• 수학 영역 •

수학 가형 정답

1	③	2	①	3	④	4	②	5	⑤
6	⑤	7	③	8	④	9	②	10	①
11	④	12	③	13	①	14	③	15	①
16	⑤	17	①	18	②	19	④	20	⑤
21	②	22	[eqn: 24]	23	[eqn: 16]	24	[eqn: 7]	25	[eqn: 9]
26	[eqn: 75]	27	[eqn: 107]	28	[eqn: 442]	29	[eqn: 46]	30	[eqn: 5]

해 설

1. [출제의도] 다항식의 합을 계산한다.

두 다항식 [eqn: A=2x ^{2} -3x-5`], [eqn: B=`-x ^{2} +3x`]에서

[eqn: A+2B``][eqn: =(2x ^{2} -3x-5)+2(-x ^{2} +3x)]
[eqn: =2x ^{2} -3x-5-2x ^{2} +6x]
[eqn: =3x-5]

2. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 계산한다.

[eqn: 2^-2 times 16^{1 over 2 }][eqn: =`2 ^{-2} TIMES LEFT ( 2 ^{4} ` RIGHT ) ^{{1} over {2}}]
[eqn: = 2^-2 times 2^2]
[eqn: =2^-2+2]
[eqn: =2^0 =1]

[다른 풀이]

[eqn: 2 ^{-2} TIMES 16 ^{{1} over {2}} = {1} over {2 ^{2}} TIMES sqrt {16}]
[eqn: = {1} over {4} TIMES 4=1]

3. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 주어진 값을 구한다.

이차방정식 [eqn: x ^{2} +4=0`]의 두 근을 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면  근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha beta =4`]

[다른 풀이]

[eqn: x ^{2} +4=0`]에서

[eqn: x ^{2} =`-4]

[eqn: x=2i`] 또는 [eqn: -2i`]

∴ [eqn: alpha beta =2i TIMES (-2i)=`-4i ^{2}]

[eqn: =`4]

4. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 로그를 계산한다.

[eqn: log` _{5} `30+log _{`5} ` {1} over {10} -log _{`5} `15`]

[eqn: =`log _{`5} ` {30} over {10 TIMES 15}]

[eqn: =log _{`5`} {1} over {5} =log _{`5} `5 ^{`-1}]

[eqn: =`-1]

5. [출제의도] 두 집합이 서로 같도록 하는 상수의 값을 구한다.

두 집합 [eqn: A,``B``]가 서로 같으므로

[eqn: a+2=2`] 또는 [eqn: a+2=6-a]

(ⅰ) [eqn: a+2=2`]일 때,
[eqn: a=0`]이므로 [eqn: A= LEFT { -2,``2 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 2,``6 RIGHT } `]

∴ [eqn: A != B]

(ⅱ) [eqn: a+2=6-a`]일 때,
[eqn: a=2`]이므로 [eqn: A][eqn: =B= LEFT { 2,``4 RIGHT }]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: a=2]

6. [출제의도] 항등식의 성질을 이용하여 상수의 값을 구한다.

[eqn: x ^{3} +a=(x+3)(x ^{2} +bx+9)`]에서

[eqn: x ^{3} +a=x ^{3} + LEFT ( 3+b RIGHT ) `x ^{2} + LEFT ( 9+3b RIGHT ) x+27]

등식의 양변의 계수를 비교하면

[eqn: a=27`], [eqn: b=`-3`]

∴ [eqn: a+b=24]

[다른 풀이]

등식의 양변에 [eqn: x=`-3`]을 대입하면

[eqn: -27+a=0`]

∴ [eqn: a=27`]

등식의 양변에 [eqn: x=1`]을 대입하면

[eqn: 1+27=4 LEFT ( 1+b+9 RIGHT ) `]

∴ [eqn: b=`-3]

따라서 [eqn: a+b=24`]이다.

7. [출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 주어진 함숫값을 구한다.

함수 [eqn: f(x)`]의 역함수가 [eqn: g(x)`]이므로

[eqn: g(15)=k`]라 하면 [eqn: f(k)=15]

[eqn: f(k)=2k+3=15]

∴ [eqn: k=6]

[다른 풀이]

[eqn: y=2x+3`]에서

[eqn: 2x=y-3]

[eqn: x= {1} over {2} y- {3} over {2}]

이 식에서 [eqn: x`]와 [eqn: y`]를 서로 바꾸면

[eqn: y= {1} over {2} x- {3} over {2}]

따라서 [eqn: g(x)= {1} over {2} x- {3} over {2}`]이므로

[eqn: g(15)= {1} over {2} times15- {3} over {2} =6]

8. [출제의도] 내분점의 성질을 이용하여 점의 좌표를 구한다.

두 점 [eqn: rm A`(` it a,```4`)], [eqn: rm B`(`-9,```0`)`]을 [eqn: 4`:`3`]으로 내분하는 점이 [eqn: y`]축 위에 있으므로 내분점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 0`]이다.

[eqn: {4 TIMES (-9)`+3 TIMES a} over {4+3} =0]

[eqn: -36+3a=0]

∴ [eqn: a=12]

9. [출제의도] 충분조건을 만족시키는 실수의 최댓값을 구한다.

두 조건 [eqn: p], [eqn: q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q``]라 하자.

조건 [eqn: p`:`x ^{2} -2x-8<0`]에서

[eqn: ` LEFT ( x-4 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT ) <0`]

[eqn: P= LEFT { `x LEFT | -2<x<4` RIGHT } RIGHT .]

조건 [eqn: q`:`x gea]에서

[eqn: Q= LEFT { `x LEFT | x` GEQ a` RIGHT } RIGHT .]

[eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이므로 [eqn: P SUBSET Q``]이어야 한다.

∴ [eqn: a LEQ `-2]

따라서 실수 [eqn: a`]의 최댓값은 [eqn: -2`]이다.

10. [출제의도] 일대일 대응인 함수의 성질을 이용하여 함숫값의 합을 구한다.

[eqn: f(2)-f(3)=3`]에서

[eqn: f(2)=8], [eqn: f(3)=5`]

[eqn: f(1)=7]이고, 함수 [eqn: f`]가 일대일 대응이므로

[eqn: f(4)=6`]

∴ [eqn: f(3)`+`f(4)=5+6=11]

11. [출제의도] 이차함수와 이차부등식의 관계를 이용하여 함숫값을 구한다.

(나)에서 이차부등식 [eqn: f(x)>0`]의 해가 [eqn: x != 2`]인 모든 실수이므로 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 이차항의 계수는 양수이고 곡선 [eqn: y=f(x)`]는 [eqn: x`]축과 점 [eqn: (2,``0)`]에서 접한다.

[eqn: f(x) = a(x-2)^2 `] ([eqn: a>0])으로 놓으면 (가)에서

[eqn: f(0)=a(0-2) ^{2} =4a=8`]

∴ [eqn: a= 2]

[eqn: f(x) = 2(x-2)^2 `]이므로

[eqn: f(5)=18]

12. [출제의도] 삼차방정식의 근의 조건을 만족시키는 정수의 개수를 구한다.

[eqn: f(x)=x ^{3} +(a-1)`x ^{2} +a`x-2a`]라 하면

[eqn: f(1)=1+ LEFT ( a-1 RIGHT ) +a-2a=0]

이므로 인수정리에 의하여 다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]는 [eqn: x-1`]을 인수로 갖는다.

조립제법을 이용하여 인수분해하면

[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: a-1]	[eqn: a]	[eqn: -2a]
		[eqn: 1]	[eqn: a]	[eqn: ``2a]
	[eqn: 1]	[eqn: a]	[eqn: 2a]	[eqn: 0]

∴ [eqn: f(x)=(x-1)(x ^{2} +a`x+2`a)`]

삼차방정식 [eqn: (x-1)(x ^{2} +a`x+2`a)=0]이 한 실근과 서로 다른 두 허근을 가지려면 이차방정식 [eqn: x ^{2} +a`x+2a=0`]이 서로 다른 두 허근을 가져야 한다.

이차방정식 [eqn: x ^{2} +a`x+2a=0`]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D=a ^{2} -8a<0]

[eqn: a(a-8)<0]

∴ [eqn: 0<a<8]

따라서 정수 [eqn: a]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7`]의 [eqn: 7`]개이다.

13. [출제의도] 이차함수의 그래프와 직선이 만나는 두 점 사이의 거리를 구한다.

[eqn: y=x ^{2} +x]와 [eqn: y=4x-2]를 연립하면

[eqn: x ^{2} +x=4x-2]

[eqn: x ^{2} -3x+2=0]

[eqn: (x-1)(x-2)=0]

∴ [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=2]

따라서 곡선 [eqn: y=x ^{2} +x]와 직선 [eqn: y=4x-2]의 두 교점의 좌표는 각각 [eqn: rmA(`1,``2)], [eqn: rm B(`2,``6)`]이므로

[eqn: {bar{rm AB it `}} `= sqrt {(2-1) ^{2} +(6-2) ^{2}} `= sqrt {17}]

14. [출제의도] 직선의 기울기와 근과 계수의 관계를 이용하여 [eqn: sum _{} ^{}]의 값을 구한다.

곡선 [eqn: y=x ^{2} +x`]와 직선 [eqn: y=nx-2`]의 교점을 각각

[eqn: rm A LEFT ( it alpha ,~ alpha ^{2} + alpha RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( beta,```beta ^{2} +beta RIGHT ) `]

라 하면 직선 [eqn: rmOA]의 기울기는

[eqn: a _{n} = {(alpha ^{2} + alpha )-0} over {alpha -0} = alpha +1`]

이고, 직선 [eqn: rmOB]의 기울기는

[eqn: b _{`n} = {(beta ^{2} + beta )-0} over {beta -0} = beta +1`]

∴ [eqn: a _{n} +b _{n} =alpha+beta+2]

한편 [eqn: y=x ^{2} +x`]와 [eqn: y=nx-2`]를 연립하면

[eqn: x ^{2} +x=nx-2`]

[eqn: x ^{2} - LEFT ( n-1 RIGHT ) `x+2=0`]

이 이차방정식의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta`]이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta =n-1`]

∴ [eqn: a _{n} +b _{n} =n+1]

∴ [eqn: sum _{n=4} ^{20} LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT )][eqn: = sum _{n=4} ^{20} `(n+1)]

[eqn: =5+6+7+` CDOTS `+21]

[eqn: = sum _{n=1} ^{21} `n-(1+2+3+4)]

[eqn: = {21 TIMES 22} over {2} -10]

[eqn: =221]

[다른 풀이]

곡선 [eqn: y=x ^{2} +x`]와 직선 [eqn: y=nx-2`]의 교점을 각각

[eqn: rm A( it alpha ,```n` alpha -2)], [eqn: rm B( it beta ,```n` beta -2)]

라 하면

[eqn: a _{n} = {n alpha -2} over {alpha } =n- {2} over {alpha} `]

[eqn: b _{`n} = {n beta-2} over {beta } =n- {2} over {beta } `]

[eqn: a _{n} +b _{n} =2n- LEFT ( {2} over {alpha} + {2} over {beta} RIGHT )]

[eqn: =2n- {2 LEFT ( alpha + beta RIGHT )} over {alpha ` beta }]

