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수학 A형 정답

1	③	2	①	3	①	4	②	5	①
6	⑤	7	②	8	④	9	④	10	⑤
11	④	12	②	13	⑤	14	③	15	②
16	①	17	④	18	③	19	⑤	20	③
21	③	22	[eqn: 12]	23	[eqn: 24]	24	[eqn: 4]	25	[eqn: 11]
26	[eqn: 160]	27	[eqn: 6]	28	[eqn: 70]	29	[eqn: 20]	30	[eqn: 25]

해 설

1. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 식의 값을 계산한다.

[eqn: 16 ^{{3} over {4}} ` TIMES `2 ^{-3} `]

[eqn: = LEFT ( 2 ^{4} RIGHT ) ^{{3} over {4}} TIMES 2 ^{-3}]

[eqn: =2 ^{3} `times`2 ^{-3}]

[eqn: =8` TIMES {1} over {8}]

[eqn: =1]

2. [출제의도] 행렬의 연산을 이해하고 행렬의 뺄셈을 계산한다.

[eqn: A-B]

[eqn: = {pmatrix{`2&~-1#`3&```````~4}} - {pmatrix{`-2&~1`#````````1&~2`}} `]

[eqn: = {pmatrix{4&``-2#2&```````````2}}]

따라서 행렬 [eqn: A-B`]의 모든 성분의 합은 [eqn: 6`]이다.

3. [출제의도] 극한의 성질을 이용하여 극한값을 계산한다.

[eqn: lim _{n -> INF } {{LEFT ( 2n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n-3 RIGHT )} over {4n ^{2} +5}} `]

[eqn: = lim _{n->inf} {{4n ^{2} -4n-3} over {4n ^{2} +5}}]

[eqn: = lim _{n->inf} {{4- {4} over {n} - {3} over {n ^{2}}} over {4+ {5} over {n ^{2}}}}]

[eqn: = {4} over {4}]

[eqn: =1]

4. [출제의도] 등차수열의 성질을 이해한다.

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a`], 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a _{3} =10``]에서 [eqn: a+2d=10] … ㉠

[eqn: a _{4} -a _{2} =4]에서

[eqn: LEFT ( a+3d RIGHT ) - LEFT ( a+d RIGHT ) =4`]    ∴ [eqn: d=2]

㉠에 대입하면 [eqn: a=6`]이다.

∴ [eqn: a _{8} =a+7d][eqn: =6+7`times2=20]

5. [출제의도] 지수함수의 성질을 이용하여 지수방정식의 해를 구한다.

[eqn: 9 ^{x} =27 ^{2x-4}]에서

[eqn: 3 ^{2x} =3 ^{3 LEFT ( 2x-4 RIGHT )}]

지수함수는 일대일함수이므로

[eqn: 2x=3 LEFT ( 2x-4 RIGHT )]

∴ [eqn: x=3]

6. [출제의도] 등비중항의 성질을 이해한다.

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: a]이고 공비가 [eqn: {1} over {2}]인 등비수열이므로

[eqn: a _{n} =a LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}] [eqn: LEFT ( n`ge`1 RIGHT )]

세 수 [eqn: a _{3}], [eqn: 2], [eqn: a _{7}]이 이 순서대로 등비수열을 이루므로

[eqn: 2 ^{2} =a _{3} `times`a _{7}][eqn: =a LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} `times`a LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6}][eqn: = {a ^{2}} over {2 ^{8}}]

[eqn: a ^{2} =2 ^{10}]

∴ [eqn: a=32`] (∵ [eqn: a>0])

7. [출제의도] 그래프의 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성질을 이해한다.

행렬 [eqn: M`` ^{2}]의 [eqn: LEFT ( i,``i RIGHT )]성분은 [eqn: i]번째 꼭짓점에 연결된 변의 개수와 같으므로

[eqn: a _{11} +a _{22} +a _{33} +a _{44}][eqn: =2+2+3+3=10]

[다른 풀이]

행렬 [eqn: M`]과 [eqn: M ^{2}]을 구하면

[eqn: M= {pmatrix{0&0&1&1#0&0&1&1#1&1&0&1#1&1&1&0}}], [eqn: M ^{`2} = {pmatrix{2&2&1&1#2&2&1&1#1&1&3&2#1&1&2&3}}]

이므로

[eqn: a _{11} +a _{22} +a _{33} +a _{44}][eqn: =2+2+3+3=10]

8. [출제의도] 연립일차방정식의 해가 무수히 많을 조건과 역행렬의 성질을 이해한다.

주어진 연립방정식을 정리하면

[eqn: {cases{3x-3y=kx&#3x+5y=-ky&}}]

[eqn: {cases{LEFT ( 3-k RIGHT ) x-3y=0&#3x+ LEFT ( 5+k RIGHT ) y=0&}}]

이다. 이를 다시 행렬로 나타내면

[eqn: {pmatrix{`3-k`&`-3`#`3`&`5+k`}} {pmatrix{`x`#`y`}} = {pmatrix{`0`#`0`}} ``]

이므로 [eqn: x=0,````y=0`]이외의 해를 갖기 위해서는 행렬 [eqn: {pmatrix{`3-k`&`-3`#`3`&`5+k`}} `]가 역행렬을 갖지 않아야 한다.

[eqn: (3-k)(5+k)- LEFT ( -9 RIGHT ) =0]

[eqn: k ^{2} +2k-24=0``]

[eqn: (k-4)(k+6)=0]

∴ [eqn: k=-6`] 또는 [eqn: k=4]

따라서 구하는 양수 [eqn: k`]의 값은 [eqn: 4`]이다.

9. [출제의도] 등비수열의 일반항을 구하고 무한등비급수의 합을 구한다.

[eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{n+1} = {7} over {2} a _{n}][eqn: LEFT ( n`ge`1 RIGHT )]에서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 1`]이고 공비가 [eqn: {7} over {2}]인 등비수열이므로

[eqn: a _{n} = LEFT ( {7} over {2} RIGHT ) ^{n-1}] [eqn: LEFT ( n`ge`1 RIGHT )]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {10} over {a _{n}}][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } 10` TIMES LEFT ( {2} over {7} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: = {10} over {1- {2} over {7}}]

[eqn: =14]

10. [출제의도] 지수함수의 성질을 이해하여 문제를 해결한다.

곡선 [eqn: y=f(x)`]와 [eqn: y=h(x)`]는 [eqn: y`]축 대칭이므로
[eqn: h LEFT ( 2 RIGHT ) =f(-2)`]에서 점 [eqn: rm R`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 2`], 점 [eqn: rm P`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: -2`]이다. 점 [eqn: rmQ`]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: alpha`]라 하면

[eqn: rm {bar{PQ}} `:` {bar{QR}} =2`:`1`]에서 [eqn: rm {bar{PQ}} =2 {bar{QR`}}]이므로

[eqn: alpha+2=2(2-alpha)`]

∴ [eqn: alpha = {2} over {3}]

[eqn: g(alpha)=2``]에서 [eqn: b ^{{2} over {3}} =2`]

∴ [eqn: b=2 ^{{3} over {2}} `]

[eqn: g(4)=b ^{4} `][eqn: = LEFT ( 2 ^{{3} over {2}} RIGHT ) ^{4} `][eqn: =2 ^{6} =64`]

[다른 풀이]

세 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`], [eqn: rmR`]의 [eqn: y`]좌표는 모두 [eqn: 2`]이므로 세 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`], [eqn: rmR`]의 [eqn: x`]좌표는 각각 [eqn: -log _{a} `2], [eqn: log _{b} `2], [eqn: log _{a} `2]이다.

[eqn: {bar{rm PQ it}} : {bar{rm QR it}} =2:1]에서 [eqn: rm {bar{PQ}} =2 {bar{QR`}}]이므로

[eqn: log_b 2 - (-log_a 2 )=2 LEFT ( log _{a} `2-log _{b} `2 RIGHT )]

양변을 밑이 [eqn: 2`]인 로그로 변환하면

[eqn: {1} over {log _{2} `a} = {3} over {log _{2} `b}]

[eqn: log _{2} `b=3`log _{2} `a][eqn: =log` _{2} a ^{3}]

∴ [eqn: b=a ^{3}]

[eqn: h(2)=2`]에서 [eqn: a ^{2} =2`]

∴ [eqn: a= sqrt {2}] (∵ [eqn: a>1`])

∴ [eqn: b=a ^{3} = LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) ^{3} =2 sqrt {2}]

따라서 [eqn: g` LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{x}]이다.

∴ [eqn: g(4)= LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{4} = LEFT ( 2 ^{{3} over {2}} RIGHT ) ^{4} =2 ^{6} =64]

11. [출제의도] 지수부등식의 해를 구한다.

[eqn: 4 ^{f(x)} -2 ^{1+f(x)} <8]에서

[eqn: 2 ^{2f LEFT ( x RIGHT )} -2`times`2 ^{f LEFT ( x RIGHT )} -8<0]

[eqn: (2 ^{f(x)} +2)(2 ^{f(x)} -4)<0]

[eqn: -2<2 ^{f(x)} <4]

[eqn: 2 ^{f(x)} >0`]이므로 [eqn: 0<2 ^{f LEFT ( x RIGHT )} <2 ^{2}]

∴ [eqn: f(x)<2]

[eqn: x ^{2} -x-4<2`]에서

[eqn: (x+2)(x-3)<0]

∴ [eqn: -2<x<3`]

부등식을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 4`]이다.

12. [출제의도] 경우의 수를 이용하여 수열의 일반항을 구하고 수열의 극한값을 구한다.

[eqn: 2n`]장의 카드에서 세 장의 카드를 동시에 뽑을 때, 세 장의 카드에 적힌 수의 합이 짝수인 경우는 세 수 모두 짝수인 경우와 세 수 중 두 수는 홀수이고 나머지 한 수는 짝수인 경우가 있다.

