수학 영역

정 답

1	③	2	①	3	⑤	4	②	5	⑤
6	④	7	④	8	③	9	②	10	④
11	③	12	①	13	②	14	④	15	②
16	⑤	17	①	18	⑤	19	③	20	④
21	③	22	[eqn: 5]	23	[eqn: 24]	24	[eqn: 3]	25	[eqn: 12]
26	[eqn: 25]	27	[eqn: 23]	28	[eqn: 16]	29	[eqn: 10]	30	[eqn: 14]

해 설

1. [출제의도] 복소수 계산하기

[eqn: z _{1} z _{2} =][eqn: (2-3i)(2+3i)][eqn: =2 ^{2} -(3i) ^{2}][eqn: =4+9]

따라서 [eqn: z _{1} z _{2} =13]

2. [출제의도] 다항식 계산하기

[eqn: 2A-B=][eqn: 4x ^{2} -2x+2-(x ^{2} -2x-1)]

[eqn: =4x ^{2} -2x+2][eqn: -x ^{2} +2x+1][eqn: =3x ^{2} +3]

따라서 [eqn: 2A-B=3x ^{2} +3`]

3. [출제의도] 두 점 사이의 거리 계산하기

[eqn: rm {bar{PQ}} =][eqn: sqrt {LEFT ( 5-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 7-3 RIGHT ) ^{2}} =4 sqrt {2} `]

4. [출제의도] 이차함수의 최댓값과 최솟값 계산하기

꼭짓점의 [eqn: x]좌표는 주어진 [eqn: x]의 값의 범위에 속한다.

[eqn: x=-1]일 때 [eqn: y=`-2`]

[eqn: x=-2]일 때 [eqn: y=`-1]

[eqn: x=3]일 때 [eqn: y=14`]이므로

최댓값 [eqn: M=14`], 최솟값 [eqn: m=`-2]

따라서 [eqn: M+m=12`]

5. [출제의도] 미지수가 3개인 연립방정식 계산하기

[eqn: {cases{`x-y=5&```cdotscdots``㉠#`y+2z=6&```cdotscdots``㉡#`z-x=7&```cdotscdots``㉢}} `]

에서 ㉠+㉡을 하면 [eqn: x+2z=11```cdotscdots``㉣]

㉢+㉣을 하면 [eqn: 3z=18`], [eqn: z=6`cdotscdots``㉤`]

㉤을 ㉡, ㉢에 대입하면 [eqn: x=`-1`], [eqn: y=`-6`]

따라서 [eqn: xyz=36`]

6. [출제의도] 집합의 연산법칙 이해하기

드 모르간의 법칙에 의해 [eqn: A ^{C} SMALLINTER B ^{C} `= LEFT ( A CUP B RIGHT ) ^{C}]

[eqn: n(A` CUP B`)`][eqn: =n(U)-n` LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B ^{C} ` RIGHT )][eqn: =50-5=45]

따라서 [eqn: n`LEFT ( LEFT ( A-B RIGHT ) CUP ` LEFT ( B-A RIGHT ) RIGHT )]

[eqn: =n(A`CUP B`)-n(A` SMALLINTER B`)`][eqn: =45-12=33`]

7. [출제의도] 직선의 수직 조건 이해하기

두 직선의 방정식 [eqn: x-2y+2=0],

[eqn: 2x+y-6=0]을 연립하여 풀면

[eqn: x=2], [eqn: y=2`]이므로

두 직선의 교점의 좌표는 [eqn: (2,```2)`]이고

직선 [eqn: x-3y+6=0`]와 수직인 직선의 기울기는 [eqn: -3`]이다.

기울기가 [eqn: -3`]이고 점 [eqn: (2,```2)`]를 지나는 직선의 방정식은 [eqn: y-2=-3(x-2)`]

따라서 [eqn: y`]절편은 [eqn: 8`]

(별해)

두 직선 [eqn: x-2y+2=0`], [eqn: 2x+y-6=0`]의 교점을 지나는 직선의 방정식은

[eqn: x-2y+2+k(2x+y-6)=0`] (단, [eqn: k`]는 실수)

즉, [eqn: (1+2k)x+(-2+k)y+2-6k=0`] …… ㉠

직선 ㉠과 직선 [eqn: x-3y+6=0`]이 수직이므로

[eqn: (1+2k)-3(-2+k)=0`]에서 [eqn: k=7`]

구하는 직선의 방정식은 [eqn: 3x+y-8=0`]

