2014학년도 6월 고1 전국연합학력평가

정답 및 해설

• 수학 영역 •

정 답

1	①	2	⑤	3	⑤	4	③	5	④
6	②	7	⑤	8	②	9	③	10	②
11	③	12	①	13	③	14	④	15	⑤
16	③	17	①	18	④	19	④	20	②
21	①	22	[eqn: 13]	23	[eqn: 20]	24	[eqn: 9]	25	[eqn: 16]
26	[eqn: 240]	27	[eqn: 25]	28	[eqn: 8]	29	[eqn: 21]	30	[eqn: 39]

해 설

1. [출제의도] 복소수 계산하기

[eqn: (4+3i)+(1-2i)=(4+1)+(3-2)i=5+i]

2. [출제의도] 다항식 계산하기

[eqn: 3A-B=3(x ^{2} +1)-(2x ^{2} +x-1)]

[eqn: =3x ^{2} +3-2x ^{2} -x+1]

[eqn: =x ^{2} -x+4]

3. [출제의도] 조립제법 이해하기

[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: -3]	[eqn: 2]	[eqn: 4]
		[eqn: 2]	[eqn: box{``-2``}]	[eqn: 0]
	[eqn: 1]	[eqn: -1]	[eqn: 0]	[eqn: box{``4``}]

[eqn: a=`2 TIMES (-1)=`-2,~b=4+0=4]

따라서 [eqn: a+b=`2]이다.

4. [출제의도] 치환을 이용한 사차방정식의 인수분해 이해하기

[eqn: x ^{2} +2x=X``]라 하면

주어진 식 [eqn: LEFT ( x ^{2} +2x RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x-3 RIGHT ) +2]는

[eqn: X LEFT ( X-3 RIGHT ) +2=X ^{2} -3X+2]

[eqn: = LEFT ( X-1 RIGHT ) LEFT ( X-2 RIGHT )]

이므로

[eqn: LEFT ( x ^{2} +2x RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x-3 RIGHT ) +2= LEFT ( x ^{2} +2x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x-2 RIGHT )]이다.

따라서 [eqn: a=2,~b=`-1]이므로 [eqn: a+b=`1]이다.

[다른풀이]

등식 [eqn: LEFT ( x ^{2} +2x RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x-3 RIGHT ) +2= LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x-2 RIGHT )]

는 [eqn: x]에 대한 항등식이므로 양변에 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: 2=`-2b]이다. 그러므로 [eqn: b=`-1]이다.

양변에 [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: 2= 1+a+b]이고 [eqn: b=`-1]이므로 [eqn: a=2]이다.

따라서 [eqn: a+b=`1]이다.

5. [출제의도] 인수정리 이해하기

다항식 [eqn: 2x ^{3} +ax ^{2} +bx+6]이 [eqn: x ^{2} -1]로 나누어떨어지므로

[eqn: 2x ^{3} +ax ^{2} +bx+6=(x ^{2} -1)Q(x)]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

이다. ([eqn: Q(x)]는 다항식)

[eqn: x ^{2} -1= LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )]이므로 ㉠의 양변에

ⅰ) [eqn: x=`-1]을 대입하면

[eqn: -2+a-b+6=0]이므로

[eqn: a-b=`-4]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

ⅱ) [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 2+a+b+6=0]이므로

[eqn: a+b=`-8]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

㉡, ㉢에 의해 [eqn: a=`-6], [eqn: b=`-2]이다.

따라서 [eqn: ab=12]이다.

[다른풀이]

다항식 [eqn: 2x ^{3} +ax ^{2} +bx+6]이 [eqn: x ^{2} -1]로 나누어떨어지므로 [eqn: 2x ^{3} +ax ^{2} +bx+6]을 [eqn: x ^{2} -1]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)]라 하면 [eqn: 2x ^{3} +ax ^{2} +bx+6 = (x-1)(x+1)Q(x)]가 된다.

