• 수리 영역 •

수리‘가’형 정답

1	③	2	③	3	③	4	④	5	⑤
6	④	7	①	8	⑤	9	②	10	①
11	②	12	③	13	⑤	14	②	15	①
16	⑤	17	④	18	[eqn: 24]	19	[eqn: 26]	20	[eqn: 27]
21	[eqn: 160]	22	[eqn: 35]	23	[eqn: 51]	24	[eqn: 30]	25	[eqn: 100]

해 설

1. [출제의도] 지수를 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2 ^{- {1} over {3}} TIMES 4 ^{{2} over {3}}][eqn: =``2 ^{- {1} over {3}} TIMES 2 ^{{4} over {3}}][eqn: =``2 ^{- {1} over {3} + {4} over {3}}][eqn: =`2]

2. [출제의도] 무리방정식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 식의 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: (x-1)(x-2)(x-6)=0]

[eqn: therefore] [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=6] ([eqn: because] [eqn: x=1]은 무연근)

따라서 모든 실근의 합은 [eqn: 8]이다.

3. [출제의도] 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm P( it A CUP B)][eqn: rm = rm P( it A)`+{rmP}( it B)`- rm P( it A)`{rmP}( it B)`][eqn: = {13} over {25}]

4. [출제의도] 분수부등식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(x-2)=ax(x-4)(x+4)] ([eqn: a>0])이므로

[eqn: f(x-2) over x =a (x-4)(x+4) <=0] ([eqn: x != 0])

따라서 구하는 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 8]이다.

5. [출제의도] 타원을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm bar AF][eqn: =a], [eqn: rm bar OF][eqn: = {1} over {2} a], [eqn: {rm bar AO}= b= {sqrt {3}} over {2} a]이므로 [eqn: {b} over {a} = {sqrt {3}} over {2}]

6. [출제의도] 두 평면이 이루는 각의 크기를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

접점으로 이루어진 도형을 포함하는 평면의 법선벡터는 [eqn: (1,``3,``5)-(1,``7,``2)=(0,``-4,``3)]이고,

[eqn: xy]평면의 법선벡터는 [eqn: (0,``0,``1)]이므로

[eqn: costheta = {|(0,`-4,`3) cdot (0,`0,`1)|}over{|(0,`-4,`3)|times|(0,`0,`1)|}= 3over5]

7. [출제의도] 삼차함수의 극댓값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(x)=ax ^{3} +bx]로 놓으면

[eqn: f` prime (x)=3ax ^{2} +b][eqn: =3a LEFT ( x ^{2} - {1} over {4} RIGHT )] [eqn: therefore][eqn: b=- {3a} over {4}]

[eqn: f(x)=ax ^{3} - {3a} over {4} x=ax LEFT ( x- {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) LEFT ( x+ {sqrt {3}} over {2} RIGHT )]이므로

[eqn: TRIANGLE rm ACB = 1over 2 rm □ADBC][eqn: rm = {1} over {2} TIMES root3 TIMES ( rm 극댓값)= {sqrt {3}} over {2} `]이다.

따라서 극댓값은 [eqn: 1]이다.

8. [출제의도] 벡터의 내적을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. (반례) [eqn: vec{x} cdot vec { y}``=0]이지만 [eqn: left|`` vec { x}`` right| ```=root2], [eqn: left|`` vec { y}`` right| ```=root2] 인 경우가 있다. (거짓)

ㄴ. [eqn: left|`` vec { x}`` right| ```=root5], [eqn: left|`` vec { y}`` right| ```=root2]이면 두 벡터 [eqn: vec { x}], [eqn: vec { y}]는 수직이 될 수 없다. ∴ [eqn: vec{x} cdot vec { y}``!=0] (참)

ㄷ. 주어진 도형을 좌표평면에서 생각하면 [eqn: vec { x}], [eqn: vec { y}]의 성분은 모두 정수이므로 [eqn: vec{x} cdot vec { y}]는 항상 정수이다. (참)

