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정 답

1	②	2	③	3	③	4	①	5	④
6	②	7	①	8	①	9	③	10	③
11	④	12	⑤	13	④	14	②	15	⑤
16	④	17	③	18	⑤	19	⑤	20	②
21	①	22	[eqn: 9]	23	[eqn: 17]	24	[eqn: 3]	25	[eqn: 24]
26	[eqn: 46]	27	[eqn: 50]	28	[eqn: 32]	29	[eqn: 16]	30	[eqn: 27]

해 설

1. [출제의도] 복소수 계산하기

[eqn: -2i+(2+3i)=2+(-2+3)i=2+i`]

2. [출제의도] 다항식 계산하기

[eqn: LEFT ( 2x-y RIGHT ) LEFT ( x+2y+3 RIGHT ) `][eqn: =2x ^{2} -2y ^{2} +3xy`+6x-3y]

이므로 [eqn: xy`]항의 계수는 [eqn: 3`]이다.

3. [출제의도] 나머지정리를 이용하여 나머지 계산하기

[eqn: P(x)=x ^{3} +3x ^{2} +a]라 하자.

[eqn: P(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지는

[eqn: P(1)=1+3+a=a+4]

이다. [eqn: P(1)=7]이므로 [eqn: a+4=7]이고

따라서	[eqn: a=3]이다.

4. [출제의도] 이차부등식 이해하기

[eqn: x ^{2} -7x+12 GEQ 0`]

[eqn: (x-3)(x-4) GEQ 0`]

[eqn: x LEQ 3] 또는 [eqn: x GEQ 4]

이므로 [eqn: alpha=3,``beta=4]이다.

따라서 [eqn: beta-alpha=1]이다.

5. [출제의도] 조립제법 이해하기

조립제법에 의하여

[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: -3]	[eqn: 5]	[eqn: -5]
		[eqn: 2]	[eqn: -2]	[eqn: 6]
	[eqn: 1]	[eqn: -1]	[eqn: 3]	[eqn: 1]

[eqn: a=-1], [eqn: b=3], [eqn: c=1]이므로 [eqn: abc=-3]이다.

6. [출제의도] 인수분해 이해하기

[eqn: 11 ^{4} -6 ^{4} `=` LEFT ( 11 ^{2} -6 ^{2} RIGHT ) LEFT ( 11 ^{2} +6 ^{2} RIGHT ) `]	[eqn: =(11-6)(11+6) times157`]

[eqn: =5 times 17 times 157`]

이므로 [eqn: a=5,```b=17`]이다.

따라서 [eqn: a+b=5+17`=`22``]이다.

7. [출제의도] 고차다항식 인수분해 이해하기

다항식 [eqn: x ^{4} +7x ^{2} +16]을 인수분해하면

[eqn: x ^{4} +7x ^{2} +16 & =(x ^{4} +8x ^{2} +16)-x ^{2}# ````````````````````````````````````````` & =(x ^{2} +4) ^{2} -x ^{2}# ````````````````````````````````````````` & =(x ^{2} +x+4)(x ^{2} -x+4)]

이므로 [eqn: a=1`,``b=4`]이다.

따라서 [eqn: a+b=5`]이다.

8. [출제의도] 절댓값을 포함한 일차부등식 이해하기

[eqn: LEFT | x-2 RIGHT |<a`]에서

[eqn: -a<x-2<a`]

[eqn: 2-a<x<2+a`]

이다. 이 범위에 속하는 모든 정수 [eqn: x`]의 개수가

[eqn: 2+a-(2-a)-1`][eqn: =2a-1`][eqn: =19`]

이므로 [eqn: a=10`]이다.

9. [출제의도] 삼차방정식 이해하기

조립제법에 의하여

[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: -2]	[eqn: -5]	[eqn: 6]
		[eqn: 1]	[eqn: -1]	[eqn: -6]
[eqn: 3]	[eqn: 1]	[eqn: -1]	[eqn: -6]	[eqn: 0]
		[eqn: 3]	[eqn: 6]
	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 0]

[eqn: x ^{3} -2x ^{2} -5x+6 & =(x-1)(x-3)(x+2)=0]

이므로

[eqn: alpha=-2,``beta=1,``gamma=`3]

이다. 따라서

[eqn: alpha + beta +2 gamma =-2+1+2 TIMES 3=5]

이다.

