• 2교시 수리 영역 •

[가 형]

1	④	2	⑤	3	③	4	④	5	③
6	⑤	7	③	8	⑤	9	①	10	③
11	②	12	①	13	④	14	①	15	②
16	⑤	17	②	18	①	19	②	20	④
21	①	22	61	23	4	24	13	25	10
26	354	27	2	28	100	29	20	30	3

[출제의도] 지수의 성질을 알고 계산하기

[eqn: LEFT ( 2 ^{2} ․2 ^{{2} over {3}} RIGHT ) ^{{3} over {4}} =2 ^{{8} over {3} ․ {3} over {4}} =4]

[출제의도] 함수의 극한의 뜻 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `2} {{3x-6} over {sqrt {x+2} -2}}]

[eqn: = lim _{x -> 2} {{LEFT ( 3x-6 RIGHT ) LEFT ( sqrt {x+2} +2 RIGHT )} over {LEFT ( x+2 RIGHT ) -4}}]

[eqn: = lim _{x -> 2} {``3 LEFT ( sqrt {x+2} +2 RIGHT )} =12]

[출제의도] 행렬의 연산 이해하기

[eqn: AB+B ^{2} = LEFT ( A+B` RIGHT ) B= {pmatrix{2&````2`#3&```1}} {pmatrix{``0&``1`#``3&``2`}} = {pmatrix{`6&```6`#`3&```5`}}]

[출제의도] 그래프와 행렬의 관계 이해하기

그래프를 행렬로 나타내면 다음과 같이 나타낼 수
있다.

[eqn: ` {pmatrix{0&``1&``1&``1&``1#1&``0&``1&``1&``0#1&``1&``0&``1&``1#1&``1&``1&``0&``1#1&``0&``1&``1&``0}} `]

따라서 행렬의 성분 중 [eqn: 1]의 개수는 [eqn: 18]

[출제의도] 분수부등식 이해하기

부등식 [eqn: {x} over {f(x-2)} LEQ 0]의 해를 구하면,

[eqn: xf(x-2) LEQ 0], [eqn: f(x-2) != 0]

ⅰ) [eqn: x LEQ 0,`f(x-2)>0]일 때,

[eqn: ` THEREFORE -2<x LEQ 0]

ⅱ) [eqn: x GEQ 0,`f(x-2)<0]일 때,

[eqn: ` THEREFORE 1<x<5]

ⅰ), ⅱ)에 의하여

[eqn: A= LEFT { x□-2<x LEQ 0``또는``1<x<5 RIGHT }]

부등식 [eqn: {x-4} over {x+4} <0]의 해를 구하면,

[eqn: (x-4)(x+4)<0]

[eqn: THEREFORE -4<x<4]

[eqn: B= LEFT { x□-4<x<4` RIGHT }]

따라서

[eqn: A SMALLINTER B`= LEFT { x`□`-2<x LEQ 0```또는``1<x<4` RIGHT } ``]

에 속하는 정수의 개수는 [eqn: 4]

[출제의도] 무한급수의 수렴 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {a _{n}} over {n ^{2} +n} -1 RIGHT )]이 수렴하므로

[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( {a _{n}} over {n ^{2} +n} -1 RIGHT ) =0}], [eqn: lim _{n -> INF } {{a _{n}} over {n ^{2} +n} =1]

[eqn: {a _{n}} over {n ^{2} +n} =b _{n}]이라 하면

[eqn: lim _{n -> INF } {{a _{n} +2n ^{2}} over {2a _{n} -n ^{2}} `` &} = lim _{n -> INF } {{(n ^{2} +n)b _{n} +2n ^{2}} over {2(n ^{2} +n)b _{n} -n ^{2}} ```````}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) b _{n} +2} over {2 LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) b _{n} -1}} =3]

[출제의도] 행렬의 뜻을 알고 추론하기

ㄱ. [eqn: AB=A LEFT ( A+E RIGHT ) =A ^{2} +A]
[eqn: BA= LEFT ( A+E RIGHT ) A=A ^{2} +A]

[eqn: THEREFORE AB=BA`](참)

ㄴ. [eqn: A-B``=``-E]

[eqn: `B ^{2} -B``=B` LEFT ( B-E` RIGHT ) `= LEFT ( B-E` RIGHT ) B=`-E]       [eqn: THEREFORE B ^{-1} =`E-B`=`-A=`-B ^{2}] (참)

