1. 두 복소수 [eqn: z _{1} =2-3i`], [eqn: z _{2} =2+3i`]에 대하여 [eqn: z _{1} z _{2}`]의 값은?

고 1	수학 영역

	수학 영역	고 1

12

12

제 2 교시

2015학년도 9월 고1 전국연합학력평가 문제지

수학 영역

(단, [eqn: i= sqrt {-1}`]) [2점]

① [eqn: 9]       ② [eqn: 11]       ③ [eqn: 13]       ④ [eqn: 15]       ⑤ [eqn: 17]

2. 두 다항식 [eqn: A=2x ^{2} `-x+`1`], [eqn: B=x ^{2} -2x-1`]에 대하여

고 1	수학 영역

	수학 영역	고 1

12

12

제 2 교시

[eqn: 2A`-`B`]를 간단히 하면? [2점]

① [eqn: 3x ^{2} `+`3]	② [eqn: 5x ^{2} `-`4x]	③ [eqn: x ^{2} `+`x`+2]

④ [eqn: 3x ^{2} `-4`x``+3]	⑤ [eqn: 3x ^{2} `+x`+`3]

3. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm P(5,``` it 7)`], [eqn: rmQ(1,```3)`] 사이의 거리는? [2점]

① [eqn: 2root{6}]    ② [eqn: root{26}]    ③ [eqn: 2root{7}]    ④ [eqn: root{30}]    ⑤ [eqn: 4root{2}]

4. [eqn: -2le`x`le3`]에서 이차함수 [eqn: y=left(x+1right)^{2}-2`]의 최댓값을 [eqn: M`], 최솟값을 [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: M+m`]의 값은? [3점]

① [eqn: 10]       ② [eqn: 12]       ③ [eqn: 14]       ④ [eqn: 16]       ⑤ [eqn: 18]

5. 연립방정식

[eqn: cases{`x-y=5#`y+2z=6#`z-x=7}`]

을 만족시키는 세 실수 [eqn: x`], [eqn: y`], [eqn: z`]에 대하여 [eqn: xyz`]의 값은? [3점]

① [eqn: 20]       ② [eqn: 24]       ③ [eqn: 28]       ④ [eqn: 32]       ⑤ [eqn: 36]

6. 전체집합 [eqn: U`]의 두 부분집합 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대하여

[eqn: n(U`)=50`], [eqn: n`(A`smallinterB)=12`], [eqn: n`left(A^{C}smallinter`B^{C}``right)=5`]

일 때, [eqn: n` LEFT ( ` LEFT ( A-B `` RIGHT ) ` CUP LEFT ( B-A `` RIGHT ) ` RIGHT)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 30]       ② [eqn: 31]       ③ [eqn: 32]       ④ [eqn: 33]       ⑤ [eqn: 34]

7. 좌표평면 위의 두 직선 [eqn: x-2y+2=0`], [eqn: 2x+y-6=0`]의 교점을 지나고 직선 [eqn: x-3y+6=0`]에 수직인 직선의 [eqn: y`]절편은? [3점]

① [eqn: {13}over{2}]       ② [eqn: 7]       ③ [eqn: {15}over{2}]       ④ [eqn: 8]       ⑤ [eqn: {17}over{2}]

8. 연립부등식

고 1	수학 영역

	수학 영역	고 1

12

12

[eqn: cases{`x^{2}+x`ge6`#`x^{2}+5<6x}]

를 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 1]        ② [eqn: 2]        ③ [eqn: 3]        ④ [eqn: 4]        ⑤ [eqn: 5]

9. 좌표평면 위의 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +2x-4y-3=0`]을

[eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: b`]만큼 평행이동한 도형이 원 [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+4 RIGHT ) ^{2} =c`]일 때, 세 상수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]에 대하여

[eqn: a+b+c`]의 값은? [3점]

① [eqn: 5]        ② [eqn: 6]        ③ [eqn: 7]        ④ [eqn: 8]        ⑤ [eqn: 9]

10. 실수 [eqn: x`]에 대하여 두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]가

[eqn: p`:` |`x` |gea `]

[eqn: q`:`x<`-2`] 또는 [eqn: x` GEQ 4`]

일 때, 명제 [eqn: p````rarrow``q`]가 참이 되도록 하는 양수 [eqn: a`]의 최솟값은?

