	5지선다형

고 3	수학 영역 (B형)

	수학 영역 (B형)	고 3

12

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2015학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역 (B형)

제 2 교시

1. [eqn: root {3} of {2} TIMES 16 ^{{2} over {3}}]의 값은? [2점]

	①	[eqn: 2`]	②	[eqn: 2 sqrt {2}]	③	[eqn: 4`]	④	[eqn: 4 sqrt {2}]	⑤	[eqn: 8`]

2. 두 행렬[eqn: ``A= {pmatrix{``1``&~2``#0&~1``}} ,````B= {pmatrix{-1~&````````0``#```1&-4`}} ``]에 대하여
행렬[eqn: ``A LEFT ( A+B RIGHT ) `]의 모든 성분의 합은? [2점]

	①	[eqn: -4]	②	[eqn: -2]	③	[eqn: 0]	④	[eqn: 2]	⑤	[eqn: 4]

3. [eqn: cos` theta = { 2} over { sqrt { 5} }]일 때, [eqn: cos`2theta]의 값은? [eqn: left (pile{`#`} right.]단, [eqn: 0<theta< { pi} over { 2}`][eqn: left )pile{`#`} right.] [2점]

	①	[eqn: { 1} over { 2]	②	[eqn: { 3} over { 5}]	③	[eqn: { 7} over { 10}]	④	[eqn: 4 over 5]	⑤	[eqn: 9 over 10]

4. 두 사건 [eqn: A`]와 [eqn: B`]는 서로 독립이고

[eqn: rm P( it A)= {1} over {4} ``],  [eqn: rm P( it B ` )= {1} over {3} ``]

일 때, [eqn: rm P( it A SMALLUNION B ` )`]의 값은? [3점]

	①	[eqn: {1} over {3}]	②	[eqn: {3} over {8}]	③	[eqn: {5} over {12}]	④	[eqn: {11} over {24}]	⑤	[eqn: {1} over {2 }]

5. 곡선 [eqn: y=2 ^{2x-3} +1] 위의 점 [eqn: LEFT ( `1`, ``{ 3} over { 2}` RIGHT )]에서의 접선의 기울기는?

[3점]

	①	[eqn: { 1} over { 2}`ln`2]	②	[eqn: ln2]	③	[eqn: { 3} over { 2}`ln2]	④	[eqn: 2ln2]	⑤	[eqn: { 5} over { 2} `ln2]

6. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} LEFT ( a _{n} - {2} RIGHT ) =4`]일 때,
[eqn: lim _{n`->`inf} {LEFT ( 4a _{n} + {3n ^{2} -1} over {n ^{2} +1} RIGHT ) `}]의 값은? [3점]

	①	[eqn: 10]	②	[eqn: 11]	③	[eqn: 12]	④	[eqn: 13]	⑤	[eqn: 14]

7. 두 일차변환 [eqn: f], [eqn: g]는

[eqn: f:~left(`x`,``y` right)`->`left(`-y`,``x` right)]
[eqn: g:~left(`x`,``y` right)`->`left(`x+2y`,``y` right)]

이다. 합성변환 [eqn: f CIRC g`]에 의하여 점 [eqn: rm A` it LEFT ( `2`,``1` RIGHT )]이 점 [eqn: rm B` it LEFT ( `a`,``b` RIGHT )]로 옮겨질 때, [eqn: a+b]의 값은? [3점]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

8. 한 개의 주사위를 [eqn: 2]번 던질 때 첫 번째 나온 눈의 수를 [eqn: a],
두 번째 나온 눈의 수를 [eqn: b]라 하자. 두 수 [eqn: a], [eqn: b]의 곱 [eqn: ab]가 짝수일 때, [eqn: a]와 [eqn: b]가 모두 짝수일 확률은? [3점]

	①	[eqn: 7over12]	②	[eqn: {1} over {2}]	③	[eqn: {5} over {12}]	④	[eqn: {1} over {3}]	⑤	[eqn: {1} over {4}]

9. 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =8]과 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]이 서로 다른 네 점에서 만나고 이 네 점은 원의 둘레를 [eqn: 4]등분한다. 이 쌍곡선의 한
점근선의 방정식이 [eqn: y= sqrt {2} x]일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [3점]

	①	[eqn: 4]	②	[eqn: 5]	③	[eqn: 6]	④	[eqn: 7]	⑤	[eqn: 8]

10. 직선 [eqn: y=1]에 접하고 점 [eqn: left(`0`,``4` right)]를 지나는 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같을 때, 방정식

[eqn: sqrt {13-2f( LEFT | x RIGHT |) } =f( LEFT | x RIGHT |) +1]

의 서로 다른 실근의 개수는? [3점]

[eqn: 4]

[eqn: \O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y=1]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

