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정 답

1	⑤	2	②	3	①	4	③	5	④
6	①	7	④	8	③	9	⑤	10	④
11	②	12	②	13	④	14	⑤	15	③
16	②	17	①	18	①	19	③	20	⑤
21	②	22	[eqn: 6`]	23	[eqn: 10`]	24	[eqn: 66`]	25	[eqn: 256`]
26	[eqn: 36`]	27	[eqn: 12`]	28	[eqn: 135`]	29	[eqn: 24`]	30	[eqn: 20`]

해 설

1. [출제의도] [eqn: bold i`]의 정의를 이용하여 식의 값을 구한다.

[eqn: i`]의 정의에 의해 [eqn: sqrt-1`=`i]이므로

[eqn: sqrt {14 ^{2}} + LEFT ( sqrt {-1} RIGHT ) ^{2} =14+i ^{2} `]

[eqn: =14+(-1)`]

[eqn: =14-1`]

[eqn: =13]

2. [출제의도] 곱셈공식을 이용하여 식의 값을 구한다.

[eqn: x=2root3], [eqn: y=root5`]이므로

[eqn: (x+y)(x-y)][eqn: =x^2 -y^2]

[eqn: =(2root3 )^2 -( root5 )^2]

[eqn: =12-5]

[eqn: =7]

3. [출제의도] 다항식의 연산법칙을 이용하여 식을 간단히 한다.

두 다항식 [eqn: A=3x^2 +xy +y^2`], [eqn: B=x ^{2} +2y ^{2} `]을 [eqn: A-2B`]에 대입하면

[eqn: A-2B=(3x ^{2} +xy+y ^{2} )-2(x ^{2} +2y ^{2} )]

[eqn: =3x ^{2} +xy +y^2 -2x^2 -4y^2]

[eqn: =x ^{2} +xy-3y ^{2}]

4. [출제의도] 절댓값의 정의를 이용하여 식을 간단히 한다.

[eqn: 1<x<3`]의 범위에서

[eqn: x-1>0`]이므로 [eqn: |`x-1`|=x-1`]

[eqn: x-4<0`]이므로 [eqn: |`x-4`|=-(x-4)=-x+4`]

따라서 [eqn: 1<x<3`]일 때

[eqn: |`x-1`|+|`x-4`|=x-1-x+4]

[eqn: =3]

5. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 식의 값을 구한다.

이차방정식 [eqn: x^2 -3x+1=0`]의 두 근이 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]이므로

[eqn: alpha+beta=3], [eqn: alpha beta=1]

따라서 [eqn: {1} over {alpha } + {1} over {beta } = {alpha + beta } over {alpha beta } `]

[eqn: = { 3}]

[다른 풀이]

[eqn: x!=0]이므로 방정식 [eqn: x ^{2} -3x+1=0``]의 양변을 [eqn: x^2`]으로 나누면

[eqn: 1-` {3} over {x} `+ {1} over {x ^{2}} `=0`]

이다.

[eqn: {1} over {x} =t`]로 치환하면

[eqn: 1-`3t+t ^{2} `=0]

[eqn: t^2 -3t+1`=0~ CDOTS `] ㉠

[eqn: {1} over {alpha }], [eqn: {1} over {beta } `]은 ㉠의 근이 된다.

따라서 근과 계수의 관계에 의해

[eqn: {1} over {alpha } +` {1} over {beta } `=`3`]

6. [출제의도] 인수분해하여 다항식의 약수를 구한다.

[eqn: x ^{2} -x=A`]로 놓으면

[eqn: LEFT ( x ^{2} -x RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x-1 RIGHT ) -2`=A LEFT ( A-1 RIGHT ) -2]

[eqn: =A ^{2} -A-2`]

[eqn: = LEFT ( A-2 RIGHT ) LEFT ( A+1 RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( x ^{2} -x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) ( x ^{2} -x+1 )]

따라서 [eqn: x-2`]는 주어진 식의 약수이다.

7. [출제의도] 주어진 조건을 만족하는 부분집합의 개수를 구한다.

집합 [eqn: A`]의 원소의 개수가 [eqn: 5`]이므로 부분집합의 개수는 [eqn: 2 ^{5} =32`]이고, 이 중에서 홀수인 원소 [eqn: 1,`3,`5`]를 제외한 원소로 이루어진 집합 [eqn: LEFT { 2,`4 RIGHT }]의 부분집합의 개수는 [eqn: 2 ^{2} =4``]이므로, 홀수가 한 개 이상 속해 있는 부분집합의 개수는 [eqn: 32-4=28`]

[참고]

(ⅰ) 홀수 원소가 [eqn: 1]개 속해 있는 집합

[eqn: LEFT { 1 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,``2 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,``4 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,``2,``4 RIGHT }],

[eqn: LEFT { 3 RIGHT }], [eqn: LEFT { 3,``2 RIGHT }], [eqn: LEFT { 3,``4 RIGHT }], [eqn: LEFT { 3,``2,``4 RIGHT }],

[eqn: LEFT { 5 RIGHT }], [eqn: LEFT { 5,``2 RIGHT }], [eqn: LEFT { 5,``4 RIGHT }], [eqn: LEFT { 5,``2,``4 RIGHT }]

∴ [eqn: 12]개

(ⅱ) 홀수 원소가 [eqn: 2]개 속해 있는 집합

[eqn: LEFT { 1,``3 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,``3,``2 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,``3,``4 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,``3,``2,``4 RIGHT }],

[eqn: LEFT { 3,``5 RIGHT }], [eqn: LEFT { 3,``5,``2 RIGHT }], [eqn: LEFT { 3,``5,``4 RIGHT }], [eqn: LEFT { 3,``5,``2,``4 RIGHT }],

[eqn: LEFT { 1,``5 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,``5,``2 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,``5,``4 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,``5,``2,``4 RIGHT }]

∴ [eqn: 12]개

(ⅲ) 홀수 원소가 [eqn: 3]개 속해 있는 집합

[eqn: LEFT { 1,``3,``5 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,``3,``5,``2 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,``3,``5,``4 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,``3,``5,``2,``4 RIGHT }]

∴ [eqn: 4`]개

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 홀수가 한 개 이상 속해 있는 집합의 개수는

[eqn: 12+12+4=28`]

8. [출제의도] 판별식을 이용하여 이차방정식이 중근을 가질 조건을 구한다.

방정식 [eqn: x ^{2} -kx+k-1=0]이 중근을 가지므로

판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D=k ^{2} -4(k-1)]

[eqn: =k ^{2} -4k+4]

[eqn: =(k-2) ^{2}]

[eqn: =0]

∴ [eqn: k=2]

[eqn: k=2]를 [eqn: x^2 - kx + k-1 =0`]에 대입하면

[eqn: x^2 -2 x +1 =0`]

[eqn: (x-1)^2 =0]

[eqn: x=1`]

∴ [eqn: alpha`=1`]

따라서 [eqn: k+ alpha =3`]

[다른 풀이]

문자를 여러 개 포함한 식은 차수가 가장 낮은 문자에 대하여 정리한 후 인수분해하면 편리하다.