10. [출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 이용하여 문제 해결하기

이차함수 [eqn: y=-2x ^{2} +5x`]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x+k`]가 적어도 한 점에서 만나기 위해 방정식

[eqn: -2x ^{2} +5x=2x+k`]

[eqn: 2x ^{2} -3x+k=0`]

의 판별식 [eqn: D`]가 [eqn: D GEQ 0`]이어야 한다.

[eqn: D`=(-3) ^{2} -4 TIMES 2 TIMES `k GEQ 0]

[eqn: k LEQ {9} over {8} `]

이므로 실수 [eqn: k`]의 최댓값은 [eqn: {9} over {8} `]이다.

11. [출제의도] 연립방정식 이해하기

[eqn: x=y+2`]를

[eqn: x ^{2} -xy-y ^{2} =5]

에 대입하면

[eqn: LEFT ( y+2 RIGHT ) ^{2} -y LEFT ( y+2 RIGHT ) -y ^{2} `][eqn: =5`]

[eqn: y ^{2} -2y+1=0``]

[eqn: LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} =0``]

이므로 [eqn: y=1`], [eqn: x=3`], 즉 [eqn: alpha=3`,```beta=1`]이다. 따라서

[eqn: alpha+beta=`3+1`=4`]

이다.

12. [출제의도] 곱셈 공식을 이용하여 도형 문제 해결하기

두 정사각형의 넓이의 합은 [eqn: a^2 +(2b)^2]이고 직사각형의 넓이는 [eqn: ab]이므로

[eqn: a ^{2} +4b ^{2} =5ab]

이다. [eqn: ab=4]이고 [eqn: (a+2b) ^{2} =a ^{2} +4b ^{2} +4ab]이므로

[eqn: (a+2b) ^{2} =9ab=36]

이다.

13. [출제의도] 사차방정식 이해하기

주어진 사차방정식의 한 근이 [eqn: -2`]이므로

[eqn: x=-2`]를 대입하면

[eqn: 4a+28=0`]

[eqn: a=-7`]

조립제법에 의하여

[eqn: -2]	[eqn: 1]	[eqn: -1]	[eqn: -7]	[eqn: 1]	[eqn: 6]
		[eqn: -2]	[eqn: 6]	[eqn: 2]	[eqn: -6]
[eqn: -1]	[eqn: 1]	[eqn: -3]	[eqn: -1]	[eqn: 3]	[eqn: 0]
		[eqn: -1]	[eqn: 4]	[eqn: -3]
[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: -4]	[eqn: 3]	[eqn: 0]
		[eqn: 1]	[eqn: -3]
	[eqn: 1]	[eqn: -3]	[eqn: 0]

[eqn: x ^{4} -x ^{3} -7x ^{2} +x+6`][eqn: =(x+2)(x+1)(x-1)(x-3)=0]

이므로

[eqn: x=-2`,``-1`,``1`,``3`]

이다. 따라서 [eqn: a=-7`], [eqn: b=3`]이므로 [eqn: a+b=-4`]이다.

14. [출제의도] 복소수 연산을 통해 식의 값 문제 해결하기

[eqn: alpha= { 1+i} over 2i{ }`]에서

[eqn: alpha^2 = { 2i} over {-4 } = - i over2]

이고, [eqn: beta= { 1-i} over {2i }`]에서

[eqn: beta^2 = { -2i} over {-4 }= i over 2]

이므로 [eqn: 2alpha^2 =-i`], [eqn: 2beta^2 =i]이다.

따라서

[eqn: (2alpha^2 +3)(2beta^2 +3) =(3-i)(3+i)=10`]

이다.

[다른 풀이]

[eqn: alpha+beta = 2 over 2i = 1 over i =-i`], [eqn: alphabeta = 2 over -4 = - 1 over 2]이고

[eqn: alpha ^ 2 + beta ^2 = left ( alpha + beta right ) ^2 - 2 alpha beta = 0`]이므로

[eqn: LEFT ( 2 alpha`^2 +3 RIGHT ) LEFT ( 2 beta`^2 +3 RIGHT )=4 LEFT ( alphabeta RIGHT )^2 + 6 LEFT ( alpha`^2 +beta`^2 RIGHT )+9]

[eqn: = 4 times 1 over 4 + 6 times 0 +9 = 10]

이다.

