수학 영역(B형)

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수학 영역(B형)

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5지선다형

2013학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(B형)

제 2 교시

1. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`2&````1#`3&````1}}]에 대하여 역행렬 [eqn: A ^{-1}]의 모든 성분의 합은?

[2점]

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

12

2. 함수 [eqn: f(x) = x`lnx `]에 대하여 [eqn: f`'(e)]의 값은? (단, [eqn: e`]는 자연로그의 밑이다.) [2점]

① [eqn: 2e]	② [eqn: e+1]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: e]	⑤ [eqn: 2]

3. [eqn: sin`2x`=` {1} over {3}]일 때, [eqn: cos ^{2} x-sin ^{2} x`]의 값은? [eqn: LEFT ( pile{`#`} RIGHT .]단, [eqn: 0 < x < pi over4]이다.[eqn: pile{`#`} RIGHT )]

[2점]

① [eqn: 0]	② [eqn: {sqrt {2}} over {3}]	③ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	④ [eqn: {2 sqrt {2} `} over {3}]	⑤ [eqn: 1]

4. 두 사건 [eqn: A], [eqn: B`]에 대하여

[eqn: \P(itA)= 9 over16], [eqn: \P(itB)= 1over4], [eqn: \P(itA cupB)= 3over4]

일 때, [eqn: \P(itB``|A)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1over9]	② [eqn: 2over7]	③ [eqn: 4over9]	④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 3over4]

5. 수열 [eqn: left{ a_n right}`]이 [eqn: a_1 = 1]이고,

[eqn: (`n+1)`a _{n+1} -n`a _{n} =3] [eqn: (`n GEQ1)]

을 만족시킬 때, [eqn: a _{6}`]의 값은? [3점]

① [eqn: {8} over {3}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 10over3]	④ [eqn: 11over3]	⑤ [eqn: 4]

6. 어떤 무선 수신기에서 수신 가능한 신호의 최소 크기 [eqn: P`]와 수신기의 잡음 지수 [eqn: F`](dB) 그리고 수신기의 주파수 대역 [eqn: B`](Hz)사이에는 다음과 같은 관계가 있다고 한다.

[eqn: P=a+F+10`log`B`] (단, [eqn: a`]는 상수이다.)

잡음 지수가 [eqn: 5`~]이고 주파수 대역이 [eqn: B _{1} `]일 때의 수신 가능한 신호의 최소 크기와 잡음 지수가 [eqn: 15`]이고 주파수 대역이 [eqn: B _{2} `]일 때의 수신 가능한 신호의 최소 크기가 같을 때, [eqn: {B _{2}} over {B _{1}} `]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {20}]	② [eqn: {1} over {10}]	③ [eqn: {1} over {5}]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 20]

7. 연속함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: int _{0} ^{x} {f(t)} dt=cos` 2x +ax^2 +a]

를 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( piover2 RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: a`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: - 3over2 pi]	② [eqn: - pi]	③ [eqn: - pi over2]	④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: pi over2]

8. 같은 종류의 구슬 다섯 개를 서로 다른 세 개의 주머니에 나누어 넣으려고 한다. 각 주머니 안의 구슬이 세 개 이하가 되도록 넣는 방법의 수는? (단, 구슬끼리는 서로 구별하지 않고 빈 주머니가 있을 수도 있다.) [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

9. 연속함수 [eqn: f`(x)]에 대하여

[eqn: lim _{x` -> `0} {} {ln` LEFT { 1+f(2x) RIGHT }} over {x} =10]

일 때, [eqn: lim _{x` -> `0} {} {f`(x) _{`}} over {x}]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: z]	[eqn: {\P} ( 0 le Z` le z )]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

10. 어느 생수 회사에서 생산하는 생수 [eqn: 1]병의 무게는 평균 [eqn: 500], 표준편차 [eqn: 10]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 생수 회사에서는 생수 [eqn: 4]병을 한 세트로 하여 판매한다. 임의로 택한 한 세트의 무게가 [eqn: 2030] 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, 무게의 단위는 [eqn: \g`]이다.)

