2008학년도 9월 모의평가 (수리영역-가형)  정답 및 해설

1.

[eqn: log_{{ 1} over {2 }} 2 + log_7 {{1} over {7 }}`= `- log_2 2 - log_7 7]

[eqn: =-1-1 =-2]

ꂼ ①

2.

극한값이 존재하고 [eqn: x->1] 일 때,

[eqn: lim from { x ->1 } ( rootx+1 - root2 ) =0] 이므로

[eqn: lim from { x -> 1} (ax+b) = a+b=0]

[eqn: therefore] [eqn: b= -a]

[eqn: lim from { x -> 1} ax+b over {rootx+1 - root2} = lim from { x ->1 } ax-a over {rootx+1 - root2}]

[eqn: = lim from { x ->1 } {a(x-1)(rootx+1 + root2 )} over {( rootx+1 - root2 )( rootx+1 + root2 ) }]

[eqn: = lim from { x ->1 } a( rootx+1 + root2 )]

[eqn: = 2root2 a = 2root2]

[eqn: therefore] [eqn: a=1]

따라서, [eqn: a=1], [eqn: b= -1] 이므로

[eqn: ab = -1]

ꂼ  ③

3.

[eqn: pmatrix{2&````1#5&````3} X= pmatrix{2&```1#0&````1}]에서

[eqn: X= pmatrix{2&````1#5&````3} ` ^{-1} `` pmatrix{2&```1#0&````1}]

[eqn: = pmatrix{``````3&````-1#-5&```````````2} pmatrix{2&`````1#0&``````1}]

[eqn: = pmatrix{``````````6&````````````2#-10&``````-3}]

따라서 [eqn: X]의 모든 성분의 합은 [eqn: -5]이다.

ꂼ ⑤

4.

[eqn: root {x^2 +5x } = t~(t>0)]로 치환하면

[eqn: t^2 +5t-6 = (t+6)(t-1)=0]

∴ [eqn: t=1]

이 때, [eqn: x^2 +5x=1] 즉, [eqn: x^2 +5x-1=0]이므로 근과 계수의 관계에서 모든 실근의 합은 [eqn: -5]이다.

ꂼ ④

5.

구간 [eqn: [0, ``2]`]에서

[eqn: vert x^2 (x-1 ) vert = cases{ -x^3 +x^2 &(0<=x<1)#x^3 - x^2 &(1<=x<=2)}]

∴[eqn: int_0 ^2 vert x^2 (x-1) vert dx]

[eqn: = int_0 ^1 (-x^3 +x^2 ) dx + int_1 ^2 (x^3 - x^2 ) dx]

[eqn: = left[ - 1over 4 x^4 + 1 over 3 x^3 right]_0 ^1 + left[ 1over 4 x^4 - 1 over 3 x^3 right]_1 ^2]

[eqn: = 3over 2]

ꂼ ①

6.

두 평면의 법선벡터는

[eqn: vec{h _{1}} =(2,``-1,`0)], [eqn: vec{h _{2}} =(1,``-3,``k)]

두 평면이 이루는 각의 크기가 [eqn: 60 DEG]이므로

[eqn: vec{h _{1}} CDOT vec{h _{2}} = LEFT | `` vec{h _{1}} ` RIGHT | `` LEFT | ` vec{h _{2}} ` RIGHT | `cos`60 DEG]

에서

[eqn: 2`+`3`+`0`=` root {5} TIMES sqrt {k ^{2} +10} ` TIMES {1} over {2}]

[eqn: sqrt {5k ^{2} +50} =10]

[eqn: k ^{2} =10]

[eqn: THEREFORE] [eqn: k= sqrt {10}] ([eqn: BECAUSE `k>0])

ꂼ ④

7.

ㄱ. [eqn: f``(-3) = {(-3)^2 } over{ 2 cdot (-3) - |`-3`|} `]

[eqn: = 9 over -6-3 = -1`] (거짓)

ㄴ. [eqn: x>0`]이면

[eqn: f``(x) = {x^2 } over{ 2x- |x`|} ` = x^2 over 2x-x`]

[eqn: = x^2 over x = x`] (참)

ㄷ. [eqn: x>0`]일 때, [eqn: f``(x) = x`]

[eqn: x<0`]일 때, [eqn: f``(x) = 1over3`x`]이므로

[eqn: lim_x->+0 `f``(x) = lim_x->+0 `x` =0`]

[eqn: lim_x->-0 `f``(x) = lim_x->-0 `1over3 x ` = 0`]

∴ [eqn: lim_x->0 `f``(x) = 0`]

[eqn: f``(x)`]가 [eqn: x=0`]에서 연속이려면

[eqn: lim_x->0``f``(x) = f``(0)`]이므로

[eqn: a =0`] (참)

따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ⑤

8.

