	2010학년도 공군사관학교 1차 선발시험 문제지
제 3 교시					수리 영역
자 연																1
			성명				수험번호
◦먼저 문제지에 성명과 수험 번호를 기입하시오. ◦답안지에 성명과 수험 번호를 정확하게 표기하시오. ◦주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하며 [eqn: 0``]이 포함된 경우에는 [eqn: 0``]을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오. (각 물음의 끝에 표시된 배점을 참조하시오.)

자 연		수 리 영 역

			수 리 영 역		자 연

[eqn: left( root {3} of {-16} `+` root {3} of {250} `right) ^{`3} ``]의 값은? [2점]

① [eqn: 48`]	② [eqn: 54`]　	③ [eqn: 72`]

④ [eqn: 96`]　	⑤ [eqn: 108`]

[eqn: lim _{x -> 2}`` {LEFT. {{sqrt {6-x}_{} `-2} over {{sqrt {3-x}}^{`} -1}`]의 값은? [2점]

① [eqn: { 1 over 3}`]	② [eqn: {1 over 2}`]	③ [eqn: { 2 over 3}`]

④ [eqn: { 3 over 2}`]	⑤  [eqn: 2`]

점 [eqn: {rmA}(-2,``4`)`]에서 포물선 [eqn: y^2 =4x`]에 그은 두 접선의 기울기의 곱은? [2점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: y^2 =4x]

•

[eqn: {rm A}(-2,``4)]

① [eqn: - 1 over 4 ``]	② [eqn: - 3 over 8 ``]	③ [eqn: - 1 over 2 ``]

④ [eqn: - 5 over 8``]	⑤ [eqn: - 3 over 4`]

한 변의 길이가 [eqn: 8`]인 정사각형 [eqn: \ABCD`]에서 그림과 같이 변 [eqn: \AB`]를 [eqn: 3```:``1`]로 내분하는 점을 [eqn: \E`],

변 [eqn: \CD`]를 [eqn: 3```:``1`]로 내분하는 점을 [eqn: \F`]라 하자. 변 [eqn: \BC`] 위의 양 끝점이 아닌 점 [eqn: \P`]에 대하여

두 직각삼각형 [eqn: \EBP`], [eqn: \PCF`]의 둘레의 길이의 합이 [eqn: 28`]일 때, [eqn: 10`{bar{\BP}}`]의 값은? [3점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm P]

[eqn: rm F]

[eqn: 8]

① [eqn: 45``]	② [eqn: 48``]	③ [eqn: 51``]

④ [eqn: 53``]	⑤ [eqn: 55``]

다음은 [eqn: r`]가 자연수일 때 [eqn: n>=r`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 등식

[eqn: sum _{ i=r} ^{n }`` `_i `{rmC}`_r = `_n+1 `{rmC}`_r+1`]

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명하는 과정이다.

[증명]

(1) [eqn: n=r`]일 때

(좌변)[eqn: =`_r {rmC}`_r`=`]

(가)

, (우변)[eqn: =`_r+1 {rmC}`_r+1 `=`]

(가)

이므로 주어진 등식이 성립한다.

(2) [eqn: n=k`] ([eqn: k >=r`])일 때 주어진 등식이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum _{ i=r} ^{k }`` `_i `{rmC}`_r = `_k+1 `{rmC}`_r+1`]이다.

[eqn: n=k+1`]일 때 성립함을 보이자.

[eqn: sum _{ i=r} ^{k+1 }`` `_i `{rmC}`_r `] [eqn: =`][eqn: `_k+1 `{rmC}`_r+1`+`]

(나)

[eqn: =`]

(다)

[eqn: +`{(k+1)!} over {(k+1-r)!``r`!}`] [eqn: = {(k+2)!} over {(k+1-r)!`(r+1)!}`]

[eqn: =``_k+2 `{rmC}`_r+1`]

따라서 [eqn: n=k+1`]일 때 주어진 등식이 성립한다.