15. [출제의도] 실수의 성질을 이용하여 이차방정식 문제 해결하기

이차함수 [eqn: y=`-x ^{2} +ax+b]의 그래프와 이차함수

[eqn: y=x ^{2} -3x+1]의 그래프의 교점의 [eqn: x]좌표는 이차방정식

[eqn: -x ^{2} +ax+b=x ^{2} -3x+1]

[eqn: 2x ^{2} -(3+a)x+1-b=0]

의 두 실근이다. [eqn: a,``b]는 유리수이므로 한 근이 [eqn: 1- sqrt {2}]이면 나머지 한 근은 [eqn: 1+ sqrt {2}]이다.

따라서 [eqn: 2x ^{2} -(3+a)x+1-b=0]의 두 근을 [eqn: alpha,``beta]라 하면 근과 계수의 관계에 의해

[eqn: alpha + beta = {3+a} over 2 = 2`], [eqn: alpha beta = {1-b} over 2 = `-1`]

이다. [eqn: a=1,``b=3]이므로 [eqn: a+3b=10`]이다.

16. [출제의도] 이차함수의 그래프를 이용하여 최대 최소 문제 해결하기

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: y=`- {1} over {4} x+1]

[eqn: rm P ( it a, ```b )]

점 [eqn: rm P( it a,``b) rm]는 직선 [eqn: y=`- {1} over {4} x+1] 위의 점이므로

[eqn: b=`- {1} over {4} a+1]이다.

[eqn: b=`- {1} over {4} a+1]을 주어진 식에 대입하면

[eqn: a ^{2} +8b & =a ^{2} +8 LEFT ( - {1} over {4} a+1 RIGHT )# & =a ^{2} -2a`+`8# & = LEFT ( a-1 RIGHT ) ^{2} +7]

이다. 그런데 [eqn: rm A(0,``1)], [eqn: rm B(4,``0)]이므로 [eqn: 0 LEQ a LEQ 4]이다.

따라서 [eqn: a= 1`]일 때, [eqn: a^2 +8 b`]의 최솟값은 [eqn: 7`]이다.

[다른 풀이]

[eqn: a=`-4b+4`]를 주어진 식에 대입하면

[eqn: a ^{2} +8b & = LEFT ( -4b+4 RIGHT ) ^{2} +8b# & =16b ^{2} -32b+16+8b# & =16b ^{2} -24b+16# & =16 LEFT ( b^2 - {3} over {2} b+ {9} over {16} RIGHT ) +7# & =16 LEFT ( `b`- {3} over {4} ` RIGHT ) ^{2} `+`7`]

이다. 그런데 [eqn: rm A(0,``1)], [eqn: rm B(4,``0)]이므로 [eqn: 0 LEQ b LEQ 1`]이다.

따라서 [eqn: b= {3} over {4} `]일 때, [eqn: a^2 +8 b`]의 최솟값은 [eqn: 7`]이다.

17. [출제의도] 다항식을 이용하여 통합 교과적 문제 해결하기

별 [eqn: rmA]의 반지름의 길이를 [eqn: R _{rmA}], 별 [eqn: rmB]의 반지름의 길이를 [eqn: R _{rmB}], 별 [eqn: rmA]의 표면 온도를 [eqn: T _{rmA}], 별 [eqn: rmB]의 표면 온도를 [eqn: T _{rmB}]라 하자.

별 [eqn: rmA]의 반지름의 길이는 별 [eqn: rmB]의 반지름의 길이의 [eqn: 12]배이므로

[eqn: R _{rmA} =12R _{rmB}],

별 [eqn: rmA]의 표면 온도는 별 [eqn: rmB]의 표면 온도의 [eqn: {1} over {2}]배이므로

[eqn: T _{rmA} = {1} over {2} T _{rmB}]

이다.