따라서 [eqn: y]절편은 [eqn: 8`]

8. [출제의도] 연립부등식 성질 이해하기

[eqn: x ^{2} +x-6 GEQ 0`]에서 [eqn: (x+3)(x-2) GEQ 0`],

[eqn: x LEQ -3`] 또는 [eqn: x GEQ 2`] …… ㉠

[eqn: x ^{2} -6x+5<0`]에서 [eqn: (x-1)(x-5)<0`],

[eqn: 1<x<5`] …… ㉡

㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 [eqn: x]의 값의 범위는

[eqn: 2 LEQ x<5`]이므로

정수 [eqn: x]의 값은 [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`]

따라서 정수 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 3`]

9. [출제의도] 도형의 평행이동 이해하기

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +2x-4y-3=0`]은

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-2 RIGHT ) ^{2} =8`]로 나타낼 수 있고 이를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: b`]만큼 평행이동하면 원의 중심은 [eqn: (-1+a,```2+b)]이고 반지름의 길이는 변함이 없다. 평행이동한 도형이 원 [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+4 RIGHT ) ^{2} =c`]이므로

[eqn: -1+a=3`], [eqn: 2+b=-4`], [eqn: c=8`]이다.

따라서 [eqn: a=4`], [eqn: b=-6`], [eqn: c=8`]이므로

[eqn: a+b+c=6`]

10. [출제의도] 두 조건의 진리집합 사이의 관계 이해하기

두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P`], [eqn: Q`]라 하면

명제 [eqn: p ` -> `q`]가 참이므로 [eqn: P SUBSET Q`]이어야 한다.

[eqn: P SUBSET Q`]가 성립하도록

두 집합 [eqn: P=]{[eqn: x`□][eqn: x GEQ a] 또는 [eqn: x` LEQ `-a]},

[eqn: Q=]{[eqn: x`□][eqn: x < -2] 또는 [eqn: x GEQ 4]}를 수직선 위에 나타내면 다음과 같다.

[eqn: -2]

[eqn: 4]

[eqn: -a]

[eqn: a]

[eqn: x]

[eqn: Q]

[eqn: Q]

[eqn: P]

[eqn: P]

[eqn: -a < -2] …… ㉠, [eqn: a GEQ 4`] …… ㉡

㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 [eqn: a]의 값의 범위는 [eqn: a GEQ 4]

따라서 양수 [eqn: a`]의 최솟값은 [eqn: 4`]

11. [출제의도] 다항식의 나눗셈을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

직육면체의 밑면의

가로의 길이는 [eqn: n ^{2} +3n]=[eqn: n(n+3)`],

세로의 길이는 [eqn: n+1]=[eqn: n TIMES 1+1],

높이가 [eqn: n ^{3} +3n ^{2} +2n+2]=[eqn: n(n ^{2} +3n+2)+2]

이므로 한 모서리의 길이가 [eqn: n]인 정육면체를 최대 [eqn: (n+3)][eqn: times`1times][eqn: (n ^{2} +3n+2)]개 얻을 수 있다.

따라서 구하는 최대 개수는 [eqn: (n+1)(n+2)(n+3)]

12. [출제의도] 연립부등식의 영역 이해하기

[eqn: LEFT ( x ^{2} +2x-y+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +y ^{2} -9 RIGHT ) LEQ 0`]에서

[eqn: {cases{x ^{2} +2x-y+1 GEQ 0#x ^{2} +y ^{2} -9 LEQ 0}} `] 또는 [eqn: {cases{x ^{2} +2x-y+1 LEQ 0#x ^{2} +y ^{2} -9 GEQ 0}} `]

(ⅰ) [eqn: {cases{x ^{2} +2x-y+1 GEQ 0#x ^{2} +y ^{2} -9 LEQ 0}} `]의 영역은

이차함수 [eqn: y=x ^{2} +2x+1`]의 그래프의 아랫부분(경계선 포함)과 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =9`]의 내부(경계선 포함)의 공통부분으로

[그림 1]의 어두운 부분이다.

(ⅱ) [eqn: {cases{x ^{2} +2x-y+1 LEQ 0#x ^{2} +y ^{2} -9 GEQ 0}} `]의 영역은

이차함수 [eqn: y=x ^{2} +2x+1`]의 그래프의 윗부분(경계선 포함)과 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =9`]의 외부(경계선 포함)의 공통부분으로

[그림 2]의 어두운 부분이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 영역은 [그림 3]의 어두운 부분이다. (단, 경계선은 포함한다.)

