수리 영역

정답

1	①	2	②	3	⑤	4	⑤	5	③
6	③	7	②	8	②	9	①	10	④
11	②	12	③	13	③	14	④	15	③
16	⑤	17	④	18	①	19	④	20	②
21	②	22	25	23	11	24	10	25	104
26	14	27	36	28	13	29	75	30	20

해설

1. [출제의도] 집합과 원소 및 부분집합에서의 관계 이해하기

① [eqn: LEFT { phi RIGHT } SUBSET A]

②  [eqn: 3 NOTIN A]

③ [eqn: LEFT { 1 RIGHT } SUBSET A]

④ [eqn: LEFT { 1,`2 RIGHT } SUBSET A``]

⑤ [eqn: LEFT { 2,`3 RIGHT } IN A``]

∴[eqn: LEFT { phi RIGHT } SUBSET A]

2. [출제의도] 명제의 참, 거짓 판별하기

‘ㄷ’의 명제 ‘이등변삼각형이면 정삼각형이다.’는 거짓이다.

3. [출제의도] 무리수와 복소수 계산하기

[eqn: sqrt {-3} sqrt {-2} =- sqrt {6}]

[eqn: {sqrt {6}} over {sqrt {-2}} = {sqrt {6}} over {sqrt {2} i} =- sqrt {3} i]

[eqn: (준식)=-6- sqrt {3} i]

4. [출제의도] 실수의 대소 관계 이해하기

① [eqn: 0<x<y]이므로 [eqn: {1} over {x} > {1} over {y}]

② [eqn: {y ^{2}} over {x} - {x ^{2}} over {y} =` {y ^{3} -x ^{3}} over {xy} >0]

③ [eqn: {y} over {x ^{2}} - {x ^{2}} over {y} =` {y ^{2} -x ^{4}} over {x ^{2} y} = {(y-x ^{2} )(y+x ^{2} )} over {x ^{2} y} >0]

([eqn: BECAUSE][eqn: x ^{2} <x<y])

④ [eqn: xy ^{2``} -x ^{2} y`=`xy(y-x)>0]

⑤ (반례) [eqn: x=` {1} over {2} ,``y=2]

[eqn: {1} over {2} TIMES 2< {1} over {2} +2]

5. [출제의도] 이차방정식의 근 판별하기

① [eqn: LEFT ( 2x-1 RIGHT )LEFT ( 2x+1 RIGHT )=0] ∴[eqn: x= {1} over {2} ,``- {1} over {2}]

② [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) =0] ∴[eqn: x=2,````-1]

③ 근의 공식을 이용하면 [eqn: x= {3± sqrt {5}} over {2}]

④ [eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2} =0]	∴[eqn: x=-2`](중근)

⑤ [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) =0] ∴[eqn: x=2,````3]

6. [출제의도] 상관표 이해하기

[eqn: 1]회 [eqn: 2]회	6	7	8	9	10	합계 (명)
10			2		1	3
9		2	4	2		8
8		3	2	3	2	10
7		3	4	2		9
6	1	1				2
합계 (명)	1	9	12	7	3	32

어두운 부분에 있는 자료의 학생들이 성적이 향상된 학생이다. [eqn: 2+3+4+2=11]명

7. [출제의도] 이차식의 인수분해하기

[eqn: x ^{2} -xy-6y ^{2} -x+8y-2]

[eqn: =(x+2y-2)(x-3y+1)]

∴[eqn: a=2,````b=-3]  즉, [eqn: ``a+b=-1]

8. [출제의도] 명제의 충분조건, 필요조건, 필요충분조건 판단하기

ㄱ. 스위치 [eqn: S _{1} `], [eqn: S _{2} `], [eqn: S _{3} `]가 모두 닫히는 것은 전

구 [eqn: rm L _{1} `]이 켜지기 위한 충분조건이다.

ㄴ. 스위치 [eqn: S _{2} `]와 [eqn: S _{3} `]가 모두 닫히는 것은 전구  [eqn: rm L _{3} `]

가 켜지기 위한 충분조건이다.