한편 [eqn: y=x ^{2} +x`]와 [eqn: y=n`x-2`]를 연립하면

[eqn: x ^{2} +x=n`x-2`]

[eqn: x ^{2} - LEFT ( n-1 RIGHT ) `x+2=0`]

이 이차방정식의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta`]이므로

근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta =n-1`], [eqn: alpha`beta=2]

[eqn: a _{n} +b _{n} =2n- {2 LEFT ( n-1 RIGHT )} over {2}]

[eqn: =n+1]

∴ [eqn: sum _{n=4} ^{20} LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT )][eqn: = sum _{n=4} ^{20} `(n+1)]

[eqn: =5+6+7+` CDOTS `+21]

[eqn: = sum _{n=1} ^{21} `n-(1+2+3+4)]

[eqn: = {21 TIMES 22} over {2} -10]

[eqn: =221]

[참고]

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 그래프의 교점의 좌표는

[eqn: ( alpha ,```f( alpha ))] 또는 [eqn: ( alpha ,```g( alpha ))]로 놓을 수 있다.

이때 구하고자 하는 값에 따라 적절히 점의 좌표를 선택하면 계산 과정이 간단해진다.

15. [출제의도] 나머지정리를 이용하여 주어진 값을 구한다.

다항식 [eqn: P`(x)]를 [eqn: x-2`]로 나누었을 때의 몫이 [eqn: Q`(x)]이고 나머지가 [eqn: 3`]이므로

[eqn: P`(x)=(x-2)Q`(x)+3`] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

다항식 [eqn: Q`(x)]를 [eqn: x-1`]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q _{`1} (x)]라 하면 나머지가 [eqn: 2`]이므로

[eqn: Q`(x)=(x-1)Q _{1} `(x)+2`] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면

[eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) `][eqn: =(x-2) LEFT { (x-1)Q _{`1} `(x)+2 RIGHT } +3]
[eqn: =(x-2)(x-1)Q` _{1} (x)+2(x-2)+3]
[eqn: =(x-1)(x-2)Q _{`1} (x)+2x-1]

따라서 [eqn: P`(x)]를 [eqn: (x-1)(x-2)`]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: R`(x)=2x-1`]이다.

∴ [eqn: R`(3)=5]

[다른 풀이]

다항식 [eqn: P`(x)]를 [eqn: x-2]로 나누었을 때의 몫이 [eqn: Q`(x)]이고 나머지가 [eqn: 3]이므로

[eqn: P`(x)=(x-2)`Q`(x)+3`] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

∴ [eqn: P`(2)=3]

다항식 [eqn: Q`(x)]를 [eqn: x-1`]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q _{1} (x)]라 하면 나머지가 [eqn: 2`]이므로

[eqn: Q`(x)=(x-1)Q _{``1} `(x)+2`]

∴ [eqn: Q`(1)=2]

㉠에서 [eqn: P`(1)=(1-2)Q`(1)+3=1]

∴ [eqn: P`(1)=1]

[eqn: P`(x)]를 [eqn: (x-1)(x-2)]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q` _{2} (x)]라 하면, 나머지 [eqn: R`` LEFT ( x RIGHT ) `]는 일차 이하의 다항식이다.

[eqn: R` LEFT ( x RIGHT ) =ax+b`]로 놓으면

[eqn: P`(x)=(x-1)(x-2)Q` _{2} `(x)+ax+b`]이므로

[eqn: P`(2)=2a+b=3] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

[eqn: P`(1)=a+b=1]  [eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

㉡과 ㉢을 연립하면

[eqn: a=2], [eqn: b=-1]

따라서 [eqn: R`(x)=2x-1`]이므로

[eqn: R`(3)=5]

16. [출제의도] 유리함수의 그래프의 점근선을 구하여 상수의 값을 구한다.

[eqn: f(x)= {3x+k} over {x+4}][eqn: = {3(x+4)+k-12} over {x+4}][eqn: =3+ {k-12} over {x+4} `]이고

곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -2`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 3`]만큼 평행이동한 곡선은

[eqn: y-3=3+ {k-12} over {(x+2)+4}]

이므로

[eqn: g(x)= {k-12} over {x+6} +6]

곡선 [eqn: y=g` LEFT ( x RIGHT ) `]의 점근선의 방정식은 [eqn: x=`-6], [eqn: y=6] 이므로 두 점근선의 교점의 좌표는 [eqn: (-6,```6)]이다.

점 [eqn: (-6,```6)]이 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점이므로

[eqn: f(-6)= {3 TIMES (-6)+k} over {-6+4} =6]

∴ [eqn: k=6]

[다른 풀이]

[eqn: f(x)= {3x+k} over {x+4}][eqn: = {3(x+4)+k-12} over {x+4}][eqn: =3+ {k-12} over {x+4}]에서

곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 점근선의 방정식이 [eqn: x=`-4`], [eqn: y=3`]이므로 두 점근선의 교점의 좌표는 [eqn: LEFT ( -4,```3 RIGHT ) `]이다.

곡선 [eqn: y=g` LEFT ( x RIGHT ) `]는 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -2`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 3`]만큼 평행이동한 곡선이므로 곡선 [eqn: y=g` LEFT ( x RIGHT ) `]의 두 점근선의 교점은 점 [eqn: LEFT ( -4,```3 RIGHT ) `]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -2`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 3`]만큼 평행이동한 점 [eqn: LEFT ( -6,```6 RIGHT ) `]과 같다.