ⅰ) 세 수가 모두 짝수인 경우의 수는 짝수 [eqn: n]개 중 3개를 택하는 경우의 수이므로

[eqn: {} _{n} rm C _{3} = it {n LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n-2 RIGHT )} over {3!}][eqn: = it {n LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n-2 RIGHT )} over {6}]

ⅱ) 세 수 중 두 수는 홀수이고 나머지 한 수는 짝수인 경우의 수는 홀수 [eqn: n]개 중 [eqn: 2`]개를 택하고 짝수 [eqn: n`]개 중 한 개를 택하는 경우의 수이므로

[eqn: {} _{n} \C _{2} ` TIMES ` _{it n} \C _{1}][eqn: = {n LEFT ( n-1 RIGHT )} over {2!} `times`n][eqn: = {n ^{2} LEFT ( n-1 RIGHT )} over {2}]

ⅰ), ⅱ)에서

[eqn: a _{n} = {n LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n-2 RIGHT )} over {6} + {n ^{2} LEFT ( n-1 RIGHT )} over {2}]

[eqn: = {n LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n-2+3n RIGHT )} over {6}]

[eqn: = {n LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( 2n-1 RIGHT )} over {3}]

∴ [eqn: lim _{n->inf} {{a _{n}} over {n ^{3}}}][eqn: = lim _{n -> INF } {{n LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( 2n-1 RIGHT )} over {3n ^{3}}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{LEFT ( 1- {1} over {n} RIGHT ) LEFT ( 2- {1} over {n} RIGHT )} over {3}}]

[eqn: = {2} over {3}]

13. [출제의도] 행렬의 거듭제곱과 역행렬의 성질을 이해한다.

직선 [eqn: l _{5} `]의 [eqn: x`]절편과 [eqn: y`]절편이 각각 [eqn: 3` LEFT ( ` {3} over {4} RIGHT ) ^{5}`], [eqn: 4` LEFT ( ` {3} over {4} RIGHT ) ^{5}`]이므로

[eqn: P= {pmatrix{3 LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{5}&0#0&4 LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{5}}}]

[eqn: A= {pmatrix{{3} over {4}&``0#0&`` {3} over {4}}} `]에서

[eqn: A ^{5} = {pmatrix{LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{5}&0#0&LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{5}}}]이고 [eqn: LEFT ( A ^{5} RIGHT ) ^{-1} = {pmatrix{LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{5}&0#0&LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{5}}}]

[eqn: P=A ^{5} B`]에서

[eqn: B= LEFT ( A ^{5} RIGHT ) ^{-1} P`][eqn: = {pmatrix{LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{5}&0#0&LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{5}}} ` {pmatrix{3 LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{5}&0#0&4 LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{5}}}][eqn: = {pmatrix{3&0#0&4}}]

따라서 행렬 [eqn: B`]의 모든 성분의 합은 [eqn: 7`]이다.

14. [출제의도] 상용로그의 성질을 이용하여 부등식의 해를 구한다.

직선 [eqn: l _{n} `]이 점 [eqn: LEFT ( 3 LEFT ( 3 over 4 RIGHT )^n ,```0RIGHT)]과 [eqn: LEFT ( 0,```4 LEFT ( 3 over 4 RIGHT )^n RIGHT)]을 지나므로  직선 [eqn: l _{n}]과 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는

[eqn: {1} over {2} ` TIMES 3` LEFT ( ` {3} over {4} ` RIGHT ) ^{n} ` TIMES 4` LEFT ( ` {3} over {4} ` RIGHT ) ^{n} `][eqn: =6 LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{2n}]

이고 이 넓이가 [eqn: {1} over {10} `] 이하가 되어야 하므로

[eqn: 6` LEFT ( ` {3} over {4} ` RIGHT ) ^{2n} ` LEQ ` {1} over {10}]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: log``6`+`2n` LEFT ( log`3-2log`2 RIGHT ) ` LEQ -1]

[eqn: n` GEQ ` {1+log`2+log`3} over {2 LEFT ( 2log``2-log`3 RIGHT )}]

[eqn: n`ge][eqn: {1+0.30+0.48} over {2 LEFT ( 0.60-0.48 RIGHT )}]

[eqn: n`ge` {1.78} over {0.24}][eqn: =7.4 TIMES TIMES]

따라서 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: 8`]이다.

15. [출제의도] 등차수열의 합의 성질을 이용하여 수열의 항을 추론한다.

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 30`]이고 공차가 [eqn: -d`]인 등차수열이므로

[eqn: a _{n} =30- LEFT ( n-1 RIGHT ) d`] ([eqn: n`ge`1])

이때

[eqn: a _{m} +a _{m+1} +`cdots`+a _{m+k}]

[eqn: = {LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT { 30- LEFT ( m-1 RIGHT ) d+30- LEFT ( m+k-1 RIGHT ) d RIGHT }} over {2}]

[eqn: = {LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT { 60- LEFT ( 2m+k-2 RIGHT ) d RIGHT }} over {2}][eqn: =0]

[eqn: k+1>0]이므로

[eqn: LEFT ( 2m+k-2 RIGHT ) d=60]

[eqn: 2m+k=2+ {60} over {d}]

이를 만족하는 자연수 [eqn: m], [eqn: k`]이 존재하기 위해서는 [eqn: d]가 [eqn: 60`]의 약수이어야 한다.

[eqn: 60=2 ^{2} `times`3`times`5]이므로 [eqn: d]의 개수는 [eqn: 3`times`2`times`2=12]

[다른 풀이]

등차수열의 연속된 [eqn: LEFT ( k+1 RIGHT )]개의 항의 합이 [eqn: 0`]이기 위한 수열의 조건은 다음과 같다.

ⅰ) [eqn: k+1]이 홀수일 때

[eqn: CDOTS ,`d,```0,``-d`,` CDOTS]

이때 [eqn: d`]는 [eqn: 30`]의 양의 약수가 되어야 하므로

[eqn: d=1,``2,``3,``5,``6,`10``,15,``30`]

ⅱ) [eqn: k+1]이 짝수일 때

[eqn: CDOTS ,` {d} over {2} ,`- {d} over {2} `,` CDOTS]

이때 [eqn: 30-(n-1)d= {d} over {2}]에서

[eqn: n= {1} over {2} + {30} over {d}]

[eqn: n`]은 자연수이므로

[eqn: d=`4,``12,``20,``60`]

ⅰ), ⅱ)에서 구하는 [eqn: d`]의 개수는 [eqn: 12`]이다.

16. [출제의도] 귀납적으로 정의된 수열의 일반항을 구하는 과정을 증명한다.

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }`]의 모든 항이 [eqn: 0`]이 아니므로

[eqn: {a _{n}} over {n} - {a _{n+1}} over {n+1} = {a _{n} a _{n+1}} over {n+1}]

의 양변에 [eqn: {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {a _{n} a _{n+1}}]을 곱하면

[eqn: {n+1} over {a _{n+1}} - {n} over {a _{n}} =]

[eqn: n]

이다. [eqn: b _{n} = {n} over {a _{n}}]이라 하면 [eqn: b _{1} = {1} over {2}]이고

[eqn: b _{n+1} -b _{n} `=`]

[eqn: n]

([eqn: n`ge`1`])

이므로

[eqn: b _{n} = {1} over {2} + sum _{k=1} ^{n-1} k= {1} over {2} + {n(n-1)} over {2} = {n ^{2} -n+1} over {2}]

[eqn: a _{n} =` {n} over {b _{n}} =]

[eqn: {2n} over {n ^{2} -n+1}]

따라서 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =n], [eqn: g(n)= {2n} over {n ^{2} -n+1}]이다.

∴ [eqn: f(13)g(4)=13 TIMES {8} over {13} =8`]

17. [출제의도] 도형의 성질을 이용하여 무한등비급수에 관한 문제를 해결한다.

[eqn: bar{\P_1 B_1} =bar{\B_1 Q_1}=2`], [eqn: angle \P_1 B_1 Q_1 =90°]이므로

직각이등변삼각형 [eqn: \P_1 B_1 Q_1`]의 넓이는

[eqn: 1over2 times 2^2 =2`]이다.

[eqn: bar{\B_1 D_1 } `]이 정사각형 [eqn: \A_2 ``B_2 ``C_2`` D_2`]의 두 변 [eqn: \B_2 C_2`], [eqn: \D_2 A_2`]와 만나는 점을 각각 [eqn: \M_1`], [eqn: \N_1`]이라 하고, 정사각형 [eqn: \A_2 ``B_2 ``C_2`` D_2`]의 한 변의 길이를 [eqn: x`]라 하면

[eqn: bar{\B_1 M_1 } =root2], [eqn: bar{\M_1 N_1} =x], [eqn: bar{\N_1 D_1 } =bar{\A_2 N_1 }= x over2]

이고 [eqn: bar{\B_1 D_1 } = 3root2`]이므로

[eqn: bar{\B_1 D_1 } =bar{\B_1 M_1 }+bar{\M_1 N_1 }+bar{\N_1 D_1 }]

[eqn: = sqrt {2} +x+ {x} over {2} =3 sqrt {2}]

∴ [eqn: x= {4root2}over3]

따라서 두 정사각형 [eqn: \A_1 ``B_1 ``C_1`` D_1`]과 [eqn: \A_2 ``B_2 ``C_2`` D_2`]의 닮음비는

[eqn: bar{rm A_1 B_1 }`:bar{rm A_2 B_2 }= 3`:{4root2} over3 =9`:4root2]

이다.

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 그림 [eqn: R_n`]은 정사각형과 직각이등변삼각형으로 이루어진 닮음인 도형이므로

그림 [eqn: R_1`]에 색칠되어 있는 부분의 넓이 [eqn: S_1`]과

그림 [eqn: R_2`]에 색칠되어 있는 부분의 넓이 [eqn: S_2 `]의 비는

[eqn: S _{1} `:`S _{2} `=][eqn: 9^2 : (4root2 )^2 =81:32`]

그림에서 그림 [eqn: R_1`]에 색칠되어 있는 부분의 넓이 [eqn: S_1 `]은 정사각형 [eqn: \A_2 B_2 C_2 D_2`]의 넓이와 직각이등변삼각형 [eqn: \P_1 B_1 Q_1`]의 넓이의 합이므로 수열 [eqn: left{ S_n right}`]은

첫째항이 [eqn: S_1 = 1over2 times2times2 + left( {4root2}over3}right)^2 = 50 over9]이고

공비가 [eqn: 32over81`]인 등비수열이다.