[3점]

① [eqn: 0.0062]	② [eqn: 0.0228]	③ [eqn: 0.0456]

④ [eqn: 0.0668]	⑤ [eqn: 0.1587]

11. 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 행렬 [eqn: A]를 [eqn: A = pmatrix{`a&```-b`#`b&`````````a`}]라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이고, [eqn: O`]는 영행렬이다.) [3점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: A ^{2} =O`]이면 [eqn: A=O`]이다. ㄴ. [eqn: A ^{2} +E=O`]를 만족시키는 행렬 [eqn: A]의 개수는 [eqn: 2]이다. ㄷ. [eqn: A ^{2} -A=O`]를 만족시키는 행렬 [eqn: A]의 개수는 [eqn: 2]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} ` RIGHT } `]은 [eqn: a`_1 = `1]이고

[eqn: a _{`n+1} = {n`a _{n} +6} over {n+2}] [eqn: LEFT ( n ge 1 RIGHT )]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]을 구하는 과정이다.

주어진 식에 의하여

[eqn: (n+2)`a _{`n+1} =n`a _{n} +6]

이다. [eqn: b _{n} =n(n+1)`a _{n}`]이라 하면

[eqn: b _{n+1} =b _{n} +``box{`^````(가)````_`}]

이고, [eqn: b _{1} =2`]이므로

[eqn: b _{n} =``box{`^```(나)```_`}] [eqn: LEFT ( n ge 1 RIGHT )]

이다. 따라서

[eqn: a _{n} ={box{`^```(나)```_`}} over {n(n+1)}] [eqn: LEFT ( n ge 1 RIGHT )]

이다.

위의 (가), (나)에 들어갈 식을 각각 [eqn: f(n),~g(n)`]이라 할 때, [eqn: f(4)+g(10)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 356]	② [eqn: 357]	③ [eqn: 358]	④ [eqn: 359]	⑤ [eqn: 360]

[13 ~ 14] 자연수 [eqn: n`]에 대하여 곡선 [eqn: y= {2n} over {x} `]과 직선 [eqn: y=`- {x} over {n} +3]의 두 교점을 [eqn: rm A _{itn} `], [eqn: rm B _{it n rm} `]이라 할 때, 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

13. 선분 [eqn: rmA _{itn} `B _{itn} `]의 길이를 [eqn: l _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF }` {left(`l _{n+1} -l _{n}`right)]의 값은?

[3점]

① [eqn: 1over2]	② [eqn: root2 over2]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: root2]	⑤ [eqn: 2]

14. 곡선 [eqn: y= 2n over x]과 직선 [eqn: y=`- {x} over {n} +3]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: S_n+1 - S_n]의 값은? [4점]

① [eqn: 3over2 - 2ln 2]	② [eqn: 1- `ln2]	③ [eqn: 3over2 -`ln 2]

④ [eqn: 1+ln2]	⑤ [eqn: 3over2 + 2ln 2]

15. 그림과 같이 좌표공간에 세 점 [eqn: rm A(0,```0,```3)`], [eqn: rm B(5,```4,```0)`], [eqn: rm C(0,```4,```0)`]이 있다. 선분 [eqn: rm AB`] 위의 한 점 [eqn: rmP`]에서 선분 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 할 때, [eqn: rmbar{PH}=3`]이다. 삼각형 [eqn: rmPBH`]의 [eqn: xy`]평면 위로의 정사영의 넓이는? [4점]

① [eqn: 14over5]	② [eqn: 16over5]	③ [eqn: 18over5]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 22over5]

16. 그림과 같이 한 초점이 [eqn: rm F `]이고 점근선의 방정식이 [eqn: y=2x], [eqn: y=`-2x`]인 쌍곡선이 있다. 제[eqn: 1]사분면에 있는 쌍곡선 위의 점 [eqn: rmP`]에 대하여 선분 [eqn: rmPF`]의 중점을 [eqn: rmM`]이라 하자. [eqn: bar{rm OM it} =6], [eqn: bar{rm MF it} =3`]일 때, 선분 [eqn: \OF]의 길이는? (단, [eqn: \O]는 원점이다.) [4점]

