Do your best ♥ Be the best ★★                                            수학연구소/數/理/院/

수학연구소 /數/理/院/

수능기출

년도	2001년 11월 7일
대상	고3 자연계

2002학년도 수능《자연계》

무리방정식 [eqn: ( SQRT { x}- SQRT { 3})( SQRT { x} + SQRT { 3})=4]의 근은?

정답 ④

[eqn: (SQRT{x}-SQRT{3})(SQRT{x}+SQRT{3})=4], [eqn: x-3=4]

[eqn: THEREFORE ```x=7]

[2점][2002학년도 수능]

①　[eqn: 1]	②　[eqn: 3]	③　[eqn: 5]

④　[eqn: 7]	⑤　[eqn: 9]

두 벡터 [eqn: vec{a} `=(2,```-3,```2)], [eqn: vec{b} `=(1,```-4,```0)]가 이루는

각의 크기를 [eqn: theta `]라 할 때, [eqn: cos` theta `]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: LEFT | ` vec{a} ` RIGHT | = sqrt {2 ^{2} +(-3) ^{2} +2 ^{2}} = sqrt {17}]

[eqn: LEFT | ` vec{b} ` RIGHT | = sqrt {1 ^{} +(-4) ^{2} +0} = sqrt {17}]

[eqn: vec a ・ vec b =2・1+(-3)・(-4)+2・0=14]

[eqn: THEREFORE ```cos theta = {vec{a} CDOT vec{b}} over {LEFT | vec{a} RIGHT | LEFT | vec{b} RIGHT |} = {14} over {sqrt {17} sqrt {17}} = {14} over {17}]

[2점][2002학년도 수능]

①　[eqn: 2 over 17]	②　[eqn: 5 over 17]	③　[eqn: 8 over 17]

④　[eqn: 11 over 17]	⑤　[eqn: 14 over 17]

복소수 [eqn: z]가 [eqn: LEFT | `z` RIGHT | =1]일 때, [eqn: { z} over { z+ { 1} over { z} }]의 값은?

정답 ④

[eqn: LEFT | `z` RIGHT | =1]에서 [eqn: LEFT | `z` RIGHT | ^{2} = LEFT | ` bar{z} ` RIGHT | ^{2} =z bar{z} =1]

[eqn: THEREFORE ``` {z bar{z}} over {z bar{z} +1} = {1} over {1+1} = {1} over {2}]

[2점][2002학년도 수능]

①　[eqn: -1]	②　[eqn: - {1} over {2}]	③　[eqn: 0]

④　[eqn: {1} over {2}]	⑤　[eqn: 1]

다음 식을 성립하게 하는 상수 [eqn: a,```b]의 곱 [eqn: a b]의 값

은?

정답 ②

[eqn: lim_x->1 (x-1) = 0]이므로

[eqn: lim_x->1 (x^2 + ax + b) = 1 +a + b = 0]

[eqn: THEREFORE ```b=-1-a``` CDOTS ```㉠]

이 때, ㉠을 주어진 식에 대입하면

[eqn: lim_x->1 x-1 over {x^2 + ax + b} = lim_x->1 x-1 over {x^2 + ax - (1 + a)}]

[eqn: = lim_x->1 x-1 over {(x-1)(x+1+a)}]

[eqn: = lim_x->1 1 over {(x+1+a)} = 1 over a+2][eqn: = 1 over 3]

[eqn: THEREFORE ```a=1]

한편, ㉠에서 [eqn: b `=` -2]  [eqn: ∴~a`b` =` -2]

[2점][2002학년도 수능]

[eqn: lim from { x ->1 }] [eqn: {`x-1`} over{ `x^2 +ax +b } = {1}over{3}]

①　[eqn: -3]	②　[eqn: -2]	③　[eqn: 1]

④　[eqn: 2]	⑤　[eqn: 3]

방정식 [eqn: { x}^{2 }- { y}^{2 }+2y+a=0]이 나타내는 도형이 [eqn: x`]축

에 평행인 주축을 갖는 쌍곡선이 되기 위한 [eqn: a`]의 값의

범위는?

정답 ①

[eqn: {x}^{2}-{y}^{2}+2y+a=0]

[eqn: {x}^{2}-({y}^{2}-2y+1)=-1-a>0~]

[eqn: THEREFORE ```a PREC -1]

[2점][2002학년도 수능]

①　[eqn: a＜-1]	②　[eqn: a＞-1]	③　[eqn: a＜1]

④　[eqn: a＞1]	⑤　[eqn: a＞2]

함수 [eqn: f`(x`)=2 { sin}^{3 }x+sin2x`cos`x`+2cos`x`]의 최대값

은?

정답 ⑤

[eqn: f(x)=2{sin}^{3}x+2sinx{cos}^{2}x+2cosx]

[eqn: =2{sin}^{3}x+2sinx(1-{sin}^{2}x)+2cosx]

[eqn: =2sinx+2cosx][eqn: =2 sqrt {2} `sin(x+ {pi } over {4} ) <= 2 sqrt {2}]

[2점][2002학년도 수능]

①　[eqn: {root 2} over {2}]	②　[eqn: 1]	③　[eqn: root 2]

④　[eqn: 2]	⑤　[eqn: 2 root 2]

[eqn: (a,```b,```c)]를 구 [eqn: { x}^{2 }+ { y}^{2 }+ { z}^{2 }=4] 위의 한 점의 좌표

라고 할 때, 두 평면 [eqn: ax+by+cz=1], [eqn: ax+by+cz=3]

사이의 최단거리는?

정답 ②

점 [eqn: LEFT ( a,```b,```c RIGHT )]가 구 [eqn: x^2 + y^2 + x^2 = 4] 위에 있으므로

[eqn: a^2 + b^2 + c^2 = 4]

한편, 두 평면 [eqn: ax+by+cz=1,```ax+by+cz=3]은

서로 평행하므로

이 두 평면 사이의 최단거리 [eqn: d]는

평면 [eqn: a x + b y + c z = 3] 위의 한 점 [eqn: LEFT ( {1} over {a} ,``` {1} over {b} ,``` {1} over {c} RIGHT )]로부터

평면 [eqn: a x + b y + c z - 1 = 0]에 이르는 거리와 같다.

