• 2교시 수리 영역 •

“가형” 정답

1	③	2	⑤	3	①	4	③	5	④
6	⑤	7	②	8	②	9	④	10	⑤
11	②	12	⑤	13	①	14	④	15	③
16	①	17	③	18	[eqn: 14]	19	[eqn: 8]	20	[eqn: 668]
21	[eqn: 4]	22	[eqn: 65]	23	[eqn: 40]	24	[eqn: 41]	25	[eqn: 35]

해 설

1. [출제의도] 로그의 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a=log _{2} `3`]에서 [eqn: 2 ^{a} `=`3`] ∴ [eqn: 4 ^{a} `=`(`2 ^{a} `) ^{2} `=`3 ^{2} `=`9`]

2. [출제의도] 접선의 기울기를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f`(x)=(x^2 -1)(2x+1)`]에서

[eqn: f``'(x)=2x(2x+1)+2(x^2 -1)`]이므로

[eqn: f``'(1)=2×3=6`]

3. [출제의도] 행렬의 연산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A ^{2} +AB`][eqn: =A(A+B)`][eqn: =AE`][eqn: =A][eqn: = pmatrix{3&1`#2&4`} `]

따라서 구하는 모든 성분의 합은 [eqn: 10]이다.

4. [출제의도] 무한등비급수의 수렴조건을 알고 이를 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `a`r` ^{n-1} `=` {a} over {1-r} `=`-1]에서 [eqn: a=r-1]

[eqn: -1`<`r`<`1]이므로 [eqn: -2`<`a`<`0]

5. [출제의도] 절대값이 포함된 함수의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a>1`]이므로 [eqn: x -> `1]일 때, [eqn: vert x-a vert =`-(x-a)`]

[eqn: lim _{x -> 1} {} `` {-(x-a) -(a-1) } over {x-1} `= lim _{x -> 1} {} `` {-x+1 } over {x-1} `=` -1]

6. [출제의도] 로그함수의 그래프를 이해하고 이를 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log _{2} ``2=1`], [eqn: log _{2} ``16=4`]에서 [eqn: rm C`(0,``1)`], [eqn: rm D` LEFT ( 0,``4 RIGHT ) `]이므로 점 [eqn: rm F]의 좌표는 [eqn: ` LEFT ( 0,`` {4+2} over {3} RIGHT ) `], 즉 [eqn: (0,``2)]이다.
따라서 점 [eqn: rm E`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: log _{2} ``x`=2`]에서 [eqn: x=4`]

7. [출제의도] 조건을 만족하는 수열의 일반항을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

다음과 같이 자연수를 나열하여 3의 배수와 5의 배수를 지우고 남는 수가 수열[eqn: left{ a _{n} right}]의 각 항이므로

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45
46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	…

[eqn: a _{n+8} =a _{n} +15`]  ∴ [eqn: a _{100} `=`a _{4} `+15 TIMES 12`=`187`]

8. [출제의도] 무리방정식의 실근의 개수와 그래프의 교점의 개수가 일치함을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

방정식 [eqn: a sqrt {x} =x+b`]의 실근의 개수는 두 함수 [eqn: y=a sqrt {x}]와 [eqn: y=x+b]의 그래프의 교점의 개수와 같다.

ㄱ. [eqn: a<0,``b>0]이면 곡선 [eqn: y=a sqrt {x}]와 직선 [eqn: y=x+b]는 만나지 않으므로 주어진 방정식은 실근을 갖지 않는다. (참)

ㄴ. [eqn: a>0,``b<0]이면 곡선 [eqn: y=a sqrt {x}]와 직선 [eqn: y=x+b]는 한 점에서 만나므로 주어진 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. (참)

ㄷ. (반례) [eqn: a=1,`b=1`]이면 두 그래프는 만나지 않는다.

9. [출제의도] 주어진 정의를 이해하여 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: 3<log _{2} `9<4`]이므로 [eqn: f`(2,``9)=3`] (거짓)

ㄴ. [eqn: f`(a,``b)`=`2] 이면 [eqn: 2` <= `log _{a} `b`<`3`]

[eqn: {1} over {3} `<`log _{b} `a` <= ` {1} over {2} `] ∴ [eqn: f`(b,``a)=0`] (참)

ㄷ. [eqn: f`(a,``b)`=`-2] 이면 [eqn: -2` <= `log _{a} `b`<`-1`]

[eqn: -1`<`log _{b} `a` <= `- {1} over {2} `] ∴ [eqn: f`(b,``a)=-1] (참)

10. [출제의도] 주어진 조건을 이해하여 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A _{1} `= pmatrix{1&2`#3&4`} ``],   [eqn: A _{2} `= pmatrix{1&2`#3&4`} pmatrix{0&1`#1&0`} = pmatrix{2&1`#4&3`} ``]

[eqn: A _{3} `=- pmatrix{0&1`#1&0`} pmatrix{2&1`#4&3`} = pmatrix{-4&-3`#-2&-1`} ``]

[eqn: A _{4} `= pmatrix{-4&-3`#-2&-1`} pmatrix{0&1`#1&0`} = pmatrix{-3&-4`#-1&-2`} ``]

[eqn: A _{5} `=- pmatrix{0&1`#1&0`} pmatrix{-3&-4`#-1&-2`} = pmatrix{1&2`#3&4`} ``= A_1 `]

따라서 [eqn: A _{6} `=A _{2} ``], [eqn: A _{7} `=A _{3} ``], … , [eqn: A _{n+4} `=A _{n} ``]

∴ [eqn: A _{2005} `=A _{4 TIMES 501+1} =A _{1} `= pmatrix{1&2`#3&4`} ``]

그러므로 [eqn: A _{2005} ``]의 [eqn: (2,1)``]성분은 [eqn: 3``]이다.