(1), (2)에 의하여 [eqn: n>=r`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 1`]	[eqn: `_k+1 `{rmC}`_r`]	[eqn: `{(k+1)!} over {(k-r)!``(r+1)!}`]
②	[eqn: 1`]	[eqn: `_k+1 `{rmC}`_r`]	[eqn: `{(k+1)!} over {(k+1-r)!``r`!}`]
③	[eqn: 1`]	[eqn: `_k+1 `{rmC}`_r+1`]	[eqn: `{(k+1)!} over {(k-r)!``(r+1)!}`]
④	[eqn: r`]	[eqn: `_k+1 `{rmC}`_r+1`]	[eqn: `{(k+1)!} over {(k+1-r)!``r`!}`]
⑤	[eqn: r`]	[eqn: `_k+1 `{rmC}`_r`]	[eqn: `{(k+1)!} over {(k+1-r)!``r`!}`]

좌표평면에서 그림과 같이 직선 [eqn: x=2`] 위를 움직이는 점 [eqn: rm A`]에 대하여 선분 [eqn: rmOA`]가 원 [eqn: x^2 +y^2 =1`]과 만나는 점을 [eqn: rm B`]라 하자. 평면 위의 점 [eqn: rm P`]가 다음 조건을 모두 만족시키며 움직이면 점 [eqn: rm P`]가 나타내는 도형은 어떤 쌍곡선의 일부가 된다.

[eqn: 1]

[eqn: x=2]

[eqn: x]

[eqn: y]

•

•

•

[eqn: rm O]

[eqn: rm B]

[eqn: rm A]

[eqn: rm P]

[eqn: 2]

[eqn: x^2 + y^2 =1]

(가) [eqn: rm bar AP `=` 2`bar AB`]

(나) 직선 [eqn: rm AP`]는 직선 [eqn: x=2`]와 수직이다.

(다) 점 [eqn: rm P`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 2`]보다 크다.

이때, 이 쌍곡선의 점근선 중 기울기가 양수인 점근선의 방정식은? (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.) [3점]

① [eqn: y= 1 over 3 x]	② [eqn: y= sqrt2 over 3 x]	③ [eqn: y= sqrt3 over 3 x]

④ [eqn: y= 1 over 2 x]	⑤ [eqn: y= sqrt2 over 2 x]

두 수열 [eqn: LEFT { `a_{`n}` RIGHT } `], [eqn: LEFT { `b_{`n}` RIGHT } `]을 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a_n =`log`_{`2}`(`n`!`)]

[eqn: b_n ```=`a_n+1 -`a_n`]

으로 정의할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

ㄱ. [eqn: b_{`15}`=`4``]

ㄴ. [eqn: 9``<`sum _{ k=1} ^{5 }``b_{`k}`<`10`]

ㄷ. [eqn: n``]이 짝수일 때 [eqn: b_{`n}``]의 값은 무리수이다.

<보  기>

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

어느 보안 전문회사에서 바이러스 감염 여부를 진단하는 프로그램을 개발하였다. 그 진단 프로그램은 바이러스에 감염된 컴퓨터를 감염되었다고 진단할 확률이 [eqn: 94``]%이고, 바이러스에 감염되지 않은 컴퓨터를 감염되지 않았다고 진단할 확률이 [eqn: 98``]%이다. 실제로 바이러스에 감염된 컴퓨터 [eqn: 200`]대와 바이러스에 감염되지 않은 컴퓨터 [eqn: 300`]대에 대해 이 진단 프로그램으로 바이러스 감염 여부를 검사하려고 한다. 이 [eqn: 500`]대의 컴퓨터 중 임의로 한 대를 택하여 이 진단 프로그램으로 감염 여부를 검사하였더니 바이러스에 감염되었다고 진단하였을 때, 이 컴퓨터가 실제로 감염된 컴퓨터일 확률은? [3점]

① [eqn: {94 over 97}`]	② [eqn: {92 over 97}`]	③ [eqn: {90 over 97}`]

④ [eqn: {47 over 49}`]	⑤ [eqn: {47 over 50}`]

다음은 어느 보석 상점에서 판매하는 다이아몬드 가격표의 일부이다.

