수학 B형 정답

1	④	2	⑤	3	④	4	⑤	5	①
6	③	7	③	8	⑤	9	①	10	②
11	②	12	⑤	13	③	14	④	15	③
16	②	17	④	18	①	19	①	20	②
21	③	22	[eqn: 128]	23	[eqn: 7]	24	[eqn: 41]	25	[eqn: 60]
26	[eqn: 125]	27	[eqn: 12]	28	[eqn: 5]	29	[eqn: 33]	30	[eqn: 13]

해 설

1. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 로그의 뺄셈을 계산한다.

[eqn: log _{2} 6-log _{2} {3} over {8}]

[eqn: =log _{2} ^{} left(6 TIMES {8} over {3} right)]

[eqn: =log _{2} 16]

[eqn: =log _{2} 2 ^{4}]

[eqn: =4]

2. [출제의도] 삼차함수의 도함수를 이용하여 미분계수를 계산한다.

[eqn: f prime (x)= x^2 + x + 1]이므로

[eqn: f prime (1)=1 ^{2} +1+1=3]

3. [출제의도] 치환을 이용하여 지수함수의 극한값을 계산한다.

[eqn: -x = t]라 하면

[eqn: x`->`0]일 때 [eqn: t`->`0]이고, [eqn: x = `-t]이므로

[eqn: lim _{x` -> `0} {} {1-e ^{-x}} over {x}]

[eqn: = lim _{t -> 0} {} {1-e ^{t}} over {-t}]

[eqn: = lim _{t -> 0} {} {e ^{t} -1} over {t}]

[eqn: =1]

[다른 풀이]

[eqn: f(x) = 1 - e^-x]라 하면 [eqn: f(0) = 0]이므로

[eqn: lim_{x->0} {1-e^-x}over x][eqn: =lim_{x->0} {f(x)-f(0)}over x-0][eqn: = f'(0)]

[eqn: f'(x)= e^-x]이므로 [eqn: f'(0)=1]

∴ [eqn: lim_{x->0} {1-e^-x}over x =1]

4. [출제의도] 삼각함수의 배각공식을 이용하여 삼각함수의 값을 구한다.

[eqn: tan2theta= {2tantheta} over {1-tan ^{2} theta}]이므로

[eqn: tantheta=t]라 하면

[eqn: {2t}over{1-t^2} = 3 over 4]

[eqn: 8t = 3 - 3t^2]

[eqn: 3t^2 + 8t -3 = 0]

[eqn: (3t-1)(t+3)=0]

∴ [eqn: t = 1 over 3] 또는 [eqn: t = -3]

[eqn: 0<theta< {pi } over {2}]이므로 [eqn: t>0]

∴ [eqn: tantheta= {1} over {3}]

5. [출제의도] 거듭제곱근의 뜻을 이해하여 지수방정식의 해를 구한다.

[eqn: 4]의 세제곱근 중 실수인 것은 [eqn: root {3} of {4}]이므로

[eqn: a= root {3} of {4} =2 ^{{2} over {3}}]

따라서 주어진 방정식은

[eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x+1} =2 ^{{2} over {3}}]

[eqn: 2 ^{-(x+1)} =2 ^{{2} over {3}}]

[eqn: -x-1= {2} over {3}]

∴ [eqn: x= - 5 over 3]

6. [출제의도] 무한급수와 수열의 극한 사이의 관계를 이용하여 극한값을 구한다.

무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {b _{n}} over {n}`]이 수렴하므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} {b _{n}} over {n} =0]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n} +4n} over {b _{n} +3n-2}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {{a _{n}} over {n} +4} over {{b _{n}} over {n} +3- {2} over {n}}]

[eqn: = {1+4} over {0+3-0}]

[eqn: = {5} over {3}]

7. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 행렬의 성분을 구한다.

[eqn: A]의 역행렬이 존재하면 [eqn: AX=O`]에서

[eqn: A ^{-1} AX=A ^{-1} O`]이므로 [eqn: X=O`]이다.

따라서 행렬 [eqn: X`]가 무수히 많다는 조건에 모순이므로[eqn: A]의 역행렬은 존재하지 않는다.