ㄷ. ㄴ에 의하여

[eqn: B ^{-1} =`-B ^{2}]

[eqn: B ^{3} =`-E`], [eqn: B ^{6} =E``]

[eqn: THEREFORE B ^{2011} =` LEFT ( B ^{6} RIGHT ) ^{335} B``=`B``] (거짓)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

[출제의도] 알고리즘과 순서도 이해하기

이 순서도에서 인쇄되는 [eqn: S]의 값은

[eqn: S=(1 ^{2} +2 ^{2} +CDOTS+20 ^{2} )+(1+2+ CDOTS +20)]

[eqn: = {20`‧`21`‧`41} over {6} + {20`‧`21} over {2}][eqn: =3080]

[출제의도] 삼각방정식 이해하기

[eqn: 2sinx`-`cosx`+a=0# sqrt {5} ` LEFT ( {2} over {sqrt {5}} `sinx`-` {1} over {sqrt {5}} `cosx RIGHT ) `+a`=`0# `sin(x- alpha )=`-` {a} over {sqrt {5}} ``]

[eqn: LEFT ( 단,`cos alpha = {2} over {sqrt {5}} ``,``sin alpha = {1} over {sqrt {5}} ` RIGHT )]

[eqn: -1` LEQ `-` {a} over {sqrt {5}} ` LEQ 1```]

[eqn: THEREFORE `- sqrt {5} `` LEQ `a` LEQ ` sqrt {5}]을 만족시키는

정수 [eqn: a]의 값은 [eqn: `-2,``-1,``0,`1,`2``]

따라서 모든 정수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 0]

[출제의도] 함수의 연속의 뜻을 알고 추론하기

ㄱ. [eqn: lim _{x`` -> ``-1+0} {f(f(x))= lim _{x`` -> ``1-0} {f(x)``=`-1}}]

[eqn: lim _{x`` -> ``-1-0} {f(f(x))= f(-1)`=`-1]

[eqn: THEREFORE lim _{x`` -> ``-1} {f(f(x))]가 존재한다. (참)

ㄴ. [eqn: f(f(-1))=f(-1) =-1]
[eqn: lim _{x`` -> ``-1} {f(f(x))=-1}]

[eqn: lim _{x`` -> ``-1} {f(f(x)) = f(f(-1))]이므로

함수 [eqn: f(f(x))]는 [eqn: x=-1]에서 연속이다. (참)

ㄷ. [eqn: lim _{x -> 1} {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} =1], [eqn: LEFT { f(1) RIGHT } ^{2} =1]

[eqn: THEREFORE ` lim _{x -> 1} {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} = LEFT { f(1) RIGHT } ^{2}]이므로

함수 [eqn: LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} `]은 [eqn: x=1]에서 불연속이 아니다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

[출제의도] 무한급수에 관한 문제해결하기

[eqn: y= LEFT ( {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) ^{n}]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm `O]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} = LEFT ( {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) ^{2n-2}]

[eqn: rm P _{it n rm}]

[eqn: rm Q _{it n rm}]

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} = LEFT ( {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) ^{2n-2}]과 직선 [eqn: y= LEFT ( {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) ^{n}]의 교점을 [eqn: rm `P _{it `n rm}], [eqn: rm`Q` _{it`n`}]이라 하면,

[eqn: rm `P _{it `n rm} ` it LEFT ( - {1} over {2} LEFT ( {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) ^{n-1} `,``` LEFT ( {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT )]

[eqn: rm `Q _{it `n rm} ` it LEFT ( ` {1} over {2} LEFT ( {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) ^{n-1} `,``` LEFT ( {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT )]

[eqn: S _{n} & = LEFT { {1} over {2} ․ {pi } over {3} LEFT ( {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) ^{2n-2} RIGHT } - LEFT { {sqrt {3}} over {4} LEFT ( {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) ^{2n-2} RIGHT }# & = LEFT ( {pi } over {6} - {sqrt {3}} over {4} RIGHT ) LEFT ( {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) ^{2n-2}]

[eqn: THEREFORE LEFT { S _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: {pi } over {6} - {sqrt {3}} over {4}], 공비가 [eqn: {3} over {4}]인
등비수열이다.

