수학 영역(B형)

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수학 영역(B형)

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5지선다형

2013학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(B형)

제 2 교시

1. [eqn: log _{2} 6-log _{2} {3} over {8}]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

12

2. 함수 [eqn: f(x)= {1} over {3} x ^{3} + {1} over {2} x ^{2} +x+1]에 대하여 [eqn: f`'`(1)]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3 over 2]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 5 over 2]	⑤ [eqn: 3]

3. [eqn: lim _{x` -> `0} {} {1-e ^{-x}} over {x}]의 값은? [2점]

① [eqn: -e]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: e]

4. [eqn: tan2 theta= {3} over {4}]일 때, [eqn: tan theta]의 값은? (단, [eqn: 0< theta< {pi } over {2}]이다.) [3점]

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {8}]	③ [eqn: {1} over {6}]	④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

5. [eqn: 4`]의 세제곱근 중 실수인 것을 [eqn: a`]라 할 때, 지수방정식 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x+1} =`a`]의 해는? [3점]

① [eqn: - {5} over {3}]	② [eqn: - {4} over {3}]	③ [eqn: -1]	④ [eqn: - {2} over {3}]	⑤ [eqn: - {1} over {3}]

6. 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,~ LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{`n}} over {n} =1,~ sum _{n=1} ^{INF } {b _{n}} over {n} =2`]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n} +4n} over {b _{n} +3n-2}]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 4 over 3]	③ [eqn: 5 over 3]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {7} over {3}]

7. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`a`-1&``1#``3a&````a+1`}}]에 대하여 등식 [eqn: AX```=O`]를 만족시키는 [eqn: 2 TIMES 1] 행렬 [eqn: X`]가 무수히 많도록 하는 모든 실수 [eqn: a`]의 합은? (단, [eqn: O`]는 영행렬이다.) [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

8. 다항함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: lim _{x -> INF } {} {f(x)-x ^{2}} over {x} =3`],   [eqn: lim _{x -> 1} {} {x ^{2} -1} over {(x-1)f(x)} =1`]

을 만족시킬 때, [eqn: f(2)]의 값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

9. 미분가능한 함수 [eqn: y= f(x)]의 그래프 위의 점 [eqn: (2,```f(2))]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 2`]이다. 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: y=f `left( root x right)]의 [eqn: x=4`]에서의 미분계수는? [3점]

① [eqn: 1over 2]	② [eqn: root2 over 2]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: root2]	⑤ [eqn: 2]

10. 그림과 같이 길이가 [eqn: 4]인 선분 [eqn: rm A _{1} B _{1}]을 지름으로 하는 반원 [eqn: O _{1}]을 그리고, 반원 [eqn: O_1] 위에 [eqn: ANGLE rm C_1 A_1 B_1 = 30 °]가 되도록 점 [eqn: rm C_1]을 정한다. 이때 삼각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1}]의 넓이를 [eqn: S _{1}]이라 하자.
선분 [eqn: rm A_1 C_1]의 중점을 [eqn: rm A_2]라 하고, 호 [eqn: rm A_1 B_2 `]와 호 [eqn: rm C_1 B_2 `]의 길이가 같도록 점 [eqn: rm B_2 `]를 정한다. 선분 [eqn: rm A _{2} B _{2}]를 지름으로 하는 반원 [eqn: O_2]를 그리고, 반원 [eqn: O _{2}] 위에 [eqn: ANGLE rm C _{2} A _{2} B _{2} =30 °]가 되도록 점 [eqn: rm C _{2} `]를 정한다. 이때 삼각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2}]의 넓이를 [eqn: S _{2}`]라 하자.
선분 [eqn: rm A _{2} C _{2}]의 중점을 [eqn: rm A_3]이라 하고, 호 [eqn: rm A_2 B_3 `]과 호 [eqn: rm C_2 B_3 `]의 길이가 같도록 점 [eqn: rm B_3 `]을 정한다. 선분 [eqn: rm A _{3} B _{3}]을 지름으로 하는 반원 [eqn: O _{3}]을 그리고, 반원 [eqn: O _{3}] 위에 [eqn: ANGLE rm C _{3} A _{3} B _{3} =30 °]가 되도록 점 [eqn: rm C _{3} `]을 정한다. 이때 삼각형 [eqn: rm A _{3} B _{3} C _{3}]의 넓이를 [eqn: S _{3}`]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 얻은 삼각형 [eqn: rm A _{ it`n} B _{`itn} C _{`itn} `]의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n}]의 값은? [3점]

① [eqn: 2 sqrt {3}}]	② [eqn: {32 sqrt {3}} over {15}]	③	[eqn: {34 sqrt {3}} over {15}]

④ [eqn: {12 sqrt {3}} over {5}]	⑤ [eqn: {38 sqrt {3}} over {15}]

11. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 [eqn: a _{1} =0`], [eqn: a _{2} =1`], [eqn: a _{3} =2`]이고,

[eqn: a _{n+3} -a _{n+2} =`a _{n+1} -a _{n} +1`] ([eqn: n GEQ 1`])

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n} `]을 구하는 과정이다.

