[나형]

1	②	2	③	3	④	4	②	5	④
6	④	7	③	8	⑤	9	①	10	④
11	②	12	①	13	⑤	14	③	15	③
16	⑤	17	①	18	①	19	⑤	20	②
21	③	22	2	23	5	24	100	25	15
26	181	27	16	28	48	29	4	30	23

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: 5 TIMES 9 ^{{1} over {2}} =5 TIMES LEFT ( 3 ^{2} RIGHT ) ^{{1} over {2}} = 5 TIMES 3 = 15]

2. [출제의도] 집합의 연산 이해하기

[eqn: A SMALLINTER B`= LEFT { `5,``7,``9 RIGHT }]

[eqn: THEREFORE] [eqn: n` LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT ) =3]

3. [출제의도] 수열의 극한 이해하기

[eqn: lim _{n `->` INF } {{4n ^{2} +n} over {5n ^{2} -7}} = lim _{n` ->` INF } {{4 + 1overn} over {5 - 7 over n^2}}= {4} over {5}]

4. [출제의도] 도함수 계산하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +3]이므로 [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =6]

5. [출제의도] 역함수 이해하기

[eqn: g LEFT ( 4 RIGHT ) =f `^{-1} LEFT ( 4 RIGHT ) =a]라 하면 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =4]

[eqn: 3a+1=4]

[eqn: a=1]

[eqn: therefore] [eqn: g LEFT ( 4 RIGHT ) = 1]

6. [출제의도] 함수의 연속 이해하기

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: x=3]에서 연속이다. 그러므로 [eqn: lim _{x` -> `3} {LEFT ( x ^{2} +3 RIGHT )} = f LEFT ( 3 RIGHT )]

[eqn: lim _{ x `->` 3} { LEFT ( x^2 + 3 RIGHT ) }=12], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) = a]이므로

[eqn: therefore] [eqn: a= 12]

7. [출제의도] 명제 추론하기

[eqn: p`:`x=4], [eqn: q`:` 2x^2 -ax +12=0]

일 때, 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 [eqn: P], [eqn: Q`]라 하면
[eqn: P` = left{ x `| `x=4 right}], [eqn: Q`= left{x `| `2x^2 -ax +12 =0right}]이다.

명제 [eqn: p` rarrow `q]가 참이면 [eqn: P SUBSET Q`]이므로

[eqn: x=4]는 방정식 [eqn: 2x^2 -ax +12=0]의 근이다.

[eqn: therefore] [eqn: a=11]

8. [출제의도] 부정적분 이해하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{ } ^{ } {3x^2 } dx = x^3 + C] (단, [eqn: C``]는 적분상수)

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =C=1]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +1]

[eqn: therefore] [eqn: `f LEFT ( 3 RIGHT ) =28]

9. [출제의도] 절대부등식 이해하기

[eqn: a]가 양수이므로

[eqn: 18a + { 1} over {2a } ge 2 sqrt { 18a times 1 over 2a } = 2 times sqrt 9 = 6]

(단, 등호는 [eqn: 18a = 1 OVER2a]일 때 성립한다.)

[eqn: therefore] 최솟값은 [eqn: 6]

10. [출제의도] 등비중항 이해하기

[eqn: a_4]는 [eqn: a_3]과 [eqn: a_5]의 등비중항이므로 [eqn: a_4 ^2 = a_3 `a_5 =1]

모든 항이 양수이므로 [eqn: a_4 = 1]

[eqn: a_4 = a_1 times LEFT ( { 1} over {3 } RIGHT ) ^3 = 1], [eqn: a_1 = 27]

[eqn: therefore] [eqn: a _{2} =27 TIMES {1} over {3} =9]

11. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x `->` 0-} {f(x)} `+ lim _{x `-> `1+} {f(x)} =`-1+1=0]