그러므로 [eqn: x ^{2} -kx+k-1=0`]을 [eqn: k]에 대하여 정리하면

[eqn: -k(x-1)+x ^{2} -1=0]

[eqn: -k(x-1)+(x+1)(x-1)=0`]

[eqn: LEFT . (x-1) LEFT { -k+(x+1)` RIGHT } =0`]

[eqn: (x-1) LEFT ( x+1-k RIGHT ) =0`]

이 방정식은 중근을 갖고 근이 [eqn: x=1,``k-1]이므로

[eqn: 1=k-1`]

∴ [eqn: k=2`]

그러므로 [eqn: k=2`], [eqn: alpha =1]

따라서 [eqn: k+ alpha =2+1=3`]

[다른 풀이]

주어진 방정식의 중근이 [eqn: alpha]이므로

[eqn: x ^{2} -kx+k-1=(x- alpha ) ^{2} `]으로 인수분해 된다.

그러므로 [eqn: x ^{2} -kx+k-1=x ^{2} -2 alpha x+ alpha ^{2} `]

이 식은 항등식이므로

[eqn: `k`=2` alpha `` CDOTS] ㉠

[eqn: k-1= alpha ^{2} `` CDOTS] ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: 2 alpha -1`=` alpha ^{2}]

[eqn: alpha ^{2`} -`2alpha+1=0]

[eqn: (alpha-1) ^{2} =0]

∴ [eqn: alpha=1]

㉠에 [eqn: alpha=1]을 대입하면 [eqn: k=2]

따라서 [eqn: k+ alpha =2+1=3`]

9. [출제의도] 교집합의 원소 개수의 범위를 구한다.

학급 학생 전체의 집합을 [eqn: U], 토요일에 축구 경기를 시청한 학생의 집합을 [eqn: A`], 일요일에 축구 경기를 시청한 학생의 집합을 [eqn: B`]라고 하면

[eqn: n(A)=25`], [eqn: n(B)=17`]

[eqn: n(A cup B)=n(A)+n(B)-n(A cap B)]이므로

[eqn: n(A cap B)=n(A)+n(B)-n(A cup B)]

[eqn: =25+17-n(A cup B)]

[eqn: =42-n(A CUP B)]

[eqn: n(A CUP B) `]의 최댓값은 학급 학생 전체 인원 수인 [eqn: 36`]이고, 최솟값은 [eqn: A cup B =A]일 때의 인원 수인 [eqn: 25`]이다.

그러므로 [eqn: n(A cap B)`]의 최솟값 [eqn: m`]은 [eqn: n(A CUP B) `]가 최대인 경우이므로 [eqn: m=42-36=6]

[eqn: n(A cap B)`]의 최댓값 [eqn: M`]은 [eqn: n(A CUP B) `]가 최소인 경우이므로 [eqn: M=42-25=17]

따라서 [eqn: M+m=17+6=23`]

10. [출제의도] 실수의 성질을 이용하여 미정계수를 정한다.

‘[eqn: p`], [eqn: q`]가 실수일 때, [eqn: p^2 +q^2 =0`]이면 [eqn: p=q=0`]’ [eqn: CDOTS] ㉠

주어진 방정식의 실근을 [eqn: x=alpha]라고 하면

[eqn: LEFT ( alpha +2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2alpha +a RIGHT ) ^{2} =0`]이므로 ㉠에 의해

[eqn: alpha +2=0`][eqn: CDOTS] ㉡

[eqn: 2alpha +a=0`][eqn: cdots] ㉢

㉡에서 [eqn: alpha =-2`]

이 값을 ㉢에 대입하면 [eqn: -4+a=0`]

따라서 [eqn: a=4]

[다른 풀이]

[eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2x+a RIGHT ) ^{2} =0``]을 전개하면

[eqn: x ^{2} +4x+4+4x ^{2} +4ax+a ^{2} =0``]

[eqn: 5x ^{2} +4(1+a)x+4+a ^{2} =0``]

이차방정식 [eqn: 5x ^{2} +4(1+a)x+4+a ^{2} =0``]이 실근을 가지므로

[eqn: {D} over {4} = LEFT { `2(1+a)` RIGHT } ^{2} `-`5(4+a ^{2} ) GEQ 0`]

[eqn: 4+8a+4a ^{2} `-`20-5a ^{2} GEQ 0`]

[eqn: -a ^{2} +8a`-`16 GEQ 0`]

양변에 [eqn: -1`]을 곱하면 부등호의 방향이 바뀌므로

[eqn: a ^{2} -8a`+`16 LEQ 0`]

[eqn: (a-4) ^{2} LEQ 0`]

그런데 실수의 제곱은 음수가 아니므로

[eqn: (a-4) ^{2} GEQ 0`]

두 식을 동시에 만족하려면

[eqn: (a-4)^2 =0]

따라서 실수 [eqn: a`]의 값은 [eqn: 4`]

11. [출제의도] 진리집합을 이용하여 충분조건이 되도록 하는 미지수의 값을 정한다.

조건 [eqn: p`]의 진리집합은 [eqn: LEFT { x`□`a-3<x<a+4 RIGHT }`]이고

조건 [eqn: q`]의 진리집합은 [eqn: LEFT { x`□`2 LEQ x<10 RIGHT }`]이므로

[eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이 되려면

[eqn: LEFT { x`□`a-3<x<a+4 RIGHT }][eqn: SUBSET][eqn: LEFT { x`□`2 LEQ x<10 RIGHT }]

이것을 수직선 위에 나타내면 다음과 같다.

그러므로 [eqn: a-3 ge 2], [eqn: a+4 le 10]

[eqn: a ge 5], [eqn: a le 6]

[eqn: 5 LEQ a le 6`]

∴ 정수 [eqn: a`]는 [eqn: 5, `6]이다.

따라서 [eqn: a`]의 개수는 [eqn: 2]

12. [출제의도] 소수와 약수의 성질을 이용하여 집합 사이의 관계를 추론한다.

ㄱ. [eqn: 3`]이하의 소수는 [eqn: 2], [eqn: 3`]이므로 [eqn: A _{3} = LEFT { 2,`3 RIGHT }]

[eqn: 4`]의 양의 약수는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4`]이므로 [eqn: B _{4}= LEFT { 1,`2,`4 RIGHT }]

그러므로 [eqn: A _{3} SMALLINTER B _{4} = LEFT { 2 RIGHT }] (참)

ㄴ. [eqn: a inA_n `]이면 [eqn: a` le n]이고 [eqn: a]는 소수이다.

