1. [eqn: log_{``2}` 3 + log_{``2} `8over3]의 값은? [2점]

수리 영역(나 형)

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수리 영역(나 형)

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2011학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지

수리 영역(나 형)

제 2 교시

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

12

2. 두 행렬 [eqn: A`], [eqn: B``]에 대하여

[eqn: A= pmatrix {` 1&```````2 `#`0 &```````1 `}], [eqn: A-B``= pmatrix {` 1&```````0 #`1 &`-1` }]

일 때, 행렬 [eqn: A^2 -AB``]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

3. [eqn: lim _{ x`->`1} {{x-1 } }over {{ sqrtx+3}-2}]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

4. 두 사건 [eqn: A`], [eqn: B``]가 서로 독립이고 [eqn: {rmP}(`A`) = 2 over 3`], [eqn: {rmP}(`A cup B``) = 11 over 12`]일 때, [eqn: {rmP}( `B` `)]의 값은? [3점]

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 2over3]	③ [eqn: 3 over 4`]	④ [eqn: 4over5]	⑤ [eqn: 5over6]

5. 함수 [eqn: f`(`x`)= {cases{``x` ^{3} `+`a`x`+`1~~&(`x GEQ 1`)#``2`x` ^{2} +`a&(`x``<`1`)}} `]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 미분가능하도록 하는 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: -2`]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 2`]

[eqn: z`]	[eqn: {\P}`(0 le Z``le z)`]
[eqn: 0.3`]	[eqn: 0.1179`]
[eqn: 0.4`]	[eqn: 0.1554`]
[eqn: 0.5`]	[eqn: 0.1915`]
[eqn: 0.6`]	[eqn: 0.2257`]

6. 어느 양식장의 물고기의 무게는 평균 [eqn: 800``\g`], 표준편차 [eqn: 50``\g`]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 양식장에서 임의로 선택한 물고기 한 마리의 무게가 [eqn: 830``\g`] 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

① [eqn: 0.2257`]	② [eqn: 0.2743`]	③ [eqn: 0.3085`]	④ [eqn: 0.3446`]	⑤ [eqn: 0.3821`]

7. 이차함수 [eqn: f`(`x`) = (`x`-`alpha`)(`x`-`beta`)`]에서 두 상수 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: alpha< 0<beta]

(나) [eqn: alpha +beta>0]

이때, 세 정적분

[eqn: A= int _{alpha} ^{0} {f`(`x`) }`dx], [eqn: B= int _{ 0} ^{beta} {`f`(`x`) }`dx], [eqn: C= int _{alpha} ^{ beta} {f`(`x`) }`dx`]

의 값의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은? [3점]

① [eqn: A<B<C]	② [eqn: A<C<B]	③ [eqn: B<A<C]

④ [eqn: C<A<B]	⑤ [eqn: C<B<A]

8. 주머니 속에 [eqn: n`]개의 흰 바둑돌과 [eqn: 3`]개의 검은 바둑돌이 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 2`]개의 바둑돌을 동시에 꺼낼 때, [eqn: 2`]개 모두 검은 바둑돌일 확률이 [eqn: 1 over12 `]이다. 이때, 자연수 [eqn: n`]의 값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

9. 실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수

[eqn: f`(`x`)`=`x` ^{3}` +`3`x`^2 ` +2`], [eqn: g`(`x`)`=`sin`x]

가 있다. 이때, 합성함수 [eqn: (`f circ g`)(`x`)]의 최댓값과 최솟값의 합은?

[3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

10. 두 이차정사각행렬 [eqn: A,~B``]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이고, [eqn: O``]는 영행렬이다.) [3점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: AB=BA`]이면 [eqn: A^2 B = B A^2`]이다. ㄴ. [eqn: AB=O``]이면 [eqn: AB=BA`]이다. ㄷ. [eqn: A^2 B= E``]이면 [eqn: AB=BA`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

11. 첫째항이 [eqn: 4`]이고 공비가 [eqn: 5`]인 등비수열에서 제[eqn: `21`]항은 [eqn: n`]자리의 수이다. 이때, 자연수 [eqn: n`]의 값은? (단, [eqn: log`2 =0.3010`]으로 계산한다.) [3점]

① [eqn: 13`]	② [eqn: 14`]	③ [eqn: 15`]	④ [eqn: 16`]	⑤ [eqn: 17`]

12. 다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 등식

[eqn: sum _{k=1} ^{n} (-1) ` ^{k-1} `(`n+1-k)` ^{2}][eqn: `=` sum _{k=1} ^{n} k`]   [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(1) [eqn: n`=`1`]일 때, (좌변)[eqn: `=`1`], (우변)[eqn: `=`1`]이므로 ㉠이 성립   한다.

