수리영역

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수리영역

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□먼저 수험생이 선택한 계열의 문제인지 확인하시오.

□문제지에 성명과 수험번호를 정확히 기입하시오.

□답안지에 수험번호, 응시계열, 답을 표기할 때는 반드시  □수험생이 지켜야 할 일'에 따라 표기하시오.

□주관식 답의 숫자에 0이 포함된 경우, 0을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

□문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점 또는 3점입니다.

□계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

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1.  두 유리수 [eqn: a`,`b`] 에 대하여 등식

[eqn: (`1`+`root{2`}`)`a`-`(`b`+`3root{2`}`)`root{2`}`=`0]

이 성립할 때, [eqn: a`+`b`]의 값은 ? [2점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

2. 이차방정식[eqn: `x^2 -2sqrt2`x`+1`=0`]의 두 근을 [eqn: □,`` □`]

([eqn: `□＠□`]) 라 할 때, [eqn: `□ over □`]의 값은? [2점]

① [eqn: 3+sqrt2`]	② [eqn: 3+2sqrt2`]	③ [eqn: 4+sqrt2`]

④ [eqn: 4+2sqrt2`]	⑤ [eqn: 5+2sqrt2`]

3. 이차 정사각행렬 [eqn: A,~B] 가 [eqn: (A - B)^2 = pmatrix {5 & 3 `# 3 & 2 `}],

[eqn: A^2 +B`^2 = pmatrix { 4 & 0 `# 1 & 3 `}`]을 만족할 때, 행렬 [eqn: (A+B)^2`]의        모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 3`]	③ [eqn: 5`]

④ [eqn: 7`]	⑤ [eqn: 9`]

4. [eqn: log_2 (x + y) =2], [eqn: log_3` x + log_3 ` y =1`]일 때, [eqn: x^2 + y^2`]의    값은?  [2점]

① [eqn: 7`]	② [eqn: 10`]	③ [eqn: 13`]

④ [eqn: 19`]	⑤ [eqn: 22`]

5. 오른쪽 벤 다이어그램의   어두운 부분을 나타내는 집합을 <보기>에서 모두 고르면? (단, [eqn: U`]는 전체집합이다.) [2점]

수리영역

`

ㄱ. [eqn: (`A`∩`C`)`∩`B`^c]

ㄴ. [eqn: (A`∩`C`)`-`(`A`∩`B`∩`C`)]

ㄷ. [eqn: ( A`-`B`)`∩`(C`-`B`)]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

6. 다항식 [eqn: f``(x)`]를 [eqn: x+1`]로 나누었을 때의 몫과 나머지  가 각각 [eqn: x^2 +2x+3`], [eqn: 4`]일 때, 다항식 [eqn: xf`(x)+2`]를  [eqn: x+1`]로 나누었을 때의 몫은? [2점]

① [eqn: x^3 +2x^2 +3x+4`]       ② [eqn: x^3 -2x^2 +2x+3`]

③ [eqn: x^3 +x^2 +x+4`]         ④ [eqn: x^3 +3x^2 -2x+4`]

⑤ [eqn: x^3 +4x^2 -3x+2`]

7. [eqn: -1□x□3`]에서 정의된 함수 [eqn: f`(x)=-2x^2`+8x+a`]  의 최대값이 5가 되도록 상수 [eqn: a``]의 값을 정할 때,  함수 [eqn: f`(x)`]의 최소값은?  [2점]

① [eqn: -11`]	② [eqn: -12`]	③ [eqn: -13`]

④ [eqn: -14`]	⑤ [eqn: -15`]

8. 이차 정사각행렬 [eqn: A`]가 [eqn: A^12`=`A^8`=`E`]를 만족할 때, 다음 중 [eqn: A`]의 역행렬을 나타내는 것은? (단, [eqn: E``]는 단  위행렬이다.)  [3점]

① [eqn: A`]	② [eqn: A^2 `]	③ [eqn: A^3 `]

④ [eqn: A^4`]	⑤ [eqn: A+E`]

9. △ABC에서 [eqn: A = 30 DEG], [eqn: rmBAR AC = 8], [eqn: rmBAR BC = 4SQRT2]일 때,  예각 [eqn: C`]의 크기는? [3점]

