{`2}]라 하고, 원 [eqn: O _{`2}]가 두 변 [eqn: rm A _{2} B _{2}], [eqn: rm B _{2} C _{2}]에 접하는
점을 각각 [eqn: rm P _{2}], [eqn: rm Q _{2}]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm B _{3} P _{2} Q _{2}]의 내부에 색칠하여
얻은 그림을 [eqn: R _{`2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: "n"]번째 얻은 그림 [eqn: R _{`n}]에 색칠되어 있는
부분의 넓이를 [eqn: S _{`n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{`n}}]의 값은? [4점]

[eqn: rm Q _{2}]

[eqn: rm Q _{1}]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: rm C _{2}]

[eqn: rm C _{3}]

[eqn: rm A _{3}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm D]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rmA _{1}]

[eqn: rm D]

[eqn: rm C _{2}]

[eqn: rm Q _{1}]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rmA _{1}]

[eqn: rm P _{2}]

[eqn: rm P _{1}]

[eqn: rm P _{1}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm B _{3}]

[eqn: R _{`1}]

[eqn: R _{`2}]

[eqn: CDOTS]

[eqn: CDOTS]

[eqn: O _{`1}]

[eqn: O _{`1}]

[eqn: O _{`2}]

① [eqn: {4 sqrt {2} -4} over {3}]	② [eqn: {4 sqrt {3} -5} over {3}]	③ [eqn: {8 sqrt {3} -8} over {9}]	④ [eqn: {4 sqrt {2} -3} over {4}]	⑤ [eqn: {5 sqrt {2} -3} over {6}]

[eqn: 2] 이상의 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: root {3} of {a}]는 [eqn: ab]의 네제곱근이다.

(나) [eqn: log _{`a} `bc+log _{`b} `ac=4]

[eqn: a= LEFT ( {b} over {c} RIGHT ) ^{k}]이 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 값은? [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: {13} over {2}]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: {15} over {2}]	⑤ [eqn: 8]

그림과 같이 자연수 [eqn: n]에 대하여 한 변의 길이가 [eqn: 2n]인
정사각형 [eqn: rm ABCD]가 있고, 네 점 [eqn: rm E], [eqn: rm F], [eqn: rm G], [eqn: rm H]가 각각
네 변 [eqn: rm AB], [eqn: rm BC], [eqn: rm CD], [eqn: rm DA] 위에 있다.
선분 [eqn: rm HF]의 길이는 [eqn: sqrt {4n ^{2} +1}]이고 선분 [eqn: rm HF]와 선분 [eqn: rm EG]가
서로 수직일 때, 사각형 [eqn: rm EFGH]의 넓이를 [eqn: S _{`n}]이라 하자.
[eqn: sum _{n=1} ^{10} `S _{`n}]의 값은? [4점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: rm G]

[eqn: rm H]

① [eqn: 765]	② [eqn: 770]	③ [eqn: 775]	④ [eqn: 780]	⑤ [eqn: 785]

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의
모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( `a,``b,``c,``d RIGHT )]의 개수는? [4점]

(가) [eqn: a+b+c+d=12]

(나) 좌표평면에서 두 점 [eqn: LEFT ( `a,``b RIGHT )], [eqn: LEFT ( `c,``d RIGHT )]는 서로 다른 점이며
두 점 중 어떠한 점도 직선 [eqn: y=2x] 위에 있지 않다.

① [eqn: 125]	② [eqn: 134]	③ [eqn: 143]	④ [eqn: 152]	⑤ [eqn: 161]

단 답 형

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {a _{n}} =2], [eqn: lim _{n` -> ` INF } {b _{n}} = it 1]

일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( a _{n} +2b _{n} RIGHT )}]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {2} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT )}]의 값을 구하시오. [3점]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 세 수 [eqn: a ^{2}], [eqn: 12], [eqn: b ^{2}]이 이 순서대로
등비수열을 이룰 때, [eqn: a TIMES b]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: LEFT ( x+2y RIGHT ) ^{4}]의 전개식에서 [eqn: x ^{2} y ^{2}]의 계수를 구하시오. [3점]

두 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x+a],

[eqn: g` LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``x-2 _{{}_{`}} ```````&LEFT ( x<2 RIGHT ) _{{}_{`}}#``x ^{2 ^{{}^{`}}} ```````&LEFT ( x GEQ 2 RIGHT ) ^{{}^{`}}}}]

에 대하여 [eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) LEFT ( 0 RIGHT ) + LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( 0 RIGHT ) =10]을 만족시키는
상수 [eqn: a]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT ( sqrt {3 ^{n}} RIGHT ) ^{{1} over {2}}]과 [eqn: root {n} of {3 ^{100}}]이
모두 자연수가 되도록 하는 모든 [eqn: n]의 값의 합을 구하시오. [4점]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} `=`159`]

