• 제 2 교시 •

수리 영역

[인문계]

정 답

1	①	2	②	3	③	4	④	5	④	6	②	7	③	8	④
9	①	10	⑤	11	⑤	12	④	13	③	14	③	15	①	16	②
17	⑤	18	⑤	19	②	20	②	21	④	22	②	23	①	24	③
25	12	26	10	27	87	28	10	29	24	30	61.25

해 설

1. [출제 의도] 무리수를 유리화하여 계산할 수 있다.

(주어진식)[eqn: `=` {1 } over { root 2 + 1 } + { 1 } over { root 2 -1 } } ``]

[eqn: =` {root2 -1 } over { (root 2 + 1 )(root2 -1 )} + { root2 +1 } over { (root 2 -1)(root2 +1) } } ``]

[eqn: `=` root2 -1 +root2 +1` =` 2root2``]

2. [출제 의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용할 수 있다.

근과 계수의 관계에 의해 [eqn: alpha + beta` = `-1` , ``alpha` beta `=` 1``]

[eqn: x^2 +x + 1 `=` 0 ``]의 두 근이 [eqn: alpha , `beta ``]이므로

[eqn: alpha^2 + alpha + 1 `=`0``], [eqn: beta ^2 + beta + 1` =`0``]

∴ [eqn: alpha^2 + 1` =` -alpha``], [eqn: beta ^2 + 1` =`-beta``]

∴ (주어진 식) [eqn: =`{alpha beta }over { alpha+beta}` =`-1``]

3. [출제 의도] 행렬의 연산을 할 수 있다.

[eqn: A`+`B`=`pmatrix{0` & -1`` # 1` & 0`` }``]이므로

[eqn: A`^2`+`A`B`+B`A`+`B`^2``][eqn: =`(`A`+`B`)`^2``]

[eqn: =`pmatrix{0` & -1`` # 1 & 0`` }``][eqn: `pmatrix{0` & -1`` # 1` & 0`` }][eqn: =``pmatrix{-1` & 0`` # 0` & -1`` }``]

따라서  모든 성분의 합은 [eqn: (`-1`)`+`0`+`0`+`(`-1`)`=`-2``]

4. [출제 의도] 인수분해를 이용하여 극한값을 구할 수 있다.

(주어진 식)[eqn: =`lim_x→1 {( x +1)(x -1)^2} over {(x -1 )^2}`=`lim_x→1 ( x +1) `=`2``]

5. [출제 의도] 필요조건과 충분조건을 이해할 수 있다.

조건 [eqn: LEFT | x`` RIGHT | ``=`1``]를 만족하는 진리집합은 [eqn: LEFT { -1``,``1`RIGHT } ``]이다.

ㄱ.[eqn: LEFT {`x``|`` x``≦``1`` RIGHT }]⊃[eqn: LEFT { -1``,``1`RIGHT } ``]이므로 필요조건이지만 충분조건은 아니다.

ㄴ.[eqn: LEFT {`x``|`` x``≧``-1`` RIGHT }]⊃[eqn: LEFT { -1``,``1`RIGHT } ``]이므로 필요조건이지만 충분조건은 아니다.

ㄷ.[eqn: LEFT {`x``|`` x`^2`=``1`` RIGHT }][eqn: =`][eqn: LEFT { -1``,``1`RIGHT } ``]이므로 필요충분조건이다.

6. [출제 의도] 다항식의 곱셈과 인수분해를 할 수 있다.

[eqn: x^{ 2 } +2x+1=(x+1)^{ 2 } `````] ∴ A[eqn: =`x+1``]

[eqn: x^{ 2 } +3x+2=(x+1)(x+2)]  ∴ B[eqn: =`x+2``]

∴ C[eqn: =`(x+2)(x-3)`=`x^{ 2 } -x-6``]

7. [출제 의도] 이차함수의 꼭지점의 좌표를 구할 수 있다.

이차함수 [eqn: f`(g(x))`=` (2x-1-a)^2 +b``]의 꼭지점의 좌표는

[eqn: (3, ``4)``]이므로 [eqn: a+1 over 2` =`3``], [eqn: b`=`4``]

∴ [eqn: a+b`=`9``]

8. [출제 의도] 직각삼각형에서 삼각비의 정의를 이해할 수 있다.

ㄱ. 직각삼각형 [eqn: rm OAB`]에서 [eqn: rm {bar AB } over {bar OA} `= `bar AB `=` tanθ``] (거짓)

ㄴ. 직각삼각형 [eqn: rm OAB`]에서[eqn: rm {bar OA} over {bar OB}` =` 1 over {bar OB}` =`cosθ``]

∴ [eqn: rmbar OB `= `1 over cosθ``] (참)

ㄷ. [eqn: ∠rm ABC`=`theta``]이므로 △ABC에서

[eqn: rm bar AC` =` bar AB tan theta `=` tan^2 theta``](참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

<별해>

ㄷ. 직각삼각형 [eqn: rm OBC`]에서[eqn: rm{bar OB} over {bar OC}` =` cosθ``]

∴ [eqn: rm bar OC` =` bar OB over cosθ `=` 1 over {cos^2 θ}`=`sec^2 theta``]

이때 [eqn: rm bar OC `=` bar OA + bar AC``]이므로 [eqn: sec^2 theta`=` 1+ rm bar AC``]

∴ [eqn: rm bar AC` = `tan^2 theta``] (∵ [eqn: 1+ tan^2 theta` =` sec^2 theta``])

9. [출제 의도] 무한급수를 정적분으로 고치고, 정적분의 기하학적 의미를 이해할 수 있다.