수리영역

① [eqn: 15 DEG]	② [eqn: 30DEG]	③ [eqn: 45 DEG]

④ [eqn: 60 DEG]	⑤ [eqn: 75 DEG]

10.  좌표평면 위에서 연립부등식           [eqn: cases{y` ```□``` f`(`x`)` `#y ```□```g`(`x`)`}]

의 영역이 오른쪽 그림과 같을 때,   부등식

[eqn: LEFT { `y` -`f`(`x`)` RIGHT }` LEFT {`y `-`g`(`x`)` RIGHT } ```□```0`]

의 영역을 그림으로 나타내면?

( 단, 경계선은 모두 영역에 포함된다. ) [3점]

①                     ②

③                     ④

⑤

11. 세 실수 [eqn: a``,``b``,``c`] [eqn: (`a``＠``b``＠``c``)]에 대하여 [eqn: x~]에 대한 연립부등식

[eqn: cases{ `(`x`-`a`)`(`x`-`b`)``Ｂ``0``#``(`x`-`b`)`(`x`-`c`)``Ｂ``0`}]

의 해가  [eqn: x``＠``-4````, ```x``Ｂ``3`]일 때, 이차부등식

[eqn: x^2`+`ax`+`c``＠``0``]

의 해는? [3점]

① [eqn: -3``＠``x``＠``4`]            ② [eqn: 3``＠``x``＠``4`]

③ [eqn: -3``＠``x``＠``1`]            ④ [eqn: -1``＠``x``＠``3`]

⑤   [eqn: 1``＠``x``＠``3`]

12. 다음 [그림 1]은  정사각형 PQRS의 각 변을 [eqn: m``:``n``]으로 내분하는 점을 연결하여 4개의 직사각형으로 나눈 것이고, [그림 2]는 같은 정사각형 PQRS의 각 변을[eqn: m``:``n```]으로 내분하는 점을 연결하여 4개의 직각삼각형과 1개의 정사각형으로 나눈 것이다.

[그림 1]의 각 직사각형의  넓이를 [eqn: A``,``B``,``C``,``D`]라  할 때, 다음 중  [그림 2]의 어두운 정사각형의 넓이를 나타내는 것은 ? [3점]

① [eqn: 3A`]	② [eqn: A`+`B`]	③ [eqn: B`+`C`]

④ [eqn: A`+`2C`]	⑤ [eqn: B`+`2C`]

13. 집합 [eqn: X= LEFT { 1,~ 2,~ 3,~ 4 RIGHT } ``]에 대하여 함수 [eqn: f`(x)``]는  [eqn: X``]에서 [eqn: X``]로의 일대일대응이다. 함수 [eqn: f`(x)``]가

□[eqn: (f CIRC f``)(`1)=4``], [eqn: (f CIRC f``)(`3)=3``]

을 만족할 때, [eqn: 2f`(1)+4f`(3)``]값은?

(단, [eqn: (f CIRC f``)(`x)=f`(f`(x))`])  [3점]

① [eqn: 12`]	② [eqn: 14`]	③ [eqn: 16`]

④ [eqn: 18`]	⑤ [eqn: 20`]

14. 세 실수 [eqn: x`,`y`,`z`]에 대하여 조건 [eqn: p`,`q`,`r``]를

[eqn: p~:~x^2 +y^2 +z^2 =0`]

[eqn: q~:~x^2 +y^2 +z^2 +xy+yz+zx=0`]

[eqn: r~:~x^2 +y^2 +z^2 -xy-yz-zx=0`]

이라 할 때, <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면?  [3점]

ㄱ. [eqn: p`]는 [eqn: q`]이기 위한 필요충분조건이다.

ㄴ. [eqn: p`]는 [eqn: r`]이기 위한 충분조건이다.

