• 수학 영역 •

수학‘가’형 정답

1	⑤	2	④	3	②	4	①	5	③
6	⑤	7	①	8	③	9	①	10	⑤
11	②	12	③	13	④	14	⑤	15	④
16	①	17	③	18	②	19	④	20	②
21	②	22	[eqn: 5]	23	[eqn: 16]	24	[eqn: 29]	25	[eqn: 28]
26	[eqn: 31]	27	[eqn: 72]	28	[eqn: 17]	29	[eqn: 125]	30	[eqn: 243]

해 설

1. [출제의도] 다항식의 뺄셈을 계산한다.

[eqn: A-B][eqn: =3x ^{2} -2x+1- LEFT ( x ^{2} -x-3 RIGHT )]
[eqn: =3x ^{2} -2x+1-x ^{2} +x+3]
[eqn: =2x ^{2} -x+4]

2. [출제의도] 교집합을 이해하여 원소의 합을 구한다.

[eqn: A`capB][eqn: =][eqn: LEFT { 2,```4,```6,```8 RIGHT } SMALLINTER LEFT { 1,```2,```3,```6 RIGHT }]
[eqn: = LEFT { 2,```6 RIGHT }]

따라서 집합 [eqn: A SMALLINTER B``]의 모든 원소의 합은

[eqn: 2+6][eqn: =8]

3. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 지수를 계산한다.

[eqn: 8 ^{{2} over {3}} TIMES 27 ^{- {1} over {3}} `][eqn: =LEFT ( 2 ^{3} RIGHT ) ^{{2} over {3}} TIMES LEFT ( 3 ^{3} RIGHT ) ^{- {1} over {3}}]
[eqn: =2^2 times 3^-1]
[eqn: ={4} over {3}]

4. [출제의도] 나머지정리를 이용하여 나머지를 계산한다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} +6x ^{2} +3`]이라 하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x+1`]로

나누었을 때의 나머지는 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) `]이므로

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )][eqn: =2 TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) ^{3} +6 TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} +3]
[eqn: =7]

5. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 수열의 항을 계산한다.

[eqn: a _{1} =1`]이고, [eqn: a _{n+1} =2n`a _{n} -1`]에 [eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3]

을 차례로 대입하면

[eqn: a_2][eqn: =2 times 1 timesa_1 -1]
[eqn: =2 times 1-1][eqn: =1]

[eqn: a_3][eqn: =2 times 2 timesa_2 -1]
[eqn: =4 times 1-1][eqn: =3]

[eqn: a_4][eqn: =2 times 3 timesa_3 -1]
[eqn: =6 times 3-1][eqn: =17]

6. [출제의도] 선분의 외분점을 이해하여 두 점 사이의 거리를 구한다.

두 점 [eqn: rm A it left (0,```4right)], [eqn: rm B it left(2,```3right)`]에 대하여 선분 [eqn: rmAB`]를 [eqn: 2:1`]로 외분하는 점을 [eqn: rm C`]라 하면

[eqn: rm C LEFT ( {2` TIMES `2`-1` TIMES `0} over {2-1} ,`` {2` TIMES `3-1` TIMES `4} over {2-1} RIGHT )]

즉 [eqn: {rmC} LEFT ( 4,```2 RIGHT ) `]

따라서 원점 [eqn: rmO`]와 점 [eqn: rm C] 사이의 거리는

[eqn: rm bar OC][eqn: = sqrt {LEFT ( 4-0 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2-0 RIGHT ) ^{2}}][eqn: = sqrt {20}]
[eqn: =2 sqrt {5}]

7. [출제의도] 이차함수의 그래프의 대칭성을 이해하여 이차함수의 최댓값을 구한다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} +ax+b]
[eqn: = LEFT ( x+ {a} over {2} RIGHT ) ^{2} - {a ^{2}} over {4} +b]

이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 직선 [eqn: x=2`]에 대하여 대칭이므로

[eqn: - {a} over {2} =2`]에서 [eqn: a= it -4`]이다.

이때 [eqn: 0 LEQ x LEQ 3`]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 최댓값은

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) `]이므로

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =8], 즉 [eqn: b=8`]이다.

따라서 [eqn: a+b= LEFT ( -4 RIGHT ) +8=4]

[다른 풀이]

이차함수 [eqn: y=f left(x right)`]의 그래프가 직선 [eqn: x=2`]에 대하여 대칭이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =LEFT ( x-2 RIGHT )^2 +k][eqn: =x^2 -4x+4+k] ([eqn: k`]는 상수)

라 할 수 있다.

따라서 [eqn: a= it -4`]이다.

이때 [eqn: 0 LEQ x LEQ 3`]에서 함수 [eqn: f left(x right)`]의 최댓값은

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) `]이므로

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =4+k=8]

즉 [eqn: b=8`]이다.

따라서 [eqn: a+b= LEFT ( -4 RIGHT ) +8=4]

8. [출제의도] 유리함수의 그래프의 대칭성을 이해하여 미지수를 구한다.