[eqn: (a-1)(a+1)-3a=0]

[eqn: a ^{2} -3a-1=0]

이때 이 이차방정식의 판별식 [eqn: D>0]이므로 이 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 모든 실수 [eqn: a]의 합은 [eqn: 3]이다.

[참고]

실제로 [eqn: a ^{2} -3a-1=0`]이면

[eqn: {pmatrix{a-1&1#3a&a+1}} {pmatrix{x#y}} = {pmatrix{0#0}}]

[eqn: {cases{(a-1)x+y=0&```CDOTS ㉠#3ax+(a+1)y=0&```CDOTS ㉡}}]

이때 [eqn: 3a=a ^{2} -1]이므로

㉡에서 [eqn: (a ^{2} -1)x+(a+1)y=0]

[eqn: (a+1) LEFT { (a-1)x+y`right}=0 RIGHT .]

[eqn: (a-1)x+y` =0] (∵ [eqn: a ne 1])

따라서 직선 [eqn: (a-1)x+y` =0] 위의 모든 점 [eqn: (x,y)]에 대하여 [eqn: X= {pmatrix{x#y}}]는 [eqn: AX=O]를 만족시키므로 등식 [eqn: AX=O]를 만족시키는 [eqn: X]는 무수히 많다.

8. [출제의도] 다항함수의 극한의 성질을 이용하여 함숫값을 구한다.

[eqn: lim_{x->inf} {f(x) - x^2 } over x =3]이므로

[eqn: f(x)-x^2]은 일차항의 계수가 [eqn: 3]인 일차식이다.

[eqn: f(x) - x^2 = 3x + a]에서

[eqn: f(x)=x ^{2} +3x+a]

이때 [eqn: lim_{x->1} {x^2 -1} over {(x-1)f(x)} = lim_{x->1} x+1 over f(x) = 1]이므로

[eqn: 2 over f(1) = 1] 즉, [eqn: f(1) = 2]이다.

[eqn: f(1) =][eqn: 1+3+a = 2]에서

[eqn: a=-2]

따라서 [eqn: f(x)=x ^{2} +3x-2]이므로

[eqn: f(2)=2 ^{2} +3 CDOT 2-2=8]

9. [출제의도] 합성함수의 미분법을 이용하여 미분계수를 구한다.

주어진 조건에서 [eqn: f`'(2) = 2]이다.

[eqn: g(x)= f( root x )]라 하면

[eqn: g`'(x) = f`'(root x ) cdot 1 over {2rootx }]

따라서 구하는 미분계수는

[eqn: g`'(4 )=][eqn: f`'(root 4 ) cdot 1 over {2root4 }]

[eqn: `=f`'(2) cdot 1 over {4 }]

[eqn: ``= 2cdot 1over 4]

[eqn: = 1over 2]

10. A형 16번과 동일

11. A형 15번과 동일

12. [출제의도] 그래프와 행렬 사이의 관계와 경로의 뜻을 이해하여 그래프의 변을 찾는다.

조건 (나)에서 [eqn: rm ACEDBA]가 그래프 [eqn: G`]의 경로이므로

[eqn: rm AC,``CE,``ED,``DB,``BA]는 그래프 [eqn: G`]의 변이다.

또, [eqn: rm ABCE]는 그래프 [eqn: G`]의 경로가 아니므로 [eqn: rm BC]는 변이 아니다.

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

조건 (가)에서 그래프 [eqn: G`]의 변의 개수는 [eqn: 12 over 2 = 6]이므로 위 그래프에 [eqn: rm BC]가 아닌 한 개의 변이 추가되어야 한다. 그런데, 위 그래프에서 꼭짓점 [eqn: rm A]에서 출발하여 [eqn: 3]개의 변을 지나 꼭짓점 [eqn: rm E]로 가는 경로는 [eqn: rm ABDE]뿐이므로 조건 (다)를 만족시키려면 위 그래프에서 변 [eqn: rm CD]를 추가해야 한다.

13. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 직선의 기울기를 구한다.

