• 수학 영역 •

수학 A형 정답

1	④	2	⑤	3	③	4	③	5	②
6	①	7	②	8	①	9	①	10	④
11	②	12	③	13	①	14	②	15	①
16	⑤	17	③	18	③	19	⑤	20	⑤
21	④	22	[eqn: 10]	23	[eqn: 42]	24	[eqn: 110]	25	[eqn: 256]
26	[eqn: 288]	27	[eqn: 50]	28	[eqn: 64]	29	[eqn: 45]	30	[eqn: 28]

해 설

1. [출제의도] 다항식을 전개하여 [eqn: x ^{2}]의 계수를 구한다.

[eqn: (3x+5)(x ^{2} +x-2)=3x ^{3} +8x ^{2} -x-10]

이므로 [eqn: x ^{2}]의 계수는 [eqn: 8]이다.

2. [출제의도] 나머지정리를 이용하여 일차식으로 나눈 나머지를 구한다.

[eqn: f(x)=][eqn: x ^{3} +3x+9]라 하고, [eqn: f(x)]를 [eqn: x+1]로 나눈 몫과 나머지를 각각 [eqn: Q(x)], [eqn: R]라 하면

[eqn: f(x)=(x+1)Q (x)+ R]

∴ [eqn: {R}=f(-1)][eqn: =5]

3. [출제의도] 수직선 위의 두 점의 내분점을 구한다.

선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 1`:`3]으로 내분하는 점의 좌표가 [eqn: rm P it (a)]이므로

[eqn: a= {1 times 7+3times 1} over {1+3}]

[eqn: = {5} over {2}]

4. [출제의도] 진리집합의 포함관계를 이용하여 명제가 참이 되도록 하는 범위를 구한다.

조건 [eqn: p``:`x ^2 le9]에서

[eqn: (x+3)(x-3) le0]

[eqn: THEREFORE `-3 LEQ x LEQ 3]

두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합은 각각

[eqn: {P} =left{x vert -3 le x le3 right}]

[eqn: {Q}=left{x vert x lea right}]

이므로 명제 [eqn: p``->``q]가 참이 되려면

[eqn: P SUBSET Q]

따라서 [eqn: a ge 3]이므로 실수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 3]이다.

5. [출제의도] 켤레복소수를 구하여 복소수의 값을 계산한다.

[eqn: alpha-beta=(3+i)-(1-2i)]

[eqn: =2+3i]

[eqn: bar{alpha}-bar{beta}=(3-i)-(1+2i)]

[eqn: =2-3i]

[eqn: (alpha-beta)(bar{alpha}-bar{beta})][eqn: =(2+3i)(2-3i)]

[eqn: =4+9]

[eqn: =13]

[다른 풀이]

[eqn: alpha-beta=(3+i)-(1-2i)]

[eqn: =2+3i]

[eqn: {bar{alpha }} - {bar{beta }}= {bar{alpha - beta }}]

[eqn: ``=2-3i]

[eqn: (alpha-beta)(bar{alpha}-bar{beta})][eqn: =(2+3i)(2-3i)]

[eqn: =4+9]

[eqn: =13]

6. [출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 무리함수를 구한다.

[eqn: f(x)= sqrt {ax+b}]에서

[eqn: f(2)= sqrt {2a+b} =3]

[eqn: 2a+b=9] …… ㉠

[eqn: g(x)]가 [eqn: f(x)]의 역함수이므로

[eqn: g(5)=10] ⇔ [eqn: f(10)=5]

[eqn: f(10)= sqrt {10a+b} =5]

[eqn: 10a+b=25] …… ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: a=2], [eqn: b=5]

∴ [eqn: `a+b=7]

7. [출제의도] 실수의 덧셈과 곱셈에 대한 역원을 구하여 절댓값을 계산한다.