[3점]

① [eqn: 1]        ② [eqn: 2]        ③ [eqn: 3]        ④ [eqn: 4]        ⑤ [eqn: 5]

11. [eqn: 3] 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 밑면의 가로의 길이와 세로의 길이가 각각 [eqn: n ^{2} +3n`], [eqn: n+1`]이고 높이가 [eqn: n ^{3} +3n ^{2} +2n+2`]인 직육면체가 있다. 이 직육면체를 한 모서리의 길이가 [eqn: n`]인 정육면체로 조각낼 때, 한 모서리의 길이가 [eqn: n`]인 정육면체의 최대 개수는? (단, 남은 조각을 붙여서 정육면체를 만들 수는 없다.)

[3점]

[eqn: n^{2}+3n]

[eqn: n+1]

[eqn: n^{3}+3n^{2}+2n+2]

① [eqn: n(n+1)(n+2)]

② [eqn: n(n+1)(n+3)]

③ [eqn: (n+1)(n+2)(n+3)]

④ [eqn: (n+1)(n+2)(n+4)]

⑤ [eqn: (n+2)(n+3)(n+4)]

12. 부등식 [eqn: (x ^{2} +2x-y+1)(x ^{2} +y ^{2} -9) LEQ 0`]의 영역을 좌표평면 위에 어두운 부분으로 바르게 나타낸 것은? (단, 경계선은 포함한다.) [3점]

①	[eqn: x] [eqn: rmO] [eqn: y]	②	[eqn: x] [eqn: rmO] [eqn: y]
③	[eqn: x] [eqn: rmO] [eqn: y]	④	[eqn: x] [eqn: rmO] [eqn: y]
⑤	[eqn: x] [eqn: rmO] [eqn: y]

[13~14] [eqn: BOLD0`]이 아닌 실수 [eqn: bold{p}`]에 대하여

이차함수 [eqn: {bold{f(x)=x ^{2} +px+p}} `]의 그래프의 꼭짓점을 [eqn: {bold{rm A it}} `], 이 이차함수의 그래프가 [eqn: bold{y`}]축과 만나는 점을 [eqn: bold{rmB}`]라 할 때,  두 점 [eqn: bold {` rm A}`],[eqn: {bold{rm``B}}`]를 지나는 직선을 [eqn: bold{l}`]이라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

[eqn: rmA]

[eqn: rmO]

[eqn: rmB]

[eqn: f(x)=x^{2}+px+p]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: l]

13. 직선 [eqn: l`]의 [eqn: x`]절편은? [3점]

① [eqn: - {5} over {2}]     ② [eqn: -2]     ③ [eqn: - {3} over {2}]     ④ [eqn: -1]     ⑤ [eqn: - {1} over {2}]

14. 직선 [eqn: l`]의 방정식을 [eqn: y=g(x)`]라 하자.

부등식 [eqn: f(x)-g(x)le0`]을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수가 [eqn: 10`]이 되도록 하는 정수 [eqn: p`]의 최댓값을 M , 최솟값을 m 이라 할 때, M-m 의 값은? [4점]

① [eqn: 32#]       ② [eqn: 34]       ③ [eqn: 36]       ④ [eqn: 38]       ⑤ [eqn: 40]

15. 세 실수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]에 대하여 한 근이 [eqn: 1+root{3}i`]인 방정식

[eqn: x^{3}+ax^{2}+bx+c=0`]과 이차방정식 [eqn: x^{2}+ax+2=0`]이 공통인 근 [eqn: m`]을 가질 때, [eqn: m`]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}`]) [4점]

① [eqn: 2]       ② [eqn: 1]       ③ [eqn: 0]       ④ [eqn: -1]       ⑤ [eqn: -2]

16. 후드로 흡입된 오염된 공기는 덕트를 통해 이동된다.