따라서

[eqn: d = { left | a cdot 1 over a + b cdot 1 over b + c cdot 1 over c - 1 right | }over{sqrt{ a^2 + b^2 + c^2 }}&= 2 over { sqrt 4 } = 1]

[2점][2002학년도 수능]

①　[eqn: 1 over 2]	②　[eqn: 1]	③　[eqn: 3 over 2]

④　[eqn: 2]	⑤　[eqn: 11 over 3]

세 자료

[eqn: A]：[eqn: 1]부터 [eqn: 50]까지의 자연수

[eqn: B]：[eqn: 51]부터 [eqn: 100]까지의 자연수

[eqn: C]：[eqn: 1]부터 [eqn: 100]까지의 짝수

의 표준편차를 순서대로 [eqn: a,```b,```c]라 할 때, [eqn: a,```b,```c]의

대소관계를 바르게 나타낸 것은?

정답 ②

자료 [eqn: A,```B,```C]는 각각

[eqn: A```:```1,```2,```3,``` CDOTS ,```50]

[eqn: B```:```51,```52,```53,``` CDOTS ,```100]

[eqn: C```:```2,```4,```6,``` CDOTS ,```100]이므로

자료 [eqn: A,```B,```C]의 분포에 해당하는 확률변수를 각각

[eqn: X,```Y,```Z]라 하면

[eqn: Y=X+50,```Z=2X]의 관계가 성립한다.

따라서, [eqn: X,```Y,```Z]의 표준편차 [eqn: sigma LEFT ( X RIGHT ) ,``` sigma LEFT ( Y RIGHT ) ,``` sigma LEFT ( Z RIGHT )]를

각각 [eqn: a,```b,```c]라 하면

[eqn: b = sigma left ( Y right ) = sigma left ( X + 50 right ) = sigma left ( X right ) = a]

[eqn: c= sigma LEFT ( Z RIGHT ) = sigma LEFT ( 2X RIGHT ) = LEFT | `2` RIGHT | sigma LEFT ( X RIGHT ) =2a]

[eqn: THEREFORE ```a=b<c]

[3점][2002학년도 수능]

① [eqn: a`=b`=c]	② [eqn: a=b<c]	③ [eqn: a<b=c]

④ [eqn: a<b<c]	⑤ [eqn: a<c<b]

[eqn: 1 LEQ x LEQ 2]인 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식

[eqn: alpha x LEQ e ^{x} LEQ beta x]가 성립하도록 상수 [eqn: alpha ,``` beta]를 정할 때,

[eqn: beta -alpha]의 최소값은?

정답 ⑤

[eqn: y= { e}^{x }]의 접선 중 원점을 지나는 것은 [eqn: y=ex]

즉, [eqn: (1,```e)]에서의 접선과 같다.

[eqn: beta GEQ {e ^{2}} over {2}], [eqn: alpha LEQ e]

따라서 [eqn: beta -alpha]의 최소값은 [eqn: {{e}^{2}}over{2}][eqn: - e][eqn: =e({e}over{2}-1)]

[3점][2002학년도 수능]

①　[eqn: e over 2]	②　[eqn: e]	③　[eqn: e` LEFT( e ^3 over 4 -1 RIGHT)]

④　[eqn: e` LEFT( e ^2 over 3 -1 RIGHT)]	⑤　[eqn: e` LEFT( e over 2 -1 RIGHT)]

연립부등식 [eqn: x>0], [eqn: y+x GEQ 0], [eqn: y-2x LEQ 0]이 나타

내는 좌표평면 위의 영역을 [eqn: rm D]라 하자. [eqn: rm D]에 속하는

두 점 [eqn: rm P(ita,```b)], [eqn: rm Q(itc,```d)]에 대하여 [eqn: {b+d} over{a+c}]의 최대값과

최소값의 차는?

정답 ④

영역 [eqn: rmD]는 세 부등식 [eqn: x>0,```y GEQ -x,```y LEQ 2x]를 만족시

키는 점 [eqn: LEFT ( x,```y RIGHT )]들의 모임이고, 두 점 [eqn: rmP LEFT ( ita,```b RIGHT )], [eqn: rmQ LEFT ( itc,```d RIGHT )]는

[eqn: rmD]에 속하므로

[eqn: a>0,```c>0]

[eqn: THEREFORE ```a+c>0``` CDOTS CDOTS ```㉠]

[eqn: b GEQ -a,```d GEQ -c]

[eqn: THEREFORE ```b+d GEQ - LEFT ( a+c RIGHT ) ``` CDOTS CDOTS ```㉡]

[eqn: b LEQ 2a,```d LEQ 2c]

[eqn: THEREFORE ```b+d LEQ 2 LEFT ( a+c RIGHT ) ``` CDOTS CDOTS ```㉢]

㉠, ㉡으로부터 [eqn: {b+d} over {a+c} GEQ -1]이고,

㉠, ㉢으로부터 [eqn: {b+d} over {a+c} LEQ 2]

즉, [eqn: {b+d} over {a+c}]의 최대값, 최소값은 각각 [eqn: 2,```-1]이므로

구하는 최대값과 최소값의 차이는 [eqn: 3]이다.

[3점][2002학년도 수능]

①　[eqn: 2 over 3]	②　[eqn: 4 over 3]	③　[eqn: 2]

④　[eqn: 3]	⑤　[eqn: 10 over 3]

지수함수의 그래프에 대한 <보기>의 설명 중

옳은 것을 모두 고른 것은?

정답 ③

① [eqn: y={2}^{x}]의 [eqn: x]축 대칭은 [eqn: -y={2}^{x}]  ∴[eqn: y=-{2}^{x}]

또, [eqn: y={1}over{{2}^{x}}={2}^{-x}]  즉, 옳지 않다.

② [eqn: y={2}^{x}][eqn: ->][eqn: y={2}^{x-1}] ([eqn: x]축 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동)

즉, 그 그래프는 아래와 같으므로 옳다.

③ [eqn: y=SQRT{2}⋅{2}^{x}={2}^{{1}over{2}}⋅{2}^{x}={x}^{2+{1}over{2}}]

즉, [eqn: y=2 ^{x} ``` -> ```y=2 ^{x+ {1} over {2}}]

(즉, [eqn: x]축 방향으로 [eqn: -{1}over{2}]만큼 평행이동) ∴옳다.

[2점][2002학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: y= 2^x]의 그래프를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동하 면 [eqn: y={ 1} over {2^x}]의 그래프가 된다. ㄴ. [eqn: y= 2^x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동하면 [eqn: y= 2^x]의 그래프보다 아래에 놓이 게 된다. ㄷ. [eqn: y= SQRT2 ․2 ^x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 평행 이동하여 [eqn: y= 2^x]의 그래프를 얻을 수 있다.