[eqn: x=-a], [eqn: y= {1} over {a}]

[eqn: a>1]에서

[eqn: x< -1], [eqn: 0< y <1]이므로

[eqn: x+y <0], [eqn: x-y <0]

[eqn: LEFT | `x+y` RIGHT | - LEFT | `x-y` RIGHT |][eqn: =(-x-y)-(-x+y)]

[eqn: =-x-y+x-y]

[eqn: =`-2y]

[eqn: =`- {2} over {a}]

8. [출제의도] 이중근호를 계산하여 정사각형의 한 변의 길이를 구한다.

정사각형 [eqn: A]의 넓이가 [eqn: 4-2 sqrt {3}]이므로 정사각형 [eqn: A]의 한 변의 길이는

[eqn: sqrt {4-2 sqrt {3}} = sqrt { left( sqrt { 3 }-1right)^2 }]

[eqn: =sqrt { 3}-1]

정사각형 [eqn: B]의 넓이가 [eqn: 12+6 sqrt {3}]이므로 정사각형 [eqn: B]의 한 변의 길이는

[eqn: sqrt {12+6 sqrt {3}} `=` sqrt {12+2 sqrt {27}}]

[eqn: `=` sqrt {LEFT ( 3+ sqrt {3} RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: =3+ sqrt { 3}]

정사각형 [eqn: C]의 한 변의 길이는

[eqn: ( sqrt {3} -1)+(3+ sqrt {3} )=2+2 sqrt {3}]

9. [출제의도] 삼각함수의 그래프에서 주기와 평행이동을 이해한다.

삼각함수의 주기는

[eqn: 2pi over a][eqn: =][eqn: {2} over {3} pi - left(- {pi } over {3} right)]

[eqn: =pi]

∴ [eqn: `a=2]

[eqn: y=cos2(x+b)+1]의 그래프는 [eqn: y=cos2x+1]의 그래프를 [eqn: x]축의  방향으로 [eqn: -b]만큼 평행이동시킨 그래프이므로

[eqn: -b=-` {pi } over {3}]

[eqn: b= {pi } over {3}] (∵ [eqn: `0<` b `<pi])

∴ [eqn: ab=2` times {pi } over {3} = {2} over {3} pi]

10. [출제의도] 절대부등식을 이용하여 무리식이 실수가 되는 조건을 구한다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: sqrt {kx ^{2} -kx+3}]이 실수가 되기  위해서는 [eqn: kx ^{2} -kx+3 GEQ 0]을 만족해야 한다.

[eqn: \(i)] [eqn: k=0]일 때,

[eqn: 3 GEQ 0]이므로 성립한다.

[eqn: rm (ii)] [eqn: k != 0]일 때,

[eqn: k>0]이고 [eqn: D LEQ 0]

[eqn: D=k ^{2} -12k]

[eqn: =k(k-12) LEQ 0]

∴ [eqn: 0<k LEQ 12`]

[eqn: \(i)], [eqn: rm (ii)]에서 [eqn: 0 LEQ k LEQ 12]이므로 정수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 13]이다.

11. [출제의도] 방정식의 근을 이용하여 실수 [eqn: a]의 값을 구한다.

[eqn: f(a)=0], [eqn: f(a+3)=0]이므로 [eqn: a]와 [eqn: a+3]은 삼차방정식 [eqn: f(x)=0]의 근이다.

조립제법을 이용하여 [eqn: f(x)]를 인수분해하면

[eqn: a]	[eqn: 1]	[eqn: -a-4]	[eqn: 4a-5]	[eqn: 5a]
		[eqn: a]	[eqn: -4a]	[eqn: -5a]
	[eqn: 1]	[eqn: -4]	[eqn: -5]	[eqn: 0]

[eqn: f(x)=(x-a)(x ^{2} -4x-5)]

[eqn: =(x-a)(x+1)(x-5)=0]

[eqn: x=a] 또는 [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=5]

[eqn: f(a+3)=0]에서

[eqn: a+3=-1] 또는 [eqn: a+3=5]

