수리 영역

정답

1	②	2	③	3	③	4	①	5	④
6	②	7	⑤	8	⑤	9	②	10	③
11	②	12	④	13	④	14	⑤	15	④
16	③	17	①	18	③	19	②	20	①
21	④	22	18	23	50	24	31	25	20
26	200	27	11	28	13	29	17	30	10

해설

1. [출제의도] 집합의 연산법칙 이해하기

[eqn: (A-B) CUP (A-B ^{c} `)][eqn: = (A SMALLINTER B ^{c} `) CUP (A SMALLINTER B`)]

[eqn: ``= A SMALLINTER (B ^{c} CUP B`)]

[eqn: ``= A SMALLINTER U]

[eqn: ``= A]

2. [출제의도] 복소수 계산하기

[eqn: z= {1+i} over {sqrt {2}}]이므로 [eqn: z^2 =i]이고 [eqn: z^4 =`` -1]

[eqn: z ^{2007} =(z ^{4} ) ^{501} z ^{3} =`-`i`z]

[eqn: = {1-i} over {sqrt {2}} = {sqrt {2}} over {2} `- {sqrt {2}} over {2} i]

∴ [eqn: a+b =0]

3. [출제의도] 충분조건과 필요조건 이해하기

[eqn: p```:``-1<x<3`]

[eqn: q```:`` -a<x<a]

[eqn: p] 가 [eqn: q] 이기 위한 충분조건이기 위해서는

[eqn: -a <= -1`]이고 [eqn: a >= 3`]이므로 [eqn: a >= 3`]

∴ [eqn: a`]의 최소값은[eqn: ``3`]

4. [출제의도] 항등식 계산하기

[eqn: x ^{3} -ax+6=(x-1)(x+b)(x+c)]의 양변에

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: a=7]

[eqn: x ^{3} -7x+6=(x-1)(x-2)(x+3)]

따라서 [eqn: b=`-2,````c=3] 또는 [eqn: b=3,````c=`-2]

[eqn: THEREFORE ``a+b+c=8]

5. [출제의도] 집합의 원소의 개수 계산하기

[eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =12,``n LEFT ( B-A RIGHT ) =9`]이므로 [eqn: n LEFT ( A CUP B` RIGHT ) =21`]

[eqn: THEREFORE n LEFT ( A ^{c} SMALLINTER B ^{c} ` RIGHT )][eqn: =n LEFT { LEFT ( A CUP B` RIGHT ) ^{c} RIGHT }][eqn: =40-21=19`]

6. [출제의도] 명제의 뜻 이해하기

문장이나 식 중에서 참, 거짓을 판별할 수 있는

것이 명제이다.

ㄱ은 참인 명제이고, ㄴ은 거짓인 명제이다.

∴ ㄱ, ㄴ

7. [출제의도] 필요조건과 충분조건 이해하기

[eqn: p:] [eqn: X` SUBSET ` LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT )]

[eqn: q:] [eqn: X` SUBSET ` LEFT ( A CUP B` RIGHT )]

[eqn: r:] [eqn: X SUBSET A] 또는 [eqn: X SUBSET B]

[eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 충분조건이므로 [eqn: LEFT < p,````q RIGHT > =1]

[eqn: q]가 [eqn: r]이기 위한 필요조건이므로 [eqn: LEFT < q,````r RIGHT > =`-1]

[eqn: r]가 [eqn: p]이기 위한 필요조건이므로 [eqn: LEFT < r,````p RIGHT > =`-1]

∴[eqn: LEFT < p,``q RIGHT > `-2` LEFT < q,``r RIGHT > `-3` LEFT < r,``p RIGHT > `=`6]

8. [출제의도] 피타고라스의 정리 이해하기

작은 원의 반지름을 [eqn: r`]이라 하자.

[eqn: 3]

[eqn: 3]

[eqn: 3]

[eqn: 3 sqrt {2} `]

[eqn: r]

[eqn: sqrt {2} r]

[eqn: 3+ sqrt {2} `r+r`=`3 sqrt {2}]

[eqn: r( sqrt {2} +1)=3`( sqrt {2} -1)]

[eqn: THEREFORE ``r=9-6 sqrt {2}]

9. [출제의도] 제곱근의 성질 이해하기

[eqn: sqrt {x} sqrt {y} ``=`` sqrt {xy} ``,```` {sqrt {z}} over {sqrt {y}} ``=``- sqrt {{z} over {y}} ``]를 동시에    만족하는 실수 [eqn: x,````y,````z``]는 [eqn: x>0,] [eqn: y<0,] [eqn: z>0]

이므로 [eqn: x-y>0,``y-z<0,``x-y+z>0]

[eqn: LEFT | `x-y` RIGHT | + LEFT | `y-z` RIGHT | - sqrt {LEFT ( x-y+z RIGHT ) ^{2}} ``]

[eqn: =``x-y- LEFT ( y-z RIGHT ) - LEFT ( x-y+z RIGHT ) ``]

[eqn: =``-y``]

10. [출제의도] 닫혀있음을 이해하기

ㄱ. [eqn: A= LEFT { {1} over {n} □``n은```자연수 RIGHT }]

[eqn: {1} over {a} ,`` {1} over {b} IN A]일 때, [eqn: {1} over {ab} IN A]이므로 곱셈에 대하여 닫혀있다.