①　ㄱ	②　ㄴ	③　ㄴ, ㄷ

④　ㄱ, ㄷ	⑤　ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이

[eqn: sqrt {17} -4= {1} over {8+a _{1}} = {1} over {8+ {1} over {8+a _{2}}} = {1} over {8+ {1} over {8+ {1} over {8+a _{3}}}} = CDOTS]

을 만족시킬 때, [eqn: a_2002]의 값은?

정답 ①

[eqn: sqrt 17 - 4 = 1 over {8 + a_1 }]이므로

[eqn: a _{1} = {1} over {sqrt {17} -4} -8= {sqrt {17} +4} over {LEFT ( sqrt {17} -4 RIGHT ) LEFT ( sqrt {17} +4 RIGHT )} -8]

[eqn: = sqrt {17} -4]이다.

또한, 조건

[eqn: 1 over {8 + a_1} = 1 over {8 + 1 over {8 + a_2 }} = 1 over {8 + 1 over { 8 + 1 over {8 + a_3 } } } = cdots]로부터

[eqn: a _{1} = {1} over {8+a _{2}} ,```a _{2} = {1} over {8+a _{3}} ,``` CDOTS]

[eqn: THEREFORE ```a _{2} = {1} over {a _{1}} -8,```a _{3} = {1} over {a _{2}} -8,``` CDOTS]

위 두 결과를 이용하여 [eqn: a _{2} ,```a _{3} ,``` CDOTS]의 값을 차례로

구하면

[eqn: a_2 = 1 over {a_1} - 8 = 1 over { sqrt 17 - 4 } - 8 = sqrt 17 - 4]

[eqn: a_3 = 1 over {a_2} - 8 = 1 over { sqrt 17 - 4 } - 8 = sqrt 17 - 4]

[eqn: cdots]

[eqn: THEREFORE ```a _{2002} =a _{2001} = CDOTS =a _{3} =a _{2} = sqrt {17} -4]

[3점][2002학년도 수능]

①　[eqn: root 17 -4]	②　[eqn: 3 - root 17]	③　[eqn: 5 - root 17]

④　[eqn: root 17]	⑤　[eqn: root 17 +4]

어떤 종류의 연산회로는 행렬들로 나타낼 수

있다. 이 연산회로의 입력과 출력은 행렬 [eqn: a= PMATRIX { { x``}# {y``} }]로,

연산자 [eqn: BOX{```U~}]는 [eqn: 2]차 정사각행렬 [eqn: U`]로 표현된다.

기본 연산회로 [eqn: a``` -> ``` BOX{```U~}]는 [eqn: {U }_{a } `]를 수행하고

[eqn: a``` -> ``` BOX{```U~} ``` RARROW ``` BOX{```V~}]는 [eqn: V {U }_{a }]의 행렬연산을 수행한다.

다음은 연산자 [eqn: BOX{```X~} ,``` BOX{```Y~} ,``` BOX{```Z~}]에 대응되는 행렬이다.

[eqn: X= {pmatrix{0&&1#1&&0}}], [eqn: Y= {pmatrix{1&&0#0&&-1}}], [eqn: Z= {sqrt {2}} over {2} {pmatrix{1&&1#1&&-1}}]

입력 [eqn: a= PMATRIX { { 0 ``}# { 1 ``} }]를 연산회로

[eqn: a``` -> ``` BOX{```Z~} ``` RARROW ```(가)``` RARROW ``` BOX{```X~}]

에서 수행한 결과가 [eqn: { SQRT { 2} } over {2 } PMATRIX { { 1 ``}# {1 ``} }]일 때, 다음 중 (가)에

알맞은 것은?

정답 ⑤

먼저 [eqn: a``` -> ``` BOX{```Z```}]를 수행하면

[eqn: Za= {sqrt {2}} over {2} {pmatrix{1&&1#1&&-1}} {pmatrix{0#1}} = {sqrt {2}} over {2} {pmatrix{1#-1}}]

연산자 (가)에 의해 표현되는 행렬을 [eqn: A`]라 하면

[eqn: Za``` RARROW ```(가)``` RARROW ``` BOX{```X```}]의 결과가 [eqn: SQRT2 over2 PMATRIX { { 1}# {1 } }]이므로

[eqn: XAZa= {sqrt {2}} over {2} {pmatrix{1#1}}]

[eqn: rm Z][eqn: a]=[eqn: Za= {sqrt {2}} over {2} {pmatrix{1#-1}}]이므로

[eqn: XA]는 [eqn: x`]에 대한 대칭행렬이다.

[eqn: THEREFORE ```XA= {pmatrix{1&&0#0&&-1}}]

[eqn: A=X ^{-1} {pmatrix{1&&0#0&&-1}} = {pmatrix{0&&`1#1&&0}} {pmatrix{1&&0#0&&-1}} =XY]

즉, [eqn: A=XY]에서 (가)의 연산은 [eqn: BOX{```Y```} ``` RARROW ``` BOX{```X```}]이다.

[3점][2002학년도 수능]

① [eqn: BOX{```Z```} ``` RARROW ``` BOX{```X```}]	② [eqn: BOX{```Z```} ``` RARROW ``` BOX{```Y```}]	③ [eqn: BOX{```X```} ``` RARROW ``` BOX{```X```}]

④ [eqn: BOX{```Y```} ``` RARROW ``` BOX{```Y```}]	⑤ [eqn: BOX{```Y```} ``` RARROW ``` BOX{```X```}]

한 평면에 서로 다른 [eqn: n] 개의 직선을 그려서 나누

어진 영역의 수의 최소값을 [eqn: f`(n)], 최대값을 [eqn: g(`n)]이라

하자.

<보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

정답 ③

① 그림에서 서로 다른 [eqn: 2]개의 직선을 그려서 나누어진

영역의 최소값은 [eqn: 3], 최대값은 [eqn: 4]이므로

[eqn: f`(2)=3,~g`(2)=4]    [eqn: THEREFORE ~]참

② 그림에서 서로 다른 [eqn: n`]개의 직선을 그어 나누어진

수가 최소가 되려면 [eqn: n`]개의 직선을 모두 평행하게

그어야 하므로 이 때 나누어진 직선의 수는 [eqn: n+1]개

이다. 즉 [eqn: f`(n+1)=n+1]   [eqn: THEREFORE ~]참

③ 그림에서 [eqn: f(4)=5,```g(3)=7]이므로 [eqn: g(3)`>`f(4)]

따라서 모든 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: g(n`)`<=`f(n+1)]이 성립하

는 것은 아니다.   [eqn: THEREFORE ~]거짓

[3점][2002학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: f(2)=3,```g(2)=4]이다. ㄴ. 모든 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(n)=n+1]이다. ㄷ. 모든 [eqn: n]에 대하여 [eqn: g(n) LEQ f(n+1)]이다.