[eqn: x] [eqn: rmO] [eqn: y]	[eqn: x] [eqn: rmO] [eqn: y]	[eqn: x] [eqn: y] [eqn: rmO]
[그림 1]	[그림 2]	[그림 3]

13. [출제의도] 직선의 방정식 이해하기

이차함수 [eqn: f(x)`=x ^{2} +px+p]

[eqn: = LEFT ( x+ {p} over {2} RIGHT ) ^{2} +p- {p ^{2}} over {4} `]이므로

꼭짓점 [eqn: rm A it LEFT ( - {p} over {2} ,```p- {p ^{2}} over {4} RIGHT ) `], 점 [eqn: rm B(`0,``` it p`)`]이다.

두 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]를 지나는 직선 [eqn: l]의 기울기는

[eqn: {p- LEFT ( p- {p ^{2}} over {4} RIGHT )} over {0- LEFT ( - {p} over {2} RIGHT )} = {p} over {2}`]이고 [eqn: y`]절편은 [eqn: p`]이므로

직선 [eqn: l`]의 방정식은 [eqn: y= {p} over {2} x+p`]

따라서 직선 [eqn: l`]의 [eqn: x]절편은 [eqn: -2`]

14. [출제의도] 이차함수와 이차부등식의 관계 이해하기

직선 [eqn: l`]의 방정식은 [eqn: y= {p} over {2} x+p`]이므로

[eqn: g(x)= {p} over {2} x+p`]이다.

부등식 [eqn: f(x)-g(x)`=x ^{2} + {p} over {2} x LEQ 0`]에 대하여

(ⅰ) [eqn: p>0`]인 경우

[eqn: - {p} over {2} LEQ x LEQ 0`]을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수가 [eqn: 10`]이 되도록 하는 [eqn: p]의 값의 범위는[eqn: -10< - {p} over {2} LEQ -9`]에서 [eqn: 18 LEQ p<20`]이므로 정수 [eqn: p`]의 값은 [eqn: 18`], [eqn: 19`]

(ⅱ) [eqn: p<0`]인 경우

[eqn: 0 LEQ x LEQ - {p} over {2} `]를 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수가 [eqn: 10`]이 되도록 하는 [eqn: p`]의 값의 범위는[eqn: 9 LEQ - {p} over {2} <10`]에서 [eqn: -20<p LEQ -18`]이므로 정수 [eqn: p`]의 값은 [eqn: -18`], [eqn: -19`]

(ⅰ), (ⅱ)에서 정수 [eqn: p`]의 최댓값 M =19, 최솟값 m = -19

따라서 M – m =38

15. [출제의도] 방정식의 근을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

방정식 [eqn: x ^{3} +ax ^{2} +bx+c=0`]의 계수가 모두 실수이므로 [eqn: 1+ sqrt {3} i`]가 근이면 [eqn: 1- sqrt {3} i`]도 근이다. [eqn: 1+ sqrt {3} i`] 또는 [eqn: 1- sqrt {3} i`]가 이차방정식

[eqn: x ^{2} +ax+2=0`]의 근이면 [eqn: a`]가 실수인 이차방정식은 존재하지 않는다.

[eqn: 1+ sqrt {3} i`], [eqn: 1- sqrt {3} i`]를 두 근으로 하는

이차방정식은 [eqn: x ^{2} -2x+4=0`]이고 방정식

[eqn: x ^{3} +ax ^{2} +bx+c=0`]은 공통인 근 [eqn: m`]을 가지므로

[eqn: x ^{3} +ax ^{2} +bx+c=(x ^{2} -2x+4)(x-m)=0`]

[eqn: a=-m-2`] …… ㉠

공통인 근이 [eqn: m`]이므로 [eqn: m ^{2} +am+2=0`]이고 이 식에 ㉠을 대입하면

[eqn: m ^{2} +(-m-2)m+2=0`]에서 [eqn: -2m+2=0`]

따라서 [eqn: m=1`]

16. [출제의도] 이차함수와 이차방정식의 관계를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

집 [eqn: A`]와 집 [eqn: B`]에 있는 덕트 안의 공기의 속력의 비가 [eqn: 3:5`]이므로 실수 [eqn: t`]에 대하여 집 [eqn: A`]에 있는 덕트 안의 공기의 속력을 [eqn: 3t`], 집 [eqn: B`]에 있는 덕트 안의 공기의 속력을 [eqn: 5t`]라 하면