ㄴ. 홀수의 곱은 홀수이므로 곱셈에 대하여 닫혀

있다.

ㄷ. [eqn: LEFT ( 3+ pi RIGHT ) LEFT ( {1} over {3} + pi RIGHT ) =1+ {10} over {3} pi + pi ^{2}]

[eqn: NOTIN LEFT { a+b pi □a,````b RIGHT .]는 유리수, [eqn: pi]는

원주율

[eqn: LEFT . RIGHT }]

이므로 곱셈에 대하여 닫혀있지 않다.

∴ ㄱ, ㄴ

11. [출제의도] 최대공약수 이해하기

[eqn: x ^{3} +x ^{2} +x-3`=(x-1)(x ^{2} +2x+3)`]

[eqn: x ^{2} +2x+a`]와 [eqn: x ^{3} +x ^{2} +x-3`]의 일차식 최대공약수는 [eqn: x-1`]

따라서 [eqn: x-1`]은 [eqn: x ^{2} +2x+a`]의 인수이다.

∴ [eqn: a=`-3`]

12. [출제의도] 원의 성질 이해하기

[eqn: r]

[eqn: r]

[eqn: RMA]

[eqn: RMC]

[eqn: RMB]

[eqn: RMO]

[eqn: rm TRIANGLE ABC`]에서 [eqn: rmANGLE B=90 DEG]이므로 선분[eqn: rm AC`]는 원의 지름이다.

원의 반지름의 길이를 [eqn: r`]이라 하면 활꼴의 넓이는

[eqn: {pi } over {4} r ^{2} - {1} over {2} r ^{2} ``][eqn: =2 LEFT ( pi -2 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ``r=2 sqrt {2} `]

13. [출제의도] 자연수의 성질 이해하기

처음 있었던 바나나의 개수를 [eqn: x]라 하자.

형이 가져가고 남은 바나나의 개수는 [eqn: x-1 over 2]

동생이 가져가고 남은 바나나의 개수는 [eqn: x-3 over 4]

둘이 똑같이 나눠 가진 바나나의 개수는 [eqn: x-7 over 8]

[eqn: x-7 over 8]이 자연수이므로 [eqn: x=8k+7]([eqn: k]는 자연수)

∴ [eqn: 87`]

14. [출제의도] 평면도형 증명하기

[eqn: rm `A]

[eqn: rm `D]

[eqn: rm `B]

[eqn: rm `C]

[eqn: rm `E]

그림에서 직선 [eqn: rm `AE] 와 변 [eqn: rm `BC] 가 평행하므로

[eqn: rm ANGLE ABC] 와   는 동위각으로 같다.

[eqn: rm ANGLE DAE]

[eqn: rm ANGLE ACB] 와  는 엇각으로 같다.

[eqn: rm ANGLE CAE]

[eqn: rm bar{AB} ```= bar{AC}] 이므로 [eqn: rm ANGLE ABC=][eqn: rm ANGLE ACB] 이다.

따라서  [eqn: =]

[eqn: rm ANGLE DAE]

[eqn: rm ANGLE CAE]

[eqn: rm TRIANGLE ACE`` == `` TRIANGLE ADE] 이므로   [eqn: rm = bar{DE} it]이다.

[eqn: rm bar{CE}]

[eqn: rm bar{BD} ``<`` bar{BE} ``+ bar{DE}] 이고

[eqn: rm bar{BD} ``=`` bar{AB} ``+ bar{AD}] 이다.

따라서 [eqn: rm bar{AB} ``+ bar{AC} ``<`` rm bar{BE} ``+`]

[eqn: rm bar{CE}]

15. [출제의도] 그래프의 개형 이해하기

[eqn: RMX]

[eqn: RMM]

[eqn: RMY]

[eqn: d]

[eqn: rm `O]

[eqn: t]

[eqn: d]

16. [출제의도] 식을 변형하는 과정 추론하기

[eqn: x ^{4} +x ^{3} +x ^{2} +x+1=y ^{2}]([eqn: y] 는 자연수) 라 하자.