①　ㄱ	②　ㄴ	③　ㄱ, ㄴ

④　ㄱ, ㄷ	⑤　ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음을 만족하는 다항함수에 대한 <보기>의

설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

정답 ③

다항함수 [eqn: f`(x`)]가 [eqn: f_0 (x) = 1], [eqn: f_1 (x) = x],

[eqn: f_n+1 (x) = x f_n (x) + f_n-1 (x)] ([eqn: n`]은 자연수)

을 만족하므로, [eqn: x`=`0]을 대입하면

[eqn: f_0 (0) = 1], [eqn: f_1 (0) = 0]

이 때, [eqn: n`=`1]을 대입하면, [eqn: f_2 (0) = 0․ f_1 (0) + f_0 (0) = 1]

같은 방법으로, [eqn: f_3 (0) = 0cdot f_2 (0) + f_1 (0) = 0]

⋮

따라서 짝수 번째항은 [eqn: 1], 홀수 번째 항은 [eqn: 0],

즉, [eqn: f _{2n-1} (0)=0,```f _{2n} (0)=1]이다.

또한, [eqn: f_0 (x)]는 우함수이고, [eqn: f_1 (x)]는 기함수이므로

[eqn: f_2 (x) = x f_1 (x) + f_0 (x)]는 우함수이다.

(기함수⋅기함수=우함수, 우함수+우함수=우함수)

같은 방법으로 [eqn: f_3 (x) = x f_2 (x) + f_1 (x)]는 기함수이다.

즉, 홀수 번째 항은 모두 기함수이고,

짝수 번째항은 모두 우함수이다.

따라서, [eqn: f _{2n-1} (x)```:```기함수,```f _{2n} (x)```:```우함수]

한편, [eqn: f_2 (x) = x f_1 (x) + f_0 (x)]에서

[eqn: f_1 (x)]이 [eqn: 1]차이므로 [eqn: f_2 (x)]의 차수는 [eqn: 2]차이다.

같은 방법으로 [eqn: f_3 (x) = x f_2 (x) + f_1 (x)]에서

[eqn: f_2 (x)]이 [eqn: 2]차이므로 [eqn: f_3 (x)]의 차수는 [eqn: 3]차이다.

즉, [eqn: f_n (x)]은 [eqn: n]차 다항식이다.

이 때, [eqn: f_2n-1 (x)]은 [eqn: 2n-1]차 다항식이고, 기함수이므로,

항 중에 짝수차 항이 없으므로,

[eqn: 0,```1,```2,```3,``` CDOTS ,```2n-1] 중 짝수를 뺀 [eqn: 1,```3,```5,``` CDOTS ,```2n-1]

은 모두 [eqn: n`]개의 홀수이므로

[eqn: f_2n-1 (x)]은 [eqn: n`]개의 항을 갖는 다항식이다.

하지만, [eqn: f_2n (x)]은 모두 [eqn: 2n+1]개의 항 중에

[eqn: 0,```1,```2,```3,```4,``` CDOTS ,```2n-1,```2n]

짝수차수를 갖는 항은 [eqn: 0,```2,```4,```6,``` CDOTS ,```2n]으로

[eqn: 0]부터이므로 모두 [eqn: n+1]개이다.

[3점][2002학년도 수능]

[eqn: f_0 (x)=1],  [eqn: f_1 (x)= x],

[eqn: f_n+1 (x) = x f_n (x) + f_n-1 (x)] ([eqn: n]은 자연수)

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: f_2n-1 (0) =0], [eqn: f_2n (0)=1]이다. ㄴ. [eqn: f_2n-1 (x)]는 기함수이고, [eqn: f_2n (x)]는 우함수이다. ㄷ. [eqn: f_2n-1 (x)]와 [eqn: f_2n (x)]의 항의 개수는 각각 [eqn: n]개 이다.

①　ㄱ	②　ㄴ	③　ㄱ, ㄴ

④　ㄱ, ㄷ	⑤　ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)= LEFT [ `x LEFT [ `x` RIGHT ] RIGHT ]]에 대한 <보기>의 설명 중

옳은 것을 모두 고른 것은?

정답 ⑤

[eqn: f(x)= LEFT [ x LEFT [ x RIGHT ] RIGHT ]]이므로

① [eqn: x GEQ 0]일 때, [eqn: LEFT [ x RIGHT ] GEQ 0]이므로 [eqn: x LEFT [ x RIGHT ] GEQ 0]

[eqn: THEREFORE ```f(x)= LEFT [ x LEFT [ x RIGHT ] RIGHT ] GEQ 0]

[eqn: x<0]일 때, [eqn: LEFT [ x RIGHT ] <0]이므로 [eqn: x LEFT [ x RIGHT ] >0]

[eqn: THEREFORE ```f(x)= LEFT [ x LEFT [ x RIGHT ] RIGHT ] GEQ 0]

∴옳다.

② [eqn: n LEQ x<n+1]일 때, [eqn: LEFT [ x RIGHT ] =n]

또  [eqn: n ^{2} LEQ x LEFT [ x RIGHT ] <n ^{2} +n]

[eqn: THEREFORE ```f(x)= LEFT [ x LEFT [ x RIGHT ] RIGHT ] =n ^{2}] 또는 [eqn: {n}^{2}+1] 또는 ⋯ 또는

[eqn: {n}^{2}+n-1]

즉, [eqn: n( LEFT { f(x)` LEFT | `n LEQ x<n+1 RIGHT } )=n RIGHT .]

∴ 옳다.

③ [eqn: -n LEQ x<-n+1]([eqn: n]은 자연수일 때) [eqn: LEFT [ x RIGHT ] =-n]

또 [eqn: n ^{2} GEQ x LEFT [ x RIGHT ] >n ^{2} -n]

[eqn: THEREFORE ```f(x)= LEFT [ x LEFT [ x RIGHT ] RIGHT ] =n ^{2} -n,```n ^{2} -n+1,``` CDOTS ,```n ^{2} -1,```n ^{2}]

즉, [eqn: n( LEFT { f(x)` LEFT | `-n LEQ x<-n+1 RIGHT } )=n+1 RIGHT .]

∴ 옳다.

따라서, ①, ②, ③ 모두 옳다.