9. [출제의도] 함수의 연속성을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: lim _{h -> 0} {`|`(2+h) ^{2} -(2-h) ^{2} `|} `= lim _{h -> 0} {`|`8h|=0}] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{h -> 0} {`left|`[`2+h`]-[`2-h`]`right|} = {|`2-1`|} =1] (참)

ㄷ. (반례) [eqn: f(x)=` cases{x&LEFT ( x != 2 RIGHT )#0&LEFT ( x=2 RIGHT )}]이면

[eqn: lim _{h -> 0} {`|`f(2+h)-f(2-h)`|} = lim _{h -> 0} {`LEFT | `` LEFT ( `2+h RIGHT ) - LEFT ( 2-h RIGHT ) `` RIGHT |} =0]이지만 [eqn: x=2]에서 불연속이다. (거짓)

10. [출제의도] 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: S _{1} +S _{2} +S _{3} =1], [eqn: 2S _{2} =S _{1} +S _{3}] [eqn: cdots] ㉠

[eqn: S _{1} = int _{0} ^{1} {} 1over 2 x ^{2} dx `= 1over6] [eqn: cdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: S _{2} = {1} over {3}], [eqn: S _{3} = {1} over {2}]

[eqn: ax ^{2} =1`]에서 [eqn: x= {1} over {sqrt {a}} ``( BECAUSE `x>0)`]이므로

[eqn: S _{3} = {1} over {sqrt {a}} `- int _{0} ^{{1} over {sqrt {a}}} {} ax ^{2} dx`][eqn: = 1 over2]에서  [eqn: a = 16 over 9]

11. [출제의도] 직선과 삼각형이 만날 조건을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

삼각형 [eqn: \ABC]는 평면 [eqn: z=1] 위에 있으므로 직선의 방정식에 [eqn: z=1]을 대입하면 삼각형 [eqn: \ABC]를 품는 평면과 직선 [eqn: l]의 교점의 좌표는 [eqn: (-a-2,``1,``1)]이다.

평면 [eqn: y=1]과 선분 [eqn: \CA], [eqn: \CB]의 교점의 [eqn: x]좌표가 각각 [eqn: 2,``-1]이므로 [eqn: -1<= -a-2<=2]에서 [eqn: -4<=a<=-1]

따라서 구하는 정수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 4]이다.

12. [출제의도] 행렬의 연산의 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: A(A-4E`)=E] 이므로 [eqn: A ^{-1} =A-4E``]이다. (참)

ㄴ. (반례) [eqn: A=E``]이면 [eqn: A ^{2} -A=O``]이지만 행렬 [eqn: A`]의 역행렬이 존재한다. (거짓)

ㄷ. 대우 ‘[eqn: A ^{2} ``]의 역행렬이 존재하면 [eqn: A ^{3} ``]의 역행렬이 존재한다.’는 참이므로 주어진 명제는 참이다. (참)

13. [출제의도] 수열의 극한을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 식을 이용하여 각 항을 차례로 나열하면

[eqn: 1`,``2`,``1`,``2`,``1`,``2`,`` CDOTS `]

ㄱ. [eqn: n`]이 홀수이면 [eqn: a _{n} `=`1`]이므로 [eqn: a _{11} =1]이다. (참)

ㄴ. [eqn: a` _{2n} `=2`]이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{2n} =2]이다. (참)

ㄷ. [eqn: n`=`2`m`] ([eqn: m]은 자연수)일 때

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} a` _{k}} `=` lim _{m -> INF } {{1} over {2m} sum _{k=1} ^{2m} a` _{k}} `=` lim _{m -> INF } {{3m} over {2m} `=` {3} over {2}}]

[eqn: n`=`2`m`-1`] ([eqn: m]은 자연수)일 때

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} a` _{k}} `= lim _{m -> INF } {{1} over {2m-1} sum _{k=1} ^{2m-1} a` _{k}} `=` lim _{m -> INF } {{3m-2} over {2m-1} `=` {3} over {2}}]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} a` _{k}} `=` {3} over {2} `] (참)