ㄷ. 스위치 [eqn: S _{2} `] 또는 [eqn: S _{3} `]가 닫히는 것은 전구 [eqn: rm L _{2} `]와

[eqn: rm L _{3} `]가 모두 켜지기 위한 필요조건이다.

9. [출제의도] 복소수와 켤레복소수의 성질 이해하기

복소수 [eqn: z=a+bi,``][eqn: bar{z} =a-bi](단, [eqn: a,``b]는 실수)라 하면

ㄱ. [eqn: z bar{z} =(a+bi)(a-bi)=a ^{2} +b ^{2} =0]

[eqn: {z} =0]   [eqn: ( BECAUSE ``a=b=0)]

∴[eqn: z bar{z} =0] 이면 [eqn: {z} =0] 이다. (참)

ㄴ. [eqn: z ^{2} + LEFT ( bar{z} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( a+bi RIGHT ) ^{2} + LEFT ( a-bi RIGHT ) ^{2}]

[eqn: =2 LEFT ( a ^{2} -b ^{2} RIGHT )]

[eqn: =0]

[eqn: THEREFORE b=±a`]이므로 [eqn: z=a±ai`]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: z=- bar{z} `]이므로 [eqn: a+bi=- LEFT ( a-bi RIGHT )]

[eqn: THEREFORE a=0`]이므로 [eqn: z=bi`]이다. (거짓)

10. [출제의도] 이차함수 그래프를 해석하여 무리식 계산하기

ⅰ) 대칭축 [eqn: x= {a} over {2} >0]이므로 [eqn: a>0`]

ⅱ) [eqn: y]절편이 음수 이므로 [eqn: b<0]

[eqn: (준식)=(a-b)+(a-b)=2a-2b]

11. [출제의도] 홀수, 짝수의 성질을 활용한 경우의 수 구하기

[eqn: 11`]은 홀수이므로 뒤집힌 동전의 개수가 홀수인  경우를 찾으면 된다.

∴ ㄱ, ㄷ

12. [출제의도] 최대공약수, 최소공배수를 이용하여 다항식 구하기

[eqn: x ^{3} +2x ^{2} -x-2=(x-1)(x+1)(x+2)]는 최소공배수이고 [eqn: x-1]가 최대공약수이므로

[eqn: f(x)+``g(x)][eqn: =(x-1)(x+1)][eqn: +(x-1)(x+2)]

∴[eqn: f(2)+`g(2)=7]

13. [출제의도] 인수정리 이해하기

다항식 [eqn: f(x)=ax ^{4} +bx ^{3} +cx-a]라 하면

[eqn: x+1`]이 [eqn: f(x)]의  인수이므로

[eqn: f(-1)=a-b-c-a=0], 즉 [eqn: b+c=0]

[eqn: f(1)=a+b+c-a=0]

∴[eqn: x-1`]은 반드시 [eqn: f(x)]의 인수이다.

14. [출제의도] 연산의 정의를 이해하고 그 연산의 성질 이해하기

복소수 [eqn: z=a+bi,``][eqn: bar{z} =a-bi](단, [eqn: a,``b]는 실수)라 하면

ㄱ.[eqn: <<3+4i>>=3 ^{2} +4 ^{2} =25] (참)

ㄴ. [eqn: << z+ bar{z} >> =4a ^{2}]

[eqn: LEFT ≪ z RIGHT ≫ + LEFT ≪ bar{z} RIGHT ≫ = LEFT ( a ^{2} +b ^{2} RIGHT ) + LEFT ( a ^{2} +b ^{2} RIGHT ) =2 LEFT ( a ^{2} +b ^{2} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE << z+ bar{z} >> != << z >> + << bar{z} >>] (거짓)

ㄷ. [eqn: LEFT ≪ {1} over {z} RIGHT ≫ = LEFT ≪ {1} over {a+bi} RIGHT ≫]

[eqn: = LEFT ≪ {a} over {a ^{2} +b ^{2}} - {b} over {a ^{2} +b ^{2}} i RIGHT ≫]

[eqn: = LEFT ( {a} over {a ^{2} +b ^{2}} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {-b} over {a ^{2} +b ^{2}} RIGHT ) ^{2} = {1} over {a ^{2} +b ^{2}}]

[eqn: = {1} over {LEFT 《 z RIGHT 》}] (참)

15. [출제의도] 수의 규칙성을 찾아내 실생활 문제 해결하기

마름모 내부의 [eqn: 5`]개 숫자들은 표와 같은 규칙이 있다.