그러므로 조립제법을 이용하면

1	[eqn: 2]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: 6]
		[eqn: 2]	[eqn: a+2]	[eqn: a+b+2]
				[eqn: a+b+8]
[eqn: -1]	[eqn: 2]	[eqn: a+2]	[eqn: a+b+2]
		[eqn: -2]	[eqn: -a]
	[eqn: 2]	[eqn: a]	[eqn: b+2]

[eqn: a+b+8=0,```b+2=0]이므로 [eqn: a=`-6,~b=`-2]이다.

따라서 [eqn: ab=12]이다.

6. [출제의도] 절댓값의 성질 이해하기

[eqn: sqrt`of {3} <a< sqrt`of {6}]에서 [eqn: 3<a ^{2} <6]이다.

따라서 [eqn: a ^{2} -2>0,```a ^{2} -7<0]이므로

[eqn: LEFT | a ^{2} -2 RIGHT | + LEFT | a ^{2} -7 RIGHT | = LEFT ( a ^{2} -2 RIGHT ) - LEFT ( a ^{2} -7 RIGHT ) =5]이다.

7. [출제의도] 복소수 계산하기

[eqn: sqrt {-2`} sqrt {-18} ``+`` {sqrt {12}} over {sqrt {-3}} ``=`` sqrt {2} i TIMES sqrt {18} i``+`` {2 sqrt {3}} over {sqrt {3} i}]

[eqn: = sqrt {36} i` ^{2} + {2i} over {i ` ^{2}}]

[eqn: =`-6-2i]

8. [출제의도] 다항식의 곱셈공식 이해하기

곱셈공식 [eqn: LEFT ( a+b+c RIGHT ) ^{2} =a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} +2ab+2bc+2ca]이므로 [eqn: LEFT ( 2x+y-1 RIGHT ) ^{2} =3]의 좌변을 전개하면

[eqn: 4x ^{2} +y ^{2} +(-1) ^{2} +4xy-2y-4x=3]이다.

따라서 [eqn: 4x ^{2} +y ^{2} +4xy-4x-2y=2]이다.

[다른풀이]

[eqn: 2x+y-1=`+-sqrt`of3]이므로 [eqn: 2x+y `=`1+-sqrt`of3]이다.

식의 양변을 제곱하면

[eqn: (2x+y)^2 =(1+-sqrt`of3 )^2]이므로

[eqn: 4x^2 + 4xy + y^2 = 4+-2sqrt`of3]이다.

주어진 식

[eqn: 4x^2 + y^2 +4xy -2y-4x]

[eqn: = (4x^2 + 4xy + y^2 )-2(2x+y)]

[eqn: =(4+-2sqrt`of3 )-2(1+-sqrt`of3 )] (복호동순)

[eqn: =2]이다.

9. [출제의도] 이차함수와 이차부등식의 관계 이해하기

이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2 LEFT ( k-2 RIGHT ) x-k ^{2} +5k-3]의 그래프는

아래로 볼록하므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: y GEQ 0]가 되려면 이차함수의 그래프가 [eqn: x]축에 접하거나 만나지 않아야 한다. 즉, [eqn: x ^{2} -2 LEFT ( k-2 RIGHT ) x-k ^{2} +5k-3=0]의

판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D le0]이다.

[eqn: {D} over {4} = LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( -k ^{2} +5k-3 RIGHT ) LEQ 0]이므로

[eqn: k ^{2} -4k+4+k ^{2} -5k+3 LEQ 0]이다.

[eqn: 2k ^{2} -9k+7 LEQ 0]이고

[eqn: LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( 2k-7 RIGHT ) LEQ 0]이다.

즉, [eqn: 1 LEQ k LEQ {7} over {2}]

따라서 범위 안의 정수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 1,~2,~3]이므로 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 6]이다.

[다른풀이]

[eqn: x ^{2} -2 LEFT ( k-2 RIGHT ) x-k ^{2} +5k-3]

[eqn: =x ^{2} -2 LEFT ( k-2 RIGHT ) x+ LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2} -k ^{2} +5k-3]

[eqn: = LEFT { x- LEFT ( k-2 RIGHT ) RIGHT } ^{2} -2k ^{2} +9k-7` GEQ 0]

이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하려면

[eqn: -2k ^{2} +9k-7` GEQ 0]이므로

[eqn: 2k ^{2} -9k+7` LEQ 0]이고

[eqn: LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( 2k-7 RIGHT ) LEQ 0]이다.

