◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

수 리 영 역

‘가’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수 리 영 역

‘가’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

2006학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시

수 리 영 역

성명			수험번호						3

‘가’형

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0이 포함된 경우, 0을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

8

1. [eqn: root {3} of {`2 sqrt {`2`} `} `` TIMES `` root {6} of {`8`}``]의 값은? [2 점]

① [eqn: 1``]	②[eqn: root {3} of {`2`} ``]	③ [eqn: sqrt {`2`} ``]	④ [eqn: 2``]	⑤ [eqn: 2 sqrt {`2`}``]

2. 두 사건 [eqn: A,~B``]에 대하여

[eqn: rm P it (`A` SMALLINTER `B`)```=` {3} over {`20`} ,~ {1} over {` rm P it (`A`)`}```-` {1} over {` rm P it (`B`)`} ```=` {2} over {`5`} ``]

가 성립할 때, [eqn: {rmP}(`A``|`B`)```-`{rmP}(`B``|`A`)``]의 값은? [2 점]

① [eqn: - {3} over {`50`} ``]	② [eqn: - {1} over {`50`} ``]	③ [eqn: {1} over {`50`} ``]	④ [eqn: {3} over {`50`} ``]	⑤ [eqn: {1} over {`10`} ``]

3. 다음 확률분포표에서 확률변수 [eqn: X``]의 평균은? [2 점]

[eqn: X``]	[eqn: 2``]	[eqn: 3``]	[eqn: 4``]	[eqn: 6``]	계
[eqn: rm P it (`X`)``]	[eqn: a``]	[eqn: {1} over {`3`} ``]	[eqn: a``]	[eqn: {1} over {`6`} ``]	[eqn: 1``]

① [eqn: 5``]	② [eqn: {`9`} over {2} ``]	③ [eqn: {`17`} over {4} ``]	④ [eqn: {`7`} over {2} ``]	⑤ [eqn: {`13`} over {4} ``]

4. 등식 [eqn: pmatrix{``x``&``y``#``1``&``1``} `` pmatrix{``y``#``x``} ```=` pmatrix{``14``#``6``} ``]을 만족시키는 두 실수 [eqn: x,``y``]에 대하여 [eqn: x^2 ```+` y^2``]의 값은? [3 점]

① [eqn: 22``]	② [eqn: 23``]	③ [eqn: 24``]	④ [eqn: 25``]	⑤ [eqn: 26``]

5. 그림과 같이 곡선 [eqn: y```=`log _{`2`}` x``]위의 한 점 [eqn: rm P it `(`a,~log _{`2`} `a`)``]에서 [eqn: x``]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H ``]라 한다.

점 [eqn: rm A `(`1,~0`)``]에 대하여 [eqn: rm bar{`AH`} ``=` bar{`PH`} ``]일 때, 점 [eqn: rm P it ``]에서 직선 [eqn: y```=`x``]까지의 거리는? (단, [eqn: a```>`1``]이다.) [3 점]

① [eqn: {1} over {`2`} ``]	② [eqn: {`sqrt {`2`}`} over {2} ``]	③ [eqn: {`sqrt {`3`}`} over {2} ``]	④ [eqn: 1``]	⑤ [eqn: {`sqrt {`5`}`} over {2} ``]

6. 등차수열 [eqn: LEFT { `a_{n} ` RIGHT }``]에 대하여 [eqn: (`a _{1} ``+``a _{2} `)```:``(`a _{3} ``+``a _{4} `)```=`1```:``2``]가 성립할 때, [eqn: a _{1} ```:``a _{4} ``]는? (단, [eqn: a _{1} ` !=` 0]이다.) [3 점]

①[eqn: 1```:``2``]	② [eqn: 1```:``3``]	③ [eqn: 2```:``3``]	④ [eqn: 2```:``5``]	⑤ [eqn: 3```:``5``]

7. 집합 [eqn: X```=`left { `1,```2` right } ``]에서 [eqn: X``]로의 함수 [eqn: f``]의 대응관계가 그림과 같을 때, 이차정사각행렬 [eqn: A``]의 [eqn: LEFT ( `i,``j` RIGHT ) ``]성분 [eqn: a _{ij} ``]를

[eqn: a _{ij} ```=`]	[eqn: left { ##]	[eqn: 0``] ([eqn: ``f(i) != j``]일 때)
		[eqn: 1``] ([eqn: ``f(i)```=`j``]일 때)

로 정의한다. 행렬 [eqn: A^2006 ``]과 같은 것은?