11. 좌표평면에서 원점을 중심으로 하는 회전변환 [eqn: f]에 의하여
직선 [eqn: y = x+1`]이 직선 [eqn: y = 2x + k`]로 옮겨질 때, [eqn: k^2`]의 값은? (단, [eqn: k]는 상수이다.) [3점]

	①	[eqn: 5 over 2]	②	[eqn: 3]	③	[eqn: 7 over 2]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 9 over 2]

12. 두 이차정사각행렬 [eqn: A`,~B`]가

[eqn: A ^{2} +AB+A+B=`E],  [eqn: A` ^{2} +3AB+2B ^{`2} =O]

를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이고, [eqn: O`]는 영행렬이다.) [3점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: AB=BA] ㄴ. [eqn: A ^{2} =4B ^{2}] ㄷ. [eqn: B`]의 역행렬은 [eqn: 2B-E`]이다.

	①	ㄱ	②	ㄷ	③	ㄱ, ㄴ
	④	ㄴ, ㄷ	⑤	ㄱ, ㄴ, ㄷ

[13∼14] 구간 [eqn: bold{ left(0`,``inf right)}]에서 정의된 함수 [eqn: bold{f(x)={p} over {x}}] [eqn: bold(p>1)]의
그래프는 그림과 같다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

[eqn: f(x)= { p} over { x}]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

13. 세 수 [eqn: f(a)`,~f left( sqrt { 3}right)`,~f(a+2)]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 양수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: { 9} over { 8}]	③	[eqn: { 5} over { 4}]	④	[eqn: { 11} over { 8}]	⑤	[eqn: 3OVER2]

14. 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=1], [eqn: x=p]로 둘러싸인 부분을 [eqn: x]축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피가 [eqn: 20 ` pi]
일 때, 상수 [eqn: p]의 값은? [4점]

	①	[eqn: {17} over {4}]	②	[eqn: { 9} over { 2}]	③	[eqn: { 19} over { 4}]	④	[eqn: 5]	⑤	[eqn: { 21} over { 4}]

15. 그림과 같이 [eqn: rm bar{AB} = bar{AC} =5], [eqn: rm bar{BC} =2 sqrt {7}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 [eqn: xy]평면 위에 있고, 점 [eqn: rmP left(`1`,``1`,``4` right)]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영
[eqn: rmQ]는 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심과 일치한다. 점 [eqn: rmP]에서
직선 [eqn: rm BC]까지의 거리는? [4점]

[eqn: \A]

[eqn: \C]

[eqn: \B]

[eqn: \Q]

[eqn: xy]평면

[eqn: \P]

	①	[eqn: 3sqrt { 2}]	②	[eqn: sqrt { 19}]	③	[eqn: 2sqrt { 5}]	④	[eqn: sqrt { 21}]	⑤	[eqn: sqrt { 22}]

16. 모든 항이 양수인 수열 [eqn: left{ a_n right}]은 [eqn: a_1`= { 1} over { 4}]이고

[eqn: left(n+1right)a _{n} `=a _{n+1} left(3n-2a _{n} right)] [eqn: (n ge1)]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]을 구하는 과정이다.

	주어진 식의 양변을 [eqn: a_{n}a_{n+1}]로 나누면 [eqn: {n+1} over {a _{n+1}} = {3n-2a _{n}} over {a _{n}}] 이다. [eqn: b_{n}= { n} over{ a_{n}}]이라 하면 [eqn: b_{n+1}=3b_{n}+box{``(가)``}] 이고, [eqn: b _{n+1} -1=3left(b _{n} -1 right)]이다. [eqn: b_1`= 4]이므로 [eqn: b _{n} -1=box{``(나)``}] [eqn: b_{n}=box{``(나)``}+1] 이다. 그러므로 [eqn: a_n`= { n} over {box{``(나)``}+1}] ([eqn: n geq 1]) 이다.

위의 (가)에 알맞은 값을 [eqn: p], (나)에 알맞은 식을 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]이라
할 때, [eqn: p+ f(3)]의 값은? [4점]

	①	[eqn: 24]	②	[eqn: 25]	③	[eqn: 26]	④	[eqn: 27]	⑤	[eqn: 28]

17. 그림과 같이 포물선 [eqn: y ^{2} =8x] 위의 네 점 [eqn: rmA], [eqn: \B], [eqn: \C], [eqn: \D]를
꼭짓점으로 하는 사각형 [eqn: rmABCD]에 대하여 두 선분 [eqn: {rm AB}]와
[eqn: {rm CD}]가 각각 [eqn: y]축과 평행하다. 사각형 [eqn: rmABCD]의 두 대각선의
교점이 포물선의 초점 [eqn: rmF]와 일치하고 [eqn: rm {bar{DF}} =6]일 때,
사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는? [4점]