즉, [eqn: 1 LEQ k LEQ {7} over {2}]

따라서 범위 안의 정수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 1,~2,~3]이므로 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 6]이다.

10. [출제의도] 절댓값을 포함한 부등식 이해하기

ⅰ) [eqn: x GEQ 1]일 때

[eqn: x ^{2} -2x-5<x-1]이므로 [eqn: x ^{2} -3x-4<0]이고

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT ) <0]이다.

즉, [eqn: -1<x<4]이고, [eqn: x GEQ 1]이므로

범위는 [eqn: 1 LEQ x<4]이다.

ⅱ) [eqn: x<1]일 때

[eqn: x ^{2} -2x-5<`- LEFT ( x-1 RIGHT )]이므로 [eqn: x ^{2} -x-6<0]이고

[eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) <0]이다.

즉, [eqn: -2<x<3]이고 [eqn: x<1]이므로

범위는 [eqn: -2<x<1]이다.

ⅰ), ⅱ)에 의해 [eqn: -2<x<4]이고 범위를 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: -1,``0,``1,``2,``3]이므로 개수는 5이다.

[다른풀이]

[eqn: x ^{2} -2x-5`=x ^{2} -2x+1-6]

[eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} -6]

[eqn: = LEFT | x-1 RIGHT | ^{2} -6] [eqn: ( BECAUSE LEFT | x-1 RIGHT | ^{2} = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} )]

주어진 식 [eqn: x ^{2} -2x-5< LEFT | x-1 RIGHT |]에 위 식을 대입하면

[eqn: LEFT | x-1 RIGHT | ^{2} -6< LEFT | x-1 RIGHT |]이므로

[eqn: LEFT . ( LEFT | x-1 RIGHT | `-`3` )(LEFT | x-1 RIGHT | `+`2)`<0 RIGHT .]이다.

[eqn: LEFT | x-1 RIGHT | +2>0]이므로 [eqn: LEFT | x-1 RIGHT | <3]이다.

따라서 [eqn: -2<x<4]이고 범위를 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: -1,~0,~1,~2,~3]이므로 개수는 5이다.

[참고]

[eqn: y=x^2 -2x-5]와 [eqn: y=|`x-1`|]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: 1]

[eqn: -2]

[eqn: 4]

[eqn: x]

[eqn: -6]

[eqn: y=|`x-1`|]

[eqn: y=x^2 -2x-5]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

11. [출제의도] 이차함수의 그래프 이해하기

함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼 평행이동한 것이므로 선분 [eqn: rm CD]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프로 둘러싸인 도형과 선분 [eqn: rm AB]와 [eqn: y=f(x)]의 그래프로 둘러싸인 도형은 합동이다.

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y=g(x)]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

따라서 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프와 선분 [eqn: rm AD], 선분 [eqn: rm BC]로 둘러싸인 도형의 넓이는 사각형 [eqn: rm ABCD]의 넓이와 같다.

또한, 선분 [eqn: rm AD]와 선분 [eqn: rm BC]는 평행하고 길이가 같으므로 사각형 [eqn: rm ABCD]는 평행사변형이 된다.

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y=g(x)]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rm bar AD][eqn: =g LEFT ( 1 RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT ) =3]이고, 점[eqn: rm A]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 1], 점[eqn: rm B]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 4]이므로 평행사변형 [eqn: rm ABCD]의 높이는 [eqn: 3]이다.

따라서 평행사변형 [eqn: rm ABCD]의 넓이는 [eqn: 3 times3 =9]이다.

12. [출제의도] 삼차방정식의 근의 성질을 이용하여 추론하기

[eqn: alpha `]가 삼차방정식 [eqn: x ^{3} `+`2x ^{2} `+`3x`+`1`=`0`]의 한 근이므로

[eqn: alpha ^{3} `+`2 alpha ^{2} `+` 3alpha`+`1 `=`0`]

이다.