ㄷ. [eqn: q`]는 [eqn: r`]이기 위한 필요조건이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. 폐구간 [0, 4]에서 정의된 함수 [eqn: y=f`(x)`]의 그래프가 아래 그림과 같다. 합성함수 [eqn: f`^n`]을

[eqn: f`^1`=f`],[eqn: {f``}^2 `=f`CIRCf``], [eqn: cdots cdots`],[eqn: {f``}^n+1`= `{f``}^n CIRCf``]

([eqn: n=1,`2,`3,`cdots`]) 이라 정의하자.

이 때, [eqn: {f``}^2002 ( 0 )`]의 값은?

(단, 점선은 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축에 평행하다.) [3점]

① [eqn: 0`]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: 2`]

④ [eqn: 3`]	⑤ [eqn: 4`]

16. 오른쪽 그림의 사면체 A-BCD

에서[eqn: rm bar AD BOT BAR BD`],[eqn: rm BAR AD BOT BAR DC`] 이고,

[eqn: rm BAR AB = BAR AC `]이다.

<보기>에서 옳은 것을 모두

고르면? [2점]

ㄱ. □ABC[eqn: =`]□ACB      ㄴ. □BAC [eqn: =`]□BDC

ㄷ. [eqn: rm BAR BD = BAR CD`]            ㄹ. □ABD [eqn: =`]□ACD

① ㄱ, ㄴ □	② ㄱ, ㄷ

③ ㄱ, ㄴ, ㄹ	④ ㄱ, ㄷ, ㄹ

⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

17. 이차 정사각행렬 [eqn: A= pmatrix{a&b``#c&d``}`]에 대하여  [eqn: LEFT | A RIGHT |]를

[eqn: LEFT | A RIGHT | = ad -bc`]로 정의한다.

다음은 명제 □두 이차 정사각행렬 [eqn: A`,`B`]에 대하여   [eqn: AB`]의 역행렬이 존재하면 [eqn: A,`B`] 모두 역행렬이 존재한다.□를  증명하는 과정이다.

[eqn: A= pmatrix{a&b``#c&d``}`], [eqn: B= pmatrix{rcol{x&y``#z&w``}}`]라고 하면

[eqn: AB = PMATRIX { {a }& {b`` }# {c }& {d ``} } PMATRIX { { x}& {y``}# {z }& { w``} }` =PMATRIX { {ax+bz }& {ay+bw`` }# {cx+dz }& {cy+dw`` } } `]이다.

[eqn: AB`]의 역행렬이 존재하면  이다.

[eqn: LEFT | AB `RIGHT | `= (ax+bz)(cy+dw)` - (ay+bw)(cx+dz)`]

[eqn: = adxw +bcyz - bcxw - adyz`]

[eqn: = ad]×(  )[eqn: -`][eqn: bc]×(  )

[eqn: =] [eqn: (ad-bc) ×](  ) [eqn: =] [eqn: LEFT | A `RIGHT | LEFT | B `RIGHT |]

이므로  이다.

따라서 [eqn: A`,``B`] 모두 역행렬이 존재한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서     대로 나열하면? [3점]

① [eqn: LEFT | AB `RIGHT | =0],	[eqn: xw+yz],   [eqn: LEFT | A RIGHT | =0```이고``` LEFT | B `RIGHT | =0`]

② [eqn: LEFT | AB `RIGHT | `!=`0],	[eqn: xw+yz],   [eqn: LEFT | A RIGHT |` !=`0````이고``` LEFT | B `RIGHT | `!=`0]

③ [eqn: LEFT | AB` RIGHT | =0],	[eqn: xw-yz],   [eqn: LEFT | A `RIGHT | =0`` 또는`` LEFT | B `RIGHT | =0]

④ [eqn: LEFT | AB `RIGHT |` !=`0],	[eqn: xw-yz],   [eqn: LEFT | A RIGHT | `!=`0```또는``` LEFT | B `RIGHT | `!=`0]

⑤ [eqn: LEFT | AB` RIGHT | `!=`0],	[eqn: xw-yz],   [eqn: LEFT | A RIGHT | `!=`0``` 이고``` LEFT | B `RIGHT | `!=`0]

18. 다음은 [eqn: a,b`]가 모두 홀수일 때

[eqn: m=11a+b`], [eqn: n=3a+b`]

중 적어도 하나는 제곱수가 아님을 증명하는 과정      이다. (단, 정수의 제곱인 수를 제곱수라 한다.)