무게(캐럿)	가격(만원)
[eqn: 0.3]	[eqn: 70]
[eqn: 0.6]	[eqn: 210]

이 상점에서 판매하는 다이아몬드의 무게가 [eqn: x]캐럿일 때, 그 가격 [eqn: f(x)]만원은

[eqn: f(x) = a (b^x -1 )] (단, [eqn: a>0`], [eqn: b>1`]인 상수)

로 주어진다고 한다. 이때, 이 상점에서 판매하는 무게가 [eqn: 1.5`]캐럿인 다이아몬드의 가격은? [3점]

① [eqn: 1875`]만원	② [eqn: 1965`]만원	③ [eqn: 1980`]만원

④ [eqn: 2170`]만원	⑤ [eqn: 2250`]만원

[eqn: 2009`]년 [eqn: 8`]월 초 판매 가격이 [eqn: 200`]만원인 노트북컴퓨터의 판매 가격은 매월 초 직전 달보다 [eqn: 1`]%씩 계속 인하된다고 하자. 어느 은행에 [eqn: 2009`]년 [eqn: 8`]월 초부터 [eqn: 2010`]년 [eqn: 7`]월 초까지 매월 초마다 일정한 금액을 적립하여, [eqn: 12`]개월 후인 [eqn: 2010`]년 [eqn: 8`]월 초에 원금과 이자를 모두 찾아 바로 노트북컴퓨터를 구입하기로 하였다. 이 은행은 월이율이 [eqn: 1`]%이고 매월마다 복리로 계산한다고 할 때, 매월 초에 적립해야 할 최소금액은? (단, [eqn: 0.99^12 =0.89`], [eqn: 1.01^12 =1.13`]으로 계산하고 천원 단위에서 반올림하며, 세금은 고려하지 않는다.) [3점]

① [eqn: 11`]만원	② [eqn: 12`]만원	③ [eqn: 13`]만원

④ [eqn: 14`]만원	⑤ [eqn: 15`]만원

임의의 실수 [eqn: x``]에 대하여

[eqn: x`=`n`+`alpha`] ([eqn: n`]은 정수, [eqn: 0`<=`alpha`<`1`])

일 때, [eqn: n`]을 [eqn: x`]의 정수부분, [eqn: alpha`]를 [eqn: x`]의 소수부분이라 하자.

[eqn: 10`<`a`<`b`<`50`]인 두 자연수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: log_{``2}``a`]의 소수부분과 [eqn: log_{``2}``b`]의 소수부분이 같을 때 순서쌍 [eqn: (`a`,``b`)`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 15`]	② [eqn: 16``]	③ [eqn: 17`]

④ [eqn: 18`]	⑤ [eqn: 19`]

파장이 [eqn: lambda `]이고 강도가 [eqn: I_{`0}``]인 광선이 어떤 용액을 통과하면 이 용액에 광선이 흡수되어 입사광의 강도가 감소된다. 광선이 농도가 [eqn: c`]인 용액을 통과한 거리가 [eqn: d`]일 때의 광선의 강도를 [eqn: I```]라 하면

[eqn: I```]와 입사광의 강도 [eqn: I_{`0}``]사이에는

[eqn: I_{`}``=`I_{`0}`times`10^{- a`c`d}``],  [eqn: a`=`{4pi`k}over{ lambda}``] (단, [eqn: k`]는 소멸계수)

인 관계가 성립하고, 이 용액의 흡광도 [eqn: A`]를

[eqn: A`=`log``{I_{0}}`-`log``{I}```]

로 정의한다.

파장이 [eqn: lambda _{`1}`]인 광선이 농도가 [eqn: 0`]이 아닌 어떤 용액을 통과한 거리가 [eqn: d_{`1}`]일 때의 흡광도를 [eqn: A_{1}`], 파장이 [eqn: 2`lambda _{`1}``]인 광선이 동일한 농도의 이 용액을 통과한 거리가 [eqn: 4`d_{1}`]일 때의 흡광도를 [eqn: A_{2}``]라 하자.