정육면체 A안에 내접하고 있는 구의 중심의 좌표는  ( 3, 1, 3 )

정육면체 B안에 내접하고 있는 구의 중심의 좌표는  ( 3, 3, 1 )

정육면체 C안에 내접하고 있는 구의 중심의 좌표는  ( 1, 3, 1 )

이므로 3개의 구의 중심을 연결한 삼각형    의 무게중심의 좌표 [eqn: (p,``q,``r`)] 는

[eqn: p= { 3+3+1} over {3 } = { 7} over {3 }]

[eqn: q= {1+ 3+3} over {3 } = { 7} over {3 }]

[eqn: r= { 3+1+1} over {3 } = { 5} over {3 }]

[eqn: ∴ ``p+q+r = { 7+7+5} over {3 } = { 19} over {3 }]

ꂼ ②

9.

쌍곡선 [eqn: x^2 -y^2 =1]에서

ㄱ. 점근선의 방정식은

[eqn: y =± x]이다.   (참)

ㄴ. 쌍곡선 위의 점 [eqn: (x_1 , y_1 )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: x_1 x - y_1 y = 1]

[eqn: therefore] [eqn: y = x_1 over y_1 x - 1 over y_1]

이 접선이 점근선과 평행하려면

[eqn: x_1 over y_1 = 1] 또는 [eqn: x_1 over y_1 = -1]

즉, [eqn: x_1 = +- y_1] 이어야 한다.

이 때, 점 [eqn: (x_1 , y_1 )]은 점근선 [eqn: y=+-x]위의 점이어야 하므로 모순이다.

따라서 쌍곡선 위의 점에서 그은 접선 중 점근선과 평행한 접선은 존재하지 않는다.

(거짓)

ㄷ. [eqn: y^2 = 4px]를 [eqn: x^2 -y^2 =1]에 대입하여    정리하면

[eqn: x^2 -4px -1 =0]

이 때 [eqn: { D} over {4 } = (2p)^2 -(-1) = 4p^2 +1 `>`0]

이므로 포물선과 쌍곡선의 교점은 항상 2개이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

ꂼ ③

10.

건전지의 수명은 정규분포 [eqn: rm N LEFT ( it m,``3 ^{2} RIGHT )]을 따르므로 표본평균 [eqn: bar{X}]는 정규분포

[eqn: rm N LEFT ( it m,``` LEFT ( {3} over {sqrt {n}} RIGHT ) ^{2} RIGHT )]을 따른다.

이 때, 주어진 확률은

[eqn: rm P LEFT ( it m-0.5 <= bar{X} <= m+0.5 RIGHT )]

[eqn: rm =P LEFT ( it {(m-0.5)-m} over {{3} over {sqrt {n}}} <= it {bar{X} -m} over {{3} over {sqrt {n}}} <= it {(m+0.5)-m} over {{3} over {sqrt {n}}} RIGHT )]

[eqn: rm =P LEFT ( - it {sqrt {n}} over {6} <= Z <= it {sqrt {n}} over {6} RIGHT )]

[eqn: rm =2P LEFT ( 0 <= it Z <= it {sqrt {n}} over {6} RIGHT )]

[eqn: =0.8664]

이므로

[eqn: ``` rm P LEFT ( it 0 <= Z <= {sqrt {n}} over {6} RIGHT ) =0.4332]

따라서 표준정규분포표를 이용하면

[eqn: {sqrt {n}} over {6} =1.5]이므로

[eqn: n=81]

ꂼ ③

11.

[eqn: n=k`(k>=2)`]일 때 성립한다고 가정하면

[eqn: a_k = k+1 over 3`]이다.

[eqn: A_k+1 = left{ 1,2,cdots , k , k+1`right}`]의 부분집합 중 원소가 2개인 모든 부분집합은,

[eqn: A_k`]의 부분집합 중 원소가 2개인 모든 부분집합에 [eqn: k`]개의 집합

[eqn: left{ 1, k+1 `right} ,`left{ 2, k+1 right} , `cdots , left{ k , k+1`right}`]

을 추가한 것이다.

[eqn: A_k`]의 부분집합 중 원소가 2개인 부분집합의 개수는 ꎴ [eqn: `_k rm C_2`] ꎵ이고,

[eqn: a_k = k+1 over 3`]이므로 [eqn: `_k rm C_2`]개의 부분집합에서 작은 원소를 뽑아 더한 합은

[eqn: `_k rmC_2 it × k+1 over 3`]

[eqn: THEREFORE][eqn: a_k+1]

[eqn: = {leftꎴ``_k rmC_2 it × k+1 over 3 `rightꎵ`+ (1+2+ cdots + k )} over{ `_k+1 rmC_2}`]

[eqn: = k+2 over 3 = {(k+1)+1 } over 3`]

ꂼ ②

12.