덕트 안의 공기의 밀도를 [eqn: r`], 공기의 속력을 [eqn: v`], 압력을 [eqn: P`]라 하면 다음과 같은 관계가 성립한다고 한다.

[eqn: P= {rv ^{2}} over {2g} `]  (단, [eqn: g`]는 중력가속도이다.)

집 [eqn: A`]에 있는 덕트 안의 공기의 밀도는 [eqn: c`]이고 압력은 [eqn: P _{A} `], 집 [eqn: B`]에 있는 덕트 안의 공기의 밀도는 [eqn: 2c`]이고 압력은 [eqn: P _{B} `]이다. 집 [eqn: A`]와 집 [eqn: B`]에 있는 덕트 안의 공기의 속력의 비가 [eqn: 3:5`]일 때, [eqn: P_{B}=kP_{A}`]이다. 상수 [eqn: k`]의 값은? [4점]

① [eqn: {10} over {3}]       ② [eqn: {35} over {9}]       ③ [eqn: {40} over {9}]       ④ [eqn: 5]       ⑤ [eqn: {50} over {9}]

17. 어느 공방에서는 컵과 접시를 만들 때 주재료로 점토와 유약을 사용한다. 이 공방에서 컵과 접시를 각각 한 개씩 만들 때 사용되는 점토와 유약의 양 및 판매 이익은 다음 표와 같다.

제품	점토([eqn: rmg])	유약([eqn: rmmL])	판매 이익(원)
컵	[eqn: 150]	[eqn: 8]	[eqn: 5000]
접시	[eqn: 100]	[eqn: 4]	[eqn: 3000]

이 공방에서 하루에 사용할 수 있는 점토와 유약의 양은 각각 [eqn: 4200`][eqn: rmg`], [eqn: 180`][eqn: rmmL`]를 초과할 수 없을 때, 하루에 만든 컵과 접시를 판매하여 얻을 수 있는 최대 판매 이익은? [4점]

① [eqn: 129000`]원        ② [eqn: 130000`]원        ③ [eqn: 131000`]원

④ [eqn: 132000`]원        ⑤ [eqn: 133000`]원

18. 임의의 실수 [eqn: m`]에 대하여 부등식 [eqn: y>x^{2}`]의 영역에 있는 한 점 [eqn: rmP(ita,```b)`]를 지나고 기울기가 [eqn: m`]인 직선이 이차함수 [eqn: y=x ^{2}`]의 그래프와 만나는 두 점을 [eqn: rm A`], [eqn: rmB`]라 할 때, 선분 [eqn: rm AB`]의 중점 [eqn: rm M`]이 그리는 도형의 방정식을 구하는 과정이다.

	<증명> [eqn: rmO] [eqn: x] [eqn: y] [eqn: y=x^{2}] [eqn: rmA] [eqn: rmB] [eqn: rmP] 임의의 실수 [eqn: m`]에 대하여 부등식 [eqn: y>x^{2}`]의 영역에 있는 한 점 [eqn: rmP(ita,```b)`]를 지나고 기울기가 [eqn: m`]인 직선의 방정식은 [eqn: y=m(x-a)+b`] …… ㉠ ㉠이 이차함수 [eqn: y=x^{2}`]의 그래프와 만나는 두 점 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]의 좌표를 각각 [eqn: rmA it(x _{1} ,```y _{1} )`], [eqn: rmB it(x _{2} ,```y _{2} )`], 선분 [eqn: rmAB`]의 중점 [eqn: rmM`]의 좌표를 [eqn: rmM`left(itX,```Y``right)`]라 하면 [eqn: x _{1}`], [eqn: x _{2}`]는 이차방정식 [eqn: x ^{2} -m(x-a)-b=0`]의 두 근이므로 [eqn: X= {x _{1} +x _{2}} over {2} = {BOX{`````(가)`````}}`] …… ㉡ [eqn: Y= {y _{1} +y _{2}} over {2} = {BOX{`````(나)`````}}` -am+b`] …… ㉢ ㉡, ㉢에 의하여 [eqn: Y= {BOX{`````(다)`````}}` X ^{2} -2aX+b`] 따라서 구하는 도형의 방정식은 [eqn: y= {BOX{`````(다)`````}}` x ^{2} -2ax+b`]이다.	ㅁ

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)`], [eqn: g(m)`]이라 하고, (다)에 알맞은 수를 [eqn: k`]라 할 때, [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) +g LEFT ( k RIGHT )`]의 값은?