이때, 소멸계수 [eqn: k`]가 일정하다고 할 때 [eqn: {A_{2}}over{A_{1}}`]의 값은? (단, [eqn: lambda _{`1} `d_{`1} ` != `0`]이다.) [3점]

①  [eqn: 8``]	②  [eqn: 2``]	③ [eqn: 1``]

④ [eqn: {1}over{2}``]	⑤ [eqn: {1}over{8}``]

폐구간 [eqn: [`0`,``1`]`]에서 [eqn: 0``<``f`(`x`)``<``1`]를 만족시키는 다항함수 [eqn: f`(`x`)`]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

ㄱ. [eqn: f`(`a`)``=``a`]인 실수 [eqn: a`]가 개구간 [eqn: (`0`,``1`)`]에 적어도 하나 존재한다.

ㄴ. [eqn: f`'`(`b`)``<``1`]인 실수 [eqn: b`]가 개구간 [eqn: (`0`,``1`)`]에 적어도 하나 존재한다.

ㄷ. 개구간 [eqn: (`0`,``1`)`]의 모든 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{x} {} f`(`t`)`dt```<```x`] 이다.

<보  기>

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 서로 다른 두 점에서 만나는 두 곡선 [eqn: y`=`x^{2}`]과 [eqn: y`=`ax^{2}`+`bx`+`c`]에 대하여

[eqn: d`=`b^{2}`-`4`c`(a`-`1)`]이라 하고, 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S``]라 할 때

[eqn: S``=`{d`root{d}}over{6`(a`-`1)^{2}}`]

임을 증명하는 과정이다. (단, [eqn: a ne 0`]이고 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]는 실수)

[증명]

두 곡선 [eqn: y`=`x^{2}``]과 [eqn: y`=`ax^{2}`+`bx`+`c``]가 서로 다른 두 점에서 만나므로

이차방정식 [eqn: (a`-`1)x^{2}`+`bx`+`c`=`0``]은 서로 다른 두 실근 [eqn: alpha`,``beta``][eqn: (alpha`<`beta)``]를 갖는다.

따라서 [eqn: a`!=`1``], [eqn: d`>`0``]이고

[eqn: beta`-`alpha`=`]

(가)

………㉠

그런데 [eqn: int _{alpha } ^{beta} {}LEFT{`(a`-`1)x^{2}`+`b`x`+`c` right}``dx`]

[eqn: =`][eqn: left(`]

(나)

[eqn: left)`][eqn: ` int _{ alpha} ^{beta } { }(x`-`alpha)(x`-`beta)``dx``]

[eqn: =`]

(다)

………㉡

따라서 ㉠과 ㉡에 의해 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이 [eqn: S``]는

[eqn: S``][eqn: =`]

	(다)

[eqn: =`{d`root{d}}over{6`(a`-`1)^{2}}`]

위 증명에서 (가), (나), (다)에 들어갈 식으로 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: {root{d}}over{|`a`-`1`|}``]	[eqn: 1`-`a`]	[eqn: {1`-`a}over{6}`(beta`-`alpha)^{3}``]
②	[eqn: {root{d}}over{|`a`-`1`|}``]	[eqn: a`-`1`]	[eqn: {a`-`1}over{6}`(beta`-`alpha)^{3}``]
③	[eqn: {root{d}}over{a`-`1}``]	[eqn: 1`-`a``]	[eqn: {a`-`1}over{6}`(beta`-`alpha)^{3}``]
④	[eqn: {root{d}}over{|`a`-`1`|}``]	[eqn: a`-`1``]	[eqn: {1`-`a}over{6}`(beta`-`alpha)^{3}``]
⑤	[eqn: {root{d}}over{a`-`1`}``]	[eqn: a`-`1``]	[eqn: {1`-`a}over{6}`(beta`-`alpha)^{3}``]

[eqn: x`], [eqn: y`]에 대한 연립방정식 [eqn: cases{`a`x`+`b`y`=`p_{`}^{`}#`c`x`+`d`y`=`q_{`}^{`}}```]에서 행렬 [eqn: A`], [eqn: B``]를 [eqn: A= pmatrix{``{a}``&``{b}``#``{c}``&``{d}``}`], [eqn: B= pmatrix{``{a}``&``{p}``#``{c}``&``{q}``}`]라 하자.