[eqn: y][eqn: = {3x+b} over {x+a} `]
[eqn: = {-3a+b} over {x+a} +3] [eqn: cdotscdots] ㉠

㉠의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( -2,```c RIGHT ) `]에 대하여 대칭이므로

[eqn: a=2], [eqn: c=3]

㉠의 그래프가 점 [eqn: (2,```1)`]을 지나므로

[eqn: 1= {6+b} over {2+a} `]에서 [eqn: a-b=4]

[eqn: b= it -2]

따라서

[eqn: a+b+c=2+(-2)+3=3]

9. [출제의도] 삼차방정식의 근을 이해하여 식의 값을 구한다.

[eqn: -1]	[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]
		[eqn: -2]	[eqn: 1]	[eqn: -3]
	[eqn: 2]	[eqn: -1]	[eqn: 3]	[eqn: 0]

[eqn: 2x ^{3} +x ^{2} +2x+3][eqn: =LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( 2x^2 -x+3 RIGHT )]

따라서 [eqn: alpha `]는 이차방정식 [eqn: 2x ^{2} -x+3=0`]의 허근이다.

[eqn: 2 alpha ^{2} - alpha +3=0`]이므로

[eqn: 4 alpha ^{2} -2 alpha +7`][eqn: =2left(2alpha^2 -alpha+3right)+1]
[eqn: =1]

10. [출제의도] 이차함수의 그래프를 이해하여 부등식의 영역 문제를 해결한다.

[eqn: y][eqn: =x ^{2} -2ax+a ^{2} +a-3`]
[eqn: = LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} +a-3]

이므로 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표는

[eqn: LEFT ( a,```a-3 RIGHT )]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} -2y-57=0]

[eqn: x ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} =58] [eqn: cdotscdots] ㉠

점 [eqn: LEFT ( a,```a-3 RIGHT ) `]이 원 ㉠의 내부에 있으므로

[eqn: a ^{2} +left(a-3-1right) ^{2} <58]

[eqn: a ^{2} -4a-21<0]

[eqn: left(a+3right)left(a-7right)<0]

[eqn: -3<a<7]

따라서 정수 [eqn: a`]는

[eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]

으로 그 개수는 [eqn: 9`]이다.

11. [출제의도] 삼각형의 넓이를 이해하여 점의 좌표를 구하고, 무리함수 문제를 해결한다.

점 [eqn: rm A`]의 좌표를 [eqn: LEFT ( p,```q RIGHT )] ([eqn: p], [eqn: q`]는 양수)라 하자.

[eqn: bar{rmOB}=6`]이고 삼각형 [eqn: rm AOB`]의 넓이가 [eqn: 6`]이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES 6` TIMES q=6`]에서 [eqn: q=2`]이다.

이때 점 [eqn: rmA][eqn: LEFT ( p,```2 RIGHT ) `]는 곡선 [eqn: y= sqrt {x}] 위의 점이므로

[eqn: 2= sqrt {p} `]에서 [eqn: p=4`]이다.

점 [eqn: {rmA} LEFT ( 4,```2 RIGHT ) `]는 곡선 [eqn: y= sqrt {a ^{`} LEFT ( 6-x RIGHT )}] 위의 점이므로

[eqn: 2= sqrt {a ^{`} LEFT ( 6-4 RIGHT )} = sqrt {2a}]

[eqn: 2a=4`]에서 [eqn: a=2`]이다.

12. [출제의도] 도형의 대칭이동을 이해하여 원의 넓이를 구한다.

방정식 [eqn: 2 LEFT | x RIGHT | -y-10=0`]이 나타내는 도형과 이 도형을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 도형을 좌표평면에 나타내면 그림과 같다.

두 도형으로 둘러싸인 사각형의 네 변에 모두 접하는 원은 중심이 원점이고, 반지름의 길이가 원점과 직선 [eqn: 2x-y-10=0] 사이의 거리와 같으므로

[eqn: {LEFT | -10 RIGHT |} over {sqrt {2 ^{2} +(-1) ^{2}}} = {10} over {sqrt {5}} =2 sqrt {5}]

따라서 구하는 원의 넓이는

[eqn: pi`times(2 sqrt {5} ) ^{2} =20 pi]

13. [출제의도] 절댓값이 있는 부등식의 해를 구하여 필요충분조건 문제를 해결한다.

조건 [eqn: p`]에서

(ⅰ) [eqn: x GEQ 2`]일 때,
[eqn: x-2 GEQ 0`]이므로
[eqn: 3 LEFT ( x-2 RIGHT ) <9-2x]
[eqn: 5x<15], [eqn: x<3]
따라서 부등식의 해는
[eqn: 2 LEQ x<3]

(ⅱ) [eqn: x<2`]일 때,
[eqn: x-2<0`]이므로
[eqn: -3 LEFT ( x-2 RIGHT ) <9-2x]
[eqn: x>it-3]
따라서 부등식의 해는
[eqn: -3<x<2]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: -3<x<3]

이때 [eqn: p`]는 [eqn: q`]이기 위한 필요충분조건이므로

[eqn: a=it-3], [eqn: b=3]

따라서

[eqn: b-a=3- LEFT ( -3 RIGHT )=6]

[다른 풀이]

[eqn: 0 LEQ 3 LEFT | x-2 RIGHT | <9-2x`]이므로

[eqn: -(9-2x)<3(x-2)<9-2x`]