그러므로

[eqn: {L _{rm A it}} over {L _{rm B it}} = {4 pi R _{rm A it}` ^{2} TIMES sigma T _{rm A it}` ^{4}} over {4 pi R _{rm B it} `^{2} TIMES sigma T _{rm B it} `^{4}}# ```````````= {4 pi (12R _{rm B it} ) ` ^{2} TIMES sigma LEFT ( {1} over {2} T _{rmB} RIGHT )` ^{4}} over {4 pi R _{rm B it}` ^{2} TIMES sigma T _{rm B it} `^{4}}# ```````````=144 TIMES {1} over {16}# ```````````=9]

따라서 [eqn: {L _{rmA}} over {L _{rmB}} =9]이다.

18. [출제의도] 복소수의 성질 추론하기

[eqn: z=a+bi`]에 대하여 [eqn: iz= i(a+bi)=-b+ai`], [eqn: barz `=a-bi`]인데 [eqn: iz= barz `]이므로 [eqn: a=-b`]이다. 따라서

[eqn: z=a-ai`]

이다.

ㄱ. [eqn: z+ {bar{z}} =(a-ai)+(a+ai)=2a=-2b`]이다. (참)

ㄴ. [eqn: iz= {bar{z}} `]의 양변에 [eqn: i`]를 곱하면 [eqn: i {bar{z}} =-z`]이다. (참)

ㄷ. [eqn: iz=barz `]이므로 [eqn: {{bar{z}}} over {z} =i``]이고 [eqn: i {bar{z}} =`-z]이므로 [eqn: {z} over {{bar{z}}} =-i`]  이다. 따라서 [eqn: {{bar{z}}} over {z} + {z} over {{bar{z}}} =0`]이다. (참)

그러므로 ㄱ, ㄴ, ㄷ이 모두 옳다.

[다른 풀이 1]

ㄴ. [eqn: i barz = i(a+ai)=ai-a=-(a-ai)=-z`]

ㄷ. [eqn: {{bar{z}}} over {z} + {z} over {{bar{z}}} = {a+ai} over {a-ai} + {a-ai} over {a+ai} `= {(a+ai)^2 + (a-ai)^2 } over {(a-ai)(a+ai) ` }=`0`]

[다른 풀이 2]

ㄷ. [eqn: iz= {bar{z}} `]의 양변을 제곱하면 [eqn: z^2 + LEFT ( barz RIGHT )^2 =0`]이고 [eqn: z`` {bar{z}} =2a ^{2} != 0``]이므로 [eqn: {{bar{z}}} over {z} + {z} over {{bar{z}}} = {z^2 + LEFT ( barz RIGHT )^2 } over {z barz }=0]이다.

19. [출제의도] 근과 계수의 관계를 이용하여 이차방정식 문제 해결하기

근과 계수의 관계에 따라 [eqn: alpha + beta `=`4`], [eqn: alpha ` beta `=`2`]이다.

직각삼각형에 내접하는 정사각형의 한 변의 길이를 [eqn: k``]라 하면

[eqn: alpha : beta `=` alpha -k`:`k``]

[eqn: k`=` {alpha ` beta } over {alpha `+` beta } `][eqn: = {1} over {2} `]

이다. 따라서 정사각형의 넓이 [eqn: k ^{2} = {1} over {4} ``]과 둘레의 길이 [eqn: 4k``][eqn: =2`]를 두 근으로 하는 이차방정식은

[eqn: 4 LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x- {1} over {4} RIGHT ) =4x ^{2} -9x+2=0`]

이다. 따라서 [eqn: m+n=-9+2=-7`]이다.

[다른 풀이]

정사각형의 넓이 [eqn: k ^{2} = {1} over {4} ``]과 둘레의 길이 [eqn: 4k``][eqn: =2`]를 두 근으로 하는 이차방정식은 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합이 [eqn: 9 over 4]이고 곱이 [eqn: 1 over 2]이므로

[eqn: x^2 - 9 over 4 x + 1 over 2 =0]

[eqn: 4x^2 -9x+2=0`]

따라서 [eqn: m+n=-9+2=-7`]이다.