[eqn: P _{A} = {c` TIMES (3t) ^{2}} over {2g} = {9ct ^{2}} over {2g}],

[eqn: P _{B} = {2c TIMES (5t) ^{2}} over {2g} `][eqn: = {25ct ^{2}} over {g}]이므로

[eqn: {25ct ^{2}} over {g} =k TIMES {9ct ^{2}} over {2g}]

따라서 [eqn: k= {50} over {9} `]

17. [출제의도] 부등식의 영역에서 최대, 최소를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

하루에 만든 컵과 접시의 개수를 각각 [eqn: x`], [eqn: y`]라 하면 점 [eqn: LEFT ( `x,```y RIGHT ) `]는 네 부등식 [eqn: x GEQ 0`], [eqn: y GEQ 0`],

[eqn: 150x+100y LEQ 4200`], [eqn: 8x+4y LEQ 180`]을

모두 만족시키는 영역에 있다.

이때, 판매 이익을 [eqn: k`]라 하면 [eqn: k=5000x+3000y`]

이 직선이 두 직선 [eqn: 150x+100y=4200`],

[eqn: 8x+4y=180`]의 교점 [eqn: (6,```33)`]을 지날 때 [eqn: k]는 최댓값을 가진다. 즉, 하루에 컵을 [eqn: 6`]개, 접시를 [eqn: 33`]개 만들어 판매하였을 때, 판매 이익이 최대가 된다.

따라서 최대 판매 이익은 [eqn: 129000`]원

[eqn: LEFT ( 6,```33 RIGHT )]

[eqn: 8x+4y=180]

[eqn: 150x+100y=4200]

[eqn: 5000x+3000y=k]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

18. [출제의도] 직선의 방정식을 이용하여 추론하기

<증명>

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmP]

[eqn: y=x ^{ 2}]

임의의 실수 [eqn: m`]에 대하여 부등식 [eqn: y>x^{2}`]의 영역에 있는 한 점 [eqn: rmP itLEFT ( a,```b RIGHT ) `]를 지나고 기울기가 [eqn: m`]인 직선의 방정식은

[eqn: y=m(x-a)+b`] …… ㉠

㉠이 이차함수 [eqn: y=x ^{2} `]의 그래프와 만나는 두 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]의 좌표를 각각 [eqn: rm A it LEFT ( x _{1} ,```y _{1} RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( x _{2} ,```y _{2} RIGHT )],

선분 [eqn: rm AB]의 중점 [eqn: rm`M]의 좌표를 [eqn: rm M][eqn: LEFT ( X,```Y RIGHT ) `]라 하면

[eqn: x _{1} ,~x _{2} `]는 이차방정식 [eqn: x ^{2} -m(x-a)-b=0`]의

두 근이므로 근과 계수의 관계에 의해

[eqn: X= {x _{1} +x _{2}} over {2} = {BOX{``` {m} over {2} ```}}] …… ㉡

[eqn: Y= {y _{1} +y _{2}} over {2} =][eqn: {x _{1} ^{2} +x _{2} ^{2}} over {2} =][eqn: {(`x _{1} +x _{2} `) ^{2} -2x _{1} x _{2}} over {2}]     [eqn: = {m ^{2} -2(am-b)} over {2}][eqn: = {BOX{``` {m ^{2}} over {2} ````}} -am+b] …… ㉢

㉡, ㉢에 의하여 [eqn: Y= {BOX{``2``}} X ^{2} -2aX+b]

따라서, 구하는 도형의 방정식은

[eqn: y= {BOX{``2``}} `x ^{2} -2ax+b`]이다.

ㅁ

[eqn: f(m)= {m} over {2} `], [eqn: g(m)= {m ^{2}} over {2} `], [eqn: k=2`]

따라서 [eqn: f(k)+g(k)=1+2=3`]

19. [출제의도] 나머지정리를 이용하여 추론하기

다항식 [eqn: f(x)`]를 [eqn: (x-a)(x-b)`]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)`]라 하면

[eqn: f`(x)=(x-a)(x-b)`Q`(x)+R`(x)`] …… ㉠

ㄱ. ㉠은 [eqn: x`]에 대한 항등식이므로 [eqn: x=a`]를 대입하면 [eqn: f`(a)=R`(a)`]이므로 [eqn: f`(a)-R`(a)=0`] (참)

ㄴ. (반례) [eqn: f(x)=(x-a)(x-b)+x]라 하면

[eqn: R(x)=x]이고

[eqn: f(a)-R(b)=a-b]