(단, [eqn: LEFT [ `x` RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

[3점][2002학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: f(x)=-1]이 되는 [eqn: x]는 존재하지 않는다. ㄴ. 자연수 [eqn: n]에 대해서 집합 [eqn: LEFT { f(x)` vert `n LEQ x`<n+1 RIGHT }]의 원소의 개수는 [eqn: n]개다. ㄷ. 자연수 [eqn: n]에 대해서 집합 [eqn: LEFT { f(x)`□`-n LEQ x<-n+1 RIGHT }]의 원소의 개수는 [eqn: n+1]개이다.

①　ㄱ	②　ㄴ	③　ㄱ, ㄴ

④　ㄴ, ㄷ	⑤　ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 정삼각형 [eqn: rm ABC`]의

변 [eqn: rm BC] 위의 한 점 [eqn: rm D]를 잡아

직선 [eqn: rm AD]가 [eqn: rm TRIANGLE ABC]의 외접원

과 만나는 점을 [eqn: rm E`]라 할 때,

[eqn: {1}over{bar{rmDE`~}}] =[eqn: {1}over{bar{rmEB`~}}]+ [eqn: {1}over{bar{rmCE`~}}]

임을 보인 것이다.

	[ 증 명 ]
선분 [eqn: rmCE]의 연장선 위에 [eqn: bar {rm EB} = bar{ rm EP}]인 점 [eqn: rmP]를 잡는다. 네 점 [eqn: rmA,```B,```E,```C]는 한 원 위에 있으므로 [eqn: rm ANGLE AEC= ANGLE ABC=60 DEG]이고 [eqn: rm ANGLE AEB= ANGLE ACB=60 DEG]이다. 따라서 [eqn: BOX{~~㈎~~} =60 DEG]〫이고 [eqn: bar {rm EB} = bar{ rm EP}]이므로 [eqn: rm TRIANGLE EBP]는 정삼각형이다. 그러므로 [eqn: BOX{~~㈏~~} =60 DEG =rm ANGLE DEC]이고 선분 [eqn: rm BP]와 [eqn: rm DE]는 평행하다. [eqn: rm TRIANGLE CBP]와 [eqn: rm TRIANGLE CDE]는 닮음이므로 [eqn: rm bar{BP} ```:``` bar{DE} = bar{CP} ```:``` BOX{~~㈐~~}]이고 [eqn: rm bar{BP} BULLET BOX{~~㈐~~} = bar{DE} BULLET bar{CP}]이다. 또한 [eqn: rm bar{BP} = bar{EP} = bar{EB}], [eqn: rm bar{CP} = bar{CE} + bar{EP}]이므로 [eqn: rm bar{EB} BULLET BOX{~~㈐~~} = bar{DE} ` LEFT ( bar{CE} + bar{EP} RIGHT ) = bar{DE} LEFT ( bar{CE} + bar{EB} RIGHT )] 가 된다. 양변을 [eqn: rm bar{EB} BULLET bar{CE} BULLET bar{DE}]로 나누면 [eqn: rm {1} over {bar{DE}} = {1} over {bar{EB}} + {1} over {bar{CE}}]이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

정답 ①

한 원에서 현에 대한 원주각의 크기는 동일하므로

현 [eqn: rmAB]에 대해 [eqn: rmANGLE ACB= ANGLE AEB=60 DEG]

현 [eqn: rmAC]에 대해 [eqn: rmANGLE ABC= ANGLE AEC=60 DEG]

즉, [eqn: rm ANGLE BEP=180 DEG -120 DEG =60 DEG ``` CDOTS CDOTS ```㈎]

이 때 [eqn: rm bar{BE} = bar{PE}]이고 [eqn: rmANGLE BEP=60 DEG]이므로

[eqn: rmTRIANGLE BPE]는 정삼각형

[eqn: THEREFORE ``` rm ANGLE BPE=60 DEG ``` CDOTS CDOTS ```㈏]

즉, [eqn: rmTRIANGLE CDE□ TRIANGLE CBP]

따라서, [eqn: rm bar{PE} ```:``` bar{BP} = bar{CE} ```:``` bar{CP} ``` CDOTS CDOTS ```㈐]이다.

[3점][2002학년도 수능]

(가)	(나)	(다)

①　[eqn: rm ANGLE PEB]	[eqn: rm ANGLE BPE]	[eqn: bar{ rm CE}]

②　[eqn: rm ANGLE PEB]	[eqn: rm ANGLE BPE]	[eqn: bar{ rm CD}]

③　∠EBP	[eqn: rm ANGLE CBE]	[eqn: bar{ rm CE}]

④　[eqn: rm ANGLE PEB]	[eqn: rm ANGLE DCE]	[eqn: bar{ rm CD}]

⑤　[eqn: rm ANGLE PEB]	[eqn: rm ANGLE BED]	[eqn: bar{ rm CD}]

다음은 자연수 [eqn: m,~n]에 대해서 [eqn: m^4 +4^n]이 소수이

고 [eqn: m ≠1] 또는 [eqn: n ≠1]이면, [eqn: m]은 홀수이고 [eqn: n]은 짝수임

을 증명한 것이다.

	[ 증 명 ]
[eqn: m]이 짝수이거나 [eqn: n]이 홀수라 가정하자. (i) [eqn: m]이 짝수이면 [eqn: m=2j]꼴의 정수이고, [eqn: m ^{4} +4 ^{n} =4· LEFT ( 4j ^{4} +4 ^{n-1} RIGHT )]이므로 [eqn: m^4 +4 ^n]은 [eqn: BOX{~~㈎~~}] 이것은 가정에 모순이므로 [eqn: m]은 홀수이다. (ii) [eqn: n]이 홀수이면 [eqn: n]=[eqn: 2k-1]꼴의 정수이다. [eqn: m ^{4} +4 ^{n} =m ^{4} +4 ^{2k-1}]은 다음과 같이 인수분해 된다. [eqn: m ^{4} +4 ^{2k-1} = LEFT ( BOX{~~㈏~~} RIGHT ) (m ^{2} +m2 ^{k} +2·4 ^{k-1} )] 이 수는 소수이므로 [eqn: BOX{~~㈏~~} =1] 또는 [eqn: (m ^{2} +m2 ^{k} +2·4 ^{k-1} )=1]이다. 그런데, [eqn: (m ^{2} +m2 ^{k} +2·4 ^{k-1} )>1]이므로 [eqn: BOX{~~㈏~~} =1]이다. [eqn: BOX{~~㈏~~} = LEFT ( BOX{~~㈐~~} RIGHT ) ^{2} +4 ^{k-1} =1]로부터 [eqn: k=1,```m=1]이다. 따라서, [eqn: m=1,```n=1]이다. 이것은 가정에 모순이므로 [eqn: n]은 짝수이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

정답 ①

[eqn: {m}^{4}+{4}^{n}=4⋅(4{j}^{4}+{4}^{n-1})]이므로 소수가 아니다.

