수학 영역

가형 정답

1	④	2	③	3	④	4	①	5	①
6	④	7	③	8	②	9	③	10	⑤
11	②	12	③	13	②	14	④	15	⑤
16	①	17	⑤	18	①	19	②	20	④
21	⑤	22	[eqn: 4]	23	[eqn: 18]	24	[eqn: 23]	25	[eqn: 16]
26	[eqn: 30]	27	[eqn: 9]	28	[eqn: 26`]	29	[eqn: 192]	30	[eqn: 9]

수학 영역

가형 해설

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: 2 TIMES LEFT ( 2 ^{{2} over {3}} RIGHT ) ^{3}][eqn: =2 TIMES 2 ^{2}][eqn: =8]

2. [출제의도] 집합의 연산 이해하기

[eqn: A CUP B= LEFT { `1,~3,~5,~7,~9` RIGHT } CUP LEFT { `3,~4,~5,~6` RIGHT }]

[eqn: = LEFT { `1,~3,~4,~5,~6,~7,~9` RIGHT }]

따라서 [eqn: n LEFT ( A`cup`B RIGHT ) =7]

3. [출제의도] 수열의 극한값 계산하기

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{4n} over {sqrt {n ^{2} +2}}}][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{{4n} over {n}} over {sqrt {{n ^{2}} over {n ^{2}} + {2} over {n ^{2}}}}}][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{4} over {sqrt {1+ {2} over {n ^{2}}}}}][eqn: =4]

4. [출제의도] 미분계수 계산하기

함수 [eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} -3x ^{2} `+4]에서

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} -6x]

따라서 [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =4-6=`-2]

5. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여

수열 추론하기

[eqn: a _{1} =2]이고 [eqn: a _{n+1} = {1} over {2} ` LEFT ( a _{n} RIGHT ) ^{2} +2`]이므로

[eqn: a _{2} =4], [eqn: a _{3} =10], [eqn: a _{4} =52]

6. [출제의도] 접선의 방정식 이해하기

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =2x-1`]이므로

[eqn: f` prime LEFT ( a RIGHT ) =2a-1=3], [eqn: a=2]

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =7`]이므로 [eqn: 6+b=7`], [eqn: b=1`]

따라서 [eqn: a+b=3]

7. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `1-} {f LEFT ( x RIGHT )} =1`], [eqn: lim _{x` -> `2+} {f LEFT ( x RIGHT )} =3]

따라서 [eqn: lim _{x` -> `1-} {f LEFT ( x RIGHT ) + lim _{x` -> `2+} {f LEFT ( x RIGHT )}} =4]

8. [출제의도] 명제와 조건 이해하기

조건 ‘모든 자연수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: x`>`k-5]이다.’가 참인 명제가 되려면 [eqn: k-5`<1], [eqn: k`<6`]이어야

하므로 자연수 [eqn: k`]는 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5]이다.

따라서 모든 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 15`]

9. [출제의도] 급수의 성질 이해하기

급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} - {7n} over {3n+2} RIGHT ) `]이 수렴하므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( a _{n} - {7n} over {3n+2} RIGHT )} =0`]이다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n}} = {7} over {3}]

따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{LEFT ( 3n+5 RIGHT ) `a _{n}} over {n+3}} =3 TIMES {7} over {3} =7`]

10. [출제의도] 무리함수의 성질 이해하기

정의역이 [eqn: LEFT { x□`x GEQ `-2 RIGHT }]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =`- sqrt {a LEFT ( x+2 RIGHT )} +3], [eqn: b=2a]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =`- sqrt {3a} +3=0`]

[eqn: root{3a}=3]

[eqn: a=3], [eqn: b=6`]

따라서 [eqn: ab=18]

11. [출제의도] 일대일 대응의 성질 이해하기

함수 [eqn: f(x)=2x+b`]가 일대일 대응이므로 치역과 공역이 같다.