[eqn: a=-4] 또는 [eqn: a=2]

따라서 실수 [eqn: a]의 값의 합은

[eqn: (-4)+2=`-2]

[다른 풀이]

[eqn: f(a+3)][eqn: =(a+3) ^{3} -(a+4)(a+3) ^{2} +(4a-5)(a+3)+5a]

[eqn: =3a ^{2} +6a-24]

[eqn: f(a+3)=0]에서

[eqn: a ^{2} +2a-8=0]

[eqn: (a+4)(a-2)=0]

∴ [eqn: a=-4] 또는 [eqn: a=2]

[eqn: a=-4]일 때 [eqn: f(-4)=0]

[eqn: a=2]일 때 [eqn: f(2)=0]

이므로 [eqn: a=-4], [eqn: a=2]는 조건을 만족시킨다.

따라서 실수 [eqn: a]의 값의 합은

[eqn: (-4)+2=`-2]

12. [출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 직선의 기울기를 구한다.

원의 중심을 [eqn: \C], 원의 중심에서 직선에 내린 수선의 발을 [eqn: \H]라고 하면,

원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분하므로

[eqn: rm {bar{AH}} = {bar{BH}} `= sqrt {2}]

[eqn: {bar{rm CH it}} rm = sqrt {{bar{rm AC it rm}} ^{2} - {bar{rm AH it rm}} ^{2}}]

[eqn: `=` sqrt {2 ^{2} -( sqrt {2} ) ^{2}}]

[eqn: `= sqrt {2}]

이때 선분 [eqn: \CH]의 길이는 원의 중심 [eqn: \C]([eqn: -1], [eqn: 3])과 직선 [eqn: mx-y+2=0] 사이의 거리와 같으므로

[eqn: {LEFT | m TIMES (-1)-3+2 RIGHT |} over {sqrt {m ^{2} +(-1) ^{2}}} = sqrt {2}]

[eqn: LEFT | m+1 RIGHT | = sqrt {2} sqrt {m ^{2} +1}]

양변을 제곱하면

[eqn: (m+1) ^{2`}=2(m^2 + 1)]

[eqn: m ^{2} +2m+1=2m ^{2} +2]

[eqn: m^2 -2m+1 = 0]

[eqn: (m-1)^2 = 0]

∴ [eqn: `m=1]

13. [출제의도] 순열을 이용하여 경우의 수를 구한다.

[eqn: 5]가지의 색 중 [eqn: 4]개를 택하는 순열의 수는

[eqn: ` _{5} rm P it _{4} =5 TIMES 4 TIMES 3 TIMES 2=120]

14. [출제의도] 실수의 연산을 이용하여 정수해의 순서쌍의 개수를 구한다.

[eqn: LEFT ( 1 AST a` RIGHT ) AST b`= (1+a+a) ast b]

[eqn: =(1+2a)+b+(1+2a)b]

[eqn: = 1+2a+2b+2ab]

[eqn: LEFT ( 1 AST a` RIGHT ) AST b][eqn: =3]에서

[eqn: 1+2a+2b+2ab=3]

[eqn: ab+a+b-1=0]

[eqn: ab+a+b+1=2]

[eqn: (a+1)(b+1)=2]

이때 [eqn: a], [eqn: b]는 정수이므로 정수 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍은

[eqn: (-3,``-2)], [eqn: (-2,``-3)], [eqn: (0,``1)], [eqn: (1,``0)]

의 [eqn: 4]개이다.

15. [출제의도] 벤 다이어그램을 이용하여 집합의 원소의 개수를 구한다.

토론, 글쓰기, 탐구 발표 대회에 참가한 학생들의 집합을 각각 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C``]라 하고 벤 다이어그램으로 나타내면 그림과 같다.