이다.
[eqn: -(9-2x)<3(x-2)`]에서

[eqn: x>it-3`]

이고, [eqn: 3(x-2)<9-2x`]에서

[eqn: x<3`]

따라서 부등식의 해는

[eqn: -3<x<3]

이때 [eqn: p`]는 [eqn: q`]이기 위한 필요충분조건이므로

[eqn: a=it-3], [eqn: b=3]

따라서

[eqn: b-a=3- LEFT ( -3 RIGHT )=6]

[다른 풀이]

[eqn: 0 LEQ 3 LEFT | x-2 RIGHT | <9-2x`]

이므로 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: LEFT ( 3 LEFT | x-2 RIGHT | RIGHT ) ^{2} < LEFT ( 9-2x RIGHT ) ^{2}], [eqn: 9 LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} < LEFT ( 9-2x RIGHT ) ^{2}]

[eqn: x ^{2} -9<0`]

이때 [eqn: 9-2x>0]이어야 하므로 부등식의 해는

[eqn: -3<x<3]

이때 [eqn: p`]는 [eqn: q`]이기 위한 필요충분조건이므로

[eqn: a=it-3], [eqn: b=3]

따라서

[eqn: b-a=3- LEFT ( -3 RIGHT )=6]

14. [출제의도] 인수분해와 항등식의 정의를 이해하여 나머지를 구한다.

[eqn: LEFT { f left(x right) RIGHT } ^{3} + LEFT { g left(x right) RIGHT } ^{3}]

[eqn: = LEFT { f left(x right)+g left(x right) RIGHT } LEFT [ LEFT { f left(x right) RIGHT } ^{2} -f left(x right)g left(x right)+ LEFT { g left(x right) RIGHT } ^{2} ` RIGHT ] `]

[eqn: = LEFT ( 2x ^{2} -x-1 RIGHT ) `h LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: f(x)+g(x)][eqn: = LEFT ( x ^{2} +x RIGHT ) + LEFT ( x ^{2} -2x-1 RIGHT )]
[eqn: =2x ^{2} -x-1]

이므로

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} -f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) + LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} `]

이다.

이때 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x-1`]로 나누었을 때의 나머지는

[eqn: h LEFT ( 1 RIGHT ) `]이다.

[eqn: f left(1 right)=2`], [eqn: g left(1 right)=it-2`]이므로

[eqn: h LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2 ^{2} -2 TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =12]

15. [출제의도] 집합의 연산을 이해하여 실생활 문제를 해결한다.

봉사 활동 [eqn: rm A], [eqn: rmB`]를 신청한 학생을 원소로 하는 집합을 각각 [eqn: A], [eqn: B``]라 하자.

[eqn: n LEFT ( A CUP B` RIGHT )][eqn: =n LEFT ( A RIGHT ) +n LEFT ( B` RIGHT ) -n LEFT ( A cap B` RIGHT )]

이고

[eqn: n LEFT ( A RIGHT ) +n LEFT ( B` RIGHT ) =36`]

이므로

[eqn: n LEFT ( A CUP B` RIGHT )][eqn: =36-n LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT )] …… ㉠

학급의 학생 수가 [eqn: 30`]이므로

[eqn: n left(A CUP B`right) LEQ 30]

㉠에 의하여

[eqn: 36-n LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT ) LEQ 30]

[eqn: n left(A SMALLINTER B`right) GEQ 6] …… ㉡

[eqn: n left(A SMALLINTER B`right) LEQ n left(A CUP B`right)]

이고 ㉠에 의하여

[eqn: n left(A SMALLINTER B`right) LEQ 36-n left(A SMALLINTER B`right)]

[eqn: n left(A SMALLINTER B`right) LEQ 18] …… ㉢

㉡, ㉢에 의하여

[eqn: 6 LEQ n left(A SMALLINTER B`right) LEQ 18]

[eqn: M=18], [eqn: m=6`]이므로

[eqn: M+m=24]

16. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 자연수의 성질에 대한 명제를 증명한다.

(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때,

[eqn: 3 ^{1} +1=2 ^{2} times1`]이므로 [eqn: f LEFT ( 3 ^{1} +1 RIGHT ) =2`]이다.

따라서 [eqn: n=1`]일 때 (*)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k`]일 때 (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: f LEFT ( 3 ^{2k-1} +1 RIGHT ) =2`]

음이 아닌 정수 [eqn: m`]과 홀수 [eqn: p`]에 대하여

[eqn: 3 ^{2k-1} +1=2 ^{m} TIMES p`]

로 나타낼 수 있고, [eqn: m=2`]이므로

[eqn: 3 ^{2k-1} +1= {BOX{~_{`}4 ^{`} ~}} ` TIMES `p`]
[eqn: 3 ^{2k-1} =4p-1]

이다.

[eqn: 3 ^{2 LEFT ( k+1 RIGHT ) -1} +1][eqn: =9 TIMES 3 ^{2k-1} +1]
[eqn: =9 LEFT ( 4p-1 RIGHT ) +1]
[eqn: =36p-8]
[eqn: =2 ^{2} TIMES LEFT ( `` {BOX{~ ^{`} 9p-2 _{`} ~}} `` RIGHT )]

이고, [eqn: p`]는 홀수이므로 [eqn: {BOX{~ _{`} 9p-2 ^{`} ~}} `]도 홀수이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( 3 ^{2(k+1)-1} +1 RIGHT ) =2`]이다.