(단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.)  [3 점]

① [eqn: A```-`E``]	② [eqn: A``]	③ [eqn: E``]	④ [eqn: A```+`E``]	⑤ [eqn: 2A``]

8. 대표 [eqn: 2``]명, 부대표 [eqn: 3``]명, 부원 [eqn: 4``]명인 어느 모임에서 대표 [eqn: 2``]명은 각자 나머지 [eqn: 7``]명과 모두 악수를 하였다. 그리고 부대표 [eqn: 3``]명은 각자 나머지 [eqn: 4``]명의 부원과 모두 악수를 하였다.

이 모임의 [eqn: 9``]명 중 임의로 [eqn: 3``]명을 택했을 때, [eqn: 3``]명이 모두 서로 악수를 나눈 사람일 확률은? [3 점]

① [eqn: {2} over {`3`} ``]	② [eqn: {5} over {`9`} ``]	③ [eqn: {2} over {`5`} ``]	④ [eqn: {3} over {`8`} ``]	⑤ [eqn: {2} over {`7`} ``]

9. [eqn: 1```<`a```<`b``]인 두 실수 [eqn: a,~b``]에 대하여 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? [3 점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: log _{`b`} `a```<`log _{`a`} `b``] ㄴ.[eqn: {1} over {`a`} `log``a```<` {1} over {`b`} `log``b``] ㄷ. [eqn: 2`log``(`a``+`b`)```<`log`2`(`a ^{2} ``+`b ^{2} `)``]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

10. 행렬 [eqn: A```=` LEFT (` matrix{~2~0#~0~3} `` RIGHT ) ``]에 대하여 [eqn: A ^{n``} ```=` LEFT (`` matrix{a _{n} ~``` 0``#0~``b _{n} } ` RIGHT ) ``]이라 할 때,  [eqn: lim _{n` -> ` INF } {`3a _{n} ```-`2b _{n}`} over {`2a _{n} ```+`3b _{n}`} ``]의 값은? [3 점]

① [eqn: - {`3`} over {`2`}``]	② [eqn: - {`2`} over {`3`}``]	③ [eqn: 0``]	④ [eqn: {`2`} over {`3`}``]	⑤ [eqn: {`3`} over {`2`}``]

11. 이차정사각행렬 [eqn: A,``B``]에 대하여 등식

[eqn: A```+`B`````=`3E,~AB```=`4B``]

가 성립할 때, 항상 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은?

(단, [eqn: E``]는 단위행렬이고 [eqn: O``]는 영행렬이다.) [4 점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: A```=`4`E``] ㄴ. [eqn: B^2 ```+ B `````=` O ``] ㄷ. [eqn: A^2```-`B^2`` ```=`3`(`A```-`B`)``]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12. 자연수 [eqn: i``]에 대하여 [eqn: H_i ```=` 1```+`{{`1`}over{`2`}}```+`{{`1`}over{`3`}}```+` CDOTS `+`{{`1`}over{`i`}}``]이라 할 때, 다음은 부등식

[eqn: H _{2 ^{n}} ``` >= `1```+` {`n`} over {`2`} ``(n```=`0,``1,``2,`` CDOTS `)``]…… ㉠

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(ⅰ) [eqn: n```=`0``]일 때,

(좌변) [eqn: =`H_{2^0}```=`H_1```=``]

(가)

(우변) [eqn: =`1```+`{`0`} over {`2`} ```=`1``]

그러므로 ㉠이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n```=`k``]일 때,

[eqn: H_ {2^k }``` ≧` 1 ```+` {`k`} over {`2`}``]가 성립한다고 가정하면

[eqn: H_ {2^k+1 }``` =` 1 ```+` {`1`} over {`2`} ```+` {`1`} over {`3`} ```+`cdots `+` {`1`} over {`2^k`} ```+ ``]

(나)

[eqn: =` H_ {2^k } ```+ ``]

(나)

[eqn: >= ` LEFT (` 1```+` {`k`} over {`2`} `RIGHT ) ```+``]

(나)

[eqn: >= ` LEFT (` 1```+` {`k`} over {`2`}` RIGHT ) ```+``] ㆍ[eqn: {`1`} over {`2 ^{k```+`1}`}``]

(다)

[eqn: =`1```+` {`k```+`1`} over {`2`}``]

그러므로 [eqn: n```=`k```+`1``]일 때도 ㉠이 성립한다.