직선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 기울기가 양수이므로

[eqn: f LEFT ( -3 RIGHT ) =`-6+b=`-a`][eqn: `CDOTS `㉠]

[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =10+b=a` CDOTS `㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에서 [eqn: a=8], [eqn: b=`-2]

따라서 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =68`]

12. [출제의도] 등비수열의 성질 이해하기

[eqn: 2 LEFT ( S _{`6} -S` _{4} RIGHT ) =3 LEFT ( a` _{6} -a` _{4} RIGHT )]

[eqn: 2 LEFT ( a _{6} +a _{5} RIGHT ) =3 LEFT ( a _{6} -a _{4} RIGHT )]

[eqn: 2 LEFT ( r ^{5} +r ^{4} RIGHT ) =3 LEFT ( r ^{5} -r ^{3} RIGHT )]

[eqn: 2r ^{4} LEFT ( r+1 RIGHT ) =3r ^{3} LEFT ( r+1 RIGHT ) LEFT ( r-1 RIGHT )]

[eqn: r>0`]이므로 [eqn: 2r=3 LEFT ( r-1 RIGHT )]

따라서 [eqn: r=3]

13. [출제의도] 정적분과 급수의 관계 이해하기

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {` sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( 1+ {2k} over {n} RIGHT ) {1} over {n ^{}}}][eqn: = {1} over {2} lim _{n` -> ` INF } {` sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( 1+ {3-1} over {n} k RIGHT ) {2} over {n}}]

[eqn: = {1} over {2} int _{1} ^{3} {`f(x)} `dx][eqn: = {1} over {2} int _{1} ^{3} {(3x ^{2} +2)} dx]

[eqn: = {1} over {2} LEFT [ x ^{3} +2x ^{} RIGHT ] _{1} ^{3}][eqn: = {1} over {2} times LEFT ( 33-3 RIGHT ) =15`]

14. [출제의도] 로그의 성질을 활용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: log _{`} `a], [eqn: log _{`} `b], [eqn: log _{`} `c`]가 이 순서대로 등차수열을 이루므로

[eqn: 2`log`b=log`a+log`c]

[eqn: log`b ^{2} =log`ac`], [eqn: b ^{2} =ac`]

[eqn: log`abc=log`b ^{3} =15]이므로 [eqn: log`b=5]이다.

[eqn: log`a+log`b+log`c=15`]를 만족시키고
공차가 자연수인 등차수열 [eqn: log`a], [eqn: log`b], [eqn: log`c]의
순서쌍 [eqn: LEFT ( `log`a`,```log`b`,```log`c`` RIGHT )]는
[eqn: LEFT ( 4,``5,``6 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 3,``5,``7 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,``5,``8 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,``5,``9 RIGHT )]이다.

[eqn: log` {ac ^{2}} over {b} =log _{`} {ac} over {b} `+`log`c`]

[eqn: =log`b+log`c=5+log`c`]

따라서 [eqn: log _{} `c=9] 일 때,

[eqn: log` {ac ^{2}} over {b} `]의 최댓값은 [eqn: 5+9=14]

15. [출제의도] 적분과 미분의 관계를 활용하여 수학 내적 문제 해결하기

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = int _{2} ^{x} {LEFT ( t-2 RIGHT ) f` prime } LEFT ( t RIGHT ) dt`]이므로

[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) f` prime LEFT ( x RIGHT )]

함수 [eqn: g(x)`]가 [eqn: x=0`]에서만 극값을 가지므로 상수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) TIMES ax LEFT ( x-2 RIGHT ) `]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =ax LEFT ( x-2 RIGHT ) `]이고

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 최고차항이 [eqn: x ^{3} `]이므로 [eqn: a=3`]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x(x-2)]

따라서 [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = int _{2} ^{0} {3t LEFT ( t-2 RIGHT ) ^{2} dt}]
[eqn: = LEFT [ {3} over {4} t ^{4} -4t ^{3} +6t ^{2} RIGHT ] _{2} ^{0} =`-4`]