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{it `n} = {{pi } over {6} - {sqrt {3}} over {4}} over {1- {3} over {4}} = {2} over {3} pi - sqrt {3}]

[출제의도] 미분계수의 정의 이해하기

[eqn: lim _{x`` -> `1} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 2x-1 RIGHT )} over {x-1}}]

[eqn: = lim _{x`` -> `1} {{LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -f(1) RIGHT } - LEFT { f LEFT ( 2x-1 RIGHT ) -f(1) RIGHT }} over {x-1}}]

[eqn: = lim _{x`` -> `1} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f(1)} over {x-1}} `- lim _{x`` -> `1} {{f LEFT ( 2x-1 RIGHT ) -f(1)} over {x-1}}]

[eqn: = lim _{x`` -> `1} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f(1)} over {x-1}} `-2 lim _{x`` -> `1} {{f LEFT ( 2x-1 RIGHT ) -f(1)} over {(2x-1)-1}}]

[eqn: =f`` prime (1)-2f` prime `(1)=-f` prime (1)=-8]

[출제의도] 수열의 귀납적 정의 추론하기

[eqn: f(n)= {n+2} over {n}], [eqn: g(n)=n(n+1)]이므로

[eqn: f(11) TIMES g(10)=130]

[출제의도] 로그부등식 이해하기

[eqn: LEFT ( - {1} over {2} `log _{3} x RIGHT ) LEFT ( log _{3} x-2 RIGHT ) GEQ a]의 해가
[eqn: {1} over {9} LEQ x LEQ 81]이므로 [eqn: log` _{3} x=t]라 하면
[eqn: LEFT ( - {t} over {2} RIGHT ) LEFT ( t-2 RIGHT ) GEQ a]의 해가 [eqn: -2 LEQ t LEQ 4]이다.

[eqn: t ^{2} -2t-8 LEQ 0] [eqn: LRARROW] [eqn: t ^{2} -2t+2a LEQ 0]

따라서 [eqn: a=-4]

[출제의도] 로그함수의 그래프 이해하기

(삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES 1 TIMES LEFT ( a+3 ^{-b} -1 RIGHT )][eqn: = {2} over {3}]

[eqn: a+3 ^{-b} = {7} over {3}][eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: y=log` _{3} `(x-a)+b]이 점 [eqn: (3`,1)]을 지나므로

[eqn: 3-a=3 ^{1-b}][eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에 의하여 [eqn: a=2], [eqn: b=1]

따라서 [eqn: a+b=3]

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 활용하여 추론하기

[eqn: f(x)=4․ {1-cos2x} over {2} +2sin2x-2․ {1+cos2x} over {2}]

[eqn: `=`-3cos2x+2sin2x+1]

[eqn: `=` sqrt {13} `sin(2x- alpha )+1```]

[eqn: LEFT ( 단,``sin alpha = {3} over {sqrt {13}} ```,``cos alpha = {2} over {sqrt {13}} RIGHT )]

ㄱ. [eqn: f(x)]의 주기는 [eqn: {2 pi } over {2} =pi]이다. (참)
ㄴ. [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: sqrt {13} +1],

최솟값은 [eqn: - sqrt {13} +1]이므로
[eqn: f(x)]의 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 2`]이다. (참)

ㄷ. 함수 [eqn: y= sqrt {13} `cos2x]의 그래프를  [eqn: x]축의 방향으로
[eqn: {alpha } over {2} + {pi } over {4}]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동하여     함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 얻을 수 있다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출제의도] 지수를 활용하여 실생활 문제해결하기

[eqn: a=15], [eqn: b=60], [eqn: f(60)=45]이므로

[eqn: 45=15+45`․`2 ^{60K}]

[eqn: 2 ^{60K} = {2} over {3}]

[eqn: 120]초 후의 물체 [eqn: rm`A]의 온도는

[eqn: f(120)=15+45`․`2 ^{120K} =15+45`․` LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} =`35]

따라서 [eqn: x=35]

[출제의도] 로그의 성질을 활용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: a<b`]이고 [eqn: a<1`]이므로 [eqn: `log` _{a} ``b`<log _{a} a]

[eqn: `log` _{a} `b<1`](참)

ㄴ. (반례) [eqn: a= {1} over {4} ``,``b= {9} over {16}] (거짓)

ㄷ. (반례) [eqn: a= {1} over {4} ``,``b= {1} over {2} `,``c=4``,``d=2] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ

[출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

부채꼴 [eqn: rm `OAP]의 넓이 [eqn: f( theta )= {1} over {2} ․1 ^{2} ․ theta = {1} over {2} theta]

삼각형 [eqn: rm `OPQ]에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면

[eqn: {1} over {2} TIMES (sin theta +cos theta +1) TIMES r= {1} over {2} TIMES sin theta TIMES cos theta][eqn: r= {sin theta `cos theta } over {sin theta +cos theta +1}]이므로

삼각형 [eqn: rm `OPQ]에 내접하는 원의 넓이

[eqn: g( theta )= {sin ^{2} theta ``cos ^{2} theta } over {(sin theta +cos theta +1) ^{2}} pi]이다.