[eqn: a,b`]가 홀수이므로 [eqn: m,n`]은 모두 짝수이다.

[eqn: m,n`]이 모두 제곱수라고 가정하면[eqn: m=4p^2`], [eqn: n=4q^2`]

([eqn: p,q`]는 정수) 로 놓을 수 있다.

[eqn: m-n=(11a+b)-(3a+b)=8a`]이므로

[eqn: (p+q)(p-q)=`]

그런데 [eqn: p,q`]는 정수이므로 두 수 [eqn: p+q`]와 [eqn: p-q`]는

모두 홀수 아니면 짝수이다.

그러므로 [eqn: (p+q)(p-q)`]는 홀수이거나         의

배수이다.

그런데 (가)는         의 배수가 아닌 짝수이므로

모순이다.

따라서 [eqn: m,n`] 중 적어도 하나는 제곱수가 아니다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식 또는 수를 순    서 대로 나열하면? [3점]

① [eqn: 2a,~~4`]	② [eqn: 4a,~~4`]	③ [eqn: 2a,~~3`]

④ [eqn: 4a,~~3`]	⑤ [eqn: 2a,~~6`]

19. [eqn: x`,``y`] 에 대한 연립방정식

[eqn: PMATRIX { { a}& ````{2~ }# {1 }& {a-2`` } } ~ pmatrix{{x``}#{y``}} = pmatrix{{x+y}# {-x+y```}}`]

가 [eqn: x=y=0`] 이외의 해를 가질 때, 실수 [eqn: a]의 값       들의 합은? [3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]

④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

20. 실수 [eqn: a``]에 대하여 [eqn: a`]보다 크지 않은 최대의 정수를[eqn: ``[`a`]`], [eqn: a``]보다 작지 않은 최소의 정수를 [eqn: <`a`>`]로  나타내기로 한다.

예를 들어 [eqn: [`4.3`]`=4`], [eqn: <`4.3`>`=`5`]이다.

이 때, [eqn: left< `left[`3x+8 over x+2 `right]`+`x over 5` right>`=`5`]를 만족시키는 양의      정수 [eqn: x`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 3`]	② [eqn: 5`]	③ [eqn: 7`]

④ [eqn: 9`]	⑤ [eqn: 11`]

21. 좌표평면 위에서 [eqn: x``]좌표와 [eqn: y``]좌표가 모두 정수인  점을 양 끝점으로 하고 길이가 1인 선분을 단위선분이라고 하자.

아래 그림은 [eqn: 0＠x＠6`]에서 직선[eqn: y= 4over3 x```]가 만나는  단위선분의 개수는 10개임을 보여주고 있다.

이와 같이 생각할 때, [eqn: 0＠x＠28`]에서 직선 [eqn: y= 11over 7 x```]가 만나는 단위선분의 개수는?

(단, 직선이 단위선분의 끝점과 만나는 것은 제외한다.)

[3점]

① [eqn: 64`]	② [eqn: 65`]	③ [eqn: 66`]

④ [eqn: 67`]	⑤ [eqn: 68`]

22. A, B, C, D 네 팀이 출전한 어느 축구대회에서   네 팀이 각각 다른 세 팀과 한 번씩 경기를 치르는  리그 방식의 예선전을 하였다.

각 경기에서 이긴 팀은 [eqn: 3`]점을 받고, 진 팀은 [eqn: 0`]점을 받으며 비긴 경우에는 두 팀이 [eqn: 1`]점씩을 받기로 규칙을 정하였다. 총 [eqn: 6`]경기가 모두 끝난 후 A팀이 [eqn: 6`]점,  B팀이 [eqn: 4`]점, C팀이 [eqn: 3`]점을 받았을 때, D팀이 받은 점수는? [3점]

① [eqn: 1`]점	② [eqn: 3`]점	③ [eqn: 4`]점

④ [eqn: 5`]점	⑤ [eqn: 7`]점

23. 어떤 신도시에 A, B, C 세 백화점이 있다.