[eqn: 2=4 ^{x}]에서 [eqn: x=log _{4} 2= {1} over {2}]이므로 점 [eqn: rm A`]의 좌표는

[eqn: rm A LEFT ( {1} over {2} ,``2 RIGHT )]

[eqn: 2=2 ^{x}]에서 [eqn: x=1]이므로 점 [eqn: rm B`]의 좌표는

[eqn: rm B(1,``2)]

[eqn: rmC]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: y=4 ^{1} =4]이므로

[eqn: rm C(1,``4)]

[eqn: 4=2 ^{x}]에서 [eqn: x=2]이므로 점 [eqn: rm D`]의 좌표는

[eqn: rm D(2,``4)]

따라서 직선 [eqn: rm`AD]의 기울기는

[eqn: {4-2} over {2- {1} over {2}} = {2} over {{3} over {2}} = {4} over {3}]

14. [출제의도] 함수의 미분법을 이용하여 넓이의 순간변화율을 구한다.

네 점 [eqn: rm A,~B,~rm C,~D]의 좌표는

[eqn: rm A(log _{4} a,~a),~ rm B(log _{2} a,~a),~][eqn: rm C(log _{2} a,~a ^{2} ),~ rm D(2log _{2} a,~a ^{2} )]

이다.

[eqn: rm bar{CD} =log _{2} a], [eqn: rm bar{BC} =it`a ^{2} -a]이므로

삼각형 [eqn: rm ADC]의 넓이를 [eqn: S(a)]라 하면

[eqn: S(a)= {1} over {2} (a ^{2} -a) CDOT log _{2} a]

∴ [eqn: S``'(a)= {1} over {2} (2a-1)log _{2} a+ {1} over {2} (a ^{2} -a) {1} over {a`ln2}]

[eqn: = {1} over {2} (2a-1)log _{2} a+ {1} over {2ln2} (a-1)]

∴ [eqn: S``'(4)= 7+ {3} over {2ln2}]

이때 [eqn: {dS} over {dt} =S``'(a) {da} over {dt}]이고 [eqn: {da} over {dt} =1]이므로

구하는 순간변화율은

[eqn: left(7+ {3} over {2ln2} right) TIMES 1][eqn: =7+ {3} over {2ln2}]

[다른 풀이]

점 [eqn: rm`P]가 점 [eqn: (0,``2)]를 출발한 지 [eqn: t]초 후의 점 [eqn: rm`P]의 좌표는 [eqn: (0,``2+t)]이므로 삼각형 [eqn: rm ADC]의 넓이는

[eqn: S(t)= {1} over {2} (t ^{2} +3t+2) CDOT log _{2} (t+2)]

∴ [eqn: S`` prime (t)= {1} over {2} (2t+3)log _{2} (t+2)]

[eqn: + {1} over {2} (t ^{2} ``+3t+2) {1} over {(t+2)`ln2}]

[eqn: = {1} over {2} (2t+3)log _{2} (t+2)][eqn: + {1} over {2ln2} (t +1)]

점 [eqn: rm P]가 점 [eqn: (0,4)]를 지나는 순간은 [eqn: t=2]일 때이므로 구하는 순간변화율은

∴ [eqn: S``'(2)= {1} over {2} (2times2+3)log _{2} (2+2)][eqn: + {1} over {2ln2} (2 +1)]

[eqn: =7+ {3} over {2ln2}]

15. A형 20번과 동일

16. A형 19번과 동일

17. [출제의도] 분수방정식을 세워 속력에 관한 실생활 문제를 해결한다.

주어진 조건을 분수방정식으로 나타내면

[eqn: 16 over v+6 = 10 over v-7 + 2 over v]

이 분수방정식의 양변에 분모의 최소공배수를 곱하면

[eqn: 8v(v-7)=5v(v+6)+(v+6)(v-7)]

[eqn: 2v^2 -85 v +42 =0]

[eqn: (2v-1)(v-42)=0]

∴ [eqn: v=42] (∵ [eqn: v>7])

18. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 삼각함수의 값을 구한다.

