• 2교시 수리 영역 •

“가형” 정답

1	③	2	①	3	②	4	②	5	⑤
6	⑤	7	⑤	8	④	9	②	10	④
11	③	12	③	13	⑤	14	②	15	③
16	④	17	③	18	142	19	72	20	36
21	73	22	125	23	18	24	126	25	24
26	①	27	①	28	②	29	④	30	20

해 설

1. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 계산할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: 6 ^{{4} over {3}} `` TIMES ``2 ^{{5} over {3}} `` TIMES ``3 ^{- {1} over {3}} ``]

[eqn: =2 ^{{4} over {3}} `` TIMES `3 ^{{4} over {3}} `` TIMES ``2 ^{{5} over {3}} `` TIMES ``3 ^{- {1} over {3}} ``]

[eqn: =2 ^{{4} over {3}} `` TIMES ``2 ^{{5} over {3}} `` TIMES `3 ^{{4} over {3}} `` TIMES ``3 ^{- {1} over {3}} ``]

[eqn: =2 ^{3} `` TIMES ``3 ^{1} `=24]

2. [출제의도] 행렬의 곱셈과 역행렬을 계산할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: A= pmatrix{`2&```5`#1&```3`} ``]에서 [eqn: A ^{-1}` = pmatrix{~~3&``-5``#-1&~~``2``} ``]이므로

[eqn: (A+E`)`A ^{-1} ``=E+A ^{-1} ``][eqn: = pmatrix{`1&~```0`#`0&~```1`} ``+ `pmatrix{~~3&``-5`#`-1&~````````2`} ``= pmatrix{~``````4&``-5``#`-1&`~~3``} ``]

따라서, 모든 성분의 합은 [eqn: 1`]이다.

3. [출제의도] 등비수열의 항의 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제이다.

등비수열의 첫째항을 [eqn: a``], 공비를 [eqn: r``]라 하면

[eqn: a```․a _{3} ``․a _{8} =a``․`ar ^{2} ``․`ar ^{7} =a ^{3} r ^{9} =(ar ^{3} `) ^{3} ``]

이므로 [eqn: (ar ^{3} `) ^{3} =64=4 ^{3} ``]

∴ [eqn: a _{4} =ar ^{3} =4``]

4. [출제의도] 무한등비급수의 합을 계산할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: log _{2} 2`+`log _{2} sqrt {2} `+`log _{2} root {4} of {2} `+`log _{2} root {8} of {2} `+`…``][eqn: =log _{2} 2`+` {1} over {2} rm log _{2} 2`+` {1} over {4} log _{2} 2`+` {1} over {8} log _{2} 2`+`…]

[eqn: =1`+` {1} over {2} `+` {1} over {4} `+` {1} over {8}` +`…= {1} over {1- {1} over {2}} =2]

5. [출제의도] 상용로그를 이용하여 거듭제곱의 자리수를 알아낼 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: log _{4} LEFT { log _{3} (log _{2} x) RIGHT } =1``]에서 [eqn: log _{3} (log _{2} x)=4 ^{1} =4``]

[eqn: log _{2} x=3 ^{4} =81``],    [eqn: THEREFORE ```x=2 ^{81} ``]

[eqn: log _{10} x=log _{10} 2 ^{81} =81``log _{10} `2``=81 TIMES 0.3010=24.381``]

[eqn: log _{10} x`]의 지표가 [eqn: 24``]이므로 [eqn: x`]는 [eqn: 25``]자리 자연수이다.

6. [출제의도] 행렬의 곱셈을 이용하여 역행렬을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: (A-B) ^{2} `=A ^{2} -AB-BA+B ^{2} ``]

[eqn: =(A ^{2} +B ^{2} `)-(AB+BA`)=-2E``]

[eqn: RARROW `(A-B) LEFT ( - {1} over {2} ` RIGHT ) LEFT ( A-B`` RIGHT ) `=E``]

따라서 [eqn: A-B``]의 역행렬은 [eqn: - {1} over {2} (A-B`)``]

[참고] [eqn: A= {1} over {sqrt {2}} pmatrix{1`&-1#1`&~~1} ``], [eqn: B= {1} over {sqrt {2}} pmatrix{~~1&~``1`#-1&~``1`} ``]은 주어진 조건을 만족한다.

7. [출제의도] 확률분포표에서 평균과 분산을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

나온 눈	[eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6]	[eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 8]	[eqn: 2], [eqn: 6], [eqn: 8]	[eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 8]	합
[eqn: X]	[eqn: 12]	[eqn: 14]	[eqn: 16]	[eqn: 18]
[eqn: rm P it (X`)``]	[eqn: {1} over {4}]	[eqn: {1} over {4}]	[eqn: {1} over {4}]	[eqn: {1} over {4}]	[eqn: 1]

(평균) [eqn: = {12+14+16+18} over {4} =15]

(분산)

[eqn: = {(12-15) ^{2} +(14-15) ^{2} +(16-15) ^{2} +(18-15) ^{2}} over {4}]

[eqn: =5]

8. [출제의도] 등비수열과 계차수열의 관계를 알아낼 수 있는지를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: left {a _{n} right }]이 첫째항이 [eqn: a``], 공비가 [eqn: r``]인 등비수열이면

[eqn: a _{n} =a`r ^{n-1} ``]이고,

[eqn: b _{n} =a _{n+1} -`a _{n} =`a`r ^{n} -`a`r ^{n-1}]

[eqn: =a(r-1`)r ^{n-1} ``]이다.