A

B

①

②

③

④

⑤

①번 길을 이용하여 B로 가는 경우

[eqn: 1+3+4=8](가지)

②번 길을 이용하여 B로 가는 경우

[eqn: 3+1=4](가지)

③번 길을 이용하여 B로 가는 경우

[eqn: 1](가지)

④번 길을 이용하여 B로 가는 경우

[eqn: 1](가지)

⑤번 길을 이용하여 B로 가는 경우는 최단거리로 가는 경우가 아니다.

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 8+4+1+1=14](가지)

ꂼ ①

[다른 풀이]

(1) 각 갈림길까지 최단경로로 가는 경우의 수를 적으면 다음과 같다.

A

B

①

②

③

④

⑤

2

1

1

1

1

1

2

3

4

4

1

3

3

3

7

7

4

7

14

(2) 구하는 최단경로의 수는 다음 그림에서 A에서 B로 가는 최단경로의 수와 같다.

A

B

[eqn: THEREFORE] [eqn: 6! OVER 3!TIMES3! - 3! OVER 2! TIMES 2!]

[eqn: = 20-6 = 14]

13.

삼각형의 무게중심은 중선을

꼭지점으로부터 [eqn: 2``:``1]로 내분한다.

따라서 한 변의 길이가[eqn: a]인

정사각형 [eqn: A_n-1]내부에 들어 있는

작은 정사각형[eqn: A_n]의 한 변의 길이는

대각선 길이의 [eqn: { 1} over {3 }]이므로 [eqn: {a root2} over {3 }]

이다.

[eqn: ∴```SUM from { { n}=1} to inf `S_n = S_1 +S_2 +S_3 + ⋯]

[eqn: = 3^2 + 2+ { 2} over { 9} + ⋯]

[eqn: = { 9} over {1- { 2} over {9 } } = { 81} over {7 }]

ꂼ ⑤

14.

ㄱ. [eqn: left{ f``(-3)`right}^2 = (a^-3 `)^5 = a^-15`]

[eqn: f``(-15) = a^-15`]

∴ [eqn: left{ f``(-3)`right}^2 = f``(-15)`] (참)

ㄴ. [eqn: 0<a<1`]이므로 [eqn: y= f``(x)`]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: O`]

[eqn: y=f``(x)`]

[eqn: y=a]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

따라서, [eqn: y=f``(x)`]의 그래프와 직선[eqn: y=a`]는 한 점에서 만난다. (참)

ㄷ. [eqn: y=a^x`]의 역함수는 [eqn: y= log_a``x`]이므로

[eqn: y= a^x``(x<=0 )`]의 그래프와 [eqn: y= log_a``x`(x>=1 )`]의 그래프는 직선[eqn: y= x`]에 대하여 대칭이다.

따라서, ㄴ에서 [eqn: y= f``(x)`]의 그래프는 직선[eqn: y=x`]에 대하여 대칭이다. (참)

그러므로 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ⑤

15.

ㄱ. [eqn: 8A= pmatrix{8&8#8&8}]이므로

[eqn: L(8A)= pmatrix{log` _{2} `8&````log` _{2} `8#log` _{2} `8&`````log` _{2} `8}]

[eqn: = pmatrix{log` _{2} `2 ^{3}&````log` _{2} `2 ^{3}#log` _{2} `2 ^{3}&`````log` _{2} `2 ^{3}}]

[eqn: = pmatrix{3&```3#3&``3}]

[eqn: =`3` pmatrix{1&`````1#1&````1}]

[eqn: =3A]  <참>

ㄴ. [eqn: L(A)=E]에서

[eqn: pmatrix{log` _{2} `a&````log` _{2} `b`#log` _{2} `c&````log` _{2} d}][eqn: = pmatrix{1&`````0#0&````1}]

이므로

[eqn: log` _{2} `a`=`1], [eqn: log` _{2} `b```=0], [eqn: log` _{2} `c``=`1], [eqn: log` _{2} `d```=0`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=2], [eqn: b`=1], [eqn: c=2], [eqn: d`=1]

이 때, [eqn: A= pmatrix{2&````1#1&````2}]이고  [eqn: 2 CDOT 2`-`1 CDOT 1 != 0]이므로 행렬 [eqn: A]는 역행렬을 갖는다. <참>

ㄷ. [eqn: A^2 = PMATRIX{a&b#c&d}PMATRIX{a&b#c&d}]

[eqn: = pmatrix{a^2 +bc & ab+bd #ca+dc &cb + d^2}]

이므로

[eqn: L(A^2 ) = pmatrix{log_2 (a^2 + bc )& log_2 (ab+bd)# log_2 (ca+dc) & log_2 (cb+d^2 )}]

[eqn: 2 L(A) = 2 PMATRIX{log_2 a & log_2 b # log_2 c & log_2 d }]

[eqn: = pmatrix{log_2 a^2 & log_2 b^2 # log_2 c^2 & log_2 d^2}]

이 때, [eqn: L(A^2 ) = 2 L(A)] 이려면

[eqn: a^2 + bc = a^2]…㉠, [eqn: ab+bd = b^2]

[eqn: ca+dc=c^2], [eqn: cb + d^2 = d^2]

㉠에서 [eqn: bc=0]이므로 [eqn: b>0,~c>0]에 모순이다.