16. [출제의도] 함수의 극한에 대한 성질을 활용하여 수학 내적 문제 해결하기

점 [eqn: rm B LEFT ( it ` {1} over {t} ,``t` RIGHT )], 점 [eqn: rm C LEFT ( it `t ^{2} ,``t` RIGHT ) `]이므로 점 [eqn: rm D LEFT ( it t ^{2} ,``` {1} over {t ^{2}} ` RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( t RIGHT )][eqn: = {1} over {2} ` LEFT ( t ^{2} - {1} over {t} RIGHT ) LEFT ( t-1 RIGHT )]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = {1} over {2} LEFT ( t- {1} over {t ^{2}} RIGHT ) LEFT ( t ^{2} -1 RIGHT )]

[eqn: lim _{t`` -> ``1+} {` {g LEFT ( t RIGHT )} over {f LEFT ( t RIGHT )}}][eqn: = lim _{t`` -> ``1+} {` {LEFT ( t- {1} over {t ^{2}} RIGHT ) LEFT ( t ^{2} -1 RIGHT )} over {LEFT ( t ^{2} - {1} over {t} RIGHT ) LEFT ( t-1 RIGHT )}}][eqn: = lim _{t`` -> ``1+} {` {LEFT ( t ^{3} -1 RIGHT ) LEFT ( t ^{2} -1 RIGHT )} over {t LEFT ( t ^{3} -1 RIGHT ) LEFT ( t-1 RIGHT )}}][eqn: = lim _{t`` -> ``1+} {` {t+1} over {t} =2}]

따라서 [eqn: 2]

17. [출제의도] 정적분을 활용하여 수학 내적 문제 해결하기

ㄱ. [eqn: f` LEFT ( t RIGHT ) =t(t-1)]이므로 [eqn: t=1]에서 점 [eqn: rm`P]는 운동방향을 [eqn: 1]번 바꾼다. (참)

ㄴ. 시각 [eqn: t`]에서 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q`]의 가속도는 각각[eqn: f` prime `(t)`=`2t-1], [eqn: g` prime (t)=`-6t+6]이다.
[eqn: p=f` prime (2)=3], [eqn: q=g` prime `(2)=`-6`]이므로
[eqn: p`q`<0]이다. (참)

ㄷ. [eqn: t=0`]부터 [eqn: t=3`]까지 점 [eqn: rm Q`]가 움직인 거리는
[eqn: int _{0} ^{3} {LEFT | g(t) RIGHT | dt=} ` int _{0} ^{2} {g LEFT ( t RIGHT ) dt- int _{2} ^{3} { g LEFT ( t RIGHT ) dt RIGHT .} `}]
[eqn: = int _{0} ^{2} {(-3t ^{2} +6t)dt- int _{2} ^{3} {(-3t ^{2} +6t)dt}} `]
[eqn: =4+4=8`] (참)

따라서 <보기>에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

18. [출제의도] 등비급수의 합 추론하기

[eqn: p ^{n} +3p ^{n-1} +3 ^{2} p ^{n-2} +` CDOTS `+3 ^{n-1} p+3 ^{n} `]은

첫째항이 [eqn: p ^{n} `], 공비가 [eqn: {BOX{~ {3} over {p} ~}} `]인 등비수열의

첫째항부터 제[eqn: (n+1)`]항까지의 합이고, [eqn: p != 3`]이므로

[eqn: p ^{n} +3p ^{n-1} +3 ^{2} p ^{n-2} +` CDOTS `+3 ^{n-1} p+3 ^{n} `]

[eqn: = {p ^{n+1} -3 ^{n+1}} over {{BOX{~p-3~}}} `]이다.

[eqn: 0< {p} over {p+3} <1`], [eqn: 0< {3} over {p+3} <1`]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {p ^{n} +3p ^{n-1} +3 ^{2} p ^{n-2} +` CDOTS `+3 ^{n-1} p+3 ^{n}} over {(p+3) ^{n}} `]

[eqn: = sum _{n=1} ^{INF } {p ^{n+1} -3 ^{n+1}} over {left(`{BOX{~p-3~}`right)} TIMES (p+3) ^{n}} `]

[eqn: = {1} over {{BOX{~p-3~}}} LEFT { `p` sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( {p} over {p+3} RIGHT ) ^{n} -3 sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( {3} over {p+3} RIGHT ) ^{n} ` RIGHT } `]

[eqn: = {p ^{2} +3p+ {BOX{~9~}}} over {3p} `]

이다.