11. [출제의도] 중간값의 정리를 이용하여 주어진 명제를 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x``]만큼 짧아진 삼각형의 세 변의 길이는

[eqn: a-x,``b-x,``c-x``]이므로

[eqn: (a-x)+(b-x)``＞``c-x``]  ∴ [eqn: 0``＜``x``＜``a+b-c``]

[eqn: f(0)=a ^{2} +b ^{2} -c ^{2} ``＞``0``]

[eqn: f(a+b-c)=(c-b) ^{2} +(c-a) ^{2} -(a+b-2c) ^{2} ``]                 [eqn: =`-2(c-a)(c-b)``＜``0``]

[eqn: y=f(x)``]는 연속함수이므로 중간값의 정리에 의해 [eqn: f(x)=0``]이 되는 [eqn: x``]가 [eqn: 0``＜``x``＜``a+b-c``]인 범위에 존재하므로 직각삼각형을 만드는 것이 가능하다.

12. [출제의도] 수학적귀납법을 이용하여 부등식을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: n=k`]([eqn: k >= 6`])일 때 성립한다고 가정하면

[eqn: LEFT ( {k+1} over {2} RIGHT ) ^{k+1} = {k+1} over {2 ^{k+1}} `․ {(k+1) ^{k}} over {k ^{k}}` ․k ^{k} `]

[eqn: = {k+1} over {2}` ․ LEFT ( 1+ {1} over {k} RIGHT ) ^{k}` ․ LEFT ( {k} over {2} RIGHT ) ^{k} `]

그런데 [eqn: LEFT ( 1+ {1} over {k} RIGHT ) ^{k} ＞`2`]이고 [eqn: LEFT ( {k} over {2} RIGHT ) ^{k} ＞`k!`]이므로

[eqn: LEFT ( {k+1} over {2} RIGHT ) ^{k+1} `][eqn: ＞ {k+1} over {2}`․ 2`․k!`][eqn: =(k+1)!`]

13. [출제의도] 최소값을 구하기 위해 미분법을 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x^2 +3y^2 =9`]에서 [eqn: y ^{2} = {1} over {3} (9-x ^{2} )``…``㉠]

[eqn: y ^{2} >= 0]이므로  [eqn: -3 <= x <= 3```…``㉡]

주어진 식에 ㉠을 대입한 식을 [eqn: f(x)]라 하면

[eqn: f(x)=x(x+y ^{2} )][eqn: =- {1} over {3} x ^{3} +x ^{2} +3x`]

[eqn: f``'(x)= - x^2 + 2x + 3 `][eqn: = -(x+1) (x-3)`]

㉡의 범위에서 [eqn: f(x)]의 증감표를 만들면

[eqn: x]	[eqn: -3`]	[eqn: cdots]	[eqn: - 1]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]
[eqn: f`` prime (x)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]
[eqn: f(x)]	[eqn: 9]	↘	[eqn: - {5} over {3}]	↗	[eqn: 9]

따라서 주어진 식의 최소값은 [eqn: - 5over 3]이다.

14. [출제의도] 극한으로 표현된 함수의 연속성을 조사할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(ⅰ) [eqn: vert f(x) vert ``＜``1``]일 때  [eqn: g(x)=1``]

(ⅱ) [eqn: vert f(x) vert =1``]일 때   [eqn: g(x)= {1} over {2} ``]

(ⅲ) [eqn: vert f(x) vert ``＞``1``]일 때  [eqn: g(x)=0``]

따라서 함수 [eqn: y=g(x)``]는

[eqn: f(x)=1``] 또는 [eqn: f(x)=-1``]일 때 불연속이다.

그림과 같이 [eqn: f(x)=1``]인 [eqn: x``]는 [eqn: 1``]개, [eqn: f(x)=-1``]인 [eqn: x``]는 [eqn: 3``]개이므로 실수전체의 집합에서 불연속인 [eqn: x``]는 [eqn: 4``]개다.