점 [eqn: LEFT ( -6,```6 RIGHT ) `]이 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점이므로

[eqn: f(-6)= {3 TIMES (-6)+k} over {-6+4} =6]

∴ [eqn: k=6]

17. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 수열의 일반항을 추론한다.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때,
(좌변)[eqn: =a _{1} =1], (우변)[eqn: =1times1=1]
따라서 ㉡이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때, ㉡이 성립한다고 가정하면
[eqn: a _{k} = LEFT ( 1+2+3+ CDOTS +k RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS + {1} over {k} RIGHT ) `]
이다.

㉠에서 [eqn: a_k+1 over k+2 = a_k over k + 1 over 2]이므로

이 등식의 양변에 [eqn: k+2]를 곱하면

[eqn: a _{k+1}][eqn: = {BOX{ k+2 over k}} ``a _{k} + {k+2} over {2}]
[eqn: = {BOX{ k+2 over k} ` LEFT ( 1+2+3+ CDOTS +k RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS + {1} over {k} RIGHT )][eqn: + {k+2} over {2}]

[eqn: = k+2 over k times {k (k+1 )} over 2 times left( 1 + 1 over 2 + 1 over 3 + cdots + 1 over k right) + k+2 over 2]
[eqn: = {BOX{{(k+1)(k+2)} over {2}}} `` LEFT ( 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS + {1} over {k} RIGHT ) + {k+2} over {2}]

[eqn: = {(k+1)(k+2)} over {2} LEFT ( 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS + {1} over {k} RIGHT ) + {(k+1)(k+2)} over {2(k+1)}]

[eqn: = {(k+1)(k+2)} over {2} ` LEFT { ` LEFT ( 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS + {1} over {k} RIGHT ) + {1} over {k+1} RIGHT }]
[eqn: = LEFT { 1+2+3+ CDOTS +(k+1) RIGHT } LEFT ( 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +cdots+ {1} over {k+1} RIGHT )]

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 ㉡이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ㉡이 성립한다.

[eqn: f(k)= {k+2} over {k} `], [eqn: g(k)= {(k+1)(k+2)} over {2} `]이므로

[eqn: f(10) times g(9 ) = 12 over 10 times {10 times 1 1} over2 = 66]

18. [출제의도] 점의 대칭이동과 삼각형의 닮음을 이용하여 상수의 값을 구한다.

두 점 [eqn: rm A(4,``` it a)], [eqn: rm B(2,```1)]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점은 각각 [eqn: rm A prime ( it a,```4)], [eqn: rm B prime (1,```2)]이다.

두 직선 [eqn: rm AA'], [eqn: rm BB']은 각각 직선 [eqn: y=x]와 서로 수직이므로 두 직선 [eqn: rm AA'], [eqn: rm BB']은 서로 평행하다.

따라서 두 삼각형 [eqn: rm APA'`], [eqn: rm BPB']은 서로 닮은 삼각형이다.

두 삼각형 [eqn: rm APA'`], [eqn: rm BPB']의 넓이의 비가 [eqn: 9:4]이므로 두 삼각형 [eqn: rm APA'`], [eqn: rm BPB']의 닮음비는 [eqn: 3:2]이다.

∴ [eqn: bar{ rm AA'} ``:``bar {rm BB'}``=``3`:`2`]

[eqn: rm {bar{AA prime }} = it sqrt {(a-4) ^{2} +(4-a) ^{2}} = sqrt {2} (a-4)] (∵ [eqn: a>4])

[eqn: rm {bar{BB prime }} = sqrt {(-1) ^{2} +1 ^{2}} = sqrt {2}]

[eqn: bar{ rm AA'} ``:``bar {rm BB'}``=``3`:`2`]에서

[eqn: sqrt {2} (a-4)`:` sqrt {2} ``=3`:`2]

[eqn: 2(a-4)=3]에서 [eqn: a= 11 over 2]

[다른 풀이1]

두 점 [eqn: rm A(4,``` it a)], [eqn: rm B(2,```1)]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점은 각각 [eqn: rm A prime ( it a,```4)], [eqn: rm B prime (1,```2)]이다.

두 직선 [eqn: rm AA'], [eqn: rm BB']은 각각 직선 [eqn: y=x]와 서로 수직이므로 두 직선 [eqn: rm AA'], [eqn: rm BB']은 서로 평행하다.

따라서 두 삼각형 [eqn: rm APA'`], [eqn: rm BPB']은 서로 닮은 삼각형이다.

두 삼각형 [eqn: rm APA'`], [eqn: rm BPB']의 넓이의 비가 [eqn: 9:4]이므로 두 삼각형의 닮음비는 [eqn: 3:2]이다.

∴ [eqn: rm bar AP ``:``bar BP``=``3``:``2``]

점 [eqn: rm P]는 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 3`:`2`]로 내분하는 점이므로 점 [eqn: rm P]의 좌표는

[eqn: LEFT ( {3 TIMES 2+2 TIMES 4} over {3+2} ,``` {3 TIMES 1+2 TIMES a} over {3+2} RIGHT )]

즉 [eqn: LEFT ( {14} over {5} ,``` {2a+3} over {5} RIGHT )]

두 직선 [eqn: rmAB], [eqn: rm A'B']은 직선 [eqn: y=x]에 대하여 서로 대칭이므로 두 직선 [eqn: rmAB], [eqn: rm A'B']의 교점 [eqn: rm P]는 직선 [eqn: y=x] 위의 점이다.

[eqn: 14 over 5 = {2a+3} over {5}]

∴ [eqn: a= 11 over 2]

[다른 풀이2]

두 점 [eqn: rm A(4,``ita)], [eqn: rm B(2,``1)]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점은 각각 [eqn: rm A'(ita,``4)], [eqn: rm B ' (1,``2)]이다.