따라서, [eqn: L(A^2 ) = 2 L(A)]를 만족시키는 행렬 [eqn: A]가 존재하지 않는다. <거짓>

ꂼ ③

16.

[eqn: a_3 =14], [eqn: a_4 = 26`], [eqn: a_5 = 38],

[eqn: cdots`]

[eqn: a_n+1 = a_n + 12`] ([eqn: n>=3])

을 추론할 수 있다.

[eqn: b_k = a_k+2] ([eqn: k=1,``2,``3,``cdots])로 두면

[eqn: b_1 = 14, ``b_2 =26`]

[eqn: b_k+1 - b_k =12`]

∴ [eqn: b_k =12k + 2`]

∴ [eqn: a_20 = b_18 = 12 times 18 + 2]

[eqn: =218]

ꂼ ②

[다른풀이]

[eqn: a_3 =14], [eqn: a_4 = 26`], [eqn: a_5 = 38],

[eqn: cdots`]

[eqn: a_n+1 = a_n + 12`] ([eqn: n>=3])

을 추론할 수 있다.

∴ [eqn: a_20 = a_3 + 17 times12]

[eqn: = 14+17 times 12]

17.

과자 A의 길이 [eqn: X]가 [eqn: m+10] 이상일 확률은

[eqn: P ( X>= m+10 ) = P left( Z >= 10 over sigma_1 right)]

과자 B의 길이 [eqn: Y]가 [eqn: m+10] 이하일 확률은

[eqn: P ( Y<= m+10 ) = P left( Z <= -15over sigma_2 right)]

이 때, [eqn: P left( Z ≧ 10 over sigma_1 right)][eqn: = P left( Z <= -15over sigma_2 right)]이므로

[eqn: 10 over sigma_1 = 15 over sigma_2]

∴ [eqn: sigma_2 over sigma_1 = 15 over 10 = 3 over 2]

ꂼ ①

18.

[eqn: f``'(x) = 3x^2 + 5x`]이므로

[eqn: lim_h->0``{f``(2+h) - f``(2)} over h`]

[eqn: = f``'(2)`]

[eqn: = 3 cdot 2^2 + 5 `]

[eqn: = 17`]

ꂼ [eqn: 17`]

19.

[eqn: f(x)=`6x ^{2} +1]이라 하고 [eqn: f(x)]의 부정적분을

[eqn: F(x)]라 하면

[eqn: S(h)= int _{1-h} ^{1+h} {f(x)dx}]

[eqn: = LEFT [ F(x) RIGHT ] _{1-h} ^{1+h}]

[eqn: =`F(1+h)-F(1-h)]

따라서

[eqn: lim _{h -> 0+} {{S(h)} over {h}} = lim _{h -> 0+} {{F(1+h)-F(1-h)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0+} {{F(1+h)-F(1)} over {h}} + lim _{h -> 0+} {{F(1-h)-F(1)} over {-h}}]

[eqn: =2F```'(1)]

[eqn: =][eqn: 2f(1)]

[eqn: =2 TIMES 7=14]

ꂼ [eqn: 14]

20.

[eqn: x^2 + 9y^2 = 9`]에서 [eqn: x^2 over 9 + y^ 2 = 1`]

[eqn: a^2 = 9, ~``b^2 = 1`]

∴ [eqn: a= 3, ~``b=1`]

두 초점의 좌표를 [eqn: F(c,``0)], [eqn: F``'(-c, ``0)]라 하면

[eqn: c= root{a^2 - b^2 }]

[eqn: =root{ 3^2 -1 }]

[eqn: = 2root2`]

∴ [eqn: d= 4 root2`]

∴ [eqn: d^2 = 32`]

ꂼ 32

21.

[eqn: a^2x - a^x =2 ``(a>0, ``a!=1)]에서

[eqn: a^x = t`]([eqn: >0])이라 하면

[eqn: t^2 - t-2=0]

[eqn: (t-2)(t+1)=0`]

[eqn: t>0`]이므로 [eqn: t=2`]

즉, [eqn: a^x = 2]

∴ [eqn: x= log_a 2`][eqn: = 1over 7`]

∴ [eqn: 2= a^{ 1 over 7 }]

∴ [eqn: a= 2^7 = 128`]

ꂼ [eqn: 128`]

22.