따라서, [eqn: left {b _{n} right }]은 첫째항이 [eqn: a(r-1`)``], 공비가 [eqn: r``]인 등비수열이다. ∴ 참

ㄴ. (반례) {[eqn: b _{n} `]}이 첫째항이 [eqn: 1`], 공비가 [eqn: 2``]인 등비수열일 때, {[eqn: a _{n} `]}의 첫째항이 [eqn: 2``]이면 {[eqn: a _{n} `]}은 등비수열이 아니다.

{[eqn: a _{n} `]} : [eqn: 2``],    [eqn: 3``],     [eqn: 5``],     [eqn: 9``],    [eqn: 17``],  …

\    /  \    /  \    /  \   /

{[eqn: b _{n} `]} :    [eqn: 1``],      [eqn: 2``],     [eqn: 4``],     [eqn: 8``],  …

∴ 거짓

ㄷ. {[eqn: a _{n} `]}이 첫째항이 [eqn: a``], 공비가 [eqn: r``]인 등비수열이면 [eqn: a _{n} =a`r ^{n-1} ``]이고, {[eqn: b _{n} `]}은 첫째항이 [eqn: a(r-1`)``], 공비가 [eqn: r``]인 등비수열이므로, {[eqn: a _{n} `․b _{n} ``]}은 첫째항이 [eqn: a ^{2} (r-1`)``], 공비가 [eqn: r ^{2} ``]인 등비수열이다.

∴ 참

9. [출제의도] 순열, 조합을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

①	②	[eqn: 2 ^{6} ``]
③	④	⑤

[eqn: 2+2 ^{2} `+2 ^{3} +2 ^{4} `+2 ^{5} `<`2 ^{6} ``]이므로

[eqn: 2,~2 ^{2} `,~2 ^{3} `,~2 ^{4} `,~2 ^{5} `,~2 ^{6} ``]에서 가장 큰 수인 [eqn: 2 ^{6} ``]은 표와 같이 [eqn: 3`]열에 위치하여야 한다. 그러면 ⑤에 위치할 수 있는 수는 [eqn: 2 ^{6} ``]을 제외한 나머지 수 중 어떤 수가 위치하여도 되므로 [eqn: 5``]개이다. 또한 같은 방법으로 ②의 위치에 넣을 수 있는 수는 나머지 [eqn: 4`]개 중 가장 큰 수가 위치하여야 하므로 ④의 위치에 올 수 있는 수는 나머지 [eqn: 3`]개이다. 마지막으로 나머지 두 개의 수를 [eqn: 1`]열에 위치하도록 하면 된다. 이와 같이 수를 배열한 후 [eqn: 1`]행과 [eqn: 2``]행의 수를 바꾸는 경우는 각 열마다 [eqn: 2`]가지씩 있으므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 5 TIMES 3 TIMES 1 TIMES 2 ^{3} `=`120`](가지)이다.

[다른 풀이] [eqn: 2,``2 ^{2} ,``2 ^{3} ,``2 ^{4} ,``2 ^{5} ,``2 ^{6} ``]중 어느 두 수의 합은 모두 다르다. 따라서, 구하는 경우의 수는 [eqn: 6``]개의 수를 [eqn: 2``]개, [eqn: 2``]개, [eqn: 2``]개의 세 조로 나눈 다음 각 조의 [eqn: 2``]개의 수의 자리를 바꾸는 경우의 수와 같다. 즉,

[eqn: ` _{6} rm C` it rm _{2} TIMES ` _{4} rm C` it rm _{2} TIMES ` _{2} rm C` it rm _{2} TIMES {1} over {3!} TIMES 2 ^{3} =120````]

10. [출제의도] 그래프를 이용하여 무리방정식의 실근이 존재할 조건을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

방정식 [eqn: a+ sqrt {a-x} =2x-4``]의 실근은

곡선 [eqn: y=a+ sqrt {a-x} ``]와 직선 [eqn: y=2x-4``]의 교점의

[eqn: x``]좌표와 같다.

한편, [eqn: y=a+ sqrt {a-x} ``]의 그래프는 직선 [eqn: y=x``]위의

점 [eqn: (a,``a`)``]에서 시작되는 곡선이므로

[eqn: x=2x-4``]에서 [eqn: x=4``](그림참조)

따라서, 주어진 방정식이 실근을 갖기 위한 상수 [eqn: a``]값의 범위는 [eqn: a >= 4``]이므로, 구하는 최소값은 [eqn: 4`]이다.

[eqn: y=2x-4``]

[eqn: y]

[eqn: x]

O

[eqn: y=x``]

[eqn: rm P(4,``4`)``]

[eqn: y=a+ sqrt {a-x} ```````]

11. [출제의도] 상용로그를 이용하여 거듭제곱의 자리수의 관계를 알아낼 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: [`log`2N``]`=`[`log`N``]+1`]에서 [eqn: log`2N``]의 지표가

[eqn: log`N``]의 지표보다 [eqn: 1`]만큼 크므로 [eqn: 2`N`]의 자리수가 [eqn: N`]의 자리수보다 [eqn: 1``]만큼 크다.

즉, [eqn: 5 TIMES 10 ^{2} `` <= ``N``<``10 ^{3} `]  ∴ [eqn: 2+log`5`` <= ``log`N``<``3``]

ㄱ. [eqn: 5.3980`` <= ``log`N`` ^{2} ``<``6`]에서 [eqn: log`N` ^{2} `]의 지표는 항상 [eqn: 5``]이다. ∴ [eqn: N`` ^{2} `]은 항상 [eqn: 6``]자리의 수이다.