[eqn: CDOTS CDOTS CDOTS] (가)

또 [eqn: {m}^{4}+{4}^{2k-1}={({m}^{2})}^{2}+4({4}^{k-1})^2]

[eqn: {({m}^{2})}^{2}+4{({4}^{k-1})}^{2}+4・{m}^{2}・{4}^{k-1}-4・{m}^{2}・{4}^{k-1}]

[eqn: ={({m}^{2}+2・{4}^{k-1})}^{2}-{(2・m・{2}^{k-1})}^{2}]

[eqn: =(m ^{2} -m・2 ^{k} +2・4 ^{k-1} )(m ^{2} +m・2 ^{k} +2・4 ^{k-1} )]

[eqn: CDOTS CDOTS CDOTS] (나)

또 [eqn: {m}^{2}-m・{2}^{k}+2・{4}^{k-1}={(m-{2}^{k-1})^{2}}+{4}^{k-1}=1]

이다.	[eqn: CDOTS CDOTS CDOTS] (다)

[3점][2002학년도 수능]

(가)	(나)	(다)

① 소수가 아니다.	[eqn: m^2 - m ~2^ k +2․4^k-1]	[eqn: m- 2^ k-1]

② 소수이다.	[eqn: m^2 - m~ 2^ k +2․4^k-1]	[eqn: m- 2^ k-1]

③ 소수가 아니다.	[eqn: m^2 - m ~2^ k+1 +5․4^k-1]	[eqn: m- 2^ k]

④ 소수이다.	[eqn: m^2 - m ~2^ k+1 +5․4^k-1]	[eqn: m- 2^ k]

⑤ 소수가 아니다.	[eqn: m ^{2} -m·2 ^{k+2} +17․4 ^{k-1}]	[eqn: m- 2^ k+1]

두 함수 [eqn: f(x)=ax+b]와 [eqn: g(x)= { e}^{x }]가

[eqn: f(g(x))= INT _{ 0}^{x }f(t)g(t)dt-x {e }^{x }+3]

을 만족할 때, [eqn: f(2)]의 값은?

정답 ①

주어진 식 [eqn: f(g(x)) = int_0^x f(t)g(t) dt - xe^x + 3]의 양변을

[eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: f ``prime (g(x))` g`prime(x) = f(x)g(x) - (1+x)e^x]

이 때, 두 함수 [eqn: f`(x)=ax+b,```g`(x)=e ^{x}]을 대입하면

[eqn: ae ^{x} =(ax+b)e ^{x} -(1+x)e ^{x}][eqn: = LEFT { (a-1)x+(b-1) RIGHT } ·e ^{x}]

[eqn: THEREFORE ```a-1=0,```a=b-1]

즉, [eqn: a=1,```b=2]

따라서 [eqn: f(2) = 1・2 + 2 = 4]이다.

[3점][2002학년도 수능]

①　[eqn: 4]	②　[eqn: 2]	③　[eqn: 0]

④　[eqn: -2]	⑤　[eqn: -4]

그림과 같이 좌표평면 위에 원과 반원으로 이루

어진 태극문양이 있다. 태극문양과 직선 [eqn: y=a`(x-1)]이

서로 다른 다섯 점에서 만나게 되는 [eqn: a]의 범위는?

정답 ②

그림에서 [eqn: {l}_{1}]은 직선 [eqn: y=a(x-1)]이 원 [eqn: {(x+1)}^{2}+{y}^{2}=1]

에 접하는 것이므로

원의 중심 [eqn: (-1,```0)]에서 직선 [eqn: a(x-1)-y=0]에 이르는

거리 [eqn: d`]는 [eqn: d={ LEFT | -2a RIGHT | }over{SQRT{{a}^{2}+1}}=1]이므로

[eqn: LEFT | 2a RIGHT | =SQRT{{a}^{2}+1}],  [eqn: 3{a}^{2}=1]

[eqn: THEREFORE ```a= {sqrt {3}} over {3} ```( BECAUSE ```a>0)]

[eqn: THEREFORE ```0<a< {sqrt {3}} over {3}]

[3점][2002학년도 수능]

①　[eqn: 0 ＜a ＜ root 2 over 3]	②　[eqn: 0 ＜a ＜ root 3 over 3]	③　[eqn: 0 ＜a ＜ 2 over 3]

④　[eqn: 0 ＜a ＜ root 5 over 3]	⑤　[eqn: 0 ＜a ＜ root 6 over 3]

함수 [eqn: f(x)= { x}^{2 }-x-6], [eqn: g(x)= { x}^{2 }-ax+4]일 때,

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: (f CIRC g)(x) GEQ 0]이 되는 실수

[eqn: a]의 범위는? (단, [eqn: f CIRC g]는 [eqn: g]와 [eqn: f]의 합성함수이다.)

정답 ④

[eqn: f(x)=x^2 -x-6=(x-3)(x+2)]

[eqn: g(x)=x^2 -ax +4]에서

[eqn: (f CIRC g)(x)=f(g(x))=(g(x)-3)(g(x)+2) GEQ 0]

∴ [eqn: THEREFORE ```g(x) GEQ 3```또는```g(x) LEQ -2]

(i) [eqn: g(x) GEQ 3]에서 [eqn: x ^{2} -ax+4 GEQ 3]

즉 [eqn: x ^{2} -ax+1 GEQ 0]

이것이 모든 [eqn: x]에 대하여 성립하므로 [eqn: a ^{2} -4 LEQ 0]

[eqn: THEREFORE ```-2 LEQ a LEQ 2]

(ii) [eqn: g(x) LEQ -2]에서 [eqn: x ^{2} -ax+4 LEQ -2]

즉, [eqn: x ^{2} -ax+6 LEQ 0]

[eqn: h(x)=x^2 -ax+6]은 아래로 볼록한 포물선이므로

모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: h(x) LEQ 0]일 수 없다.

(i), (ii)에서 구하는 [eqn: a]의 값의 범위는 [eqn: -2 LEQ a LEQ 2]

[3점][2002학년도 수능]

①　[eqn: a LEQ -1,```a GEQ 1]	②　[eqn: -1 LEQ a LEQ 1]	③　[eqn: a LEQ -2,~a GEQ 2]

④　[eqn: -2 LEQ a LEQ 2]	⑤　[eqn: -4 LEQ a LEQ 4]

어떤 물질은 원자를 구로 나타낼 경우 똑같은

구들을 규칙적으로 배열하여 얻은 정육각형 격자구조

를 갖는다. 아래 그림은 이 격자구조의 한 단면에 놓여

있는 원자의 중심을 연결한 것이다.