주어진 그림에서 [eqn: A`=` int from { 1 } to { 3 } {f`(x) dx`` } ``]이다.

[eqn: lim from { n-> INF } { ` sum from { k=1 } to { n } { } ``f` left( 1+ { 2k } over { n } right) { 1 } over { n } } ``][eqn: =` { 1 } over { 2 } ``][eqn: lim from { n-> INF } { ` sum from { k=1 } to { n } { } ``f` left( 1+ { 2k } over { n } right) { 2 } over { n } } `]이고,

[eqn: lim from { n-> INF } { ` sum from { k=1 } to { n } { } ``f` left( 1+ { 2k } over { n } right) { 2 } over { n } } ``][eqn: =`int from { 1 } to { 3 } { f`(x) dx`` } ``]이므로

[eqn: lim from { n-> INF } { ` sum from { k=1 } to { n } { } ``f` left( 1+ { 2k } over { n } right) { 1 } over { n } } `][eqn: =` { 1 } over { 2 } int from { 1 } to { 3 } { f`(x) dx`` } ``][eqn: =` A over 2``]

10. [출제 의도] 원과 직선과의 위치관계를 이해할 수 있다.

[eqn: n(A ∩ B) ``]의 값이 홀수이기 위해서는 그림과 같이 직선 [eqn: x+y`=`k``]가 [eqn: 3`]개의 동심원 [eqn: x^2 +y^2 `=` r^2 ``]([eqn: r`=`1,`` 2,`` 3``]) 중의 [eqn: 1`]개와 접해야 한다.

이때 원의 중심 (0, 0)과 직선 [eqn: x+y`=`k``] 사이의 거리는 원의 반지름의 길이 [eqn: r``]과 같아야 하므로

[eqn: {|`k``|} over root2` =` r``]    ∴ [eqn: k`=`+- r root2``]

따라서 주어진 값 중 [eqn: k``]의 값이 될 수 있는 것은 [eqn: 3root2``]이다.

11. [출제 의도] 순서도의 알고리즘을 이해하여 구하는 값을 추론할 수 있다.

[eqn: n``]의 값	[eqn: S``]의 값
1	1
2	1+2
3	1+2+3
4	1+2+3+4
5	〃
6	1+2+3+4+6
7	〃
8	1+2+3+4+6+8
9	〃
10	〃
11	〃
12	1+2+3+4+6+8+12
13	〃
⋯	〃
23	〃
24	1+2+3+4+6+8+12+24

주어진 순서도에서 인쇄되는 [eqn: S``]의 값을 차례로 구하면 다음 표와 같다.

∴ [eqn: S=``]([eqn: 24``]의 양의 약수의 합)

[eqn: =` 1+2+3+4+6+8+12+24``][eqn: =` 60 ``]

12. [출제 의도] 주어진 규칙을 이해하여 구하는 결과를 추론할 수 있다.

ㄱ. [eqn: 9``→``10``→``5``→``6``→3``→``4``→``2``→1``]이므로 [eqn: f`(9)`=`7``](참)

ㄴ. [eqn: f`(n)`=`k``]([eqn: k``]는 자연수)의 값을 최대가 되게 하는 [eqn: n``]의 값을 구하기 위해서는 주어진 시행을 다음과 같이 거꾸로 시행해 나가면 된다.

[eqn: `1`→`2`→`4`→`8`→`16`→`32`→`~ ⋯``]

따라서 [eqn: f`(n)=5``]를 성립시키는 [eqn: n``]의 최대값은 [eqn: 32``]이다.(참)

ㄷ. [eqn: f`(n)`=`k``]([eqn: k``]는 자연수)의 값을 최소가 되게 하는 [eqn: n``]의 값을 구하기 위해서는 주어진 시행을 다음과 같이 거꾸로 시행해 나가면 된다.  [eqn: 1`→`2`→`4`→`3`→`6`→`5`→`10`→`9`→`18`→`17`→`~ ⋯``]

따라서 [eqn: f`(n)`=`9``]을 만족하는 [eqn: n``]의 최소값은 [eqn: 17``]이다.(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

13. [출제 의도] 대칭이동의 개수를 구할 수 있다.

주어진 그림에서 두 직선[eqn: l_3 ,`` l_1``]를 각각 [eqn: x,` y``]축으로 잡고, 각 도형의 위치를 점[eqn: (x, `y)``]라 하면 주어진 네 직선 [eqn: l_1 ,``l_2 ,`` l_3 ,``l_4 ``]에 대한 대칭이동은 각각 [eqn: y``]축, [eqn: y`=`-x``], [eqn: x``]축, [eqn: y`=`x``] 에 대한 대칭이동과 같다.

규칙1에 의해 점[eqn: (x,`y)``]의 대칭이동한 결과는

[eqn: (-x,`y)``], [eqn: (-y,`-x)``], [eqn: (x,`-y)``], [eqn: (y,` x)``]이고

규칙2에 의해 점[eqn: (x,y)`]의 대칭이동한 결과는

[eqn: (x,`y)``],[eqn: (-x,`-y)``], [eqn: (y,`-x)``], [eqn: (-y,`x)``]뿐이다.