따라서 [eqn: 0``]과 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 ㉠이 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4 점]

(가)	(나)	(다)

①  [eqn: 1``]	[eqn: sum _{l=1 } ^{2^k } {1} over {`2^k ``+` l`}]	[eqn: 2 ^{k```-`1}``]

②  [eqn: 1``]	[eqn: sum _{l=1 } ^{2^k } {1} over {`2^k ``+` l`}]	[eqn: 2 ^{k}``]

③  [eqn: 1``]            [eqn: {`1`} over {`2 ^{k```+`1}`}``]	[eqn: 2 ^{k}``]

④ [eqn: {`3} over {`2`}``]           [eqn: {`1`} over {`2 ^{k```+`1}`}``]	[eqn: 2 ^{k```-`1}``]

⑤ [eqn: {`3} over {`2`}``]           [eqn: {`1`} over {`2 ^{k```+`1}`}``]	[eqn: 2 ^{k}``]

13. 집합 [eqn: A ```=` LEFT {` 1,~2,~3,~4 ` RIGHT }``]가 있다. [eqn: A``]의 부분집합 중에서 임의로 서로 다른 두 집합을 택하였을 때, 한 집합이 다른 집합의 부분집합이 될 확률은? [4 점]

① [eqn: {7} over {`12`} ``]	② [eqn: {8} over {`15`} ``]	③ [eqn: {11} over {`20`} ``]	④ [eqn: {13} over {`24`} ``]	⑤ [eqn: {15} over {`28`} ``]

14. 그림과 같이 좌표축 위의 다섯 개의 점 [eqn: rm A,~B,~C,~D,~E``]에 대하여 [eqn: rm barAB bot bar BC ,~ barBC bot bar CD ,~ barCD bot bar DE``]가 성립한다.

세 선분 [eqn: rm {AO} ,~ {OC} ,~ {EA} ``]의 길이가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 직선 [eqn: rm AB``]의 기울기는?

(단, [eqn: rm O``]는 원점이고 [eqn: rm bar{`OA`} ```<` bar{`OB`} ``]이다.) [4 점]

① [eqn: sqrt {`2`} ``]	② [eqn: sqrt {`3`} ``]	③ [eqn: 2``]	④ [eqn: root {`5`}``]	⑤ [eqn: sqrt {`6`} ``]

15. 넓이가 [eqn: 20`pi ``]인 원 [eqn: rm O _{1}``]을 그리고, 원 [eqn: rm O _{1}``]의 사분원의 넓이보다 [eqn: 12` pi ``] 더 넓은 원 [eqn: rm O _{2}``]를 그린다. 또 원 [eqn: rm O _{2}``]의 사분원의 넓이보다 [eqn: 12` pi ``] 더 넓은 원 [eqn: rm O _{3}``]를 그린다.

이와 같이 원 [eqn: rm O _{it n} ``]의 사분원의 넓이보다 [eqn: 12` pi ``] 더 넓은 원 [eqn: rm O _{it n+1}``]을 계속하여 그려 간다. 원 [eqn: rm O _{it n}``]의 넓이를 [eqn: S _{n}``]이라 할 때, [eqn: lim _{n `->` INF } {} S _{n}``]의 값은? [4 점]

① [eqn: 14` pi ``]	② [eqn: 15` pi ``]	③ [eqn: 16` pi ``]	④ [eqn: 17` pi ``]	⑤ [eqn: 18` pi ``]

16. 어느 도시의 [eqn: t``]년도 인구수를 [eqn: P```times ` 10 ^6 ``](명)이라 하면

[eqn: P```=`5 ㆍ 2 ^{{`t```-`2001`} over {15}}``]

인 관계가 성립한다고 한다. 이 도시의 인구수가 [eqn: 2006``]년 인구수의 [eqn: 2``]배가 되는 해는? [4 점]

① [eqn: 2017``]년	② [eqn: 2019``]년	③ [eqn: 2021``]년	④ [eqn: 2023``]년	⑤ [eqn: 2025``]년

17.