[eqn: a le n<n+1]이고 [eqn: a]는 소수이므로 [eqn: a in A_n+1]

그러므로 [eqn: A_n subset A_n+1] (참)

ㄷ. (반례) [eqn: m=4], [eqn: n=8]이면

[eqn: B_4 = LEFT { 1,`2,`4 RIGHT }], [eqn: B _{`8} = LEFT { 1,`2,`4,`8 RIGHT }]이므로 [eqn: B _{`4} SUBSET B _{`8} `]

그런데 [eqn: 4`]는 [eqn: 8`]의 배수가 아니다. (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

13. [출제의도] 수의 성질을 이용하여 세 실수의 대소 관계를 판단한다.

조건 (가)에서 [eqn: b+c<a] [eqn: cdots] ㉠

조건 (나)에서　[eqn: {sqrt {b}} over {sqrt {a}} =`- sqrt {{b} over {a}}]

그러므로 [eqn: a<0], [eqn: b>0]

즉, [eqn: a<b`] [eqn: cdots] ㉡

㉠에서

[eqn: c<b+c<a] (∵ [eqn: b>0`]) [eqn: cdots] ㉢

따라서 ㉡, ㉢에 의해서 [eqn: c<a<b`]

[참고]

제곱근의 곱셈과 나눗셈

(ⅰ) [eqn: sqrt {a} ` sqrt {b} `]의 계산

[eqn: a>0], [eqn: b>0`]인 경우에는 [eqn: sqrt {a} ` sqrt {b} `=sqrtab]

[eqn: a>0], [eqn: b<0`]인 경우에는 [eqn: sqrt {a} ` sqrt {b} `=sqrtab]

[eqn: a<0], [eqn: b>0`]인 경우에는 [eqn: sqrt {a} ` sqrt {b} `=sqrtab]

[eqn: a<0], [eqn: b<0`]인 경우에는 [eqn: sqrt {a} ` sqrt {b} `=`- sqrt {ab}]

(ⅱ) [eqn: sqrt {a} over {sqrt {b}} `]의 계산

[eqn: a>0], [eqn: b>0`]인 경우에는 [eqn: {sqrt {a}} over sqrt{b} = sqrt {a overb}]

[eqn: a>0], [eqn: b<0`]인 경우에는 [eqn: {sqrt {a}} over {sqrt {b}} =`- sqrt {{a} over {b}}]

[eqn: a<0], [eqn: b>0`]인 경우에는 [eqn: {sqrt {a}} over sqrt{b} = sqrt {a overb}]

[eqn: a<0], [eqn: b<0`]인 경우에는 [eqn: {sqrt {a}} over sqrt{b} = sqrt {a overb}]

14. [출제의도] 다항식의 성질을 이용하여 식의 값을 구한다.

입체도형 [eqn: \P], [eqn: \Q], [eqn: \R], [eqn: \S], [eqn: \T`]의 부피가 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r], [eqn: s], [eqn: t`]이므로

[eqn: p=a^3], [eqn: q=b^3], [eqn: r=a^2], [eqn: s=b^2], [eqn: t=ab(a-b)]

[eqn: p=q+r+s+t`]이므로

[eqn: a ^{3} =b ^{3} `+a ^2 `+ b ^{2} +ab(a-b)]

[eqn: a^3 -b^3 -a^2 -b^2 -ab(a-b)=0]

[eqn: (a-b)(a^2 +ab +b^2 )-(a^2 +b^2 ) -ab (a-b)=0]

[eqn: (a-b)(a^2 +b^2 ) -(a^2 +b^2 )=0]

[eqn: (a -b-1)(a^2 +b^2 )=0]

[eqn: a^2 +b^2 !=0`]이므로 [eqn: a-b-1 =0]

따라서 [eqn: a-b=1]

[다른 풀이]

문자를 여러 개 포함한 식은 차수가 가장 낮은 문자에 대하여 정리한 후 인수분해하면 편리하다.

그러므로

[eqn: a^3 -b^3 -a^2 -b^2 -ab(a-b)=0]의 좌변을 모두 전개한 후 [eqn: a]에 대하여 정리하면

[eqn: a^3 -b^3 -a^2 -b^2 -ab(a-b)]

[eqn: =a ^{3} -(b+1)a ^{2} +b ^{2} a-b ^{3} -b ^{2}]

[eqn: =a ^{3} -(b+1)a ^{2} +b ^{2} a-b ^{2} (b+1`)]

[eqn: f(x)=x ^{3} -(b+1)x ^{2} +b ^{2} x-b ^{2} (b+1`)]이라고 놓으면

[eqn: f(b+1)=(b+1) ^{3} -(b+1)(b+1) ^{2} +b ^{2} (b+1)-b ^{2} (b+1)=0]

그러므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x-b-1]을 인수로 갖는다.

	[eqn: 1]	[eqn: -b-1]	[eqn: b ^{2}]	[eqn: -b ^{2} (b+1)]
[eqn: b+1]		[eqn: b+1]	[eqn: 0]	[eqn: b ^{2} (b+1)]
	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: b ^{2}]		[eqn: 0]

[eqn: f(x)]는 [eqn: (x-b-1)(x ^{2} +b ^{2} )]으로 인수분해 된다.

[eqn: f(x)]에 [eqn: a]를 대입하면 [eqn: (a-b-1)(a ^{2} +b ^{2} )]

즉, [eqn: a ^{3} -(b+1)a ^{2} +b ^{2} a-b ^{2} (b+1`)=(a-b-1)(a ^{2} +b ^{2} )]으로

인수분해 된다.

[eqn: a ^{3} -(b+1)a ^{2} +b ^{2} a-b ^{2} (b+1`)=0]에서

[eqn: (a-b-1)(a ^{2} +b ^{2} )=0]

[eqn: a>0`,``b>0]이므로 [eqn: a^2 +b^2 >0]

양변을 [eqn: a^2 +b^2`]으로 나누면 [eqn: a-b-1=0]

따라서 [eqn: a-b=1]

15. [출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 복소수의 합을 구한다.

점 [eqn: rm P`]가 반원 내부의 점이면서 선분 [eqn: rm PQ`]와 선분 [eqn: rmPR`]의 길이가 모두 자연수이므로

[eqn: bar{rm PQ it} =1], [eqn: 2], [eqn: 3`]이고 [eqn: bar{rmPR}=1`]

즉, [eqn: S="{"1+i,``2+i,``3+i"}"`]

[eqn: (1+i)+(2+i)+(3+i)=(1+2+3)+(1+1+1)i]

[eqn: =6+3i]

집합 [eqn: S`]의 모든 원소의 합은 [eqn: 6+3i]이므로

[eqn: p=6], [eqn: q=3]

따라서 [eqn: p+q=9]

16. [출제의도] 곱셈공식을 이용하여 직사각형의 넓이를 구한다.