따라서 서로 다른 모양은 모두 [eqn: 8``]개이다.

14. [출제 의도] 함수와 역함수의 그래프의 대칭성을 이해할 수 있다.

원 [eqn: (x-3)^2 +(y-3)^2 `=` 4``]의 그래프는 직선 [eqn: y`=`x``]에 대하여 대칭이고, 함수 [eqn: y`=`f`(x)``]의 그래프와 역함수 [eqn: y`=`f`^-1 (x)``]의 그래프도 직선 [eqn: y`=`x``]에 대하여 대칭이다.

따라서 그림에서 두 직선 [eqn: rm AB], [eqn: rm CD`]는 직선 [eqn: y`=`x``]에 대하여 대칭이다.

따라서 직선 [eqn: rm AB `]의 방정식을 [eqn: y`=`m_1 x+n``]이라 하면 직선 [eqn: rm CD`]의 방정식은 [eqn: x`=`m_1 y+n``] 즉, [eqn: y`=` 1 over m_1 x - n over m_1 ``]이다.

따라서 [eqn: m_2 `=` 1 over m_1 ``]이므로 [eqn: m_1 m_2 `=`1``]이다.

<별해>

두 점 [eqn: rm A, B`]의 좌표를 각각 [eqn: (a, b) , ``(c, d`)``]라 하면 두 점 [eqn: rm C, D`]의 좌표는 각각 [eqn: (b, a),``(d, c)``]이므로

[eqn: m_1` =` d-b over c-a `, ~m_2 `=` c-a over d-b ``]

∴ [eqn: m_1 `m_2 `=`1``]

15. [출제 의도] 조건부확률을 이용하여 계산할 수 있다.

[eqn: P(A)`=` {(노란색~모자를~쓴~여자의 ~수)}over{(노란색 ~모자를~ 쓴~사람의 ~수)}``][eqn: =` 6 over 9 `=` 2 over 3``]

[eqn: P(B)`=` {(노란색~모자를~쓴~여자의 ~수)}over{(여자의 ~수)}``][eqn: =` 6 over 24 `=` 1 over 4``]

∴ [eqn: P(A)-P(B)`=` 2 over 3 - 1over4 `=` 5 over 12``]

16. [출제 의도] 주기함수의 성질을 증명할 수 있다.

임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`(x)` =` f`(x+T`)``]이므로

[eqn: f`(x)` =` f`(x + bT`)``] 즉, [eqn: f(x) = f(x + a)]이다.

따라서 임의의 자연수 [eqn: k``]에 대하여 [eqn: f`(x)` = `f`(x + k`a`)``]이다.

∴ [eqn: `f`(n)`=`f`(aq+r)` =```f`(r)``]

따라서 [eqn: \{``f`(n)``|` n은~자연수 \}``][eqn: = \{ f`(0), ~f`(1), ~f`(2), ~cdots ~, ~f`(a-1)`` \}``]

그런데 [eqn: f`(a) `=` f`(0)``]이므로

[eqn: \{``f`(n)``|` n은~자연수 \}``][eqn: =`` \{ f`(1), ~f`(2), f`(3), ~cdots~ ,f`(a-1), ~f`(a)`` \}``]

17. [출제 의도] 도형의 성질을 증명할 수 있다.

사각형 [eqn: rm ABQC``]는 원에 내접하므로 대각의 합은 [eqn: 180°]이다.

[eqn: rm angle BQC` =` 135Deg``]

[eqn: rm angle CQR` = `360Deg- angle BQC -90Deg = `135Deg``]

∴ [eqn: rm triangle CQB ``equiv`` triangle CQR``]

∴ [eqn: rm bar CR` =` bar CB `=` bar CA``]

따라서[eqn: rm triangle CAR``]은 이등변 삼각형이다.

[eqn: rm bar AP ``=` `bar PR``=`` bar PQ + bar QB``]

18. [출제 의도] 곡선 위의 두 점 사이의 위치관계를 이해할 수 있다.

직선[eqn: rm AC`]는 기울기가 [eqn: -1``]이고 한 점 [eqn: rm A `left( 1over 2 ,` 3over4 right) ``]를 지나므로 이 직선의 방정식은 [eqn: y - 3 over 4 `=` -left( x - 1 over2 right) ``]

∴ [eqn: y `=` - x + 5 over4 ``]… ㉠

직선 ㉠ 과 곡선 [eqn: y` =`-x^2 +2x``]의 교점의 [eqn: x`]좌표를 구하면

[eqn: -x^2 + 2x `= `-x + 5 over 4``],  [eqn: 4x^2 - 12x + 5 `=` 0 ``], [eqn: ( 2x - 1) ( 2x- 5 )` =` 0 ``]

∴ [eqn: x `=` 1 over 2 , 5 over 2 ``]

따라서 정사각형 [eqn: rm ABCD`]의 한 변의 길이는 [eqn: 5 over 2 - 1 over 2 `=` 2``]

19. [출제 의도] 주어진 문제상황을 이해하여 경우의 수를 구할 수 있다.

먼저 남자 [eqn: 4``]명을 앉히는 경우의 수는

[eqn: {4!} OVER 4 ×2×2×2×2``][eqn: =`3×2^5``][eqn: =`96``](가지)

이제, 여자 4명을 앉히는 경우의 수는 [eqn: 4! `=`24``](가지)

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 96×24`=`2304``]가지이다.