[eqn: f(p)={3}over{p}`], [eqn: g(p)=p-3`], [eqn: k=9`]

따라서 [eqn: {f(9)} times {g(9)} = 2`]

19. [출제의도] 도함수의 성질을 활용하여 수학 내적 문제 해결하기

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이고

[eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) =`-f(x)], [eqn: g LEFT ( -x RIGHT ) =`-g(x)]이므로

두 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]의 모든 항의 차수는 홀수이다. 두 홀수 [eqn: m`], [eqn: n`]에 대하여

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]의 최고차항을 각각 [eqn: x ^{m`}], [eqn: x ^{n`}]이라 하면, 두 도함수 [eqn: f` prime LEFT ( x` RIGHT ) `], [eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) `]의 최고차항은 각각 [eqn: mx ^{m-1`}], [eqn: nx ^{n-1`}]이다.

[eqn: m-1=2+ LEFT ( n-1 RIGHT ) `]이고 [eqn: {m} over {n} =3]

그러므로 [eqn: m=3`], [eqn: n=1`]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax`][eqn: (][eqn: a`]는 상수[eqn: )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x]라 하면

[eqn: lim _{x` -> `0} {{f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2}}} = lim _{x` -> `0} {{LEFT ( x ^{3} +ax RIGHT ) x} over {x ^{2}}}][eqn: =a=`-1]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -x], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x]

따라서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +g LEFT ( 3 RIGHT ) =6+3=9]

20. [출제의도] 등비급수를 활용하여 수학 내적 문제 해결하기

다음은 그림 [eqn: R _{1} `]이다.

[eqn: rm R]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm O]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

호 [eqn: rmAB] 위에 [eqn: ANGLE rm ROA=90 DEG]인 점을 [eqn: rmR]라 하자.

점 [eqn: rm O`]를 중심으로 하는 부채꼴 [eqn: rm POR]와 점 [eqn: rmP`]를 중심으로 하는 부채꼴 [eqn: rm RPO]는 합동이다.

부채꼴 [eqn: rm POR`]에서 정삼각형 [eqn: rm RPO`]를 제외한 도형과 부채꼴 [eqn: rm RPO]에서 정삼각형 [eqn: rm RPO`]를 제외한 도형의 넓이가 같으므로 그림 [eqn: R _{1}`]에서 색칠된  모양의 도형의 넓이는 정삼각형 [eqn: rm RPO`]의 넓이의 [eqn: 2`]배와 같다.

[eqn: rm ANGLE ROP=60 DEG]이므로
[eqn: S _{1} =2 TIMES LEFT ( {1} over {2} TIMES 2 TIMES sqrt {3} RIGHT ) =2 sqrt {3}]

다음은 그림 [eqn: R _{`n+1}`]의 일부이다. ([eqn: n GEQ 1])

[eqn: rm A]

[eqn: rm O _{rm {itn}}]

[eqn: rm O _{itn+1}]

[eqn: rm P _{itn}]

[eqn: rm M _{itn}]

[eqn: 30 DEG]

[eqn: it `r _{n+1}]

[eqn: itr _{n}]

그림 [eqn: R _{`n}`]에서 새로 그려진 지름의 한 끝점을 점 [eqn: rm A`]로 하는 반원의 중심을 [eqn: rm `O _{it n rm} `], 반지름의 길이를 [eqn: r _{n} `],

[eqn: rm ANGLE P _{it n rm} O _{it n rm} A=30 DEG `]인 점을 [eqn: rm P _{it `n rm} `]이라 하자.