(가), (나), (다)에서

[eqn: a+f=23], [eqn: b+c=29], [eqn: g=17]

이때 [eqn: 100]명의 학생이 [eqn: 3]가지 대회 중 적어도 한 대회에 참가하였으므로

[eqn: a+b+c+d+e+f+g=100]

따라서 탐구발표 대회에 참가한 학생 중 토론 대회에 참가하지 않은 학생 수는

[eqn: d+e=100-(23+29+17)]

[eqn: =31]

16. [출제의도] 부등식의 영역의 넓이를 구한다.

[eqn: x ^{2} +y ^{2} -10x-6y-2 LEQ 0]에서

[eqn: (x-5) ^{2} +(y-3) ^{2} LEQ 6 ^{2}]

연립부등식의 영역을 좌표평면 위에 나타내면 그림과 같다.

원과 직선이 만나는 두 점을 각각 [eqn: \A], [eqn: \B], 원의 중심을 [eqn: \C], 원의 중심 [eqn: \C]에서 직선에 내린 수선의 발을 [eqn: \H]라고 하면 선분 [eqn: {\CH}]의 길이는 원의 중심과 직선 사이의 거리와 같으므로

[eqn: {bar{rm CH it}} = {LEFT | 3times 5-4 times 3+12` RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} +(-4) ^{2}}}]

[eqn: = 15over5 = 3]

이때 [eqn: bar{\CA}=6], [eqn: {bar{rm CH it}} =3]이므로 [eqn: ANGLE rm ACH it = {pi } over {3}]

따라서 연립부등식이 나타내는 영역의 넓이는 중심각의 크기가 [eqn: { 2} over {3 } pi]인 부채꼴 [eqn: \CAB]의 넓이에서 삼각형 [eqn: \CAB]의 넓이를 뺀 값과 같다.

[eqn: rm {1} over {2} times 6 ^{2} times {2} over {3} pi - {1} over {2} times 6 sqrt {3} times 3]

[eqn: =12 pi -9 sqrt {3}]

17. [출제의도] 항등식의 성질을 이용하여 직선이 항상 일정한 점을 지남을 보인다.

점 [eqn: {\P} (a, ``b)]는 직선 [eqn: x+y=2] 위의 점이므로

[eqn: a+b=2]에서

[eqn: b=2-a]

점 [eqn: rm P it]에서 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 내린 수선의 발은 각각

[eqn: rm Q it (a,``0)], [eqn: rm R it (0,```b)]

직선 [eqn: l]은 직선 [eqn: {\QR}]와 수직이고, 직선 [eqn: {\QR}]의 기울기는 [eqn: - {b} over {a}]이므로 직선 [eqn: l]의 기울기는

[eqn: {a} over {b}}][eqn: =][eqn: {BOX{`` {a} over {2-a} ``}}]

따라서 직선 [eqn: l]의 방정식은

[eqn: y-(2-a)= {BOX{`` {a} over {2-a} ``}} `(x-a)]

[eqn: (2-a)y-(2-a) ^{2} =a(x-a)]

[eqn: 2y-ay-4+4a-a ^{2} =ax-a ^{2}]

[eqn: a]에 대하여 정리하면

[eqn: (x+y-4)a+(4-2y)=0] …… ㉠

㉠이 [eqn: a]의 값에 관계없이 항상 성립하려면

[eqn: x+y-4=0], [eqn: 4-2y=0]

[eqn: x=][eqn: {BOX{```2```}}], [eqn: y=][eqn: {BOX{```2```}}]

따라서 [eqn: f(a)= {a} over {2-a}], [eqn: alpha =2], [eqn: beta =2]이므로

[eqn: f left( {4} over {3} right)+ alpha + beta =6]

18. [출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 함숫값을 구한다.

[eqn: f(4) = 5]이므로

[eqn: (g CIRC f)(4)+(f CIRC g)(4)][eqn: =g(5)+f(g(4))]

[eqn: g]의 역함수가 존재하므로 [eqn: g(4)]의 값은 [eqn: 1,`` 2,`` 4] 중 하나이다.