∴ [eqn: sum_n=1^inf S_n = {50over9}over{1- 32 over81} = 450 over49]

[다른 풀이]

정사각형 [eqn: \A_1 B_1 C_1 D_1`]의 한 변의 길이가 [eqn: 3`]이므로

[eqn: bar{\B_1 D_1 } =3root2]

꼭짓점 [eqn: \D_1 `]에서 선분 [eqn: \P_1 Q_1`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \M_1`]이라 하면 [eqn: bar{\D_1 M_1} =2root2`]이다.

직선 [eqn: \D_1 A_1`]과 직선 [eqn: \P_1 Q_1`]의 교점을 [eqn: \T_1], 직선 [eqn: \C_ 1 D_1`]과 직선 [eqn: \P_1 Q_1`]의 교점을 [eqn: \R_1]이라 하자.

이때 정사각형 [eqn: \A_2 B_2 C_2 D_2`]의 넓이는 직각이등변삼각형 [eqn: \T_1 R_1 D_1`]의 넓이의 [eqn: 4over9`]이다.

직각이등변삼각형 [eqn: \T_1 R_1 D_1`]은 높이가 [eqn: 2root2`]이고, 밑변의 길이가 [eqn: 4root2`]이므로 직각이등변삼각형 [eqn: \T_1 R_1 D_1`]의 넓이는

[eqn: 1over2 times 2root2 times4root2 = 8]

이고, 정사각형 [eqn: \A_2 B_2 C_2 D_2`]의 넓이는

[eqn: 8 times 4 over9 = 32over9`]

이다. 따라서 정사각형 [eqn: \A_2 B_2 C_2 D_2`]의 한 변의 길이는

[eqn: bar{rm A_2 B_2 }= root{32over9}={4root2} over3`]

∴ [eqn: {bar{rm A _{1} B _{1} it}} `: {bar{rm A _{2} B _{2} it}} =3`: {4 sqrt {2}} over {3} =9`:4 sqrt {2}]

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 그림 [eqn: R_n`]은 정사각형과 직각이등변삼각형으로 이루어진 닮음인 도형이므로

그림 [eqn: R_1`]에 색칠되어 있는 부분의 넓이 [eqn: S_1`]과

그림 [eqn: R_2`]에 색칠되어 있는 부분의 넓이 [eqn: S_2 `]의 비는

[eqn: S _{1} `:`S _{2} `=][eqn: 9^2 : (4root2 )^2 =81:32`]

그림에서 그림 [eqn: R_1`]에 색칠되어 있는 부분의 넓이 [eqn: S_1 `]은 정사각형 [eqn: \A_2 B_2 C_2 D_2`]의 넓이와 직각이등변삼각형 [eqn: \P_1 B_1 Q_1`]의 넓이의 합이므로 수열 [eqn: left{ S_n right}`]은

첫째항이 [eqn: S_1 = 1over2 times2times2 + left( {4root2}over3}right)^2 = 50 over9]이고

공비가 [eqn: 32over81`]인 등비수열이다.

∴ [eqn: sum_n=1^inf S_n = {50over9}over{1- 32 over81} = 450 over49]

18. [출제의도] 등차수열의 일반항과 합의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.

[eqn: 2a _{n} `+n`=`p`]에

[eqn: n=1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: cdots`], [eqn: 20`]을 대입하면

[eqn: 2a _{1} +1=p`]

[eqn: 2a _{2} +2=p`]

[eqn: cdots`]

[eqn: 2a _{20} +20=p`]

변끼리 더하면

[eqn: 2(a_1 +a_2 + `CDOTS` +a_20 ) + (1+2+` CDOTS`+20)=20p]

[eqn: 2p`+` {20` TIMES `21} over {2} `=`20p]

[eqn: 18p=210`]

∴ [eqn: p`=` {35} over {3}]

[eqn: 2a _{10} +10= {35} over {3} `]에서

[eqn: a _{10} `=` {1} over {2} LEFT ( ` {35} over {3} `-`10` RIGHT ) `=` {5} over {6}]

19. [출제의도] 역행렬의 성질을 이해하고 주어진 조건에 맞는 행렬의 성질을 추론한다.

ㄱ. [eqn: A ^{2} -BA=E`], [eqn: LEFT ( A-B` RIGHT ) A=E`]

∴ [eqn: A ^{-1} =A-B`]

ㄴ. ㄱ에 의하여 [eqn: LEFT ( A-B` RIGHT ) A=E`=`A(A-B)`]

[eqn: A ^{2} -BA`=`A^2 -AB]

[eqn: A ^{2} =AB+E`]

∴ [eqn: AB=BA`]

[eqn: LEFT ( A-B+2E` RIGHT ) LEFT ( A-B-2E` RIGHT ) =O`]에서

[eqn: LEFT ( A-B` RIGHT ) ^{2} -4E ^{2} =O`]이고 [eqn: AB=BA`]이므로

[eqn: A ^{2} -2AB+B ^{2} -4E=O`]

∴ [eqn: A ^{2} +B ^{2} =2AB+4E`]

ㄷ. ㄱ에서 [eqn: LEFT ( A-B` RIGHT ) ^{-1} =A]이고,

ㄴ의 [eqn: LEFT ( A-B` RIGHT ) ^{2} =4E`]에서

[eqn: LEFT ( A-B` RIGHT ) ^{-1} = {1} over {4} LEFT ( A-B` RIGHT ) `]

역행렬을 가지는 행렬의 역행렬은 유일하므로

[eqn: LEFT ( A-B` RIGHT ) ^{-1} `=`][eqn: A= {1} over {4} LEFT ( A-B` RIGHT ) `]

∴ [eqn: B=-3A]

따라서 [eqn: B `]의 모든 성분의 합은 [eqn: A`]의 모든 성분의     합에 [eqn: -3`]을 곱한 값과 같으므로 [eqn: A`]의 모든 성분의     합이 [eqn: 2`]이면 [eqn: B`]의 모든 성분의 합은 [eqn: -6`]이다.

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[다른 풀이]

ㄷ. [eqn: (A-B)^-1 =A`]이고 [eqn: A ^{2} =BA+E`]이므로

[eqn: A ^{2} =BA+E`]을 [eqn: A ^{2} +B ^{2} =2AB+4E`]에 대입하면

[eqn: `BA+E+B ^{2} =2AB+4E`]

[eqn: ``B ^{2} =AB+3E`] (∵ [eqn: AB=BA`])

[eqn: `(A-B)B=-3E``]

∴ [eqn: `A=LEFT ( A-B RIGHT ) ^{-1} =`- {1} over {3} B`]

∴ [eqn: B`=`-3A]

20. [출제의도] 수열의 극한의 성질을 이용하여 극한값을 구한다.

조건 (가)에서 양변을 [eqn: 4^n`]으로 나누면

[eqn: 1< {a _{n}} over {4 ^{n}} <1+ {1} over {4 ^{n}} `]

[eqn: lim _{n -> INF } {``1}][eqn: = lim _{n -> INF } {` LEFT ( 1+ {1} over {4 ^{n}} RIGHT ) `} =1`]이므로

[eqn: lim_n->inf a_n over4^n =1] … ㉠

조건 (나)에서

[eqn: 2+2^2 +2^3 +`cdots`+2^n = {2(2^n -1)}over2-1]

[eqn: = 2^n+1 -2]

[eqn: 2^n+1 -2 < b_n < 2^n+1`]에서 양면을 [eqn: 2^n `]으로 나누면

[eqn: 2- 2over2^n < b_n over2^n < 2]

[eqn: lim _{n -> INF } {` LEFT ( 2- {2} over {2 ^{n}} RIGHT )} `][eqn: = lim _{n -> INF } {`2`} =2`]이므로

[eqn: lim_n->inf b_n over2^n =2] … ㉡

㉠, ㉡에 의하여

[eqn: lim_n->inf {4`a_n +b_n}over{2`a_n + 2^n `b_n}]

[eqn: =lim_n->inf {{4`a_n +b_n}over4^n }over{{2a_n + 2^n ` b_n}over4^n}}]

[eqn: =lim_n->inf {4times a_n over4^n + b_n over2^n times 1over2^n}over{2times a_n over4^n + b^n over2^n}]

[eqn: = 4 over2+2 =1]

21. [출제의도] 수열의 규칙성을 찾아서 수열을 추론하고 합을 구한다.

[eqn: n` GEQ2`]일 때, 제 [eqn: n-1`]행의 맨 오른쪽 끝의 수는

[eqn: 1+2+3+`CDOTS`+`(n-1)][eqn: =` sum _{ k`=`1} ^{ n-1}`k`=` {n(n-1)} over 2 `]이다.

따라서 [eqn: a_n `]은 [eqn: `n(n-1) over 2]보다 큰 수 중 가장 작은 [eqn: n`]의 배수이다.

ⅰ) [eqn: n`]이 홀수일 때,

[eqn: `n(n-1) over 2 ``]이 [eqn: n`]의 배수이므로

[eqn: a_n `=`n(n-1) over 2 +n `=`n(n+1) over 2]

[eqn: `a_{2n-1} `=`{(2n-1)(2n-1+1) }over 2 `=`2n^2 -n]

ⅱ) [eqn: n`]이 짝수일 때,

[eqn: `n(n-1) over 2 ``=`n` TIMES n-2 over 2 `+ n over 2 `]이므로

[eqn: a_n `=`n(n-1) over 2 + n over 2 `=`1 over 2 n^2]

[eqn: a_{2n} `=`1 over 2 (2n)^2 `=`2n^2]

∴ [eqn: sum _{n=1} ^{30} `a _{n} `=` sum _{n=1} ^{15} `(a _{2n-1} `+`a _{2n} )]

[eqn: =` sum _{n=1} ^{15} `(2n ^{2} -n+2n ^{2} )]

[eqn: =`4 sum _{n=`1} ^{15} `n ^{2} `-` sum _{n=1} ^{15} `n`]

[eqn: =`4 TIMES {15` TIMES `16` TIMES `31} over {6} `-` {15` TIMES `16} over {2} `]

[eqn: =4840`]

22. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 로그방정식의 해를 구한다.