ㄴ. [eqn: 8.0970`` <= ``log`N`` ^{3} ``<``9``]에서 [eqn: log`N`` ^{3} `]의 지표는 항상 [eqn: 8``]이다.  ∴ [eqn: N`` ^{3} `]은 항상 [eqn: 9``]자리의 수이다.

ㄷ. [eqn: 10.7960`` <= ``log`N`` ^{4} ``<``12`]에서 [eqn: log`N`` ^{4} `]의 지표는 [eqn: 10``]또는 [eqn: 11``]이다.

∴ [eqn: N`` ^{4} `]은 [eqn: 11``]자리 또는 [eqn: 12``]자리의 수이다.

따라서, 옳은 것은 ㄱ과 ㄴ이다.

12. [출제의도] 수학적귀납법을 이용하여 부등식을 증명할 수 있는지를 묻는 문제이다.

(가) [eqn: {1} over {sqrt {1}} + {1} over {sqrt {2}} `>` sqrt {2} ``]

(나), (다)

[eqn: sqrt {k+1} - `sqrt {k}~```-` {1} over {sqrt {k+1}} ``=` {k- sqrt {k(k+1)} `} over {sqrt {k+1}} ``<`0``]

13. [출제의도] 조합의 수를 이용하여 이항분포 [eqn: rm B it (n,``p`)``]의 평균이 [eqn: rm E it (X`)=np``]임을 증명할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: rm E it (X``)= sum _{r=0} ^{n} ~~r~~․` _{n} {\ C }it _{r} p ^{r} q ^{n-r} ``] --- (가)

[eqn: r```․ {n!} over {(n-r)!r!} = {n!} over {(n-r)!(r-1)!} ``][eqn: =n``․ {(n-1`)!} over {(n-r)!(r-1)!} ``]

[eqn: =``] --- (나)

[eqn: n``․ _{n-1} {\C} _{r-1}]

(다)

[eqn: =np``]

14. [출제의도] 그래프를 이용하여 분수방정식의 실근의 개수를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: {1} over {f`(x`)} + {1} over {g`(x`)} = {1} over {f`(x`)g`(x`)} ``]의 양변에

[eqn: f`(x`)g`(x`)``]를 곱하면 [eqn: f`(x`)+g`(x`)=1``]

(단, [eqn: f`(x`)g`(x`) != 0``]) 즉, [eqn: f`(x`)=1-g`(x`)``]

[eqn: y=f`(x`)``]와 [eqn: y=1-g`(x`)``]의 그래프의 교점을 구하면 그림과 같다.

1

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y=-g(x) ``]

[eqn: y]

[eqn: y=g(x)]

[eqn: alpha``]

O

[eqn: gamma``]

[eqn: x]

[eqn: y=-g(x)+1 ``]

[eqn: beta``]

교점의 [eqn: x``]좌표는 [eqn: x= alpha], [eqn: x= beta], [eqn: x= gamma ``]

이 중에서 [eqn: x= alpha ``]는 [eqn: f`( alpha `)=0``]이므로 무연근이다.

따라서, 실근은 [eqn: beta `], [eqn: gamma `]로 [eqn: 2`]개이다.

15. [출제의도] 상용로그를 이용하여 실생활에서의 문제를 해결할 수 있는지를 묻는 문제이다.

현재 산소농도가 [eqn: 21]%이므로

[eqn: 10`]분씩 [eqn: n``]번 경과한 후의 농도는 [eqn: 21(1-0.01`) ^{n} ``]

따라서, [eqn: 21(1-0.01) ^{n} ` <= `18], [eqn: (0.99) ^{n} ` <= ` {6} over {7} ``]

양변에 상용로그를 취하여 계산하면

[eqn: n(log9.9-1)` <= `log6-log7`]

[eqn: n` >= ` {0.0669} over {0.0044} = {669} over {44} =15.2 TIMES TIMES ``]  [eqn: THEREFORE ~n=16``]

따라서 처음으로 산소농도가 [eqn: 18]% 이하로 측정되는 시간은 [eqn: 10`]분씩 [eqn: 16`]번 경과했으므로 [eqn: 160`]분 후이다.

16. [출제의도] 수열의 극한을 이용하여 실생활에서의 문제를 해결할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: n`]일 후 정오에 측정한 [eqn: 2`]호 댐의 저수량을 [eqn: x _{n} `](만톤)이라 하면 [eqn: x _{n} `` TIMES ``0.98+100=x _{n+1} ``]

[eqn: (x _{n+1} `-5000`)`=0.98``(x _{n} `-5000`)``]

[eqn: THEREFORE ~x _{n} -`5000=(x _{1} -`5000`)0.98 ^{n-1} ``]

[eqn: lim _{n -> INF } {x _{n}} =5000+ lim _{n -> INF } {} (x _{1} -5000)0.98 ^{n-1} ``=5000``]

따라서, 측정되는 저수량은 [eqn: 5000`]만톤에 한없이 가까워진다.

17. [출제의도] 행렬의 곱셈을 이용하여 실생활에서의 문제를 해결할 수 있는지를 묻는 문제이다.

(i) [eqn: rm A`]과수원에서는 [eqn: a _{11} `]그루의 사과나무에서 평균 [eqn: b _{11} `]개의 사과가 열리고, [eqn: rm B`]과수원에서는 [eqn: a _{12} `]그루의 사과나무에서 평균 [eqn: b _{21} `]개의 사과가 열리므로 두 과수원에서 생산된 사과의 총 개수는

[eqn: a _{11} b _{11} +`a _{12} b _{21} ``=a``](개)이다.