[eqn: g(4)]	[eqn: 1]		[eqn: 2]		[eqn: 4]
[eqn: f(g(4))]	[eqn: 2]		[eqn: 1]		[eqn: 5]
[eqn: g(5)]	[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: 1]	[eqn: 4]	[eqn: 1]	[eqn: 2]

위의 표에서 [eqn: g(4)=4]이고 [eqn: g(5)=2]일 때, [eqn: g(5)+f(g(4))]의 최댓값은 [eqn: 7]이다.

19. [출제의도] 근과 계수의 관계를 이용하여 이차함수의 함숫값을 구한다.

[eqn: f(x)]는 이차항의 계수가 [eqn: 1]이고

이차방정식 [eqn: f(x)=0]의 두 근의 곱이 [eqn: 7]이므로

[eqn: f(x)=x ^{2} +ax+7] ([eqn: a]는 상수)

[eqn: x ^{2} -3x+1=0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로

[eqn: alpha + beta =3], [eqn: alpha beta =1]

[eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} =( alpha + beta ) ^{2} -2 alpha beta][eqn: =7]

[eqn: f( alpha )+f( beta )=( alpha ^{2} + beta ^{2} )+a( alpha + beta )+14]

[eqn: =7+3a+14=3]

∴ [eqn: a=`-6]

[eqn: f(x)=x ^{2} -6x+7]이므로

[eqn: f(7)=14]

20. [출제의도] 직선의 방정식을 이용하여 명제의 참, 거짓을 판별한다.

ㄱ. 직선 [eqn: rm AB]의 방정식은

[eqn: y- {2} over {a}={{2} over {b} - {2} over {a}} over {b-a} (x-a)]

[eqn: y=- {2} over {ab} (x-a)+ {2} over {a}]

[eqn: 0=- {2} over {ab} (x-a)+ {2} over {a}]에서

[eqn: {2} over {ab} (x-a)= {2} over {a}]

[eqn: 2(x-a)=2b]

∴ [eqn: x=a+b] (참)

ㄴ. 점 [eqn: rm D]는 선분 [eqn: rmAB]의 중점이므로

[eqn: rm D LEFT ( it {a+b} over {2} ,```` {a+b} over {ab} RIGHT )]

직선 [eqn: rmOD]의 기울기는

[eqn: {{a+b} over {ab}} over {{a+b} over {2}} = {2} over {ab}]

따라서 두 직선 [eqn: {\AB]와 [eqn: \OD]의 기울기의 합은

[eqn: - 2 over ab + 2 over ab = 0] (참)

ㄷ.

[eqn: bar {\AO} = bar{\AD}]이므로

[eqn: rm ANGLE rm AOD= ANGLE ADO]

두 직선 [eqn: {\AB]와 [eqn: \OD]의 기울기의 합은 [eqn: 0]이므로

[eqn: rm ANGLE DOC`= ANGLE DCO]

[eqn: rm ANGLE ADO`= ANGLE DOC+ ANGLE DCO]이므로

∴ [eqn: rm ` ANGLE ADO``=2 ANGLE DOC]

[eqn: rm ANGLE AOC``= ANGLE rm AOD+ ANGLE rm DOC]

[eqn: = ANGLE rm AOD it + {1} over {2} ANGLE {\ADO} rm]

[eqn: rm = {3} over {2} ANGLE AOD] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

21. [출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 두 함수의 그래프의 교점의 개수를 추론한다.

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음 그림과 같다.

[eqn: {ax} over {x+2} = a-{ 2a} over {x+2 }]이므로

함수 [eqn: y= {ax} over {x+2}]의 점근선의 방정식은

[eqn: x=-2], [eqn: y=a]

[eqn: \(i)] [eqn: a<0]일 때

따라서 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y= {ax} over {x+2}]의 그래프의 교점은 유한개이다.