호 [eqn: rmBC`]위의 점 [eqn: rmP`]에 대하여 [eqn: bar{ rm PQ}=x`], [eqn: bar{rmPR}=y`]라고 하면

직사각형 [eqn: rmAQPR`]의 둘레의 길이는 [eqn: 10`]이므로

[eqn: 2(x+y)=10] … ㉠

점 [eqn: rmP`]에서 선분 [eqn: rmBC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하고

선분 [eqn: rmBC`]의 중점을 [eqn: rmM`]이라고 하면

[eqn: bar{rmPH}=2-y`], [eqn: bar{rmMH}=x-2`]

직각삼각형 [eqn: rmPMH`]에서 피타고라스의 정리에 의해

[eqn: 4=(2-y) ^{2} +(x-2) ^{2}]

[eqn: =x ^{2}+y^2 -4(x+y)+8]

[eqn: =(x+y)^2 -2xy-4(x+y)+8]

㉠에서 [eqn: x+y=5`]이므로

[eqn: 4=25-2xy-20+8]

[eqn: 2xy=9]

따라서 [eqn: xy= {9} over {2}]

17. [출제의도] 연산의 성질을 이용하여 집합의 원소를 추측한다.

집합 [eqn: A`]가 곱셈에 대하여 닫혀있으므로 집합 [eqn: A`]의 모든 원소에 [eqn: a`]를 곱하면 [eqn: LEFT { a ^{2} ,`ab,`ac` RIGHT }]

[eqn: LEFT { a ^{2} ,`ab,`ac` RIGHT }=LEFT { a,`b,`c` RIGHT }]이므로 각 집합의 모든 원소의 곱이 같다.

즉, [eqn: a^4 bc=a bc]

[eqn: a,`b,`c`]의 곱셈에 대한 역원이 모두 존재하므로 [eqn: abc]의 역원 [eqn: {1} over {abc}]을 양변에 곱하면

[eqn: a ^{3} =1]

마찬가지 방법으로 [eqn: b^3 =1`,] [eqn: c^3 =1]

따라서 [eqn: a^3 + b^3 +c^3][eqn: = 1+1+1][eqn: =3`]

[다른 풀이]

(나)에서 모든 원소의 곱셈에 대한 역원이 존재하므로 곱셈에 대한 항등원 [eqn: 1]은 집합 [eqn: A`]의 원소이다.

이 때, [eqn: a` !=1], [eqn: a IN A`]이면 [eqn: {1} over {a} in A `]

그러므로 [eqn: A= LEFT { 1,``a,`` {1} over {a} RIGHT }]

집합 [eqn: A]가 곱셈에 대하여 닫혀있으므로 [eqn: a^2 =1] 또는 [eqn: a^2 =a] 또는 [eqn: a ^{2} = {1} over {a}]이다.

(ⅰ) [eqn: a^2 =1]이면 [eqn: a!=1`]이므로 [eqn: a=-1`]이다.

[eqn: a=-1`]이면 [eqn: 1overa =a`]이므로 집합 [eqn: A`]의 원소의 개수가 [eqn: 2`]가 되어 모순

(ⅱ) [eqn: a^2 =a]이면 [eqn: a!=1`]이므로 [eqn: a=0`]이다.

그러므로 [eqn: a`]의 곱셈에 대한 역원이 존재하지 않게 되어 모순

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: a ^{2} = {1} over {a}]이므로 [eqn: a^3 =1`]

[eqn: A= LEFT { 1,``a,`` {1} over {a} RIGHT }]이고 문제에서 [eqn: A=left{ a,`b,`c `right}]이므로

[eqn: b=1], [eqn: c= 1overa]이라고 할 수 있다.

따라서 [eqn: a^3 +b^3 +c^3 = a^3 + 1^3 + left( 1overa right)^3]

[eqn: =a^3 +1+ 1over a^3]

[eqn: =1+1+ 1over1]

[eqn: =3]

18. [출제의도] 곱셈공식을 이용하여 일차항의 계수를 구한다.

[eqn: <A,``B> = A ^{2} +AB+B ^{2}]의 양변에 [eqn: left(A-B `right)`]를 곱하면

[eqn: LEFT ( A-B `RIGHT ) TIMES <A,`B> = LEFT ( A-B` RIGHT ) LEFT ( A ^{2} +AB+B ^{2} RIGHT )]

[eqn: =A^3 -B``^3]

이 식에 [eqn: A=x^2 +x+1`], [eqn: B=x^2 +x`]를 대입하면

[eqn: A-B= left( x^2 +x+1 right) - left( x^2 +x right ) =1]이므로

[eqn: 1 TIMES LEFT < x ^{2} +x+1,``x ^{2} +x RIGHT >][eqn: = LEFT ( x ^{2} +x+1 RIGHT ) ^{3} - LEFT ( x ^{2} +x RIGHT ) ^{3}]

[eqn: LEFT < x ^{2} +x+1,``x ^{2} +x RIGHT >][eqn: = LEFT ( x ^{2} +x+1 RIGHT ) ^{3} - LEFT ( x ^{2} +x RIGHT ) ^{3}]

우변을 정리하면

[eqn: LEFT { x ^{2} +(x+1) RIGHT } ^{3} -(x ^{2} +x) ^{3}]

[eqn: =x ^{6} +3x ^{4} (x+1)+3x ^{2} (x+1) ^{2} +(x+1) ^{3} -(x ^{2} +x) ^{3}]

[eqn: (x+1)^3] 이외의 항에는 차수가 이차 이상인 항들이 곱해져 있으므로 일차항이 나올 수 없다.

그러므로 [eqn: LEFT < x ^{2} +x+1,``x ^{2} +x RIGHT >]의 전개식에서 [eqn: x`]의 계수는 [eqn: (x+1)^3]의 [eqn: x`]의 계수와 일치한다.

[eqn: (x+1) ^{3} =x^3 +3x^2 +3x+1`]에서 [eqn: x]의 계수는 [eqn: 3]이다.

따라서 [eqn: LEFT < x ^{2} +x+1,``x ^{2} +x RIGHT >]의 전개식에서 [eqn: x]의 계수는 [eqn: 3]

[다른 풀이]

[eqn: LEFT < x ^{2} +x+1,``x ^{2} +x RIGHT >]

[eqn: = LEFT ( x ^{2} +x+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( x ^{2} +x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +x RIGHT ) + LEFT ( x ^{2} +x RIGHT ) ^{2}]

[eqn: =3x^4 +6x^3 +6x^2 +3x+1]

따라서 [eqn: x]의 계수는 [eqn: 3]

[다른 풀이]

다항식 [eqn: LEFT < x ^{2} +x+1,``x ^{2} +x RIGHT >`]의 전개식에서 [eqn: x`]의 계수를 구할 때, 이차항인 [eqn: x ^{2}`]은 의미를 갖지 않는다. 그러므로 [eqn: LEFT < x ^{2} +x+1,``x ^{2} +x RIGHT >`]의 전개식에서 [eqn: x`]의 계수와 [eqn: LEFT < x+1,``x RIGHT >`]의 전개식에서 [eqn: x`]의 계수는 같다.