14. [출제의도] 이항정리를 이용하여 명제를 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(가) [eqn: x ^{n}]  (나) [eqn: ` _{n} rm C it _{it`n-k} `]  (다) [eqn: 1 <= k <= n-1]

15. [출제의도] 도형의 넓이에 관한 무한급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: bar{rm D`P _{1} ` it} `=`2`], [eqn: TRIANGLE rm D`P _{1} `D_1 it]□[eqn: TRIANGLE rm BCD_1]이므로 [eqn: bar{rm D`D _{1} ` it} `=` {4` sqrt {2}} over {3} `]

[eqn: THEREFORE] [eqn: S _{1`} `=` {8} over {3}]

한편, 정사각형 [eqn: rm B`C _{1} `D _{1} A _{1} `]의 한 변의 길이는 [eqn: {8} over {3} `]이므로 각 정사각형의 넓이는 공비가 [eqn: left({2} over {3}right)^2 = 4over9 `]인 등비수열을 이룬다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n`} `=` {24} over {5}]

16. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

직선 [eqn: y=2x`] 위의 한 점 [eqn: rmP`]를 [eqn: (a`,``2a)]라 하면

[eqn: RMA(ITa`, ``4^a )` , ``RMB ( IT4^a` ,`` 2a)]이므로

[eqn: {S _{3}} over {S _{1}} = {(4 ^{a} -a)2a} over {(4 ^{a} -2a)a} = {7} over {3}], [eqn: 4 ^{a} =8a]

[eqn: {S _{2}} over {S _{1}} = {(4 ^{a} -a)(4^a -2a) } over {(4 ^{a} -2a)a} = {k} over {3}]  [eqn: THEREFORE~k=2 1]

17. [출제의도] 지수의 성질을 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: N(5)][eqn: = {K} over {1+c`․`a ^{-5b}} = {K} over {2}]에서 [eqn: c= a^5b] 이므로

[eqn: N(7)= {K} over {1+a ^{-2b}} = {3} over {4} K``]에서 [eqn: a^-2b = 1over3]이다.

∴ [eqn: N(9)= K over{1+a^{-4b}} = K over{1+(a^{-2b})^2}` = 9 over10 K]

18. [출제의도] 삼차함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f`'(x)=3x^2 + 6x = 3x(x+2 )=0]에서 [eqn: x=-2,~0]

[eqn: f(-1)`=` 12], [eqn: f(0)`=10], [eqn: f(1)`=`14]이므로 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 14+10=24]이다.

19. [출제의도] 함수가 연속일 조건을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(1)= lim _{x -> 1+0} {f(x)= lim _{x -> 1-0} {f(x)}}]이어야 하므로

[eqn: a+5 over 1+b = a = 5 over b]에서 [eqn: ab=5]

[eqn: a=1], [eqn: b=5] 또는 [eqn: a=5], [eqn: b=1]이므로  [eqn: a^2 +b^2 =26]

20. [출제의도] 정적분을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(가)에서 [eqn: f(x)g(x)=(x-1)(x+1)(x+3)]

(다)에서 [eqn: g` prime (x)=2f(x)], [eqn: g (1)=0]이므로

[eqn: f(x)=x+1,`~g(x)=(x-1)(x+3)] ([eqn: because][eqn: f` prime(x)=1] )

[eqn: therefore] [eqn: int_0^3 3 g(x) dx][eqn: = int_0^3 3 (x^2 + 2x-3) dx][eqn: = 27]

21. [출제의도] 세 평면의 교점을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 네 평면 중 세 평면이 만나는 점이 사면체의 꼭짓점이므로 [eqn: \A(0,``0,``4)], [eqn: \B(0,``4,``0)], [eqn: \C(2,``2,``0)]이다.