이 구조에서 한 원자의 에너지는 인접한 원자의 수와

거리에 영향을 받는다. 가장 인접한 원자의 중심간의

거리가 모두 [eqn: 1]일 때, 동일 평면상에서 고정된 한 원자

와 중심사이의 거리가 [eqn: SQRT { 7}]인 원자의 개수는?

정답 ④

고정된 한 원자 [eqn: A`]와 중심 사이의 거리가 [eqn: SQRT { 7}]이 되려

면 원자가 아래 그림의 [eqn: B`]의 위치에 놓여야 한다.

제이코사인법칙에 의해

[eqn: bar{AB} ^{2} =2 ^{2} +1 ^{2} -2 TIMES 2 TIMES 1 TIMES cos120 DEG =7]

[eqn: THEREFORE ``` bar{AB} = sqrt {7}]

따라서, [eqn: A`]를 한 점으로 하고 두 변의 길이가 [eqn: 1,```2]인

평행사변형을 찾아 [eqn: A`]와 중심거리가 [eqn: SQRT { 7}]인 원자를

찾으면 된다.

따라서, 모두 [eqn: 12]개이다.

[3점][2002학년도 수능]

①　[eqn: 4]	②　[eqn: 6]	③　[eqn: 8]

④　[eqn: 12]	⑤　[eqn: 16]

직선거리가 [eqn: 500rmm]인 [eqn: rmA]지점과 [eqn: rmB]지점을 연결하는

도로를 건설하려고 했지만, 경사도가 [eqn: 37 DEG]여서 우회도

로가 필요하였다. 그래서 그림과 같이 [eqn: 12 DEG]의 경사도를

유지하는 도로를 건설하기로 결정하였다. [eqn: rmA]지점에서

[eqn: rmB]지점까지 이 우회도로의 거리는 약 몇 m인가?

정답 ④

[eqn: rm△ABH`]에서 [eqn: rm bar{BH} =500 TIMES sin37 DEG =500 TIMES 0.6=300](m)

[eqn: rm△BCG`]에서 [eqn: bar{rmBC} =a]라 하면 [eqn: bar{rmBG} =a`sin12 DEG =0.2a]

[eqn: rm△ACD`]에서 [eqn: bar{rmAC} =b]라 하면 [eqn: bar{rmCD} =b`sin12 DEG =0.2b]

이 때, [eqn: rm bar{GH} = bar{CD}]이므로 [eqn: rm bar{BH} = bar{BG} + bar{GH} = bar{BG} + bar{CD}]

[eqn: THEREFORE ```300=0.2a+0.2b] 즉, [eqn: a+b=1500]

따라서, 구하는 우회도로의 길이

즉, [eqn: rm bar{BC} + bar{CA} =1500](m)

(단, [eqn: sin12 DEG =0.2,````sin37 DEG =0.6]으로 계산한다.)

[3점][2002학년도 수능]

①　[eqn: 800rmm]	②　[eqn: 1000rmm]	③　[eqn: 1200rmm]

④　[eqn: 1500rmm]	⑤　[eqn: 1800rmm]

중심도시에서 상품을 구매하는 주변도시의 전체

구매량은 다음과 같은 법칙을 따른다고 하자.

“각 주변도시 [eqn: rmB,```C]의 시민들이 중심도시 [eqn: rmA]시에서

상품을 구매할 때, 각 도시의 전체 구매량은 그 도시의

인구수에 비례하고 [eqn: rmA]시와의 거리의 제곱에 반비례한

다.”

위 법칙과 아래 표에 의거하여 신도시 [eqn: rmC]시를 건설하려

고 한다.

구분 도시	인구 (단위：명)	[eqn: rmA]시로부터의 거리 (단위：[eqn: rmkm])
[eqn: rmB]시	[eqn: 500000]	[eqn: 20]
[eqn: rmC]시	[eqn: x]	[eqn: 10]

[eqn: rmA]시에서 구매하는 [eqn: rmC]시의 전체의 구매량이 [eqn: rmB]시의

전체 구매량의 절반이 되게 하려면 [eqn: rmC]시의 인구 [eqn: x`]를

얼마로 예상해야 하는가?

정답 ③

어떤 도시의 전체 구매량을 [eqn: p], 인구를 [eqn: a],

[eqn: rmA]시로부터의 거리를 [eqn: b]라고 하면

[eqn: p= {ak} over {b^2 }] ([eqn: k`]는 일정한 상수) …㉠

㉠을 이용하여

[eqn: rmB`]시의 전체구매량을 구하면 [eqn: { 500000k} over { 20^2}]

[eqn: rmC`]시의 전체구매량을 구하면 [eqn: {kx} over {10^2}]

[eqn: rmC`]시의 전체구매량은 [eqn: rmB]의 전체구매량의 [eqn: {1} OVER {2}]이므로

[eqn: {kx} over {10^2} ={1} over {2} × {500000k} over {20^2}]

[eqn: THEREFORE ```x`=`62500]

[3점][2002학년도 수능]

①　[eqn: 42500]	②　[eqn: 52500]	③　[eqn: 62500]

④　[eqn: 72500]	⑤　[eqn: 82500]

주관식 문항(25～30)

행렬 [eqn: A= {pmatrix{0&&1#1&&0}}]에 대하여 [eqn: {1} over {2002} sum _{n=1} ^{2002} A ^{n} = {pmatrix{a&&b#c&&d}}]

일 때, [eqn: a+b+c+d]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 2]

행렬 [eqn: A= {pmatrix{0&&1#1&&0}}]에 대하여,

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{0&&1#1&&0}} {pmatrix{0&&1#1&&0}} = {pmatrix{1&&0#0&&1}}]

[eqn: A ^{3} =A ^{2} A= {pmatrix{1&&0#0&&1}} {pmatrix{0&&1#1&&0}} = {pmatrix{0&&1#1&&0}} =A]

즉, [eqn: A ^{2n} =E,```A ^{2n-1} =A]이므로,

[eqn: sum_n=1^2002 A^n = A + A^2 +A^3 + ~cdots + A^2002]

[eqn: = A + E +A + ~cdots + E]

[eqn: =1001 A + 1001 E]

[eqn: =1001 {pmatrix{0&&1#1&&0}} +1001 {pmatrix{1&&0#0&&1}} =1001 {pmatrix{1&&1#1&&1}}]

따라서,

[eqn: {1} over {2002} sum _{n=1} ^{2002} A ^{n} = {1} over {2002} CDOT 1001 {pmatrix{1&&1#1&&1}} = {1} over {2} {pmatrix{1&&1#1&&1}} = {pmatrix{a&&b#c&&d}}]

따라서, [eqn: a + b + c + d = 2]이다.