[eqn: b _{n} =`a _{n+1} -a _{n}]이라 하면

[eqn: b _{`1}=``b_{`2} =`1`],  [eqn: b _{n+2} =`b _{n} +1] ([eqn: n GEQ 1`])

이므로 두 수열 [eqn: LEFT { b _{`2n-1} RIGHT } `], [eqn: LEFT { b _{`2n} RIGHT } `]은 모두 첫째항이 [eqn: 1`]이고, 공차가 [eqn: 1`]인 등차수열이다. 즉,

[eqn: b _{2n-1} =``b _{2n} =`] ([eqn: n GEQ 1`])

(가)

이다.

그러므로 [eqn: n GEQ2`]일 때, [eqn: a _{n} `]은 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: n`]이 홀수일 때, [eqn: n=2m-1`]이라 하면

[eqn: a _{2m-1}][eqn: =a _{1} + sum _{k=1} ^{2(m-1)} b _{k}]

[eqn: =a _{1} + sum _{k=1} ^{m-1} (b _{2k-1} +b _{2k} )]

[eqn: =`][eqn: m ^{2} -m]

(ⅱ) [eqn: n`]이 짝수일 때, [eqn: n=2m`]이라 하면

[eqn: a _{2m}][eqn: =a _{1} + sum _{k=1} ^{2m-1} b _{k}]

[eqn: =`]

(나)

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)`], [eqn: g(m)`]이라 할 때, [eqn: f(10)+g(10)``]의 값은? [3점]

① [eqn: 100]	② [eqn: 110]	③ [eqn: 120]	④ [eqn: 130]	⑤ [eqn: 140]

12. 한 꼭짓점에서 자기 자신으로 가는 변이 없고, 두 꼭짓점 사이에는 많아야 한 개의 변이 있으며, 꼭짓점이 [eqn: rm A,``B,``C,``D,``E`]의 [eqn: 5]개인 그래프 [eqn: G`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 그래프 [eqn: G`]의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합은 [eqn: 12]이다.

(나) [eqn: rm ACEDBA]는 그래프 [eqn: G`]의 경로이고, [eqn: rm ABCE]는 그래프 [eqn: G`]의 경로가 아니다.

(다) 꼭짓점 [eqn: rm A]에서 출발하여 [eqn: 3]개의 변을 지나 꼭짓점 [eqn: rm E]로 가는 경로의 수는 [eqn: 2]이다.

다음 중 그래프 [eqn: G`]의 변인 것은? [3점]

① [eqn: rm AD]	② [eqn: rm AE]	③ [eqn: rm BC]	④ [eqn: rm BE]	⑤ [eqn: rm CD]

[13 ~ 14] 두 곡선 [eqn: y=4 ^{`x} ,~y=2 ^{`x}]과 [eqn: y`]축 위의 점 [eqn: rm `P][eqn: (0,```a)] ([eqn: a>1])가 있다. 점 [eqn: rm P]를 지나고 [eqn: x]축과 평행한 직선이 두 곡선 [eqn: y=4 ^{`x} ,~y=2 ^{`x}]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A,~B]라 하자. 또, 점 [eqn: rm B]를 지나고 [eqn: y`]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y= 4`^x]과 만나는 점을 [eqn: rm C]라 하고, 점 [eqn: rm C]를 지나고 [eqn: x]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=2 `^{x}]과 만나는 점을 [eqn: rm D]라 하자. [eqn: 13]번과 [eqn: 14]번의 두 물음에 답하시오.

13. [eqn: a=2]일 때, 직선 [eqn: rm AD]의 기울기는? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: {7} over {6}]	③ [eqn: {4} over {3}]	④ [eqn: 3over2]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

14. 점 [eqn: rm P]가 점 [eqn: (0,```2)]를 출발하여 [eqn: y`]축의 양의 방향으로 매초 [eqn: 1]의 일정한 속도로 움직인다. 점 [eqn: rm P]가 점 [eqn: (0,```4)]를 지나는 순간, 삼각형 [eqn: rm ADC]의 넓이의 시간(초)에 대한 순간변화율은? [4점]

① [eqn: 5+ {3} over {2ln2}]	② [eqn: 5+ {5} over {2ln2}]	③ [eqn: 7+ {1} over {2ln2}]

④ [eqn: 7+ {3} over {2ln2}]	⑤ [eqn: 7+ {5} over {2ln2}]

15. 영행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 [eqn: A,``B`]가
[eqn: A` ^{`2} `+B` ^{`2} `=O`], [eqn: (A+B`) ^{`2} `=O`]
를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이고, [eqn: O`]는 영행렬이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: A`B```=`-B`A] ㄴ. [eqn: A ^{3} B^{3}```=B`^{`3}A` ^{3}] ㄷ. 행렬 [eqn: A+B+E`]는 역행렬을 갖는다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

16. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 다음과 같은 규칙으로 제[eqn: n`]행에 [eqn: n`]개의 정수를 적는다.

