수학 영역(A형)

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수학 영역(A형)

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2013학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(A형)

제 2 교시

5지선다형

1. [eqn: {1} over {2} `log _{`2} `8-log` _{`2} ` sqrt {2} `]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

12

2. 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`2&```3`#`1&```2`}} `], [eqn: B= {pmatrix{`-1&```2`#````````3&```1`}} `]에 대하여 행렬 [eqn: A-2B`]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: -6`]	② [eqn: -4`]	③ [eqn: -2`]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: 4`]

3. [eqn: lim _{n`-> `inf} {} {2n ^{2} +n-3} over {3n ^{2} -1} `]의 값은? [2점]

① [eqn: {2} over {3} `]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: {4} over {3} `]	④ [eqn: {5} over {3} `]	⑤ [eqn: 2`]

4. [eqn: int _{0} ^{1} {} (3x ^{2} -4x+5)`dx`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

5. [eqn: 5]개의 꼭짓점으로 이루어진 그래프 [eqn: G``]의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬 [eqn: M``]이 다음과 같을 때, 그래프 [eqn: G``]의 변의 개수는? (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

[eqn: M= {pmatrix{``0``&``1``&``0``&``a``&``1``#1&0&1&1&1#0&1&0&1&1#0&1&1&0&0#1&b&1&0&0}}]

① [eqn: 6`]	② [eqn: 7`]	③ [eqn: 8`]	④ [eqn: 9`]	⑤ [eqn: 10`]

6. [eqn: LEFT ( x ^{2} + {1} over {x} RIGHT ) ^{7} `]의 전개식에서 [eqn: x ^{2} `]의 계수는? [3점]

① [eqn: 7`]	② [eqn: 14`]	③ [eqn: 21`]	④ [eqn: 28`]	⑤ [eqn: 35`]

7. 서로 배반인 두 사건 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대하여

[eqn: rm P( it A)= {1} over {2} `], [eqn: rm P left( it A ^{C} SMALLINTER B ^{C} ```right)`= {1} over {4} `]

일 때, [eqn: rm P( it B`)`]의 값은? (단, [eqn: A ^{C} `]은 [eqn: A`]의 여사건이다.) [3점]

① [eqn: {1} over {4} `]	② [eqn: {3} over {8} `]	③ [eqn: {1} over {2} `]	④ [eqn: {5} over {8} `]	⑤ [eqn: {3} over {4} `]

8. 다항함수 [eqn: LEFT . f(x RIGHT ) `]에 대하여

[eqn: lim _{x` -> `2} {` {f LEFT ( x RIGHT ) -1} over {x-2} =2``}]

일 때, [eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -f LEFT ( 2-h RIGHT )} over {h} `}]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 1`]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: 4]

9. 부등식

[eqn: 1<log _{`4}` {x ^{2} -1} over {2} <3]

을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12`]	③ [eqn: 14`]	④ [eqn: 16`]	⑤ [eqn: 18`]

10. 같은 종류의 선물 [eqn: 4`]개를 [eqn: 4`]명의 학생에게 남김없이 나누어 줄 때, [eqn: 2`]명의 학생만 선물을 받는 경우의 수는? (단, 선물끼리는 서로 구별하지 않는다.) [3점]

① [eqn: 18]	② [eqn: 21`]	③ [eqn: 24`]	④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 36]

11. 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -x ^{2} -5x+k`]의 극댓값이 [eqn: 20`]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? [3점]

① [eqn: 13`]	② [eqn: 14`]	③ [eqn: 15`]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17`]

12. 어떤 무선 수신기에서 수신 가능한 신호의 최소 크기 [eqn: P`]와 수신기의 잡음 지수 [eqn: F`](dB) 그리고 수신기의 주파수 대역 [eqn: B`](Hz)사이에는 다음과 같은 관계가 있다고 한다.

[eqn: P=a+F+10`log`B`] (단, [eqn: a`]는 상수이다.)

잡음 지수가 [eqn: 5`~]이고 주파수 대역이 [eqn: B _{1} `]일 때의 수신 가능한 신호의 최소 크기와 잡음 지수가 [eqn: 15`]이고 주파수 대역이 [eqn: B _{2} `]일 때의 수신 가능한 신호의 최소 크기가 같을 때, [eqn: {B _{2}} over {B _{1}} `]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {20}]	② [eqn: {1} over {10}]	③ [eqn: {1} over {5}]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 20]

[13 ~ 14] 그림과 같이 곡선 [eqn: y=2 ^{`x`} `]이 [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: rmA`], 곡선 [eqn: y=log _{`2`} x`]가 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rmB`]라 하자. 또, 직선 [eqn: y=-x+k`]가 두 곡선 [eqn: y=2 ^{`x`} `], [eqn: y=log _{`2`} x`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmC`], [eqn: rmD`]라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