[eqn: F(x) = f(x) g(x)]라 하면

[eqn: F(0)=][eqn: f(0) g(0)=4]이므로

(나)에서

[eqn: lim_x->0 {F(x)-F(0)} over x =F`'(0)]

[eqn: = f(0) g'(0) +f`'(0) g(0)]

=1×g`'(0) +(-6)4 =

[eqn: =g`'(0) -24=0]

∴ [eqn: g`'(0) =24]

ꂼ 24

23.

원 [eqn: x^2 + y^2 = 1] 위의 한 점 [eqn: B( 1, 0, 0)]과

점 [eqn: A(0, 0, 3)]을 지나는 직선의 방정식은

[eqn: x-1 over -1 = z over 3], [eqn: y= 0]

따라서, 이 직선과 구  [eqn: x^2 + y^2 + (z-2)^2 = 1]의 교점을 [eqn: D]라 하면

[eqn: x-1 over -1 = z over 3 = t], [eqn: y=0]에서 [eqn: D(-t+1 , 0, 3t )] ([eqn: 1 over 3 < t< 1])

이 때, 점 [eqn: D(-t+1 , 0, 3t )]는 구

[eqn: x^2 + y^2 + (z-2)^2 = 1] 위의 점이므로

[eqn: (-t+1)^2 + (3t-2)^2 = 1]

[eqn: 10t^2 -14t +4=0], [eqn: 5t^2 - 7t +2 =0]

[eqn: (5t -2)(t +1)=0]

[eqn: therefore] [eqn: t= 2 over 5] ([eqn: ∵][eqn: 1 over 3 < t< 1])

또한, 구하고자 하는 도형은 점 [eqn: D( 3 OVER 5 , 0, 6 OVER 5 )]을 지나면서 [eqn: xy]평면에

평행한 평면과 구 [eqn: x^2 + y^2 + (z-2)^2 = 1]의 교선이므로

[eqn: x^2 + y^2 + ( 6 over 5 - 2 )^2 = 1], [eqn: x^2 + y^2 = 9 over 25]

따라서, 도형 전체의 길이는

[eqn: b over a pi = 2 times 3 over 5 pi = 6 over 5 pi]

[eqn: therefore] [eqn: a+b = 11]

ꂼ 11

24.

O

A

H

6

[eqn: 2ROOT3]

[eqn: 2ROOT6]

B

[eqn: 45DEG]

[eqn: 2ROOT3]

C

D

위의 그림에서

[eqn: BARAH = ROOT{6^2 - (2ROOT3 )^2} = 2ROOT6], [eqn: BARBH = 2ROOT3]

이고 평면 [eqn: alpha]와  [eqn: 45DEG]의 각을 이루는 평면으

로 반구를 자른 단면은 다음 그림과 같다.

A

H

B

C

D

[eqn: 2ROOT6]

[eqn: 2ROOT6]

[eqn: 2ROOT3]

[eqn: 2ROOT3]

[eqn: 45DEG]

즉, [eqn: BARBD = ROOT{(2ROOT6 )^2 - (2ROOT3 )^2} = 2ROOT3] 이므로

[eqn: ∠DHB = 45DEG]

따라서, 단면의 넓이는

[eqn: ( 2 ROOT 6 )^2 piTIMES 3 OVER 4 + 1 over2 times 2root6 times 2 root6 = 18pi +12]

따라서, 이 단면을 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영한 넓이가 [eqn: root2 (a+b pi )] 이므로

[eqn: root2 (a+b pi ) = (18 pi + 12 ) cos45DEG]

[eqn: = (18pi + 12 ) times root2 over 2]

[eqn: = root2 ( 9pi + 6 )]

[eqn: therefore] [eqn: a+b = 15]

ꂼ15

25.

[eqn: V_k = { k+1} over {k }]이므로

[eqn: D_k = 20 log V_k = 20 log { k+1} over {k }]

[eqn: ∴``S_9 = SUM from { { k}=1} to 9 D_k]

[eqn: =20 LEFT ( log { 2} over {1 } + log { 3} over {2 } + log { 4} over {3 } + ⋯ +log { 10} over {9 } RIGHT )] [eqn: =20 LEFT ( log { 2} over {1 }× { 3} over {2 }× { 4} over {3 } ×⋯× { 10} over {9 } RIGHT )]

[eqn: = 20 log 10 =20]

ꂼ 20

미분과 적분

26.

[eqn: (sin x +sin y )^2]

[eqn: = sin^2 x +sin^2 y + 2 sin x sin y][eqn: =1]

[eqn: (cos x +cos y )^2 = cos ^2 x +cos^2 y +2 cos x cos y][eqn: = 1over 4]

위 두 등식의 변끼리 더하면

[eqn: 1+1+2 (sin x sin y + cos x cos y ) = 1+ 1 over 4]

∴ [eqn: sin x sin y + cos x cos y = - 3 over 8]

∴ [eqn: cos (x-y)= cos x cosy + sinx siny]

[eqn: = - 3 over8]

ꂼ ④

27.