15. [출제의도] 미분을 이용하여 수직선 위를 움직이는 점들의 운동방향을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {dx _{1}} over {dt} =6t ^{2} -18t=6t(t-3)`]

따라서 [eqn: rm P]는 [eqn: t=3]일 때 운동방향을 바꾸므로

[eqn: a=1`]

마찬가지로 [eqn: {dx _{2}} over {dt} =2t+8`] 이므로 [eqn: b=0`]

[eqn: t]분 후의 [eqn: rm M]의 좌표를 [eqn: f(t)]라 하면

[eqn: f(t)`][eqn: =t ^{3} -4t ^{2} +4t`]

[eqn: f`` prime (t)=3t ^{2} -8t+4=(3t-2)(t-2)]

∴ [eqn: c=2`]

∴ [eqn: a+b+c=3`]

16. [출제의도] 등차수열을 활용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

가장 안쪽의 정육각형 모양의 토지의 넓이를 [eqn: a`]로 놓으면 인접한 흰 부분의 넓이는 [eqn: 3a`]이다.

또 인접한 어두운 부분의 넓이는 [eqn: 5a`]이고, 이에 인접한 흰 부분의 넓이는 [eqn: 7a`]이다.

그러므로 어두운 부분의 넓이의 합은

[eqn: a+5a+9a+…+41a`=` {11(a+41a)} over {2} =231a`]

흰 부분의 넓이의 합은

[eqn: 3a+7a+11a+…+39a`=` {10(3a+39a)} over {2} `=`210a]

그런데 어두운 부분의 넓이의 합이 [eqn: 231]이므로

구하는 부분의 넓이의 합은  [eqn: 210]이다.

17. [출제의도] 무한등비급수를 활용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2015]년 초 원리합계는 [eqn: 10 ^{8} `` TIMES ``(1+0.05) ^{10}] (원)

매년 [eqn: rm A]원 씩 연금을 받는다고 할 때, [eqn: 2015]년을 기준으로 했을 때의 가치는 각각

[eqn: rm A], [eqn: rm {A} over {1+0.05}], [eqn: rm {A} over {LEFT ( 1+0.05 RIGHT ) ^{2}}], …

이다. 따라서 [eqn: rm {A} over {1- {1} over {1.05}} =10 ^{8} `` TIMES ``1.05 ^{10}]에서

[eqn: rm A=10 ^{8} `` TIMES ``1.05 ^{10} `` TIMES `` {0.05} over {1.05} `][eqn: =10 ^{8} `` TIMES ``1.05 ^{9} `` TIMES ``0.05`]

[eqn: =7,750,000`]

18. [출제의도] 등차중항과 등비중항을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

세 수 [eqn: 1`], [eqn: x`], [eqn: 5`]는 순서대로 등차수열을 이루므로 [eqn: 2x=1+5=6`]에서 [eqn: x=3`]

세 수 [eqn: 1`], [eqn: y`], [eqn: 5`]는 순서대로 등비수열을 이루므로 [eqn: y ^{2} =5`]  ∴ [eqn: x ^{2} +y ^{2} =9+5=14`]

19. [출제의도] 분수부등식을 만족하는 자연수[eqn: x`]의 개수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 식의 양변에 [eqn: (x-a) ^{2} (x-13) ^{2}]을 곱하면

[eqn: (x-21)(x-a)(x-13)` <= `0``], [eqn: x != a], [eqn: x != 13]

(ⅰ) [eqn: a <= 13]인 경우

[eqn: x<a], [eqn: 13<x <= 21]이므로 [eqn: a <= 1]일 때

[eqn: f(a)]는 최소가 되며 그 값은 [eqn: 21-13=8]이다.

(ⅱ) [eqn: 13<a <= 21]인 경우

[eqn: x<13], [eqn: a<x <= 21]이므로 [eqn: a = 21`]일 때

[eqn: f(a)]는 최소가 되며 그 값은 [eqn: 12]이다.

(ⅲ) [eqn: a>21]인 경우

[eqn: x<13], [eqn: 21 <= x<a]이므로  [eqn: 21<a <= 22]일 때

[eqn: f(a)]는 최소가 되며 그 값은 [eqn: 12+1=13]이다.

(ⅰ)∼(ⅲ)에서 [eqn: f(a)]의 최소값은 [eqn: 8]이다.

20. [출제의도] 표준정규분포표를 이용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

모집단이 정규분포 N(150, [eqn: 12^2`])을 따르고, 표본의 크기가 9이므로 [eqn: rm E( bar{it X`` rm} `)=150`], [eqn: rm V( bar{it X`` rm} `)= {12 ^{2}} over {9} =16`]

따라서 표본평균 [eqn: rm ` bar{it X`` rm} `]는 N(150, [eqn: 4 ^{2} `])을 따른다.

[eqn: rm P( bar{it X``} ` <= `144`)][eqn: \=P(`it Z`` <= ` {144-150} over {4} `)][eqn: = \P(`it Z`` <= `-1.5`)][eqn: \=0.5-P(0` <= `it Z` <= `1.5`)`][eqn: =0.5-0.4332=0.0668`]   ∴ [eqn: k=668`]

21. [출제의도] 행렬의 거듭제곱을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A ^{2} = pmatrix{1`&`1#0`&`1} pmatrix{1`&`1#0`&`1} `=` pmatrix{1``&2`#0``&1`} `]

[eqn: A ^{3} = pmatrix{1``&1`#0``&1`} pmatrix{1``&2`#0``&1`} `=` pmatrix{1``&3`#0``&1`} `]

⋮

[eqn: A ^{10} = pmatrix{`1`&10`#0&```1`} `]

[eqn: (A ^{-1} `) ^{10} `=`(A ^{10} `) ^{-1} `=` pmatrix{1&`-10#0&````````````1}]

∴ [eqn: A ^{10} `+`(A ^{-1} ) ^{10} `=` pmatrix{2&``0#0&``2}]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 4]이다.