따라서 사면체 [eqn: \OABC]의 부피는

[eqn: V=` {1} over {3} TIMES LEFT ( {1} over {2} TIMES 4 TIMES 2 RIGHT ) TIMES 4= {16} over {3}] [eqn: THEREFORE] [eqn: 30V=`160]

22. [출제의도] 이항분포의 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 10 rm P it(X=3)=10p ^{3} ``], [eqn: rmP it(Y >= 3)][eqn: =16p ^{3} (2-3p)]이므로

[eqn: 10p ^{3} =16p ^{3} (2-3p)] 즉, [eqn: 10=16(2-3p)]이다.

따라서 [eqn: p= {11} over {24} ``]이므로  [eqn: m+n=35``]이다.

23. [출제의도] 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(ⅰ) 두 사람이 모두 비기는 경우 : [eqn: 1`](가지)

(ⅱ) 갑이 [eqn: 1`]승 [eqn: 1`]패 [eqn: 3`]무인 경우 : [eqn: {5!} over {3!} `=`20`](가지)

(ⅲ) 갑이 [eqn: 2`]승 [eqn: 2`]패 [eqn: 1`]무인 경우 : [eqn: {5!} over {2!2!} `=`30`](가지)

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 1+20+30=51](가지)

24. [출제의도] 수열의 성질을 이해하여 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 30`a _{30} -(a _{1} +a _{2}+a_3 + `CDOTS `+a _{29} )``]

[eqn: =a _{30} +(a _{30} -a _{1} )+(a _{30} -a _{2} )+` CDOTS` +(a _{30} -a _{29} )`]

[eqn: =1+2 TIMES {1} over {2} +3 TIMES {1} over {3} + CDOTS +30 TIMES {1} over {30} =30]

25. [출제의도] 행렬의 거듭제곱을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: B= pmatrix{0&````0#1&````1} ,`C= pmatrix{3&````4#6&````5}]에서 [eqn: BC= pmatrix{0&````0#9&````9} =9B]

[eqn: BC ^{50} =9BC ^{49} =9 ^{2} BC ^{48} = CDOTS =9 ^{50} B]이다.

행렬 [eqn: A]의 [eqn: (2`,``1)]성분은 [eqn: 9 ^{50} =3 ^{100}]이므로 [eqn: n=100]이다.

[미분과 적분]

26	②	27	①	28	④	29	⑤	30	[eqn: 25]

26. [출제의도] 배각공식을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {} `tan {theta _{n}} over {2} = lim _{n -> INF } {} ` n+1 over 2n = {1} over {2}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } { `tan theta _{n}} = lim _{n -> INF } { {2tan {theta _{n}} over {2}} over {1-tan ^{2} {theta _{n}} over {2}}} = {2 CDOT {1} over {2}} over {1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2}} = {4} over {3}]

27. [출제의도] 합성함수의 미분을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f` prime (f(1))=1]이므로

[eqn: lim _{x -> 1} {} {f`` prime (f(x))-1} over {x-1}]

[eqn: = lim _{x -> 1} {} LEFT { {f` prime (f(x))-f` prime (f(1))} over {f(x)-f(1)} CDOT {f(x)-f(1)} over {x-1} RIGHT }]

[eqn: =f` '' (f(1))f` prime (1)=f` '' (2)cdot3=3]

∴ [eqn: f` '' (2)=]1

28. [출제의도] 로그함수의 극한을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm A( it t,~ln(2t+1))]이라 하면 [eqn: a -> INF]일 때 [eqn: t -> 0]이다.

[eqn: S _{1} = {1} over {2} `ln(2t+1)], [eqn: S _{2} ={t} over {2}]이므로

[eqn: alpha=lim _{a -> INF } {} {S _{1}} over {S _{2}} = lim _{t -> 0} {} {ln(2t+1)} over {t}][eqn: =2]

29. [출제의도] 회전체의 부피의 변화율을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그릇에 남은 물의 부피는 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]과 직선 [eqn: x=sin theta]로 둘러싸인 부분을 [eqn: x]축의 둘레로 회전시킨 입체의 부피와 같다.