[3점][2002학년도 수능]

함수 [eqn: f`(x)= lim from { n -> INF } { { x}^{ 2n+4}+2x } over { { x}^{2n }+1 }]일 때, [eqn: f` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) +f`(2)]

의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 17]

(i) [eqn: LEFT | `x` RIGHT | <1]일 때, [eqn: f(x) = lim_n->inf {x^2n+4 + 2x} over {x^2n + 1} = 2x]

(ii) [eqn: LEFT | `x` RIGHT | >1]일 때,

[eqn: f(x) = lim_n->inf {x^4 + 2 over x^2n-1} over {1 + 1 over x^2n }][eqn: = {x^4 +0} over {1 + 0 } = x^4]

따라서, [eqn: f left( 1 over 2 right) + f(2) =][eqn: 1 + 16 = 17]

[2점][2002학년도 수능]

[eqn: U= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT }]일 때, [eqn: LEFT { 2,```3 RIGHT } SMALLINTER A != EMPTYSET]를 만족

시키는 [eqn: U]의 부분집합 [eqn: A]의 개수를 구하시오.

정답 [eqn: 24]

[eqn: LEFT { 2,```3 RIGHT } SMALLINTER A != EMPTYSET]이므로

집합 [eqn: A]는 [eqn: 2,```3] 중 적어도 하나는 원소로 가져야 한다.

이 때, [eqn: 2,```3]을 원소로 갖지 않는 집합 [eqn: U]의 부분집합의

개수는 [eqn: 2^5-2 = 2^3 =8](개)이다.

따라서, 구하는 집합 [eqn: A]의 개수는

[eqn: 2^5 -8 =32- 8= 24](개)

[3점][2002학년도 수능]

다음 방정식의 모든 해의 곱을 구하시오.

정답 [eqn: 16]

[eqn: (log_2 x)^3 +3log_2 x=4(log_2 x)^2 +log_2 x]

[eqn: log_2 x` =t`]로 치환하면 [eqn: t^3 +3t `=4t^2 +t`]

[eqn: t^3 -4t^2 +2t`=0], [eqn: t`(t^2 -4t +2)=0]

[eqn: THEREFORE ```t`=0,```t ^{2} -4t`+2=0]

(ⅰ) [eqn: t=0]일 경우

[eqn: log_2 x=0]  [eqn: THEREFORE ```x=1]

(ⅱ) [eqn: t^2 -4t+2=0]일 경우

[eqn: (log_2 x)^2 -4log_2 x`+2=0]

위 식을 만족하는 [eqn: x]의 값을 [eqn: alpha ,``` beta]라 하면

[eqn: log_2 alpha` +log_2 beta`=4], [eqn: log_2 alpha` beta` =4]

[eqn: THEREFORE ```alpha beta =2 ^{4} =16]

(i), (ii)에서 구하는 해의 곱은 [eqn: 1 TIMES 16=16]

[2점][2002학년도 수능]

[eqn: {(log}_{2 }x )^{3 }+ log_2 { x}^{3 }=][eqn: 4 (log_2 `x) ^{2 } + log_2 `x]

어떤 행사에서 [eqn: 20]종류의 스티커를 모으면 경품을

받을 수 있다고 한다. 갑은 네 종류, 을과 병은 각각

다섯 종류의 스티커를 모았다. 두 사람씩 비교하였을

때 각각 세 종류의 스티커가 공통으로 있었고, 세 사람

을 함께 비교하였을 때는 두 종류의 스티커가 공통으로

있었다. 갑, 을, 병의 스티커를 모아서 경품을 받으려고

할 때, 최소로 더 필요한 스티커의 종류의 수를 구하시

오.

정답 [eqn: 13]

모아야 할 [eqn: 20]종류의 스티커의 집합을 [eqn: U]라 하고,

갑, 을, 병이 모은 스티커의 종류의 집합을

[eqn: A,~B,~C`]라 하면

[eqn: n(U)=20,```n(A)=4,```n(B)=5,```n(C)=5]

[eqn: n(A∩B) =n(B∩C) =n(C∩A)=3]

[eqn: n(A∩B∩C) =2]

[eqn: THEREFORE ```n(A CUP B CUP C)=n(A)+n(B)+n(C)]

[eqn: -n(A∩B) -n(B∩C) -n(C∩A)]

[eqn: + n(A∩B∩C)]

[eqn: =4+5+5-3-3-3+2=7]

따라서, 더 모아야 할 스티커의 수는 [eqn: 20-7= 13](개)

[3점][2002학년도 수능]

어떤 상품의 가격은 매달 [eqn: 0.5]의 확률로 [eqn: 10%]상승

하거나 [eqn: 0.5]의 확률로 [eqn: 10%] 하락한다. 이 상품의 현재

가격은 [eqn: 500]원이다. 두 달 후, 이 상품의 가격이 [eqn: 500]원

이하이면 [eqn: 500]원에서 두 달 후 상품 가격을 뺀 금액을

받고, [eqn: 500]원 이상이면 받지 않기로 하였다.

두 달 후 받을 수 있는 금액의 기대값을 소수점 아래

둘째 자리까지 구하시오.

정답 [eqn: 26.25]

한 달 후의 가격이 [eqn: 550]원일 확률은 [eqn: 0.5]이다.

계속해서 다음달에 [eqn: 605]원이 될 확률이 [eqn: 0.5]이므로,

결국 현재 [eqn: 500]원인 상품이 두 달 후에 [eqn: 605]원이 될

확률은 [eqn: 0.5×0.5 = 0.25]이다.

나머지 가격도 같은 방법으로 계산하면,

두 달 후의 가격에 대한 확률은 다음 표와 같다.

가격	[eqn: 605]	[eqn: 495]	[eqn: 405]
확률	[eqn: 0.25]	[eqn: 0.5]	[eqn: 0.25]

따라서, 두 달 후 받을 수 있는 금액의 기댓값은

[eqn: 0×0.25 + 5×0.5 + 95×0.25 = 26.25]

(단, 첫 번째 달의 가격변동과 두 번째 달의 가격변동

은 서로 독립이다.)

[3점][2002학년도 수능]

정답과 해설