13. 사각형 [eqn: rmABDC`]가 정사각형일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? [3점]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 1+ sqrt {2} `]	③ [eqn: 2 sqrt {2} `]

④ [eqn: 3`]	⑤ [eqn: 2+ sqrt {2} `]

14. 한 개의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수를 점 [eqn: rmC`]의 [eqn: x`]좌표라고 할 때, 선분 [eqn: rmCD`]의 길이의 기댓값은? [4점]

① [eqn: {33 sqrt {2}} over {2} `]	② [eqn: {35 sqrt {2}} over {2} `]	③ [eqn: {37 sqrt {2}} over {2} `]

④ [eqn: {39 sqrt {2}} over {2} `]	⑤ [eqn: {41 sqrt {2}} over {2} `]

15. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} ` RIGHT } `]은 [eqn: a`_1 = `1]이고

[eqn: a _{`n+1} = {n`a _{n} +6} over {n+2}] [eqn: LEFT ( n ge 1 RIGHT )]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]을 구하는 과정이다.

주어진 식에 의하여

[eqn: (n+2)`a _{`n+1} =n`a _{n} +6]

이다. [eqn: b _{n} =n(n+1)`a _{n}`]이라 하면

[eqn: b _{n+1} =b _{n} +``box{`^````(가)````_`}]

이고, [eqn: b _{1} =2`]이므로

[eqn: b _{n} =``box{`^```(나)```_`}] [eqn: LEFT ( n ge 1 RIGHT )]

이다. 따라서

[eqn: a _{n} ={box{`^```(나)```_`}} over {n(n+1)}] [eqn: LEFT ( n ge 1 RIGHT )]

이다.

위의 (가), (나)에 들어갈 식을 각각 [eqn: f(n),~g(n)`]이라 할 때, [eqn: f(4)+g(10)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 356]	② [eqn: 357]	③ [eqn: 358]	④ [eqn: 359]	⑤ [eqn: 360]

16. 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 그림과 같다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: lim _{x -> -1-0} {} f(x)+ lim _{x -> 1+0} {} f(x)=0`] ㄴ. [eqn: lim _{x -> 1} {}` f(-x)]는 존재한다. ㄷ. 함수 [eqn: f(x)``f(-x)`]는 [eqn: x=1`]에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

17. 어느 밭에서 수확한 딸기의 무게는 정규분포를 따른다고 한다. 이 딸기 중에서 임의추출한 [eqn: n`]개의 무게를 조사하였더니 평균이 [eqn: 20 rm `]g, 표준편차가 [eqn: rm 5`]g이었다. 이 결과를 이용하여 이 밭에서 수확한 딸기 무게의 평균을 신뢰도 [eqn: 95`]%로 추정한 신뢰구간이 [eqn: [`19.02`,``a`]`]이다. [eqn: n+a`]의 값은? (단, 표준정규분포를 따르는 확률변수 [eqn: Z``]에 대하여 [eqn: rm P( it 0 LEQ Z` LEQ 1.96)=0.4750`]이다.) [4점]

① [eqn: 84.98`]	② [eqn: 85.96`]	③ [eqn: 101.02`]

④ [eqn: 120.98`]	⑤ [eqn: 121.96`]

18. 그림과 같이 두 점 [eqn: rm A it (a,```0)], [eqn: rm B it (0,```3)]에 대하여 삼각형 [eqn: rm OAB`]에 내접하는 원 [eqn: C`]가 있다. 원 [eqn: C`]의 반지름의 길이를 [eqn: r`]라 할 때, [eqn: lim _{a` -> `+0} {` {r} over {a}}]의 값은? (단, [eqn: rmO`]는 원점이다.) [4점]

① [eqn: 1 over {6}]	② [eqn: 1 over {5}]	③ [eqn: 1over {4}]	④ [eqn: 1 over {3}]	⑤ [eqn: 1 over {2}]

19. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정사각형 [eqn: rmABCD] 안에 꼭짓  점 [eqn: rmA`], [eqn: rmC`]를 중심으로 하고 선분 [eqn: rmAB`], [eqn: rmCD]를 반지름으로 하는  사분원을 각각 그린다. 두 사분원의 호로 둘러싸인 부분에 내접  하는 가장 큰 원을 그리고, 그 내부를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1} `]  이라 하자.
그림 [eqn: R _{1} `]에서 두 꼭짓점 [eqn: rmA`], [eqn: rmC`]로부터 두 사분원의 호와 원이 접하는 두 점 중 가까운 점까지의 선분을 대각선으로 하는 정사각형을 각각 그린다. 이 [eqn: 2`]개의 정사각형 안에 그림 [eqn: R _{1} `]에서 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 [eqn: 2`]개의 원의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2} `]라 하자.
그림 [eqn: R _{2} `]에 있는 작은 두 정사각형에서 두 꼭짓점으로부터 사분원과 원의 접점 중 가까운 점까지의 선분을 대각선으로 하는 정사각형을 각각 그린다. 이 [eqn: 4`]개의 정사각형 안에 그림 [eqn: R _{1} `]에서 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 [eqn: 4`]개의 원의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{3} `]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n} `]에서 색칠된 부분의 넓이를 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n`-> `inf} {} S _{n} `]의 값은? [4점]