ㄱ. [eqn: H( theta )=1-sintheta] (참)

ㄴ. 수면의 반지름의 길이는 [eqn: costheta]이므로

[eqn: S( theta )= pi cos ^{2} theta]이다. (참)

ㄷ. [eqn: V( theta )= pi int _{sin theta } ^{1} {(1-x ^{2} )} `dx]이므로

[eqn: {d} over {d theta } V( theta )= pi (-cos theta +sin ^{2} theta `cos theta )]

[eqn: =- pi cos ^{3} theta =-S( theta )`cos theta] (참)

30. [출제의도] 변화율을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm ANGLE PAB= it theta]라 하면  [eqn: rm ` bar{BP} =10sin theta], [eqn: rm ` bar{AQ} =10cos2 theta]

[eqn: {d} over {dt}{rm bar BP} =10`cos theta `{d theta } over {dt} = {1} over {2}]에서 [eqn: {d theta } over {dt} = {1} over {20cos theta }]

[eqn: {d} over {dt} {rm bar AQ} =-20`sin2 theta ` {d theta } over {dt} =-40`sin theta `cos theta ` {d theta } over {dt}][eqn: =-2sin theta]

[eqn: t=5]일 때, [eqn: 10sin theta `=` {5} over {2}]이므로 [eqn: sin theta = {1} over {4}]이다.

[eqn: p=-2 CDOT {1} over {4} =- 1over2]이므로 [eqn: 100p ^{2} =25]이다.

[확률과 통계]

26	④	27	④	28	②	29	①	30	[eqn: 64]

줄기	잎
[eqn: 5]	[eqn: 7] [eqn: 7] [eqn: 7]
[eqn: 6]	[eqn: 1] [eqn: 3] [eqn: 7]
[eqn: 7]	[eqn: 5] [eqn: 5] [eqn: 6]
[eqn: 8]	[eqn: 0]

26. [출제의도] 줄기와 잎 그림을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

수정한 후의 줄기와 잎 그림은 다음과 같다.

ㄱ. 평균이 작아진다. (참)

ㄴ. 범위는 변하지 않는다. (거짓)

ㄷ. 중앙값이 [eqn: 71]에서 [eqn: 65]로 작아진다. (참)

27. [출제의도] 확률밀도함수를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: F(0.3)={rm P}(X>=0.3) <= {rm P}(X>=0.2)=F(0.2)](참)

ㄴ. (반례) [eqn: X]의 확률밀도함수가 [eqn: f(x)=2x]이면

[eqn: F(0.4)={rm P}(X>=0.4) > G(0.6)={rm P}(X<=0.6)] (거짓)

ㄷ. [eqn: F(0.7)+G(0.7)=F(0.2)+G (0.2 )=1]

∴ [eqn: F(0.2)-F(0.7)=G (0.7 )-G(0.2)] (참)

28. [출제의도] 모비율을 이용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: Z= {hat p - p } over root{pq over n } = {hatp - 0.2} over root{0.2times0.8 over 100}][eqn: = {hatp -0.2} over 0.04]이므로

[eqn: rm P ( it 0.16<= hat p <= 0.26)][eqn: = rm P left( 0.16-0.2 over 0.04 <= {itZ} ``<= 0.26-0.2 over 0.04 right)]

[eqn: = rm P left( -1 <= it Z ``<= 1.5 right)][eqn: =0.3413+0.4332=0.7745]

29. [출제의도] 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: rm P]가 세 번 이동할 때 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm P] 사이의 거리는 [eqn: 1] 또는 [eqn: root3]이다.

점 [eqn: rm P]가 세 번 이동하는 방법의 수는 [eqn: 3 ^{3} =27](가지)

이때, 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm P] 사이의 거리가 [eqn: root3]인 방법의 수는 [eqn: 3 TIMES 2 TIMES 1=6](가지)

따라서 구하는 확률은 [eqn: 1 - 6over {27} = {7} over {9}]이다.