(ii) 두 과수원에서 생산된 복숭아의 총 개수는

[eqn: a _{21} b _{12} +`a _{22} b _{22} ``=d``](개)이고, 복숭아 나무의 총 그루수는 [eqn: a _{21} +a _{22} =q``]이므로 두 과수원의 복숭아 한그루당 열매의 평균개수는 [eqn: {d} over {q} `](개)이다.

18. [출제의도] [eqn: SMALLSUM]를 써서 수열의 합을 계산할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: sum _{k=1} ^{5} (2 ^{k} +5k+1`)``= SUM from { { k}=1} to 5 `2^k + SUM from { { k}=1} to 5 `5k + SUM from { { k}=1} to 5` 1``]

[eqn: = {2(2 ^{5} -1`)} over {2-1} +5`․` {5`․`6} over {2} +5``]

[eqn: =62+75+5=142``]

19. [출제의도] 분수부등식을 만족하는 정수해를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: 2x-1- {5} over {x-2} ` <= `0``], [eqn: {(2x-1`)(x-2`)-5} over {x-2} ` <= `0``]

[eqn: {2x ^{2} -5x-3} over {x-2} ` <= `0``], [eqn: {(2x+1`)(x-3`)} over {x-2} ` <= `0``]

[eqn: x <= - {1} over {2} ``] 또는 [eqn: 2`<`x` <= `3``] ([eqn: BECAUSE ~x=2``]는 무연근)

따라서, 구하는 정수는 [eqn: -4], [eqn: -3], [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 3``]이고 모든 정수의 곱은 [eqn: 72``]이다.

20. [출제의도] 역행렬을 갖지 않을 조건을 알고 있는지를 묻는 문제이다.

행렬 [eqn: M] 이 역행렬을 갖지 않으려면,

[eqn: D=a CDOT 9`-`bc`=0``]    ∴ [eqn: 9a=bc``]

서로 다른 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c``]에 대하여 위의 등식을 만족하는 경우는 [eqn: a=2``]이고,

([eqn: b=3], [eqn: c=6`]) 또는 ([eqn: b=6], [eqn: c=3`])일 때 뿐이다.

∴ [eqn: abc=36``]

21. [출제의도] 조건부확률을 실생활에서의 문제에 응용할 수 있는지를 묻는 문제이다.

차량이 자가용일 사건을 [eqn: A``], 목격자가 자가용이라 증언할 사건을 [eqn: B```]라 하면 구하는 확률은 [eqn: rm P `it (A vert B``)``]이다. 이 때, [eqn: rm P it (A vert B``)`=` {rm P it (A SMALLINTER B``)} over {rm P it (B``)} ``] 이고

[eqn: rm P it (B``)`=`0.8 TIMES `0.9```+``0.2 TIMES 0.1``=``0.74``]

[eqn: rm P it (A SMALLINTER B``)`=`0.8 TIMES 0.9`=`0.72``]

이므로 구하는 확률은 [eqn: {72} over {74} = {36} over {37} ``]

[eqn: p=37], [eqn: q=36``]이므로 [eqn: p+q=73``]

22. [출제의도] 그래프에서 극한을 이용하여 선분의 길이의 합을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: S= sum _{n=0} ^{INF } bar{{\ P} it _{n} {\ Q} _{n+1}} ``+ sum _{n=1} ^{INF } bar{{\ Q} _{n} {{\P}} _{n}} ```]이고,

[eqn: x _{n} = {1} over {2} + {1} over {2 ^{n+1}} ``]이므로

[eqn: sum _{n=0} ^{INF } bar{{\ P} _{n} {\ Q} _{n+1}} ``= sum _{n=0} ^{INF } (x _{n} ` ^{2} -x _{n+1} ` ^{2} `)``]

[eqn: = sum _{n=0} ^{INF } ` LEFT ( {1} over {2 ^{n+2}} `+` {3} over {4 ^{n+2}} RIGHT ) ``]

[eqn: = {{1} over {4}} over {1- {1} over {2}} + {{3} over {16}} over {1- {1} over {4}}= {1} over {2} + {1} over {4} = {3} over {4}]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } bar{{\ Q} _{n} {\ P} _{n}} ``= sum _{n=1} ^{INF } (x _{n-1} `-x _{n} `)``= sum _{n=1} ^{INF } {1} over {2 ^{n+1}} ``][eqn: = {{1} over {4}} over {1- {1} over {2}} = {1} over {2}]

따라서, [eqn: S= {3} over {4} + {1} over {2} = {5} over {4}]이므로 [eqn: 100S=125``]

<다른 풀이>

[eqn: lim _{n -> INF } {} x _{n} = lim _{n -> INF } {} {2 ^{n} +1} over {2 ^{n+1}} = {1} over {2} ``]이므로 점 [eqn: {\ P} _{n} ``]과 점 [eqn: {\ Q} _{n} ``]은  점[eqn: LEFT ( {1} over {2} ,`` {1} over {4} RIGHT )]에 한없이 가까워진다.

[eqn: {\ A} _{n} `(x _{n} ,``0),``][eqn: {\ B} _{n} `(0,``x _{n} ` ^{2} `)``]이라 하면

[eqn: sum _{n=0} ^{INF } bar{{\ P} _{n} {\ Q} _{n+1}} `]

[eqn: =(1- bar{rm Q it _{1} rm A it _{0}} )`+`( bar{rm Q it _{1} rm A it _{0}} - bar{rm Q it _{2} rm A it _{1}} ``)][eqn: +`` CDOTS ``]

[eqn: =1- lim _{n -> INF } {} bar{{\ Q} _{n} {\ A}_{n-1}} `][eqn: =1- lim _{n -> INF } {} x _{n} ` ^{2}][eqn: =1- {1} over {4} =` {3} over {4} ``]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } bar{{\ Q}_{n} {\ P}_{n} } `]

[eqn: =(1- bar{rm B it _{1} rm P it _{1}} )`+`( bar{rm B it _{1} rm P it _{1}} - bar{rm B it _{2} rm P it _{2}} )+`` CDOTS ``]

[eqn: =1- lim _{n -> INF } {} bar{{\ B}_{n} {\ P} _{n}} `][eqn: =1- lim _{n -> INF } {} x _{n} `=`1- {1} over {2} = {1} over {2} ``]

따라서, [eqn: S= {3} over {4} + {1} over {2} = {5} over {4}]이므로 [eqn: 100S=125``]

23. [출제의도] 로그함수의 그래프에서 조건을 만족하는 점을 찾을 수 있는지를 묻는 문제이다.