22. [출제의도] 로그를 활용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 25=20+(120-20)10 ^{-0.02t} `]에서  [eqn: {1} over {20} =10 ^{-0.02t} `]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: -(1+log2)=-0.02t`]     ∴ [eqn: t= {1.3} over {0.02} =65`]

23. [출제의도] 무리방정식을 이용하여 실생활문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

정문에서 [eqn: rm P]지점까지의 거리를 [eqn: x`]m라 하면

[eqn: {x} over {1} + {sqrt {(100-x) ^{2} +80 ^{2}}} over {2} =90`]

[eqn: 2x+ sqrt {(100-x) ^{2} +80 ^{2}} =180]

[eqn: sqrt {(100-x) ^{2} +80 ^{2}} =180-2x] … ㉠

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 3x ^{2} -520x+16000=0], [eqn: (x-40)(3x-400)=0]

그런데 ㉠에서 [eqn: 180-2x >= 0]이므로 [eqn: x <= 90]

[eqn: THEREFORE ```x=40```](m)

24. [출제의도] 독립시행의 확률을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

오른쪽으로 이동(→)할 확률은 [eqn: {1} over {2}], 왼쪽으로 이동(←)할 확률은 [eqn: {1} over {3}], 위로 이동(↑)할 확률은 [eqn: {1} over {6}]이고,  →3번, ←1번, ↑1번 이동해야 하므로

[eqn: {5!} over {3!} TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {6} `= {5} over {36}]  ∴ [eqn: p+q=41`]

25. [출제의도] 같은 것이 있는 순열의 수를 활용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

우리나라 대표팀이 득점한 상황을 [eqn: S`], 실점한 상황을 [eqn: F`]라 하면 5 : 3의 상황은 5개의 [eqn: S`]와 3개의 [eqn: F`]로 나타난다.

이때, 철수는 1 : 0으로 우리나라 국가대표팀이 승리하는 상황까지 알고 있으므로 점수가 변해가는 상황은 일곱 개의 문자 [eqn: SSSSFFF]를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같다.

∴ [eqn: {7!} over {4!`3!} `=35`]

미분과 적분

26	④	27	③	28	①	29	②	30	[eqn: 23]

26. [출제의도] 합성함수의 극한값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(g(x))=2sinx],  [eqn: g(f(x))=sin2x]이므로

(준식)[eqn: = lim_ { x ->`` 0 } { 2 sin x } over {sin 2x } `=`lim _ { x ->`` 0 } { sinx } over {x } × lim _ { x ->`` 0 } { 2x } over { sin2x }]

[eqn: =`1 × 1 `= 1 `]

27. [출제의도] 조건에 맞는 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 P의 좌표를 P[eqn: (x,```ln(1+10x)``)] 라 하면

[eqn: tan theta `=` { ln (1+10x)} over {x }]

이때, [eqn: rm `P``` -> `O] 이면 [eqn: x`` -> `0]이므로

[eqn: lim_{rm P -> O} ``tan theta `=` lim _{x -> 0} {ln(1+10x)} over {x}]

[eqn: `=` lim _{x->0} { {ln(1+10x)} over {10x} TIMES 10} = 10]

28. [출제의도] 삼각방정식이 실근을 갖기 위한 조건을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: cos2x-sinx=`a`(sinx+1)`] 에서

[eqn: cos2x`=`1-2sin ^{2} x] 이므로 주어진 방정식은

[eqn: 1-2sin ^{2} x-sinx=`a`(sinx+ 1 )`] [eqn: 2sin ^{2} x+sinx-1`=`-a(sinx+1)]

[eqn: (2sinx-1)(sinx+1)`=`-a(sinx+1)]

[eqn: 0`<`x`< pi] 이면 [eqn: 0`<`sinx` <= 1] 이므로

[eqn: 2sinx-1`=`-a]

그런데 [eqn: -1`<`2sinx-1` <= 1] 이므로

[eqn: -1`<`-a`` <= `1]  [eqn: THEREFORE ``-1` <= `a``<`1]

29. [출제의도] 삼각함수의 여러 가지 공식을 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm bar{AC} = bar{BC} sin theta =4`sin theta `] 이고

점 [eqn: rm A]에서 밑변 [eqn: rm BC]에 내린 수선의  발을 [eqn: rm H]라고 하면

[eqn: rm ANGLE CAH= theta `]이므로 [eqn: rm bar{AD} `cos`2 theta = \ bar{AH} ,]

[eqn: rm bar{AH} = bar{AC} `cos theta =4sin theta cos theta `][eqn: =`2sin2` theta `]

∴ [eqn: rm ` bar{AD} = {2sin`2 theta } over {cos`2 theta } =2tan`2 theta `]