20. [출제의도] 이차함수와 도형의 관계 추론하기

[eqn: rm Q]

[eqn: rm C]

[eqn: rm R]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P]

[eqn: O]

[eqn: O _{1}]

[eqn: O _{2}]

그림과 같이 두 현 [eqn: rmAP,```BP`]의 중점을 각각 [eqn: rm Q,```R]라 하고 선분 [eqn: rm AB]의 중점을 [eqn: rm C]라 하면 사각형 [eqn: rmPQCR`]는 직사각형이다. [eqn: rm bar{PQ} = it a,`` rm bar{PR} = it b rm]라 하면 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =][eqn: BOX{`` ^{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}} ^{} 25 ^{} ^{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}} ``}]이다.

원 [eqn: O _{1} `]의 반지름의 길이를 [eqn: r _{1}], 원 [eqn: O _{2} `]의 반지름의 길이를 [eqn: r _{2}], 원 [eqn: O`]의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면

[eqn: rm bar{CQ} = it 5-2r _{1} rm], [eqn: rm bar{CR} = it 5-2r _{2} rm]이다.

이때 [eqn: rm bar{CQ} = bar{PR}], [eqn: rm {bar{CR}} = {bar{PQ}}]이므로

[eqn: b=5-2r _{1}], [eqn: a=5-2r _{2}]이고, [eqn: r _{1} = {5-b} over {2} `,```r _{2} = {5-a} over {2}]

이다. 한편, 원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 같으므로 [eqn: (2a-r)+(2b-r)=10=2 times][eqn: BOX{`` ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}} ^{}} 5 ^{{} ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}} ``}]이다.

따라서

[eqn: r=a+b-][eqn: BOX{`` ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}} ^{}} 5 ^{{} ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}} ``}]

이다. 그러므로 세 원 [eqn: O _{1} ,``O _{2} ,``O`]의 넓이의 합은

[eqn: pi `(r _{1}^{2} +r _{2}^{2} +r ^{2} )# ``````````````= pi ` LEFT { LEFT ( {5-b} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {5-a} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( a+b- {BOX{`` _{}^{{}_{{}_{}^{{}^{{}^{}}}}^{}} 5 _{}^{{}^{{}_{{}_{}^{{}^{{}^{}}}}}} ``}} `` RIGHT ) ^{2} RIGHT } ` CDOTS ①]

이다. [eqn: a+b=t``(5<t LEQ 5 sqrt {2} )`]라 하면 식 [eqn: ①]은

[eqn: pi` LEFT ( t- BOX{`` _{} ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}} ^{}} 25over4 _{} ^{{} ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}} ``} `` RIGHT ) ^{2} + {75} over {16} pi]

이므로 세 원 [eqn: O _{1} ,``O _{2} ,``O`]의 넓이의 합의 최솟값은 [eqn: {75} over {16} pi]이다.

따라서 [eqn: alpha =25`,`` beta =5`,`` gamma = {25} over {4} `]이므로

[eqn: ( alpha - beta ) TIMES gamma =125]

이다.

21. [출제의도] 연립부등식의 해 추론하기

[eqn: x ^{2} -a ^{2} x`][eqn: =x LEFT ( x-a ^{2} RIGHT ) `ge`0`]

에서 [eqn: x LEQ 0`] 또는 [eqn: x GEQ a ^{2} `]이고

[eqn: x ^{2} -4ax+4a ^{2} -1`][eqn: = LEFT ( x- LEFT ( 2a-1 RIGHT ) RIGHT ) LEFT ( x- LEFT ( 2a+1 RIGHT ) RIGHT ) <0`]

에서 [eqn: 2a-1<x<2a+1``]이다.

ⅰ) [eqn: 0<a< {1} over {2} `]일 때

연립부등식의 해는

[eqn: -1<2a-1<x`le`0`] 또는 [eqn: a ^{2} `le`x`<2a+1`<2]

인데 [eqn: 0<a ^{2``} <` {1`} over {4`}]이고 [eqn: 1 < 2a + 1 < 2`]이므로

[eqn: x=0`,``1]의 [eqn: 2]개 정수해가 존재한다.

ⅱ) [eqn: a= {1} over {2} `]일 때

연립부등식의 해는

[eqn: {1} over {4} =a ^{2} ` LEQ `x`<2a+1`=2`]

이므로 [eqn: x=1`]의 [eqn: 1`]개 정수해가 존재한다.