[eqn: log _{2} `x=1+log _{2} ` LEFT ( x-6 RIGHT ) `]

[eqn: log _{2} `x=log _{2} `2 LEFT ( x-6 RIGHT )]

[eqn: x=2 LEFT ( x-6 RIGHT )]

∴ [eqn: x=12`]

23. [출제의도] 행렬의 연산과 거듭제곱을 계산한다.

[eqn: A= {pmatrix{2&``-1#1&``-2}} `]에서

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{2&``-1#1&``-2}} ` {pmatrix{2&``-1#1&``-2}} = {pmatrix{3&``0#0&``3}} =3E`] (단, [eqn: E`]는 단위행렬)

이므로 [eqn: A ^{3} =3A`], [eqn: A ^{4} =9E`]이다.

[eqn: A+A ^{2} +A ^{3} +A ^{4}]

[eqn: =A+3E+3A+9E`]

[eqn: =4A+12E`]

[eqn: =4 {pmatrix{2&```-1#1&```-2}} `+`12 {pmatrix{1&``0#0&``1}}]

[eqn: = {pmatrix{20&~-4#4&~````````4}}]

따라서 구하는 행렬의 모든 성분의 합은

[eqn: 20+ LEFT ( -4 RIGHT ) +4+4=24]

24. [출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해한다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( sqrt {n ^{2} +an} -n+2a RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{n ^{2} +an-(n-2a) ^{2}} over {sqrt {n ^{2} +an} +n-2a}} `]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{5an-4a ^{2}} over {sqrt {n ^{2} +an} +n-2a}} `]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{5a- {4a ^{2}} over {n}} over {sqrt {1+ {a} over {n}} +1- {2a} over {n}}} `]

[eqn: = {5a} over {2}][eqn: =10]

∴ [eqn: a=4]

25. [출제의도] 행렬을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

직선 [eqn: rmOA`]의 방정식은

[eqn: y= {5} over {4} x`~]

∴ [eqn: 5x-4y=0] … ㉠

직선 [eqn: rm BC`]의 방정식은

[eqn: y-3=- {2} over {7} LEFT ( x+3 RIGHT )]

∴ [eqn: 2x+7y=15]  … ㉡

㉠, ㉡의 연립방정식을 행렬로 나타내면

[eqn: {pmatrix{`5&`-4`#`2&````````7}} `` {pmatrix{`x`#`y`}} = {pmatrix{`0`#`15`}} `]

∴ [eqn: a=-4], [eqn: b=15]

∴ [eqn: a+b=11`]

26. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

주어진 식을 정리하면

[eqn: log {Q _{`t}} over {Q _{`0}} =kt`]

[eqn: {Q _{t}} over {Q _{0}} =10 ^{kt}]

충전된 전하량이 [eqn: Q _{`0} `]인 축전기에 전구를 연결한 지 [eqn: a`]초 후에 남은 전하량은 [eqn: Q _{a} = {1} over {4} Q _{`0} `]이므로

[eqn: {Q _{a}} over {Q _{0}} = {1} over {4} =10 ^{ak}] … ㉠

충전된 전하량이 [eqn: Q _{`0} `]인 축전기에 전구를 연결한 지 [eqn: b`]초 후에 남은 전하량은 [eqn: Q _{b} = {1} over {10} Q _{`0} `]이므로

[eqn: {Q _{`b}} over {Q _{`0}} = {1} over {10} =10 ^{bk}] … ㉡

충전된 전하량이 [eqn: Q _{`0} `]인 축전기에 전구를 연결한 지 [eqn: 2a+b`]초 후에 남은 전하량은 [eqn: Q _{`2a+b} `]라 하면 ㉠, ㉡에 의해

[eqn: {Q _{`2a+b}} over {Q _{`0}} =10 ^{LEFT ( 2a+b RIGHT ) k} `][eqn: =10 ^{2ak} 10 ^{bk}][eqn: = LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{2} `times` {1} over {10}][eqn: = {1} over {160}]

∴ [eqn: Q _{2a+b} = {1} over {160} Q _{`0}]

∴ [eqn: p=160`]

[다른 풀이]

[eqn: a`]초 후에 남은 전하량은 [eqn: Q _{a} = {1} over {4} Q _{`0} `]이므로

[eqn: log {1} over {4} Q` _{0} -logQ _{`0} =ak`]

[eqn: log` {1} over {4} =ak`]

[eqn: b`]초 후에 남은 전하량은 [eqn: Q _{b} = {1} over {10} Q _{`0} `]이므로

[eqn: log {1} over {10} Q` _{0} -logQ _{`0} =bk`]

[eqn: log` {1} over {10} =bk`]

[eqn: 2a+b`]초 후에 남은 전하량은 [eqn: {Q` _{`0}} over {p} `]이므로

[eqn: log {Q _{0}} over {p} -logQ _{`0} =(2a+b)k`]

[eqn: log {1} over {p} =(2a+b)k`=`2ak+bk`]

[eqn: =`2log {1} over {4} +log {1} over {10}]

[eqn: =`log {1} over {160}]

∴ [eqn: p=160`]

27. [출제의도] 등차수열의 성질과 합을 이용하여 극한값을 구한다.

수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT } `]의 일반항은 [eqn: a _{n} =1+(n-1) TIMES 6`][eqn: =6n-5`]이다.

∴ [eqn: a _{2n} =12n-5`]

[eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} a _{k} `]

[eqn: = sum _{k=1} ^{n} (6k-5)`]

[eqn: =6 sum _{k=1} ^{n} k-5n`]

[eqn: =6 TIMES {n(n+1)} over {2} -5n`]

[eqn: =3n ^{2} -2n`]

∴ [eqn: S _{2n} =3 TIMES (2n) ^{2} -2 TIMES (2n)`][eqn: =12n ^{2} -4n`]

[eqn: a _{n+1} -a _{n} =6`] ([eqn: n` GEQ `1])이므로

[eqn: T _{2n} =-a _{1} +a _{2} -a _{3} +` CDOTS `+ LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2n} a _{2n}]

[eqn: = LEFT ( -a _{1} +a _{2} RIGHT ) + LEFT ( -a _{3} +a _{4} RIGHT ) +`cdots`+ LEFT ( -a _{2n-1} +a _{2n} RIGHT )]

[eqn: =6+6+` CDOTS `+6]

[eqn: =6n]

∴[eqn: lim _{n -> INF } {{a _{2n} T _{2n}} over {S _{2n}}} `]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{LEFT ( 12n-5 RIGHT ) ` TIMES `6n} over {12n ^{2} -4n} `}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{36n-15} over {6n-2} ``}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{36- {15} over {n}} over {6- {2} over {n}}}]

[eqn: = {36} over {6} =6]

28. [출제의도] 로그함수의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.

[eqn: {bar{rm PQ it}} `=log _{{1} over {9}} a-log _{3} a=- {3} over {2} rm log _{3} ` it a]

[eqn: {bar{rm SR it}} `=log _{3} `b-log _{{1} over {9}} `b= {3} over {2} rm log _{3} it `b]

[eqn: {bar{rm PQ it}} : {bar{rm SR it}} `=2:1`]에서 [eqn: {bar{rm PQ it}} =2` {bar{rm SR` it}}]이므로

[eqn: - {3} over {2} `log _{3} `a=2`times` {3} over {2} ` rm log _{3} ` it b]

[eqn: log _{3} `a+2 rm log _{3} ` it b=0`]

[eqn: therefore] [eqn: a `b^2 =1] [eqn: cdots] ㉠

선분 [eqn: rm PR`]의 중점의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: 9over8`]이므로

[eqn: a+b over2 = 9 over8] [eqn: cdots] ㉡

㉡에서 [eqn: a= {9} over {4} -b`]를 ㉠에 대입하면

[eqn: LEFT ( {9} over {4} -b RIGHT ) b ^{2} =1`]

[eqn: 4b^3 -9b^2 +4 =0]

[eqn: (b-2)(4b^2 -b-2)=0]

[eqn: b=2`] 또는 [eqn: b= {1`+-` sqrt {33}} over {8}]

[eqn: b>1`]이므로 [eqn: b=2]

따라서 [eqn: a= 1over4], [eqn: b=2]이므로

[eqn: 40(b-a)=70`]

29. [출제의도] 수열의 합과 일반항의 관계와 상용로그의 가수의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.

[eqn: sum _{k=1} ^{n} k`log`a _{k} =n ^{2} -n`] ([eqn: n`ge`1`])

[eqn: b _{n`} =n`log`a _{n} `], [eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} b _{k} `]라 하면 [eqn: S _{n} =n ^{2} -n]이므로

[eqn: b _{1} =S _{1} =0]

[eqn: b _{n} =S _{n} -S _{n-1}]

[eqn: = LEFT ( n ^{2} -n RIGHT ) - LEFT { LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( n-1 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = 2n-2] ([eqn: n ge2`])

∴ [eqn: b _{n} =n`log`a _{n} =2n-2] ([eqn: n GEQ 1])

∴ [eqn: log `a_n = 2 - 2overn`] ([eqn: n GEQ 1])

[eqn: n=1] 또는 [eqn: n=2`]일 때, [eqn: log`a_n `]의 가수는 [eqn: 0`]이므로

[eqn: m`ge`3`]이다. 이때 [eqn: 0 < 2overm < 1`]이므로

[eqn: log`a _{m} =1+ LEFT ( 1- {2} over {m} RIGHT )]

에서 [eqn: log`a _{m} `]의 가수는 [eqn: 1- {2} over {m}]이다.

[eqn: 1- {2} over {m} =0.9`]

∴ [eqn: m=20]

30. [출제의도] 도형의 성질을 이용하여 극한에 관한 문제를 해결한다.

점 [eqn: rm Q _{it n}]은 직선 [eqn: y= sqrt { 3}x`] 위의 점이므로 [eqn: rm Q _{it n}][eqn: LEFT ( {1} over {n} ,`` {sqrt {3}} over {n} RIGHT )]이다.