20. [출제 의도] 문제상황에 맞는 함수의 그래프를 그릴 수 있다.

점 [eqn: rm C'`]의 좌표를 [eqn: ( it x, y)``]라고 놓으면 그림에서

[eqn: x`=`2+cos left( pi over 2 - θ right)][eqn: =`2+sinθ ``],

[eqn: y`=`sin left( pi over 2 - θright)][eqn: =`cosθ``]

∴ [eqn: rm bar OC'` =`it root {x^2 +y^2 }``]

[eqn: =`root{4+4sinθ +sin^2 θ + cos^2 θ }``]

[eqn: =`root{5+4sinθ}``]

∴ [eqn: y`=`left{ f(θ)right}^2][eqn: =`rm{bar OC'}^2``][eqn: =`5+4sinθ``]

따라서 함수 [eqn: y`=`left{ f(θ)right}^2``][eqn: =`5+4sinθ``]의 그래프의 개형은 ②와 같다.

21. [출제 의도] 속도와 거리 사이의 관계를 이용하여 문제상황을 해결할 수 있다.

직사각형 [eqn: rm OPQR``] 과 겹쳐지는 부분이 최초로 직사각형이 되는 것은 점 [eqn: rm Q]가 삼각형의 빗변 위에 있을 때이다. 이 때, 점[eqn: rm A`]의 위치는 [eqn: 18`]이므로 이때까지 걸린 시간을 [eqn: x`]라 하면

[eqn: INT _{ 0}^{x } left( ` 3`t`^2`-`2`t`right)`d`t``=` { [`t`^3`-`t`^2`]`}`_{0 } ^{x}` `][eqn: =`x`^3`-`x`^2`=`18``], [eqn: x`^3`-`x`^2`-`18`=`0``] [eqn: (`x`-`3`)`(`x`^2`+`x``+`6`)`=`0``]

∴ [eqn: x`=`3``]

22. [출제 의도] 문제에 적합한 방정식을 세워 문제를 해결할 수 있다.

(가), (나) 에 알맞은 값을 [eqn: x```,```y`] 라 하면

[eqn: x`+`k`y`=`20`] ([eqn: x``,``y``,``k`] 는 자연수)

이때 [eqn: B``]가 [eqn: 1`]개에서 [eqn: 5`]개까지 중에서 몇 개를 가져가든 [eqn: A`]는 항상 합이 [eqn: y`]가 되도록 하여야 하는데, [eqn: y`]의 값이 될 수 있는 것은 [eqn: 6`]뿐이다.	∴ [eqn: y`=`6`]

이때 [eqn: x`=`2,~ k`=`3``]이므로 (가), (나)에 알맞은 값은 차례대로 [eqn: 2, ~6`]이다.

23. [출제 의도] 주어진 조건을 수식으로 나타내어 문제를 해결할 수 있다.

한 번 클릭할 때마다 파일의 크기가 [eqn: 2``]배로 커지므로 [eqn: n``]번을 클릭한 후의 파일의 크기 [eqn: x``]는 [eqn: x=``][eqn: 1000×2^n]바이트이다.

이때 시스템이 다운되기 위해서는

[eqn: 1000×2^n `>`5×10^9`]	∴ [eqn: 2^n `>` 5×10^6``]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: log 2^n `>` log (5・10^6 )``]

[eqn: n log2` >` log5 +6`=`7-log2``] (∵ [eqn: log5 `=` log 10 over 2 `=` 1- log2``])

∴ [eqn: n`>` 6.6990 over 0.3010``][eqn: =`22.``cdots``]

따라서 마우스를 [eqn: 23``]번 클릭하면 시스템이 다운된다.

24. [출제 의도] 주어진 값을 수식에 대입하여 외적문제를 해결할 수 있다.

[eqn: x`=`500``]m, [eqn: y`=`375``]m, [eqn: t`=`5``]이므로

[eqn: 500`=`v・5・cosθ``]	∴ [eqn: cosθ`=` 100 over v``] ⋯ ㉠

[eqn: 375`=`v・5・sinθ- 5・5^2``]	∴ [eqn: sinθ`=` 100 over v``] ⋯ ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: cos^2 θ +sin^2 θ `=` 20000 over v^2``][eqn: =1``]	∴ [eqn: v`=`100root2``] ([eqn: because ``][eqn: v`>`0``])

이때 [eqn: cosθ`=`sinθ`=` 1over root2``]이므로 [eqn: θ`=` pi over 4``]

따라서 처음 속도 [eqn: v`]와 발사각 [eqn: theta`]는 각각 [eqn: 100root2``]m/초, [eqn: pi over 4``]이다.

∴ [eqn: a b `=` 100root2 times pi over 4 `=` 25root2 pi``]

25. [출제 의도] 나머지정리를 이용하여 식의 값을 계산할 수 있다.

이차식 [eqn: f``(x`)`]의 이차항의 계수가 [eqn: 1``]이므로

[eqn: f``(x`)`-2`=`(`x`-`1`)`(`x`+`2`)`] … ㉠

이때 ㉠ 이 [eqn: x`]에 대한 항등식이므로

[eqn: x`=`3]일 때  [eqn: f`(3`)`-2`=`(3-1)(3+2)```=`10]

∴ [eqn: f`(`3`)`=`12``]

26. [출제 의도] 사차식을 인수분해하여 근과 계수의 관계를 이용할 수 있다.