① [eqn: 2 sqrt {10}]	② [eqn: 3 sqrt {5}]	③ [eqn: 5sqrt { 2}]	④ [eqn: sqrt { 55}]	⑤ [eqn: 2sqrt { 15}]

17. 이차함수 [eqn: f(x)]와 삼차함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(x)]의 이차항의 계수와 [eqn: g(x)]의 삼차항의 계수의 곱은 음수이다.

(나) [eqn: f(-2) = f(3) = 0]

(다) 두 곡선 [eqn: y = f(x)]와 [eqn: y = g(x)]가 만나는 세 점의 [eqn: x`]좌표는 각각 [eqn: -2], [eqn: 2], [eqn: 5]이다.

분수방정식 [eqn: g(x)` left{ g(x) over f(x) - 1 right} `= 0`]의 서로 다른 실근의 개수는? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

18. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 20]인 정육면체 [eqn: rm ABCD-EFGH]가 있다. 모서리 [eqn: rm AB]를 [eqn: 3``:1]로 내분하는 점을 [eqn: rm L], 모서리 [eqn: rmHG]의 중점을 [eqn: rm M]이라 하자. 점 [eqn: \M]에서 선분 [eqn: \LD]에 내린 수선의 발을 [eqn: \N]이라 할 때, 선분 [eqn: \MN]의 길이는? [4점]

① [eqn: 12 sqrt { 3}]	② [eqn: 8sqrt { 7}]	③ [eqn: 15sqrt {2}]

④ [eqn: { 4sqrt {29 } }]	⑤ [eqn: {4sqrt {30}}]

19. 그림과 같이 정삼각형 [eqn: rm`ABC]의 한 변 [eqn: rm`CB] 위에 점 [eqn: rm D]를 [eqn: rm ANGLE DAB= {pi } over {12}]가 되도록 정하고, 선분 [eqn: rm`CD]를 지름으로 하는 원을 평면 [eqn: rm`ABC] 위에 그린다. 이 원 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: rm ANGLE CDP= theta]라 하자. 삼각형 [eqn: rm`ADP]의 넓이가 최대가 되도록 하는 [eqn: theta`]에 대하여 [eqn: sin theta` costheta`]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {sqrt {6} - sqrt {2}} over {8}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {sqrt {6} - sqrt {2}} over {4}]	⑤ [eqn: {sqrt {6} + sqrt {2}} over {4}]

20. 연속함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(2)=1]

(나) [eqn: int _{0} ^{2} {f(x)} dx= {1} over {4}]

[eqn: lim _{n -> INF }` {sum _{k`=1} ^{n} LEFT { `f `LEFT ( {2k} over {n} RIGHT )` -f `LEFT ( {2k-2} over {n} RIGHT ) RIGHT }` {k} over {n}}]의 값은? [4점]

① [eqn: 3over4]	② [eqn: 4over5]	③ [eqn: 5over6]	④ [eqn: 6over7]	⑤ [eqn: {7} over {8}]

21. 그림과 같이 평면 위에 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 네 개의 원 [eqn: C`_1], [eqn: C`_2], [eqn: C`_3], [eqn: C`_4]가 서로 외접하고 있고, 두 원 [eqn: C`_1], [eqn: C`_2]의 접점을 [eqn: \A]라 하자. 원 [eqn: C`_3] 위를 움직이는 점 [eqn: \P`]와 원 [eqn: C`_4] 위를 움직이는 점 [eqn: \Q`]에 대하여 [eqn: left|` vec{rm AP it} `+` vec{\AQ} ``right|`]의 최댓값은? [4점]

① [eqn: 4sqrt { 3}- sqrt { 2}]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 3sqrt { 3}+1]