(2) [eqn: n`=`m`]일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum _{k=1} ^{m} (-1)` ^{k-1} `(`m+1-k)` ^{2}][eqn: `=` sum _{k=1} ^{m} `k`]

이다. [eqn: n=m+1`]일 때 ㉠이 성립함을 보이자.

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} (-1)` ^{k-1} `(`m+2-k)` ^{2}]

[eqn: `=`][eqn: (-1)^0 `(m+1)^2][eqn: `+LEFT ( `-1` RIGHT ) ^{1} `m ^{2}][eqn: `+`][eqn: cdots] [eqn: +`][eqn: (-1)^m`․`1^2`]

[eqn: `=`][eqn: (m+1)^2 `][eqn: +`][eqn: BOX{```` ^{`} (가) _{`````} `} `][eqn: `‧`sum _{k=1} ^{m} (-1)` ^{k-1} `(`m+1-k)` ^{2}]

[eqn: `=`][eqn: (m+1)^2 `][eqn: +`][eqn: BOX{````^ `(나)_`````~}]

[eqn: =` sum _{k=1} ^{m+1}` k]

그러므로 [eqn: n`=`m+1`]일 때도 ㉠이 성립한다.

따라서 (1), (2)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여     ㉠이 성립한다.

위의 증명에서 (가)에 알맞은 수를 [eqn: a`]라 하고, (나)에 알맞은 식을 [eqn: f`(`m`)]이라 할 때, [eqn: a+ f`(`9`)`]의 값은? [4점]

① [eqn: -46]	② [eqn: -44]	③ [eqn: -42]	④ [eqn: -40]	⑤ [eqn: -38`]

13. 상수함수가 아닌 다항함수 [eqn: f`(`x`)]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: int_1^x ``f`(`t`) `dt = left{ `f`(`x`) right}`^2]

을 만족시킬 때, [eqn: f`(`3`)]의 값은? [3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

14. 그림은 열린 구간 [eqn: (`-3`,````3`)`]에서 정의된 두 함수 [eqn: y=f`(`x`)`], [eqn: y=g`(`x`)`]의 그래프이다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: lim _{ x`->`0} {``f`(`x`) } `=`-1] ㄴ. [eqn: lim _{x` -> `1} `left{` f`(`x`)+g`(`x`) right}`=`1] ㄷ. [eqn: lim _{x` -> `-1} ` f`(`x)`g`(`x`)`=`0]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. 함수 [eqn: y=3^{`x}`]의 그래프 위의 점 [eqn: rmP(it alpha ,````3 ^{`alpha } `)]과 함수 [eqn: y=`-3 ^{`-x}]의 그래프 위의 점 [eqn: rmQ(it `beta` ,```-3 ` ^{- beta } `)]에 대하여 [eqn: beta`` -`alpha `=`4`]가 성립한다. 그림과 같이 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]를 지나고 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축과 평행한 직선을 그려 만들어지는 직사각형의 넓이의 최솟값은? [4점]

① [eqn: 2over9]	② [eqn: { 2sqrt2} over {9 }]	③ [eqn: { 4over9}]	④ [eqn: { 4sqrt2} over {9 }]	⑤ [eqn: 8over9]

16. 그림과 같이 중심이 [eqn: \A(`0,````3`)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원에 외접하고 [eqn: x`]축에 접하는 원의 중심을 [eqn: {\P}`(`x,````y`)`]라 하자. 점 [eqn: \P]에서 [eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: \H`]라 할 때, [eqn: lim _{ x`->` inf} {{``bar{\P H }}^2 }over { { bar{\PA}}]의 값은? [4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

17. 삼차함수 [eqn: f`(`x`)=3x` ^{3}+4x`^2 -2x-1`]에 대하여

[eqn: lim _{n` ->` INF } {`` sum _{k=1} ^{n} ` {1} over {n} `f` LEFT ( `-1`+ {2k} over {n} RIGHT )}]

의 값은? [4점]

① [eqn: - 1 over 3`]	② [eqn: - 1 over 6`]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: 1 over 6`]	⑤ [eqn: 1 over 3`]

18. 다음은 [eqn: 6`]개의 꼭짓점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D], [eqn: rm E], [eqn: rm F`]로 이루어진 그래프를 나타내는 행렬이다.