[eqn: 4x ^{4} +4x ^{3} +4x ^{2} +4x+4=(2y) ^{2}]

[eqn: +(3x ^{2} +4x+4)=(2y) ^{2}]

[eqn: (]           [eqn: ) ^{2}]

[eqn: 2x ^{2} +x]

[eqn: CDOTS] ㉠

[eqn: (2x ^{2} +x+1) ^{2} -(x-3)(x+1)=(2y) ^{2}]

[eqn: CDOTS] ㉡

[eqn: (x-3)(x+1)>0] 이면

㉡ 에서 [eqn: 2x ^{2} +x+1>2y] 이고

㉠ 에서 이므로

[eqn: 2x ^{2} +x]

[eqn: <2y]

만족하는 자연수 [eqn: y] 는 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: (x-3)(x+1) <= 0] 이므로

[eqn: -1 <= x <= 3] 이다.

그러므로 [eqn: x ^{4} +x ^{3} +x ^{2} +x+1] 을 어떤 자연수의 제곱이 되게 하는 자연수 [eqn: x] 의 개수는  개이다.

[eqn: 1]

17. [출제의도] 이중근호 계산하기

[eqn: {1} over {4} <x<1`]이면

[eqn: sqrt {4x+1-4 sqrt {x}} +□ sqrt {x} -1□`]

[eqn: = sqrt {4x+1-2 sqrt {4x}} +□ sqrt {x} -1□`]

[eqn: =□ sqrt {4x} -1□+□ sqrt {x} -1□`]

[eqn: =□2 sqrt {x} -1□+□ sqrt {x} -1□`]

[eqn: =2 sqrt {x} -1- LEFT ( sqrt {x} -1 RIGHT )]

[eqn: = sqrt {x}]

18. [출제의도] 이차함수 이해하기

ㄱ. [eqn: a=3]일 때, [eqn: y=3x ^{2} `]과 [eqn: rm TRIANGLE ABC`]의 교점의 개수는 [eqn: 2]개이므로 [eqn: F(3)=2]  ∴ 참

ㄴ. [eqn: a>4]이면 [eqn: y=ax ^{2}]과 [eqn: rm TRIANGLE ABC`]의 교점은 없으므로 [eqn: F(a)=0]  ∴ 참

ㄷ. [eqn: a= {1} over {16}] 또는 [eqn: a=4]이면 [eqn: y=ax ^{2} `]과
[eqn: rm TRIANGLE ABC`]의 교점의 개수는 [eqn: 1`]개이므로 [eqn: F(a)=1]  ∴ 거짓

19. [출제의도] 정수의 규칙을 이해하여 실생활 문제 해결하기

[eqn: 8]로 나누어 나머지가 [eqn: 1`]이면 엄지

[eqn: 8]로 나누어 나머지가 [eqn: 0,`2`]이면 검지

[eqn: 8]로 나누어 나머지가 [eqn: 3,`7`]이면 중지

[eqn: 8]로 나누어 나머지가 [eqn: 4,`6`]이면 약지

[eqn: 8]로 나누어 나머지가 [eqn: 5`]이면 새끼손가락

∴ [eqn: 1000]은 [eqn: 8`]로 나누어 떨어지므로 검지

20. [출제의도] 경우의 수 이해하기

원의 가운데에 [eqn: A,``B,``C`]를 시계방향으로  칠하면 나머지 [eqn: 6`]개의 영역을 칠하는 방법의 수는 [eqn: 4`]이다.

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: C]

[eqn: A]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: B]

[eqn: C]

[eqn: C]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: C]

[eqn: A]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: C]

[eqn: B]

[eqn: C]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: C]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: A]

[eqn: C]

[eqn: B]

[eqn: C]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: C]

[eqn: C]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: C]

[eqn: B]

[eqn: A]

같은 방법으로, 원의 가운데에 [eqn: A,``C,``B`]를 시계방향으로  칠하면 나머지 [eqn: 6`]개의 영역을 칠하는 방법의 수는 [eqn: 4`]이다.

[eqn: THEREFORE ``4+4=8]

21. [출제의도] 이등변삼각형의 성질과 삼각비를 활용하여 실생활 문제 해결하기

[eqn: RM A]

[eqn: RM B]

[eqn: RM P]

[eqn: RM M]

[eqn: RM L]

[eqn: 60 DEG]

[eqn: 30 DEG]

[eqn: 2RM ANGLE LAP= ANGLE LBP]이므로 [eqn: rm ANGLE BAL= rm ANGLE BLA]

따라서 [eqn: RM TRIANGLE ABL]은 이등변삼각형

점[eqn: RMB `]에서 선분[eqn: rm ` AL `]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMM`]이라 하면 [eqn: RM`BAR{AM}`=`BAR{LM}]

속도가 [eqn: 10]이므로 [eqn: rm bar{AB} =20]이고

[eqn: rm ` bar{AM} `=` bar{AB} it ``cos30 DEG =10 sqrt {3}]