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a,``b,``c,``d,``p,``q`]는 모두 [eqn: 0`]이 아닌 상수) [3점]

ㄱ. [eqn: A`]의 역행렬이 존재하면 연립방정식은 오직 한 쌍의 해를 갖는다.

ㄴ. [eqn: A`], [eqn: B`]의 역행렬이 모두 존재하지 않으면 연립방정식의 해는 무수히 많다.

ㄷ. [eqn: A`]의 역행렬이 존재할 때, 실수 [eqn: k_1`], [eqn: k_2`]에 대하여

[eqn: k_1 pmatrix{``{a}``#``{c}``}` + k_2 pmatrix{``{b}``#``{d}``}` = pmatrix{``{0}``#``{0}``}`]이면 [eqn: k_1 =`k_2 =0`]이다.

<보  기>

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

좌표평면 위에 네 점 [eqn: rm O(0,``0)`], [eqn: rm A(1,``0)`], [eqn: rm B(1,``1)`], [eqn: rm C(0,``1)`]을 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rm OABC`]가 있다. 곡선 [eqn: y=x^4 `]과 직선 [eqn: y=k`] ([eqn: 0<k<1`])에 의해 정사각형 [eqn: rm OABC`]를 네 영역으로 나눌 때, 그림과 같이 네 영역의 넓이를 각각 [eqn: S_1`], [eqn: S_2`], [eqn: S_3`], [eqn: S_4`]라 하자. 이때, [eqn: |``S_1 - S_3 ``|+|``S_2 - S_4 ``|`]의 최솟값은?

[4점]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A(1,``0)]

[eqn: rm B(1,``1)]

[eqn: rm C(0,``1)]

[eqn: y=k]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=x^4]

[eqn: S_1]

[eqn: S_2]

[eqn: S_3]

[eqn: S_4]

① [eqn: 2 over 5]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 3 over 5]

④ [eqn: 2 over 3]	⑤ [eqn: 3 over 4]

좌표공간에서 두 점 [eqn: {rmA}(4,``0,``0`)`], [eqn: {rmB}(-4,``0,``0`)`]과 움직이는 점 [eqn: rmP`]에 대하여 [eqn: vec {rmOA} = vec a `], [eqn: vec {rmOB} = vec b `], [eqn: vec {rmOP} = vec p `]라 할 때, 다음 조건을 모두 만족시키는 점 [eqn: rmP`]가 나타내는 도형의 길이는? (단, [eqn: rmO`]는 원점이다.) [4점]

(가) [eqn: ( ``vec p `-` vec a ``) cdot(`` vec p `-` vec b ``)`=`0`]

(나) [eqn: (``vec p `-` vec a ``) cdot (``vec p `-` vec a ``) `=16`]

① [eqn: 2root2``pi``]	② [eqn: 2root3``pi``]	③ [eqn: 4``pi``]

④ [eqn: 4root2`` pi``]	⑤ [eqn: 4root3``pi``]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=x^2`] 위의 점 [eqn: {rm P}`(`2a`, ``4a^2 `)`]에서의 접선 [eqn: l`]이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm A`]라 하고, 점 [eqn: rm A`]를 지나고 접선 [eqn: l`]에 수직인 직선이 [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: rm B`]라 하자. 삼각형 [eqn: rm OAB`]에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r(a)`]라 할 때, [eqn: lim from a->inf ``r(a)]의 값은? (단, [eqn: a >0`], [eqn: rm O`]는 원점이다.) [4점]

[eqn: rm O]

[eqn: {rm P}(2a, ``4a^2 )]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: x]

[eqn: y]

•

[eqn: y=x^2]

[eqn: l]

① [eqn: {{root{3`} over 6}]	② [eqn: {root{2`}} over 4}]	③ [eqn: 1 over 8]

④   [eqn: 1 over 6`]	⑤  [eqn: 3 over 16]