그러므로 [eqn: n=k+1`]일 때도 (*)이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: f LEFT ( 3 ^{2n-1} +1 RIGHT ) =2`]이다.

[eqn: a=4`]이고 [eqn: g LEFT ( p RIGHT ) =9p-2`]이므로

[eqn: a+g LEFT ( 7 RIGHT )][eqn: =4+ LEFT ( 9 TIMES 7-2 RIGHT )]
[eqn: =65`]

17. [출제의도] 원의 평행이동의 성질을 이용하여 명제의 참, 거짓을 추측하여 판단한다.

ㄱ. 원 [eqn: x ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} =9`]를 평행이동하여도 원의 반지름의 길이는 변하지 않으므로 원 [eqn: C``]의 반지름의 길이는 [eqn: 3`]이다. (참)

ㄴ. 원 [eqn: x ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} =9`]의 중심의 좌표가 [eqn: LEFT ( 0,```1 RIGHT ) `]이므로 원 [eqn: C``]의 중심의 좌표는 [eqn: LEFT ( m,```n+1 RIGHT ) `]이다.
원 [eqn: C``]가 [eqn: x`]축과 접하므로
[eqn: LEFT | n+1 RIGHT | =3`]
[eqn: n=it-4] 또는 [eqn: n=2]
따라서 [eqn: n`]의 값은 [eqn: 2`]개이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: m!=0`]일 때, 직선 [eqn: y= {n+1} over {m} x`]가 원 [eqn: C``]의
중심 [eqn: LEFT ( m,```n+1 RIGHT ) `]을 지나므로 원 [eqn: C``]의 넓이를
이등분한다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

18. [출제의도] 등비수열의 합을 이해하여 수열의 항을 구한다.

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 공비를 [eqn: r`]라 하자.

[eqn: r=1`]이면 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a _{n} =2`]이므로

조건 (나)에서

[eqn: S _{12} -S _{10}][eqn: =a _{11} +a _{12}]
[eqn: =4>0]

이 되어 조건을 만족시키지 않는다.

따라서 [eqn: r != 1`]이다.

이때 [eqn: S _{n} = {2 LEFT ( r ^{n} -1 RIGHT )} over {r-1} `]이므로 조건 (가)에서

[eqn: {2 LEFT ( r ^{12} -1 RIGHT )} over {r-1} - {2 LEFT ( r ^{2} -1 RIGHT )} over {r-1} =4 TIMES {2 LEFT ( r ^{10} -1 RIGHT )} over {r-1}]

[eqn: r ^{2} LEFT ( r ^{10} -1 RIGHT ) =4 LEFT ( r ^{10} -1 RIGHT )]

[eqn: r != 1`]에서 [eqn: r ^{10} -1 != 0`]이므로

[eqn: r ^{2} =4]

[eqn: r=2] 또는 [eqn: r= it -2]

[eqn: a _{11} +a _{12}][eqn: =2r ^{10} +2r ^{11}]
[eqn: =2r ^{10} left(1+r right)]

이고 조건 (나)에서

[eqn: S _{12} -S _{10} =a _{11} +a _{12} =][eqn: 2r ^{10} LEFT ( 1+r RIGHT ) <0], 즉 [eqn: r<it-1`]

따라서 [eqn: r=it-2`]이므로

[eqn: a _{4} =2 TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) ^{3} = it -16]

[다른 풀이]

등비수열 [eqn: left{a _{n} right}`]의 공비를 [eqn: r`]라 할 때, 조건 (나)에서

[eqn: S _{12} -S _{10} <0]

[eqn: S _{12} -S _{10}][eqn: =a _{11} +a _{12}][eqn: =2r ^{10} +2r ^{11}]
[eqn: =2r ^{10} LEFT ( 1+r RIGHT )][eqn: <0]

따라서 [eqn: r<it-1`]이다.

조건 (가)에서

[eqn: S _{12} -S _{2}][eqn: =4S _{10}]

[eqn: LEFT ( a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{12} RIGHT ) - LEFT ( a _{1} +a _{2} RIGHT )]

[eqn: =4 LEFT ( a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{10} RIGHT )]

이므로

[eqn: LEFT ( a _{3} +a _{4} +a _{5} +cdots+a _{12} RIGHT ) =4 LEFT ( a _{1} +a _{2} +a _{3} +cdots+a _{10} RIGHT )]

[eqn: r ^{2} LEFT ( a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{10} RIGHT ) =4 LEFT ( a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{10} RIGHT )]

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{10} = {2 LEFT ( r ^{10} -1 RIGHT )} over {r-1} != 0`]이므로

[eqn: r ^{2} =4`]

[eqn: r<it-1`]이므로 [eqn: r= it -2`]이다.

따라서

[eqn: a _{4} =2 TIMES left(-2right) ^{3} = it -16]

19. [출제의도] 이등변삼각형의 성질과 두 직선의 위치 관계를 이용하여 문제를 해결한다.