[eqn: rm {bar{OP _{it n}}}][eqn: =p _{n}], [eqn: rm {bar{OQ _{it n}}}][eqn: =q _{n}], [eqn: rm {bar{P _{it n} rm Q _{it n}}}][eqn: =r _{n}]이라 하면

[eqn: p _{n}][eqn: =n]

[eqn: q _{n}][eqn: = sqrt {LEFT ( {1} over {n} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {sqrt {3}} over {n} RIGHT ) ^{2}} = {{2} over {n}}]

[eqn: r _{n}][eqn: = sqrt {LEFT ( n- {1} over {n} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 0- {sqrt {3}} over {n} RIGHT ) ^{2}}][eqn: = {sqrt {n ^{4} -2n ^{2} +4}} over {n}]

삼각형 [eqn: rm OP _{it n}rm Q _{it n}]의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 하면

[eqn: S _{n}][eqn: = {1} over {2} ` TIMES `n` TIMES ` {sqrt {3}} over {n} `][eqn: = {sqrt {3}} over {2}]

삼각형 [eqn: rm OP _{it n}rm Q _{it n}]의 내접원의 중심에서 [eqn: x`]축까지의 거리 [eqn: a _{n}]은 내접원의 반지름의 길이와 같다.

[eqn: S _{n} = {1} over {2} LEFT ( p _{n} +q _{n} +r _{n} RIGHT ) ` TIMES it a _{n}]에서

[eqn: a _{n} = {2S _{n}} over {p _{n} +q _{n} +r _{n}}]

[eqn: = {2`times` {sqrt {3}} over {2}} over {n+ {2} over {n} + {root {{} ^{}} of {n ^{4} -2n ^{2} +4}} over {n}}]

[eqn: = {sqrt {3} n} over {n ^{2} +2+ sqrt {n ^{4} -2n ^{2} +4}}] … ㉠

삼각형 [eqn: rm OP _{it n}rm Q _{it n}]의 외접원의 중심을 [eqn: rm C _{it`n}][eqn: LEFT ( x _{n} ,``y _{n} RIGHT )]이라 하면 점 [eqn: rm C _{it`n}]은 선분 [eqn: rm OP _{it n}]의 수직이등분선 위에 있으므로 [eqn: x _{n} = {n} over {2}]이다.

[eqn: rm {bar{OC _{it n}}} = {bar{rm Q _{it n} rm C _{it n}}}]에서 [eqn: rm {bar{OC _{it n rm}}} ` ^{2} = {bar{rm Q _{it n rm} rm C _{it n rm}}} ` ^{2}]이므로

[eqn: LEFT ( {n} over {2} RIGHT ) ^{2} +y _{n} ` ^{2} = LEFT ( {n} over {2} - {1} over {n} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y _{n} - {sqrt {3}} over {n} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: {n ^{2}} over {4} +y _{n} ` ^{2} = {n ^{2}} over {4} -1+ {1} over {n ^{2}} +y _{n} ` ^{2} - {2 sqrt {3}} over {n} y _{n} + {3} over {n ^{2}}]

∴ [eqn: y _{n} = {4-n ^{2}} over {2 sqrt {3} n}]

[eqn: b _{n} = LEFT | y _{n} RIGHT |]이므로 [eqn: n` GEQ `2`]일 때

[eqn: b _{n} = {n ^{2} -4} over {2 sqrt {3} n}] … ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: L=][eqn: lim _{n -> INF } {`a _{n} b _{n}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {` LEFT ( {sqrt {3} n} over {n ^{2} +2+ sqrt {n ^{4} -2n ^{2} +4}} ` TIMES {n ^{2} -4} over {2 sqrt {3} n} RIGHT )}]

[eqn: =` lim _{n -> INF } {` {n ^{2} -4} over {2 LEFT ( n ^{2} +2+ sqrt {n ^{4} -2n ^{2} +4} RIGHT )}}]

[eqn: =` lim _{n -> INF } {` {1- {4} over {n ^{2}}} over {2 LEFT ( 1+ {2} over {n ^{2}} + sqrt {1- {2} over {n ^{2}} + {4} over {n ^{4}}} RIGHT )}}]

[eqn: = {1} over {4}]

∴ [eqn: 100L=100`times {1} over {4} =25]

수학 B형 정답

1	①	2	②	3	④	4	①	5	②
6	⑤	7	②	8	④	9	⑤	10	③
11	④	12	③	13	①	14	④	15	①
16	⑤	17	⑤	18	③	19	②	20	③
21	④	22	[eqn: 12`]	23	[eqn: 90`]	24	[eqn: 6]	25	[eqn: 160`]
26	[eqn: 35`]	27	[eqn: 61`]	28	[eqn: 37`]	29	[eqn: 200]	30	[eqn: 25]

해 설

1. [출제의도] 행렬의 연산을 이해하고 행렬의 뺄셈을 계산한다.

[eqn: B`][eqn: = pmatrix { ``5``&`~~2``#3&-1} -2A `]

[eqn: = pmatrix { ``5``&`~~2``#3&-1} -2 pmatrix { ``2``&`~~0``#0&-1}`]

[eqn: = pmatrix { ``5``&`~~2``#3&-1} - pmatrix { ``4``&`~~0``#0&-2}`]

[eqn: = pmatrix { ``1``&``2``#3&1}`]

2. [출제의도] 로그의 성질을 이해하고 식의 값을 계산한다.

[eqn: log_2 4 ` times` log_4 2^-2 `]

[eqn: = log_2 2^2 times log_4 4^-1 `]

[eqn: = 2 times (-1) = `-2`]

[다른 풀이]

[eqn: log_2 4 ` times` log_4 2^-2 `]

[eqn: =log_2 4 ` times` (-2log_4 2)`]

[eqn: =`-2timeslog_2 4 ` times` log_4 2]

[eqn: =`-2` left(log_2 4 ` times` { 1} over { log_2 4}right)]

[eqn: =`-2]

3. [출제의도] 극한의 성질을 이용하여 극한값을 계산한다.

[eqn: lim _{x` -> `0} {} {3x +tanx} over {x}]

[eqn: = lim _{x` -> `0} {left( {3x over x }+ tanx over {x} right)]

[eqn: =3+1][eqn: =4]

4. [출제의도] 지수함수의 성질을 이용하여 지수부등식의 해를 구한다.

[eqn: left ( 2^{`x} -{1 over 4}right)( 2^{`x} -1)<0`]

[eqn: 1 over 4 <`` 2 ^{`x} < 1]

[eqn: 2`^-2 <``2^{`x} < 2`^0]

∴ [eqn: -2<`x < 0`]

따라서 부등식 [eqn: left ( 2`^x -{1 over 4}right)( 2`^x -1)<0`]을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 1`]이다.

5. [출제의도] 삼각함수의 배각공식을 이용하여 삼각함수의 값을 구한다.

[eqn: tan theta = 1 over 4 `]이므로

[eqn: sec^2 theta = 1+tan^2 theta = 1+ 1 over 16 = 17 over 16]

[eqn: cos ^{2} theta = {1} over {sec ^{2} theta } = {16} over {17}], [eqn: sin ^2 theta = 1- cos^2 theta = 1over17]

[eqn: sin^2 2 theta =4`sin^2 theta `cos^2 theta]

[eqn: =4 TIMES {1} over {17} TIMES {16} over {17}]

[eqn: = left( {8} over {17} right)^2]

[eqn: tan theta = 1 over 4 >0]이므로 [eqn: sin theta `cos theta >0]

∴ [eqn: sin`2 theta = 8 over 17]

6. [출제의도] 연립일차방정식의 해가 무수히 많을 조건을 이해한다.

[eqn: {pmatrix{`3`#`5`}} ` {pmatrix{1`&`2`}}][eqn: = {pmatrix{3``&``6#5```&``10}} `]이므로 주어진 연립일차방정식은

[eqn: {pmatrix{3``&``6#5```&``10}} ` {pmatrix{``x`#`y`}}`=` {pmatrix{6#a}} `]

행렬 [eqn: pmatrix{3``&``6#5```&``10}`]의 역행렬이 존재하지 않으므로 위의 연립일차방정식이 해를 가지려면

연립일차방정식 [eqn: cases{ 3x+6y=6 # 5x+10y =a pile{ # } }`]

즉, [eqn: cases{ x+2y=2 # x+2y= a over 5 }`]가 무수히 많은 해를 가져야 한다.

따라서 [eqn: 2 = a over 5`]이어야 하므로

[eqn: a=10`]

7. [출제의도] 그래프와 행렬의 성질을 이해하여 실생활과 관련된 문제를 해결한다.

그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬에서 각 성분은 [eqn: 0`] 또는 [eqn: 1`]이다. 각 행의 성분은 [eqn: 6`]개이므로 행의 성분으로 [eqn: 0`]을 [eqn: 4`]개 포함하는 행은 [eqn: 1`]을 [eqn: 2`]개 포함한다. 행의 성분에서 [eqn: 1`]인 것의 개수는 각 꼭짓점에 연결된 변의 개수와 같으므로 연결된 변의 개수가 [eqn: 2`]인 꼭짓점의 개수를 찾으면 된다.

따라서 행의 성분으로 [eqn: 0`]을 [eqn: 4`]개 포함하는 행의 개수는 [eqn: 2`]이다.

8. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이해하고 극한값을 구한다.

[eqn: 10 le x <100`]이면 [eqn: log`x`]의 지표는 [eqn: 1`]이고,

[eqn: 1000 le x^2 <10000`]이면 [eqn: log`x^2 `]의 지표는 [eqn: 3`]이므로

[eqn: lim_x->100-0 f(x) =1`]이고 [eqn: lim_x->100-0 f(x^2 ) =3]이다.

∴ [eqn: lim _x->100-0 left{f(x)+ f(x^2 ) right}]

[eqn: =lim _x->100-0 f(x) + lim _x->100-0 f(x^2 )]

[eqn: = 1+3]

[eqn: = 4]

9. [출제의도] 삼각함수의 합성을 이해하고 함수의 최댓값을 구한다.

[eqn: f`(x)`][eqn: =4sinx``+``6cos^2 x over 2 +1`]

[eqn: = 4 sinx +6 times { 1+cosx} over 2 +1]

[eqn: = 4sinx + 3cosx +4]

[eqn: = 5 left( sinx times 4 over 5 + cosx times 3 over 5 right) +4]

[eqn: = 5 sin(x+alpha) +4`] [eqn: left( `#`]단, [eqn: sinalpha = 3 over 5 `], [eqn: cos alpha = 4 over 5``][eqn: left) `#`]

[eqn: 5 sin(x+alpha) `]의 최댓값이 [eqn: 5`]이므로 [eqn: f(x) `]의 최댓값은 [eqn: 9`]이다.