[그림[eqn: 1]]과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]의 네 꼭짓점에서 반지름의 길이가 [eqn: rm bar {A_1 B_1}]인 사분원을 그리고, 정사각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]의 내부에서 각 사분원끼리 만나는 점을 각각 [eqn: rm A_2], [eqn: rm B_2], [eqn: rm C_2], [eqn: rm D_2]라 하자. 또 [그림[eqn: 2]]와 같이 정사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]의 네 꼭짓점에서 반지름의 길이가 [eqn: rm bar {A_2 B_2}]인 사분원을 그리고, 정사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]의 내부에서 각 사분원끼리 만나는 점을 각각 [eqn: rm A_3], [eqn: rm B_3], [eqn: rm C_3], [eqn: rm D_3]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 정사각형 [eqn: {rm A}_n {rm B}_n {rm C}_n {rm D}_n]의 네 꼭짓점에서 반지름의 길이가 [eqn: bar{{rm A}_n {rm B}_n}]인 사분원을 그리고, 정사각형 [eqn: {rm A}_n {rm B}_n {rm C}_n {rm D}_n]의 내부에서 각 사분원끼리 만나는 점을 각각 [eqn: {rm A}_n+1], [eqn: {rm B}_n+1], [eqn: {rm C}_n+1], [eqn: {rm D}_n+1]이라 하자. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 정사각형 [eqn: {rm A}_n {rm B}_n {rm C}_n {rm D}_n]의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum from n=1 to inf S_n]의 값은? [4점]

[그림[eqn: 1`]]                   [그림[eqn: 2`]]

[eqn: rm A_1]

[eqn: rm A_2]

[eqn: rm C_1]

[eqn: rm D_1]

[eqn: rm B_1]

[eqn: rm B_2]

[eqn: rm C_2]

[eqn: rm D_2]

[eqn: cdots]

[eqn: rm A_1]

[eqn: rm B_1]

[eqn: rm C_1]

[eqn: rm D_1]

[eqn: rm A_2]

[eqn: rm B_2]

[eqn: rm C_2]

[eqn: rm D_2]

[eqn: rm A_1]

[eqn: rm B_1]

[eqn: rm C_1]

[eqn: rm D_1]

[eqn: rm A_2]

[eqn: rm B_2]

[eqn: rm C_2]

[eqn: rm D_2]

[eqn: rm A_3]

[eqn: rm B_3]

[eqn: rm C_3]

[eqn: rm D_3]

[eqn: 1]

[eqn: rm A_3]

[eqn: rm B_3]

[eqn: rm C_3]

[eqn: rm D_3]

① [eqn: {1+sqrt3 } over 2]	② [eqn: {2+sqrt3 } over 2]	③ [eqn: {2+sqrt3} over 3]

④ [eqn: {2+2sqrt3} over 3]	⑤ [eqn: {1+3sqrt3} over 3]

좌표공간에서 세 점 [eqn: rm A(1,``0,``0)`], [eqn: rm B(0,``2,``0)`], [eqn: rm C(0,``0,``3)`]을 지나는 평면을 [eqn: alpha`]라 하자. 그림과 같이 평면 [eqn: alpha`]와 [eqn: xy`]평면의 이면각 중에서 예각인 것을 이등분하면서 선분 [eqn: rm AB`]를 포함하는 평면을 [eqn: beta`]라 할 때, 평면 [eqn: beta`]가 [eqn: z`]축과 만나는 점의 [eqn: z`]좌표는? [4점]

[eqn: z]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A(1,``0,``0)]

[eqn: rm B(0,``2,``0)]

[eqn: rm C(0,``0,``3)]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

① [eqn: 2 over 3]	② [eqn: 3 over 4]	③ [eqn: 8 over 9]

④ [eqn: 5 over 4]	⑤ [eqn: 4 over 3]

[표준정규분포표]
[eqn: z]	[eqn: {\P}`(0≦Z``≦z)]
[eqn: 0.25`]	[eqn: 0.10``]
[eqn: 0.50]	[eqn: 0.19``]
[eqn: 1.00`]	[eqn: 0.34``]
[eqn: 1.50`]	[eqn: 0.43``]