[eqn: \(ii)] [eqn: a>0]일 때

그림과 같이 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y= {ax} over {x+2}]의 그래프의 교점의 개수가 무수히 많게 되는 [eqn: a]의 값의 범위는

[eqn: 2 LEQ a LEQ 6]

따라서 조건을 만족시키는 정수 [eqn: a]의 값은

[eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]

으로 그 합은 [eqn: 20]이다.

22. [출제의도] 조합을 이용하여 삼각형의 개수를 구한다.

서로 다른 [eqn: 5]개의 점 중에서 [eqn: 3]개의 점을 택하면 그 세점을 꼭짓점으로 하는 하나의 삼각형이 결정되므로

[eqn: {} _{5} ` rm C it rm _{``3} = {5 TIMES 4 TIMES 3} over {3 TIMES 2 TIMES 1}=10]

23. [출제의도] 항등식의 성질을 이용하여 미정계수를   구한다.

[eqn: 3x ^{2} +x-2=a(x-1) ^{2} +b(x-1)+c]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하므로

[eqn: x=1], [eqn: x=0], [eqn: x=2]를 각각 대입하면

[eqn: 3+1-2=c] …… ㉠

[eqn: -2=a-b+c] …… ㉡

[eqn: 12+2-2=a+b+c] …… ㉢

㉠, ㉡, ㉢에서

[eqn: a=3], [eqn: b=7], [eqn: c=2]

∴ [eqn: abc=42]

[다른 풀이]

[eqn: 3x ^{2} +x-2=a(x-1) ^{2} +b(x-1)+c]

[eqn: =ax ^{2`} +(-2a+b)x+(a-b+c)]

양변의 각 항의 계수를 비교하면

[eqn: a = 3], [eqn: 1 = -2a+b], [eqn: -2 = a-b+c]

[eqn: a=3], [eqn: b=7], [eqn: c=2]

∴ [eqn: abc=42]

[다른 풀이]

조립제법을 이용하여 주어진 이차식을 [eqn: x-1]로 나눈 나머지를 반복하여 구하면

[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 1]	[eqn: -2]
		[eqn: 3]	[eqn: 4]
[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 2]
		[eqn: 3]
	[eqn: 3]	[eqn: 7]

에서

[eqn: 3x ^{2} +x-2][eqn: =(x-1)(3x+4)+2]

[eqn: =(x-1) left{ 3(x-1)+7 right} +2]

[eqn: = 3(x-1)^2 +7(x-1)+2]

[eqn: a=3], [eqn: b=7], [eqn: c=2]

∴ [eqn: abc=42]

24. [출제의도] 이차함수의 최댓값을 구한다.

[eqn: \A]의 가격이 [eqn: 100]만 원 이상이고 만 원 인상될 때마다 판매량이 [eqn: 20]대씩 줄어든다. 따라서 인상되는 가격을 [eqn: x](만 원), 전체 판매 금액을 [eqn: y](만 원)이라 하면

[eqn: y=(100+x)(2400-20x)]

[eqn: =-20(x-10) ^{2} +242000]

따라서 가격을 [eqn: 10]만 원 올렸을 때 전체 판매 금액이 최대이므로 [eqn: \A]의 가격은 [eqn: 110]만 원이다.

∴ [eqn: a=110]

25. [출제의도] 실생활 소재를 활용하여 삼각방정식의 해를 구한다.