10. [출제의도] 미분법과 중간값의 정리를 이용하여 극값이 존재하는 구간을 구한다.

미분가능한 함수 [eqn: f(x)`]가 [eqn: x=a`]에서 극값을 가지므로 [eqn: f`'(a)=0`]이어야 한다.

[eqn: f(x)=e ^{-x} LEFT ( lnx-2 RIGHT )`]이므로

[eqn: f` prime (x)=`-e ^{-x} ` LEFT ( lnx-2 RIGHT ) +e ^{-x} ` TIMES {1} over {x}]

[eqn: =e ^{-x} left( {1} over {x} -lnx+2 right)`]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: e ^{-x} >0`]이므로

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {x} -lnx+2`]라 하면 [eqn: g(a)=0`]이어야 한다.

[eqn: g `'(x) = `- 1 over x^2 - 1 over x][eqn: =`- 1+x over x^2 <0] [eqn: (BECAUSE ~x>0`)]

이므로 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x>0`]에서 연속이고 감소한다.

[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =1-ln1+2=3>0]

[eqn: g LEFT ( e RIGHT ) = {1} over {e} -lne+2= {1} over {e} +1>0]

[eqn: g LEFT ( e ^{2} RIGHT ) = {1} over {e ^{2}} -lne ^{2} +2= {1} over {e ^{2}} >0]

[eqn: g LEFT ( e ^{3} RIGHT ) = {1} over {e ^{3}} -lne ^{3} +2= {1} over {e ^{3}} -1<0]

그러므로 중간값의 정리에 의하여 [eqn: g LEFT ( c RIGHT ) =0`]인 실수 [eqn: c`]가 열린 구간 [eqn: LEFT ( e ^{2} ,~e ^{3} RIGHT )`]에 오직 하나 존재한다.

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=a]에서 극값을 가질 때, [eqn: a]가 속하는 구간은 [eqn: LEFT ( e ^{2} ,~e ^{3} RIGHT )]이다.

11. A형 17번과 동일

12. [출제의도] 수열의 극한의 성질을 이용하여 극한값을 구한다.

[eqn: 1+2+2 ^{2} +` CDOTS `+`2 ^{n-1} <`a _{n} <2 ^{n} `]에서

[eqn: {1 TIMES (2 ^{n} -1)} over {2-1} <`a _{n} <2 ^{n}]

[eqn: 2 ^{n} -1<`a _{n} <`2 ^{n}]

[eqn: 1- 1 over 2^n < {a _{n}} over {2 ^{n}} <1]

[eqn: lim _n->inf left(1 - 1over2 ^n right) =1`], [eqn: lim_n->inf 1 = 1]이므로

[eqn: lim _n->inf{a_n} over 2^n = 1]

[eqn: 3n-1 over n+1 <sum_k=1 ^n b_k < 3n+1 over n]에서

[eqn: lim_n->inf 3n-1 over n+1 =3], [eqn: lim_n->inf 3n+1 over n =3`]이므로

[eqn: lim _n->inf sum_k=1 ^n b_k = 3]

∴ [eqn: lim _n->inf b_n = 0]

[eqn: lim _{n` -> ` INF `} {} {8 ^{n} -1} over {4 ^{n-1} a _{n} +8 ^{n+1} b _{n}} `]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF `} {} { 1 - 1over 8^n } over {1 over 4 times a_n over 2^n + 8times b_n } `]

[eqn: = {1-0} over {{1} over {4} times 1 + 8 times0}][eqn: =4]

13. [출제의도] 지수함수의 성질을 이용하여 삼각형의 넓이를 구한다.

곡선 [eqn: y=`2` ^{`x} `]이 [eqn: y`]축과 만나는 점은

[eqn: rm A LEFT ( 0`,`` it 1 RIGHT ) `]

곡선 [eqn: y=`-2` ^{`x} +a`]가 [eqn: y`]축과 만나는 점은

[eqn: rm B LEFT ( 0`,`` it a-1 RIGHT ) `]

두 곡선 [eqn: y=2` ^{ x}]과 [eqn: y= `-2 ` ^{x} +a `]가 만나는 점은

[eqn: 2` ^{x} =`-2` ^{x} +a `], [eqn: 2` ^{x+1} =a`]

[eqn: x=log` _{2} a-1=log` _{2} {a} over {2} `], [eqn: y=2^{log_ 2 a over 2} = a over2]

[eqn: rm C][eqn: LEFT ( log _{`2} {a} over {2} ,`~ {a} over {2} RIGHT )`]

[eqn: a=6`]일 때, [eqn: rm B LEFT ( 0`,`` it 5 RIGHT ) `], [eqn: rm C][eqn: LEFT ( log _{`2} `3,~3 RIGHT )`]이므로 삼각형 [eqn: rmACB]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 4 TIMES log` _{2} 3=2`log` _{2} 3]

14. [출제의도] 로그함수의 극한의 성질을 이용하여 극한값을 구한다.

[eqn: rm A LEFT ( 0`,`` it 1 RIGHT ) `], [eqn: rm C][eqn: LEFT ( log _{`2} {a} over {2} ,`~ {a} over {2} RIGHT )`]이므로 직선 [eqn: rm AC]의 기울기는

[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) = {{a} over {2} -1} over {log _{`2} {a} over {2} `-0} =` {{a} over {2} -1} over {log _{`2} ` {a} over {2}}`]

[eqn: rm B LEFT ( 0`,`` it a-1 RIGHT ) `], [eqn: rm C][eqn: LEFT ( log _{`2} {a} over {2} ,`~ {a} over {2} RIGHT )`]이므로 직선 [eqn: rm BC]의 기울기는

[eqn: g LEFT ( a RIGHT ) = {{a} over {2} - LEFT ( a-1 RIGHT )} over {log _{2} {a} over {2} `-0} =`- {{a} over {2} -1} over {log _{2} ` {a} over {2}}]

∴ [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) -g LEFT ( a RIGHT ) =2 TIMES {{a} over {2} -1} over {log _{2} {a} over {2}}`]

[eqn: {a} over {2} -1=t `]라 하면 [eqn: a ->2+0`]일 때 [eqn: t->+0 `]이므로

[eqn: lim _{a` -> `2+0} {} ` LEFT { f LEFT ( a RIGHT ) -g LEFT ( a RIGHT ) RIGHT } `][eqn: =2 lim _{t` -> `+0} {} {t} over {log _{2} `(t+1)}`]

[eqn: =`2 lim _{t` -> +`0} {} {1} over {{log _{2} `(t+1)} over {t}}`]

[eqn: =`2 lim _{t` -> +`0} {} {1} over {log _{2} LEFT ( t+1 RIGHT ) ^{{1} over {t}}}`]

[eqn: =`2 times {1} over {log`_2 `e}][eqn: =`2ln`2]

[다른 풀이]

[eqn: a -> 2+0`]이면 점 [eqn: rmC`]는 곡선 [eqn: y=2 ^{`x} `]을 따라 점 [eqn: rmA`]에 한없이 가까워진다. 따라서 직선 [eqn: rmAC`]의 기울기는 곡선 [eqn: y= 2^x ``] 위의 점 [eqn: rmA`]에서의 접선의 기울기에 한없이 가까워진다.

[eqn: y` prime =2 ^{`x} `times`ln`2`]이므로

[eqn: lim _{a -> 2+0} {} f(a)=2 ^{`0} TIMES ln2=ln2]

한편, 점 [eqn: rm C`]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선을 [eqn: l]이라 하면 곡선 [eqn: y=`-2 ^{`x} +a`]와 곡선 [eqn: y=2 ^{`x} `]은 항상 직선 [eqn: l`]에 대하여 대칭이다.

따라서 직선 [eqn: rmBC`]와 직선 [eqn: rmAC`]도 항상 직선 [eqn: l`]에 대하여 대칭이다.

[eqn: lim _{a->2+0} {} g(a)=`- lim _{a->2+0} {} f(a)=`-ln2`]

∴ [eqn: lim _{a -> 2+0} {} LEFT { f(a)-g(a) RIGHT }]

[eqn: = lim _{a -> 2+0} {} f(a)- lim _{a -> 2+0} {} g(a)`]

[eqn: =ln2-(-ln2)][eqn: =2ln2`]

15. A형 16번과 동일

16. [출제의도] 합성함수의 연속성을 이해하고 문제를 해결한다.

합성함수 [eqn: (g circ f)(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되려면

[eqn: lim_x→1+0 (g circ f) (x) =lim_x→1-0 (g circ f) (x) = (g circ f) (1)]

이어야 한다.

[eqn: lim _{x -> 1+0} {}f(x)=1^2 -1 +2a=2a`]이고, [eqn: g(x)`]는 연속함수이므로

[eqn: lim _{x -> 1+0} {} (g CIRC f)(x)`][eqn: =(2a)^2 +a times 2a+3`][eqn: =6a^2 +3]

[eqn: lim _{x -> 1+0} {} f(x)=3+a`]이므로

[eqn: lim _{x -> 1-0} {} (g CIRC f)(x)`][eqn: =(3+a) ^{2} +a TIMES (3+a)+3`][eqn: =2a ^{2} +9a+12]

[eqn: (g CIRC f)(1)=g(f(1))=g(2a)=6a ^{2} +3]

따라서 [eqn: 6a^2 +3 =2a^2 +9a +12]이어야 하므로

[eqn: 4a^2 -9a -9 =0]

[eqn: (a-3)(4a+3)=0]

∴ [eqn: a=3`] 또는 [eqn: a=`- 3over4]

따라서 구하는 모든 상수 [eqn: a`]의 값의 합은 [eqn: 9 over4`]이다.

[다른 풀이]

이차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]는 모든 실수에서 연속이고 곡선 [eqn: y= g(x)`]는 직선 [eqn: x= `- {a} over {2} `]에 대하여 대칭이다.