따라서

[eqn: lim _{theta -> +0} {`} {g( theta )} over {theta `․`f( theta )} `= lim _{theta ` -> +0} {` {2 pi sin ^{2} theta cos ^{2} theta } over {theta ^{2} (sin theta +cos theta +1) ^{2}}}]

[eqn: `= {pi } over {2}]

[출제의도] 삼차부등식 이해하기

부등식 [eqn: (2x+1)(2x ^{2} +ax+b) LEQ 0]의 해가

[eqn: x LEQ 3]이므로

[eqn: 2x ^{2} +ax+b=(2x+1)(x-3)]이다.

[eqn: (2x+1)(x-3)=2x ^{2} -5x-3]

[eqn: THEREFORE `a=-5], [eqn: b=-3]

따라서 [eqn: a-b=-2]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm `O]

[eqn: rm `3]

[eqn: rm - {1} over {2}]

[출제의도] 등차수열과 등비수열을 활용하여 문제해결하기

두 점 [eqn: rm `A` _{itn}], [eqn: rm `B` _{it n rm}]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: a _{n}], [eqn: b _{n}]이라 하면

[eqn: 2,``a _{1} ,``a _{2} ,` CDOTS ,``a _{7} ,``2 ^{9}]은 등차수열이므로

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{7}]

[eqn: = {7 LEFT ( a _{1} +a _{7} RIGHT )} over {2} = {7 LEFT ( a _{2} +a _{6} RIGHT )} over {2} =` CDOTS `= {7 LEFT ( 2+2 ^{9} RIGHT )} over {2}]

=[eqn: 1799]

[eqn: 2`,``b _{1} ,``b _{2} , CDOTS ,``b _{7} ,``2 ^{9}]은 등비수열이므로 공비를 [eqn: r]라 하면, [eqn: 2^9 =2 r ^{8}]에서 [eqn: r=2]

[eqn: THEREFORE `b _{1} +b _{2} +b _{3} + CDOTS +b _{7}][eqn: = {4 LEFT ( 2 ^{7} -1 RIGHT )} over {2-1} =508]

따라서

[eqn: sum _{n=1} ^{7} l _{n} = LEFT ( a _{1} -b _{1} RIGHT ) + LEFT ( a _{2} -b _{2} RIGHT ) +` CDOTS `+ LEFT ( a _{7} -b _{7} RIGHT )]

[eqn: =(a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{7} )-(b _{1} +b _{2} + CDOTS +b _{7} )]        [eqn: =1799-508=1291]

[출제의도] 미분계수 계산하기

[eqn: f prime (x)=2x (x ^{3} -x+1)+(x ^{2} -1)(3x^2 -1)]

따라서 [eqn: f prime (2)=4․7+3․11=61]

[출제의도] 무리방정식 이해하기

[eqn: x^2 -4x=t]라 하면

[eqn: root{2t-3} =t-3]

[eqn: t^2 -8t+12=0]이므로 [eqn: (t-2)(t-6)=0]

[eqn: THEREFORE t=6] ([eqn: BECAUSE t=2]는 무연근)

[eqn: x^2 -4x=6]에서 [eqn: x^2 -4x-6=0]

따라서 모든 실근의 합은 [eqn: 4]

[출제의도] 삼각함수의 배각의 공식, 반각의 공식 이해하기

[eqn: tan ^{2} {theta } over {2} = {1-cos theta } over {1+cos theta } = {1} over {2} `]

[eqn: 1+cos theta =2-2cos theta]

[eqn: cos theta = {1} over {3}], [eqn: sin theta = {2 sqrt {2}} over {3}][eqn: LEFT ( BECAUSE `0< theta < {pi } over {2} RIGHT )]

[eqn: sin"2" theta =2sin theta cos theta = {4 sqrt {2}} over {9} `]

[eqn: THEREFORE `p=9`,`q=4`]