< 표준정규분포표 >
[eqn: z`]	[eqn: rm P it ``(`0 <= Z <= z`)]
[eqn: 1.0`] [eqn: 1.5`] [eqn: 2.0`]	[eqn: 0.34`] [eqn: 0.43`] [eqn: 0.48`]

고속도로의 어느 지점을 통과하는 자동차들의 속력은 평균이 [eqn: 104` rm km``]/시, 표준편차가 [eqn: 8` rm km``]/시인 정규분포를 따른다고 한다. 이 지점에서의 속력이 [eqn: 120` rm km``]/시를 초과하면 과속으로 단속된다고 할 때, 이 지점을 통과하는 두 자동차 [eqn: rm A,~B``]가 모두 과속으로 단속될 확률을 주어진 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, [eqn: rm A``]와 [eqn: rm B``]의 속력은 서로 독립이다.) [3 점]

① [eqn: {1} over {2500}]	② [eqn: {1} over {400}]	③ [eqn: {49} over {10000}]	④ [eqn: {9} over {2500}]	⑤ [eqn: {16} over {625}]

단답형(18～25)

18. 등식 [eqn: {1} over {`log` _{3} `2`} ```+` {1} over {`log` _{5} `2`} ```+` {1} over {`log` _{6} `2`} ```=` {1} over {`log` _{k} `2`} ```]이 성립할 때, 상수 [eqn: k``]의 값을 구하시오. [3 점]

19. [eqn: 6``]개의 숫자 [eqn: 1,~2,~3,~5,~7,~9``]를 이용하여 다섯 자리 자연수를 만들 때 [eqn: 7``]만 중복하여 사용할 수 있다.

[eqn: 7``]을 [eqn: 2``]개 이상 포함하고, [eqn: 7``]끼리는 이웃하지 않는 서로 다른 자연수의 개수를 구하시오. [3 점]

20. [eqn: rm A,~B,~C,~D``] [eqn: 4``]개의 축구팀이 있다. 이들은 각각 다른 모든 팀과 [eqn: 1``]경기씩을 치르게 되고, 각각의 팀이 경기에서 이길 확률은 [eqn: {1} over {`2`}``]이다. 경기에서 모두 이기거나, 경기에서 모두 진 팀이 생길 확률을 [eqn: {n} over {`m`}``]([eqn: m,~n``]은 서로소인 자연수)이라 할 때, [eqn: m``+`n``]의 값을 구하시오. (단, 비기는 경기는 없다.) [4 점]

21. 이차방정식 [eqn: x ^{2} ```-`6x```+`2```=`0``]의 두 실근 [eqn: alpha ,~beta ``]에 대하여 행렬 [eqn: A``]를 [eqn: A```=` pmatrix{`alpha `&`1#1`&` beta `}``]라 할 때, 행렬 [eqn: A ^{2}]의 역행렬 [eqn: (`A ^{2} `) ^{-1} ``]의 모든 성분의 합을 구하시오. [3 점]

22. 양수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: <x>``]는 [eqn: x``]보다 크거나 같은 최소의 정수를 나타내기로 한다. 예를 들면, [eqn: <2>`=`2,~<2.5```>` =`3``]이다. 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } ``]을 [eqn: a _{1} ```=`10,~a _{n} ```=`a~~~+`1``(`n```=`2,~3,~4,~ CDOTS `)``]로 정의할 때, [eqn: a _{50}``]의 값을 구하시오. [4 점]

[eqn: bold { < {n} over {2} > }]

23. 두 양수 [eqn: x,~y``]에 대하여 등식

[eqn: LEFT (` log _{`3`} `x ` RIGHT ) ^{2} ```+` LEFT (` log _{`3`} `y ` RIGHT ) ^{2} ```=` log _{`9`} `x ^{2} ```+`log _{`9`} `y ^{2} ``]

이 성립할 때, [eqn: xy``]의 최대값은 [eqn: M``], 최소값은 [eqn: m``]이다.

[eqn: M```+`m``]의 값을 구하시오. [4 점]

24. 그림과 같이 홀수를 삼각형 모양으로 배열하고 어두운 부분에 있는 수를 크기순으로 나열하여 수열

[eqn: 1 ,~3,~7,~ 9,~13,~17,~19 ,~cdots``]

을 만들었다. 이 수열의 제 [eqn: 66``]항을 구하시오. [4 점]

25. 그림과 같은 직선 도로망이 있다.   [eqn: 5``]개의 지점 [eqn: rm P,~Q,~R,~S,~T``] 중 어느 한 지점도 지나지 않고 [eqn: rmA``]지점에서 [eqn: rmB``]지점까지 최단거리로 갈 수 있는 모든 경로의 수를 구하시오. [4 점]

5지선다형(26 ~ 29)