(단, [eqn: rm `O= rm `O _{1} `], [eqn: rm `P=P _{1} `])

그림 [eqn: R _{`n+1} `]에서 새로 그려진 지름의 양 끝점은 선분 [eqn: rm A rm O _{it `n rm} rm `] 위에 있고 선분 [eqn: rm P _{it n rm} O _{it `n rm} `]에 접하도록 그린 가장 큰 반원의 중심을 [eqn: rm O _{it n+1 rm} `], 반지름의 길이를 [eqn: r _{n+1} `], 점 [eqn: rm O _{it n+1 rm} `]에서 선분 [eqn: rm P _{it n rm} O _{it `n rm} `]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm M _{itn}]이라 하면

[eqn: {rm {bar{O _{it n+1 rm} M it rm _{n} rm}} it} over {rm {bar{O _{it n+1 rm} O _{it n rm}}} it} = {r _{n+1}} over {r _{n} -r _{n+1}} = {1} over {2} `], [eqn: r _{n+1} = {1} over {3} r _{n}]

그림 [eqn: R _{`n} `]에서 새로 그려진  모양의 도형 한 개의 넓이를 [eqn: a _{n} `]이라 하면 [eqn: a _{n+1} = {1} over {9} a _{n} `]이다.

그림 [eqn: R _{`n+1} `]에서 새로 그려진  모양의 도형의 개수는 그림 [eqn: R _{`n} `]에서 새로 그려진  모양의 도형의 개수의 [eqn: 2`]배이다.

그러므로 [eqn: S _{n}]은 첫째항이 [eqn: 2 sqrt {3} `]이고 공비가 [eqn: {2} over {9} `]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합이다.
따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{n`}} = {2 sqrt {3}} over {1- {2} over {9}} = {2 sqrt {3}} over {{7} over {9}} = {18 sqrt {3}} over {7}]

21. [출제의도] 도함수를 활용하여 함수의 그래프 추론하기

[eqn: f(0)=0`]이고 [eqn: f` prime ` LEFT ( x RIGHT ) `=` {1} over {3} LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= {1} over {9} x LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: x LEQ k`]에서 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 기울기가 [eqn: 1`]인 직선의 일부이다.
그러므로 곡선 [eqn: y=f(x)`] 위의 점 [eqn: (k,`f(k))]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 1]이 되는 [eqn: k]의 값을 찾으면

[eqn: f` prime LEFT ( k RIGHT ) = {1} over {3} LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( k-3 RIGHT ) =1]

[eqn: k LEFT ( k-4 RIGHT ) =0]

[eqn: k=0] 또는 [eqn: k=4]

(ⅰ) [eqn: k=0`]일 때
[eqn: f` LEFT ( 0 RIGHT ) =0``]이므로 [eqn: x LEQ 0`]에서 함수

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x+f LEFT ( 0 RIGHT ) =x`]이고 [eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) =1`]이므로
[eqn: x=0]에서 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]에 직선
[eqn: y=x]가 접한다.

[eqn: {1} over {9} x LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} =x`], [eqn: x LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} =9x]
[eqn: x=0`] 또는 [eqn: x=6` CDOTS `㉠]
그러므로 [eqn: x LEQ 0`]에서
두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가
만나는 서로 다른 점의 개수는 [eqn: h(0)=1`]이다.

[eqn: rm ` it `y]

[eqn: rm ` it `x]

[eqn: y=x]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: rm O]

(ⅱ) [eqn: k=4`]일 때
[eqn: x LEQ 4`]에서
함수 [eqn: g(x)= LEFT ( x-4 RIGHT ) +f LEFT ( 4 RIGHT )]이고, [eqn: f` prime LEFT ( 4 RIGHT ) =1`]이므로 [eqn: x=4`]에서 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]에 직선 [eqn: y= LEFT ( x-4 RIGHT ) +f LEFT ( 4 RIGHT )]가 접한다. 그러므로 [eqn: x LEQ 4`]에서 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수는 [eqn: h(4)=2`]이다.

[eqn: rm ` it `y]

[eqn: rm ` it `x]

[eqn: rm O]

[eqn: rm ` it `4]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y= LEFT ( x-4 RIGHT ) +f(4)]

(ⅲ) [eqn: k=6`]일 때
[eqn: ㉠`]에서 [eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) =6`]이므로 [eqn: x LEQ 6`]에서
함수 [eqn: g(x)= LEFT ( x-6 RIGHT ) +f LEFT ( 6 RIGHT ) `=x`]이다.
그러므로 [eqn: x LEQ 6`]에서 두 함수 [eqn: y=f(x)`], [eqn: y=g` LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수는 [eqn: h(6)=2`]이다.