[eqn: \A]

[eqn: \B]

[eqn: \C]

[eqn: \D]

[eqn: y^2`=8x]

[eqn: y]

[eqn: \O]

[eqn: x]

[eqn: \F]

	①	[eqn: 14 sqrt { 2]	②	[eqn: 15 sqrt { 2}]	③	[eqn: 16 sqrt { 2}]
	④	[eqn: 17 sqrt { 2}]	⑤	[eqn: 18 sqrt { 2}]

18. 그림과 같이 [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5], [eqn: 6]의 숫자가 한 면에만 각각 적혀 있는 [eqn: 6]장의 카드가 일렬로 놓여 있다. 주사위 한 개를 던져서 나온 눈의 수가 [eqn: 2]이하이면 가장 작은 숫자가 적혀 있는 카드 [eqn: 1]장을 뒤집고, [eqn: 3]이상이면 가장 작은 숫자가 적혀 있는 카드부터 차례로 [eqn: 2]장의 카드를 뒤집는 시행을 한다. [eqn: 3]번째 시행에서 [eqn: 4`]가 적혀 있는 카드가 뒤집어질 확률은?
(단, 모든 카드는 한 번만 뒤집는다.) [4점]

	①	[eqn: { 4} over { 9}]	②	[eqn: {13} over { 27}]	③	[eqn: {14} over {27}]	④	[eqn: { 5} over { 9}]	⑤	[eqn: {16} over {27}]

19. 구간 [eqn: left( 0`,``inf right)]에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 한 부정적분을 [eqn: F` LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, 함수 [eqn: F` LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) 모든 양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: F` LEFT ( x RIGHT ) +xf LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 2x+2 RIGHT ) e ^{x} `] (나) [eqn: F` LEFT ( 1 RIGHT ) =2e]

[eqn: F` LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은? [4점]

	①	[eqn: { 1} over { 4}e^3]	②	[eqn: { 1} over { 2}e^3]	③	[eqn: e^3]	④	[eqn: 2e^3]	⑤	[eqn: 4e^3]

20. 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 6`]이고 중심각의 크기가 [eqn: pi over 2]인
부채꼴 [eqn: RMOAB`]가 있다. [eqn: ANGLE rmCOA= theta] [eqn: LEFT ( `0< theta < {pi } over {4} ` RIGHT )]가 되도록
호 [eqn: RM`AB`] 위의 점 [eqn: rmC]를 잡고, 점 [eqn: RM C]에서의 접선이 변 [eqn: rm OA]의
연장선, 변 [eqn: rm OB]의 연장선과 만나는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: bar{rmPQ}=15]일 때, [eqn: tan 2theta]의 값은? [4점]

[eqn: \B]

[eqn: \O]

[eqn: \A]

[eqn: \C]

[eqn: theta]

[eqn: \Q]

[eqn: \P]

	①	[eqn: { 4} over { 3}]	②	[eqn: { 3} over { 2}]	③	[eqn: { 5} over { 3}]	④	[eqn: { 11} over { 6}]	⑤	[eqn: 2]

21. 검은 바둑돌 과 흰 바둑돌 을 일렬로 나열하였을 때
이웃한 두 개의 바둑돌의 색이 나타날 수 있는 유형은

	[eqn: <][eqn: \A]형[eqn: >]	[eqn: <][eqn: \B]형[eqn: >]	[eqn: <][eqn: \C]형[eqn: >]	[eqn: <][eqn: \D]형[eqn: >]

으로 [eqn: 4]가지이다.
예를 들어, [eqn: 6]개의 바둑돌을 [eqn: <][eqn: \A]형[eqn: >] [eqn: 2]번, [eqn: <][eqn: \B]형[eqn: >] [eqn: 1]번,
[eqn: <][eqn: \C]형[eqn: >] [eqn: 1]번, [eqn: <][eqn: \D]형[eqn: >] [eqn: 1]번 나타나도록 일렬로 나열하는 모든 경우의 수는 아래와 같이 [eqn: 5]이다.