선분 [eqn: rm AB`]의 중점을 [eqn: rmM`]이라 하면

[eqn: rm M it LEFT ( {0+18} over {2} ,``` {6+0} over {2} RIGHT ) `]

즉 [eqn: rm M LEFT ( 9,```3 RIGHT ) `]

삼각형 [eqn: rmABC`]가 이등변삼각형이므로

[eqn: rm {bar{AB}} BOT {bar{CM}} `]

따라서 두 직선 [eqn: rm AB], [eqn: rm CM`]의 기울기의 곱은 [eqn: -1`]이다.

이때 직선 [eqn: rm AB`]의 기울기가

[eqn: {0-6} over {18-0} =it- {1} over {3}]

이므로 직선 [eqn: rm CM`]의 기울기는 [eqn: 3`]이다.

직선 [eqn: rm CM`]이 점 [eqn: rm M left(9,```3right)`]을 지나므로 그 방정식은

[eqn: y=3 LEFT ( x-9 RIGHT ) +3]

즉 [eqn: y=3x-24]

이때 점 [eqn: rm C it LEFT ( a,```b RIGHT ) `]는 직선 [eqn: y=3x-24] 위의 점이므로

[eqn: b=3a-24] …… ㉠

두 선분 [eqn: rm CM], [eqn: rmPQ`]의 교점을 [eqn: rmN`]이라 하자.

점 [eqn: rm G`]는 삼각형 [eqn: rm CPQ`]의 무게중심이므로

[eqn: rm {bar{CG}} = {2} over {3} {bar{CN}}]

[eqn: {bar{rm MN it}} : {bar{rm NC it}} = {bar{rm AP it}} : {bar{rm PC it}} =1:3]이므로

[eqn: {bar{rm CN it}} = {3} over {4} rm {bar{CM}}]

따라서

[eqn: rm {bar{CG}}][eqn: rm= {2} over {3} TIMES {bar{CN}}][eqn: = {2} over {3} TIMES {3} over {4} rm times {bar{CM}}]
[eqn: = {1} over {2} times rm {bar{CM}}]

[eqn: rm {bar{CM}} =2 {bar{CG}} =2 sqrt {10}]이므로

[eqn: sqrt {(a-9) ^{2} +(b-3) ^{2}} =2 sqrt {10}] …… ㉡

㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면

[eqn: LEFT ( a-9 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 3a-24-3 RIGHT ) ^{2} =40]

[eqn: LEFT ( a-9 RIGHT ) ^{2} =4]

[eqn: a=7] 또는 [eqn: a=11]

따라서 점 [eqn: LEFT ( a,```b RIGHT ) `]는

[eqn: left(7,```-3right)] 또는 [eqn: left(11,```9right)]

점 [eqn: rm C`]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이므로 [eqn: rm C LEFT ( 11,```9 RIGHT )]

[eqn: a+b=11+9=20]

20. [출제의도] 로그의 성질을 이해하여 수열을 구하고, 수열의 합 문제를 해결한다.

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: m != 2 ^{n-1} `]일 때

[eqn: log `_{2} `m], [eqn: log `_{4} `m]

의 값은 유리수가 아니다.

따라서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0`]이고, [eqn: m=2 ^{n-1} `][eqn: LEFT ( n{ge2 RIGHT ) `]일 때,

[eqn: f LEFT ( m RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 2 ^{n-1} RIGHT )][eqn: =log `_{4}` 2 ^{n-1}][eqn: = {n-1} over {2}]

은 유리수이다.

따라서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 일반항 [eqn: a _{n} `]은

[eqn: a _{1} =0], [eqn: a _{n} = {n-1} over {2} `][eqn: LEFT ( n{ge2 RIGHT ) `]

즉 [eqn: a _{n} = {n-1} over {2} `][eqn: LEFT ( n GEQ 1 RIGHT ) `]이다.

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k}][eqn: = sum _{k=1} ^{n} {k-1} over {2}][eqn: = {1} over {2} TIMES {n LEFT ( n-1 RIGHT )} over {2}]
[eqn: = {n LEFT ( n-1 RIGHT )} over {4}]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} >50`]에서

[eqn: {n left(n-1right)} over {4} >50]

[eqn: n left(n-1right)>200]

[eqn: n=14`]일 때,

[eqn: n LEFT ( n-1 RIGHT ) =14 TIMES 13=182]

[eqn: n=15`]일 때,

[eqn: n LEFT ( n-1 RIGHT ) =15 TIMES 14=210]

이므로 [eqn: n GEQ 15`]일 때 부등식이 성립한다.

따라서 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: 15`]이다.

[참고]

자연수 [eqn: m`]은 [eqn: m!=2 ^{n-1}`]([eqn: n`]은 자연수)일 때

음이 아닌 정수 [eqn: k `]와 [eqn: 1 `]이 아닌 홀수 [eqn: p`]에 대하여

[eqn: m=2 ^{k} TIMES p]

로 나타내어진다.

만약 [eqn: log `_{2} `m`]의 값이 유리수라 가정하면

[eqn: log` _{2} `m][eqn: =log `_{2}` LEFT ( 2 ^{k} TIMES p RIGHT ) `]
[eqn: =k+log `_{2} `p]

즉 [eqn: log `_{2} `p`]의 값이 유리수이어야 한다.