[eqn: f(b)-R(a)=b-a]

이때, [eqn: a !=b`]이므로

[eqn: f(a)-R(b) !=f(b)-R(a)] (거짓)

ㄷ. [eqn: R`(x)=px+q`]라 하면

[eqn: f`(a)=pa+q,~f`(b)=pb+q`]에서

[eqn: af`(b)-bf`(a)=abp+aq-abp-bq]                       [eqn: = LEFT ( a-b RIGHT ) q`]

[eqn: R(0)=q`]이므로

[eqn: af`(b)-bf`(a)=][eqn: LEFT ( a-b RIGHT ) R LEFT ( 0 RIGHT ) `] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

20. [출제의도] 도형의 대칭이동을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: 1]

[eqn: root{3}]

정육각형은 [eqn: 6`]개의 정삼각형으로 이루어져 있고 [그림 [eqn: 1]]에 있는 직사각형의 가로의 길이가 [eqn: 4root{3}`]이므로 정육각형의 한 변의 길이는 [eqn: 1`]이고 도마뱀 모양 한 개의 넓이는 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정육각형의 넓이와 같다.

따라서 도마뱀 모양 한 개의 넓이는 [eqn: {3 sqrt {3}} over {2} `]

21. [출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2x-3`]의 그래프 위의

점 [eqn: rm `C it LEFT ( a,```a ^{2} -2a-3 RIGHT ) `]이 원의 중심이고 원이 직선 [eqn: y=2x+9`]에 접하므로 원의 중심과 직선 사이의 거리가 원의 반지름의 길이 [eqn: r`]와 같다.

[eqn: r= {LEFT | 2a-(a ^{2} -2a-3)+9 RIGHT |} over {sqrt {5}}]                    [eqn: = {LEFT | -a ^{2} +4a+12 RIGHT |} over {sqrt {5}}]

점 [eqn: rm C it (a,```b)`]는 주어진 조건 [eqn: 2a-b+9>0`]에 의하여 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2x-3`]과 직선 [eqn: y=2x+9`]의 두 교점 사이에 있으므로  [eqn: -2<a<6]이다.

[eqn: -a ^{2} +4a+12>0`]이므로

[eqn: r= {-a ^{2} +4a+12} over {sqrt {5}} =- {1} over {sqrt {5}} (a-2) ^{2} + {16} over {sqrt {5}}]

그러므로 [eqn: a=2`]일 때 반지름의 길이 [eqn: r`]의 최댓값은 [eqn: {16} over {sqrt {5}}]이므로 원의 넓이의 최댓값은 [eqn: {256} over {5} pi]이다.

따라서 [eqn: p+q=261]

(별해)

원의 반지름의 길이는 원의 중심 [eqn: rm C]와 직선 [eqn: y=2x+9] 사이의 거리이다. 점 [eqn: rmC`]를 지나는 직선 [eqn: y=2x+k]가 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2x-3`]의 그래프와 접할 때 원의 반지름의 길이가 최대이므로 원의 넓이는 최대이다.

방정식 [eqn: x ^{2} -2x-3=2x+k`]가 중근을 가져야 하므로 [eqn: x ^{2} -4x-3-k=0`]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: {D} over {4} =2 ^{2} +3+k=0], [eqn: k=-7]

넓이가 최대인 원의 반지름의 길이는 두 직선의 방정식 [eqn: y=2x-7]과 [eqn: y=2x+9] 사이의 거리인 [eqn: {16} over {sqrt {5}}]과 같으므로 원의 넓이의 최댓값은 [eqn: {256} over {5} pi]이다.

따라서 [eqn: p+q=261]

22. [출제의도] 인수분해 이해하기

다항식 [eqn: 2x ^{3} -x ^{2} -7x+6`]을 인수분해하면

[eqn: (x-1)(x+2)(2x-3)`]이므로 [eqn: a=2], [eqn: b=-3`]이다.

따라서 [eqn: a-b=5`]

23. [출제의도] 이차방정식의 판별식을 이용하여 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계 이해하기

이차함수 [eqn: y=3x ^{2} -4x+k]의 그래프가

직선 [eqn: y=8x+12]와 한 점에서 만나야 하므로

이차방정식 [eqn: 3x ^{2} -12x+k-12=0`]의

판별식을 [eqn: D`]라 하면 [eqn: D=0`]이다.