이 신도시에 사는 주부 [eqn: 100`]명을 대상으로 지난 일년동안 이 백화점의 이용 실태를 조사하였더니 A,  B, C백화점을 이용한 적이 있는 주부들이 각각 [eqn: 88`]명,  [eqn: 75`]명, [eqn: 50`]명이었다.

<보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?  [3점]

ㄱ. 세 백화점 A, B, C를 모두 이용한 적이 있는

주부들은 많아야 [eqn: 25`]명이다.

ㄴ. 세 백화점 A, B, C를 모두 이용한 적이 없는

주부들은 많아야 [eqn: 12`]명이다.

ㄷ. 적어도 [eqn: 13`]명의 주부들은 세 백화점 A, B, C를

모두 이용한 적이 있다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

24. 오른쪽 그림과 같  이 조난 구조용 헬리콥터가 기지 A를 출발하여 B지점에 있는 중상을 입은 등산객을  싣고, C지점에 있는   병원으로 가려고 한다. 세 지점 A, B, C에

대하여 [eqn: ∠rm ABC = 30 DEG],[eqn: ``∠rm BAC = 15 DEG]이고, 두 지점 A, C 사이의 거리가 [eqn: 20`]km일 때, 두 지점 B와 C 사이의 거리는? [3점]

① [eqn: (20 -5sqrt2 ) `]km          ② [eqn: (10 sqrt3 - 10sqrt2 ) `]km

③ [eqn: (10 sqrt6 - 10 sqrt2)]km        ④ [eqn: (10 sqrt6 - 10 sqrt3)]km

⑤ [eqn: (20 sqrt3 - 10 sqrt2)]km

25. 이차방정식  [eqn: x^2`-`3x`-`3`=`0]의 두 근을 [eqn: □ `,` □ `]라

할 때, [eqn: (` □ `^2`-` 2 □`) `(`□ `^2`-`2 □ `)]의 값을 구하시오. [2점]

26. [eqn: f`(3)=5`]를 만족하는 무리함수 [eqn: f`(x)``=`root{ax`+`b`}``]의

역함수를 [eqn: g`(x)`]라 한다. [eqn: g`(3)=5`]가 되도록 하는     상수 [eqn: a,`b``]에 대하여 [eqn: a-b``]의 값을 구하시오. [2점]

27. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

[eqn: f`(x) = 3^x + 3^-x`] 에 대하여 [eqn: f`(a) =6`]일 때, [eqn: f`(-2a)`]의 값을 구하시오. [3점]

28. 좌표평면에서 원 [eqn: (`x`-`a`)`^2`+`(`y`-`b`)`^2`=`r`^2]이 [eqn: x`]축

과 두 점[eqn: (`3`+`root{21`}`,``0`)`],[eqn: ``(`3`-`root{21`}`,``0`)`]에서 만나고,

[eqn: y`]축과 두 점 [eqn: (`0``,``6`)],   [eqn: (`0``,``-2`)]에서 만나도록 상수

[eqn: a``,``b``,``r`]의 값을 정할 때, [eqn: a`+`b`+`r```]의 값을 구하시오. (단,[eqn: `r``Ｂ``0``]) [3점]

29. [eqn: 2002`]년 한일월드컵 공인구인 피버노바는 아래 그  림과 같이 각 변의 길이가 같은 정오각형 [eqn: 12`]개와 정육각형 [eqn: 20`]개를 붙여 만든 다면체를 변형한 것이다.

이 다면체의 모서리의 개수를 구하시오. [3점]

[피버노바]

[다면체]

30. 소리의 강도가 [eqn: P`](단위:[eqn: rmW/m^2])일 때, 소리의 크기  [eqn: D```](단위 : dB)는 기준 음의 강도 [eqn: I`] 와 비교하여

[eqn: D`=`it 10log_10``{P over I`}`]로 나타낸다.

A지역의 소리의 강도가 B지역의 소리의 강도의 5000배일 때, A지역과 B지역의 소리의 크기의 차이는 몇 dB인지 소수점 아래 둘째 자리까지  구하시오.

(단, [eqn: log_10`2=0.301`]로 계산한다. ) [3점]