[eqn: 10]개의 바둑돌을 [eqn: <][eqn: \A]형[eqn: >] [eqn: 4]번, [eqn: <][eqn: \B]형[eqn: >] [eqn: 2]번, [eqn: <][eqn: \C]형[eqn: >] [eqn: 2]번, [eqn: <][eqn: \D]형[eqn: >] [eqn: 1]번 나타나도록 일렬로 나열하는 모든 경우의 수는?
(단, 검은 바둑돌과 흰 바둑돌은 각각 [eqn: 10]개 이상씩 있다.) [4점]

	①	[eqn: 35]	②	[eqn: 40]	③	[eqn: 45]	④	[eqn: 50]	⑤	[eqn: 55]

	단답형

22. [eqn: lim _{x`->`0} {{sin ^{2} x} over {1-cos`x} `}]의 값을 구하시오. [3점]

23. 분수부등식 [eqn: {1} over {x-12} + {2} over {x} LEQ 0`]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x]의 값의 합을 구하시오. [3점]

24. 함수 [eqn: f(x)`=`x ^{3} +2x+1]에 대하여 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: 24g`'(1)]의 값을 구하시오. [3점]

25. 총 공기흡인량이 [eqn: V``left( \m^{3}right)]이고 공기 포집 전후 여과지의 질량
차가 [eqn: W``left(㎎ right)]일 때의 공기 중 먼지 농도 [eqn: C``left( ㎍/ \m^{3}right)]는 다음 식을 만족시킨다고 한다.

[eqn: log `C`=` 3-` log`V +`log``W] ([eqn: W>0])

[eqn: \A`]지역에서 총 공기흡인량이 [eqn: V_0]이고 공기 포집 전후 여과지의 질량 차가 [eqn: W_0]일 때의 공기 중 먼지 농도를 [eqn: C_{\A}], [eqn: \B`]지역에서
총 공기흡인량이 [eqn: { 1} over { 9} V_0]이고 공기 포집 전후 여과지의 질량 차가 [eqn: { 1} over { 27}W_0]일 때의 공기 중 먼지 농도를 [eqn: C _{` rm B it}]라 하자. [eqn: C_{\A}`=kC_{`\B}`]를 만족시키는 상수 [eqn: k`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: W_0`>0]) [3점]

26. 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x(t)]가

[eqn: x(t)=t+{20}over{pi^2}`cos LEFT ( `2pi`t RIGHT )]

이다. 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t= {1 } over { 3}]에서의 가속도의 크기를 구하시오.

[4점]

27. 그림과 같이 모든 모서리의 길이가 [eqn: 6]인 정삼각기둥 [eqn: \ABCDEF]가 있다. 변 [eqn: rm DE]의 중점 [eqn: rm`M]에 대하여 선분 [eqn: rm {BM}}]을 [eqn: 1`:`2]로 내분하는 점을 [eqn: rmP]라 하자. [eqn: bar{rmCP`}=l]일 때, [eqn: 10`l` ^{2}]의 값을
구하시오. [4점]

[eqn: \E]

[eqn: \C]

[eqn: \P]

[eqn: \M]

[eqn: \B]

[eqn: \A]

[eqn: \D]

[eqn: \F]

28. 양의 실수 [eqn: k]에 대하여 곡선 [eqn: y=k`lnx]와 직선 [eqn: y=x]가
접할 때, 곡선 [eqn: y=k lnx], 직선 [eqn: y=x] 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인
부분의 넓이는 [eqn: ae^2`-be]이다. [eqn: 100ab]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 유리수이다.[eqn: )] [4점]

29. 그림과 같이 길이가 [eqn: 12]인 선분 [eqn: \AB]를 지름으로 하는 반원의호 [eqn: \AB] 위에 [eqn: Angle \PAB=theta][eqn: left(0< theta < {pi } over {6} `right)]인 점 [eqn: \P]가 있다. [eqn: Angle \APQ=3theta]가 되도록 선분 [eqn: \AB] 위의 점 [eqn: \Q]를 잡을 때,
두 선분 [eqn: \PQ], [eqn: \QB]와 호 [eqn: \BP]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S(theta)]라
하자. [eqn: lim _{theta ` -> `+0} {`` {S( theta )} over {theta }}]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: \A]

[eqn: \B]

[eqn: \P]

[eqn: \Q]

[eqn: rm theta]

[eqn: rm 3theta]

30. 그림과 같이 평면 [eqn: alpha] 위에 [eqn: rm ANGLE A= {pi } over {2}], [eqn: {bar{rm AB it}} = {bar{rm AC it}} =2 sqrt {3} `]인
삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 중심이 점 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인  구가 평면 [eqn: alpha]와 점 [eqn: rmA]에서 접한다. 세 직선 [eqn: rm OA], [eqn: rm OB], [eqn: rmOC]와 구의 교점 중 평면 [eqn: alpha]까지의 거리가 [eqn: 2]보다 큰 점을 각각 [eqn: rmD], [eqn: rm E], [eqn: rm F]라 하자. 삼각형 [eqn: rmDEF]의 평면 [eqn: rmOBC] 위로의 정사영의 넓이를 [eqn: S`]라 할 때, [eqn: 100{S}^{`2}]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: \A]

[eqn: \B]

[eqn: \C]

[eqn: \O]

[eqn: \D]

[eqn: \E]

[eqn: \F]

[eqn: alpha]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.