네 점 [eqn: rm A], [eqn: rm Q], [eqn: rm P], [eqn: rm R`]의 좌표가 각각

[eqn: (1,~0)], [eqn: (a,~0)], [eqn: (a,~b)], [eqn: (0,~b)]이므로

[eqn: (삼각형~ rm AQP``의`넓이) `` = rm {1} over {2} bar{AQ}`` `` ․ bar{PQ} ``] [eqn: = {1} over {2} (a-1) ``․ b]

[eqn: (사각형~ rm OAPR``의`넓이)` = rm ` {1} over {2} ( bar{OA} + bar{PR} )```․ bar{OR} ``][eqn: = {1} over {2} (1+a)`` ․ b]

[eqn: {(사각형~ rm OAPR``의`넓이)} over {(삼각형~ rm AQP``의`넓이) } = {5} over {4} ``]에서

[eqn: {{1} over {2} (1+a)``․b} over {{1} over {2} (a-1)``․b} = {5} over {4} ``]

[eqn: THEREFORE `5a-5=4+4a~~~~~ THEREFORE `a=9 CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: {\ P} (a,~b)`]는 [eqn: y=log _{3} ``x``]위에 있으므로

[eqn: b=log _{3} ``9``=2``] ∴ [eqn: ab=9````․2=18``]

24. [출제의도] 조합의 수를 이용하여 실생활에서의 경우의 수를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

(i) [eqn: 4``]개국이 있는 두 대륙을 여행하는 경우

[eqn: 2 TIMES ` _{4} rm C _{3} TIMES _{4} rm C _{2} =48``](가지)

(ii) 4개국이 있는 대륙과 [eqn: 3``]개국이 있는 대륙을 여행하는 경우

[eqn: 4 TIMES (` _{4} rm C _{3} TIMES ` _{3} rm C _{2} +` _{3} rm C _{3} TIMES ` _{4} rm C _{2} `)=72``](가지)

(iii) [eqn: 3``]개국이 있는 두 대륙을 여행하는 경우

[eqn: 2 TIMES ` _{3} rm C _{3} TIMES _{3} rm C _{2} =6``](가지)

이상에서 구하는 경우의 수는 [eqn: 126``](가지)이다.

25. [출제의도] 도형에서 선분의 길이의 비의 극한값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: bar{rm `AC it _{n}} ````-`` bar{rm `OC it _{n}} `````=`` sqrt {n ^{2} `+`48 ^{2} ``} ``-``n``],

[eqn: bar{{\ B} _{1} {\ D}_{n}} ``= {4 8} over {n} ``]이므로

[eqn: rm lim _{n -> INF } {} {bar{{\ AC} _{n}} ````-`` bar{{\ OC} _{n}} ``} over {bar{{\ B} _{1} {\ D} _{n}} ``} ``][eqn: = lim _{n -> INF } {} {sqrt {n ^{2} `+`48 ^{2}} ``-``n``} over {{48} over {n}} ``]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {( sqrt {n ^{2} `+`48 ^{2}} ``-``n``)( sqrt {n ^{2} `+`48 ^{2}} ``+``n`)} over {{48} over {n} ( sqrt {n ^{2} `+`48 ^{2}} ``+``n``)``} ``]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {48 ^{2}} over {48( sqrt {1`+` {48 ^{2}} over {n ^{2}}} `````+``1```)``} ``= {48} over {2} =24``]

26. [출제의도] 표준정규분포표를 이용하여 시험점수의 위치를 찾을 수 있는지를 묻는 문제이다.

상위 [eqn: 4]% 이내에 속하려면 표준정규분포곡선에서

[eqn: 0.5-0.04=0.46]이므로

표준정규분포표의 값을 이용하면, [eqn: z=1.75] 이다.

표준화한 값  [eqn: Z= {X-m} over {sigma }]이므로

[eqn: X= sigma Z+m=20 TIMES 1.75+50=85``]

O

[eqn: 1.75]

[eqn: 0.46``]

[eqn: 0.04``]

[eqn: z``````]

27. [출제의도] 지수법칙과 상용로그를 이용하여 주어진 관계식에서 표면적의 비를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

철수와 철수 아빠의 표면적을 각각 [eqn: S _{1}], [eqn: S _{2} ``]라 하자.