[eqn: LEFT < x+1,``x RIGHT >`]의 전개식에서 [eqn: x`]의 계수를 구하면

[eqn: LEFT < x+1,``x RIGHT >`][eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{3} -x ^{3}`]

[eqn: =x ^{3} +3x ^{2} +3x+1-x ^{3}`]

[eqn: =3x ^{2} +3x+1`]

따라서 [eqn: x`]의 계수는 [eqn: 3 `]

19. [출제의도] 수의 성질을 이용하여 무리식에 관한 증명을 완성한다.

[eqn: p^2 (n^2 -1) =q^2`]에서 [eqn: q^2`]이 [eqn: p`]의 배수이므로 [eqn: q^2 overp`]은 자연수이다.

[eqn: p`]가 [eqn: 1`]이 아닌 자연수이면 [eqn: p,``q]가 서로소이므로 [eqn: q^2 overp`]은 자연수가 아니다.

그러므로 [eqn: p=1]

[eqn: p^2 (n^2 -1) =q^2`]에 [eqn: p=1`]을 대입하면 [eqn: n^2 -1 =q^2]

즉, [eqn: n^2 =]

[eqn: q^2 +1]

∴ [eqn: f(q) = q^2 +1]

[eqn: n ge 2`]이고 [eqn: q^2 =n^2 -1 ge 2^2 -1=4-1=3`]

그러므로 [eqn: q^2 ge 3`]에서 [eqn: q>1`]

자연수 [eqn: k`]에 대하여

(ⅰ) [eqn: q =2k`]일 때

[eqn: n^2 = (2k)^2 + 1]이므로 [eqn: ( 2k)^2 < n^2 <]

[eqn: (2k+1)^2]

즉, [eqn: 2k < n < 2k+1`]을 만족하는 자연수 [eqn: n`]은 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: q = 2k+1 `]일 때

[eqn: n^2 = (2k+1)^2 +1 `]이므로  [eqn: < n^2 < ( 2k+2 ) ^2]

[eqn: (2k+1)^2]

∴ [eqn: g(k)= (2k+1 )^2]

즉, [eqn: 2k+1 < n < 2k+2`]를 만족하는 자연수 [eqn: n`]은 존재하지 않는다.

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 [eqn: root{n^2 -1 } = q over p `]([eqn: p,``q]는 서로소인 자연수)를 만족하는 자연수 [eqn: n`]은  존재하지 않는다.

따라서 [eqn: root{n^2 -1}]은 무리수이다.

이상에 의해서 [eqn: f(2) + g(3)}^2 = 5+49 =54`]

20. [출제의도] 실수의 성질을 이해하고 이를 활용한 문제를 해결한다.

ㄱ. 세 변의 길이가 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5`]인 직각삼각형을 만들 수 있다. (참)

ㄴ. 세 변의 길이가 [eqn: sqrt {2}], [eqn: 2 sqrt {2}], [eqn: sqrt {10}`]인 직각삼각형을 만들 수 있다. (참)

ㄷ. 모눈종이 위의 모든 직각삼각형에 대하여 그림과 같이 직사각형을 만들 수 있다. 직사각형의 네 꼭짓점은 간격이 일정한 모눈종이 위의 점들이므로 가로와 세로의 길이는 모두 자연수이다.

그러므로 직사각형의 넓이와 직각삼각형의 넓이 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C``]는 유리수이다.

(직각삼각형의 넓이)

[eqn: =] (직사각형의 넓이)[eqn: `-(A+B+C`)`]

유리수의 집합은 덧셈과 뺄셈에 대하여 닫혀있으므로 직각삼각형의 넓이도 유리수이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. [출제의도] 복소수의 곱셈 결과를 추론한다.

버튼을 한 번 누르면 화면에 나타나는 수는

[eqn: {sqrt {2} + sqrt {2} i} over {2} `], 두 번 누르면 [eqn: LEFT ( {sqrt {2} + sqrt {2} i} over {2} ` RIGHT ) ^2 =i]

세 번 누르면

[eqn: LEFT ( {sqrt {2} + sqrt {2} i} over {2} ` RIGHT ) ^{3} = LEFT ( {sqrt {2} + sqrt {2} i} over {2} ` RIGHT ) ^{2} TIMES {sqrt {2} + sqrt {2} i} over {2}]

[eqn: = it i`times {sqrt {2} + sqrt {2} i} over {2} `= {- sqrt {2} + sqrt {2} i} over {2} `]

두 번 누르면 [eqn: i`]이므로 네 번 누르면 [eqn: i ^{2} =`-1]

그러므로  버튼을 여덟 번 누르면 화면에 [eqn: 1`]이

나타난다.

버튼을 한 번 누르면 화면에 나타나는 수는

[eqn: {- sqrt {2} + sqrt {2} i} over {2} `], 두 번 누르면 [eqn: LEFT ( {- sqrt {2} + sqrt {2} i} over {2} ` RIGHT ) ^{2} =`-i]

세 번 누르면

[eqn: LEFT ( {- sqrt {2} + sqrt {2} i} over {2} ` RIGHT ) ^{3} = LEFT ( {- sqrt {2} + sqrt {2} i} over {2} ` RIGHT ) ^{2} TIMES LEFT ( {- sqrt {2} + sqrt {2} i} over {2} ` RIGHT )]

[eqn: = it `-i` TIMES LEFT ( {- sqrt {2} + sqrt {2} i} over {2} ` RIGHT ) = {sqrt {2} + sqrt {2} i} over {2} `]

두 번 누르면 [eqn: -i`]이므로 네 번 누르면 [eqn: (-i) ^{2} =`-1]

그러므로  버튼을 여덟 번 누르면 화면에 [eqn: 1`]이

나타난다.

그런데 버튼과 버튼을 한 번씩 누른 결과는

[eqn: {sqrt {2} + sqrt {2} i} over {2} TIMES {- sqrt {2} + sqrt {2} i} over {2} `=`-1]

그러므로 버튼과 버튼을 두 번씩 누르면 화면에 [eqn: 1`]이 나타난다.

따라서 화면에 [eqn: 1`]이 다시 나타날 때까지 버튼을 누른 횟수의 최솟값은 [eqn: 4]

[참고]

[eqn: {sqrt {2} + sqrt {2} i} over {2} `= {sqrt {2}} over {2} (1+i)`]에서 [eqn: LEFT { {sqrt {2}} over {2} (1+i)` RIGHT } ^{2} =i]이고

[eqn: {- sqrt {2} + sqrt {2} i} over {2} `= {sqrt {2}} over {2} (-1+i)`]에서 [eqn: LEFT { {sqrt {2}} over {2} (-1+i)` RIGHT } ^{2} =`-i]

이므로 [eqn: i`times`(-i)``=`1]임을 이용하여 같은 결과를 얻을 수 있다.

22. [출제의도] 이중근호를 풀어 식의 값을 구한다.