30. [출제의도] 삼각함수의 이배각공식을 이용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sin theta - cos theta `=` { 1} over {2 }] 의 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 1-2sin theta cos theta `=` {1} over {4}],  [eqn: 2sin theta cos theta `=` {3} over {4}]에서

[eqn: sin2 theta `=` {3} over {4}] 이므로

[eqn: cos ^{2} 2 theta =1-sin ^{2} 2 theta =1- {9} over {16} = {7} over {16} `]

∴ [eqn: a+b=23`]

확률과 통계

26	②	27	①	28	⑤	29	④	30	[eqn: 23]

26. [출제의도] 줄기와 잎 그림을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. 을의 홈런 개수는 22, 25, 34, 35, 41, 41, 46, 46, 46, 47, 49, 54, 54, 59, 60이므로 [eqn: 15]년 동안 선수 생활을 하였다. (거짓)

ㄴ. 갑의 중앙값은 [eqn: {23+26}over2 =24.5]이다. (거짓)

ㄷ. 을의 최빈값은 [eqn: 46]이다. (참)

27. [출제의도] 가중평균을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: \A]대학의 가중평균은

[eqn: {0.3 TIMES 125+0.2 TIMES 130+0.5 TIMES 100} over {0.3+0.2+0.5} =113.5]

[eqn: \B]대학의 가중평균은

[eqn: {0.4 TIMES 125+0.1 TIMES 130+0.5 TIMES 100} over {0.4+0.1+0.5} =113]

[eqn: \C]대학의 가중평균은

[eqn: {0.2 TIMES 125+0.2 TIMES 130+0.6 TIMES 100} over {0.2+0.2+0.6} =111]

따라서 가중평균이 높은 대학부터 순서대로 나열하면 [eqn: \A,``B,``C `]이다.

28. [출제의도] 수열의 점화식을 확률에 이용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (n +1 )]회의 시행 후에 점 A에 있을 확률 [eqn: p_n+1`]은 [eqn: n`]회의 시행 후의 결과에 따라 다음 세 가지 경우로 나눈다.

(ⅰ) A→A일 확률은

[eqn: 6]의 눈이 나오는 경우이므로 [eqn: { 1} over {6 }]

(ⅱ) B→A일 확률은

[eqn: 2]의 눈이 나오는 경우이므로 [eqn: { 1} over {6 }]

(ⅲ) C→A일 확률은

[eqn: 1,`3,`4,`5`]의 눈이 나오는 경우이므로 [eqn: { 4} over {6 } = { 2} over {3 }]

∴ [eqn: p _{n+1} `=` {1} over {6} p _{n} + {1} over {6} q _{n} + {2} over {3} r _{n}]   ∴ [eqn: abc= {1} over {54} `]

29. [출제의도] 조건에 맞는 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

조건을 만족하는 정수의 개수는 [eqn: `\ _8 rm C_2 = { 8 TIMES 7} over {2 } =28]

이 중 [eqn: i] 번째 ([eqn: i`=`0,``1,`` CDOTS ,`7])에 1이 나타나는 정수의 개수는 [eqn: 7]이므로 이러한 정수의 총합은

[eqn: 7 sum _{i=0} ^{7} 2 ^{i} =`7(2 ^{8} -1)]

따라서 구하는 평균은 [eqn: {7(2 ^{8} -1)} over {28} `=` {255} over {4}]

30. [출제의도] 조건에 맞는 확률을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 10] 장의 카드에서 임의로 [eqn: 3]장의  카드를 뽑는 방법의 수는

[eqn: ` _{10} rm C _{3} = {10 TIMES 9 TIMES 8} over {3 TIMES 2 TIMES 1} =120] (가지)

이 때 중앙값이 [eqn: 7]이 되는 경우는 한 장이 [eqn: 7]의 카드, 다른 두 장은 [eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 수에서 한 장,  [eqn: 8]부터 [eqn: 10]까지의 수에서 한 장을 꺼내는 경우이므로 구하는 확률은

[eqn: {` _{6} rm C _{1} TIMES ` _{3} rm C _{1}} over {120} = {3} over {20}]  ∴ [eqn: p+q`=`23`]

이 산 수 학

26	①	27	④	28	⑤	29	②	30	[eqn: 63]

26. [출제의도] 집합의 분할의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 6]명을 두 팀으로 나누는 경우의 수와 같다.

([eqn: 6]명을 두 팀으로 나누는 경우의 수)

=([eqn: 5]명을 두 팀으로 나누는 경우의 수)×[eqn: 2]+([eqn: 5]명을 한 팀으로 나누는 경우의 수)

([eqn: 5]명을 두 팀으로 나누는 경우의 수)

=([eqn: 4]명을 두 팀으로 나누는 경우의 수)×[eqn: 2]+([eqn: 4]명을 한 팀으로 나누는 경우의 수)

=[eqn: 7times 2 +1 =15]

이므로 [eqn: 15times 2 +1 =31]이다.