ⅲ) [eqn: {1} over {2} <a<1`]일 때

연립부등식의 해는

[eqn: a ^{2} ` LEQ `x`<2a+1`]

인데 [eqn: 1 over 4 < a^2 < 1`]이고 [eqn: 2<2a+1<3]이므로

[eqn: x=1`,`2`]의 [eqn: 2`]개 정수해가 존재한다.

ⅳ) [eqn: a=1`]일 때

연립부등식의 해는

[eqn: 1=a ^{2} =2a-1`<`x`<2a+1`=3]

이므로 [eqn: x=2`]의 [eqn: 1`]개 정수해가 존재한다.

ⅴ) [eqn: 1<`a` < ` sqrt {2}]일 때

연립부등식의 해는

[eqn: a ^{2} `le`x`<2a+1`]

인데 [eqn: 1<a ^{2} ` < `2]이고 [eqn: 3`<2a+1`` < 1+`2 sqrt {2} <4]이므로

[eqn: x=2,``3`]의 [eqn: 2`]개 정수해가 존재한다.

그러므로 ⅰ) ~ ⅴ)에 의해

[eqn: a= {1} over {2}] 또는 [eqn: a=1]일 때, [eqn: 1`]개 정수해가 존재한다.

따라서 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 합은 [eqn: 3 over 2 `]이다.

22. [출제의도] 복소수 계산하기

두 복소수가 서로 같을 조건에 의해

[eqn: (a+1)+3i=7+bi`]

[eqn: a+1=7`], [eqn: 3=b`]

이다. 따라서 [eqn: a=6`], [eqn: b=3`]이고 [eqn: a+b=9`]이다.

23. [출제의도] 다항식 계산하기

[eqn: (x-y) ^{2} =(x+y) ^{2} -4xy# ```````````````````````````=5 ^{2} -4 TIMES 2]

따라서 [eqn: (x-y) ^{2} =17]이다.

24. [출제의도] 연립부등식 이해하기

부등식 [eqn: 2x+1<x-3]의 해는 [eqn: x<`-4]이고

[eqn: x ^{2} +6x-7=(x-1)(x+7)<0]의 해는

[eqn: -7<x<1]

이므로 연립부등식의 해는

[eqn: -7<x<`-4]

이다. 따라서 [eqn: alpha=`-7,``beta=`-4]이므로

[eqn: beta-alpha=`-4-(-7)=3]

이다.

25. [출제의도] 이차방정식의 해를 이용하여 문제 해결하기

이차방정식 [eqn: x^2 +4x-3=0`]의 두 근이 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]이므로	[eqn: alpha^2 +4alpha -3=0`]

[eqn: beta^2 +4beta -3=0`]

이 성립한다. 따라서

[eqn: alpha^2 +4alpha -4 =-1`]

[eqn: beta^2 +4beta -4 =-1`]

이므로

[eqn: {6 beta } over {alpha ^{2} +4 alpha -4} + {6 alpha } over {beta ^{2} +4 beta -4} =-6 LEFT ( {beta } + alpha } RIGHT )]

이다. 근과 계수의 관계에 따라 [eqn: alpha +beta =-4`]이므로

[eqn: {6 beta } over {alpha ^{2} +4 alpha -4} + {6 alpha } over {beta ^{2} +4 beta -4} =-6(alpha+beta)=24`]

이다.

26. [출제의도] 나머지정리를 이용하여 다항식의 나눗셈 문제 해결하기

다항식의 나눗셈에 의해

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) ``][eqn: = LEFT ( x ^{2} -x-1 RIGHT ) LEFT ( ax+b RIGHT ) + 2`][eqn: cdots`]①

[eqn: P LEFT ( x+1 RIGHT ) `][eqn: = LEFT ( x ^{2} -4 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) -3`]

[eqn: ``=(x-2)(x+2)Q(x) -3][eqn: cdots`]②

[eqn: x=2`]를 ②에 대입하면

[eqn: P LEFT ( 3 RIGHT ) `=`-3`]

[eqn: x=-2`]를 ②에 대입하면

[eqn: P LEFT ( -1 RIGHT ) =`-3`]

이 된다. ①의 식에 [eqn: x=3`], [eqn: x=-1`]을 대입하여 정리하면 [eqn: 3a+b`=`-1`], [eqn: -a+b=-5`]이고

[eqn: a=1`], [eqn: b=-4`]

이다. 따라서

[eqn: 50a + b = 50 -4 = 46`]

이다.