…

① [eqn: (3-2 sqrt {2} )pi `]	② [eqn: (2- sqrt {3} )pi `]	③ [eqn: ( sqrt {2} -1)pi`]

④ [eqn: (4-2 sqrt {3} )pi`]	⑤ [eqn: (2- sqrt {2} )pi`]

20. 삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax]가 있다. 곡선 [eqn: y=f(x)`] 위의 점 [eqn: rm A``(-1,`` it -1-`a)]에서의 접선이 이 곡선과 만나는 다른 한 점을 [eqn: rm B`]라 하자. 또, 곡선 [eqn: y=f(x)`] 위의 점 [eqn: rm B`]에서의 접선이 이 곡선과 만나는 다른 한 점을 [eqn: rmC`]라 하자. 두 점 [eqn: rmB`], [eqn: rmC`]의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: b`], [eqn: c`]라 할 때, [eqn: f(b)+f(c)=`-80`]을 만족시킨다. 상수 [eqn: a`]의 값은?

[4점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

21. 그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A( it 2`,``0)`], [eqn: rm B( it 0`,``3)`]을 지나는 직선과 곡선 [eqn: y=ax ^{2} `]([eqn: a`>0`]) 및 [eqn: y`]축으로 둘러싸인 부분 중에서 제[eqn: 1`]사분면에 있는 부분의 넓이를 [eqn: S` _{1} `]이라 하자. 또, 직선 [eqn: rmAB`]와 곡선 [eqn: y=ax ^{2} `] 및 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S` _{2} `]라 하자. [eqn: S _{`1} :S _{`2} `=`13:`3`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [4점]

① [eqn: {2} over {9} `]	② [eqn: {1} over {3} `]	③ [eqn: {4} over {9} `]	④ [eqn: {5} over {9} `]	⑤ [eqn: {2} over {3} `]

단답형

22. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a _{1} =2`], [eqn: a _{4} +a _{10} =28`]일 때, [eqn: a _{13} `]의 값을 구하시오. [3점]

23. [eqn: x], [eqn: y`]에 대한 연립방정식

[eqn: {pmatrix{`t&````2#`6&````t-4`}} {pmatrix{`x`#y}}` = {pmatrix{`0`#0}}]

이 [eqn: x=0`], [eqn: y=0`] 이외의 해를 갖도록 하는 양수 [eqn: t`]의 값을 구하시오. [3점]

24. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {3-a _{n}} over {2} =1]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{4na _{n} +5} over {n-3} `}]의 값을 구하시오. [3점]

25. 주머니 속에 ‘대’, ‘한’, ‘민’, ‘국’의 글자가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 4`]장의 카드가 있다. 이 중에서 임의로 [eqn: 2`]장의 카드를 꺼낼 때, 카드에 적힌 글자가 ‘한’과 ‘국’일 확률은 [eqn: {q} over {p} `]이다. [eqn: 10p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [3점]

26. 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 실수 [eqn: a`]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f`'(a)`]의 값을 구하시오. [4점]

(가) [eqn: f(a)=f(2)=f(6)]

(나) [eqn: f` prime (2)=`-4]

27. 양수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: log`x`]의 가수를 [eqn: f(x)`]라 하자. [eqn: {1} over {100} LEQ x LEQ 100`]일 때, 방정식 [eqn: f(x)=log`3`]의 서로 다른 실근의 개수를 구하시오.

[4점]

28. 원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`]의 시각 [eqn: t`] ([eqn: 0 LEQ t LEQ 8`])에서의 속도가 각각 [eqn: 2`t ^{2} -8`t`], [eqn: t ^{3} -10`t ^{2} +24`t`]이다. 두 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`] 사이의 거리의 최댓값을 구하시오. [4점]

29. 함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: 0 le x < 4]일 때, [eqn: f(x)= {cases{`3 ^{`x}&`(`0 LEQ `x<2`)#`3 ^{`-(x-4)}&`(`2 LEQ `x<4`)}} `]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x+4)=f(x)`]이다.

닫힌 구간 [eqn: left[`0`,``40`right]`]에서 방정식 [eqn: f(x)-5=0`]의 모든 실근의 합을 구하시오. [4점]

30. 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a _{1} =b _{1} =6]

(나) 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 공차가 [eqn: p`]인 등차수열이고, 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]은 공비가 [eqn: p`]인 등비수열이다.

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]의 모든 항이 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 항이 되도록 하는 [eqn: 1`]보다 큰 모든 자연수 [eqn: p`]의 합을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.