따라서 함수 [eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )`]가 모든 실수 [eqn: x`]에서 연속이 되려면

[eqn: lim _{x-> 1+0} {f LEFT ( x RIGHT )` = lim _{x-> 1-0} {f LEFT ( x RIGHT )}}`=f(1)`] 또는

[eqn: lim _{x -> 1+0} {f LEFT ( x RIGHT )` + lim _{x -> 1-0} {f LEFT ( x RIGHT ) =`-a}}`]이어야 한다.

[eqn: 1-1+2a=3+a`]에서

[eqn: a=3`]

[eqn: LEFT ( 1-1+2a RIGHT ) + LEFT ( 3+a RIGHT ) =`-a`]에서

[eqn: a= `- 3 over 4]

따라서 구하는 모든 상수 [eqn: a`]의 값의 합은

[eqn: 3- 3 over 4 = {9} over {4}`]

17. A형 19번과 동일

18. [출제의도] 무리방정식을 이해하고 함수의 그래프를 이용하여 해를 구한다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -1= sqrt {g LEFT ( x RIGHT ) LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -2 RIGHT } +1} `] … ㉠

㉠의 양변을 각각 제곱하면

[eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} -2f LEFT ( x RIGHT ) +1=g LEFT ( x RIGHT ) LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -2 RIGHT } +1]

[eqn: f(x) left{ f(x)-2 right} -g(x) left{ f(x)-2 right} =0]

[eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -2 RIGHT } LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } =0]

∴ [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2`] 또는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )]

ⅰ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2`]를 ㉠에 대입하면 (좌변)=(우변)=[eqn: 1]

ⅱ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )`]를 ㉠에 대입하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -1= sqrt {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -1 RIGHT } ^{2}}`]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 1`]이어야 한다.

따라서 주어진 무리방정식의 실근은 ⅰ)에서 [eqn: 2`]개, ⅱ)에서 [eqn: 1`]개이므로 구하는 실근의 개수는 [eqn: 3`]이다.

19. [출제의도] 도형의 성질과 삼각함수의 극한의 성질을 이용하여 극한값을 구한다.

[eqn: rm {bar{PR}} = {bar{OP}} - {bar{OR}}`]=[eqn: 1-cos theta]

[eqn: rm {bar{PQ}} =sin theta]

[eqn: rm ANGLE QPR= {pi } over {2} - theta `]이므로

[eqn: S` LEFT ( theta RIGHT ) = {1} over {2} TIMES LEFT ( 1-cos theta RIGHT ) TIMES sin theta TIMES sin LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT )]

[eqn: = {LEFT ( 1-cos theta RIGHT ) sin theta` cos theta } over {2}]

∴ [eqn: lim _{theta -> +0} {{S` LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{3}}}][eqn: =lim _{theta -> +0} {{LEFT ( 1-cos theta RIGHT ) sin theta `cos theta } over {2 theta ` ^{3}}}]

[eqn: = lim _{theta -> +0} {{sin ^{3} theta` cos theta } over {2 theta ` ^{3} LEFT ( 1+cos theta RIGHT )}} `][eqn: ={1} over {4}`]

[다른 풀이]

(삼각형 [eqn: rmPRQ`]의 넓이)

[eqn: =](삼각형 [eqn: rm POQ`]의 넓이)[eqn: -](삼각형 [eqn: rmROQ`]의 넓이)

이므로

[eqn: S` LEFT ( theta RIGHT ) = {1} over {2} `sin theta `cos theta - {1} over {2} `cos ^{`2} theta `sin theta]

[eqn: = {1} over {2} `sin theta `cos theta LEFT ( 1-cos theta RIGHT )]

∴ [eqn: lim _{theta -> +0} {{S` LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{`3}}}`][eqn: = lim _{theta -> +0} {{LEFT ( 1-cos theta RIGHT ) sin theta `cos theta } over {2 theta ^{`3}}}]

[eqn: = lim _{theta -> +0} {{sin ^{3} theta `cos theta } over {2 theta ^{`3} LEFT ( 1+cos theta RIGHT )}}][eqn: ={1} over {4}]

20. A형 21번과 동일

21. [출제의도] 미분법을 이해하여 조건에 맞는 함수의 그래프를 추측한다.

주어진 조건에서 함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이고 원점을 지난다.

또, 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x != `-1], [eqn: x != 1`]인 모든 [eqn: x`]에서 연속이고, 구간 [eqn: (-inf,~-1)`], [eqn: (-1,~1)`], [eqn: (1, ~inf)`]에서 각각 감소한다.

ㄱ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프는 직선 [eqn: y=x`]와 원점에서만 만난다.

ㄴ. (반례) 함수 [eqn: f(x)= {cases{`-x~(`|x|le1) #` {1} over {x} ~~(`|x| ``> 1)`}}]은 주어진 조건을 만족시키지만 [eqn: x]축과 원점에서만 만난다.

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)`]는 닫힌 구간 [eqn: [`0,~ 1`]`]에서 연속이고, 열린 구간 [eqn: (`0, ~1`)`]에서 미분가능하므로 평균값의 정리에 의하여

[eqn: f` prime ( c`_1 )= {-1-0} over {1-0} =`-1`]

을 만족시키는 실수 [eqn: c_1 `]이 열린 구간 [eqn: (`0, ~1`)`]에 적      어도 하나 존재한다.

마찬가지로 함수 [eqn: f(x)]는 닫힌 구간 [eqn: [`-1`,~ 0`]`]에서      연속이고, 열린 구간 [eqn: (`-1`,~ 0`)`]에서 미분가능하므      로

[eqn: f` prime ( c`_2 )= {1-0} over {-1-0} =`-1`]

을 만족시키는 실수 [eqn: c`_2 `]가 열린 구간 [eqn: (`-1`,~ 0`)`]에      적어도 하나 존재한다.

그러므로 [eqn: f` prime ( alpha )=`-1]을 만족시키는 실수 [eqn: alpha]가 적      어도 두 개 존재한다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

22. [출제의도] 미분법을 이용하여 문제를 해결한다.

[eqn: f` prime (x)=8- LEFT ( - {4} over {x ^{2}} RIGHT ) =8+ {4} over {x ^{2}} `]이므로

[eqn: f` prime (1)=8+ {4} over {1} =12`]

23. [출제의도] 분수방정식의 해를 구한다.

양변에 [eqn: x ^{2} -1=(x-1)(x+1)`]을 곱하면

[eqn: 3x-7+2(x+1)=2(x ^{2} -1)`]

[eqn: 2x ^{2} -5x+3=0`]

[eqn: (x-1)(2x-3)=0`]

[eqn: x=1`] 또는 [eqn: x= {3} over {2} `]

[eqn: x=1`]은 무연근이고 [eqn: x = 3 over 2 `]은 실근이다.

∴ [eqn: 60alpha = 60 times 3 over 2 = 90`]

24. [출제의도] 수열의 극한의 성질을 이용하여 극한값을 구한다.

[eqn: {sqrt {9n ^{2} +n} -n} over {a _{n}} `]의 분모, 분자를 각각 [eqn: n`]으로 나누면

[eqn: {{sqrt {9n ^{2} +n} -n} over {n}} over {{a _{n}} over {n}} `][eqn: = {sqrt {9+ {1} over {n}} -1} over {{a _{n}} over {n}} `]

이때 [eqn: lim _n->inf a_n over n = 1 over 3 `]이고 [eqn: lim_n->inf left ( root{9+ 1 over n} -1 right) = 2]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} {sqrt {9n ^{2} +n} -n} over {a _{n}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {sqrt {9+ {1} over {n}} -1} over {{a _{n}} over {n}} `]

[eqn: = {lim _{n -> INF } {} LEFT ( sqrt {9+ {1} over {n} }-1 RIGHT )} over {lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {n}} `]

[eqn: = 2 over {{1} over {3}} `][eqn: =6`]

25. A형 26번과 동일

26. [출제의도] 분수방정식과 분수부등식을 이해하고 문제를 해결한다.

(가)에서 집합 [eqn: left{` x`left|` g(x) over f(x) = 0 right}`]의 원소의 개수는 [eqn: 1`]이고, [eqn: g it (x)=(x-1)(x-3) ^{2} `]이므로
[eqn: f(1) = 0] 또는 [eqn: f(3)=0`]이다.
따라서 [eqn: f(x)=(x-a)(x-5)`]에서

[eqn: a=1`] 또는 [eqn: a=3`]

ⅰ) [eqn: a=1`]이면

[eqn: {f(x)} over {g(x)} = {(x-1)(x-5)} over {(x-1)(x-3) ^{2}} LEQ 0`]

[eqn: x-5 LEQ 0] ([eqn: x!=1], [eqn: x!= 3])

∴ [eqn: x<1`] 또는 [eqn: 1<x<3`] 또는 [eqn: 3< x le 5]

이를 만족시키는 자연수 [eqn: x`]는 [eqn: 2`], [eqn: 4`], [eqn: 5`]이므로 [eqn: 3`]개     가 되어 (나) 조건에 모순이다.

ⅱ) [eqn: a=3`]이면

[eqn: {f(x)} over {g(x)} = {(x-3)(x-5)} over {(x-1)(x-3) ^{2}} LEQ 0`]

[eqn: (x-1)(x-3)(x-5) LEQ 0`] ([eqn: x!=1], [eqn: x!=3 `])

∴ [eqn: x<1 `] 또는 [eqn: 3<x leq 5]

이를 만족시키는 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 4 `], [eqn: 5`]이므로 [eqn: 2`]개가      되어 (나) 조건을 만족시킨다.

ⅰ), ⅱ)에서 [eqn: a=3`]이므로

[eqn: f(x)=(x-3)(x-5)`]

∴ [eqn: f(10)=(10-3)(10-5)=7 TIMES 5=35`]

27. [출제의도] 삼각형의 닮음비와 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 문제를 해결한다.