12. [출제의도] 급수와 일반항의 관계 이해하기

[eqn: lim _{n`->`inf} {LEFT ( 2a _{n} -5 RIGHT )} =0]이므로 [eqn: lim _{n`->`inf} {a _{n}} = {5} over {2}]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{4a _{n}} over {2a _{n} -3}}][eqn: = {4 TIMES lim _{n` -> ` INF } {a _{n}}} over {2 TIMES lim _{n` -> ` INF } {a _{n}} -3} =5]

13. [출제의도] 거듭제곱근 이해하기

[eqn: a]는 [eqn: 2]의 세제곱근이므로

[eqn: a^3 = 2]

[eqn: sqrt2]는 [eqn: b]의 네제곱근이므로

[eqn: LEFT ( sqrt { 2} RIGHT )^4 =b]

[eqn: therefore] [eqn: LEFT ( { b} over {a } RIGHT )^3 = b^3 over a^3 = 4^3 over 2 = 32]

14. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: f `prime LEFT ( x RIGHT ) = 3x^2 -18x + 15][eqn: =3 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-5 RIGHT )]

[eqn: f `prime LEFT ( x RIGHT ) = 0]에서 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=5]

닫힌 구간 [eqn: LEFT [ `0,``5 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를
표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 5]
[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: a]	[eqn: NEARROW]	[eqn: a+7]	[eqn: SEARROW]	[eqn: a-25]

닫힌 구간 [eqn: LEFT [ `0,``5 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )]는 최댓값 [eqn: a+7],
최솟값 [eqn: a-25]를 갖는다.

[eqn: a-25 = `-15], [eqn: a=10]

[eqn: therefore] 최댓값은 [eqn: a+7 = 17]

15. [출제의도] 집합 사이의 포함 관계 추론하기

(가)에서 집합 [eqn: A]의 원소 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]은 모두
집합 [eqn: X`]의 원소이므로 [eqn: A SUBSET X]

(나)에서 집합 [eqn: X`]는 집합 [eqn: B]의 원소 [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]을
원소로 갖지 않으므로 [eqn: X SUBSET B^C]

그러므로 전체집합 [eqn: U`]의 부분집합 [eqn: X`]는

[eqn: LEFT{ `1,``2,``3 RIGHT } SUBSET X SUBSET LEFT{` 1,``2,``3,``7,``8,``9,``10 RIGHT }]

[eqn: therefore] [eqn: X`]의 개수는 [eqn: 2 ^{7-3} =2 ^{4} =16]

16. [출제의도] 로그를 활용하여 문제해결하기

[eqn: R=512], [eqn: H`=8], [eqn: h=6], 우물의 반지름의 길이가
[eqn: 1 {rm m}]인 우물 [eqn: A]의 양수량 [eqn: Q_A]는

[eqn: Q _{A} `= {k LEFT ( 8 ^{2} -6 ^{2} RIGHT )} over {`log LEFT ( {512} over {1} RIGHT ) ^{} ``} = {28k} over {9log LEFT 2 RIGHT .}]

[eqn: R=512], [eqn: H`=8], [eqn: h=6], 우물의 반지름의 길이가
[eqn: 2 {rm m}]인 우물 [eqn: B]의 양수량 [eqn: Q_B]는

[eqn: Q _{B} `={k LEFT ( 8 ^{2} -6 ^{2} RIGHT ) } over {`log LEFT ( {512} over {2} RIGHT ) ^{} ``} = {28k} over {8log LEFT 2 RIGHT .}]

[eqn: therefore] [eqn: { Q_A} over {Q_ B} = 8 over 9]

17. [출제의도] 유리함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = ax overx+1 = `- a over x+1 +a]의 그래프의
점근선의 방정식은 [eqn: x=`-1], [eqn: y=a]

[eqn: y]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = { ax} over {x+1 }]

[eqn: y=x]

[eqn: x=`-1]

[eqn: y=a]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

두 직선 [eqn: x=`-1], [eqn: y=a]와 직선 [eqn: y=x]로 둘러싸인
부분의 넓이는 [eqn: 1over2 { LEFT ( a+1 RIGHT )^2 } = 18]

[eqn: therefore] [eqn: a=5]