[eqn: x`^4`-`6`x`^2`+`25`=`x`^4`+`10`x`^2`+`25`-`16`x`^2`][eqn: =`(`x`^2`+`5`)`^2`-`(`4`x`)`^2`]

[eqn: =`(`x`^2`-`4`x`+`5`)`(`x`^2`+`4`x`+`5`)`]

따라서 이차방정식 [eqn: x`^2`-`4`x`+`5`=`0`] 의 두 근이 [eqn: alpha ```,```overline alpha~`] (또는 [eqn: beta ```,```overline beta~`])이면 이차방정식 [eqn: x`^2`+`4`x`+`5`=`0`] 의 두 근이 [eqn: beta ```,```overline beta~`] (또는[eqn: alpha ```,```overline alpha~`] ) 이다.	∴ [eqn: alpha `` overline alpha~``+` beta `` overline beta~`=`5`+`5`=`10``]

27. [출제 의도] 주어진 규칙을 이용하여 결과를 추론할 수 있다.

제 [eqn: 1`]군    제 [eqn: 2`]군      제 [eqn: 3`]군        제 [eqn: 4`]군       [eqn: CDOTS ``]

[eqn: (`1`)`]     [eqn: (`2``,``1`)`]     [eqn: (`2``,``2``,``1`)`]    [eqn: (`2``,``2``,```2``,``1`)`]    [eqn: CDOTS``]

와 같이 괄호로 묶어 군수열로 생각하면 제 [eqn: n`]군까지의 모든 항의 개수는    [eqn: 1`+`2`+`3`+`` CDOTS` `+`n`=`{n`(n`+`1`)} over 2``]

[eqn: n`=`13`]일 때 [eqn: {13` CDOT `14} over 2`=`91`]이므로 제 [eqn: 100`]항은 제 [eqn: 14`]군의 [eqn: 9`]번째 항이다.

한편,  제 [eqn: n`]군의 모든 항의 곱은 [eqn: 2`^{n`-`1}`] 이므로 첫째항부터 제 [eqn: 100`]항까지의 곱은 [eqn: 2`^0` TIMES `2`^1` TIMES `2`^2` TIMES `CDOTS `TIMES `2`^12` TIMES `2`^9`][eqn: =`2`^87``]

∴ [eqn: a`=`87``]

28. [출제 의도] 방정식과 부등식을 세워 내적문제를 해결할 수 있다.

나머지 두 변의 길이를 각각 [eqn: x,~ y``]라 하면 [eqn: x + y `=` 40``]이다. 합동인 삼각형은 한 개로 세므로 [eqn: x` ≦` y``]라고 가정할 수 있다. 삼각형이 되기 위해서는 [eqn: x+20 `>`y``]이어야 한다.

이식에 [eqn: x`=` 40 - y``]를 대입하면 [eqn: 2y < 60]이다. ∴ [eqn: y `<` 30``]

[eqn: y`=` 40-x``]를 대입하면 [eqn: 2x` >` 20``]이다. ∴ [eqn: x>10]

[eqn: x`]	11	12	…	19	20
[eqn: y`]	29	28	…	21	20

따라서 구하는 삼각형의 개수는 [eqn: 10``]개다.

29. [출제 의도] 미분을 이용하여 삼차방정식 문제를 해결할 수 있다.

곡선 [eqn: y`=`x^3`-`10x`+`16`]과 직선 [eqn: y`=`m`x``]가 서로 접할 때, 주어진 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다. 접점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: t`] 라 하면

[eqn: t^3`-`10t`+`16`=`m`t`] … ㉠

곡선 [eqn: y`=`x^3`-`10x`+`16`]의 [eqn: x`=`t``]에서의 접선의 기울기가 [eqn: m``] 이므로

[eqn: 3t^2`-`10`=`m`] … ㉡

㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면

[eqn: t^3`-`10t`+`16`=`(`3t^2`-`10)`t`],  [eqn: t^3`=`8`]

따라서 [eqn: t`=`2`], [eqn: m`=`2``]이므로 [eqn: x^3`-`10x`+`16`=`2x`]에서

[eqn: (`x`+`4`)`(`x`-`2`)^2`=`0]

따라서 접점의 좌표는 [eqn: (2, ~4)``]이다.

∴ [eqn: m^2 + alpha^2 + beta^2 `= `4 +4+16` = `24``]

30. [출제 의도] 로그함수의 그래프에서 함수값을 구할 수 있다.

네 점 [eqn: rm A,` B,` C,` D``]의 [eqn: y``]좌표를 차례로 [eqn: a, `b,` c,` d``]라고 하면

[eqn: a`=`log_{1over8} 1over 4``][eqn: =`log_{2^-3}`` 2^-2` =` 2over3``]

[eqn: b=log_root2 1over4``][eqn: =`log_{2^{1over2}} ``2^-2``=`-4``]

[eqn: c`=`log_{1over8} 2``][eqn: =`log_{2^-3}`` 2 `=`- 1over 3``]

[eqn: d`=`log_root2 2 `=`2``]

이때 [eqn: rm bar AB `=`it a-b `=` 14 over 3``], [eqn: rm bar CD `=` it d-c `=` 7over3``]이고

사다리꼴의 높이는 [eqn: 2- 1over 4 `=` 7over4``]이므로

사다리꼴 [eqn: rm ABCD``]의 넓이는

[eqn: 1over2 ∙ 7 over 4 ∙(rm bar AB + bar CD )``][eqn: =` 49over 8``][eqn: =`6.125``]

∴ [eqn: 10S `=` 61.25``]

[자연계]

정 답

1	①	2	②	3	③	4	①	5	④	6	②	7	④	8	④
9	③	10	⑤	11	⑤	12	④	13	③	14	⑤	15	①	16	②
17	⑤	18	②	19	②	20	⑤	21	④	22	②	23	①	24	③
25	12	26	10	27	87	28	60	29	17	30	61.25

해 설

1～3. 인문계 1번～3번과 동일

4. [출제 의도] 로그함수의 극한값을 구할 수 있다.