[eqn: rm ` it `y]

[eqn: rm ` it `x]

[eqn: rm O]

[eqn: rm 6]

[eqn: y= LEFT ( x-6 RIGHT ) +f(6)]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: rm ` it `6]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여

[eqn: 0<k LEQ 4`]일 때, [eqn: h(k)=2]

[eqn: 4<k<6`]일 때, [eqn: h(k)=3]

[eqn: k=6`]일 때, [eqn: h(k)=2]

[eqn: k>6`]일 때, [eqn: h(k)=1]

따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{7} h(k)`=14]

22. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log _{`2} `48-log` _{2} `3`=log _{`2} `2 ^{4} =4]

23. [출제의도] 정적분 계산하기

[eqn: int _{0} ^{2} {LEFT ( 5x ^{4} -6x ^{2} +1 RIGHT ) `dx`}][eqn: = LEFT [ x ^{5} -2x ^{3} +x RIGHT ] _{0} ^{2}] [eqn: =32-16+2=18]

24. [출제의도] 역함수의 성질 이해하기

두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여
일차함수 [eqn: g(x)=ax+b`]라 하자.

[eqn: f(14)=3]이므로 [eqn: g(3)=3a+b=14]이고
[eqn: g(2)=2a+b=11]

그러므로 [eqn: a=3], [eqn: b=5], [eqn: g(x)=3x+5]

따라서 [eqn: g(6)=23]

25. [출제의도] 집합의 연산법칙 이해하기

[eqn: LEFT ( X-A` RIGHT ) SUBSET LEFT ( A-X` RIGHT ) `]에서

[eqn: LEFT . LEFT ( X`-A RIGHT ) SMALLINTER (A-X RIGHT ) `=X`-A`]이고

[eqn: LEFT . LEFT ( X`-A RIGHT ) SMALLINTER (A-X RIGHT ) `][eqn: =][eqn: LEFT . LEFT ( X` SMALLINTER A ^{C} ` RIGHT ) SMALLINTER (A` SMALLINTER X ^{C} ` RIGHT ) `][eqn: =LEFT ( A SMALLINTER A ^{C} `RIGHT )` SMALLINTER LEFT (X` SMALLINTER X ^{C} ` RIGHT ) `][eqn: =emptyset`]이므로

[eqn: LEFT . EMPTYSET ` RIGHT . =X-A`], 즉 [eqn: X` SUBSET A`]

[eqn: A= LEFT { 1,~2,~5,~10 RIGHT } `]이므로 [eqn: n(A)=4`]

따라서 집합 [eqn: X`]는 집합 [eqn: A`]의 부분집합이므로

모든 집합 [eqn: X`]의 개수는 [eqn: 2 ^{4} =16`]

26. [출제의도] 연속함수의 정의 이해하기

함수 [eqn: g(x)=`` {cases{`-x+2&````(`x LEQ -1)#````````````3&````(``|`x`|<1)#````````````2&````(`````x=1```)#````````````x&````(````x>1```)}}]

이므로 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=1`]에서만 불연속이다.

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: rm O]

[eqn: rm 1]

[eqn: rm 2]

[eqn: rm 3]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

함수 [eqn: f(x)g(x)`]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: f(1)g(1)= lim _{x -> 1+} {f(x)g(x)= lim _{x -> 1-} {f(x)g(x)}}]

[eqn: (3+a) TIMES 2= lim _{x -> 1+} {(3x+a)x= lim _{x -> 1-} {(3x+a) TIMES 3}}]

[eqn: a=`-3`]이므로 [eqn: f(x)=3x-3]

따라서 [eqn: f(11)=30]

27. [출제의도] 유리함수의 그래프를 활용하여

수학 내적 문제 해결하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {2} over {x}]라 하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =f ^{`-1} LEFT ( x RIGHT ) `]이므로

곡선 [eqn: y= {2} over {x} `]는 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이다.