[eqn: int_0 ^1 root{ 1+ left{ f`'(x)right}^2 } dx`]는 곡선 [eqn: y= f(x)`]([eqn: 0<=x<=1])의 길이를 의미하므로

이 길이의 최소값은 두 점 [eqn: (0,``0)], [eqn: (1,``root3 )`]을 잇는 선분의 길이와 같다.

따라서 구하는 최소값은

[eqn: root{(1-0)^2 + (root3 - 0)^2 } =2`]

ꂼ ②

28.

[eqn: t]초 후에 선분 [eqn: OP]와 [eqn: y]축이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면

점 [eqn: rm P]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 10`sin` theta ,``10`cos` theta RIGHT )]이므로 속력 [eqn: v]는

[eqn: v= sqrt {LEFT ( {dx} over {dt} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {dy} over {dt} RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: = sqrt {LEFT ( {dx} over {d theta } RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {dy} over {d theta } RIGHT ) ^{2}} ` {d theta } over {dt}]

[eqn: = sqrt {(10`cos` theta ) ^{2} + LEFT ( -10`sin` theta RIGHT ) ^{2}} {d theta } over {dt}]

[eqn: =10 {d theta } over {dt}]

[eqn: =2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: {d theta } over {dt} = {1} over {5}]

따라서

[eqn: {dy} over {dt} = {dy} over {d theta } CDOT {d theta } over {dt} =-10sin` theta ` {d theta } over {dt} =-2`sin` theta]

이므로

[eqn: ANGLE rm AOP=30 DEG]인 순간의 점 [eqn: rm P]의 [eqn: y]좌표의 시간에 대한 변화율은

[eqn: -2`sin`30 DEG `=-1]

ꂼ ④

29.

[eqn: a = lim_t->0`sint over 2t` = 1over2 `lim_t->0 `sint over t``]

[eqn: = 1over2 cdot 1 = 1over2`]

[eqn: b= lim_t->0``{e^2t -1 } over t` = 2 `lim_t->0 `{e^2t - 1} over 2t`]

[eqn: = 2 cdot 1 = 2`]

이므로 [eqn: f``(x) = cases{ 1over2 &(x>=1 ) # 2&(x<1)}`]

ㄱ. [eqn: f``(1) = 1over2`] (참)

ㄴ. [eqn: f``(f``(1)) = f``left( 1over2 right) = 2`] (참)

ㄷ. [eqn: x>=1`]일 때, [eqn: f``(f``(x)) = f``left( 1over2 right) = 2`]

[eqn: x<1`]일 때, [eqn: f``(f``(x)) = f``(2) = 1over2`]

이므로 [eqn: y= f``(f``(x))`]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: O`]

◦

•

[eqn: 1]

[eqn: y= f``(f``(x))`]

[eqn: 1over2]

[eqn: 2`]

[eqn: lim_x->1-0 `f``(f``(x)) = 1over2`],[eqn: lim_x->1+0 `f``(f``(x)) = 2`]이므로

[eqn: lim_x->1-0 `f``(f``(x))` ne``lim_x->1+0 `f``(f``(x))`] (거짓)

따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

ꂼ ③

30.

[eqn: V = pi INT _{ 1}^{ e} (5root{lnx} )^2 dx]

[eqn: =25 pi INT _{ 1}^{ e} lnx `` dx]

[eqn: = 25pi LEFT [ x lnx -x RIGHT ]_1 ^e]

[eqn: =25pi ( e -e+1) = 25pi]

[eqn: ∴```{ V} over { pi} = { 25pi} over { pi} =25]

ꂼ 25

확률과 통계

26.

구하고자 하는 확률은

[eqn: {`_2 C_2 + `_3 C_2 + `_4 C_2} over {`_9 C_2} = {1+3+ 4TIMES3 OVER 2} OVER { 9TIMES8 OVER 2}]

[eqn: = 1+3+6 OVER 36]

[eqn: = 5 OVER 18]

ꂼ ④

27.

[eqn: P left( 5 over 4 <= X<= 4 right)]

[eqn: =P left( 0 <=X<= 4 right) - P left( 0 <= X<= 5 over 4 right)]

[eqn: = g(4) -g left ( 5 over 4 right)]

[eqn: =1 - 1 over 2 = 1 over 2]

ꂼ ③

28.

[eqn: 10`]개의 자료 [eqn: x_1 , ``x_2 , `` cdots ,``x_10]이 이 순서로 공차가 양수인 등차수열을 이루므로

이 수열의 공차를 [eqn: d`]라 하자.

이들 자료를 수직선 위에 같은 간격으로 나열하면 다음과 같다.