[eqn: sqrt {12+2 sqrt {27}} = sqrt {(9+3)+2 sqrt {9 CDOT 3}}]

[eqn: = sqrt {( sqrt {9} + sqrt {3} ) ^{2}}]

[eqn: = sqrt {9} + sqrt {3} `]

[eqn: =3+ sqrt {3} `]

따라서 [eqn: a+b=3+3][eqn: =6]

23. [출제의도] 유리식을 정리하여 식의 값을 구한다.

[eqn: {(a-5) ^{2}} over {a-b} + {(b-5) ^{2}} over {b-a} `= {(a-5) ^{2}} over {a-b} - {(b-5) ^{2}} over {a-b} `]

[eqn: = {(a-5) ^{2} -(b-5) ^{2}} over {a-b} `]

[eqn: = {(a ^{2} -10a+25)-(b ^{2} -10b+25)} over {a-b} `]

[eqn: = {a ^{2} -10a+25-b ^{2} +10b-25} over {a-b} `]

[eqn: = {a ^{2} -b ^{2} -10a+10b} over {a-b} `]

[eqn: = {(a+b)(a-b)-10(a-b)} over {a-b} `]

[eqn: = {(a+b-10)(a-b)} over {a-b} `]

[eqn: =a+b-10=0]

따라서 [eqn: a+b=10]

24. [출제의도] 다항식의 최대공약수와 최소공배수의 정의를 이용하여 미정계수를 정한다.

두 다항식 [eqn: A`]와 [eqn: B`]를 인수분해하면

[eqn: A= LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) `]

[eqn: B= LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) `]

이므로 [eqn: A`]와 [eqn: B`]의 최대공약수인 [eqn: A TRIANGLE B``]는

[eqn: A TRIANGLE B`=x-3]

이고

[eqn: LEFT ( A TRIANGLE B` RIGHT ) NABLA C``][eqn: = LEFT ( x-3 RIGHT ) NABLA LEFT ( x ^{3} +4x ^{2} +x-a RIGHT )]

가 된다.

[eqn: LEFT ( A TRIANGLE B` RIGHT ) NABLA C``]는 [eqn: x-3]과 [eqn: x ^{3} +4x ^{2} +x-a`]의 최소공배수이고, 이 최소공배수가 [eqn: x`]에 대한 삼차식이므로 [eqn: x-3]은 [eqn: x ^{3} +4x ^{2} +x-a`]의 인수이다.

[eqn: f(x)=x ^{3} +4x ^{2} +x-a`]라 할 때,

인수정리에 의해 [eqn: f(3)=0`]이므로

[eqn: f(3)=3 ^{3} +4 TIMES 3 ^{2} +3-a=0]

따라서 [eqn: a=27+36+3][eqn: =66]

25. [출제의도] 항등식의 성질을 이용하여 나머지를 구한다.

[eqn: x^4 `]을 [eqn: x-1]로 나눈 몫이 [eqn: q(x)`], 나머지가 [eqn: r_1]이므로

[eqn: x^4 =(x-1)q(x) +r_1`] [eqn: cdots]　㉠

[eqn: q(x)`]를 [eqn: x-4`]로 나눈 나머지가 [eqn: r_2`]이므로 몫을 [eqn: q_1 (x)`]라 하면

[eqn: q(x) =(x-4)q_1 (x)+r _{2} `] [eqn: cdots]　㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: x^4 =(x-1) left{ (x-4)q_1 (x)+r_2 right}+r_1] [eqn: cdots]　㉢

㉢의 양변에 [eqn: x=4`]를 대입하면

[eqn: 4^4 =3timesr_2 +r_1]

따라서 [eqn: r_1 +3r_2 =256]

[다른 풀이]

[eqn: x ^{4}]을 [eqn: x-1`]로 나눈 몫이 [eqn: q (x)`]이고 나머지가 [eqn: r _{1} `]이므로

[eqn: x ^{4} = LEFT ( x-1 RIGHT ) `q (x)+r _{1} `]

이 식에 [eqn: x=1`]을 대입하면 [eqn: r _{1} =1]

[eqn: x ^{4} = LEFT ( x-1 RIGHT ) q(x)+1`]에서

[eqn: x ^{4} -1= (x-1)(x ^{3} +x ^{2} +x+1)`]이 된다.

그러므로 [eqn: q (x)`=x ^{3} +x ^{2} +x+1`]

[eqn: q(x)`]를 [eqn: x-4`]로 나눈 몫을 [eqn: q _{1} (x)`]라 하면

[eqn: x ^{3} +x ^{2} +x+1= LEFT ( x-4 RIGHT ) q _{1} (x)+r _{2} `]

이 식에 [eqn: x=4]를 대입하면

[eqn: 4 ^{3} +4 ^{2} +4+1=(4-4)times q_1 (4) +r _{2}]

그러므로 [eqn: r _{2} =64+16+4+1=85`]

따라서 [eqn: r _{1} +3r _{2} =1+3 TIMES 85=256`]

[다른 풀이]

다항식 [eqn: x^4]을 [eqn: x-1]로 나누고 그 몫을 다시 [eqn: x-4]로 나누면

	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: 0]	[eqn: 0]		[eqn: 0]
[eqn: 1]		[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]		[eqn: 1]
	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]			[eqn: 1]
[eqn: 4]		[eqn: 4]	[eqn: 20]	[eqn: 84]
	[eqn: 1]	[eqn: 5]	[eqn: 21]		[eqn: 85]

[eqn: x ^{4} =(x-1)(x ^{3} +x ^{2} +x+1)`+1]

[eqn: =(x-1) LEFT { (x-4)(x ^{2} +5x+21`)+85 RIGHT } `+1]

그러므로 [eqn: r_1 =` 1]이고 [eqn: r_2 = 85]

따라서 [eqn: r _{1} +3r _{2} =1+3 TIMES 85=256`]

26. [출제의도] 무리식이 서로 같음을 이용하여 [eqn: bold b`]의 최댓값을 구한다.

[eqn: a-1-b=2 sqrt {b} `]에서 [eqn: a], [eqn: b`]가 자연수이므로 [eqn: a-1-b`]는 정수이다.

따라서 [eqn: sqrt { b} `]도 정수이므로 [eqn: b`]는 제곱수이다.

[eqn: 50]이하의 제곱수는 [eqn: 1,``4,``9,```16,``25,``36,``49`]이다.

[eqn: b]의 최댓값을 구하기 위해 큰 수부터 대입해보면

(ⅰ) [eqn: b=49`]인 경우

[eqn: a-1-49=2 sqrt {49} =14`]

∴ [eqn: a=64]

[eqn: a]가 [eqn: 50`]이하이므로 [eqn: b!=49]

(ⅱ) [eqn: b=36`]인 경우

[eqn: a-1-36=2 sqrt {36} =12`]

∴ [eqn: a=49]

따라서 [eqn: b`]의 최댓값은 [eqn: 36]

27. [출제의도] 무리식을 정리하여 실생활 문제를 해결한다.