삼각형 [eqn: rm`ABD]가 이등변삼각형이고, 삼각형의 한 외각은 이웃하지 않은 두 내각의 합과 같으므로

[eqn: alpha -theta = theta + beta]

∴ [eqn: 2theta = {alpha - beta}]

그런데, [eqn: cos alpha = {sqrt {10}} over {10}], [eqn: cosbeta= {sqrt {5}} over {5}]에서

[eqn: sin alpha = {3 sqrt {10}} over {10}], [eqn: sin rm ` beta = {2 sqrt {5}} over {5}]이므로

[eqn: sin 2 theta ```= sin(alpha - beta )]

[eqn: =sin alpha cos beta - cos alpha sin beta]

[eqn: = {3 sqrt {10}} over {10} TIMES {sqrt {5}} over {5} - {sqrt {10}} over {10} TIMES {2 sqrt {5}} over {5}]

[eqn: = {sqrt {2}} over {10}]

19. [출제의도] 미분법을 이용하여 극솟값을 가질 조건을 찾는다.

[eqn: f(x) = sinx over e^2x][eqn: = e^-2x sinx]이므로

[eqn: f'(x) = -2e^-2x sinx + e^-2x cos x]

[eqn: =e^-2x ( - 2 sin x + cos x )]

이고

[eqn: f''(x)`` =-2 e^-2x ( - 2 sin x + cos x )][eqn: + e^-2x ( - 2 cos x - sinx )]

[eqn: =e^-2x ( 3 sin x - 4cos x )]

이다.

이때 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = a]에서 극솟값을 가지므로

[eqn: f'(a) = 0 , ~~ f''(a) >0]

이어야 한다.

이때 [eqn: e ^{-2a} >0]이므로

[eqn: -2 sin a + cos a =0] … ㉠

[eqn: 3 sin a - 4cos a >0] … ㉡

이 성립해야 한다.

㉠에서 [eqn: cos a = 2 sin a]이므로

[eqn: tan a = 1 over 2]

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: -5 sin a >0]

따라서 [eqn: tan a > 0]이고, [eqn: sin a <0]이므로

[eqn: pi <a< {3} over {2} pi]

[eqn: sec ^{2} a=1+tan ^{2} a=1+ LEFT ( {1} over {2} RIGHT )^2 = {5} over {4}]

[eqn: cos`a= {1} over {sec`a} =± {2} over {sqrt {5}}]

∴ [eqn: cos`a=- {2 sqrt {5}} over {5}] (∵ [eqn: pi <a< {3} over {2} pi])

[다른 풀이]

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 극값을 가지므로 [eqn: f'(a)=0]이어야 한다.

[eqn: f(x) = sinx over e^2x][eqn: = e^-2x sinx]이므로

[eqn: f` prime `(x)=-2e ^{-2x} `sinx+e ^{-2x} `cosx]

[eqn: =-e ^{-2x} (2sinx-cosx)]

이때 [eqn: -e^-2a (2 sin a - cos a ) = 0]에서 [eqn: tan a = 1 over 2]

ⅰ) [eqn: 0 < a < pi over2]일 때

[eqn: 0< x < a]이면

[eqn: sin x < sin a]이고 [eqn: cos x > cos a]이므로

[eqn: 2 sin x - cos x <2 sin a - cos a =0]

∴ [eqn: f`'(x)>0]

[eqn: a < x < pi over2]이면

[eqn: sin x > sin a]이고 [eqn: cos x < cos a]이므로

[eqn: 2 sin x - cos x > 2 sin a - cos a =0]

∴ [eqn: f`'(x)<0]

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 극댓값을 갖는다.

ⅱ) [eqn: pi < a < 3 over2 pi]일 때

[eqn: pi< x < a]이면

[eqn: sin x > sin a]이고 [eqn: cos x < cos a]이므로

[eqn: 2 sin x - cos x > 2 sin a - cos a =0]

∴ [eqn: f`'(x)<0]

[eqn: a<x< {3pi } over {2}]이면
[eqn: sin x < sin a]이고 [eqn: cos x > cos a]이므로

[eqn: 2 sin x - cos x <2 sin a - cos a =0]

∴ [eqn: f`'(x)>0]

따라서 [eqn: x=a]에서 극솟값을 갖는다.