<다른풀이>

[eqn: ` _{6} rm C _{1} +` _{6} C _{2} +` _{6} C _{3} TIMES {1} over {2!} =6+15+10=31`]

27. [출제의도] 경우의 수를 활용하여 실생활문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 개씩 꺼낸 횟수를 [eqn: x], 한 개씩 꺼낸 횟수를 [eqn: y] 라 하면 [eqn: 2x + y = 7 `]

(ⅰ) [eqn: x=3,``y=1]일 때 [eqn: 4! over { 3! } = 4]

(ⅱ) [eqn: x = 2 ,`` y = 3]일 때 [eqn: 5! over { 3! 2!} = 10]

(ⅲ) [eqn: x = 1 ,`` y = 5]일 때 [eqn: 6! over { 5! } = 6]

(ⅳ) [eqn: x = 0 , ``y = 7]일 때  [eqn: 1]

∴ 21가지

28. [출제의도] 비둘기집의 원리를 이용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그림과 같이 12개의 점을 각각 정육면체의 모서리의 중점에 잡으면

[eqn: d( \P _{it k} `,`P _{it l} ) >= 1`]이다.

여기에 또 한 점 [eqn: \ Q`]를  잡으면 [eqn: d( \ P _{it k} `, `Q)<1`]인 점[eqn: \ P _{it k} `]가 존재하므로 [eqn: n`]의 최대값은 [eqn: 12`]이다.

29. [출제의도] 중복이 되는 조합의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 0]부터 [eqn: 9999]까지의 정수 중에서 각 자리의 숫자의 합이 [eqn: 8]이 되는 정수의 개수는 [eqn: 8]개의 공을 서로 다른 [eqn: 4]개의 상자에 넣는 방법의 수와 같다.

따라서 [eqn: 4]개의 서로 다른 것에서 중복을 허락하여 [eqn: 8]개를 택하는 조합의 수이므로

[eqn: ` _{4+8-1} rm C _{8} =` _{11} C _{8} =165]이다.

30. [출제의도] 중복순열을 활용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

각각의 점은 튀어나오거나 그렇지 않은 [eqn: 2]가지 경우이고 [eqn: 6]개의 점으로 구성되므로 가능한 문자의 개수는 [eqn: 2times 2times 2times 2times 2times 2 =2^6]이다.

그런데 모든 점이 튀어나오지 않는 경우는 제외되므로 구하는 문자의 개수는 [eqn: 2^6 -1=63](개)이다.

“나형” 정답

1	③	2	④	3	①	4	③	5	⑤
6	⑤	7	②	8	④	9	④	10	⑤
11	①	12	⑤	13	①	14	②	15	②
16	①	17	③	18	[eqn: 14]	19	[eqn: 33]	20	[eqn: 60]
21	[eqn: 4]	22	[eqn: 65]	23	[eqn: 183]	24	[eqn: 15]	25	[eqn: 35]
26	②	27	④	28	⑤	29	③	30	[eqn: 10]

해 설

1. ‘가’형과 같음.

2. [출제의도] 수열의 극한값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(주어진 식) = [eqn: lim _{n -> INF } {} {sqrt {4- {1} over {n}} + sqrt {4+ {1} over {n}}} over {1} `=`4]

3～4. ‘가’형과 같음.

5. [출제의도] 경우의 수를 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (a+b+c)(p+q+r)`]의 전개식의 항의 개수는

[eqn: 3 TIMES 3=9`]

[eqn: (a+b)(s+t)`]의 전개식의 항의 개수는

[eqn: 2 TIMES 2=4`]

따라서 구하는 항의 개수는 [eqn: 9+4=13`]이다.

6～7. ‘가’형과 같음.

8. [출제의도] 행렬을 활용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: cases{x`+`y`=`10`#`10x`+12y`=`114}] 에서   [eqn: cases{x`+`y`=`10`#`5x`+6y`=`57}]

이 식을 행렬로 나타내면

[eqn: pmatrix{`1`&`1`#`5`&`6`} pmatrix{`x`#`y`} `=` pmatrix{`10`#`57`}]

[eqn: pmatrix{`x`#`y`} `=`{ pmatrix{`1`&`1`#`5`&`6`}}^-1 `pmatrix{`10`#`57`} `=` pmatrix{```````6`&`-1`#`-5`&`````````1`} ` pmatrix{`10`#`57`}]

∴ [eqn: a+b`=`-1+(-5)`=`-6]

9～10. ‘가’형과 같음.

11. [출제의도] 지수의 성질을 이용하여 대소관계를 알아낼 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {sqrt{2} } ^{sqrt {3}} ㆍ {sqrt {3}} ^{sqrt {2}} - {sqrt {2}} ^{sqrt {2}} ㆍ {sqrt {3}} ^{sqrt {3}} `]

[eqn: = {sqrt {2}} ^{sqrt {2}} ㆍ {sqrt {3}} ^{sqrt {2}} ( {sqrt {2}} ^{sqrt {3} - sqrt {2}} - {sqrt {3}} ^{sqrt {3} - sqrt {2}} )`<`0`]

∴ [eqn: {sqrt{2} } ^{sqrt {3}} ㆍ {sqrt {3}} ^{sqrt {2}} < {sqrt {2}} ^{sqrt {2}} ㆍ {sqrt {3}} ^{sqrt {3}} `]

따라서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은 순서대로

[eqn: sqrt {2} `], [eqn: sqrt {3} - sqrt {2} `], [eqn: <`]이다.