[4점]

①  [eqn: 1]        ② [eqn: {3} over {2}]        ③ [eqn: 2]        ④ [eqn: {5} over {2}]        ⑤ [eqn: 3]

19. 이차 이상의 다항식 [eqn: f`(x)`]를 [eqn: (x-a)(x-b)`]로 나눈 나머지를 [eqn: R`(x)`]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 서로 다른 두 실수이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: f`(a)-R`(a)=0] ㄴ. [eqn: f`(a)-R`(b)=f(b)-R(a)] ㄷ. [eqn: af`(b)-bf`(a)=(a-b)R`(0)]

① ㄱ               ② ㄴ               ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ            ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. 테셀레이션이란 똑같은 모양의 도형을 평행이동과 대칭이동하여 빈틈이나 겹침도 없이 평면을 가득 채우는 것이다. 에스허르(Escher, M. C.)의 ‘도마뱀’이란 작품은 같은 크기와 모양의 여러 마리 도마뱀들이 테셀레이션을 이루고 있다. [그림 [eqn: 1]]의  도마뱀은 [그림 [eqn: 2]]와 같이 정육각형을 토대로 그려진 것으로 정육각형의 외부에 있는 도마뱀의 나머지 부분은 정육각형의 내부의 여백과 같다.

[그림 [eqn: 1]]	[그림 [eqn: 2]]

[그림 [eqn: 1]]의 직사각형의 가로의 길이가 [eqn: 4 sqrt {3}`]일 때, [그림 [eqn: 1]]에 있는 도마뱀 모양 한 개의 넓이는? (단, [그림 [eqn: 1]]의 직사각형의 각 꼭짓점은 [그림 [eqn: 2]]와 같이 토대가 된 정육각형의 한 꼭짓점 이다.) [4점]

① [eqn: {3ROOT3}OVER{4}]   ② [eqn: sqrt {3}]   ③ [eqn: {5 sqrt {3}} over {4}]   ④ [eqn: {3 sqrt {3}} over {2}]   ⑤ [eqn: {7ROOT3}OVER{4}]

21. 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2x-3`]의 그래프 위의 점 [eqn: rmC`]의 좌표를 [eqn: rmC(it`a,```b)`]라 하자. [eqn: 2a-b+9>0`]을 만족시키는 점 [eqn: rmC`]를 중심으로 하고 직선 [eqn: y=2x+9`]에 접하는 원의 넓이의 최댓값은 [eqn: {q} over {p} pi `]이다. [eqn: p+q`]의 값은? (단, [eqn: p`], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y=2x+9]

[eqn: y=x^{2}-2x-3]

[eqn: rmC]

① [eqn: 257]     ② [eqn: 259]     ③ [eqn: 261]     ④ [eqn: 263]     ⑤ [eqn: 265]

단 답 형

22. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: 2x ^{3} -x ^{2} -7x+6=(x-1)(x+2)(ax+b)`]

일 때, [eqn: a-b`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

23. 이차함수 [eqn: y=3x ^{2} -4x+k`]의 그래프와 직선 [eqn: y=8x+12`]가 한 점에서 만날 때, 실수 [eqn: k`]의 값을 구하시오. [3점]

24. 집합 [eqn: A= LEFT { `z`` LEFT | ``z=i` ^{n} ` RIGHT . RIGHT .], [eqn: n`]은 자연수[eqn: {matrix{`}right}`]에 대하여

집합 [eqn: B= LEFT { z _{1} ` ^{2} +z _{2} ` ^{2} `` LEFT | ``z _{1} IN A`,```z _{2} IN A^` RIGHT } ` RIGHT .]일 때,  집합 [eqn: B`]의 원소의 개수를 구하시오. (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]) [3점]