[eqn: x-e `=` t``]로 놓으면 [eqn: x ``→ `e``]일 때 [eqn: t`` → `0``]이므로

(주어진 식)[eqn: = lim_t→0 {ln t+e over e } over t``][eqn: =` lim_t→0 { ln left( t over e +1 right) } over {t over e cdot e}``]

[eqn: = 1 over e lim_t→0 { ln left( t over e +1 right) } over {t over e }``][eqn: = 1 over e``] (∵ [eqn: lim_x→0 {ln(x+1) over x } `=`1``])

<별해>

함수 [eqn: f`(x)`=`lnx``]라 하면 [eqn: f`'(x)`=` 1 over x ``]

∴ (주어진 식)[eqn: =`lim_x->e {ln x - ln e } over x-e``][eqn: =`lim_x->e {f`(x) - f`(e) } over x-e``]

[eqn: =` f``'(e)`][eqn: = `1 over e ``]

5. [출제 의도] 벡터의 연산을 할 수 있고, 벡터의 크기를 구할 수 있다.

[eqn: 2( vec a - vec b`) + 3 vec b ` =` 2 vec a - 2 vec b + 3 vec b`= `2 vec a + vec b ``]

[eqn: = `2( -2 , 3 ) + (2 , -1 ) `=` (-2, 5 )``]

따라서 [eqn: 2( vec a - vec b` ) + 3 vec b ``]의 크기는 [eqn: root { (-2)^2 + 5^2 } `= ` root 29``]

6. 인문계 6번과 동일

7. [출제 의도] 정적분과 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이의 관계를 이해할 수 있다.

곡선 [eqn: y ` = `1 over x ``]과 [eqn: x`]축 및 두 직선 [eqn: x `=` 1 ,`` x` =` 8``]로 둘러싸인 도형의 넓이는 [eqn: int_1^8 1 over x dx `=` [ln x]_1^8``][eqn: =`ln8``]

이때 곡선 [eqn: y ` =` 1 over x ``]과 [eqn: x`]축 및 두 직선 [eqn: x `=` 1 ,`` x` =` a``]로 둘러싸인 도형의 넓이는

[eqn: int_1^a 1 over x dx` =` [ln x]_1^a``][eqn: =`ln a``][eqn: = `1over 2 ln 8``]

∴ [eqn: a`=` root 8 `=`2root2``]

8. 인문계 8번과 동일

9. [출제 의도] 정사영을 이용하여 수면의 넓이를 구할 수 있다.

그림과 같이 컵을 기울이기 전의 수면과 원기둥의 모선이 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm A,` B``]라 하고, 컵을 최대로 기울였을 때 원기둥의 모선과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm C, ~D`]라 하면 [eqn: rm bar AC `=` bar BD``][eqn: =`4``]cm이므로 [eqn: rm bar DE `=` 8``]cm이다.

따라서 직각삼각형[eqn: rm CDE`]에서 [eqn: rm bar CD = 10``]cm이므로 [eqn: rm ∠ECD`][eqn: =theta`]라 하면

[eqn: cos theta = 6 over 10 = 3 over 5``]

이때 수면의 밑면 위로의 정사영은 밑면인 원이므로 수면의 넓이를 [eqn: S``]라 하면 [eqn: S ∙ cos theta = 3^2 pi``] 에서 [eqn: 3 over 5 S `=`9pi ``]

∴ [eqn: S`=`15pi``]

10～13. 인문계 10번～13번과 동일

14. [출제 의도] 쌍곡선의 정의와 코사인법칙을 적용하여 내적문제를 해결할 수 있다.

[eqn: rm bar FP `=`it a ,~ rm bar {F'rmP} `=`it b``]라 하면 코사인법칙에 의하여

[eqn: 10^2 `=` a^2 + b^2 - 2 ab cos 60 Deg``].  [eqn: 10^2 `=` a^2 + b^2 - ab ``] … ㉠

쌍곡선의 정의에 의해 [eqn: vert a-b vert`= `8``]이므로 양변을 제곱하면

[eqn: a^2 -2ab + b^2 = 64``] … ㉡

㉠, ㉡ 에서 [eqn: ab `=` 36``]

[eqn: rm triangle PFF' `=`it 1 over 2 a b sin60Deg = 9sqrt 3]

15～17. 인문계 15번～17번과 동일

18. [출제 의도] 삼각함수의 성질을 이용하여 사각형의 넓이를 구할 수 있다.