[eqn: S _{1} =0.02 TIMES 90 ^{0.4} ` TIMES 20 ^{0.5} ```]

[eqn: S _{2} =0.02 TIMES (90 TIMES 2`) ^{0.4} TIMES (20 TIMES 4`) ^{0.5} ``]

[eqn: =2 ^{0.4} TIMES 4 ^{0.5} TIMES (0.02 TIMES 90 ^{0.4} ` TIMES 20 ^{0.5} `)``]

[eqn: =2 ^{1.4} ``S _{1} ``]

이 때, [eqn: 2 ^{1.4} =k``]라 하면

[eqn: log``k=1.4 TIMES log2=1.4 TIMES 0.3010=0.4214``]

상용로그표에서 [eqn: k image 2.64``]

따라서, [eqn: S _{2} =2.64``S _{1} ``]

28. [출제의도] 독립시행의 확률을 이해하고 이를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

컵이 [eqn: 1`]개, [eqn: 2`]개, [eqn: 0`]개인 개수를 각각 [eqn: x,~y,~z```]로 두면 [eqn: 1 TIMES x`+`2 TIMES y`+`0 TIMES z`=`3`]이다.

[eqn: x,~y,~z```]는 [eqn: 0`]이상인 정수이므로

(i) [eqn: (`x`,``y`,`z`)`=(`3`,``0`,`0`)`]일 때, [eqn: ` _{3} ` rm `C it _{3} `` LEFT ( {p} over {10} RIGHT ) ^{3} ``=` {p ^{3}} over {1000} `]

(ii) [eqn: (`x`,``y`,`z`)`=(`1,``1,`1)`]일 때

[eqn: ` _{3} ` rm `C it _{1} `` LEFT ( {p} over {10} RIGHT ) ^{1} ` TIMES ` _{2} ` rm `C it _{1} `` LEFT ( {p} over {100} RIGHT ) ^{1} ` TIMES ` _{1} ` rm `C it _{1} ``p ^{1} `=` {6} over {1000} p ^{3} `]

따라서 [eqn: LEFT ( ` {1} over {1000} `+` {6} over {1000} RIGHT ) `p ^{3} `=` {7} over {1000} `p ^{3} `]

29. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 관계를 이해하고 관련성을 파악할 수 있는지를 묻는 문제이다.

두 함수 [eqn: f(x)= LEFT ( {1} over {2} ` RIGHT ) ^{x} ``], [eqn: g(x)=log _{{1} over {2}} ``x``]

[eqn: y]

[eqn: x]

1

1

[eqn: y=g(x)]

O

[eqn: y=f(x)]

[eqn: a``]

는 서로 역함수이므로 그래

프는 그림과 같이 직선

[eqn: y=x`]에 대하여 대칭이다.

ㄱ. 그래프에서 [eqn: a`>`1``]일 때,

[eqn: f`(a)`>`g`(a)``]이다. (거짓)

ㄴ. 두 그래프의 교점은 직선

[eqn: y=x`] 위에 있으므로

[eqn: alpha = beta ``] (참)

ㄷ. [eqn: b`<`f`(a`)``]⇔ [eqn: g`(b`)`>`a``]

⇔ [eqn: 2`g`(b`)`>``2a``] ⇔ [eqn: 2a`<`g`(b ^{2} `)``]

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

30. [출제의도] 분수방정식을 이용하여 실생활에서 주어진 문제를 해결할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: rm A`]항구와 [eqn: rm B`]항구를 왕복하는 여객선이 정상적으로 운행할 때의 속력은 [eqn: a``](km/시)이므로 [eqn: 10``]시에 [eqn: rm A`]항구를 출발한 여객선이 기관 이상이 생기기 전까지 운행한 시간은 [eqn: {40} over {a} `](시간), 기관 고장 후 운행한 시간은 [eqn: {20} over {a-10} ``](시간), [eqn: 11`]시에 [eqn: rm A`]항구를 출발한 여객선이 [eqn: rm B`]항구에 도착할 때까지 걸린 시간은 [eqn: {60} over {a} `](시간)이다.

두 여객선이 동시에 [eqn: rm B`]항구에 도착하였으므로

[eqn: {40} over {a} `+` {20} over {a-10} `=` {60} over {a} `+`1`], [eqn: ` {20} over {a-10} `-` {20} over {a} `=`1`]

위의 식의 양변에 [eqn: a(a-10)`]을 곱하여 정리하면

[eqn: 20a-20(a-10)=a(a-10)]

[eqn: a ^{2} `-10a`-200=0`], [eqn: (a+10)(a-20)=0]

∴[eqn: a=20``](∵[eqn: a>0])

‘나형’ 정답

1	③	2	①	3	②	4	②	5	⑤
6	⑤	7	②	8	④	9	①	10	④
11	③	12	③	13	①	14	④	15	③
16	④	17	③	18	142	19	16	20	36
21	74	22	25	23	12	24	17	25	24
26	②	27	①	28	⑤	29	⑤	30	271

해 설

1. ‘가’형과 공통

2. ‘가’형과 공통

3. ‘가’형과 공통

4. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 간단한 로그를 계산할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: log _{2} `5 sqrt {3} +log _{2} ` {24} over {5} -`log _{2} `3 sqrt {3} `][eqn: =log _{2} ` {5 sqrt {3} TIMES {24} over {5}} over {3 sqrt {3}} `]

[eqn: =log _{2} ``8`][eqn: =log _{2} ``2 ^{3} `=3``]

5. ‘가’형과 공통

6. ‘가’형과 공통

7. [출제의도] 극한의 성질을 이용하여 수열의 극한값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {{2n ^{2} +3n} over {n ^{3} ``a _{n}}}][eqn: = lim _{n -> INF } {{2n ^{2} +3n} over {n ^{2}} ``` ․ lim _{n -> INF } {{1} over {n`a _{n}}}}]

[eqn: =2``` ․ {1} over {3} =` {2} over {3}]

8. ‘가’형과 공통

9. [출제의도] 주어진 점화식을 만족하는 수열의 항의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