이때 [eqn: log `_{2} `p= {b} over {a}] ([eqn: a`]와 [eqn: b`]는 서로소인 자연수)

라 하면

[eqn: log` _{2} `p= {b} over {a} `]에서 [eqn: 2 ^{{b} over {a}} =p]

[eqn: 2 ^{b} =p ^{a}] …… ㉠

이때 ㉠의 좌변은 짝수이고, 우변은 홀수이므로 모순이다.

따라서 [eqn: log` _{2} `p`]의 값이 유리수가 아니므로 [eqn: log` _{2} `m`]의 값도 유리수가 아니다.

21. [출제의도] 집합에 제시된 조건을 이해하고 연립이차부등식을 해결한다.

집합 [eqn: A`]에서 어떤 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: x ^{2} +2bx-a ^{2} +6b LEQ 0`]

이려면 부등식

[eqn: x ^{2} +2bx-a ^{2} +6b LEQ 0`]

의 해가 존재해야 한다. 따라서 이차방정식

[eqn: x ^{2} +2bx-a ^{2} +6b=0`]

의 판별식을 [eqn: D _{1} `]이라 하면

[eqn: {D _{1}} over {4} =b ^{2} -(-a ^{2} +6b) GEQ 0`]

[eqn: a ^{2} +(b-3) ^{2} GEQ 9] …… ㉠

부등식 ㉠의 영역을 좌표평면에 나타내면 그림의 색칠된 부분(경계선 포함)과 같다.

집합 [eqn: B``]에서 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: x ^{2} +2ax-b ^{2} +6a>0`]

이려면 부등식

[eqn: x ^{2} +2ax-b ^{2} +6a>0`]

의 해가 모든 실수이어야 한다. 따라서 이차방정식

[eqn: x ^{2} +2ax-b ^{2} +6a=0`]

의 판별식을 [eqn: D _{2} `]라 하면

[eqn: {D _{2}} over {4} =a ^{2} -(-b ^{2} +6a)<0`]

[eqn: (a-3) ^{2} +b ^{2} <9] …… ㉡

부등식 ㉡의 영역을 좌표평면에 나타내면 그림의 색칠된 부분(경계선 제외)과 같다.

집합 [eqn: A SMALLINTER B``]의 원소는 좌표평면에서 연립부등식 [eqn: {cases{``x ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} GEQ 9 _{`}#`` LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} <9 ^{{}^{`}}}}]

가 나타내는 영역에 포함되는 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표가 모두 정수인 점과 같다.

위의 그림에서

[eqn: x`]좌표가 [eqn: 1`]인 점의 개수가 [eqn: 3`],

[eqn: x`]좌표가 [eqn: 2`]인 점의 개수가 [eqn: 3`],

[eqn: x`]좌표가 [eqn: 3`]인 점의 개수가 [eqn: 5`],

[eqn: x`]좌표가 [eqn: 4`]인 점의 개수가 [eqn: 5`],

[eqn: x`]좌표가 [eqn: 5`]인 점의 개수가 [eqn: 5`]

이므로 집합 [eqn: A SMALLINTER B``]의 원소의 개수는

[eqn: 3+3+5+5+5=21]

22. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 로그를 계산한다.

[eqn: log` _{2} `3 TIMES log` _{3} `32][eqn: = {log` _{2} `3`} over {log` _{2} `2} TIMES {log `_{2} `2 ^{5}} over {log` _{2} `3}]
[eqn: = {5`log` _{2} `2} over {log` _{2} `2}]
[eqn: =5]

23. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이해하여 식의 값을 구한다.

이차방정식 [eqn: 3x ^{2} -16x+1=0`]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta`]이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha+beta= {16} over {3}], [eqn: alpha beta = {1} over {3}]

[eqn: {1} over {alpha} + {1} over {beta}][eqn: = {alpha + beta } over {alpha beta }][eqn: = {{16} over {3}} over {{1} over {3}}]
[eqn: =16]

24. [출제의도] 등차수열의 일반항을 이해하여 수열의 항을 구한다.

등차수열 [eqn: left{a _{n} right}`]의 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a _{n} =2+ LEFT ( n-1 RIGHT ) d]

이므로

[eqn: 3a _{n+1} -a _{n}][eqn: =3 LEFT ( 2+nd RIGHT ) - LEFT { 2+ LEFT ( n-1 RIGHT ) d RIGHT }]
[eqn: =4+3d+2 LEFT ( n-1 RIGHT ) d]

이다.

수열 [eqn: LEFT { 3a _{n+1} -a _{n} RIGHT } `]이 공차가 [eqn: 6`]인 등차수열이므로

[eqn: 2d=6`]에서 [eqn: d=3]

따라서

[eqn: a _{10}][eqn: =2+9d]
[eqn: =29]

25. [출제의도] 역함수를 이해하여 미지수를 구한다.