점 [eqn: rmP`]가 선분 [eqn: rmAB`]를 [eqn: 4:1`]로 내분하는 점이므로

[eqn: {bar{rm PR it}} = {1} over {5} {bar{rm AC it}} = {3} over {5} `], [eqn: {bar{rm RC it}} = {4} over {5} {bar{rm BC it}} = {4} over {5} `]

삼각형 [eqn: rm PRC`]가 직각삼각형이므로

[eqn: tan` alpha = {{bar{rm RC it}}} over {{bar{rm PR it}}} `= {4} over {3} `]

점 [eqn: rm Q`]가 선분 [eqn: rmAB`]를 [eqn: 2:3`]으로 내분하는 점이므로

[eqn: {bar{rmQS}} = {2} over {5} {bar{rm BC it}} = {2} over {5} `], [eqn: {bar{rm SC it}} = {3} over {5} {bar{rm AC it}} = {9} over {5} `]

삼각형 [eqn: rm QCS`]가 직각삼각형이므로

[eqn: tan` beta = {{bar{rm SC it}}} over {{bar{rm QS it}} `} = {9} over {2} `]

따라서

[eqn: tan( beta - alpha )= {tan beta -tan alpha } over {1+tan beta ``tan alpha } `][eqn: = {{9} over {2} - {4} over {3}} over {1+ {9} over {2} TIMES {4} over {3}} `][eqn: = {{27-8} over {6}} over {{6+36} over {6}} = {19} over {42} `]

이므로 [eqn: p+q=42+19=61`]이다.

28. [출제의도] 등차수열의 합을 이해하여 첫째항을 구한다.

첫째항이 [eqn: a`]이고 공차가 [eqn: -4 `]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합 [eqn: S_n `]은

[eqn: S _{n} = {n LEFT { 2a-4(n-1) RIGHT }} over {2} `][eqn: =`-2n ^{2} +(a+2)n]

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: S_n <200 `]이므로

[eqn: -2n ^{2} +(a+2)n<200`]

[eqn: 2n ^{2} +200>(a+2)n`]

[eqn: 2n+ {200} over {n} >a+2`] [eqn: cdots] ㉠

이때 [eqn: n>0`]이므로

[eqn: 2n+ {200} over {n} ge 2 root{2n times { 200} over {n }][eqn: =2 sqrt { 400}=40 `]

(단, 등호는 [eqn: n= 10`]일 때 성립)

따라서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 ㉠이 성립하려면 [eqn: a+2<40`]이어야 하므로 자연수 [eqn: a`]의 최댓값은 [eqn: 37 `]이다.

[다른 풀이]

[eqn: S _{n} = {n LEFT { 2a-4(n-1) RIGHT }} over {2} `][eqn: =`-2n ^{2} +(a+2)n]에서

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: S_n <200 `]이므로

[eqn: -2n ^{2} +(a +2)n<200`]

[eqn: 2n ^{2} -(a +2)n>`-200`]

[eqn: f(n)=2n ^{2} -(a+2)n`]이라 하면

[eqn: f(n)=2 LEFT ( n ^{2} - {a+2} over {2} n RIGHT ) `]

[eqn: =2 LEFT { LEFT ( n- {a+2} over {4} RIGHT ) ^{2} - {(a+2) ^{2}} over {16} RIGHT } `]

[eqn: =2 LEFT ( n- {a+2} over {4} RIGHT ) ^{2} - {(a+2) ^{2}} over {8} `]

이때 [eqn: a`]는 자연수이므로 [eqn: f(n)`]이 최소가 되게 하는 [eqn: n`]은 [eqn: a over 4 `], [eqn: a+1 over 4 `], [eqn: a+2 over 4 `], [eqn: a+3 over 4 `] 중의 하나이다. 따라서 모든 자연수 [eqn: n `]에 대하여

[eqn: f(n)`>`-200`]이 성립하려면 네 부등식

[eqn: f left( { a} over {4 } right)`>`-200`], [eqn: f LEFT ( {a+1} over {4} RIGHT ) `>`-200`],

[eqn: f LEFT ( {a+2} over {4} RIGHT )` >`-200`], [eqn: f LEFT ( {a+3} over {4} RIGHT )` >`-200`]

이 모두 성립해야 한다.

[eqn: LEFT . f` LEFT ( {a} over {4} RIGHT )`=2 TIMES {1} over {4} - {(a+2) ^{2}} over {8} `>`-200` RIGHT .]에서

[eqn: (a+2) ^{2} <1604`] [eqn: cdots] ㉠

[eqn: LEFT . f` LEFT ( {a+1} over {4} RIGHT ) `=2 TIMES {1} over {16} - {(a+2) ^{2}} over {8} `>`-200` RIGHT .]에서

[eqn: (a+2) ^{2} <1601`] [eqn: cdots] ㉡

[eqn: LEFT . f` LEFT ( {a+2} over {4} RIGHT ) `=`- {(a+2) ^{2}} over {8} `>`-200` RIGHT .]에서

[eqn: (a+2) ^{2} <1600`] [eqn: cdots] ㉢

[eqn: LEFT . f` LEFT ( {a+3} over {4} RIGHT ) `=2 TIMES {1} over {16} - {(a+2) ^{2}} over {8} `>`-200` RIGHT .]에서

[eqn: (a+2) ^{2} <1601`] [eqn: cdots] ㉣

㉠, ㉡, ㉢, ㉣이 모두 성립하려면 [eqn: (a+2) ^{2} <1600`]이어야 한다.

∴ [eqn: a+2<40]

따라서 자연수 [eqn: a`]의 최댓값은 [eqn: 37`]이다.

29. [출제의도] 수열의 합과 일반항의 관계와 상용로그의 가수의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.

주어진 식의 양변에 상용로그를 취하면

[eqn: log`a_1 + 2log`a_2 + 3 log`a_3 + `cdots`+n log `a_n][eqn: =n^2 -n]

∴ [eqn: sum _m=1 ^n m`log`a_m = n^2 -n]

따라서

[eqn: n`log`a _{n} =(n ^{2} -n)-left{(n-1) ^{2} -(n-1)right}`]

[eqn: `=2n-2`] ([eqn: n ge 2`])

이고, [eqn: log`a_1`= 1^2 -1 =0]이므로

[eqn: n log`a_n =`` 2n -2] ([eqn: n ge 1`])

∴ [eqn: log`a_n = {1} over {n} LEFT ( 2n-2 RIGHT )` =2- {2} over {n} `]

[eqn: n le 2]이면 [eqn: log `a_n `]의 가수는 [eqn: 0`]이고

[eqn: n ge3`]이면 [eqn: log `a_n `]의 가수는 [eqn: 1 - 2 over n `]이다.

[eqn: log`a _{k} `]의 가수가 [eqn: 0.99`]이므로

[eqn: 1- {2} over {k} =0.99`]

[eqn: {2} over {k} = {1} over {100} `]

∴ [eqn: k=200`]

30. [출제의도] 삼각함수의 성질과 매개변수의 미분법을 이용하여 문제를 해결한다.

원점을 지나고 기울기가 [eqn: tan(sint)`]인 직선의 방정식은 [eqn: y=tan(sint)`x`] [eqn: cdots] ㉠

점 [eqn: rmP`]는 원과 직선의 교점이므로

원의 방정식 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =e ^{2t} `]과 연립하면

[eqn: x ^{2} + LEFT { tan(sint)x right}^2 =e^2t `]

[eqn: LEFT { 1+tan ^{2} (sint) RIGHT } x ^{2} =e ^{2t} `]

[eqn: ` {x ^{2}} over { cos ^{2} (sint)} = e ^{2t}]

[eqn: x ^{2} =`e ^{2t} cos ^{2} (sint)]

[eqn: x=e ^{t} `cos(sint)] (∵ [eqn: x>0`])

이를 ㉠에 대입하면

[eqn: y=e ^{t} `sin(sint)]

그러므로 점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (x,~y)`]라 하면

[eqn: x=e ^{t} `cos(sint)`], [eqn: y=e ^{t} `sin(sint)`]

[eqn: {dx} over {dt} =e ^{t} `cos(sint)- LEFT { e ^{t} `sin(sint) RIGHT } cost`]

[eqn: =e ^{t} ` LEFT { cos(sint)-`sin(sint) timescost RIGHT } `]

[eqn: {dy} over {dt} =e ^{t} `sin(sint)+ LEFT { e ^{t} `cos(sint) RIGHT } cost`]

[eqn: =e ^{t} ` LEFT { sin(sint)+cos(sint) times cost` RIGHT } `]

[eqn: t=pi`]일 때, 점 [eqn: rmP`]의 좌표는

[eqn: LEFT ( e ^{pi } `cos(sin pi )`,``e ^{pi } `sin(sin pi ) RIGHT ) `]이므로

[eqn: rm P( it e ^{ pi } `,~0)`]

[eqn: t=pi`]일 때, 곡선 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rmP`]에서의 접선의 기울기는

[eqn: {dy} over {dx} = {{dy} over {dt}} over {{dx} over {dt}} = {e ^{pi } LEFT { sin(sin` pi )+cos(sin pi )times`cos pi ` RIGHT }} over {e ^{pi } LEFT { cos(sin pi )-sin(sin pi )times`cos pi ` RIGHT }}]

[eqn: = {-e ^{pi }} over {e ^{pi }} `][eqn: =`-1`]

그러므로 점 [eqn: rmP]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=`- LEFT ( x-e ^{ pi } RIGHT )]

이때 접선의 [eqn: x`]절편은 [eqn: e ^{ pi } `], [eqn: y`]절편은 [eqn: e ^{ pi } `]이므로 접선과 [eqn: x`]축 및 [eqn: y`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES e ^{pi} TIMES e ^{pi} = 1 over 2 { e ^{2pi} `]

따라서 [eqn: a= 1 over 2 `], [eqn: b= 2`]이므로

[eqn: 10(a+b)=10 LEFT ( 1 over2 +2 RIGHT ) =25`]

[참고]

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =(e ^{t} ) ^{2} `]은 중심이 원점이고 반지름의 길이가  [eqn: e ^{t} `]인  원이고, 점 [eqn: rmP`]가 원 위의 점이므로 [eqn: bar{rm OP}=e^t `]이다.

직선 [eqn: rmOP`]의 기울기가 [eqn: tan(sint)`]이므로 직선 [eqn: rmOP`]와 [eqn: x`]축의 양의 방향이 이루는 각의 크기는 [eqn: sint`]이다.

따라서 점 [eqn: rmP`]의 좌표는

[eqn: rm P left (ite ^{t} `cos(sint)`,~e ^{t} `sin(sint) RIGHT )]

이다.