[eqn: rm angle PAB `=`angle QBC `=`angle SDA`=`theta``]라 하면

[eqn: rm bar PQ` =` sin theta +2 cos theta `=`sin theta +2 cos theta``],  [eqn: rm bar PS`=`cos theta +2 sin theta`=`cos theta +2 sin theta``]

∴  (직사각형 [eqn: rm PQRS``]의 넓이)

[eqn: =`(2sin theta +cos theta) (sin theta+2cos theta)``][eqn: = `2(sin^2 theta +cos^2 theta)+5sin theta cos theta ``]

[eqn: = ` 5 over 2 sin 2theta +2 ``]

이때 [eqn: 0``<`` theta``<`` pi over2]이므로 [eqn: theta`=` pi over 4``]일 때 최대값 [eqn: 9 over 2`]를 갖는다.

<별해>

[eqn: rm bar AP` =` it a , ~ rm bar BP `=` it b``], [eqn: rm bar BQ`= `it c , ~ rm bar CQ`= `it d``]라 하면

[eqn: a^2 + b^2 `=` 1 `, ~c^2 +d`^2 `=` 4``]

직사각형 [eqn: rm PQRS``]의 넓이 [eqn: S`]는

[eqn: S`=` ab + cd +2``]

이때 [eqn: a^2 + b^2 `≧` 2 root {a^2 b^2}``], [eqn: c^2 + d`^2 `≧` 2 root {c^2 d`^2}``]이므로

[eqn: a b `≦` 1 over 2``]이고 [eqn: c d `≦` 2``]

∴ [eqn: S`≦`1over 2 +2 +2 `=` 9 over 2``]

따라서 직사각형 [eqn: rm PQRS``]의 넓이의 최대값은 [eqn: 9over2``]이다.

19. 인문계 19번과 동일

20. [출제 의도] 문제상황에 맞는 함수를 구하고 그 도함수의 그래프를 그릴 수 있다.

점 [eqn: rm C'`]의 좌표를 [eqn: ( it x, y)``]라고 놓으면 그림에서

[eqn: x=2+cos left( pi over 2 - θ right)][eqn: =2+sinθ ``], [eqn: y=sin left( pi over 2 - θright)][eqn: =cosθ``]

∴ [eqn: rm bar OC' `=`it root {x^2 +y^2 }``]

[eqn: =`root{4+4sinθ +sin^2 θ + cos^2 θ }``]

[eqn: =`root{5+4sinθ}``]

∴ [eqn: f`(θ)``][eqn: =rm{bar OC'}^2][eqn: =5+4sinθ``]

∴ [eqn: y`=` d over {d theta } f`(theta)`][eqn: =`4cos theta``]

따라서 [eqn: y`=`4cos theta``][eqn: left( 0`≦`theta `≦ `pi over 2``right )``]의 그래프는 ⑤와 같다.

21～27. 인문계 21번～27번과 동일

28. [출제 의도] 분수방정식을 세워 외적문제를 해결할 수 있다.

양수기가 고장나기 전 시간당 퍼내는 물의 양을 [eqn: x`]톤이라고 하면

고장나기 전까지 걸린 시간은 [eqn: 30 over x]시간,

고장 난 후에 걸린 시간은 [eqn: 50 over x-20]시간,

고장이 나지 않았을 때 걸리는 시간 [eqn: 80 over x]이다.

∴ [eqn: 30 over x + 50 over x-20`=` 80 over x + 25 over 60``]

이 분수방정식을 풀면

[eqn: x^2 -20x-2400`=`0` `], [eqn: (x-60)(x+40)`=`0``]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x=60]

29. [출제 의도] 미분을 이용하여 방정식 문제를 해결할 수 있다.

접점의 [eqn: x``]좌표가 [eqn: alpha``]이므로 [eqn: k`e^alpha-1`=`4alpha``] … ㉠

곡선 [eqn: y`=`k`e^x-1`]의 [eqn: x`=`alpha`] 에서 접선의 기울기가 [eqn: 4`]이므로              [eqn: k`e^alpha-1`=`4`] … ㉡

㉠, ㉡ 에서 [eqn: alpha`=`1``]

이때 [eqn: k`e^1-1`=`k`=`4``]

∴ [eqn: alpha `^2`+`k`^2`=`1^2`+`4^2`=`17``]

30. 인문계 30번과 동일

[예체능계]

정 답

1	①	2	②	3	⑤	4	①	5	④	6	②	7	③	8	④
9	④	10	⑤	11	①	12	④	13	③	14	③	15	④	16	②
17	⑤	18	⑤	19	⑤	20	②	21	③	22	②	23	①	24	③
25	12	26	10	27	15	28	10	29	30	30	61.25

해 설

1～2. 인문계 1번～2번과 동일

3. [출제 의도] 로그의 이용하여 주어진 식을 간단히 할 수 있다.

(주어진 식)[eqn: =2-log_2 3 +log_2 3][eqn: =2]

4. [출제 의도] 특수각의 삼각함수의 값을 구할 수 있다.

[eqn: cos pi over 3` =` 1 over 2 ``]이므로 [eqn: sin left( pi cos pi over 3 right)`=`sin pi over 2``][eqn: =`1``]

5～8. 인문계 5번～8번과 동일

9. [출제 의도] 조건을 만족하는 부분집합의 개수를 구할 수 있다.

집합 [eqn: B```]는 집합 [eqn: A`]의 부분집합이고, [eqn: 1, ~2`]는 반드시 [eqn: B`]의 원소이므로 [eqn: B`]의 개수는 [eqn: 2^5-2 `=` 8``]

10. 인문계 10번과 동일

11. [출제 의도] 원의 성질을 이용하여 도형의 넓이를 구할 수 있다.