[eqn: rm THEREFORE `` rm ` bar{AL} `=`2` bar{AM} `=20 sqrt {3}]

22. [출제의도] 간단한 무리식 계산하기

[eqn: {3} over {2} ``< sqrt {x} ```< {9} over {2}]이므로 [eqn: {9} over {4} ``<`x``< {81} over {4}]

∴ [eqn: x]의 개수는 [eqn: 18`]

23. [출제의도] 복소수의 상등 계산하기

실수 [eqn: x,````y`]에 대하여

[eqn: LEFT ( x+`i RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2+3i RIGHT ) ^{2} =y+26`i`]이므로

[eqn: LEFT ( x ^{2} -6 RIGHT ) + LEFT ( 2x+12 RIGHT ) i=y+26i]

[eqn: x ^{2} -6=y`]이고 [eqn: 2x+12=26`]

따라서 [eqn: x=7,````y=43`]

[eqn: THEREFORE ``x+y=50`]

24. [출제의도] 나머지 정리 이해하기

[eqn: f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q _{1} (x)`+x ^{2} +x+1]

이므로 [eqn: f(1)=3,````f(2)=7,````f(3)=13]

[eqn: f(6x)=(2x-1)(3x-1)Q _{2} (x)`+ax+b]

[eqn: x= {1} over {2}]을 대입하면 [eqn: f(3)= {1} over {2} a+b=13]

[eqn: x= {1} over {3}]을 대입하면 [eqn: f(2)= {1} over {3} a+b=7]

따라서 [eqn: a=36,````b=`-5]

[eqn: THEREFORE ``a+b=31]

25. [출제의도] 복소수의 사칙연산 이해하기

[eqn: 2+3i`]의 켤레복소수는 [eqn: 2-3i]

[eqn: {1+i} over {1-i} `=i]의 역수는 [eqn: -i`]

[eqn: LEFT ( 2-3i RIGHT ) + LEFT ( -i RIGHT ) =2-4i]이므로 [eqn: x=2,```y=`-4`]

[eqn: THEREFORE ``x ^{2} +y ^{2} =20`]

26. [출제의도] 규칙을 찾아 수학 외적 문제 해결하기

[그림 1]에서 실선의 길이는 [eqn: 4= 4 TIMES 1]

[그림 2]에서 실선의 길이는 [eqn: 8=4 TIMES 2]

[그림 3]에서 실선의 길이는 [eqn: 12=4 TIMES 3]

따라서 가장 아랫부분의 정사각형이 [eqn: 50`]개가 되었을 때, 실선의 길이는 [eqn: 4 TIMES 50=200]이다.

[eqn: ∴~200]

27. [출제의도] 비례식을 활용하여 수학 외적 문제 해결하기

1학년 남학생, 여학생 수를 각각 [eqn: x,````y`]라 하면

2학년 남학생, 여학생 수는 각각 [eqn: y,````x`]이다.

3학년 여학생 수를 [eqn: z`]라고 하면,

[eqn: z= {2} over {5} LEFT ( x+y+z RIGHT ) `]이고 [eqn: z= {2} over {3} LEFT ( x+y RIGHT ) `]

[eqn: {LEFT ( 3학년````여학생````수 RIGHT )} over {LEFT ( 전체````학생````수 RIGHT )} = {{2} over {3} LEFT ( x+y RIGHT )} over {3 LEFT ( x+y RIGHT )} = {2} over {9}]

∴ [eqn: a+b=11]

28. [출제의도] 유리수를 연속된 분수식으로 표현하기

[eqn: {165} over {98} =1+ {1} over {1+ {1} over {2+ {1} over {6+ {1} over {4+ {1} over {1}}}}}] 이므로

[eqn: {165} over {98`} `=`<1````;````1,``2,``6,``4,``1>]

∴ [eqn: a+b+c+d`=1+2+6+4=13]

29. [출제의도] 확률 계산하기

[eqn: A= LEFT { -4,``-3,``-2,``-1,``0,``1,``2,``3,``4 RIGHT }]의 부분집합의 개수는 [eqn: 2 ^{9} `]

[eqn: A]의 부분집합 중에 [eqn: B= LEFT { 1,``2,``3,``4 RIGHT } `]와 서로 소인 집합의 개수는 [eqn: 2 ^{5} `]

따라서 확률은 [eqn: {2 ^{5}} over {2 ^{9}} = {1} over {16}]이고 [eqn: a=16,````b=1`]

[eqn: THEREFORE ``a+b=17`]

30. [출제의도] 경우의 수를 이용한 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: 3]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: 4]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 1]

[eqn: 4]

[eqn: 3]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: 4]

[eqn: 4]

[eqn: 4]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: 4]

[eqn: 4]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: THEREFORE ``10]가지