[eqn: {D} over {4} =6 ^{2} -3(k-12)][eqn: =72-3k=0]

따라서 [eqn: k=24]

24. [출제의도] 조건을 만족시키는 집합의 포함관계를 이용하여 추론하기

[eqn: A= LEFT { i,```-1,```-i,```1 RIGHT } `]이고

[eqn: z IN A`]이면 [eqn: z ^{2} =1`] 또는 [eqn: z^{2} =-1`]이므로

[eqn: B= LEFT { z _{1} ^{```2} +z _{2} ^{```2} ` LEFT | z _{1} IN A`,```z _{2} IN A RIGHT } ` RIGHT .][eqn: = LEFT { -2,```0,```2 RIGHT }]

따라서 집합 [eqn: B`]의 원소의 개수는 [eqn: 3]

25. [출제의도] 명제의 참, 거짓을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

명제 ‘집합 [eqn: P`]의 어떤 원소 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: x`]는 [eqn: 3`]의 배수이다.’가 참이 되도록 하려면 집합 [eqn: P`]는 적어도 하나의 [eqn: 3`]의 배수를 원소로 가져야 한다.

(ⅰ) [eqn: LEFT { `3` RIGHT }][eqn: SUBSET P SUBSET][eqn: LEFT { 1,```2,```3,```6 RIGHT } `]인 경우

집합 [eqn: P`]의 개수는 [eqn: 8]

(ⅱ) [eqn: LEFT { `6` RIGHT } `][eqn: SUBSET P SUBSET][eqn: LEFT { 1,```2,```3,```6 RIGHT }]인 경우

집합 [eqn: P`]의 개수는 [eqn: 8]

(ⅲ) [eqn: LEFT { 3,```6 RIGHT } `][eqn: SUBSET P SUBSET][eqn: LEFT { 1,```2,``3,```6 RIGHT } `]인 경우

집합 [eqn: P`]의 개수는 [eqn: 4`]

따라서 (ⅲ)은 (ⅰ)과 (ⅱ)에 동시에 포함되므로 구하는 집합 [eqn: P`]의 개수는 [eqn: 8+8-4=12`]

26. [출제의도] 원과 직선의 위치 관계 이해하기

[eqn: f(x)=ax+b]라 하자.

직선 [eqn: y=ax+b]와 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =25`]가 접하므로

방정식 [eqn: x^2 +(ax+b)^2 =25]는 중근을 갖는다.

이차방정식 [eqn: LEFT ( a ^{2} +1 RIGHT ) x ^{2} +2abx+b ^{2} -25=0]의

판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: {D} over {4} =a ^{2} b ^{2} - LEFT ( a ^{2} +1 RIGHT ) LEFT ( b ^{2} -25 RIGHT )]

[eqn: =25a ^{2} -b ^{2} +25=0] …… ㉠

[eqn: f(-5)f(5)`]=[eqn: LEFT ( -5a+b RIGHT ) LEFT ( 5a+b RIGHT )][eqn: =b ^{2} -25a ^{2}]

따라서 ㉠에 의해 [eqn: f(-5)f(5)=25`]

(별해)

[eqn: rmO]

[eqn: rmA`]

[eqn: rmB]

[eqn: rm A prime]

[eqn: rm B prime]

[eqn: rm P]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm Q]

두 점 [eqn: LEFT ( -5,```0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( ``5,```0 RIGHT ) `]을 각각 [eqn: rm A prime], [eqn: rmB` prime `]이라 하고 두 직선 [eqn: x=-5], [eqn: x=5`]와 직선 [eqn: y=f(x)`]의 교점을 각각 [eqn: rm A`], [eqn: rmB]라 하면 두 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]의 좌표는 각각 [eqn: rm A LEFT ( -5,```itf(-5) RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( ``5,``` it f(`5) RIGHT ) `]이고

[eqn: {bar{rm AA prime it}} =f(-5)], [eqn: {bar{rm BB prime it}} =f(`5)`]

점 [eqn: rm A`]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 선분 [eqn: rm BB prime `]과 만나는 점을 [eqn: rm Q`]라 하면

[eqn: {bar{rm AB it}} =f LEFT ( -5 RIGHT ) +f LEFT ( 5 RIGHT )], [eqn: {bar{rm BQ it}} =f LEFT ( 5 RIGHT ) -f LEFT ( -5 RIGHT )],