12. ‘가’형과 같음.

13. [출제의도] 상용로그의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log``A=n+ alpha `] ([eqn: n`]은 정수, [eqn: 0` <= ` alpha `<`1`])라 놓으면

ㄱ. [eqn: log``10A`][eqn: =1+logA`]  [eqn: =(1+n)+ alpha `]이므로

[eqn: log``10A`]의 가수는 [eqn: alpha `]이다. (참)

ㄴ. [eqn: log``A ^{10} `][eqn: =10log``A`][eqn: =10n+10 alpha `]이므로

[eqn: log``A ^{10} `]의 가수는 항상 [eqn: alpha `]라 할 수 없다. (거짓)

ㄷ. [eqn: log`` {10} over {A} `][eqn: =1-log``A=-n+(1- alpha )`]이므로

[eqn: log`` {10} over {A} `]의 가수는 항상 [eqn: alpha `]라 할 수 없다. (거짓)

14. [출제의도] 무한 수열의 극한과 무한급수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. (반례) [eqn: a _{n} `=` {1} over {n}] , [eqn: b _{n} `=`- {1} over {n} ``]  이면

임의의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a _{n} ``＞``b _{n} `]이지만

[eqn: lim _{n -> INF } {} `a _{n} `=` lim _{n -> INF } {} `b _{n} `=`0]

ㄴ. [eqn: alpha - beta `=` sum _{n`=`1} ^{INF } `a _{n} `-` sum _{n`=`1} ^{INF } `b _{n}] [eqn: =` sum _{n`=`1} ^{INF } `(a _{n} -b _{n} `)]

[eqn: =` lim _{n` -> ` INF } {} ` sum _{k`=`1} ^{n} `(a _{k} -b _{k} `)``＞``0]

([eqn: BECAUSE ``]임의의 자연수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: a _{k} ``＞``b _{k}] )

∴[eqn: ` alpha ``＞`` beta `] (참)

ㄷ. 무한급수[eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `a _{n} `] 과 [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `b _{n} `] 의 합이 각각 존재하므로 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} `a _{n} `=` lim _{n` -> ` INF } {} `b _{n} `=0`] (거짓)

15. [출제의도] 지수부등식이 성립하기 위한 조건을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2 ^{{x} over {2}} =t`] ([eqn: t>0`])로 치환하면

[eqn: 2 ^{x+1} `=`2 ^{x} CDOT 2`=` LEFT ( 2 ^{{x} over {2}} RIGHT ) ^{2} ` CDOT `2=2t` ^{2} `],

[eqn: 2 ^{{x+4} over {2}} `=`2 ^{{x} over {2}} CDOT 2 ^{2} `=`4t] 이므로

주어진 부등식은

[eqn: 2t` ^{2} -4t+a=2(t-1) ^{2} +a-2` >= `0`] [eqn: CDOTS `]㉠

여기서 [eqn: t>0`]일 때 이차부등식 ㉠이 항상 성립하기 위해서는 [eqn: a-2` >= `0`] 이어야 한다.

∴ [eqn: a` >= `2`]

따라서 구하는 실수 [eqn: a`]의 최소값은 [eqn: 2`]이다.

16～18. ‘가’형과 같음.

19. [출제의도] 역행렬의 존재 조건을 알고 이를 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: D=2a-b != 0``]	∴ [eqn: b != 2a``]

∴ [eqn: (a,b) != (1,2),``(2,4),``(3,6)``]

그러므로 역행렬 [eqn: P ^{-1} ``]가 존재하도록 하는 순서쌍 [eqn: (a,``b)]의 개수는 [eqn: 36-3=33``](가지)이다.

20. [출제의도] 주어진 조건을 만족하는 조합의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: ` _{9} rm C _{3} ``-`` _{6} C _{3} ``-``` _{4} C _{3} `=`60]

21～22. ‘가’형과 같음.

23. [출제의도] 수열의 일반항을 이해하고 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{4} =b _{2} =9`], [eqn: a _{7} =b _{4} =15`], [eqn: a _{10} =b _{6} =21`],

[eqn: a _{13} =b _{8} =27`], [eqn: a _{16} =b _{10} =33`], … 이므로

수열[eqn: LEFT { c _{n} ` RIGHT } `]은 첫째항이 [eqn: 9`], 공차가 [eqn: 6``]인 등차수열이다.

∴  [eqn: c _{30} =9+6 CDOT `29=183`]

24. [출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {} `a _{n+1} = lim _{n -> INF } {} ` LEFT { {3n(2n+3)} over {(2n-1)(2n+1)} -2a _{n} ` RIGHT }]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} ` {3n(2n+3)} over {(2n-1)(2n+1)} - lim _{n -> INF } {} `2a _{n} `]

그런데 [eqn: lim _{n -> INF } {} `a _{n+1} = lim _{n -> INF } {} `a _{n} `]이므로

[eqn: alpha = {3} over {2} -2 alpha `]에서 [eqn: alpha = {1} over {2} `] ∴ [eqn: 30 alpha `=15`]

<다른풀이>

[eqn: a _{1} =2`], [eqn: a _{2} =1= {3} over {3} ``], [eqn: a _{3} = {4} over {5} `], [eqn: a _{4} = {5} over {7} `], [eqn: CDOTS]

이므로 [eqn: a _{n} = {n+1} over {2n-1} `]임을 알 수 있다.