어느 자영업자의 하루 매출액은 평균이 [eqn: 30`]만원이고 표준편차가 [eqn: 4`]만원인 정규분포를 따른다고 한다. 이 자영업자는 하루 매출액이 [eqn: 31`]만원 이상일 때마다 [eqn: 1000`]원씩을 자선단체에 기부하고 [eqn: 31``]만원 미만일 때는 기부를 하지 않는다고 한다. 이와 같은 추세가 계속된다고 할 때, [eqn: 600`]일 동안 영업하여 기부할 총 금액이 [eqn: 222000`]원 이상이 될 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4점]

① [eqn: 0.69``]	② [eqn: 0.84`]	③ [eqn: 0.90`]

④ [eqn: 0.93``]	⑤ [eqn: 0.98``]

좌표공간에 네 점 [eqn: rm A(0,``1,``0)`], [eqn: rm B(1,``1,``0)`], [eqn: rm C(1,``0,``0)`], [eqn: rm D(0,``0,``1)`]이 있다. 그림과 같이 점 [eqn: rm P`]는 원점 [eqn: rm O`]에서 출발하여 사각형 [eqn: rm OABC`]의 둘레를 [eqn: rm O -> A->B->C->O->A->B ->cdots`]의 방향으로 움직이며, 점 [eqn: rm Q`]는 원점 [eqn: rm O`]에서 출발하여 삼각형 [eqn: rm OAD`]의 둘레를 [eqn: rm O->A->D->O->A->D->cdots`]의 방향으로 움직인다.

두 점 [eqn: rm P`], [eqn: rm Q`]가 원점 [eqn: rm O`]에서 동시에 출발하여 각각 매초 [eqn: 1`]의 일정한 속력으로 움직인다고 할 때,

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: z]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A(0,``1,``0)]

[eqn: rm B(1,``1,``0)]

[eqn: rm C(1,``0,``0)]

[eqn: rm D(0,``0,``1)]

∙

∙

[eqn: rm Q]

[eqn: rm P]

ㄱ. 두 점 [eqn: rm P`], [eqn: rm Q`]가 출발 후 원점에서 다시 만나는 경우는 없다.

ㄴ. 출발 후 [eqn: 4`]초가 되는 순간 두 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`] 사이의 거리는 [eqn: sqrt2 over 2`]이다.

ㄷ. 출발 후 [eqn: 2`]초가 되는 순간 두 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`] 사이의 거리는 [eqn: sqrt2`]이다.

<보  기>

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

최대공약수가 [eqn: 5`!`], 최소공배수가 [eqn: 13`!`]이 되는 두 자연수 [eqn: k], [eqn: n`] ( [eqn: k ``<=` n`] )의 순서쌍 [eqn: (`k,```n`)`]의 개수는? [4점]

① [eqn: 25]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 49]

다음 등식을 만족시키는 세 실수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]가 있다.

[eqn: left( 1 over 3 right)^a =2a`],         [eqn: left( 1 over 3 right)^2b =b`],         [eqn: left( 1 over 2 right)^2c =c`]

이때, 세 실수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은? [4점]

① [eqn: a<b<c]	② [eqn: a<c<b]	③ [eqn: b<a<c]

④ [eqn: b<c<a]	⑤ [eqn: c<a<b]

주관식 문항 (25 ～ 30)

다음 세 조건을 모두 만족시키는 두 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B``]가 있다.

(가) [eqn: A+B= pmatrix{`{2}`&`{6}``#`{x}`&`{`12}``}`]

(나) [eqn: A-B= pmatrix{``{~~6}``&``{~~y}``#``{`-2}``&``{`-4}``}`]

(다) [eqn: A^2 -B^2 = AB -BA`]

이때, 두 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]의 곱 [eqn: xy`]의 값을 구하시오. [3점]

다음 세 조건을 모두 만족시키는 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)`]가 있다.

(가) [eqn: -1<= x <= 1`]일 때, [eqn: f(x) = 3x^2`]

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(1-x)=f(1+x)`]

(다) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(-x)=f(x)`]

이때, [eqn: 0 < x <10`]에서 함수 [eqn: y= {bold{[}}`` f(x)^{`}_{`} bold{]}`]의 불연속점의 개수를 구하시오.