[eqn: f ^{`-1} left(x right)`]는 [eqn: f left(x right)`]의 역함수이므로 실수 [eqn: a`]에 대하여

[eqn: LEFT ( f CIRC f ^{`-1} RIGHT ) LEFT ( a RIGHT ) =f LEFT ( f ^{`-1} LEFT ( a RIGHT ) RIGHT ) =a`]

이다. 따라서

[eqn: LEFT ( f ^{`-1} CIRC f CIRC f ^{`-1} RIGHT ) LEFT ( a RIGHT )][eqn: =f ^{`-1} LEFT ( f LEFT ( f ^{`-1} LEFT ( a RIGHT ) RIGHT ) RIGHT )]
[eqn: =f ^{`-1} LEFT ( a RIGHT )]

[eqn: f ^{`-1} LEFT ( a RIGHT ) =3`]에서 역함수의 성질에 의해

[eqn: a][eqn: =f left(3right)=3 ^{3} +1]
[eqn: =28]

26. [출제의도] 부등식의 영역의 최대·최소를 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

하루에 만드는 세트 [eqn: rmA `]와 세트 [eqn: rmB`]의 개수를 각각

[eqn: x], [eqn: y`]라 하면

[eqn: x GEQ 0], [eqn: y GEQ 0]

하루에 사용할 수 있는 비누는 [eqn: 750`]개 이하이므로

[eqn: 6x+3y LEQ 750]

하루에 사용할 수 있는 치약은 [eqn: 900`]개 이하이므로

[eqn: 4x+6y LEQ 900]

따라서 [eqn: x GEQ 0], [eqn: y GEQ 0`]이고 연립부등식

[eqn: {cases{``6x+3y LEQ 750 _{`}#``4x+6y LEQ 900 ^{`}}}]

이 나타내는 영역을 좌표평면에 나타내면 그림의 색칠된 부분(경계선 포함)과 같다.

하루에 얻을 수 있는 판매 이익을 [eqn: k](원)라 하면

[eqn: 2000x+1600y=k]

[eqn: y= it - {5} over {4} x+ {k} over {1600}] …… ㉠

직선 ㉠이 두 직선

[eqn: 6x+3y=750], [eqn: 4x+6y=900]

즉 [eqn: 2x+y=250], [eqn: 2x+3y = 450]

의 교점 [eqn: LEFT ( 75,```100 RIGHT ) `]을 지날 때,

판매 이익이 최대이다.

[eqn: M][eqn: =2000 TIMES 75+1600 TIMES 100]
[eqn: =310000]

이므로

[eqn: {M} over {10000} =31`]

27. [출제의도] 거듭제곱근을 이해하여 자연수의 최솟값을 구한다.

[eqn: sqrt {2m} `]의 값이 자연수이려면

[eqn: m=2p ^{2} `]([eqn: p`]는 자연수) …… ㉠

의 꼴이어야 한다.

[eqn: root {3} of {3m} `]의 값이 자연수이려면

[eqn: m=3 ^{2} q ^{3} `]([eqn: q`]는 자연수) …… ㉡

의 꼴이어야 한다.

[eqn: sqrt {2m}], [eqn: root {3} of {3m} `]이 모두 자연수가 되려면 ㉠, ㉡에서

[eqn: m=2 ^{3} TIMES 3 ^{2} TIMES r ^{6} `]([eqn: r`]는 자연수)

의 꼴이어야 한다.

따라서 자연수 [eqn: m`]의 최솟값은 [eqn: r=1`]일 때

[eqn: 2 ^{3} TIMES 3 ^{2} times1 ^{6}][eqn: =72]

28. [출제의도] 일대일 대응과 합성함수를 이해하여 함수를 추측한다.

조건 (가)에 의하여 함수 [eqn: f`]는 일대일 대응이다.

집합 [eqn: X``]의 임의의 원소 [eqn: x]에 대하여

[eqn: 1 LEQ f LEFT ( x RIGHT ) LEQ 7]

조건 (나)에서

[eqn: f LEFT ( f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( 3 RIGHT ) -6][eqn: ge1]

즉 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) GEQ 7]이므로 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =7]

[eqn: f LEFT ( f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 7 RIGHT )][eqn: =7-6][eqn: =1]

따라서

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =7], [eqn: f LEFT ( 7 RIGHT ) =1] …… ㉠

[eqn: f LEFT ( 7 RIGHT ) =1`]이므로

[eqn: f left(f left(2right)right)=f left(2right)-4][eqn: ge2]

즉 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) GEQ 6`]이고 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =7`]이므로

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =6]

[eqn: f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 6 RIGHT )][eqn: =6-4][eqn: =2]

따라서

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =6], [eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) =2] …… ㉡

[eqn: f LEFT ( 7 RIGHT ) =1], [eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) =2`]이므로

[eqn: f LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT ) -2][eqn: GEQ 3]

즉 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) GEQ 5`]이고 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =6], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =7`]이므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =5]

[eqn: f LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( 5 RIGHT ) =5-2=3]

따라서

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =5], [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =3] …… ㉢

㉠, ㉡, ㉢에 의하여 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =4`]이다.

따라서

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) +f LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: =6+7+4]
[eqn: =17]

[참고]

함수 [eqn: f`]는 그림과 같다.

29. [출제의도] 직선의 방정식을 이용하여 수열의 합을 구하는 문제를 해결한다.