[eqn: m=144], [eqn: L=10], [eqn: t = 2]일 때

[eqn: h=20-10`cos {4 pi } over {sqrt {144}}]

[eqn: =20-10`cos {pi } over {3}]

[eqn: =15]

[eqn: m=a], [eqn: L= 5 sqrt { 2}], [eqn: t = 2]일 때

[eqn: h =][eqn: 20`-`5 sqrt {2} `cos {4 pi } over {sqrt {a}}]

[eqn: =15]

[eqn: cos {4 pi } over {sqrt {a}} = {1} over {sqrt {2}} = {sqrt {2}} over {2}]

[eqn: a GEQ 100]에서

[eqn: 0<][eqn: {4 pi } over {sqrt {a}} LEQ {4 pi } over {sqrt {100}} = {2} over {5} pi]

[eqn: {4 pi } over {sqrt {a}} = {pi } over {4}]

[eqn: sqrt { a} = 16]

∴ [eqn: a=256]

26. [출제의도] 양의 약수의 개수가 홀수인 자연수를 구한다.

양의 약수의 개수가 홀수인 자연수는 완전제곱수이다.

[eqn: <n>`=16]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 범위는

[eqn: 16 ^{2} LEQ n<17 ^{2}]

이므로 자연수 [eqn: n]의 최댓값은

[eqn: 17 ^{2} -1=288]

[참고] 자연수 [eqn: N]을 소인수분해 한 것이

[eqn: N=a ^{`p} `b ^{`q}]([eqn: a]와 [eqn: b]는 서로 다른 소수, [eqn: p]와 [eqn: q]는 자연수)

일 때, [eqn: N]의 양의 약수의 개수는

[eqn: (p+1)(q+1)]

이다. 이때, 이 값이 홀수이려면

[eqn: p+1], [eqn: q+1]

이 모두 홀수이어야 하므로 두 수 [eqn: p], [eqn: q]는 모두 짝수이다.

따라서 자연수 [eqn: N]은 완전제곱수이다.

27. [출제의도] 코사인법칙과 사인법칙을 이용하여 원의 넓이를 구한다.

사각형 [eqn: \ABCD]가 원에 내접하므로

[eqn: ANGLE{\BCD}= theta]([eqn: 0 < theta < { pi}])

라 하면

[eqn: ANGLE rm BAD it =pi- theta]

선분 [eqn: \BD]의 길이를 [eqn: x]라 하고, 삼각형 [eqn: \ABD]에서 코사인법칙을 이용하면

[eqn: x ^{2} =2 ^{2} +10 ^{2} -2 times 2 times 10 times cos( pi - theta )]

[eqn: = 104 +40 cos theta]

[eqn: =104+40 TIMES {3} over {5}]

[eqn: =128]

∴ [eqn: x= sqrt { 128}= 8 sqrt {2}]

[eqn: sin theta = sqrt { 1- cos^2 theta}= sqrt {1- {9} over {25}} = {4} over {5}]

삼각형 [eqn: \BCD]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하고 사인법칙을 이용하면

[eqn: {8 sqrt {2}} over {sin theta } =2R]

[eqn: R=5 sqrt {2}]이므로 외접원의 넓이는

[eqn: pi(5 sqrt { 2})^2 =50 pi]

∴ [eqn: a=50]

28. [출제의도] 조건을 만족시키는 집합 [eqn: C]의 개수를 구한다.

[eqn: A` CUP `C`=`B` CUP `C]에서

[eqn: A` SUBSET(`B` CUP `C`)]이고 [eqn: B` subset (`A` CUP `C`)]

[eqn: \(i)] [eqn: A` SUBSET(`B` CUP `C`)]에서

[eqn: 2 notin B], [eqn: 4 NOTIN B]이고 [eqn: 2 IN A], [eqn: 4 IN A]이므로

[eqn: 2 in C], [eqn: 4 in C]

[eqn: \(ii)] [eqn: B` subset (`A` CUP `C`)]에서

[eqn: 7 NOTIN A], [eqn: 9 NOTIN A]이고 [eqn: 7 IN B], [eqn: 9 IN B]이므로

[eqn: 7 IN C], [eqn: 9 IN C]

[eqn: \(i)], [eqn: \(ii)]에서 집합 [eqn: C]는 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 7], [eqn: 9]를 반드시 원소로 갖는 [eqn: U]의 부분집합이다.