(가) 제[eqn: `1]행에는 [eqn: 100]을 적는다.

(나) 제[eqn: (n+1)]행의 왼쪽 끝에 적힌 수는 제[eqn: n`]행의 오른쪽 끝에 적힌 수보다 [eqn: 1]이 작다.

(다) 제[eqn: n`]행의 수들은 왼쪽부터 순서대로 공차가 [eqn: -1]인 등차수열을 이룬다. ([eqn: n GEQ 2])

제[eqn: n`]행에 적힌 모든 수의 합을 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: a _{13} -a _{12}]의 값은?

[4점]

① [eqn: -136]	② [eqn: -134]	③ [eqn: -132]	④ [eqn: -130]	⑤ [eqn: -128]

제[eqn: 1]행	[eqn: 100]
제[eqn: 2]행	[eqn: 99]	[eqn: 98]
제[eqn: 3]행	[eqn: 97]	[eqn: 96]	[eqn: 95]
제[eqn: 4]행	[eqn: 94]	[eqn: 93]	[eqn: 92]	[eqn: 91]
제[eqn: 5]행	[eqn: 90]	[eqn: 89]	[eqn: 88]	[eqn: 87]	[eqn: 86]
[eqn: vdots]			[eqn: vdots]			[eqn: ddots]

17. 그림에서 두 지점 [eqn: rm`A], [eqn: rm`B]를 연결하는 해안도로의 길이는 [eqn: 16` rm km]이고, 두 지점 [eqn: rm`A], [eqn: rm`C]를 연결하는 다리와 두 지점 [eqn: rm`B], [eqn: rm`C]를 연결하는 다리의 길이는 각각 [eqn: 10` rm km], [eqn: 2` rm km]이다.

승용차는 해안도로를 이용하여 [eqn: rm A] 지점부터 [eqn: rm B] 지점까지 평균속력 [eqn: (v+6)` rm km/시]로 이동하고, 버스는 다리를 이용하여 [eqn: rm A] 지점부터 [eqn: rm C] 지점까지는 평균속력 [eqn: (v-7)` rm km/시]로, [eqn: rm C] 지점부터 [eqn: rm B] 지점까지는 평균속력 [eqn: v` rm km/시]로 이동한다. 승용차와 버스가 [eqn: rmA] 지점을 동시에 출발하여 [eqn: rmB] 지점에 동시에 도착하였을 때, [eqn: v`]의 값은? (단, 승용차와 버스는 중간에 멈추지 않는다.) [4점]

① [eqn: 36]	② [eqn: 38]	③ [eqn: 40]	④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 44]

18. 그림과 같이 [eqn: rm` bar{AB} `< bar{AC}]인 삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: ANGLE rm ABC=alpha], [eqn: ANGLE rm ACB=beta]라 하자. 또, [eqn: bar {rm AB }= bar {rm AD }]가 되도록 변 [eqn: rm AC] 위에 점 [eqn: rm D]를 잡고 [eqn: ANGLE rm DBC= theta]라 하자. [eqn: cos rm ` alpha = {sqrt {10}} over {10}], [eqn: cos rm ` beta = {sqrt {5}} over {5}]일 때, [eqn: sin2 theta]의 값은? [4점]

① [eqn: {root2} over {10}]	② [eqn: {sqrt {3}} over {10}]	③ [eqn: {1} over {5}]

④ [eqn: {sqrt {5}} over {10}]	⑤ [eqn: {sqrt {6}} over {10}]

19. 열린 구간 [eqn: (`0,```2 pi )]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= {sinx} over {e ^{2x}}]가 [eqn: x = a `]에서 극솟값을 가질 때, [eqn: cos`a`]의 값은? [4점]

① [eqn: - {2 sqrt {5}} over {5}]	② [eqn: - {sqrt {5}} over {5}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {sqrt {5}} over {5}]	⑤ [eqn: {2 sqrt {5}} over {5}]

20. 함수 [eqn: f(x)]가 다음과 같다.