27. [출제의도] 이차함수의 성질 추론하기

이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=4ax-10`]의

교점의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: 1], [eqn: 5]이므로

이차방정식 [eqn: f(x)=4ax-10`]의 두 실근은 [eqn: 1`], [eqn: 5`]이다.

[eqn: f(x)]의 이차항의 계수가 [eqn: a`]이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해

[eqn: f(x)-4ax+10=a(x^2 -6x+5)`]

로 둘 수 있다. 따라서

[eqn: f(x) & =ax ^{2} -6ax+5a+4ax-10`]

[eqn: =ax ^{2} -2ax+5a-10`]

[eqn: =a LEFT ( x- 1 RIGHT )^2 +4a-10`]

이다. 한편, [eqn: a>0]이고 [eqn: 1 le x le 5`]에서 [eqn: f(x)]의 최솟값이 [eqn: -8`]이므로 [eqn: f(1)=-8]이다.

[eqn: f(1)=4a-10=-8]에서 [eqn: a= 1 over 2]이다.

따라서 [eqn: 100a=50`]이다.

28. [출제의도] 미지수가 3개인 연립일차방정식을 이용하여 실생활 문제 해결하기

[eqn: a<b<c]이므로 두 변의 길이의 차의 최댓값은

[eqn: c-a]

이다. 그러므로 (가)에 의해

[eqn: c-a=16]

이다. 또한 (나)에 의해

[eqn: b-a=2] 또는 [eqn: c-b=2]

이다.

ⅰ) [eqn: b-a=2] 인 경우

[eqn: b-a=2]이고 [eqn: c-a=16]이므로 두 식을 더하면

[eqn: -2a+b+c=18 CDOTS CDOTS ①]

철사의 총 길이가 [eqn: 60 rm cm]이므로

[eqn: a+b+c=60 CDOTS CDOTS②]

이다. [eqn: ②-①]을 하면 [eqn: 3a=42]이다.

따라서

[eqn: a=14`,``b=16`,``c=30]

이다. 그러나 [eqn: c=a+b`]이므로 삼각형의 결정조건에 위배된다.

ⅱ) [eqn: c-b=2]인 경우

[eqn: c-b=2]이고 [eqn: c-a=16]이므로 두 식을 더하면

[eqn: -a-b+2c=18 CDOTS CDOTS ③]

철사의 총 길이가 [eqn: 60 rm cm]이므로

[eqn: a+b+c=60 CDOTS CDOTS ④]

이다. [eqn: ③+④]를 하면 [eqn: 3c=78]이다.

따라서

[eqn: a=10`,``b=24`,``c=26]

이고

[eqn: c ^{2} =a ^{2} +b ^{2}]

이므로 이 삼각형은 직각삼각형이다.

그러므로

[eqn: 3a-b+c=30-24+26=32]

이다.

29. [출제의도] 곱셈 공식을 이용하여 도형 문제 해결하기

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: rmbarAQ`=`itx`,~rmbarQB`=`ity``]라 하자.

[eqn: S_1`=` { pi} over { 2} LEFT ( ` { x`+`y} over { 2} ` RIGHT )^2`-` { pi} over { 2} LEFT ( ` { x} over { 2} ` RIGHT )^2`-` { pi} over { 2} LEFT ( ` { y} over { 2} ` RIGHT )^2`=` { pi} over { 4}`xy``]

이다.

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: TRIANGLE rm AQP``□`` TRIANGLE PQB``]이므로

[eqn: rmbarAQ``:``barPQ`=`barPQ``:``barBQ``]

이다. 따라서

[eqn: rmbarPQ`^2`=`barAQ` TIMES`barBQ`=`itxy``]

이다. 그러므로 [eqn: S_2`=` { pi} over { 2}` LEFT ( ` { rmbarPQ} over { 2} ` RIGHT )^2`=`it { pi} over { 8}`xy``]이다.