두 직선 [eqn: rm AA'], [eqn: rm BB']은 각각 직선 [eqn: y=x]와 서로 수직이므로 두 직선 [eqn: rm AA'], [eqn: rm BB']은 서로 평행하다.

따라서 두 삼각형 [eqn: rm APA'`], [eqn: rm BPB']은 서로 닮은 삼각형이다.

점 [eqn: rm A]와 직선 [eqn: y=x] 사이의 거리와 점 [eqn: rm B]와 직선 [eqn: y=x] 사이의 거리의 비가 닮음비 [eqn: 3``:2]와 같다.

[eqn: {|`4-a`|} over {sqrt {1 ^{2} +(-1) ^{2}}} `:` {1} over {sqrt {1 ^{2} +(-1) ^{2}}} `=`3`:`2]

[eqn: 2(a-4)=3] (∵ [eqn: a>4])

∴ [eqn: a= 11 over 2]

[참고]

[eqn: a]의 값에 따라 두 삼각형 [eqn: rm APA'], [eqn: rmBPB']의 존재 여부와 두 삼각형의 닮음비가 달라진다.

(1) [eqn: a< -1] 또는 [eqn: -1<a<3] 또는 [eqn: a>5]일 때
두 삼각형 [eqn: rm APA'], [eqn: rmBPB']이 존재하고, 점 [eqn: rm A]와 직선 [eqn: y=x] 사이의 거리가 점 [eqn: rm B]와 직선 [eqn: y=x] 사이의 거리보다 크므로 삼각형 [eqn: rm APA']의 넓이가 삼각형 [eqn: rmBPB']의 넓이보다 크다.

(2) [eqn: a=3`]일 때
두 직선 [eqn: rmAB], [eqn: rmA'B']이 서로 평행하므로 두 삼각형 [eqn: rm APA'], [eqn: rmBPB']이 존재하지 않는다.

(3) [eqn: a=5`]일 때
두 삼각형 [eqn: rm APA'], [eqn: rmBPB']이 존재하고, 점 [eqn: rm A]와 직선 [eqn: y=x] 사이의 거리와 점 [eqn: rm B]와 직선 [eqn: y=x] 사이의 거리가 같으므로 삼각형 [eqn: rm APA']의 넓이와 삼각형 [eqn: rmBPB']의 넓이가 같다.

(4) [eqn: 3<a<4] 또는 [eqn: 4<a<5]일 때
두 삼각형 [eqn: rm APA'], [eqn: rmBPB']이 존재하고, 점 [eqn: rm A]와 직선 [eqn: y=x] 사이의 거리가 점 [eqn: rm B]와 직선 [eqn: y=x] 사이의 거리보다 작으므로 삼각형 [eqn: rm APA']의 넓이가 삼각형 [eqn: rmBPB']의 넓이보다 작다.

(5) [eqn: a=4]일 때
점 [eqn: rm A`]가 직선 [eqn: y=x] 위의 점이므로 삼각형 [eqn: rm APA']이 존재하지 않는다.

(6) [eqn: a=`-1`]일 때
점 [eqn: rm A], [eqn: rmA'], [eqn: rmB], [eqn: rm B` prime]이 모두 직선 [eqn: y=`-x+3`] 위에 있으므로 두 삼각형 [eqn: rm APA'], [eqn: rmBPB']이 존재하지 않는다.

19. [출제의도] 원의 접선의 성질과 피타고라스 정리를 이용하여 점의 좌표를 구한다.

점 [eqn: rm P`]의 좌표를 [eqn: rm P it (a`,```0)`]이라 하자.

직각삼각형 [eqn: rmOPQ`]에서 피타고라스 정리를 이용하면

[eqn: rm {bar{PQ}} ^{2}][eqn: = rm {bar{OP}} ^{2} - rm {bar{OQ}} ^{2}]

[eqn: =a ^{2} -1`]

[eqn: x^2 + y^2 -8x +6y +21 =0`]에서

[eqn: (x-4) ^{2} +(y+3) ^{2} =2 ^{2} `]

원 [eqn: C _{2} `]는 중심이 [eqn: (`4,```-3`)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원이므로 원 [eqn: C _{2} `]의 중심을 [eqn: rm A`]라 하면 [eqn: rm A` LEFT ( 4,```-3 RIGHT ) `]이다.

직각삼각형 [eqn: rm APR`]에서 피타고라스 정리를 이용하면

[eqn: rm {bar{PR}} ^{2}][eqn: = rm {bar{AP}} ^{2} - rm {bar{AR}} ^{2}]
[eqn: = LEFT { (a-4) ^{2} +(0+3) ^{2} RIGHT } -2 ^{2}]
[eqn: =a ^{2} -8a+21]

[eqn: rm {bar{PQ}} ^{} = rm {bar{PR}} ^{} `]에서 [eqn: rm {bar PQ } ^2 = rm { bar PR }^2`]이므로

[eqn: a ^{2} -1`=][eqn: a ^{2} -8a+21]

[eqn: 8a=22`]

∴ [eqn: a= {11} over {4}]

20. [출제의도] 이차함수와 항등식의 성질을 이용하여 주어진 명제의 참, 거짓을 판단한다.

ㄱ. (참) [eqn: k=1]일 때

[eqn: f(x) = (x-1)^2 -2]이므로 [eqn: rm A(1,``-2)]

∴ [eqn: rm bar{OA} `=`sqrt{1^2 +(-2)^2 } = sqrt5]

ㄴ. (참) [eqn: y=k (x-1)^2 -4k+2]를 [eqn: k]에 대하여 정리하면

[eqn: k left{` (x-1)^2 -4 `right} +2-y = 0]

이 등식이 [eqn: 0]이 아닌 실수 [eqn: k]의 값에 관계없이 성립하려면

[eqn: (x-1)^2 =4], [eqn: 2-y = 0]

이어야 하므로

[eqn: x=3], [eqn: y=2] 또는 [eqn: x=`-1], [eqn: y=2]

따라서 곡선 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: 0]이 아닌 실수 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 두 점 [eqn: (3,```2)], [eqn: (-1,```2)]를 지난다.