[eqn: sec^2 a = 1+tan^2 a = 5 over4]에서

[eqn: sec`a`=`- root5 over 2] (∵ [eqn: pi < a < 3 over2 pi])

∴ [eqn: cos`a = - {2root5} over5]

[다른 풀이]

[eqn: f(x) = sinx over e^2x]는 미분가능한 함수이므로 몫의 미분법을 사용하면

[eqn: f'(x) ``= {e^2x cosx - 2e^2x sinx } over {(e^2x )^2 }]

[eqn: = -{ 2 sinx - cos x } over e^2x]

이때 삼각함수의 합성에 의해서

[eqn: 2 sinx - cos x = root5 rm sin it ( x - alpha )] 이므로

(단, [eqn: cos alpha = 2 over root5], [eqn: sin alpha = 1 over root5])

[eqn: f'(x) =][eqn: -{root5 rm sin it (x-alpha)} over e^2x]

이때 [eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: sin (x-alpha) =0]이므로

[eqn: x- alpha =0] 또는 [eqn: x-alpha = pi]

∴ [eqn: x = alpha] 또는 [eqn: x = pi + alpha]

이때 증가와 감소를 나타내는 표는 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: (0)]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha]	[eqn: cdots]	[eqn: pi + alpha]	[eqn: cdots]	[eqn: ( 2pi )]
[eqn: f'(x)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]		↗	[eqn: f(alpha)]	↘	[eqn: f( pi+alpha)]	↗

그러므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = pi + alpha]에서 극솟값을 갖는다.

∴ [eqn: a = pi + alpha]

∴ [eqn: cos a][eqn: ``=cos ( pi + alpha )]

[eqn: = ` - cos alpha]

[eqn: =` - 2 over root5]

[eqn: =` -{ 2root5} over 5]

20. [출제의도] 주어진 함수와 도함수를 이용하여 함수의 극한값을 구한다.

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]과 [eqn: x=0]에서만 불연속이고,

[eqn: f`'(x) = 1over2 (3x^2 -3 )] (단, [eqn: x!=-1,~x!=0])

따라서 도함수 [eqn: f`'(x)]의 그래프는 다음과 같다.

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 불연속이므로 [eqn: x=0]에서       미분가능하지 않다.

ㄴ. 함수 [eqn: y=f`'(x)]의 그래프에서

[eqn: lim_x->0 f`'(x) = - 3over 2]

ㄷ. [eqn: f`'`(x)=t]라 하면 [eqn: x->-1+0]일 때 [eqn: t ->-0]이다.

∴ [eqn: lim_x->-1+0 f(f`'(x)) =][eqn: lim_t->-0 f(t)][eqn: =-1]

따라서 옳은 것은 ㄴ이다.

21. [출제의도] 도형의 성질과 삼각함수의 극한의 성질을 이용하여 극한값을 구한다.

그림에서 삼각형 [eqn: rm ABQ]와 삼각형 [eqn: rm OBR]는 닮음비가 [eqn: 2:1]인 닮은 삼각형이다.

[eqn: rm bar QB = 2 tan theta]이므로

[eqn: rm bar QR = 1 over 2 bar QB][eqn: = tan theta]

[eqn: rm bar AQ][eqn: = 2 over{cos theta}], [eqn: rm bar AP = 2 cos theta]이므로

[eqn: rm bar QP = bar AQ - bar AP]

[eqn: ``= 2 left( 1 over costheta - cos theta right)]

이때 [eqn: rm angle AQB][eqn: = pi over 2 - theta]이므로

[eqn: S(theta)][eqn: rm = 1 over 2 times bar QR times bar QP times sin left(pi over2 - theta right)]

[eqn: rm ``= 1 over 2 times tan theta times 2left(1 over costheta - cos theta right) times cos theta]

[eqn: ``= tan theta ( 1 - cos^2 theta )]

[eqn: ``= tan theta sin^2 theta]

∴ [eqn: lim_{theta -> +0} {S(theta) } over theta^3]

[eqn: = lim_{theta -> +0} {tan theta sin^2 theta } over theta^3]

[eqn: = lim_{theta -> +0} {tan theta} over theta times lim_{theta -> +0} left( {sin theta } over theta right)^2]

[eqn: = 1 times 1^2]

[eqn: =1]

[다른 풀이]

그림과 같이 반원의 중심을 [eqn: rm`O]라 하자.

[eqn: angle rm APB = pi over 2]이므로 [eqn: ANGLE rm PBR=theta]이다.

원 밖의 한 점 [eqn: rm`R]에서 그은 두 접선의 길이는 서로 같으므로 [eqn: bar{rm PR}=bar{rm RB}]이고 [eqn: angle rm RPB = theta]이다.