30. [출제의도] 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

한 학생의 통학 시간을 확률변수 [eqn: X]라 하면

[eqn: p_1 =][eqn: {rm P}(X>=35)= {rm P} LEFT ( Z>= 35-25over 5 RIGHT )][eqn: =0.02]

따라서 [eqn: 2500]명 중 통학 시간이 [eqn: 35]분 이상인 학생의 수를 확률변수 [eqn: Y]라 하면 [eqn: Y]는 이항분포 [eqn: rmB`left(2500,`` 0.02right)}]를 따르므로 근사적으로 정규분포 [eqn: rmN`left(50,``7^2 right)}]을 따른다.

이때, [eqn: p_2 =][eqn: {rm P}(Y>=n)= {rm P} LEFT ( Z>= n-50 over 7 RIGHT )= rm P (it Z>= 2 )]이어야 하므로 [eqn: n-50 over 7 = 2]이다.

∴ [eqn: n=64]

[이산수학]

26	④	27	②	28	①	29	③	30	[eqn: 19]

26. [출제의도] 수열의 점화관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

수열 [eqn: LEFT { f _{n} RIGHT }]은 [eqn: -1,`0,`1,`1,`0,`-1,`-1,` CDOTS]이므로

수열 [eqn: LEFT { f _{n} ` ^{2} RIGHT }]은 [eqn: 1,`0,`1,`1,`0,`1,`1,`cdots]이다.

[eqn: THEREFORE`` sum _{n=1} ^{100} f _{n} ` ^{2} =2 TIMES 33+1=67]

27. [출제의도] 그래프를 적절하게 색칠할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 그래프의 꼭짓점을 적절하게 색칠할 수 있는 최소의 색의 수는 [eqn: 2]이다.

ㄱ. [eqn: 3]개  ㄴ. [eqn: 2]개  ㄷ. [eqn: 3]개

28. [출제의도] 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 1]개, [eqn: 4]개로 나누어 저장하는 경우는 [eqn: 3]가지이고,

[eqn: 2]개, [eqn: 3]개로 나누어 저장하는 경우는 [eqn: {} _{5} rm C it rm _{2} TIMES _{3} rm C it rm _{3} =10]가지이므로 [eqn: 10+3=13](가지)이다.

29. [출제의도] 그래프를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

그래프 [eqn: G]는 오른쪽과 같다.

ㄱ. 변의 개수가 8이므로 모든 꼭짓점의 차수의 합은 16이다. (참)

ㄴ. 모든 꼭짓점의 차수가 짝수이므로 오일러회로가 존재한다. (참)

ㄷ. 해밀턴회로는 존재하지 않는다. (거짓)

30. [출제의도] 그래프를 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

위 그래프에서 구하는 최소의 작업 일수는 각 경로에 필요한 작업 일수의 최댓값과 같으므로 [eqn: 19](일)이다.

수리‘나’형 정답

1	③	2	④	3	③	4	①	5	②
6	④	7	⑤	8	④	9	②	10	⑤
11	①	12	③	13	⑤	14	②	15	①
16	⑤	17	④	18	[eqn: 12]	19	[eqn: 64]	20	[eqn: 21]
21	[eqn: 27]	22	[eqn: 35]	23	[eqn: 51]	24	[eqn: 30]	25	[eqn: 100]
26	②	27	④	28	①	29	③	30	[eqn: 49]

해 설

1. ‘가’형과 같음.

2. [출제의도] 행렬을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A= LEFT ( matrix{2&2#4&4} RIGHT ) ``], [eqn: B= LEFT ( matrix{1&2#1&2} RIGHT )]이므로 [eqn: AB`=` LEFT ( matrix{4&``8#8&``16} RIGHT ) `]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 36`]이다.

3. ‘가’형과 같음.

4. [출제의도] 수열의 규칙을 이해하여 그 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: 1], [eqn: 11], [eqn: 111], [eqn: 1111], [eqn: 11111], [eqn: CDOTS]

이때, [eqn: a _{n}]을 [eqn: 3]으로 나눈 나머지는 차례로 다음과 같다.

[eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 0`], [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 0`], [eqn: 1`], [eqn: ` CDOTS `]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{30} b _{n} = sum _{n=1} ^{10} 3=30]이다.

5. [출제의도] 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 눈의 수의 곱이 짝수인 경우의 수는 [eqn: 36-9=27`](가지)이고, 짝수를 포함한 두 수의 합이 [eqn: 6`] 또는 [eqn: 8`]인 경우는 [eqn: (2,`4)], [eqn: (2,`6)], [eqn: (4,`2)], [eqn: (4,`4)], [eqn: (6,`2)]이므로 구하는 확률은 [eqn: {5} over {27} `]이다.

6. [출제의도] 순서도를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: S= sum _{k=1} ^{100} 2k=2 left({100 TIMES 101} over {2} right)=10100]

7. [출제의도] 이항정리를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {} _{10} `{rmC}` _{r} `x ^{10-r} (x ^{-n} ) ^{r} `=` _{10} `{rmC}` _{r} `x ^{10-(n+1)r}] ([eqn: 0`<=`r`<=`10`])

이때, [eqn: 10-(n+1)r`=`0], [eqn: (n+1)r`=`10]을 만족하는 순서쌍 [eqn: (`r,~n`)`]은 [eqn: (`1,~9`),~(`2,~4`),~(`5,~1)`]이다.

따라서 [eqn: n`]의 값들의 합은 [eqn: 14`]이다.

8. [출제의도] 정규분포를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {RMP}(400 <= X <= 440)={RMP}(0 <= Z <= 2)=0.48]이므로 수출한 과일은 [eqn: 30000 TIMES 0.48=14400](개)이다.

9. [출제의도] 행렬의 연산을 이용하여 그 성질을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. 두 행렬만 [eqn: LEFT ( matrix{1&0#0&1} RIGHT ) ^{2} `= LEFT ( matrix{0&1#1&0} RIGHT ) ^{2} =E``]이다. (참)

ㄴ. [eqn: X IN P``]이면 [eqn: X ^{2} =E``] 또는 [eqn: X ^{2} =X``]이므로 항상

[eqn: X ^{3} =X``]가 성립한다. (참)

ㄷ. (반례) [eqn: pmatrix{0&````1#0&````1} pmatrix{0&````0#1&````1} NOTIN P``] (거짓)

10. [출제의도] 조합의 성질을 이용하여 직사각형의 개수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sum _{k=2} ^{20} `a` _{2k} `][eqn: =a _{4} `+`a _{6`} +`a _{8} `+` CDOTS `+a _{40} `]

[eqn: `= _{2} ` rm C` _{2} ``+` _{3} `C` _{2} `+ _{4} C` _{2} `+` CDOTS `+ _{20} `C` _{2} ```][eqn: `= _{21} ` rm C` _{3} ``][eqn: =1330``]

11. [출제의도] 수열을 이용하여 나누어진 영역의 개수를 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{1} `=`6`,``a _{2} `=`12`,``a _{3} `=`20`,`` a_4 = 30`,``CDOTS]

[eqn: a _{n} `=`6`+``sum_k=1^n-1 (2n+4)}= n^2 +3n+2]이므로 [eqn: a_10 =132]이다.

12～17. ‘가’형과 같음.

18. [출제의도] 로그부등식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log` _{{1} over {2}} (x-2)>-3``]에서  [eqn: 0<x-2<8]

즉, [eqn: 2<x<10] 이므로 [eqn: alpha + beta =12]이다.

19. [출제의도] 최댓값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

함수 [eqn: f(x)=2 ^{-(x-2) ^{2} +a+4`}]에서 지수의 최솟값은 [eqn: a`]이므로 [eqn: 2 ^{a} =2 ^{2}] 즉, [eqn: a=2]이다. 이때, 지수의 최댓값은 [eqn: a+4=6]이므로 [eqn: f(x)`]의 최댓값은 [eqn: 2^6 = 64`]이다.