(나) [eqn: a _{m-2} +a _{m-1} +a _{m} `=`96`]인 자연수 [eqn: m]에 대하여
[eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} `=`425``](단, [eqn: m>3`])

[eqn: a _{11}]의 값을 구하시오. [4점]

전체집합 [eqn: U= LEFT { ``x`` RIGHT | ``x]는 [eqn: 10] 이하의 자연수[eqn: LEFT . ` RIGHT }]의
세 부분집합 [eqn: S _{`1}], [eqn: S _{`2}], [eqn: S _{`3}]이

[eqn: n LEFT ( S _{`1} RIGHT ) ` GEQ `3],   [eqn: S _{1} SUBSET S _{`2} SUBSET S _{`3}]

을 만족시킨다. 다음은 집합 [eqn: S _{`1}], [eqn: S _{`2}], [eqn: S _{`3} `]의
모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( `S _{`1} ,``S _{`2} `,``S _{`3} ` RIGHT )]의 개수를 구하는 과정이다.

[eqn: n LEFT ( S _{``1} RIGHT ) ` =k]([eqn: 3 LEQ k LEQ 10], [eqn: k]는 자연수)인 집합 [eqn: S _{`1}]의 개수는
전체집합 [eqn: U`]의 원소 [eqn: 10]개 중 서로 다른 [eqn: k]개를 선택하는
조합의 수와 같으므로 [eqn: {}_{10`} rm C _{it k rm}]이다.

또한 [eqn: S _{`1} SUBSET S _{`2} SUBSET S _{`3}]이므로 집합 [eqn: S _{`1}]에 속하지 않는 원소는
세 집합 [eqn: S _{`2} -S _{`1}], [eqn: S _{`3} -S _{`2}], [eqn: U-S _{`3}] 중 어느 한 집합에
속해야 한다.

그러므로 [eqn: n LEFT ( S _{`1} RIGHT ) `=k]일 때 집합 [eqn: S _{`1}], [eqn: S _{`2}], [eqn: S _{`3}]의
순서쌍 [eqn: LEFT ( `S _{`1} ,``S _{`2} `,``S _{`3} ` RIGHT )]의 개수는 [eqn: LEFT . {}_{10`} rm C _{it k rm} TIMES {BOX{``````````(가) _{`}^{`} `````````}} RIGHT .`]이다.

따라서 [eqn: n LEFT ( S _{`1} RIGHT ) ` GEQ `3], [eqn: S _{1} SUBSET S _{`2} SUBSET S _{`3}]을 만족시키는
순서쌍 [eqn: LEFT ( `S _{`1} ,``S _{`2} `,``S _{`3} ` RIGHT )]의 개수는 이항정리에 의하여

[eqn: LEFT . sum _{k=3} ^{10} rm LEFT ( {}_{10`} rm C _{it k rm} TIMES {BOX{``````````(가) _{`}^{`} `````````}} ` RIGHT ) RIGHT .][eqn: =4 ^{10} - LEFT . {BOX{``````````(나) _{`}^{`} `````````}} RIGHT . ` TIMES 3 ^{8}]

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f LEFT ( k RIGHT )], (나)에 알맞은 수를 [eqn: a]라 할 때,
[eqn: a+f LEFT ( 8 RIGHT )]의 값을 구하시오. [4점]

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 정의역이 [eqn: LEFT { `x``□``x GEQ 0 RIGHT }]인 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {-ax-b+1} over {ax+b}] [eqn: LEFT ( ab>0 RIGHT )]

이 있다. 실수 [eqn: k]에 대하여 정의역이 [eqn: LEFT { `x``□``x GEQ 0 RIGHT }]인 함수

[eqn: g` LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``2k-f LEFT ( x RIGHT ) _{{}_{`}} ```````&LEFT ( `f LEFT ( x RIGHT ) <k RIGHT ) _{{}_{`}}#``f LEFT ( x RIGHT ) ^{`} ```````&LEFT ( `f LEFT ( x RIGHT ) GEQ k RIGHT ) ^{{}^{`}}}}]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim _{x` -> ` INF } {LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} = {1} over {2}]

(나) [eqn: LEFT | g LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT | =1]

(다) 함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프와 직선 [eqn: y=it-k]는
두 점 [eqn: LEFT ( ` {1} over {28} ,``-k RIGHT )], [eqn: LEFT ( `alpha,``-k RIGHT )]에서만 만난다. (단, [eqn: alpha> {1} over {28}])

직선 [eqn: y=m LEFT ( x-4 alpha RIGHT ) + {3} over {4}]이 함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프와 만나는
서로 다른 점의 개수를 [eqn: h LEFT ( m RIGHT )]이라 할 때, 함수 [eqn: h LEFT ( m RIGHT )]이 불연속이
되는 모든 실수 [eqn: m]의 값의 합은 [eqn: M`]이다. [eqn: 252M`]의 값을 구하시오.

[4점]

※ 확인 사항

답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.