주어진 점화식에 [eqn: n=2``]를 대입하면

[eqn: a _{1} `` ․ a _{3} =a _{2} `` ․ a _{4} ``] , [eqn: 1``` ․ 4=2`` `․ a _{4} ``]이므로 [eqn: a _{4} =2``]

또, [eqn: n=3``]을 대입하면

[eqn: a _{2}``` ․ a _{4} =a _{3}` `` ․ a _{5} ``] , [eqn: 2``` ․2=4``` ․a _{5} ``]이므로 [eqn: a _{5} =1``]

마찬가지로 [eqn: n=4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: cdots]를 차례대로 대입하면

구하는 수열은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 2], [eqn: cdots]

이 수열은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 2``]가 반복되는 수열이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{20} a _{n} =5 TIMES 9=45``]

10. [출제의도] 지표와 가수의 성질을 이용하여 주어진 문제를 해결할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: logA=n+ alpha ``]([eqn: n``]은 정수, [eqn: 0< alpha <1``])라 하면

[eqn: log {1} over {A} =`-logA=`-n- alpha ``]

[eqn: =(-n-1`)+(1- alpha `)``]이므로

지표는 [eqn: -n-1``], 가수는 [eqn: 1- alpha ``]

이 때, 지표의 합은 [eqn: -1``], 가수의 합은 [eqn: 1``]이다.

∴ [eqn: a ^{2} +b ^{2} =2``]

11. ‘가’형과 공통

12. ‘가’형과 공통

13. [출제의도] 극한의 성질을 이용하여 수열의 극한값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} =x``]라 하면 [eqn: a _{n+1} =``]   [eqn: + {1} over {a _{n}} ``]에서

[eqn: 2]

[eqn: x=``]  [eqn: + {1} over {x} ``],  [eqn: x ^{2} -2x-1=0]

[eqn: 2]

근의 공식에 의하여 [eqn: x=1± sqrt {2}]

[eqn: 1+ sqrt {2}]

[eqn: x>2]이므로, [eqn: x=]

14. [출제의도] 주어진 행렬의 관계식에서 거듭제곱의 성질을 알아낼 수 있는지를 묻는 문제이다.

주어진 조건식의 양변에 행렬[eqn: A`]를 곱하여 정리하면

[eqn: A ^{2} `=`-E`],   [eqn: A ^{3} `=`-A`],   [eqn: A ^{4} `=`E`]

[eqn: A ^{2} +(A ^{2} ) ^{-1} `=`-E-E`=`-2`E`]

[eqn: A ^{3} +(A ^{3} ) ^{-1} `=`-A-A ^{-1} `=`-(A+A ^{-1} )`=`O`]

[eqn: A ^{4} +(A ^{4} ) ^{-1}` `=`E``+E```=`2`E`]

또한, 행렬 [eqn: A ^{n} `]은 주기가 [eqn: 4`]이므로

[eqn: n`]이 홀수이면   [eqn: A ^{n} +(A ^{n} ) ^{-1} `=`O]

[eqn: n`]이 짝수이면   [eqn: A ^{n} +(A ^{n} ) ^{-1} `` != ``O`]

∴ ㄱ은 참,  ㄴ은 거짓

한편, [eqn: A+A ^{2} +A ^{3} +A ^{4} `=`A-E-A+E`=`O`]

이므로 [eqn: A+A ^{2} +A ^{3} + CDOTS +A ^{4n} `=`O`] 이다.

∴ ㄷ은 참

15. ‘가’형과 공통

16. ‘가’형과 공통

17. ‘가’형과 공통

18. ‘가’형과 공통

19. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 거듭제곱을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: 2 ^{a} =3 ^{2}], [eqn: 3 ^{b} =5 ^{3} ``]에서 [eqn: 3=2 ^{{a} over {2}} ``], [eqn: 5=3 ^{{b} over {3}} ``]이므로

[eqn: 5 ^{c} ``= LEFT ( 3 ^{{b} over {3}} RIGHT ) ^{c} =``3 ^{{bc} over {3}} ``][eqn: = LEFT ( 2 ^{{a} over {2}} RIGHT ) ^{{bc} over {3}} ``=`2 ^{{abc} over {6}} ``]

[eqn: =2 ^{{24} over {6}} =2 ^{4} =16``]

20. ‘가’형과 공통

21. [출제의도] 정의에 맞는 수열의 일반항을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: 1=1 _{(2)} ``], [eqn: 2=10 _{(2)} ``], [eqn: 3=11 _{(2)} ``], [eqn: 4=100 _{(2)} ``],

[eqn: 5=101 _{(2)} ``], …, [eqn: 20=10100 _{(2)} ``]이므로

[eqn: a _{1} =1,```a _{2} =a _{3} =2,```a _{4} =a _{5} =a _{6} =a _{7} =3``],

[eqn: a _{8} =a _{9} =…=a _{15} =4``], [eqn: a _{16} =a _{17} =…=a _{20} =5``]

따라서, 첫째항부터 제[eqn: 20``]항까지의 합은

[eqn: 1+2 TIMES 2+3 TIMES 4+4 TIMES 8+5 TIMES 5``][eqn: =1+4+12+32+25=74``]

22. [출제의도] 지수법칙과 부분분수의 합을 이용하여 주어진 문제를 해결할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: f`(2```․3`)f`(3```․4`)…f`(9```․10`)``]

[eqn: =a ^{{1} over {2․3}} ```․a ^{{1} over {3․4}} …`a ^{{1} over {9`․10}} ``][eqn: =a ^{{1} over {2․3} + {1} over {3․4} +… {1} over {9․10}} ``]