18. [출제의도] 등비급수를 활용하여 문제해결하기

그림 [eqn: R_1]에서

[eqn: R _{1}]

[eqn: rm 3]

[eqn: rmO]

[eqn: rm A _{1}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm P _{1}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm M _{1}]

[eqn: 30 DEG]

[eqn: rm Q _{1}]

[eqn: 3]

[eqn: 3]

[eqn: 60 DEG]

[eqn: rm M _{2}]

[eqn: S_1]은 직각삼각형 [eqn: rm OP_1 M_1]에서 부채꼴 [eqn: rm M_1 P_1 M_2]와
부채꼴 [eqn: rm O A_2 M_2]를 뺀 넓이의 두 배이므로

[eqn: S _{1} =2 TIMES LEFT { LEFT ( {1} over {2} TIMES 3 TIMES 3 sqrt {3} RIGHT )]

[eqn: LEFT . - LEFT ( pi TIMES 3 ^{2} TIMES {60} over {360} RIGHT ) - LEFT ( pi TIMES 3 ^{2} TIMES {30} over {360} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = 2 TIMES LEFT ( {9ROOT3} OVER2 - 9OVER4 pi RIGHT ) = 9root3 - 9over2 pi]

다음은 그림 [eqn: R_n+1]의 일부이다.

[eqn: R _{n+1}]

[eqn: rmO]

[eqn: rm A _{itn}]

[eqn: rm B _{itn}]

[eqn: rm P _{it n}]

[eqn: rm A _{itn+1}]

[eqn: rm B _{it n+1}]

[eqn: rm M _{itn}]

[eqn: rm Q _{ it n}]

[eqn: rm M _{itn+1}]

[eqn: rm P _{itn+1}]

[eqn: rm A _{itn+2}]

[eqn: rm Q _{itn+1}]

[eqn: rm B _{itn+2}]

[eqn: bar{rmOM_{it n}} = a][eqn: LEFT ( a != 0 RIGHT )]라 하면 [eqn: bar{rmOM_{it n+1}} = a over2]

중심각의 크기가 같은 부채꼴 [eqn: {rm OA} _{n}{rm B} _{n}]과
부채꼴 [eqn: rm OA it rm _{itn+1} rm B it rm _{n+1}]은 서로 닮음이고
닮음비는 [eqn: bar{rmOM_{it n}} : bar{rmOM_{it n+1}} = a: a over2 = 1: 1over2]이다.

그러므로 그림 [eqn: R_n]과 [eqn: R_n+1]에서

새로 얻어진  모양의 도형도 서로 닮음이고
닮음비가 [eqn: 1: 1over2]이므로 넓이비는 [eqn: 1: {1} over {4}]이다.

따라서 [eqn: S_n]은 첫째항이 [eqn: 9root3 - 9over2 pi]이고 공비가 [eqn: 1over4]인
등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이다.

[eqn: therefore] [eqn: lim _{n `-> ` INF } {S _{n}} = {9 sqrt {3} - 9 over {2} pi} over {1- {1} over {4}}]

[eqn: = 4over3 LEFT ( 9root3 - 9over2 pi RIGHT )]

[eqn: = 12root3 -6pi]

[eqn: = 6 LEFT ( 2root3 -pi RIGHT )]

19. [출제의도] 수학적 귀납법 추론하기

(1) [eqn: n=1]일 때,
(좌변)[eqn: =LEFT ( 2 times1 - 1 RIGHT ) times 2^0 =1],
(우변)[eqn: =(2 times 1-3) times 2^1 +3=1]이므로
[eqn: LEFT ( ✽ RIGHT )]이 성립한다.

(2) [eqn: n=m`]일 때, [eqn: LEFT ( ✽ RIGHT )]이 성립한다고 가정하면
[eqn: sum _{k=1} ^{m} LEFT ( 2k-1 RIGHT ) 2 ^{k-1} = LEFT ( 2m-3 RIGHT ) 2 ^{m} +3]이다.