두 직선 [eqn: l], [eqn: m`]의 방정식을 각각

[eqn: y=a LEFT ( x+1 RIGHT ) +1=ax+a+1] ([eqn: a`]는 상수)

[eqn: y=b LEFT ( x+1 RIGHT ) +1=bx+b+1`] ([eqn: b`]는 상수)

로 놓으면

[eqn: {rmA} _{n} LEFT ( n,```an+a+1 RIGHT )], [eqn: {rmB} _{n} LEFT ( n,```bn+b+1 RIGHT ) `]

이다.

[eqn: bar{rmA _{itn} rmB _{itn} }][eqn: = LEFT | LEFT ( an+a+1 RIGHT ) - LEFT ( bn+b+1 RIGHT ) RIGHT |]
[eqn: = LEFT | a-b RIGHT | LEFT ( n+1 RIGHT )]

이므로

[eqn: S _{n}][eqn: LEFT . = {1} over {2} LEFT (` {bar{rm A _{it n rm} rm B _{it n rm} it}} + {bar{rm A _{it n rm +1} rm B _{it n+1 rm} it}} ` RIGHT ) TIMES LEFT { LEFT ( n+1 RIGHT ) -n RIGHT }]
[eqn: = {1} over {2} LEFT { LEFT | a-b RIGHT | LEFT ( n+1 RIGHT ) + LEFT | a-b RIGHT | LEFT ( n+2 RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: = {1} over {2} LEFT | a-b RIGHT | LEFT ( 2n+3 RIGHT )]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} S _{2k-1} `][eqn: = sum _{k=1} ^{10} {1} over {2} LEFT | a-b RIGHT | left{2 LEFT ( 2k-1 RIGHT ) +3`right}]
[eqn: = {1} over {2} LEFT | a-b RIGHT | sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 4k+1 RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} left|a-b right| LEFT ( 4 TIMES {10 TIMES 11} over {2} +10 RIGHT )]
[eqn: =115 LEFT | a-b RIGHT |]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} S _{2k-1} `=115`]에서

[eqn: LEFT | a-b RIGHT | =1]이므로

[eqn: S _{n} = {1} over {2} LEFT ( 2n+3 RIGHT )]

이다.

[eqn: S_2k][eqn: = {1} over {2} LEFT ( 4k+3 RIGHT ) `]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{10} S _{2k} `][eqn: = {1} over {2} sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 4k+3 RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} LEFT ( 4 TIMES {10 TIMES 11} over {2} +30 RIGHT )]
[eqn: =125]

30. [출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 두 이차함수를 추측한다.

조건 (나)에서 두 함수 [eqn: y=h _{1} left(x right)], [eqn: y=h _{2} left(x right)`]의

그래프가 오직 한 점 [eqn: LEFT ( 1,```9 RIGHT ) `]에서 만나므로

방정식 [eqn: h _{1} left(x right)=h _{2} left(x right)`]의 실근은 [eqn: x=1] 하나뿐이다.

따라서 방정식

[eqn: f left(x right)-g left(x right)=f left(x right)+g left(x right)`]

[eqn: g left(x right)=0`]

이 중근 [eqn: x=1`]을 갖는다.

이차함수 [eqn: g left(x right)`]의 이차항의 계수가 [eqn: 1`]이므로

[eqn: g left(x right)= LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}] …… ㉠

이다.

함수 [eqn: h _{1} left(x right)`]의 이차항의 계수는 [eqn: 1]이고 조건 (가)에 의하여 함수 [eqn: y=h _{1} left(x right)`]의 그래프가 [eqn: x`]축에 접한다.

또, 조건 (다)에 의하여 함수 [eqn: y=h _{1} left(x right)`]는 [eqn: x= alpha `]에서 최솟값을 가지므로

[eqn: h _{1} LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-alpha RIGHT ) ^{2}]

이다. 이때 [eqn: h _{1} LEFT ( 1 RIGHT ) =9`]이므로

[eqn: 9= LEFT ( 1- alpha RIGHT ) ^{2}]

[eqn: alpha =it-2] 또는 [eqn: alpha=4]

조건 (다)에 의하여 함수 [eqn: y=h _{2} LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x= beta `]에서 최댓값을 가지고 [eqn: alpha > beta `]이므로 이 조건을 만족하는 두 함수 [eqn: y=h _{1} LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=h _{2} LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 다음과 같다.

따라서 [eqn: alpha=4`]이다.

[eqn: h _{1} LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2}]

이므로 ㉠에 의하여

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =h _{1} LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =it-6x+15] …… ㉡

이다. ㉠, ㉡에 의하여

[eqn: h _{2} LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( -6x+15 RIGHT ) - LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =it-x ^{2} -4x+14]
[eqn: =it- LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2} +18]

이다.

이때 함수 [eqn: y=h _{2} LEFT ( x RIGHT )`]는 [eqn: x= it beta`]에서 최댓값을 가지므로 [eqn: beta =it-2`]이다.

[eqn: f LEFT ( beta RIGHT ) =f LEFT ( -2 RIGHT ) = it -6 TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) +15=27]

[eqn: g LEFT ( alpha RIGHT ) =g LEFT ( 4 RIGHT ) = LEFT ( 4-1 RIGHT ) ^{2} =9]

이므로

[eqn: f LEFT ( beta RIGHT ) TIMES g LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: =27 TIMES 9]
[eqn: =243]