[eqn: x_1] [eqn: x_2] [eqn: x_3] [eqn: x_4] [eqn: x_5] [eqn: x_6] [eqn: x_7] [eqn: x_8] [eqn: x_9] [eqn: x_10]

ㄱ. 위의 수직선에서 [eqn: x_1 , ``x_3 ,`` x_5 , ``x_ 7 , ``x_9]의 평균은 [eqn: x_5`]이고

[eqn: x_1 , ``x_2 , `` cdots ,``x_10]의 평균은 [eqn: {x_5 + x_6 } over 2 `= x_5 + d over 2] (거짓)

ㄴ. 위의 수직선에서 [eqn: x_6 , ``x_7 ,`` x_8 , ``x_ 9 , ``x_10]의 평균은 [eqn: x_8`],

[eqn: x_1 , ``x_2 ,`` x_3 , ``x_ 4 , ``x_5]의 평균은 [eqn: x_3`]이므로

[eqn: vertx_8 - x_3 vert`=5d`] (참)

ㄷ. 위의 수직선에서 [eqn: x_1 , ``x_3 ,`` x_5 , ``x_ 7 , ``x_9]과 평균 [eqn: x_5`]의 편차는

각각 [eqn: -2d , ``-d,``d,``2d`]이고

[eqn: x_2 , ``x_4 ,`` x_6 , ``x_ 8 , ``x_10]과 평균 [eqn: x_6`]의 편차도

각각 [eqn: -2d , ``-d,``d,``2d`]이므로

두 자료의 분산은 서로 같다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ④

29.

주어진 학급의 멀리뛰기 기록은 정규분포 [eqn: rm N( it 196.8,``10 ^{2} )]을 따르므로 4명의 표본평균 [eqn: bar{X}]는 정규분포 [eqn: rm N LEFT ( it 196.8,``` {10 ^{2}} over {4} RIGHT )]

즉, [eqn: rm N LEFT ( 196.8,``5 ^{2} RIGHT )]을 따른다.

이 학급이 예선을 통과할 확률이 [eqn: 0.8770]이므로

[eqn: rm P( bar{X} > it L)]

[eqn: = rm P LEFT ( {bar{X} -196.8} over {5} > {it L-196.8 rm} over {5} RIGHT )]

[eqn: = rm P LEFT ( it Z> {it L-196.8 rm } over {5} RIGHT )]

[eqn: =0.8770]

한편, 표준정규분포표를 이용하면

[eqn: rm P( it Z>-1.16)= rm P LEFT ( it -1.16<Z<0 RIGHT ) + rm P it (Z>0)]

[eqn: = rm P it LEFT ( 0<Z<1.16 RIGHT ) +0.5]

[eqn: =0.3770+0.5]

[eqn: =0.8770]

이므로

[eqn: {L-196.8} over {5} =-1.16]

[eqn: THEREFORE] [eqn: L=191]

ꂼ ②

30.

주어진 5개의 자료의 평균은

[eqn: {8+9+11+12+15} over5 = 55 over 5 = 11`]

이므로 [eqn: rm E ( it bar X `)` = m = 11`]

주어진 5개의 자료의 분산은

[eqn: {(-3)^2 + (-2)^2 + 0 + 1^2 + 4^2 } over 5`][eqn: = 30 over 5 = 6`]

이므로 [eqn: rm V ( it bar X ``) = σ^2 over 24 = 6`]

[eqn: σ^2 = 144`]   ∴ [eqn: σ = 12`]

∴ [eqn: m+ σ = 11+12 = 23`]

ꂼ [eqn: 23`]

이산수학

26.

주어진 표를 수형도로 나타내면

A

B

F

C

D

G

2

3

5

1

2

2

3

E

시작에서 끝까지의 모든 경로와 그 때의 작업시간은 다음과 같다.

A→B→F→G:  [eqn: 2+5+1+2=10](일)

A→C→G    : [eqn: 2+3+2=7](일)

A→C→D    : [eqn: 2+3+2=7](일)

A→C→E    : [eqn: 2+3+3=8](일)

따라서 이 작업을 끝마치는데 필요한 최소의 시간은 10일이다.

ꂼ ④

27.

B

A

F

E

D

C

ㄱ. 오른쪽 그림과 같이 그래프의 각 점을

A, B, C, D, E, F 라고 하면 변이 꼭지점

에서만 만나게 평면 위에 그릴 수 있으므로  평면그래프이다. (참)

ㄴ. ㄱ에서  ABECDFA 로 해밀턴회로가

존재한다.   (참)

ㄷ. A와 C,  B와 D, E와 F를 연결하면

서로 다른 두 꼭지점 사이에 항상 변이      존재한다. 따라서 3개의 변을 추가하면

완전그래프가 된다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ⑤

28.