[eqn: n=m+1]일 때, [eqn: LEFT ( ✽ RIGHT )]이 성립함을 보이자.
[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} LEFT ( 2k-1 RIGHT ) 2 ^{k-1}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( 2k-1 RIGHT ) 2 ^{k-1} + LEFT ( `` LEFT . {BOX{``````````2m+1 _{`} ^{`} `````````}} RIGHT . `` RIGHT ) TIMES 2 ^{m}]

[eqn: = LEFT ( `2m-3` RIGHT ) 2 ^{m} +3+ LEFT ( `` LEFT . {BOX{``````````2m+1 _{`} ^{`} `````````}} `` RIGHT . RIGHT ) TIMES 2 ^{m} `]

[eqn: = LEFT ( `4m-2` RIGHT ) 2 ^{m} +3]

[eqn: =` LEFT ( `` LEFT . {BOX{``````````2m-1 _{`} ^{`} `````````}} RIGHT . `` RIGHT ) ` TIMES 2 ^{m+1} +3]

따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 [eqn: LEFT ( ✽ RIGHT )]이 성립한다.

(1), (2)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT ( ✽ RIGHT )]이 성립한다.
[eqn: therefore] [eqn: f(m) = 2m+1], [eqn: g(m) = 2m-1]

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) `TIMES` g LEFT ( 2 RIGHT ) =9 TIMES 3=27]

20. [출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

선분 [eqn: rmOP]에 수직이고 점 [eqn: RMP]를 지나는 직선 [eqn: rm`PQ]의

기울기는 [eqn: -` {1} over {t}]이므로

직선 [eqn: rm`PQ]의 방정식은 [eqn: y-t ^{2`} =`-` {1} over {t} LEFT ( x-t RIGHT )]

따라서 [eqn: y]축과 만나는 점 [eqn: rm `Q LEFT ( `0, ``it 1+t^2 RIGHT )]

삼각형 [eqn: RmOPQ]의 넓이 [eqn: S` LEFT ( t RIGHT ) = 1 over 2 times t times LEFT ( 1+t^2 RIGHT )]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{t` -> `0+} {{S LEFT ( t RIGHT )} over {t} = lim _{t` ->` 0+} {{{1} over {2} TIMES t TIMES LEFT ( 1+t ^{2} RIGHT )} over {t}]
[eqn: =lim _{t `->` 0+}{1 over 2 times LEFT ( 1+t^2 RIGHT )}= 1 over 2]

21. [출제의도] 함수의 연속을 활용하여 추론하기

ㄱ.

[eqn: 3]

[eqn: y= f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: x=t]

[eqn: y= g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: lim _{t` ->` -1+} {h LEFT ( t RIGHT ) =3}] (참)

ㄴ.

[eqn: -1]

[eqn: rm O]

[eqn: y= f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y= g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: lim _{t` ->` 1-} {h LEFT ( t RIGHT ) =3}], [eqn: lim _{t` ->` 1+} {h LEFT ( t RIGHT ) =3}], [eqn: h(1) = 3]이므로

함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t=1]에서 연속이다. (참)

ㄷ. 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 [eqn: t = { 5} over { 4}]에서
접하므로 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]는

[eqn: h LEFT ( t RIGHT ) = {cases{``2 _{`} ^{`} ```````&`` LEFT ( t LEQ -1 RIGHT ) _{`} ^{`}#``3 _{`} ^{`}&`` LEFT ( -1<t< {5} over {4} RIGHT ) _{`} ^{`}#``2 _{`} ^{`}&`` LEFT ( t= {5} over {4} RIGHT ) _{`} ^{`}#``1 _{`} ^{`}&`` LEFT ( {5} over {4} <t LEQ 3 RIGHT ) _{`} ^{`}#``2 _{`} ^{`}&`` LEFT ( t>3 RIGHT ) _{`} ^{`}}}]

[eqn: t]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: { 5} over { 4}]

[eqn: 3]

[eqn: 3]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: y = h LEFT ( t RIGHT )]

[eqn: -1]