[eqn: omega = {1} over {2L} sqrt {{T} over {rho }}`]에서 밀도 [eqn: rho `]를 다른 세 변수 [eqn: L], [eqn: T`], [eqn: omega`]에 대한 식으로 나타내면

[eqn: omega ^{2} = {1} over {4L ^{2}} cdot {{T} over {rho }} `]

[eqn: rho = {T} over {4 omega ^{2} L ^{2}}`]

[eqn: rmA`], [eqn: rmB`]의 길이를 모두 [eqn: L]이라 하자.

[eqn: rmA`]의 장력을 [eqn: T _{rmA}`], 밀도를 [eqn: rho _{rmA}`], 주파수를 [eqn: omega _{rmA}`]라 하고

[eqn: rmB`]의 장력을 [eqn: T _{rmB}`], 밀도를 [eqn: rho _{rmB}`], 주파수를 [eqn: omega _{rmB}`]라 하면

[eqn: rho _{rm A it} = {T _{rm A it}} over {4 omega _{rm A it} ^{````2} L ^{2}} `], [eqn: rho _{rm B it} = {T _{rm B it}} over {4 omega _{rm B it} ^{````2} L ^{2}} `]

이다.

[eqn: T _{rm A it} =3 {T _{rm B it}}], [eqn: omega _{rmA} = {omega _{rmB}} over {2} `]이므로

[eqn: rho _{rm A it} = {T _{rm A it}} over {4 omega _{rm A it} ^{````2} L ^{2}}]

[eqn: = {3T _{rm B it}} over {4 TIMES {omega _{rm B it} ^{````2}} over {4} TIMES L ^{2}} `]

[eqn: = {12T _{rm B it}} over {4 omega _{rm B it} ^{````2} L ^{2}}]

[eqn: =12 rho _{rm B it} `]

[eqn: rm A`]의 밀도는 [eqn: rmB`]의 밀도의 [eqn: 12`]배

따라서 [eqn: n=12]

28. [출제의도] 조건에 맞게 다항식을 세워 식의 값을 구한다.

조건 (가)에서 [eqn: (x-3)`(y-3)`(2z-3)=0~~ CDOTS `] ㉠

조건 (나)에서 [eqn: ``3(x+y+2z)=xy+2yz+2zx~ CDOTS `]㉡

㉠에서

[eqn: (x-3)`(y-3)`(2z-3)`]

[eqn: =(xy-3x-3y+9)(2z-3)`]

[eqn: =2xyz-6xz-6yz+18z-3xy+9x+9y-27`]

[eqn: =2xyz-3(xy+2yz+2zx)+9(x+y+2z)-27``=0]

㉡을 이 식에 대입하면

[eqn: 2xyz-3(xy+2yz+2zx)+9(x+y+2z)-27``]

[eqn: =2xyz-3 left {3(x+y+2z) right}+9(x+y+2z)-27``]

[eqn: =2xyz-9(x+y+2z) +9(x+y+2z)-27``]

[eqn: =2xyz-27``=0]

그러므로 [eqn: xyz= {27} over {2}]

따라서 [eqn: 10xyz=135`]

[다른 풀이]

[eqn: x`], [eqn: y`], [eqn: 2z`] 중에서 적어도 하나는 [eqn: 3]이다. (나)의 식에서 [eqn: 3(x+y+2z)=xy+y(2z)+(2z)x`]이므로 [eqn: x`=3`]을 조건 (나)의 식에 대입하여 문제를 풀어도 일반성을 잃지 않는다.

그러므로 [eqn: x=3`]이라고 가정하면

[eqn: 3(x+y+2z)=3(3+y+2z)]

[eqn: =9+3y+6z]

[eqn: xy+2yz+2zx`=`3y+2yz+6z]

이므로

[eqn: 9+3y+6z=`3y+2yz+6z]

∴ [eqn: 9=`2yz]

따라서 [eqn: 10xyz=10`times`3times`9over2]

[eqn: =135]

29. [출제의도] 주어진 상황에 맞게 이차식을 세우고 그 값을 구한다.

[eqn: sqrt {3} =x]라고 하면

[eqn: rmA] 색종이 한 장의 넓이는 [eqn: x^2]

[eqn: rmB] 색종이 한 장의 넓이는 [eqn: 2x]

[eqn: rmC] 색종이 한 장의 넓이는 [eqn: 1]

[eqn: rmA] 색종이 [eqn: 5]장, [eqn: rmB] 색종이 [eqn: 11]장, [eqn: rmC] 색종이 [eqn: 8]장을 겹치지 않게 빈틈없이 이어 붙여서 만든 직사각형의 넓이는 [eqn: 5x ^{2} +22x+8`]이다.

이 식을 자연수 계수를 갖는 두 일차식의 곱으로 표현하면

[eqn: 5x^2 + 22x + 8 = (5x+2 ) (x+4)]

즉, 직사각형의 두 변의 길이는

[eqn: 5x+2], [eqn: x+4`]

로 나타낼 수 있다.

∴ 구하는 직사각형의 둘레의 길이는

[eqn: 2(5x+2)+2(x+4)=10x+4+2x+8]

[eqn: =12x+12]

[eqn: =12+12 sqrt {3}]

따라서 [eqn: a=12], [eqn: b=12]이고 [eqn: a+b=24]

[참고]

색종이 [eqn: 24 `]장 각각의 넓이의 합 [eqn: S`]는

[eqn: S=][eqn: 5`cdot( sqrt {3} ` TIMES sqrt {3} )+11 cdot(2 TIMES sqrt {3} )+8 cdot(1 TIMES 1)`]

[eqn: =5` cdot left ( sqrt {3} `right) ^{2} +22 cdot left( sqrt {3} right )+8`]

[eqn: =left(5 sqrt {3} +2 right) left( sqrt {3} +4 right)]

이므로 [eqn: 5 sqrt {3} +2 `]와 [eqn: sqrt {3} +4`]를 두 변으로 하는 직사각형의 넓이 [eqn: LEFT ( 5 sqrt {3} +2 RIGHT ) LEFT ( sqrt {3} +4 RIGHT )`]와 같다.

따라서 24장의 색종이를 겹치지 않게 빈틈없이 이어 붙인 직사각형의 두 변의 길이는 [eqn: 5 sqrt {3} +2 `]와 [eqn: sqrt {3} +4`]이다.

30. [출제의도]　나머지정리를 이용하여 배수 문제를 해결한다.