[eqn: 8,9,10`]으로 이루어진 6개의 점수를 순서를 고려하지 않고 나열하는 방법의 수는

3개에서 6개를 택하는 중복조합의 수와 같다.

즉, [eqn: rm ``_3 H_6 = `_8 C_6 = `_8 C_2 = 28`](가지)

이 때, 점수의 합이 51점 미만이 되는 경우는

[eqn: (8,8,8,8,8,8`)`],

[eqn: (8,8,8,8,8,9)`],

[eqn: (8,8,8,8,9,9)`],

[eqn: (8,8,8,8,8,10)`]

의 4가지이다.

따라서, 구하는 경우의 수는

[eqn: 28 -4 = 24`](가지)

ꂼ ④

29.

(i) 꼭지점 [eqn: c]와 [eqn: d], [eqn: e]와 [eqn: f], [eqn: g]와 [eqn: h]가 모두 하나의 변으로 연결된 경우

[eqn: `_2 C_1]×[eqn: `_2 C_1]×[eqn: `_2 C_1]=8 (개)

(ii) 꼭지점 [eqn: c]와 [eqn: d], [eqn: e]와 [eqn: f]는 하나의 변으로 연결되고, [eqn: g]와 [eqn: h]는 연결되지 않은 경우

[eqn: `_2 C_1]×[eqn: `_4 C_3]=8 (개)

(iii) 꼭지점 [eqn: c]와 [eqn: d], [eqn: g]와 [eqn: h]는 하나의 변으로 연결되고, [eqn: e]와 [eqn: f]는 연결되지 않은 경우

[eqn: `_4 C_3]×[eqn: `_2 C_1]=8 (개)

(iv) 꼭지점 [eqn: e]와 [eqn: f], [eqn: g]와 [eqn: h]는 하나의 변으로 연결되고, [eqn: c]와 [eqn: d]는 연결되지 않은 경우

[eqn: `_2 C_2]×[eqn: `_2 C_1]×[eqn: `_2 C_1]=4 (개)

(v) 꼭지점 [eqn: c]와 [eqn: d]는 하나의 변으로 연결되고, [eqn: e]와 [eqn: f], [eqn: g]와 [eqn: h]는 연결되지 않은 경우

[eqn: `_6 C_ 5]=6 (개)

(vi) 꼭지점 [eqn: e]와 [eqn: f]는 하나의 변으로 연결되고, [eqn: c]와 [eqn: d], [eqn: g]와 [eqn: h]는 연결되지 않은 경우

[eqn: `_2 C_2]×[eqn: `_4 C_3]=4 (개)

(vii) 꼭지점 [eqn: g]와 [eqn: h]는 하나의 변으로 연결되고, [eqn: c]와 [eqn: d], [eqn: e]와 [eqn: f]는 연결되지 않은 경우

[eqn: `_4 C_4]×[eqn: `_2 C_1]=2 (개)

(viii) 꼭지점 [eqn: c]와 [eqn: d], [eqn: e]와 [eqn: f], [eqn: g]와 [eqn: h] 중 하나의 변으로 연결된 경우가 없는 경우

[eqn: `_6 C_6]=1 (개)

이상에서 구하는 생성수형도의 개수는

8+8+8+4+6+4+2+1=41

ꂼ ②

30. [eqn: a_n+2 = 3a_n+1 - 2a_n] 에서

[eqn: a_n+2 - a_n+1 = 2(a_n+1 - a_n )]

[eqn: therefore] [eqn: a_n+1 - a_n = (3-1) 2^n-1 = 2^n]

[eqn: therefore] [eqn: a_n = a_1 + sum from k=1 to n-1 (a_k+1 - a_k )]

[eqn: = 1+ sum from k=1 to n-1 2^k]

[eqn: = 1+ {2(2^n-1 - 1 )} over {2-1}]

[eqn: = 2^n -1]

[eqn: therefore] [eqn: sum from n=1 to 7 a_n = sum from n=1 to 7 (2^n -1 )]

[eqn: = {2(2^7 -1)} over 2-1 - 1 times 7 = 247]

ꂼ 247

[다른 풀이]

[eqn: a_3 = 3a_2 - 2 a_1 = 3 times 3 - 2 times 1 = 7]

[eqn: a_4 = 3a_3 -2 a_2 = 3 times7 - 2 times3 = 15]

[eqn: a_5 = 3a_4 - 2a_3 = 3 times15 - 2 times7 = 31]

[eqn: a_6 = 3 a_5 - 2 a_4 = 3 times31 - 2 times 15 = 63]

[eqn: a_7 = 3a_6 - 2 a_5 = 3 times63 - 2 times31 = 127]

[eqn: therefore] [eqn: sum from n=1 to 7 a_n = a_1 + a_2 + ⋯+ a_7]

[eqn: = 1+3+7+15+31+63+127]

[eqn: = 247]