함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: t=`-1], [eqn: t= 5over4], [eqn: t=3]에서
불연속이므로 모든 [eqn: a]의 값의 합은
[eqn: -1+ 5over4 + 3 = 13over4]이다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

22. [출제의도] 등차수열 이해하기

등차수열 [eqn: left{ a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a_1], 공차를 [eqn: d]라 하면
[eqn: a_ 5 - a_3 = left( a_1 + 4d right) - LEFT ( a_1 + 2 d RIGHT ) = 2d = 4]

[eqn: therefore] [eqn: d=2]

23. [출제의도] 합성함수 이해하기

[eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( 3 RIGHT ) = g LEFT ( f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT ) = g LEFT ( 6 RIGHT )=5]

24. [출제의도] 수열의 합 이해하기

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =5][eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( b _{k} -4 RIGHT ) = sum _{k=1} ^{10} b _ {k} - sum _{k=1} ^{10}4 = sum _{k=1} ^{10} b_k -40 = 50] [eqn: sum _{k=1} ^{10} b _{k} =90]

[eqn: therefore] [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 2a _{k} +b _{k} RIGHT ) `= 2 sum _{k=1} ^{10} a _{k} + sum _{k=1} ^{10 }b _{k}\= 10+90=100]

25. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: log _{`a} `8= log _{`a} `2^3 = 3 log _{`a} `2 = 2]

[eqn: log _{`a} `2= 2 over 3], [eqn: log _{`2} `a= 3 over 2]

[eqn: therefore] [eqn: 10 TIMES log _{`2} `a=10 TIMES {3} over {2} =15]

26. [출제의도] 미분계수 이해하기

[eqn: lim _{h `->` 0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -4} over {h} =3}]에서
[eqn: lim _{h `->` 0} {h=0]이므로 [eqn: lim _{h `->` 0} {left{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -4 right}= 0]이다.
[eqn: therefore] [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =4]
[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =12 +2a+b=4]에서
[eqn: 2a+b=`-8] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -4} over {h} = lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {h} =f` prime LEFT ( 2 RIGHT ) =3}}]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) = 6x +a]이므로
[eqn: f `prime LEFT ( 2 RIGHT ) =12+a=3], [eqn: a=`-9] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에서 [eqn: a=`-9], [eqn: b=10]

[eqn: therefore] [eqn: a^2 +b^2 =81+100=181]

27. [출제의도] 무리함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기

[eqn: {rm A} LEFT (` a,` sqrt {a} RIGHT ) it], [eqn: rm B it LEFT (` a,` sqrt {3a} RIGHT )]

점 [eqn: rmC]의 [eqn: y]좌표는 점 [eqn: rmB]의 [eqn: y]좌표와 같으므로
[eqn: sqrt {x} = sqrt { 3a}], [eqn: x= 3a]

따라서 [eqn: rm C it LEFT ( `3a,` sqrt {3a} RIGHT )], [eqn: rm D it LEFT (` 3a,``3 sqrt {a} RIGHT )]

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmD]를 지나는 직선의 기울기는
[eqn: {3 sqrt {a} - sqrt {a}} over {3a-a} = {sqrt {a}} over {a} = 1 over {sqrt a] ([eqn: because] [eqn: a>0])

[eqn: 1 over { sqrt a} = 1 over 4]이므로 [eqn: sqrt {a} =4]

[eqn: therefore] [eqn: a=16]

28. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]위의 점 [eqn: (`t,``t^3 -at)]에서
접선의 기울기는 [eqn: f` prime LEFT ( t RIGHT ) =3t ^{2} -a]이므로
접선의 방정식은
[eqn: y-(t^3 -at) = (3t^2 -a)(x-t)]이고

점 [eqn: (`0,``16)]을 지나므로

[eqn: 2t^3 =`-16]

[eqn: t^3 = `-8]

[eqn: t=`-2] ([eqn: BECAUSE] [eqn: t]는 실수)

접선의 기울기는 [eqn: 8]이므로
[eqn: f `prime LEFT ( -2 RIGHT )=3 timesLEFT ( -2 RIGHT ) ^2 -a = 12-a=8]

[eqn: a=4]

그러므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x^3 -4x]
[eqn: therefore] [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =f LEFT ( 4 RIGHT ) =4 ^{3} -4 TIMES 4=48]

29. [출제의도] 수열의 극한을 활용하여 문제해결하기

그림과 같이 점 [eqn: rm A]에서 원에 그은 두 접선의 접점 중
점 [eqn: rm C]가 아닌 점을 [eqn: rm E LEFT (it `2n,``0 RIGHT )]이라 하자.