[eqn: n ^{4} +n ^{2} -2=(n^2 -1)(n^2 +2)]

[eqn: =(n-1)(n+1)(n ^{2} +2)]

[eqn: =(n-1)(n ^{3} +n ^{2} +2n+2)]

[eqn: =(n-1) LEFT { (n-2)(n ^{2} +3n+8)`+18 RIGHT } ``]

[eqn: =(n-1)(n-2)(n ^{2} +3n+8)`+18(n-1)`` CDOTS] ㉠

[eqn: (n-1)(n-2)(n ^{2} +3n+8)`]이 [eqn: (n-1) (n-2)]의 배수이므로 ㉠이 [eqn: (n-1) (n-2)`]의 배수가 되기 위해서는  [eqn: 18(n-1)]이 [eqn: (n-1) (n-2)]의 배수가 되어야 한다.

즉, [eqn: 18(n-1)=(n-1)(n-2)k`] (단, [eqn: k`]는 자연수)

[eqn: 18=(n-2)k`]이고, [eqn: k]가 최솟값을 가질 때 [eqn: n`]이 최댓값을 가지므로 [eqn: k=1]일 때 [eqn: n]이 최대이다.

따라서 [eqn: n=20]

[다른 풀이]

[eqn: n ^{4} +n ^{2} -2]를 조립제법을 사용하여 [eqn: (n-1)(n-2)]로 나누면 다음과 같다.

	[eqn: 1`]	[eqn: 0`]	[eqn: 1]	[eqn: 0`]		[eqn: -2`]
[eqn: 1`]		[eqn: 1`]	[eqn: 1`]	[eqn: 2``]		[eqn: 2``]
	[eqn: 1`]	[eqn: 1`]	[eqn: 2``]	[eqn: 2``]			[eqn: 0`]
[eqn: 2``]		[eqn: 2``]	[eqn: 6`]	[eqn: 16`]
	[eqn: 1`]	[eqn: 3`]	[eqn: 8`]		[eqn: 18`]

[eqn: n ^{4} `+n ^{2} `-2`]를 [eqn: n-1`]로 나눈 몫은 [eqn: n^3 +n^2 +2n+2], 나머지는 [eqn: 0]이므로

[eqn: n ^{4} +n ^{2} -2=(n-1)(n ^{3} +n ^{2} +2n+2)]

[eqn: n^3 +n^2 +2n+2]를 [eqn: n-2]로 나눈 몫은 [eqn: n^2 +3n+8`], 나머지는 [eqn: 18`]이다.

그러므로 식을 정리하면

[eqn: n ^{4} +n ^{2} -2=][eqn: (n-1)(n-2)(n ^{2} +3n+8)+18(n-1)]

문제의 조건에서 [eqn: (n-1)(n-2)(n ^{2} +3n+8)+18(n-1)`]은 [eqn: (n-1)(n-2)`]의 배수이다.

그런데 [eqn: (n-1)(n-2)(n ^{2} +3n+8)]이 [eqn: (n-1)(n-2)`]의 배수이므로 [eqn: 18(n-1)`]도 [eqn: (n-1)(n-2)`]의 배수가 되어야 한다.

[eqn: 18(n-1)=(n-1)(n-2)k`] (단, [eqn: k`]는 자연수)

[eqn: 18=(n-2)k`]

[eqn: k]가 최솟값을 가질 때 [eqn: n`]이 최댓값을 가지므로 [eqn: k=1]일 때 [eqn: n]이 최대이다.

따라서 [eqn: n=20]

[참고]

[eqn: n ^{4} +n ^{2} -2`]를 [eqn: (n-1)(n-2)`]로 나누면

			[eqn: n ^{2}]	[eqn: +3n]	[eqn: +8]
[eqn: n^2 -3n+2]			[eqn: n ^{4}]		[eqn: +n ^{2}]		[eqn: -2]
			[eqn: n ^{4}]	[eqn: -3n ^{3}]	[eqn: +2n ^{2}]
				[eqn: 3n ^{3}]	[eqn: -n ^{2}]
				[eqn: 3n ^{3}]	[eqn: -9n ^{2}]	[eqn: 6n]
					[eqn: 8n ^{2}]	[eqn: -6n]
					[eqn: 8n ^{2}]	[eqn: -24n]	[eqn: 16]
						[eqn: 18n]	[eqn: -18]

[eqn: n ^{4} +n ^{2} -2`= LEFT ( n-1 RIGHT ) (n-2) LEFT ( n ^{2} +3n+8` RIGHT ) +18n-18]이다.

[eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) (n-2) LEFT ( n ^{2} +3n+8` RIGHT )]은 [eqn: (n-1)(n-2)]의 배수이므로

[eqn: n ^{4} +n ^{2} -2`]가 [eqn: (n-1)(n-2)]의 배수가 되기 위해서는

[eqn: 18n-18]이 [eqn: (n-1)(n-2)]의 배수이어야 한다.

따라서

[eqn: 18n-18=18(n-1)][eqn: =k(n-1)(n-2)] (단, [eqn: k]는 자연수)

라고 할 수 있다.

양변을 [eqn: n-1]로 나누면

[eqn: 18=k(n-2)]

[eqn: n-2=1,``2,``3,``6,``9,``18]이고

[eqn: n=3,``4,``5,``8,``11,``20]이다.

(ⅰ) [eqn: n=3]이면

[eqn: n ^{4} +n ^{2} -2=][eqn: 88], [eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) (n-2)=][eqn: 2]이고 [eqn: 88]은 [eqn: 2]의 배수

([eqn: 88=2 TIMES 44])

(ⅱ) [eqn: n=4]이면

[eqn: n ^{4} +n ^{2} -2=][eqn: 270], [eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) (n-2)=][eqn: 6]이고 [eqn: 270]은 [eqn: 6]의 배수 ([eqn: 270=6 TIMES 45])

(ⅲ) [eqn: n=5]이면

[eqn: n ^{4} +n ^{2} -2=][eqn: 648], [eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) (n-2)=][eqn: 12]이고 [eqn: 648]은 [eqn: 12]의 배수 ([eqn: 648=12 TIMES 54])

(ⅳ) [eqn: n=8]이면

[eqn: n ^{4} +n ^{2} -2=][eqn: 4158], [eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) (n-2)=][eqn: 42]이고 [eqn: 4158]은 [eqn: 42]의 배수 ([eqn: 4158=42 TIMES 99])

(ⅴ) [eqn: n=11]이면

[eqn: n ^{4} +n ^{2} -2=][eqn: 14760], [eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) (n-2)=][eqn: 90]이고 [eqn: 14760]은 [eqn: 90]의 배수 ([eqn: 14760=90 TIMES 164])

(ⅵ) [eqn: n=20]이면

[eqn: n ^{4} +n ^{2} -2=][eqn: 160398], [eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) (n-2)=][eqn: 342]이고 [eqn: 160398]은 [eqn: 342]의 배수 ([eqn: 160398=342 TIMES 469])

∴ [eqn: n=3,``4,``5,``8,``11,``20]일 때 [eqn: n ^{4} +n ^{2} -2`]는

[eqn: (n-1)(n-2)`]의 배수이다.

따라서 [eqn: n=20]