[eqn: ANGLE rm PQR= ANGLE rm QPR= pi over 2 -theta]이므로

[eqn: bar{rm PR it} = bar{rm QR it}]

[eqn: bar{rm BQ it} =2tan`theta]에서

[eqn: bar{rm PR it} = bar{rm RB it} = bar{rm QR it `} =tan`theta]

이때 [eqn: ANGLE rm PRQ=2 theta]이므로

[eqn: S(theta)=` {1} over {2} `tan theta `tan theta `sin2 theta =` {1} over {2} `tan^2 theta `sin2 theta]

∴ [eqn: lim _{theta -> +0} {} {S( theta )} over {theta ^{3}}]

[eqn: = lim _{theta -> +0} {} {tan ^{2} theta `sin`2 theta } over {2 theta ^{3}}]

[eqn: = lim _{theta -> +0} {} {tan theta ` CDOT `tan theta ` CDOT `sin`2 theta } over {theta ` CDOT ` theta ` CDOT `2 theta }]

[eqn: =1]

22. [출제의도] 등비수열의 일반항을 이용하여 항의 값을 구한다.

등비수열 [eqn: left{ a_n right}]의 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a_5 over a_2 =r^3 = 8]에서

[eqn: r=2]

이때

[eqn: a _{3} +a _{4}]

[eqn: =a _{1} r ^{2} +a _{1} r ^{3}]

[eqn: =a _{1} (4+8)]

[eqn: =12]

이므로

[eqn: a_1 =1]

∴ [eqn: a_8 =a_1 r^7 =2^7 = 128]

23. [출제의도] 무리방정식의 해를 구한다.

[eqn: rootx-3 = x-5]의 양변을 제곱하면

[eqn: x-3 = x^2 -10x +25]

[eqn: x^2 -11x +28=0]

[eqn: (x-4)(x-7)=0]

이때 [eqn: x=4]는 주어진 방정식을 만족시키지 않으므로 무연근이다.

∴ [eqn: x=7]

24. [출제의도] 분수부등식이 특정 해를 가질 조건을 구한다.

[eqn: x-2n over {(x-n)(x-3n)} le 0]

⇔[eqn: (x-n)(x-2n )(x-3n) le 0] (단, [eqn: x!=n,~ x!=3n])

따라서 주어진 분수부등식의 해는

[eqn: x < n] 또는 [eqn: 2n le x < 3n]

그런데 [eqn: 120 in A]이므로

[eqn: 120<n] 또는 [eqn: 2n LEQ 120<3n]

따라서 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 41]이다.

[다른 풀이]

[eqn: x=120]을 [eqn: x-2n over {(x-n)(x-3n)} le 0]에 대입하면

[eqn: {120-2n} over {(120-n)(120-3n)} LEQ 0]

[eqn: {n-60} over {(n-120)(n-40)} GEQ 0]

⇔ [eqn: (n-40)(n-60)(n-120) GEQ 0] (단, [eqn: n != 40,~n != 120])

[eqn: 40<n LEQ 60] 또는 [eqn: n>120]

따라서 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 41]이다.

25. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 행렬의 성분의 합을 구한다.

[eqn: AB=BA]이므로

[eqn: (A+B)^2 =A^2 + 2AB +B^2]

따라서 [eqn: 64E=A ^{2} +4E+B ^{2}]이므로

[eqn: A ^{2} +B^2 =60E]

∴ [eqn: A ^{-1} (A ^{2} +B ^{2} )B ^{-1}]

[eqn: =A ^{-1} `(60E`)B ^{-1}]

[eqn: =60(BA) ^{-1}]

[eqn: =60(2E) ^{-1}]

[eqn: =30E]

따라서 구하는 행렬의 모든 성분의 합은 [eqn: 60]이다.