곡선 [eqn: y= {2} over {x} `]와 직선 [eqn: y=`-x+k`]가 제[eqn: 1`]사분면에서 만나는 점 [eqn: rm A`]의 좌표를 [eqn: rm A` LEFT ( it a,~ {2} over {a} RIGHT )][eqn: LEFT ( a != sqrt {2} RIGHT )]라 하면 점 [eqn: rm B`]의 좌표는 [eqn: rm B LEFT ( it {2} over {a} ,~a RIGHT )]이다.

[eqn: ANGLE rm ABC=90 DEG]이므로 점 [eqn: rm C`]는 제[eqn: 3`]사분면 위에 있고 점 [eqn: rm C`]의 좌표를 [eqn: rm C` LEFT ( `itc,`` {2} over {c} RIGHT ) `]라 하면 직선 [eqn: rm BC]의 기울기는 [eqn: 1]이다.

[eqn: {{2} over {c} -a} over {c- {2} over {a}} = {-a} over {c} =1`], [eqn: c=`-a`]이므로

점 [eqn: rm C`]의 좌표는 [eqn: rm C LEFT ( it -a,~- {2} over {a} RIGHT )]

[eqn: {bar{rm AC it}} ^{2}][eqn: = LEFT { a- LEFT ( -a RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT { {2} over {a} - LEFT ( - {2} over {a} RIGHT ) RIGHT } ^{2}]
[eqn: =4a ^{2} + {16} over {a ^{2}}][eqn: =20]

[eqn: a ^{2} + {4} over {a ^{2}} =5]

따라서 [eqn: k ^{2} = LEFT ( a+ {2} over {a} RIGHT ) ^{2} =a ^{2} + {4} over {a ^{2}} +4=9]

28. [출제의도] 등차수열의 성질을 활용하여 수학 내적 문제 해결하기

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항을 [eqn: a`], 공차를 [eqn: d`]라 하자.

[eqn: a _{k+1} =S _{k+1} -S _{k}]이고

(가)에 의하여 [eqn: S _{k} >S _{k+1}]을 만족시키는 가장 작은 자연수 [eqn: k]는 [eqn: a _{k+1} <0]을 만족시키는 가장 작은 자연수이다.

그러므로 [eqn: n LEQ k]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} GEQ 0`]이고 [eqn: d<0`]이다.

(나)의 [eqn: a _{8} =`- {5} over {4} a _{5} `]에 의하여 [eqn: a _{5} >0`], [eqn: a _{8} <0`]이고, [eqn: a _{5} `a _{6} `a _{7} <0]에 의하여 [eqn: a _{6} >0], [eqn: a _{7} <0]이다.

그러므로 [eqn: k=6]

[eqn: S _{6} = {6 LEFT ( 2a+5d RIGHT )} over {2} =102]이므로 [eqn: 2a+5d=34]이고

[eqn: a+7d=`- {5} over {4} LEFT ( a+4d RIGHT )]이므로 [eqn: 3a+16d=0]이다.

[eqn: a=32], [eqn: d=`-6]

따라서 [eqn: a _{2} =a+d=32+ LEFT ( -6 RIGHT ) =26]

29. [출제의도] 수열의 규칙성 추론하기

(ⅰ) 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: (-1,`0) IN A _{n} SMALLINTER B _{n} `], [eqn: (1,`0) IN A _{n} SMALLINTER B _{n}]이다.

(ⅱ) [eqn: x=0`]일 때,
[eqn: (0+n) ^{2} +y ^{2} ` LEQ (n+1) ^{2}], [eqn: y ^{2} ` LEQ 2n+1]
[eqn: - sqrt {2n+1} LEQ y LEQ sqrt {2n+1}]이므로
[eqn: (x+n) ^{2} +y ^{2} ` LEQ (n+1) ^{2}]과[eqn: (x-n) ^{2} +y ^{2} ` LEQ (n+1) ^{2}]을 모두 만족시키는 정수 [eqn: x`], [eqn: y`]의 순서쌍 [eqn: (x,``y)]의 개수는
[eqn: - sqrt {2n+1} LEQ y LEQ sqrt {2n+1}]을 만족시키는
모든 정수 [eqn: y`]의 개수와 같다.