[eqn: 5`]개의 숫자들의 합은 [eqn: 5x`]이고 [eqn: x`]로 가능한 것은 [eqn: 8,````9,```12,````13,````14,````15,````16,`][eqn: 19,````20,````21,````22, ```` 23 `]이므로 가능하지 않는 것은 [eqn: 90`]이다.

16. [출제의도] 이항 연산의 역원과 항등원 구하기

ㄱ. 항등원을 [eqn: e]라 하면  [eqn: x◎e=xe+x+e=x``]

에서 [eqn: e=0]

ㄴ. [eqn: x◎y=xy+x+y=yx+y+x=y◎x``]

ㄷ. [eqn: x``◎``x``=x``◎``(-2)``]

[eqn: x ^{2} +x+x=-2x`+x`-2]

[eqn: x ^{2} +3x+2=0], [eqn: x=`-1,`-2]

17. [출제의도] 네 점이 한 원 위에 있을 조건증명하기

(증명)

점 [eqn: rm P`]를 지나는 지름 [eqn: rm bar{EF} `]를 그을 때, 점 [eqn: rm P`]는 [eqn: rm bar{AB} `]의 중점이므로 [eqn: rm bar{EF} `]와 [eqn: rm bar{AB} `]는 수직이다.

[eqn: rm bar{AB} `]와 [eqn: rm bar{CD} `]는 평행이므로 [eqn: rm bar{EF} `]는  [eqn: rm bar{CD} `]를 수직이등분한다.

∴[eqn: rm bar{PC} = bar{PD} `], [eqn: rm ANGLE PCD= ANGLE PDC`]

또한, [eqn: rm ANGLE PDC= ANGLE SPD`](∵엇각)

따라서 [eqn: rm ANGLE PCD= ANGLE SPD] 이다.

[eqn: rm ANGLE PCD+ ANGLE SRD=180 ^{◦}] 이므로,

[eqn: rm ANGLE SPD+ ANGLE SRD=180 ^{◦} `]

그러므로 네 점 [eqn: rm P,~D,~R,~S`]는 같은 원 위의 점이다.

18. [출제의도] 삼각형의 넓이를 이용한 황금비증명하기

(증명)

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: w]

[eqn: z]

[eqn: RMQ]

그림과 같이 [eqn: bar{rm AP it} =x], [eqn: bar{rm PD it} =y]

[eqn: bar{rm DQ it} =z], [eqn: bar{rm QC it} =w] 라 하면

[eqn: x(z+w)=][eqn: w(x+y)=][eqn: yz]

이 식을 정리하면

[eqn: x(z+w)=w(x+y)] … ㉠

[eqn: x(z+w)=][eqn: yz]        … ㉡

㉠의 식을 전개하면 [eqn: xz+xw=wx+wy]

[eqn: THEREFORE `xz=wy]

[eqn: {y} over {x} = {z} over {w} =k] 라 하면 [eqn: y=kx,``z=kw] 이고 이것을 ㉡ 에 대입하면 [eqn: x(kw+w)=kxkw]

[eqn: x,``y,``z,``w]는 [eqn: 0]이 아니므로 [eqn: k ^{2} -k-1=0]이다.

[eqn: k>0] 이므로 [eqn: k= {1+ sqrt {5}} over {2}]

[eqn: THEREFORE ```x:y=w:z][eqn: =1:] [eqn: {1+ sqrt {5}} over {2}]

즉, 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q] 는 각각 [eqn: rm bar{AD}], [eqn: rm bar{CD}] 를 황금분할하는 점이다.