따라서 집합 [eqn: C]의 개수는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 8], [eqn: 10]을 원소로 갖는 집합의 부분집합의 개수와 같으므로

[eqn: 2 ^{6} =64]

29. [출제의도] 부등식의 영역을 이용하여 최댓값을 구한다.

집합 [eqn: A]의 부분집합 중 원소의 개수가 [eqn: 2]인 것은 아래와 같다.

[eqn: LEFT { 1,``x RIGHT } ,`` LEFT { 1,``3 RIGHT } ,`` LEFT { 1,``y RIGHT } ,`` LEFT { 1,``5 RIGHT }]

[eqn: LEFT { x,``3 RIGHT } ,`` LEFT { x,``y RIGHT } ,`` LEFT { x,``5 RIGHT }]

[eqn: LEFT { 3,``y RIGHT } ,`` LEFT { 3,``5 RIGHT }]

[eqn: LEFT { y,``5 RIGHT }]

[eqn: 1<x<3], [eqn: 3<y<5]이므로

(가)에서

[eqn: m _{1} +m _{2} +m _{3`} +` CDOTS `+m _{10}]

[eqn: =1 TIMES 4+x TIMES 3+3 TIMES 2+y]

[eqn: =3x+y+10 LEQ 19]

∴ [eqn: 3x+y LEQ 9]

(나)에서

[eqn: M _{1} +M _{2} +M _{3} +` CDOTS `+M _{10}]

[eqn: =x+3 TIMES 2+y TIMES 3+5 TIMES 4]

[eqn: =x+3y+26 LEQ 41]

∴ [eqn: x+3y LEQ 15]

연립부등식

[eqn: 1<x<3], [eqn: 3<y<5], [eqn: 3x+y LEQ 9], [eqn: x+3y LEQ 15]

의 영역을 좌표평면에 나타내면 다음 그림과 같다.

[eqn: 12x+6y=p]([eqn: p]는 상수)로 놓고 부등식의 영역 안에서 움직여 보면 두 직선의 교점을 지날 때, [eqn: p]의 값이 최대이다.

[eqn: 3x+y= 9], [eqn: x+3y =15]를 연립하면

[eqn: x = 3over2], [eqn: y = 9over2]

따라서 [eqn: 12x+6y]의 최댓값은

[eqn: 12 TIMES {3} over {2} +6 TIMES {9} over {2} =45]

30. [출제의도] 삼각형의 넓이와 절대부등식을 활용하여 최솟값을 구한다.

[eqn: rm bar{PM} = it x`], [eqn: rmbar{PN}=ity`]라 하면

[eqn: rm TRIANGLE ABC=triangleABP+triangleAPC]에서

[eqn: {1} over {2} TIMES 2 TIMES 3 TIMES `sin30 ° = {1} over {2} TIMES 2 TIMES x+ {1} over {2} TIMES 3 TIMES y`]

∴ [eqn: 2x+3y=3`]

[eqn: {rm {bar{AB}} it} over {rm {bar{PM}} it} + {rm {bar{AC}} it} over {rm {bar{PN}} it} = {2} over {x} + {3} over {y} ``]에서

[eqn: 3 LEFT ( {2} over {x} + {3} over {y} RIGHT ) =(2x+3y) LEFT ( {2} over {x} + {3} over {y} RIGHT )]

[eqn: =13+ {6x} over {y} + {6y} over {x} `]

[eqn: GEQ 13+2 sqrt {{6x} over {y} times {6y} over {x}} =25`]

(단, 등호는 [eqn: x=y= 3 over 5]일 때 성립한다.)

따라서 [eqn: {2} over {x} + {3} over {y} GEQ {25} over {3} `]이므로 [eqn: {2} over {x} + {3} over {y}]의 최솟값은 [eqn: 25 over 3]이다.

∴ [eqn: p+q=3+25=28`]