[eqn: f(x)=cases{ pile {## ## }]	[eqn: {{1} over {2} (x ^{3} -3x)]	[eqn: (x LEQ -1~또는~x GEQ 0)]
	[eqn: {{1} over {2} (x ^{3} -3x) -1]	[eqn: (-1<x<0)]

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 미분가능하다. ㄴ. [eqn: lim _{x` -> `0} {}` f` prime (x)=`- {3} over {2}] ㄷ.[eqn: lim_{x`->`-1+0} f(f`'(x)) = 0]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

21. 그림과 같이 길이가 [eqn: 2`]인 선분 [eqn: rm`AB]를 지름으로 하는 반원 위에 점 [eqn: rm P]가 있다. 점 [eqn: rm`B]를 지나고 선분 [eqn: rm `AB]에 수직인 직선이 직선 [eqn: rm`AP]와 만나는 점을 [eqn: rm`Q]라 하고, 점 [eqn: rm`P]에서 이 반원에 접하는 직선과 선분 [eqn: rmBQ]가 만나는 점을 [eqn: rm`R]라 하자. [eqn: ANGLE rm PAB=theta`]라 하고 삼각형 [eqn: rm PRQ]의 넓이를 [eqn: S`(theta)]라 할 때, [eqn: lim _{theta -> +0} {} S(theta) over theta^3]의 값은?

(단, [eqn: 0< theta < {pi } over {4}]이다.) [4점]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 3 over 4]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 5 over4]	⑤ [eqn: 2]

단답형

22. 모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이

[eqn: {a _{5}} over {a _{2}} =8`], [eqn: a _{3} +a _{4} =12`]
를 만족시킬 때, [eqn: a _{8} `]의 값을 구하시오. [3점]

23. 무리방정식 [eqn: sqrt { x-3}`+5=`x]의 해를 구하시오. [3점]

24. [eqn: n`]이 자연수일 때, 집합 [eqn: A`]를

[eqn: A=][eqn: LEFT { x~ LEFT | `` {x-2n} over {(x-n)(x-3n)} LEQ 0 RIGHT } RIGHT .]

이라 하자. [eqn: 120` IN A]일 때, [eqn: n`]의 최솟값을 구하시오. [3점]

25. 두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B`]가

[eqn: A+B```=`8E], [eqn: AB```=2E]

를 만족시킬 때, 행렬 [eqn: A^-1 (A^2 + B^2 ) B^-1]의 모든 성분의 합을 구    하시오. (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [3점]

26. 공기 중의 암모니아 농도가 [eqn: C``]일 때 냄새의 세기 [eqn: I``]는 다음 식을 만족시킨다고 한다.
[eqn: I = k log ` C`` `+ a`] (단, [eqn: k`]와 [eqn: a`]는 상수이다.)
공기 중의 암모니아 농도가 [eqn: 40`]일 때 냄새의 세기는 [eqn: 5`]이고, 공기 중의 암모니아 농도가 [eqn: 10`]일 때 냄새의 세기는 [eqn: 4`]이다. 공기 중의 암모니아 농도가 [eqn: p`]일 때 냄새의 세기는 [eqn: 2.5`]이다. [eqn: 100`p`]의 값을 구하시오. (단, 암모니아 농도의 단위는 [eqn: rmppm`]이다.) [4점]

27. 수열 [eqn: left{ a_n right}]이 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} (-1) ^{k} a _{k} =n ^{3}]

을 만족시킬 때, [eqn: lim_n->inf {a_2n-1 + a_2n}overn]의 값을 구하시오. [4점]

28. 지름의 길이가 [eqn: 1]인 원에 내접하는 사각형 [eqn: rm ABCD]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 선분 [eqn: rm`AB]는 원의 지름이다.

(나) [eqn: rm bar{AD`} `= bar{CD}` <root2 over 2]

사각형 [eqn: rm ABCD]의 둘레의 길이가 [eqn: {19} over {8}]일 때, 선분 [eqn: rm `AD]의 길이는 [eqn: q over p]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

29. 첫째항이 [eqn: 50`], 공차가 정수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { T _{n} RIGHT } `]을
[eqn: T _{n} =` LEFT |` a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+`a _{n} ` RIGHT | `]
이라 하자. 수열 [eqn: LEFT { T _{n} RIGHT } `]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: T _{16} <T _{17} `]             (나) [eqn: T _{17} >T _{18} `]

[eqn: T _{n} >T _{n+1} `]을 만족시키는 [eqn: n`]의 최댓값을 구하시오. [4점]

30. 그림은 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프이다.

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1], [eqn: x=2], [eqn: x=3`]에서만 불연속이다. 이차함수 [eqn: g(x)=x ^{2} -4x+k`]에 대하여 함수 [eqn: (f CIRC g)(x)]가 [eqn: x=2`]에서 불연속이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: k`]의 합을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.