(단, [eqn: {bold{[}}`` x ``bold{]}`]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [3점]

[eqn: 5`]차다항식 [eqn: P`(`x`)`]에 대하여, [eqn: P`(`x`)`]를 [eqn: (`x`-`1`)^3`]으로 나누면 나머지가 [eqn: 8`]이고, [eqn: P`(`x`)`]를 [eqn: (`x`+`1`) ^{3} `]으로 나누면 나머지가 [eqn: -8`]일 때, [eqn: P`(`2`)`]의 값을 구하시오. [3점]

좌표평면 위에 그림과 같이 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 20`]이하의 자연수인 반원이 [eqn: 20`]개 있다. [eqn: 1 <= k <= 19`]인 모든 자연수 [eqn: k`]에 대하여 반지름의 길이가 [eqn: k`]인 반원과 반지름의 길이가 [eqn: k+1`]인 반원 사이의 영역을 [eqn: 2k+1`]등분한 다음, 각 부분에 시계 바늘이 도는 방향과 반대방향으로 자연수를 차례대로 나열하였다. 이때, 직선 [eqn: y=x`]와 맨 바깥쪽 영역이 만나는 어두운 부분에 들어간 수를 구하시오. (단, 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 반원의 내부에는 [eqn: bold{1}`]을 나열한다.)

[4점]

[eqn: 20]

[eqn: 19]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: cdots]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: bold 2]

[eqn: bold 3]

[eqn: bold 4]

[eqn: bold 5]

[eqn: bold 1]

[eqn: bold 6]

[eqn: bold 7]

[eqn: bold 8]

[eqn: bold 9]

[eqn: bold 10]

[eqn: bold 11]

[eqn: bold 12]

[eqn: bold 13]

[eqn: bold 14]

[eqn: bold 15]

[eqn: bold 16]

[eqn: cdots]

[eqn: cdots]

[eqn: y=x]

[eqn: rm O]

좌표평면 위에서 점 [eqn: rm P`]는 한 번의 이동으로 다음의 (규칙[eqn: 1`]) 또는 (규칙[eqn: 2`])를 따라 이동한다.

(규칙[eqn: 1`]) [eqn: x`]축의 양의 방향으로 [eqn: 1`]만큼, [eqn: y`]축의 양의 방향으로 [eqn: 2`]만큼 이동한다.

(규칙[eqn: 2`]) [eqn: x`]축의 양의 방향으로 [eqn: 2`]만큼, [eqn: y`]축의 양의 방향으로 [eqn: 1`]만큼 이동한다.

예를 들어, 원점 [eqn: rm O`]에 있는 점 [eqn: rm P`]가 두 번의 이동으로 도달할 수 있는 곳을 표시하면 그림과 같다.

점 [eqn: rm P`]가 (규칙[eqn: 1`])을 따라 이동할 확률은 [eqn: 1 over 3`]이고 (규칙[eqn: 2`])를 따라 이동할 확률은 [eqn: 2 over 3`]일 때, 위와 같은 규칙으로 점 [eqn: rm P`]가 원점 [eqn: rm O`]에서부터 다섯 번의 이동으로 점 [eqn: (8,``7)`]에 도달할 확률은 [eqn: q over p`]이다.

이때, 서로소인 두 자연수 [eqn: p`], [eqn: q`]의 합 [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, 매번 이동하는 사건은 서로 독립이다.) [4점]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 6]

[eqn: 7]

[eqn: 8]

[eqn: 9]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 6]

[eqn: 7]

[eqn: 8]

[eqn: 9]

•

•

•

구 [eqn: (x-3)^2 +(y-2)^2 +(z-3)^2 =27`]과 그 내부를 포함하는 입체를 [eqn: xy`]평면으로 잘라 구의 중심이 포함된 부분을 남기고 나머지 부분을 버린다. 남아있는 부분을 다시 [eqn: yz`]평면으로 잘라 구의 중심이 포함된 부분을 남기고 나머지 부분을 버린다. 이때, 마지막에 남아있는 부분에서 두 평면에 의해 잘린 단면의 넓이는 [eqn: a`pi + b`]이다. 두 자연수 [eqn: a`], [eqn: b`]의 합 [eqn: a`+ b`]의 값을 구하시오. [4점]