따라서 [eqn: p`+`q`=13]

[출제의도] 지수방정식 이해하기

[eqn: LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x ^{2} -x} = LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{3x-3}]

[eqn: x ^{2} -x=3x-3]

[eqn: x ^{2} -4x+3=0]

근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: alpha + beta =4], [eqn: alpha beta =3]

따라서 [eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} = LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -2 alpha beta =10]

[출제의도] 분수방정식을 활용하여 문제해결하기

[eqn: b= {10} over {a} TIMES 100+100] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: b+1= {15} over {a+50} TIMES 100+100] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에 의하여

[eqn: {10} over {a} TIMES 100+1= {15} over {a+50} TIMES 100]

양변에 [eqn: a LEFT ( a+50 RIGHT )]을 곱하여 정리하면

[eqn: a ^{2} -450a+50000=0]

[eqn: THEREFORE `a=250`` LEFT ( BECAUSE a>200 RIGHT )], [eqn: b=104]

따라서 [eqn: a+b=354]

[출제의도] 연립일차방정식과 행렬 이해하기

연립방정식 [eqn: {pmatrix{```````k&```````3#-1&```````2-k}} LEFT ( ` pile{x#y} ` RIGHT ) = LEFT ( ` pile{0#0} ` RIGHT )]이

[eqn: x=0,```y=0] 이외의 해를 가질 조건은

[eqn: k ^{2} -2k-3=0]

따라서 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 2]

[출제의도] 로그를 활용하여 문제해결하기

(나)에서 [eqn: log`a=1+f(a)]

(다)에서 [eqn: log` {1} over {a} =-log`a`` & =`-1-f(a)# & =-2+ LEFT { 1-f(a) RIGHT }]

[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) `=f LEFT ( {1} over {a} RIGHT )], 조건에 의하여 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) != 0]이므로

[eqn: f(a)=1-f(a)], [eqn: f(a)= {1} over {2}]

(나)에서 [eqn: log`a= {3} over {2}] [eqn: THEREFORE `a=10 ^{{3} over {2}}]

(가)에서 [eqn: 1<b<a]이고 (다)에서 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =f LEFT ( b RIGHT )]이므로

[eqn: log``b= {1} over {2}]  [eqn: THEREFORE `b=10 ^{{1} over {2}}]

따라서 [eqn: ab=10 ^{{3} over {2}} 10 ^{{1} over {2}} =100]

[출제의도] 여러 가지 수열을 활용하여 문제해결하기

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n]행, [eqn: n]열의 수를 나열하면

[eqn: 1,`3,`7,`13,`` CDOTS]이므로 이 수열의 일반항은
[eqn: a _{n} =n ^{2} -n+1]이다.

[eqn: n=10]이면 [eqn: a _{10} =91]

[eqn: n]이 짝수이면 [eqn: NEARROW]방향으로 수가 커지므로 [eqn: 89]는
[eqn: 12]행, [eqn: 8]열의 수이다.

따라서 [eqn: i+j=20]

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 활용하여 문제해결하기

직선 [eqn: y=nx]가 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각을 [eqn: theta _{n}],

직선 [eqn: y= LEFT ( n+1 RIGHT ) x]가 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는
각을 [eqn: theta _{n+1}]이라 하면, [eqn: l _{n} `= theta _{n+1} - theta _{n}]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} l _{k} & =l _{1} +l _{2} + CDOTS +l _{n``}]

[eqn: =( theta _{2} - theta _{1} )+( theta _{3} - theta _{2} )+ CDOTS +( theta _{n+1} - theta _{n} )]

[eqn: = theta _{n+1} - theta _{1}]

[eqn: tan theta _{1} =1], [eqn: tan theta _{n+1} =n+1]이므로

[eqn: tan( theta _{n+1} - theta _{1} ) & = {tan theta _{n+1} -tan theta _{1}} over {1+tan theta _{n+1} tan theta _{1}}]

[eqn: & = {(n+1)-1} over {1+(n+1) TIMES 1}]

[eqn: & = {n} over {n+2}]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} l _{k} GEQ {pi } over {6}]이므로 [eqn: tan( theta _{n+1} - theta _{1} ) GEQ tan {pi } over {6}]

[eqn: {n} over {n+2} GEQ {1} over {sqrt {3}}], [eqn: n GEQ 1+ sqrt {3} `]

따라서 [eqn: `n]의 최솟값은 [eqn: 3]