[eqn: {bar{rm AQ it}} =10`]이므로 직각삼각형 [eqn: rm AQB`]에서

[eqn: LEFT { f LEFT ( -5 RIGHT ) +f LEFT ( 5 RIGHT ) RIGHT } ^{2} = LEFT { f LEFT ( 5 RIGHT ) -f LEFT ( -5 RIGHT ) RIGHT } ^{2} +10 ^{2}]

[eqn: LEFT { f LEFT ( -5 RIGHT ) RIGHT } ^{2} +2f LEFT ( -5 RIGHT ) f LEFT ( 5 RIGHT ) + LEFT { f LEFT ( 5 RIGHT ) RIGHT } ^{2}][eqn: =LEFT { f LEFT ( -5 RIGHT ) RIGHT } ^{2} -2f LEFT ( -5 RIGHT ) f LEFT ( 5 RIGHT ) + LEFT { f LEFT ( 5 RIGHT ) RIGHT } ^{2} +100]이므로

[eqn: 4f LEFT ( -5 RIGHT ) f LEFT ( 5 RIGHT ) =100]

따라서 [eqn: f LEFT ( -5 RIGHT ) f LEFT ( 5 RIGHT ) =25]

27. [출제의도] 대칭이동을 이용하여 추론하기

주어진 규칙에 따라 점 [eqn: rm P _{2}], [eqn: rm P _{3}], [eqn: rm P _{4}], [eqn: CDOTS]을 구하면     [eqn: rm P _{1} LEFT ( 3,```2 RIGHT )][eqn: rm ` -> ` rm][eqn: rm P _{2} LEFT ( 2,```3 RIGHT )][eqn: rm ` -> ` rm][eqn: rm P _{3} LEFT ( 2,```-3 RIGHT )]

[eqn: rm ` -> ` rm][eqn: rm P _{4} LEFT ( -2,```-3 RIGHT )][eqn: rm ` -> ` rm][eqn: rm P _{5} LEFT ( -3,```-2 RIGHT )][eqn: rm ` -> ` rm][eqn: rm P _{6} LEFT ( -3,```2 RIGHT )][eqn: rm ` -> ` rm][eqn: rm P _{7} LEFT ( 3,```2 RIGHT )][eqn: rm ` -> ` rm][eqn: rm P _{8} LEFT ( 2,```3 RIGHT )][eqn: rm ` -> ` rm][eqn: rm P _{9} LEFT ( 2,```-3 RIGHT )][eqn: rm ` -> ` rm][eqn: CDOTS]

과 같으므로 자연수 [eqn: n`]에 대하여 점 [eqn: rm P it rm _{it `n}]의 좌표와

점 [eqn: rm P it rm _{it `n+6} `]의 좌표가 같다.

[eqn: 50=6 TIMES 8+2]이므로 점 [eqn: rm P _{50}]의 좌표는 점 [eqn: rm P _{2}]의 좌표와 같다. 점 [eqn: rm P _{50}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2,```3 RIGHT )]이다.

따라서 [eqn: 10x _{50} +y _{50}][eqn: =23]

28. [출제의도] 선분의 내분과 외분을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

삼각형 [eqn: rm ABC`]에서 점 [eqn: rmD]는 선분 [eqn: rmBC]를 [eqn: 1:3`]으로 내분하므로 [eqn: rm {bar{BD}} `:` {bar{DC}} `=1:3`]

점 [eqn: rm E`]는 선분 [eqn: rm BC`]를 [eqn: 2:3`]으로 외분하므로

[eqn: rm {bar{EB}} =2` {bar{BC}} `]이고, 점 [eqn: rmF]는 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: 1:2]로 외분하므로 [eqn: rm {bar{BF}} =2` {bar{AB}} `]이다.

[eqn: rm {bar{BD}} : {bar{EB}} =1:8]이므로 삼각형 [eqn: rm AEB]의 넓이는 삼각형 [eqn: rm ABD]의 넓이의 [eqn: 8]배이다. 또한 [eqn: rm {bar{BF}} =2 {bar{AB}}]이므로 삼각형 [eqn: rm FEB]의 넓이는 삼각형 [eqn: rm ABD]의 넓이의 [eqn: 16]배이다.

따라서 [eqn: k=16`]

[eqn: rmA`]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: t]

[eqn: 3t]

[eqn: 8t]

(단, [eqn: t`]는 실수)

29. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: alpha], [eqn: beta `]가 이차방정식 [eqn: x ^{2} +x+1=0`]의 두 근이므로 [eqn: alpha ^{2} + alpha +1=0`]이고 [eqn: alpha + beta =-1`]이다.