19. [출제의도] 삼각비를 활용한 정육각형의 넓이 구하기

[eqn: rm Q]

[eqn: TRIANGLE rm ACE`]와 [eqn: TRIANGLE rm BDF`]의 공통부분은 정육각형이고 정삼각형 [eqn: rm APQ`]와 합동인 삼각형 [eqn: 6`]개로 이루어졌으며 점 [eqn: rmG`]는 원의 중심이고 [eqn: TRIANGLE rm ACE`]의 무게중심이다. [eqn: bar{rm AG it} =2`]이므로 [eqn: TRIANGLE rmAPQ`]는 높이 [eqn: 1`]인 정삼각형이므로 넓이는 [eqn: {sqrt {3}} over {3}]이다.

따라서 공통부분의 넓이는 [eqn: {sqrt {3}} over {3} TIMES 6=2 sqrt {3}]이다.

20. [출제의도] 삼각형의 닮음을 활용하여 일차연립방정식 풀기

[eqn: rm TRIANGLE ADE`]□[eqn: rm TRIANGLE CDB`]이고 [eqn: rm bar{AE} ``:`` bar{BC} =`1`:`3`]이므로 [eqn: rm TRIANGLE ADE`]의 넓이를 [eqn: a`]라 하면 [eqn: rm TRIANGLE CDB`]의 넓이는 [eqn: 9a`]이다. [eqn: rm TRIANGLE ABD`]의 넓이를 [eqn: b`]라 하면

[eqn: ````a+b=48````````……①# 9a+b=144````……②]

①과 ②에서 [eqn: rm TRIANGLE ABD=36`]이다.

21. [출제의도] 일차함수의 그래프 개형을 해석하여 이차함수의 그래프 개형 그리기

[eqn: y=ax+b`]에서 [eqn: a<0,````b>0`]

[eqn: y=cx+d`]에서 [eqn: c<0,```d>0`]

따라서 [eqn: y=(ax+b)(cx+d)]

[eqn: =acx ^{2} `+(ad+bc)x+bd]

[eqn: ac>0,````ad+bc<0,````bd>0`]이다.

또한, [eqn: y=ax+b`]와 [eqn: y=cx+d`]의 [eqn: x`]절편과

[eqn: y=(ax+b)(cx+d)]의 [eqn: x`]절편이 일치하는 그래프이다.

22. [출제의도] 복소수의 상등 이해하기

[eqn: (1+i)`x+(3-i)`y=9-7i]를 전개하여 정리하면

[eqn: (x+3y)+(x-y)`i=9-7i]

[eqn: x+3y`=9,``````x-y`=-7]

[eqn: x=-3,``y=4]

[eqn: THEREFORE `x ^{2} +y ^{2} =25]

23. [출제의도] 나머지 정리 이해하기

[eqn: `x ^{3} +ax ^{2} +8x+1]을 [eqn: x+2], [eqn: x-1]로 나눈 나머지가 같으므로

[eqn: -8+4a-16+1=1+a+8+1]

∴ [eqn: a=11]

24. [출제의도] 분모의 유리화와 이중근호 계산하기

[eqn: a+ {b} over {2- sqrt {2}} = sqrt {6-4 sqrt {2}}] [eqn: a+ {b(2+ sqrt {2} )} over {2} =2- sqrt {2}]

[eqn: (2a+2b)+b sqrt {2} =`4-2 sqrt {2}]

[eqn: a=4,`````b=-2] (∵[eqn: a,``b]가 유리수)

∴[eqn: 2a-b=10]

25. [출제의도] 무리수의 제곱수가 될 조건 구하기

[eqn: sqrt {45n} = sqrt {3 ^{2} TIMES 5 TIMES n} `]가 자연수가 될 조건은 [eqn: 3 ^{2} TIMES 5 TIMES n`]이 제곱수가 되어야 하므로
[eqn: n=5,```5 TIMES 2 ^{2} ,```5 TIMES 3 ^{2} ,```5 TIMES 4 ^{2} ,` CDOTS]

[eqn: 36-n`]은 제곱수이어야 하므로 두 조건을 만족하는 [eqn: n`]의 값은 [eqn: 20`]이다.