[eqn: n=1`]일 때, [eqn: y`]의 개수는 [eqn: 3]

[eqn: n=`2,~3`]일 때, [eqn: y`]의 개수는 [eqn: 5]

[eqn: n=`4,~5,~6,~7`]일 때, [eqn: y`]의 개수는 [eqn: 7]

[eqn: n=`8,```9,```10,``11`]일 때, [eqn: y`]의 개수는 [eqn: 9]

[eqn: n=`12,``13,``14,``15,``16,``17`]일 때, [eqn: y`]의 개수는 [eqn: 11]

[eqn: n=18`]일 때, [eqn: y`]의 개수는 [eqn: 13]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: a _{1} =3+2=5]

[eqn: a _{2} =a _{3} =5+2=7]

[eqn: a _{4} =a _{5} =a _{6} =a _{7} =7+2=9]

[eqn: a _{8} =a _{9} =a _{10} =a _{11} =9+2=11]

[eqn: a _{12} =a _{13} =a _{14} =a _{15} =a _{16} =a _{17} =11+2=13]

[eqn: a _{18} =13+2=15]

따라서 [eqn: ` sum _{n=1} ^{18} a _{n} `=`192]

(참고) [eqn: n=4]인 경우

[eqn: A _{4} SMALLINTER B _{4} = LEFT { LEFT ( -1,`0 RIGHT ) ,`` LEFT ( 1,`0 RIGHT ) ,` LEFT ( 0,`-3 RIGHT ) ,` RIGHT . LEFT ( 0,`-2 RIGHT ) ,]

[eqn: LEFT . ` LEFT ( 0,`-1 RIGHT ) ,` LEFT ( 0,`0 RIGHT ) ,` LEFT ( 0,`1 RIGHT ) ,` LEFT ( 0,`2 RIGHT ) ,` LEFT ( 0,`3 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: rm ` it `y]

[eqn: rm `it`x]

[eqn: rm O]

[eqn: rm 4]

[eqn: -rm 4]

[eqn: rm 3]

[eqn: -rm 3]

[eqn: rm 1]

[eqn: -rm 1]

따라서 [eqn: a _{4} =9]

30. [출제의도] 함수의 극대와 극소를 활용하여 수학 내적 문제 해결하기

(ⅰ) [eqn: f(x)<k`]일 때,

함수 [eqn: g(x)= {k} over {2}]

(ⅱ) [eqn: f(x) GEQ k`]일 때,

함수 [eqn: g(x)=f(x)- {k} over {2} `]이므로

함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 함수 [eqn: y=f(x)]의

그래프를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: - {k} over {2} `]만큼 평행

이동시킨 그래프이다.

(가), (나)에 의하여

두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)`]의 그래프와

두 직선 [eqn: y=k`], [eqn: y= {k} over {2} `]의 개형은 다음과 같다.

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y=g(x)]

[eqn: y=k]

[eqn: y= {k} over {2}]

[eqn: x=0]

[eqn: x=2]

[eqn: int _{0} ^{2} {LEFT . LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT | `dx= int _{0} ^{2} {{k} over {2} dx} RIGHT . =8}]

이므로 [eqn: k=8]

그러므로 세 상수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]에 대하여
함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx+c`]라 하면

[eqn: f prime (x)=3x ^{2} +2ax+b`]이다.

[eqn: f(0)=8`], [eqn: f(2)=8`], [eqn: f prime (2)=0`]이므로

[eqn: c=8`], [eqn: 4a+2b+c=0`], [eqn: 12+4a+b=0`]이고

[eqn: a=`-4], [eqn: b=4]

함수 [eqn: f`(x)=x ^{3} -4x ^{2} +4x+8`]이므로

함수 [eqn: g`(x)`=` {cases{````````````````````````````````4&(x`<0)#``x ^{3} -4x ^{2} +4x+4````&(x GEQ 0)}}]

따라서 [eqn: g` LEFT ( 1 RIGHT ) +g` LEFT ( -1 RIGHT ) =5+4=9]