20. [출제의도] 행렬의 곱셈을 이용하여 조건을 만족하는 행렬의 개수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A ^{2} = pmatrix{a&````b#1&````c} pmatrix{a&````b#1&````c} = pmatrix{a ^{2} +b&````b(a+c)#a+c&````b+c ^{2}} = pmatrix{1&````0#0&````1}]

따라서 [eqn: c=-a,````b=-a ^{2} +1]을 만족하는 [eqn: a ^{2}]의 값은 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 4], …, [eqn: 100]등의 모두 [eqn: 11]개이다. [eqn: a ^{2} =0]을 만족하는 경우의 행렬은 [eqn: 1]개이고 그 이외의 경우는 모두 [eqn: 2]개씩 있으므로 구하는 행렬의 개수는 모두 [eqn: 21](개)이다.

21. [출제의도] 무한등비급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

선분 [eqn: rm A it ` _{n} ` rm H it ` _{n} `]의 길이는 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} ``]이므로 [eqn: S`` _{n} `=` {sqrt {3}} over {3} ` left( 1over 4 right ) ^n]

[eqn: a= sum _{n=1} ^{INF } `S _{n} `=` {sqrt {3}} over {9}]이므로 [eqn: {1} over {a ^{2}} =27]이다.

22～25. ‘가’형과 같음.

26. [출제의도] 가수를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log``a=1+ alpha] ([eqn: 0 < alpha <1`])라 하면 [eqn: f(a)= alpha]

[eqn: log` {1} over {a} =-log`a=(-2)+(1- alpha )]이므로 [eqn: f LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) =1- alpha]

[eqn: LEFT { f(a) RIGHT } ^{2`} `+` LEFT { f LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) RIGHT } ^{2} = alpha ^{2} +(1- alpha ) ^{2} =2 LEFT ( alpha - {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + {1} over {2}]

[eqn: 0 < alpha <1`]에서 [eqn: alpha = 1over 2 `]일 때 최솟값 [eqn: 1over 2 `]을 갖는다.

27. [출제의도] 등차수열의 성질을 이해하여 그 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{m} +a _{n} =a _{m+n}]에서

[eqn: a+(m-1)d+a+(n-1)d=a+(m+n-1)d]

[eqn: a=d], [eqn: a _{n} =an] [eqn: THEREFORE] [eqn: sum _{n=1} ^{10`} a _{n} = sum _{n=1} ^{10} an=55a]

28. [출제의도] 경우의 수를 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

비밀번호에 쓸 수 있는 숫자는 [eqn: 1,~2,~3,~7,~8`]이다.

첫째 자리가 [eqn: 7]이고 마지막 두 자리가 [eqn: 4`]의 배수인 경우는 [eqn: 2 TIMES 3]가지이고, 첫째 자리가 [eqn: 8]인 경우도 [eqn: 2 TIMES 3]가지이다. 따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 2 TIMES 6=12`]이다.

29. [출제의도] 로그의 성질을 이해하여 로그의 값을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: log _{2} 16<2log _{2} 5`=log _{2} 25<log _{2} 32]이므로

[eqn: 2<=log _{2} 5`<2+` {1} over {2}] [eqn: THEREFORE ```log _{2} 5 IN A _{2}] (참)

ㄴ. (반례) [eqn: log _{2} root6` IN `A _{1}]이지만

[eqn: {7} over {2} `=log _{2} sqrt {128`} <log _{2`} 5 sqrt {6} =log _{2} sqrt {150}]이므로

[eqn: log _{2} 5root6` NOTIN A _{3}]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: log _{2} `a` IN B` _{10}]이므로 [eqn: 10+` {1} over {2} ` <= log _{2} `a<10+1]

[eqn: 5`+ {1} over {4} <``log _{2}sqrt {a} `<5+ {1} over {2}]이므로 [eqn: log _{2} sqrt {a} ` IN A _{5}]이다. (참)

30. [출제의도] 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

구하는 확률은 [eqn: 1- {15} over {81} `=` {22} over {27}]이므로 [eqn: p+q=49]이다.