④ [eqn: 3sqrt { 3}+ sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 7]

단답형

22. [eqn: rm `` _{5} C _{0} `+ _{5} C _{1} + _{5} `C _{2} +` _{5} `C _{3} `+ _{5} `C _{4} `+ _{5} `C _{5} `]의 값을 구하시오. [3점]

23. 확률변수 [eqn: X`]가 이항분포 [eqn: {\B}left(n, ``1over7 right)]을 따르고, [eqn: X`]의 평균이 [eqn: 3`]일 때, [eqn: n`]의 값을 구하시오. [3점]

24. 좌표평면에서 두 일차변환 [eqn: f], [eqn: g`]를 나타내는 행렬이 각각 [eqn: {pmatrix{`1&``````````0`#`2&```-1`}}], [eqn: {pmatrix{`1&``````````0`#`1&```-2`}}]일 때, 합성변환 [eqn: f CIRC g`]에 의하여 점 [eqn: LEFT ( 3,``2 RIGHT )]가 점 [eqn: (a,``b)]로 옮겨진다. [eqn: 10a+b`]의 값을 구하시오. [3점]

25. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프는 그림과 같다. 함수 [eqn: g(x)=ax^3 +bx^2 +cx+10~]([eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]는 상수)에 대하여 합성함수 [eqn: LEFT ( g circ f RIGHT )(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이다. [eqn: g(1)+g(2)]의 값을 구하시오. [3점]

26. 함수 [eqn: f(x)`=`log _{2`} `x`]에 대하여 좌표평면에서 네 점

[eqn: (t,``f(t))], [eqn: (t,``0)], [eqn: (t+2,``0)], [eqn: (t+2,``f(t+2))] (단, [eqn: t`>1])

을 꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이를 [eqn: S`(t)`]라 하자. [eqn: S`(2)], [eqn: S`(4)], [eqn: S`(a)]가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, [eqn: a`=` sqrt {n} -1]이다. 자연수 [eqn: n`]의 값을 구하시오. [4점]

27. 그림과 같이 점 [eqn: rm A(-5,```0)`]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: r`]인 원과 타원 [eqn: {x ^{2}} over {25} + {y ^{2}} over {16} =1`]의 한 교점을 [eqn: rm P`]라 하자. 점 [eqn: rm B(3,```0)`]에 대하여 [eqn: rm bar{PA} + bar{PB} =10`]일 때, [eqn: 10`r`]의 값을 구하시오. [4점]

28. 수열 [eqn: LEFT { a_n right}]이 [eqn: a_1 = { 1} over {8 }]이고,

[eqn: a_n a_n+1 =2^n `][eqn: (`n ge 1)]

을 만족시킬 때, [eqn: sum _{n=1} ^{ INF } { 1} over { a_2n-1}]의 값을 구하시오. [4점]

29. 좌표공간에서 중심이 [eqn: {\C}(1,``2,``1)]이고 반지름의 길이가 [eqn: sqrt { 3}]인 구가 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta`]와 접하는 점을 각각 [eqn: \P], [eqn: \Q]라 하자. 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta`]의 교선의 방정식이 [eqn: x=`-y=z`]일 때, 삼각형 [eqn: rmCPQ`]의 넓이는 [eqn: S`]이다. [eqn: 100S`]의 값을 구하시오. [4점]

30. 그림과 같이 [eqn: bar{\AB} = 2], [eqn: bar{rm AD it} =2 sqrt {3}]인 직사각형 [eqn: \ABCD]가 있다. 선분 [eqn: \BC] 위의 점 [eqn: \P]에 대하여 선분 [eqn: \AP]의 수직이등분선이 두 직선 [eqn: \AB], [eqn: \AD]와 만나는 점을 각각 [eqn: \Q], [eqn: \R]라 하자. 선분 [eqn: \QR]의 길이의 최솟값이 [eqn: k`]일 때, [eqn: 4k^2`]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: rm P`]는 점 [eqn: rm B`]가 아니다.) [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.