[eqn: =a ^{{1} over {2} - {1} over {3} + {1} over {3} - {1} over {4} +…+ {1} over {9} - {1} over {10}} ``][eqn: =a ^{{1} over {2} - {1} over {10}} =a ^{{4} over {10}} =a ^{{2} over {5}} =f` LEFT ( {5} over {2} RIGHT ) ``]

∴ [eqn: 10k=10```․ {5} over {2} ``=25``]

23. [출제의도] 행렬의 거듭제곱을 추정하여 주어진 문제를 해결할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: A ^{2} = pmatrix{-2&~-3`#~~1&~~1`} pmatrix{-2&~-3`#~~1&~~1`}` = pmatrix{~~1&~~3`#`-1&~-2`}]

[eqn: A ^{3} =A ^{2} A= pmatrix{~~1&~~3`#`-1&~-2`} pmatrix{-2&~-3`#~~1&~~`1`} = pmatrix{`1&~``0#`0&~``1} =E`]

[eqn: THEREFORE `A ^{2005} =(A ^{3} ) ^{668} CDOT A=A`( BECAUSE `A ^{3} =E)`]

[eqn: THEREFORE `A ^{2005} pmatrix{x``#y``} = pmatrix{1``#2``} `]에서 [eqn: A pmatrix{x``#y``} = pmatrix{1``#2``}]

그런데 [eqn: A ^{-1} = pmatrix{~~1&`~``````3``#`-1&`-2``}]이므로

[eqn: pmatrix{x``#y``} =A ^{-1} `` pmatrix{1`#2`} ``= pmatrix{~~1&`~``````3``#`-1&`-2``} pmatrix{1`#`2} = pmatrix{```7#-5}]

[eqn: THEREFORE `x-y=12``]

24. [출제의도] 행렬의 곱으로 주어진 조건을 만족하는 점 [eqn: rm P``]의 자취를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: A ^{2} =16E``]이므로

[eqn: A ^{2} =& pmatrix{x&~~y#y&-x``} pmatrix{x&`y#y&-x``}][eqn: = pmatrix{x ^{2} +y ^{2}&0#0&x ^{2} +y ^{2}}][eqn: = pmatrix{16&``````0`#`````0&``16`} ``]

[eqn: THEREFORE `x ^{2} +y ^{2} =4 ^{2} ``]

따라서, 점 [eqn: rm P``]의 자취는 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: 4``]인 원이다. 원의 중심 [eqn: rm O``]에서

[eqn: \P``]

[eqn: x^{ 2 } +y^{ 2 } =4^2``]

O

[eqn: y``]

[eqn: x``]

[eqn: {rm Q}(5,``12)``]

점 [eqn: rm Q it (5,``12)``]에 이르는 거리는

[eqn: rm bar{OQ} = sqrt {5 ^{2} +12 ^{2}} =13``]이므로 선분[eqn: rm PQ``]의 최대값은 [eqn: 13+4=17``]이다.

25. ‘가’형과 공통

26. [출제의도] 직각삼각형의 세 변이 등차수열을 이룰 조건을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

세 변을 [eqn: a=b-d``], [eqn: b], [eqn: c=b+d``]로 놓으면

피타고라스의 정리에서 [eqn: (b+d`) ^{2} =(b-d`) ^{2} +b ^{2} ``]

[eqn: b ^{2} -4bd=0``], [eqn: b(b-4d`)=0``]

[eqn: THEREFORE `b=4d``]([eqn: BECAUSE ~b>0``])

[eqn: a=4d-d=3d``], [eqn: c=4d+d=5d``]

(삼각형의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES 3d`` TIMES 4d``=`6d ^{2} ``]

27. ‘가’형과 공통

28. [출제의도] 등차수열의 성질을 이용하여 주어진 수열의 공차사이의 관계식을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

첫째 수열은 [eqn: 2a _{1} +d _{1}], [eqn: 2a _{1} +5d _{1}], [eqn: 2a _{1} +9d _{1}], [eqn: CDOTS ``]이므로 공차가 [eqn: d _{2}`` =`4d _{1}]이고

둘째 수열은  [eqn: 3a _{1} +3d _{1}], [eqn: 3a _{1} +12d _{1}], [eqn: 3a _{1} +21d _{1}], [eqn: CDOTS ``]이므로 공차가 [eqn: d _{3}`` =`9d _{1}]이다

∴ [eqn: 9d _{2} =4d _{3}]

29. [출제의도] 주어진 조건을 만족하는 함수의 그래프를 찾을 수 있는지를 묻는 문제이다.

주어진 연립방정식이 단 한 쌍의 해를 갖기 위해서는

[eqn: pmatrix{`~~2~~f``(x)`#-1~~f``(x)`} `]의 역행렬이 존재해야 한다.

∴ [eqn: 2 ``․ f`(x)-(-1) ``․ f``(x)`=`3`f``(x)`` != ``0`]

즉, 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f``(x)`` != ``0`] 이므로 함수[eqn: y`=`f``(x)`]의 그래프는 [eqn: x`]축과 만나지 않아야 한다.

따라서, 구하는 답은 ⑤이다.

30. [출제의도] 계차수열을 이용하여 수열의 항의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

수열 [eqn: 1], [eqn: 7], [eqn: 19], [eqn: 37], [eqn: CDOTS ``]의 계차수열을 구하면,

첫째항이 [eqn: b _{1}``=`6`]이고, 공차가 [eqn: d`=`6``]인 등차수열이다

그러므로 [eqn: 10``]번째항은

[eqn: a _{10} =a _{1} + sum _{k=1} ^{9} b _{k}] [eqn: =1+ sum _{k=1} ^{9} 6k]

[eqn: =1+6```․ {9 TIMES 10} over {2} =271]