25. 집합 [eqn: U= LEFT { 1,```2,```3,```6 RIGHT } `]의 공집합이 아닌 부분집합 [eqn: P`]에 대하여 명제 ‘집합 [eqn: P`]의 어떤 원소 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: x`]는 [eqn: 3`]의 배수이다.’가 참이 되도록 하는 집합 [eqn: P`]의 개수를 구하시오. [3점]

26. 그림과 같이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =25`]와 직선 [eqn: y=f(x)`]가 제[eqn: 2`]사분면에 있는 원 위의 점 [eqn: rm P`]에서 접할 때, [eqn: f(-5)f(5)`]의 값을 구하시오.

[4점]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y]

[eqn: 5]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: -5]

[eqn: rmP]

27. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: rm P it rm _{it n} ( it `x _{n} ,```y _{n} )`]은 다음과 같은 규칙에 따라 이동한다. (단, [eqn: x_{n}`y_{n}!=0`])

	(가) 점 [eqn: rm P it rm _{it n}`]이 [eqn: x _{n}` y _{n} >0`]이고 [eqn: x _{n} >y _{n}`]이면 이 점을 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 점이 점 [eqn: rm P _{it `n+1 rm}`]이다. (나) 점 [eqn: rm P it rm _{it n}`]이 [eqn: x _{n}` y _{n} >0`]이고 [eqn: x _{n} <y _{n}`]이면 이 점을 [eqn: x`]축에 대하여 대칭이동한 점이 점 [eqn: rm P _{it `n+1 rm}`]이다. (다) 점 [eqn: rm P it rm _{it n}`]이 [eqn: x _{n}` y _{n} <0`]이면 이 점을 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동한 점이 점 [eqn: rm P _{it n+1 rm}`]이다.

점 [eqn: rm P it rm _{it 1} `]의 좌표가 [eqn: (3,```2)`]일 때, [eqn: 10x _{50} +y _{50}`]의 값을 구하시오.

[4점]

28. 삼각형 [eqn: rmABC`]에서 선분 [eqn: rmBC`]를 [eqn: 1:3`]으로 내분하는 점을 [eqn: rm D`], 선분 [eqn: rmBC`]를 [eqn: 2:3`]으로 외분하는 점을 [eqn: rmE`], 선분 [eqn: rmAB`]를 [eqn: 1:2`]로 외분하는 점을 [eqn: rmF`]라 하자. 삼각형 [eqn: rmFEB`]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmABD`]의 넓이의 [eqn: k`]배이다. 이때, 상수 [eqn: k`]의 값을 구하시오. [4점]

29. 이차방정식 [eqn: x ^{2} +x+1=0`]의 두 근 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]에 대하여 이차함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +px+q`]가 [eqn: f`left( alpha ^{2} right)`=`-4 alpha `]와 [eqn: f`left( beta ^{2} right)`=`-4 beta `]를 만족시킬 때, 두 상수 [eqn: p`], [eqn: q`]에 대하여 [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. [4점]

30. 그림과 같이 직각삼각형 [eqn: rm ABC`]가 있다. 세 직선 [eqn: rmAB`], [eqn: rmBC`], [eqn: rmCA`]에 동시에 접하는 네 원 [eqn: O _{it 1 rm }`], [eqn: O _{2 rm } `], [eqn: O _{it 3} `], [eqn: O _{4} `]의 반지름의 길이를 각각 [eqn: r _{1} `], [eqn: r _{2} `], [eqn: r _{3} `], [eqn: r _{4}`]라 하자. 직각삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이가 [eqn: {15}over{2}`]이고 [eqn: r _{1} =1`]일 때, [eqn: r _{2} +r _{3} +r _{4} `]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: O_{1}]

[eqn: O_{2}]

[eqn: O_{3}]

[eqn: O_{4}]

[eqn: r_{1}]

[eqn: r_{2}]

[eqn: r_{3}]

[eqn: r_{4}]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.