ㄷ. (참) [eqn: rm A it (1,```-4k+2)`], [eqn: rm B it (0,```-3k+2)`]이고

직선 [eqn: rmAB`]의 기울기는

[eqn: {(-4k+2)-(-3k+2)} over {1-0} =`-k]

따라서 직선 [eqn: rmAB`]의 방정식은

[eqn: y=`-kx-3k+2]

이 등식을 [eqn: k`]에 대하여 정리하면

[eqn: k(x+3)+y-2=0`]

이 등식이 [eqn: 0`]이 아닌 실수 [eqn: k`]의 값에 관계없이 성립하려면

[eqn: x+3=0`], [eqn: y-2= 0]

이어야 하므로

[eqn: x=`-3`], [eqn: y=2]

따라서 직선 [eqn: rm AB`]는 [eqn: 0`]이 아닌 실수 [eqn: k`]의 값에 관계없이 항상 점 [eqn: (-3,```2)`]를 지난다.

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

21. [출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 직선의 기울기를 구한다.

원점에서 직선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하자.

[eqn: bar{rmOH}=a], [eqn: {bar{rm HP it}} =b`]라 하면 두 삼각형 [eqn: rmOHP`], [eqn: rmOHA`]는 모두 직각삼각형이므로

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =10`] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: a ^{2} + LEFT ( b+3 RIGHT ) ^{2}=25`] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠과 ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=3], [eqn: b=1`]

직선 [eqn: l`]의 기울기를 [eqn: m`]이라 하면

직선 [eqn: l`]의 방정식은 [eqn: y=m LEFT ( x-4 RIGHT ) +3`]이고 원의 중심 [eqn: rmO`]와 직선 [eqn: mx-y-4m+3=0`] 사이의 거리가 [eqn: 3`]이므로

[eqn: {LEFT | `-4m+3` RIGHT |} over {sqrt {m ^{2} +1}} =3`]

[eqn: LEFT | `-4m+3` RIGHT | =3 sqrt {m ^{2} +1} `]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 16m ^{2} -24m+9=9m ^{2} +9]

[eqn: 7m ^{2} -24m=0]

[eqn: m LEFT ( 7m-24 RIGHT ) =0`]

∴ [eqn: m=0] 또는 [eqn: m= {24} over {7} `]

직선 [eqn: l`]의 기울기는 양수이므로

[eqn: m= {24} over {7} `]

[다른 풀이1]

직선 [eqn: rmAO`]와 원의 교점을 그림과 같이 각각 [eqn: rmB`], [eqn: rmC`]라 하면

[eqn: bar{rmAB}=bar{rmAO}-bar{rmOB}=5- sqrt {10} `]

[eqn: {bar{rm AC it}} = {bar{rm AO it}} + {bar{rm OC it}} =5+ sqrt {10} `]

이고 원의 성질에 의하여

[eqn: {bar{rm AP it}} TIMES {bar{rm AQ it}} = {bar{rm AB it}} TIMES {bar{rm AC it}} `]

[eqn: 3 TIMES {bar{rm AQ it}}][eqn: = LEFT ( 5- sqrt {10} RIGHT ) LEFT ( 5+ sqrt {10} RIGHT )]

∴ [eqn: bar{rmAQ}=5`]

[eqn: bar{rmPQ}=2`]이고 현 [eqn: rmPQ`]의 중점을 [eqn: rmM`]이라 하면

[eqn: bar{rmPM}=1`]

직각삼각형 [eqn: rmOMP`]에서

[eqn: bar{rmOM}= sqrt {LEFT ( sqrt {10} RIGHT ) ^{2} -1 ^{2}} =3`]

직선 [eqn: l`]의 기울기를 [eqn: m`]이라 하면

직선 [eqn: l`]의 방정식은 [eqn: y=m LEFT ( x-4 RIGHT ) +3`]이고 원의 중심 [eqn: rmO`]와 직선 [eqn: mx-y-4m+3=0`] 사이의 거리가 [eqn: 3`]이므로

[eqn: {LEFT | `-4m+3` RIGHT |} over {sqrt {m ^{2} +1}} =3`]

[eqn: LEFT | `-4m+3` RIGHT | =3 sqrt {m ^{2} +1} `]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 16m ^{2} -24m+9=9m ^{2} +9]

[eqn: 7m ^{2} -24m=0]

[eqn: m LEFT ( 7m-24 RIGHT ) =0`]

∴ [eqn: m=0] 또는 [eqn: m= {24} over {7} `]

직선 [eqn: l`]의 기울기는 양수이므로

[eqn: m= {24} over {7} `]

[다른 풀이2]

점 [eqn: rmP`]의 좌표를 [eqn: rm P(` it a,```b)`]라 하면

점 [eqn: rmP`]는 원 [eqn: x^2 +y^2 =10`]위의 점이므로

[eqn: a^2 + b^2 =10`] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

선분 [eqn: rmAP`]의 길이는 [eqn: 3`]이므로

[eqn: LEFT ( a-4 RIGHT )^2 + LEFT ( b-3 RIGHT )^2 =9`] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠과 ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a= {79} over {25} `], [eqn: b= {3} over {25} `]이다.

따라서 직선 [eqn: l`]의 기울기는

[eqn: {3-b} over {4-a} = {3- {3} over {25}} over {4- {79} over {25}} = {72} over {21} = {24} over {7} `]이다.