[eqn: pile{#rm A`#B`#C`#D`#E`#F`} {matrix{`A````B````C````D````E````F`#` {pmatrix{`0&````0&````1&````0&````1&````1`#`0&````0&````1&````0&````1&````1`#`1&````1&````0&````1&````0&````0`#`0&````0&````1&````0&````1&````1`#`1&````1&````0&````1&````0&````1`#`1&````1&````0&````1&````1&````0`}}}}]

이 그래프에 대한 옳은 설명만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. 두 꼭짓점 [eqn: rm A]와 [eqn: rm F]를 연결하는 변이 존재한다. ㄴ. 모든 꼭짓점에는 [eqn: 3`]개 이상의 변이 연결되어 있다. ㄷ. 꼭짓점 [eqn: rm B]에서 출발하여 두 개의 변을 지나 꼭짓점 [eqn: rm E]로 가는 경로가 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

19. 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: \P], [eqn: \Q]가 있다. 점 [eqn: rm P]는 점 [eqn: rmA(`5`)`]를 출발하여 시각 [eqn: t``]에서의 속도가 [eqn: 3`t`^2 -2`]이고, 점 [eqn: rm Q]는 점 [eqn: rmB( it` k`)`]를 출발하여 시각 [eqn: t``]에서의 속도가 [eqn: 1`]이다. 두 점 [eqn: rm P,~Q]가 동시에 출발한 후 [eqn: 2`]번 만나도록 하는 정수 [eqn: k`]의 값은? (단, [eqn: k!=5]) [4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

20. 그림과 같은 두 개의 도로망이 있다.

이차정사각행렬 [eqn: A`]의 [eqn: (i,````j)]성분 [eqn: a`_{`i`j}] ([eqn: i=1,````2], [eqn: j=1,````2])를

[eqn: a`_{`i`j}][eqn: =][eqn: left(`_`][eqn: rm P_{it `i}]지점에서 도로망을 따라 [eqn: rm Q_{it `j}]지점까지 최단 거리로 가는 방법의 수[eqn: `_`right)]

로 정의하자.

다음 중 [eqn: rm R_{it`1}]지점에서 도로망을 따라 [eqn: rm S_{it `2}]지점까지 최단 거리로 가는 방법의 수와 같은 것은? (단, 모든 도로는 서로 평행하거나 수직이다.) [4점]

① 행렬 [eqn: 2A]의 [eqn: (1,````2)]성분

② 행렬 [eqn: A^2]의 [eqn: (1,````2)]성분

③ 행렬 [eqn: A^2]의 [eqn: (2,````1)]성분

④ 행렬 [eqn: A]의 [eqn: (1,````2)]성분과 [eqn: (2,````2)]성분의 곱

⑤ 행렬 [eqn: A]의 [eqn: (1,````2)]성분과 [eqn: (2,````1)]성분의 곱

21. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 6`]인 정삼각형 [eqn: {rmA}_1 `{rmB}_1 `{rmC}_1`]이 있다.  꼭짓점 [eqn: \A_1]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1over 3 bar{\A_1 `B_1 }]인 원이 삼각형 [eqn: \A_1` B_1` C_1]과 만나는 점을 각각 [eqn: \P_1], [eqn: \Q_1]이라 하고 삼각형 [eqn: \A_1` B_1` C_1]의 내부에 있는 호 [eqn: \P_1` Q_1]을 이등분하는 점을 [eqn: \A_2]라 하자. 점 [eqn: \A_2]를 꼭짓점으로 하고 나머지 두 꼭짓점 [eqn: \B_2], [eqn: \C_2]가 변 [eqn: \B_1` C_1] 위에 있는 정삼각형 [eqn: \A_2` B_2` C_2]를 그린다.