∠AOB[eqn: =`][eqn: { pi } over { 2 }] 이므로 [eqn: rm bar { AB } `]는 작은 원의 지름이다.

따라서 큰 원의 반지름의 길이는 [eqn: 2root2`]이다.

따라서 어두운 부분의 넓이는

[eqn: 1 over 2]×(작은 원의 넓이)[eqn: -`](활꼴의 넓이)

[eqn: =``][eqn: 2 pi -rm (부채꼴AOB- TRIANGLE AOB)]

[eqn: =`][eqn: 2 pi -left( { 1 } over { 2 } CDOT ( 2 sqrt { 2 } )^{ 2 } CDOT { pi } over { 2 } `- `{ 1 } over { 2 } CDOT (2root2 )^ 2 right)``][eqn: =`4``]

12～14. 인문계 12번～14번과 동일

15. [출제 의도] 원의 현의 길이를 구하여 도형의 둘레 또는 넓이가 유리수인지 무리수인지 알아낼 수 있다.

ㄱ. 서로 다른 삼각형은 [eqn: rm △ABC,```` △ACD, ````△ACE``]의 세 종류뿐이다.

이때 [eqn: rm bar AC `=` root3``]이므로 모든 삼각형의 둘레의 길이는 모두 무리수이다.(참)

ㄴ. (반례) □[eqn: rm ABCD``]의 둘레의 길이는 [eqn: 5`]이므로 유리수이다.(거짓)

ㄷ.[eqn: rm △ABC`]의 넓이는[eqn: root3 over 4`]이고

[eqn: rm △ACD`][eqn: =`rm 2△ ACD``], [eqn: rm △ACE`][eqn: =`3rm△ACD``]

이므로 모든 삼각형의 넓이는 무리수이다.(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

16～18. 인문계 16번～18번과 동일

19. [출제 의도] 항등식의 성질을 이용하여 일차함수를 구할 수 있다.

[eqn: f`(x)`=` ax + b ``]라 놓으면

[eqn: x`(ax+b`)+a`(1-x`)+b`=`x^2 +2``],[eqn: ax^2 +(-a+b)x +a+b`=`x^2 +2``]

위 식은 [eqn: x`]에 대한 항등식이므로 [eqn: a=1, ~b=1``]

이때 [eqn: f`(x)`=` x + 1 ``]이므로 [eqn: f(100)`=`101``]

20. 인문계 21번과 동일

21. [출제 의도] 분수함수의 그래프와 원의 위치관계를 이해할 수 있다.

원 [eqn: (x-1)^2 + (y-1)^2 `=` 8``]과 곡선 [eqn: y`=` k over x``] 는 모두 직선 [eqn: y`=`x``]에 대하여 대칭이다. 또한, 원 [eqn: (x-1)^2 + (y-1)^2 `=` 8``]와 직선 [eqn: y`=`x``]의 두 교점의 좌표는 각각 [eqn: (1, 1)`], [eqn: (-1, -1)`]이므로 그림과 같이 곡선 [eqn: y`=` k over x``]가 점 [eqn: (-1, -1)`]을 지날 때, 원 [eqn: (x-1)^2 + (y-1)^2 `=` 8``]과 곡선 [eqn: y`=` k over x``] 가 서로 다른 세 점에서 만난다.

[eqn: -1 `=` k over -1 ``] ∴ [eqn: k`=`1``]

22～26. 인문계 22번～26번과 동일

27. [출제 의도] 이진법을 이해할 수 있다.

[eqn: f`(1)]은 한 자리 수의 개수이다. 한 자리수는 [eqn: 1_(2) =1]뿐이므로 [eqn: f`(1)=1]

[eqn: f`(1)+f`(2)]는 한 자리 수의 개수와 두 자리수의 개수의 합이므로 두 자리 수 중 가장 큰 수를 의미한다.

∴ [eqn: f`(1)+f`(2)`=``][eqn: 11_(2) `=`3``]

마찬가지로 [eqn: f`(1)+f`(2)+f`(3)`=``][eqn: 111_(2) `=`7``]

∴ [eqn: f`(1)+f`(2)+f`(3)+f`(4)=``][eqn: 1111_(2) `=` 15``]

28. 인문계 28번과 동일

29. [출제 의도] 주어진 자연수가 3의 배수가 될 조건을 구할 수 있다.

[eqn: 3n^2 ``]이 [eqn: 3``]의 배수이므로 [eqn: 2n-1 ``]이 [eqn: 3``]의 배수이어야 한다.

그런데, 임의의 정수 [eqn: n`]은 [eqn: 3k``], [eqn: 3k+1``], [eqn: 3k+2``]([eqn: k`]는 정수)의 꼴 중의 하나이고, 이 중에서 [eqn: 2n-1 ``]이 [eqn: 3`]의 배수인 것은 [eqn: n`=` 3k+2 ``]뿐이다.

이때 [eqn: n`]은 두 자리 자연수이므로 [eqn: 10`≦` 3k+2 `≦` 99 ``]

∴ [eqn: 3`≦` k`≦`32``]

따라서 구하는 자연수 [eqn: n``]의 개수는 [eqn: 30``]개이다.

30. 인문계 30번과 동일