따라서 [eqn: alpha = lim _{n -> INF } {} `a _{n} = lim _{n -> INF } {} ` {n+1} over {2n-1} = {1} over {2} ``]에서

[eqn: 30 alpha `=15`]이다.

25. ‘가’형과 같음.

26. [출제의도] 이항정리의 일반항을 알고 이를 이용하여 항의 계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

전개식의 일반항은

[eqn: ` _{7} {rm C} _{r} `(it 2x ^{2} ) ^{7-r}``left ( {1} over {x} right ) ^{r} =` _{7} {rm C} _{r} ``․`2 ^{7-r}`` ․`x ^{14-3r}]

이때, [eqn: 14-3r=5`]에서 [eqn: r=3`]이므로

[eqn: x ^{5} `]의 계수는 [eqn: 16 TIMES ` _{7} rm C _{3}]이다.

27. [출제의도] 수열의 일반항과 합 사이의 관계를 이해하고 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sum _{k=1} ^{n} `a _{k`} `=``S _{n} `=`2n^2`]이므로

[eqn: a _{n`} =S _{n} `-`S _{n-1} `=2n ^{2`} `-`2(n-1) ^{2} =`4n-2`]([eqn: n` >= 2])

이때, [eqn: a _{1} `=`2`=`S _{1} `]이므로 [eqn: a _{n`} =`4n-2`]([eqn: n` >= 1])

∴ [eqn: sum _{k=1} ^{10} `a _{2k`} `=` sum _{k=1} ^{10} `(8k-2)]

[eqn: =8` TIMES {10(10+1)} over {2} `-`2 TIMES 10=420]

28. [출제의도] 주어진 정의를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: (A prime ) prime = pmatrix{a&c`#b&d`} prime = pmatrix{a&b`#c&d`} =A``] (참)

ㄴ. [eqn: A+A prime = pmatrix{a&b`#c&d`} + pmatrix{a&c`#b&d`} = pmatrix{2a&b+c`#b+c&2d`} ``]

[eqn: (A+A prime ) prime = pmatrix{2a&b+c`#b+c&2d`} =A+A prime ``] (참)

ㄷ. [eqn: (A ^{-1} `) prime = LEFT { {1} over {ad-bc} pmatrix{~~d&-c`#-b&~~a`} RIGHT } prime `=` {1} over {ad-bc} pmatrix{~~d&-c`#-b&~~a`} ``]

[eqn: (A prime ) ^{-1} `= pmatrix{a&c`#b&d`} prime = {1} over {ad-bc} pmatrix{~~d&-c`#-b&~~a`} ``]

∴ [eqn: (A ^{-1} `) prime =(A prime ) ^{-1} ``]  (참)

29. [출제의도] 무한등비급수의 합을 알고 이를 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

정삼각형 [eqn: \B _{1} B A_1]을 [eqn: S _{1} `], 정삼각형 [eqn: \B _{2} B_1 A_3]을 [eqn: S _{2} `]라 하면 정삼각형 [eqn: S _{1} `]의 한 변의 길이는 [eqn: {1} over {3} `]이므로

[eqn: S _{1} `]의 넓이는 [eqn: {sqrt {3}} over {36}]이다.

또, 정삼각형 [eqn: S _{1} `]의 한 변의 길이의 [eqn: 2`]배가 정삼각형 [eqn: S _{2} `]의 한 변의 길이의 [eqn: 3`]배와 일치하므로 [eqn: S _{1} ```,```S _{2} ``]의 닮음비는 [eqn: 3````:````2``]이고, [eqn: S _{1} ```,``S _{2} ``]의 넓이의 비는 [eqn: 9````:````4``]이다.

따라서 구하는 넓이는 첫째항이 [eqn: {sqrt {3}} over {36} ` TIMES `3`],

공비가 [eqn: {4} over {9} `]인 무한등비급수의 합이므로

[eqn: {{sqrt {3}} over {36} ` TIMES `3} over {1- {4} over {9}} `=` {3 sqrt {3}} over {20}]

30. [출제의도] 로그함수의 역함수의 성질을 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 함수 [eqn: y=log _{4} ``(x+p)+q], [eqn: y=log _{{1} over {2}} ``(x+p)+q]의 그래프는 모두 점 [eqn: (4,``1)]을 지나므로

[eqn: 1=log _{4} ``(4+p)+q], [eqn: 1=log _{{1} over {2}} ``(4+p)+q]

[eqn: log _{4} ``(4+p)`=`log _{1over2} ``(4+p)]

[eqn: 4+p`=1`]에서 [eqn: p`=`-3], [eqn: q=1]

∴ [eqn: p` ^{2} `+q ^{2} `=`10`]