[eqn: S_1`-`S_2`=` { pi} over {8 }`xy`=`2`pi``]에서

[eqn: xy`=`16``]

이고 [eqn: rmbarAQ`-`barQB`=`8` sqrt { 3}``]에서

[eqn: x`-`y`=`8 sqrt { 3}``]

이므로

[eqn: LEFT ( ` rm {bar{AB}} ` RIGHT ) ^{2} ` & =( {bar{AQ}} + {bar{QB}} ) ^{2}# & =` it LEFT ( `x`+`y` RIGHT ) ^{2} `# & =` LEFT ( `x`-`y` RIGHT ) ^{2} `+`4`xy`# & =`192`+`64`=`256``]

이다. 따라서 [eqn: rm {bar{AB}} ``=`16``]이다.

[다른 풀이]

[eqn: angle rm APB =90 DEG]이므로

[eqn: rmbarAP`^2`+rmbarBP`^2`= it (x+y)^2 cdotscdots①]

[eqn: angle rm AQP =90 DEG], [eqn: angle rm PQB =90 DEG]이므로

[eqn: rmbarPQ`^2`= barAP`^2 - it x`^2 = rm barBP`^2`-it y`^2` cdotscdots②]

①을 ②에 대입하면

[eqn: 2 rm bar BP`^2`= it (x+y)^2 +y^2 -x^2 =2xy+2y^2]

이므로

[eqn: rmbarBP`^2`= it xy+y^2 cdotscdots ③]

③을 ②에 대입하면 [eqn: rmbar PQ`^2 `=it xy]이다.

30. [출제의도] 나머지정리를 이용하여 이차다항식 추론하기

ⅰ) [eqn: P(1)=0,```P(2)=0] 인 경우

[eqn: P (x) `]는 이차다항식이므로 조건 (나)에 의해

[eqn: P(0)=3], [eqn: P(3)=3`]

이다. 따라서

[eqn: P(x)= {3} over {2} (x-1)(x-2)]

이다.

ⅱ) [eqn: P(1)=0,```P(2)!=0] 인 경우

[eqn: P (x) `]는 이차다항식이므로 조건 (나)에 의해 아래와 같이 세 가지 경우만 생각하면 된다.

① [eqn: P(0)=0`], [eqn: P(3)=3`]일 때,

[eqn: P(1)=0,```P(0)=0,```P(3)=3`]

이다. 따라서

[eqn: P(x)= {1} over {2} x(x-1)]

이다.

② [eqn: P(0)=3], [eqn: P(3)=0`]일 때,

[eqn: P(1)=0,```P(0)=3,```P(3)=0`]

이다. 따라서

[eqn: P(x)=(x-1)(x-3)]

이다.

③ [eqn: P(0)=3], [eqn: P(3)=3`]일 때,

[eqn: P(1)=0,```P(0)=3,```P(3)=3`]

이다. 따라서

[eqn: P(x)= {3} over {2} (x-1)(x-2)]

이다. 그런데 [eqn: P(2)=0]이므로 모순이다.

ⅲ) [eqn: P(1)!=0,```P(2)=0]인 경우

[eqn: P (x) `]는 이차다항식이므로 조건 (나)에 의해 아래와 같이 세 가지 경우만 생각하면 된다.

① [eqn: P(0)=0`], [eqn: P(3)=3`]일 때,

[eqn: P(2)=0,```P(0)=0,```P(3)=3`]

이다. 따라서

[eqn: P(x)=x(x-2)]

이다.

② [eqn: P(0)=3], [eqn: P(3)=0`]일 때,

[eqn: P(2)=0,```P(0)=3,```P(3)=0`]

이다. 따라서

[eqn: P(x)= {1} over {2} (x-2)(x-3)]

이다.

③ [eqn: P(0)=3], [eqn: P(3)=3`]일 때,

[eqn: P(2)=0,```P(0)=3,```P(3)=3`]

이다. 따라서

[eqn: P(x)= {3} over {2} (x-1)(x-2)]

이다. 그런데 [eqn: P(1)=0]이므로 모순이다.

그러므로 ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의해

[eqn: Q(x)=][eqn: {3} over {2} (x-1)(x-2)][eqn: + {1} over {2} x(x-1)]

[eqn: +(x-1)(x-3)][eqn: +x(x-2)]

[eqn: + {1} over {2} (x-2)(x-3)]

이다. 따라서 [eqn: Q(x)`]를 [eqn: x-4`]로 나눈 나머지는

[eqn: Q(4)=27`]이다.