주방의 가로길이는 [eqn: sqrt {36-20} =4],

세로길이는 [eqn: sqrt {45 TIMES 20} -4=26]

∴ 주방의 넓이[eqn: =104]

26. [출제의도] 실생활과 관련된 수학 외적 문제 해결하기

추측할 수 있는 최대의 상자 수 [eqn: M=8`], 최소의 상자 수 [eqn: m=6`]이므로 [eqn: M+m=14]이다.

27. [출제의도] 곱셈공식을 활용하여 식의 값 구하기

[eqn: x ^{2`} +xy+y ^{2} = LEFT ( x+y RIGHT ) ^{2} -xy=10]

[eqn: xy=-1]

∴[eqn: x ^{3`} +y ^{3} = LEFT ( x+y RIGHT ) ^{3} -3xy LEFT ( x+y RIGHT ) =36]

28. [출제의도] 집합의 원소의 개수 구하기

학생 전체 집합을 [eqn: U`], 한국 대 토고 전을 시청하겠다는 학생들 집합을 [eqn: A], 프랑스 대 스위스 전을 시청하겠다는 학생들 집합을 [eqn: B]라 하자

즉, [eqn: n( U it )=40,~n( A it )=35,~n( B)=25`]이고

[eqn: n( A ^{C} SMALLINTER B ^{C} ` it )=2`]이므로 [eqn: n( A CUP B` it )=38`]이다.

[eqn: n( A CUP B` it )=n( A` it )+n( B` it )-n( A SMALLINTER B` it )`]

[eqn: =35+25-n(A∩B)=38]

따라서 [eqn: n( A SMALLINTER B)=22`]

∴[eqn: n( A it )`-n( A SMALLINTER B it )=13``]

29. [출제의도] 원주각과 중심각의 관계와 삼각비를 활용하고 삼각형의 넓이 구하기

점 [eqn: rm O`]에서 [eqn: rm bar{AC} `]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하자.

[eqn: ANGLE rm ABC= ANGLE rm ADC=150 ^{◦} `]이므로

[eqn: ANGLE rm AOC=60 ^{◦} `]이다. ([eqn: BECAUSE ANGLE rm APC=30 ^{◦} `])

따라서 [eqn: TRIANGLE rm AOC`]가 정삼각형이다.

[eqn: TRIANGLE rm APC`]의 넓이가 최대가 되려면 밑변 [eqn: rm bar{AC} `]의 길이가 일정하므로 높이가 최대이어야 한다. 즉, 점 [eqn: rm P]가 [eqn: rm bar{OH} `]의 연장선 위에 있을 때, 높이 [eqn: rm bar{PH} `]가 최대가 되므로 [eqn: rm bar{PH} = rm bar{OP} rm + bar{OH} =10+5 sqrt {3} `]

∴[eqn: TRIANGLE rm APC`]의 최대 넓이를 [eqn: S`]라고 하면

[eqn: S= {1} over {2} TIMES bar{rm AC it} TIMES bar{rm PH it}]

[eqn: = {1} over {2} TIMES 10 TIMES LEFT ( 10+5 sqrt {3} RIGHT )]

[eqn: =50+25 sqrt {3}]

따라서 [eqn: a+b=75`]

30. [출제의도] 비례식을 이용하여 실생활과 관련된 수학 외적 문제 해결하기

소형차와 중형차의 연료 탱크의 용량을 각각 [eqn: 3x`], [eqn: 4x`]라 하고, 연비를 각각 [eqn: ak,``bk`]라 하자.

(단, [eqn: x != 0`,`k != 0])

[eqn: 320km`] 주행 후 남은 연료량의 비는

[eqn: LEFT ( 3x- {320} over {ak} RIGHT ) ``:` LEFT ( 4x- {320} over {bk} RIGHT ) `=`7:10`]

[eqn: x= {1600} over {ak} - {1120} over {bk}]…㉠

[eqn: 400km`] 주행 후 남은 연료량의 비는

[eqn: LEFT ( 3x- {400} over {ak} RIGHT ) ``:` LEFT ( 4x- {400} over {bk} RIGHT ) `=`2:3]

[eqn: x= {1200} over {ak} - {800} over {bk}]…㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a:b=5:4]  ∴[eqn: ab=20]