[다른 풀이]

[eqn: B= 8E-A]를 [eqn: AB = 2E]에 대입하면

[eqn: A(8E-A) = 2E], [eqn: 8A-A^2 = 2E]

∴ [eqn: A^2 = 8A - 2E]

마찬가지로

[eqn: B^2 = 8B - 2E]

∴ [eqn: A^2 + B^2]

[eqn: = (8A-2E) + ( 8B-2E)]

[eqn: = 8 (A+B) - 4 E]

[eqn: = 8 times (8 E) - 4E]

[eqn: = 60 E]

또, [eqn: AB = 2E]에서 [eqn: AB=BA]이고,

[eqn: A ^-1 = 1 over 2 B], [eqn: B^-1 = 1 over 2 A]이므로

[eqn: A^-1 (A^2 + B^2 ) B^-1]

[eqn: = 1 over 4 B(A^2 + B^2 ) A]

[eqn: = 1 over 4 B ( 60E)A]

[eqn: = 15 BA]

[eqn: = 30 E]

따라서 구하는 합은 [eqn: 60]이다.

[참고]

주어진 조건을 만족시키는 행렬의 예

[eqn: A = pmatrix{4&```````2#7&```````4 }], [eqn: B = pmatrix{````````4&```-2#-7&``````````4 }]

26. A형 26번과 동일

27. [출제의도] 수열의 합과 일반항의 관계를 이용하여 수열의 극한값을 구한다.

[eqn: -a _{1} =1]이므로 [eqn: a _{1} =-1]이다.

[eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} (-1) ^{k} a _{k}]라 하면

[eqn: (-1) ^{n} a _{n}]

[eqn: =S _{n} -S _{n-1}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{n} (-1) ^{k} a _{k} - sum _{k=1} ^{n-1} (-1) ^{k} a _{k}]

[eqn: =n ^{3} -(n-1) ^{3}]

[eqn: =3n ^{2} -3n+1] ([eqn: n GEQ 2])

따라서

[eqn: a _{2n} =12n ^{2} -6n+1]

[eqn: a _{2n-1} =-12n ^{2} +18n-7]

이므로

[eqn: a _{2n-1} +a _{2n} =12n-6]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{2n-1} +a _{2n}} over {n}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {12n-6} over {n} =12]

28. [출제의도] 원의 성질과 삼각함수의 배각공식을 이용하여 삼각방정식의 해를 구한다.

[eqn: rm`angle`DBA`=`theta]라 하자.

조건 (나)에서

[eqn: rm ` ANGLE `CBA`=`2 theta], [eqn: 0`<` theta `<` pi OVER4]

조건 (가)에서

[eqn: rm ` ANGLE `ADB=` ANGLE `ACB=`piOVER2]이므로

직각삼각형 [eqn: rm ``ADB]에서

[eqn: rm ` bar{AD`}`=`sin theta]

직각삼각형 [eqn: rm ``ACB]에서

[eqn: rm ` bar{AC`} `=`cos``2 theta]

사각형 [eqn: RM`ABCD]의 둘레의 길이가 [eqn: {19} over 8]이므로

[eqn: RM BAR AD + BAR DC + BAR CB + BAR BA]

[eqn: = sin theta + sin theta + cos 2 theta + 1]

[eqn: =2sin theta +1-2sin ^{2`} theta `+1`]

[eqn: = {19} over {8}]

[eqn: sin ^2 theta - sin theta + 3over16 = 0]

[eqn: 16sin ^{2} theta -16sin theta +3=0]

[eqn: (4sin`theta`-3)(4`sin`theta`-1)`=`0]

∴ [eqn: sin`theta`=`1over4] [eqn: left (∵ ````0`< theta <` {pi } over {4} right)]

따라서 [eqn: rm barAD = sin theta = 1over 4]이므로

[eqn: p +q = 4+1 = 5]

29. [출제의도] 등차수열의 합과 이차함수의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 공차를 [eqn: d`]([eqn: d`]는 정수)라 하자.

[eqn: T _{16} <T _{17} `], [eqn: T _{17} >T _{18} `]이 성립하므로

[eqn: a _{17} >0`], [eqn: a _{18} <0`]

[eqn: a _{17} =50+16d>0`]에서

[eqn: d>`- {25} over {8} `]

[eqn: a _{18} =50+17d<0`]에서

[eqn: d<`- {50} over {17} `]

따라서 [eqn: - {25} over {8} < d < - 50 over 17 `]이므로

[eqn: d=-3`]

∴ [eqn: T _{n} = LEFT | {n LEFT { 100+(n-1)(-3) RIGHT }} over {2} RIGHT | `]

[eqn: = {LEFT | 3n ^{2} -103n RIGHT |} over {2} `]

이때 [eqn: f(x)= {|3x ^{2} -103x|} over {2}]라 하면

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: 34< {103} over {3} <35`]이므로

[eqn: T _{n} `]은 [eqn: n=34`] 또는 [eqn: 35`]일 때 최솟값을 갖는다.