[eqn: alpha +1=- beta `]이므로 [eqn: alpha ^{2} = beta `], [eqn: beta ^{2} = alpha `]

[eqn: f LEFT ( alpha ^{2} RIGHT ) =f( beta )=4 beta +4`], [eqn: f LEFT ( beta ^{2} RIGHT ) =f( alpha )=4 alpha +4`]이므로 [eqn: f( beta )-4 beta -4=0`], [eqn: f( alpha )-4 alpha -4=0`]

이때, 이차방정식 [eqn: f(x)-4x-4=0`]의 두 근이 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]이고 [eqn: f(x)`]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이므로

[eqn: f(x)-4x-4=(x- alpha )(x- beta )=x ^{2} +x+1`], [eqn: f(x)=x ^{2} +5x+5`]

따라서 [eqn: p+q=10`]

(별해) [eqn: alpha], [eqn: beta `]가 이차방정식 [eqn: x ^{2} +x+1=0`]의 두 근이므로 [eqn: alpha ^{3} =1`]이고 [eqn: alpha ^{2} = beta `]

[eqn: f LEFT ( alpha ^{2} RIGHT ) = alpha ^{4} +p alpha ^{2} +q=-4 alpha `]

[eqn: p beta +q=-5 alpha `] …… ㉠

[eqn: f LEFT ( beta ^{2} RIGHT ) = beta ^{4} +p beta ^{2} +q=-4 beta `]

[eqn: p alpha +q=-5 beta `] …… ㉡

㉠[eqn: +]㉡에서 [eqn: p( alpha + beta )+2q=-5( alpha + beta )`]…… ㉢

㉡[eqn: -]㉠에서 [eqn: p( alpha - beta )=5( alpha - beta )`]…… ㉣

[eqn: alpha +` beta =-1`], [eqn: alpha != beta `]이므로

㉢, ㉣에서 [eqn: p=5`], [eqn: q=5`]

따라서 [eqn: p+q=10`]

30. [출제의도] 원의 성질과 여러 가지 방정식을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

직각삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이를 [eqn: S`], 세 변 [eqn: rmAB], [eqn: rm BC], [eqn: rm CA]의 길이를 각각 [eqn: c`], [eqn: a`], [eqn: b`]라 하자.

[eqn: S= {1} over {2} r _{1} LEFT ( a+b+c RIGHT )]이고, [eqn: S= {15} over {2} ,~r _{1} =1`]이므로

[eqn: a+b+c=15`]

한편, 세 꼭짓점 [eqn: rmA], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`]에서 원 [eqn: O _{1} `]에 그은 두 접선의 접점까지의 길이가 같으므로

[eqn: c= LEFT ( a-r _{1} RIGHT ) + LEFT ( b-r _{1} RIGHT ) `], [eqn: r _{1} = {a+b-c} over {2} `]

[eqn: b-r _{1} `]

[eqn: rmA`]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: r _{1}]

[eqn: r _{1}]

[eqn: r _{1}]

[eqn: b-r _{1} `]

[eqn: a-r _{1}]

[eqn: a-r _{1}]

[eqn: O _{1}]

점 [eqn: rm A`]에서 원 [eqn: O _{it 2 rm } `]에 그은 두 접선의 접점까지의 길이가 같으므로

[eqn: b+r _{2} =c+ LEFT ( a-r _{2} RIGHT ) `], [eqn: r _{2} = {a-b+c} over {2} `]

[eqn: rmA`]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: b]

[eqn: c]

[eqn: r _{2}]

[eqn: a-r _{2}]

[eqn: r _{1}]

[eqn: r _{2}]

[eqn: O _{1}]

[eqn: O _{2}]

점 [eqn: rm B`]에서 원 [eqn: O _{it 3 rm } `]에 그은 두 접선의 접점까지의 길이가 같으므로

[eqn: a+r _{3} =c+(b-r _{3} )`], [eqn: r _{3} = {-a+b+c} over {2} `]

점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]에서 원 [eqn: O _{4} `]에 그은 두 접선의 접점까지의 길이가 같으므로

[eqn: LEFT ( r _{4} -a RIGHT ) + LEFT ( r _{4} -b RIGHT ) =c], [eqn: r _{4} = {a+b+c} over {2} `]

[eqn: r _{1} +r _{2} +r _{3} +r _{4} =a+b+c=15`]

따라서 [eqn: r _{2} +r _{3} +r _{4} =14`]