26. 실수 [eqn: a``]의 값에 관계없이 로그가 정의될 수 있는 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? [3 점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: log` _{a ^{2} -a+2} (`a ^{2} ``+`1`)] ㄴ. [eqn: log` _{2` |`a`|+1} (`a ^{2} ``+`1`)] ㄷ. [eqn: log` _{a ^{2} +2} (`a ^{2} ``-`2`a ``+`1`)]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

27. [eqn: x``]에 대한 방정식 [eqn: 4 ^{x} ```-`a CDOT 2 ^{`x```+`1`} ```+`a ^{2} ```-`a```-`6```=`0``]이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 상수 [eqn: a``]의 값의 범위는? [3 점]

① [eqn: a```>`-6``]	② [eqn: -6```<`a```<`-2``]	③ [eqn: a```>`0``]

④ [eqn: -2```<`a```<`3``]	⑤ [eqn: a```>`3``]

28. 세 개의 주머니 [eqn: rm A,~B,~C``]에 모양과 크기가 같은 전구가 들어 있다. [eqn: rmA``]에는 노란 전구 [eqn: 2``]개와 파란 전구 [eqn: 4``]개, [eqn: rmB``]에는 노란 전구 [eqn: 3``]개와 파란 전구 [eqn: 3``]개, [eqn: rmC``]에는 노란 전구 [eqn: 1``]개와 파란 전구 [eqn: 5``]개가 들어 있다.

각 주머니에서 전구를 한 개씩 꺼냈더니 노란 전구가 두 개 나왔다고 한다. 이 때, [eqn: rmA``]에서 꺼낸 전구가 노란 전구일 확률은?

[3 점]

① [eqn: {2} over {`9`}``]	② [eqn: {1} over {`3`}``]	③ [eqn: {4} over {`9`}``]	④ [eqn: {2} over {`3`}``]	⑤ [eqn: {3} over {`4`}``]

29. 그림과 같이 [eqn: x``]축 위의 점 [eqn: rm A _{1} `(`6` pi ```-`12,~0`)``]에 대하여 [eqn: rm bar{`OA _{1} `}``]을 지름으로 하는 반원을 제 [eqn: 1``]사분면에 그리고, [eqn: rm bar{`OA _{1}`} ```=` arch{````OA _{2} ````}``]인 점 [eqn: rmA _{2} ``]를 [eqn: y``]축 위에 잡아 [eqn: rmbar{`OA _{2}`} ``]를 지름으로 하는 반원을 제 [eqn: 2``]사분면에 그린다. 또, [eqn: rm bar{`OA _{2}`} ```=` arch{```OA _{3} ```}``]인 점 [eqn: rmA _{3} ``]를 [eqn: x``]축 위에 잡아 [eqn: rmbar{`OA _{3} `} ``]를 지름으로 하는 반원을 제 [eqn: 3``]사분면에 그리고, [eqn: rm bar{`OA _{3}`} ```=` arch{```OA _{4} ```}``]인 점 [eqn: rmA _{4} ``]를 [eqn: y``]축 위에 잡아 [eqn: rmbar{`OA _{4}`}``]를 지름으로

하는 반원을 제 [eqn: 4``]사분면에 그린다. 같은 방법으로 제 [eqn: 1``]사분면,

제 [eqn: 2``]사분면, [eqn: CDOTS `]에 반원을 계속하여 그려나갈 때, 반원들의 호의

길이의 합 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf } rm arch {```OA _ n```} ``]의 값은?(단, [eqn: rm arch{```OA _{n} ```} 은`````` bar{`OA _{n} `} ``]을 지름으로 하는 반원의 호이고 [eqn: n``]=1, 2, 3, …이다.) [4 점]

① [eqn: 9` pi ``]	② [eqn: 8` pi ```+`1``]	③ [eqn: pi ^{2} ```+`10]

④ [eqn: 2` pi ^{2} ```+`3``]	⑤ [eqn: 3` pi ^{2} ``]

단답형(30)

30. 확률변수 [eqn: X``]는 [eqn: 1,~2,~3,~ CDOTS~ ,~n``]의 값을 취하고, [eqn: X```=`k`(`1 ```<=` k ```<=` n`)``]일 확률이

[eqn: rm P it (`X```=`k`)```=`c`k``](단, [eqn: c``]는 상수)

라 한다. 확률변수 [eqn: X``]의 표준편차가 [eqn: sqrt {`6`} ``]이 되도록 하는 자연수 [eqn: n``]의 값을 구하시오. [4 점]

※ 확인 사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.