꼭짓점 [eqn: \A_2]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1over 3 bar{\A_2` B_2 }]인 원이 삼각형 [eqn: \A_2` B_2` C_2]와 만나는 점을 각각 [eqn: \P_2], [eqn: \Q_2]라 하고 삼각형 [eqn: \A_2` B_2` C_2]의 내부에 있는 호 [eqn: \P_2` Q_2]를 이등분하는 점을 [eqn: \A_3]이라 하자. 점 [eqn: \A_3]을 꼭짓점으로 하고 나머지 두 꼭짓점 [eqn: \B_3], [eqn: \C_3]이 변 [eqn: \B_1` C_1] 위에 있는 정삼각형 [eqn: \A_3` B_3` C_3]을 그린다.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 호 [eqn: {\P}_n` {\Q}_n]의 길이를 [eqn: l`_n]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }l`_n]의 값은? [4점]

① [eqn: sqrt 3 pi]	② [eqn: { 3sqrt3} over {2 }pi]	③ [eqn: 2sqrt3 pi]

④ [eqn: {5sqrt3 }over2 pi]	⑤ [eqn: 3sqrt3 pi]

단답형

22. [eqn: (`1`+`x`)`^10 `]의 전개식에서 [eqn: x`^3 `]의 계수를 구하시오. [3점]

23. 첫째항이 [eqn: a`]이고 공차가 [eqn: a`+1`]인 등차수열 [eqn: left{`a ` _{`n} `right}`]이

[eqn: a _{`2} -`a_{`3} +`a _{`4} -`a _{`5} +`a _{`6} `=`15`]

를 만족시킬 때, [eqn: a _{`7} `]의 값을 구하시오. [3점]

24. 곡선 [eqn: y`` = x`^3 - `2`x] 위의 점 [eqn: (`2,```` 4`)]에서의 접선과 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 [eqn: S``]라 할 때, [eqn: 10`S``]의 값을 구하시오.

[3점]

12

25. 어떤 음원에서 나오는 음향출력이 [eqn: x`][eqn: (rm`W)]일 때, 음향파워레벨 [eqn: L `_{w} `(rm`dB)]는 다음과 같이 계산한다.

[eqn: L` _{w} =10``log` {x} over {x` _{0}}]

(단, [eqn: x ` _{0}]은 기준 음향출력을 나타내는 상수이다.)

일반적인 대화에서 나오는 음향출력이 [eqn: {1} over {10 `^{5}} (rm`W)]일 때, 음향파워레벨은 [eqn: 70`(rm`dB)]이라고 한다. 비행기 엔진 소리에서 나오는 음향출력이 [eqn: 10 ` ^{2} `(rm`W)]일 때, 음향파워레벨은 [eqn: a``( \`dB)]이다. 이때, [eqn: a`]의 값을 구하시오. [3점]

26. [eqn: x`]에 대한 로그방정식

[eqn: LEFT ( `log``x + log`` 2` RIGHT ) LEFT ( `log``x + log``4` RIGHT ) `=`- LEFT ( `log``k` RIGHT ) ^{`2}]

이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 양수 [eqn: k`]의 값의 범위가 [eqn: alpha `<k`< beta `]일 때, [eqn: 10`(`alpha ` ^{`2} + beta ` ^{`2} )]의 값을 구하시오. [4점]

27. 축구공, 농구공, 배구공 중에서 [eqn: 4`]개의 공을 선택하는 방법의 수를 구하시오. (단, 각 종류의 공은 [eqn: 4`]개 이상씩 있고, 같은 종류의 공은 서로 구별하지 않는다.) [3점]

28. 연속확률변수 [eqn: X``]가 갖는 값의 범위가 [eqn: 0` LEQ X` LEQ 1`]이고 확률밀도함수의 그래프는 그림과 같다. 확률변수 [eqn: X`]의 평균이 [eqn: {\E}`(X``) `=` q over p]일 때, [eqn: p+q``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

29. 행렬 [eqn: A=3`pmatrix{ ````````2&``````````1 `# `-3&``` -1`}`]에 대하여 행렬 [eqn: A^n]의 모든 성분의 합을 [eqn: S`_n]이라 하자. 이때, [eqn: S`_n = 3`^n+1]을 만족시키는 [eqn: 100`] 이하의 모든 자연수 [eqn: n`]의 값의 합을 구하시오. [4점]

30. 수열 [eqn: left{`a _{`n} `right}`]이

[eqn: a`_1 = 3], [eqn: a`_n = 8n-4] ([eqn: n=`][eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], …)

를 만족시키고, 수열 [eqn: left{`a` _{`n} `right}`]의 첫째항부터 제[eqn: `n`]항까지의 합을 [eqn: S`_n]이라 하자. [eqn: sum _{ n=1} ^{10 }1overS_n = q over p`]일 때, [eqn: p+q``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.