22. [출제의도] 등비수열의 성질을 이용하여 주어진 항을 구한다.

등비수열 [eqn: left{ a_n right}]의 공비를 [eqn: r`][eqn: LEFT ( r>0 RIGHT ) `]라 하면

[eqn: a_3 = 2a_2]에서 [eqn: a_3 over a_2 =2 = r]

∴ [eqn: a_4 = a_1 times r^3 = 3 times 2^3 = 24]

23. [출제의도] [eqn: i`]의 성질을 이용하여 복소수의 거듭제곱을 계산한다.

[eqn: i ^{``2} =`-1], [eqn: i ^{``4} =1]이므로

[eqn: (1+i) ^{2} =1+2`i+i ^{``2} =2i]

[eqn: (1+i) ^{8} =left{(1+i)^2 right}^4]

[eqn: =(2i) ^{4} =2 ^{4} TIMES i ^{``4} =16]

24. [출제의도] 판별식을 이용하여 연립방정식의 해를 구한다.

[eqn: 2x-y=5`]에서 [eqn: y= 2x-5]

위의 식을 [eqn: x ^{2} -2y=k`]에 대입하면

[eqn: x^2 -2(2x-5) =k]

[eqn: x^2 - 4x +10-k =0]

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D``]라 하면 주어진 연립방정식이 오직 한 쌍의 해를 가지려면 [eqn: D=0`]이어야 한다.

[eqn: {D} over {4} =(-2) ^{2} -(10-k)=0`]

∴ [eqn: k = 6]

[eqn: x ^{2} -4x+4=0`]을 풀면 [eqn: x=2`]이므로

[eqn: y= 2x-5][eqn: =`-1]

∴ [eqn: alpha=2], [eqn: beta =`-1]

∴ [eqn: alpha+beta+k=2+(-1)+6]

[eqn: =7]

25. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 조건을 만족시키는 두 수를 구한다.

[eqn: log`_a` b = 4 over 3]에서 로그의 정의에 의하여

[eqn: b = a^{4 over 3}] [eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: log` _{9} `a+log` _{3} `b][eqn: =log` _{9} `a+log` _{9} `b ^{2}]
[eqn: =log` _{9} `ab ^{2} =11]

에서

[eqn: ab^2 = 9^11]  [eqn: cdotscdots] ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: a left( a^{ {4} over {3}} right)^2 = a^{11 over 3} = 9^11]

∴ [eqn: a = 9^3]

㉠에서 [eqn: b=a ^{{4} over {3}} =(9 ^{3} ) ^{{4} over {3}} =9 ^{4}]

∴ [eqn: b over a = 9^4 over 9^3 = 9]

26. [출제의도] 집합의 연산의 성질을 이용하여 조건을 만족시키는 집합의 원소의 개수를 구한다.

어느 고등학교의 [eqn: 2]학년 학생 [eqn: 212]명의 집합을 [eqn: U`], 문학 체험을 신청한 학생들의 집합을 [eqn: A`], 역사 체험을 신청한 학생들의 집합을 [eqn: B`], 과학 체험을 신청한 학생들의 집합을 [eqn: C``]라 하자.

[eqn: n(U`)=212]

(가)에서 [eqn: n(A) = 80], [eqn: n(B`)=90]

(나)에서 [eqn: n(A SMALLINTER B`)=45]

∴ [eqn: n(A CUP B`)=n(A)+n(B`)-n(A SMALLINTER B`)]

[eqn: = 80+ 90 - 45 = 125]

(다)에서 [eqn: n(A ^{C} SMALLINTER B ^{C} SMALLINTER C ^{`C} ``)=12]이고

[eqn: A ^{C} SMALLINTER B ^{C} SMALLINTER C ^{`C} ``= LEFT ( A`cup`B`cup`C`` RIGHT ) ^{`C}]

이므로

[eqn: LEFT . n(A CUP B` CUP C``)=n LEFT ( U` RIGHT ) -n` LEFT ( (A` CUP `B` CUP `C``) ^{C} ` RIGHT ) ` RIGHT .]

[eqn: =212-12=200]

따라서 과학 체험만 신청한 학생의 수는

[eqn: n(A CUP B` CUP C``)-n(A CUP B`)=][eqn: 200-125 = 75]

27. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

가용 대역폭이 [eqn: B``][eqn: (rm Hz)]로 일정하고, 수신 신호 전력이 [eqn: 1.2][eqn: rmW`]일 때, 잡음 전력이 [eqn: 0.4][eqn: rmW`]인 채널 용량을 [eqn: C _{``1}][eqn: ( rm b`ps)]이라 하면

[eqn: C _{``1} =B```log` _{2} LEFT ( 1+ {1.2} over {0.4} RIGHT ) =B```log` _{2} 4=2B]

가용 대역폭이 [eqn: B``][eqn: (rm Hz)]로 일정하고, 수신 신호 전력이 [eqn: 1.2][eqn: rmW`]일 때, 잡음 전력이 [eqn: a][eqn: (rm W)]인 채널 용량을 [eqn: C _{``2}][eqn: ( rm b`ps)]라 하면

[eqn: C _{``2} =B`log` _{2} LEFT ( 1+ {1.2} over {a} RIGHT )]

[eqn: C _{``2} =3C _{``1}]이므로

[eqn: B log`_2 left(1 + 1.2 over a right) = 3 times 2B]

[eqn: log _{`2} LEFT ( 1+ {1.2} over {a} RIGHT ) =6]

로그의 정의에 의하여

[eqn: 1 + 1.2 over a =2^6]

[eqn: 1.2 over a = 63]

∴ [eqn: a= {1.2} over {63} = {2} over {105}]

[eqn: p = 105], [eqn: q=2]이므로

[eqn: p+q = 107]

28. [출제의도] 등차수열의 성질을 이용하여 주어진 집합의 모든 원소의 합을 구한다.