[eqn: rm E]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: RMA]

[eqn: RM O]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: n+3]

[eqn: n]

[eqn: RM D]

[eqn: n]

[eqn: TRIANGLE rm AEB]와 [eqn: triangle rm BOD]는 서로 닮음이므로

[eqn: {bar{rm AE it}} : {bar{rm EB it}} = {bar{rm BO it}} : {bar{eqalign{rm OD} it}}}]

[eqn: n+3:n=n: {bar{rm OD it}}]

[eqn: therefore] [eqn: {bar{rm OD it}} = {n ^{2}} over {n+3}]

[eqn: {bar{rm OD it}} = {bar{rm CD it}}], [eqn: bar { rm BO } = bar { rm BC}]

[eqn: l _{n} = 2 times LEFT ( {n ^{2}} over {n+3} +n RIGHT )= {4n ^{2} +6n} over {n+3}]

[eqn: S _{n} =2 TIMES "(" TRIANGLE rm BOD]의 넓이[eqn: ")"]

[eqn: =it 2 TIMES LEFT ( {1} over {2} TIMES n TIMES {n ^{2}} over {n+3} RIGHT ) = {n ^{3}} over {n+3}]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{n -> INF } {} {l _{n} TIMES S _{n}} over {n ^{3}} = lim _{n -> INF } {} LEFT ( {1} over {n ^{3}} times {4n ^{2} +6n} over {n+3} times {n ^{3}} over {n+3} RIGHT )]

[eqn: = lim _{ n rarrow inf} { } { 4n^2 + 6n} over { LEFT ( n+3 RIGHT )^2 }=4]

30. [출제의도] 도함수를 활용하여 그래프 추론하기

조건 (가)에서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) = 27], [eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT ) =0]

함수 [eqn: h` LEFT ( x RIGHT ) = f LEFT ( x RIGHT ) - g LEFT ( x RIGHT )]라 할 때,
조건 (나), (다)에서
함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 점 [eqn: LEFT ( -3,``0 RIGHT )]을 지나고
[eqn: x=a]([eqn: a ne `-3])에서 [eqn: x]축과 접한다.
따라서 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT )^2]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =27], [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( 0 RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT )]

[eqn: 3a ^{2} =27], [eqn: a=3] ([eqn: because] [eqn: a ne `-3])

[eqn: THEREFORE] [eqn: h LEFT ( x RIGHT )= f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = x^3 -3x^2 -9x +27]

[eqn: h`' LEFT ( x RIGHT )= f`' LEFT ( x RIGHT ) -g`' LEFT ( x RIGHT ) = 3x ^{2} -6x-9]

[eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) -g`' LEFT ( 0 RIGHT ) =`-9]

[eqn: THEREFORE] [eqn: g`' LEFT ( 0 RIGHT ) =9]

[eqn: y = g LEFT ( x RIGHT )]는 원점을 지나는 직선이므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =9x]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) - g LEFT ( x RIGHT ) = x^3 -3x^2 -9x +27]에서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = x^3 - 3x^2 +27]

[eqn: f `prime LEFT ( x RIGHT ) = 3x^2 - 6x = 3x LEFT ( x-2 RIGHT )]
[eqn: f `prime LEFT ( x RIGHT ) = 0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f `prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 27]	[eqn: SEARROW]	[eqn: 23]	[eqn: NEARROW]

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=2]에서 극솟값 [eqn: 23]을 갖는다.

[참고]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -3]

[eqn: a]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y = g LEFT ( x RIGHT )]