[eqn: T _{34} `= {LEFT | 3 TIMES 34 ^{2} -103 TIMES 34 RIGHT |} over {2} =17]

[eqn: T _{35} `= {LEFT | 3 TIMES 35 ^{2} -103 TIMES 35 RIGHT |} over {2} =35]

따라서 [eqn: T _{n} >T _{n+1} `]을 만족시키는 [eqn: n`]은

[eqn: n=17], [eqn: 18`], [eqn: 19`], [eqn: cdots`], [eqn: 33`]

이므로 구하는 [eqn: n`]의 최댓값은 [eqn: 33`]이다.

30. [출제의도] 이차함수의 성질을 이용하여 합성함수가 불연속일 조건을 구한다.

[eqn: g(x)=(x-2) ^{2} +k-4]이므로

[eqn: x->2]일 때, [eqn: g(x)->(k-4)+0]이다.

따라서 [eqn: lim _{x -> 2} {} f(g(x))= lim _{t -> (k-4)+0} {f(t)}]이다.

이때 주어진 함수 [eqn: f(x)]의 그래프에서 [eqn: lim _{t -> (k-4)+0} {f(t)}]의 값은 항상 존재하므로

함수 [eqn: (f circg)(x)]가 [eqn: x=2]에서 불연속이려면

[eqn: lim _{t -> (k-4)+0} {f(t)} != f(g(2))]이어야 한다.

이때 [eqn: f(g(2))=f(k-4)]이므로

함수 [eqn: (f circg)(x)]가 [eqn: x=2]에서 불연속이려면

[eqn: lim _{t -> (k-4)+0} {f(t)} != f(k-4)]이어야 한다.

즉, 함수 [eqn: f(x)]의 [eqn: x=k-4]에서의 함숫값과 [eqn: x=k-4]에서의 우극한이 서로 달라야 한다.

따라서 [eqn: k-4 = 2] 또는 [eqn: k-4=3]이므로

[eqn: k=6] 또는 [eqn: k=7]

따라서 구하는 모든 [eqn: k]의 합은

[eqn: 6+7=13]이다.

[다른 풀이]

[eqn: lim_{x->2-0} ` f(g(x) ) = lim_{x->2+0} ` f(g(x) ) = lim_{t->(k-4)+0} ` f(t )]이고

[eqn: f(g(2)) = f(k-4)]이다.

한편, [eqn: k-4 ne 1], [eqn: k-4 ne 2], [eqn: k-2 ne 3]일 때

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = k-4]에서 연속이므로

[eqn: lim_{x->2} ` f(g(x) ) = f(g(2))]이다.

따라서 [eqn: k-4 ne 1], [eqn: k-4 ne 2], [eqn: k-2 ne 3]일 때,

함수 [eqn: (f circ g) (x)]는 [eqn: x = k-4]에서 연속이다.

ⅰ) [eqn: k -4 = 1] 즉 [eqn: k=5]일 때,

[eqn: lim_{t->1+0} f(t) = 3], [eqn: f(1) = 3]이므로

함수 [eqn: (f CIRC g)(x)]는 [eqn: x=2]에서 연속이다.

ⅱ) [eqn: k -4 = 2] 즉 [eqn: k=6]일 때,

[eqn: lim_{t->2+0} f(t) = 2], [eqn: f(2) = 1]이므로

함수 [eqn: (f CIRC g)(x)]는 [eqn: x=2]에서 불연속이다.

ⅲ) [eqn: k -4 = 3] 즉 [eqn: k=7]일 때,

[eqn: lim_{t->3+0} f(t) = 2], [eqn: f(3) = 1]이므로

함수 [eqn: (f CIRC g)(x)]는 [eqn: x=2]에서 불연속이다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 함수 [eqn: (f CIRC g)(x)]는 [eqn: x=2]에서 불연속이 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 6]과 [eqn: 7]이다.

그러므로 구하는 합은 [eqn: 13]이다.