등차수열 [eqn: LEFT { `a _{n} RIGHT } `]의 첫째항을 [eqn: a`], 공차를 [eqn: d`]로 놓으면

[eqn: a_11 + a_21 =82]에서

[eqn: 2a+30`d=82]

[eqn: a_11 - a_21 =6]에서

[eqn: -10`d=6] 즉, [eqn: d=`- {3} over {5}]

[eqn: a=41-15`d=41-15 TIMES LEFT ( - {3} over {5} RIGHT )]

[eqn: =50]

∴ [eqn: a_ n = 50 + (n-1) times left( - 3 over 5right)]

[eqn: a_n]이 자연수이려면 [eqn: n-1 = 5k], 즉 [eqn: n = 5k+1]([eqn: k`]는 음이 아닌 정수)의 형태이어야 하고,

[eqn: a _{n} =50+(n-1) TIMES LEFT ( - {3} over {5} RIGHT ) `>0`]에서

[eqn: n< {253} over {3} =84.3 CDOTS]

이므로 [eqn: n]이 가질 수 있는 값은

[eqn: 1], [eqn: 6], [eqn: 11], [eqn: cdots], [eqn: 81]

이고 그 개수는 [eqn: 17`]이다.

수열 [eqn: a _{1}], [eqn: a _{6}], [eqn: a _{11}], [eqn: cdots], [eqn: a _{81} `]은 첫째항이 [eqn: 50`]이고 제[eqn: 17`]항이 [eqn: 2`]인 등차수열이므로 그 합은

[eqn: {17`(50+2)} over {2} =442]

29. [출제의도] 수열의 규칙을 발견하여 조건을 만족시키는 자연수를 구한다.

집합 [eqn: A _{n} = LEFT { `x``|``(x-n)(x-2n+1) LEQ 0` RIGHT } `]에서

[eqn: (x-n)(x-2n+1)le0]

[eqn: n LEQ x LEQ 2n-1]

∴ [eqn: A _{n} = LEFT { `x``|``n LEQ x`le`2n-1` RIGHT }]

[eqn: 25 ∊A_n]인 [eqn: n`]의 값의 범위를 구하면

[eqn: n le 25 le2n-1]

[eqn: n le 25]이고 [eqn: n GEQ 13`]에서 [eqn: 13 le n le 25]

∴ [eqn: a _{n} = {cases{`-1&~~~ LEFT ( 1 LEQ `n` LEQ 12```또는````n` GEQ 26 RIGHT )#`````````1&~~~ LEFT ( 13 LEQ `n` LEQ 25 RIGHT ) ^{{} ^{{} ^{{} ^{}} ^{{} ^{}}}}}}]

[eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} =`-20`]에서 [eqn: m GEQ 26`]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k}][eqn: = sum _{k=1} ^{12} a _{k} + sum _{k=13} ^{25} a _{k} + sum _{k=26} ^{m} a _{k}]
[eqn: =(-1) TIMES 12+1 TIMES 13+(-1) TIMES (m-25)]
[eqn: =`-m+26=`-20]

∴ [eqn: m =46]

30. [출제의도] 조건을 만족시키는 점이 나타내는 부등식의 영역을 이용하여 최댓값을 구한다.

점 [eqn: rm A]를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rm A']이라 하면

[eqn: {bar{rm AQ it}} + {bar{rm PQ it}} = {bar{rm A prime Q it}} + {bar{rm PQ it}} ` GEQ ` {bar{rm A prime P it}}]

이고 (나)에서

[eqn: {bar{rm AQ it}} + {bar{rm PQ it}}][eqn: `le6]

인 점 [eqn: rmQ]가 존재하므로

[eqn: rm {bar{A prime P}} LEQ 6]

이어야 한다.

주어진 조건을 모두 만족시키는 점 [eqn: rm P]의 좌표를

[eqn: rm P it LEFT ( x,```y RIGHT )] ([eqn: x>0], [eqn: y>0])

로 놓으면 [eqn: rm {bar{A prime P}} LEQ 6]에서

[eqn: sqrt {x ^{2} +(y+1) ^{2}} le6]

∴ [eqn: x ^{2} +(y+1) ^{2} LEQ 36] ([eqn: x>0], [eqn: y>0])

따라서 주어진 조건을 모두 만족시키는 점 [eqn: rm P`]가 나타내는 영역 [eqn: D``]는 그림과 같이 중심이 [eqn: rm A prime (0,```-1)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 6`]인 원의 둘레와 그 내부를 포함하는 영역 중 제[eqn: 1`]사분면에 있는 부분이다.

[eqn: x+y = k`]로 놓고 직선 [eqn: x+y = k`]가 영역 [eqn: D``]와 만나도록 움직일 때, [eqn: y`]절편 [eqn: k`]가 최대가 되는 경우는 직선 [eqn: x+y = k`]가 원 [eqn: x^2 + (y+1)^2 = 36`]에 접할 때이다.

원의 중심 [eqn: (0,```-1)`]과 직선 [eqn: x+y-k=0] 사이의 거리가 반지름의 길이인 [eqn: 6`]과 같아야 하므로

[eqn: {|`-1-k`|} over { sqrt{1^2 + 1^2 }} = 6]

[eqn: k+1 = 6 sqrt2] (∵[eqn: k>0])

∴ [eqn: k=`-1+6 sqrt {2}]

[eqn: p=`-1], [eqn: q=6`]이므로 [eqn: p+q = 5]