[eqn: alpha`]는 [eqn: 0`]이 아니므로 양변을 [eqn: alpha^3 `]으로 나누면

[eqn: 1+ 2 over alpha + 3 over alpha^2 + 1 over alpha^3 =0]이므로

식을 정리하면

[eqn: LEFT (` {1} over {alpha } `RIGHT ) ^{3} `+`BOX{~~3~~}`times` LEFT (` {1} over {alpha } `RIGHT ) ^{2} `+`2 left(` 1over alpha `right)`+`1 `=`0`]

이다.

그러므로 [eqn: 1over alpha `]은 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 [eqn: x`]에 대한

삼차방정식 [eqn: {BOX{~~x^3 + 3x^2 +2x+1~~}} `=`0`]

의 한 근이다.

같은 방법으로

[eqn: beta `,``gamma`]도 삼차방정식 [eqn: x ^{3} `+`2x ^{2} `+`3x`+`1`=`0`]의 근이므로

[eqn: beta ^{3} `+`2 beta ^{2} `+` 3beta`+`1 `=`0`]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

이고,

[eqn: gamma ^{3} `+`2 gamma ^{2} `+` 3gamma`+`1 `=`0`]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

이다.

[eqn: beta], [eqn: gamma]는 [eqn: 0`]이 아니므로 식 ㉠, ㉡의 양변을 각각

[eqn: beta`^3], [eqn: gamma^3]으로 나누면

[eqn: 1+ 2 over beta + 3 over {beta`^2} + 1 over {beta`^3} =0], [eqn: 1+ 2 over gamma + 3 over gamma^2 + 1 over {gamma`^3 }=0]이므로

식을 정리하면

[eqn: left( 1over beta right)^3 +3 left( 1over beta right)^2 +2left( 1over beta right) +1=0], [eqn: left( 1over gamma right)^3 +3 left( 1over gamma right)^2 +2left( 1over gamma right) +1=0]

이다.

그러므로 [eqn: 1over beta], [eqn: 1 over gamma]은 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 [eqn: x`]에 대한 삼차방정식 [eqn: x^3 + 3x^2 +2x+1=0]의 근이다.

따라서 [eqn: {1}over{alpha }`,~{1}over{ beta }`,~{1}over{ gamma } `]을 세 근으로 갖는 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 [eqn: x`]에 대한 삼차방정식은

[eqn: x^3 + 3x^2 +2x+1=0]

이다.

따라서 [eqn: p=3], [eqn: f(2)=25]이므로 [eqn: p+f(2)=28]이다.

13. [출제의도] 이차부등식 문제해결하기

이차부등식 [eqn: 1 over 2 f(x) LEQk]에 [eqn: f(x)=x^2]을 대입하면

[eqn: 1 over 2 x^2 LEQ k]이다.

([eqn: k<0]이면 [eqn: {1} over {2} x ^{2} LEQ k]를 만족하는 정수 [eqn: x]가 없다.)

[eqn: x^2 LEQ 2k]이므로 [eqn: x^2 -2k LEQ0]이다.

따라서 [eqn: (x- sqrt { 2k})(x+ sqrt { 2k}) LEQ0]이다.

그러므로 [eqn: -sqrt { 2k} LEQ x LEQ sqrt { 2k}]를 만족하는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 7]이므로 [eqn: 3 LEQ sqrt {2k} <4]이다.

즉, [eqn: 9 LEQ 2k<16]이다.

따라서 [eqn: {9} over {2} LEQ k<8]를 만족하는 자연수 [eqn: k=5`,~6`,~7]이므로 [eqn: k]의 합은 [eqn: 18]이다.

14. [출제의도] 이차방정식과 이차함수의 관계 추론하기

[eqn: y`=` 1over2 x `+`1`]

[eqn: y`=`f`(`x)`]

[eqn: y`=`g`(`x)`]

[eqn: rmO]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: x_1]

[eqn: x_2]

[eqn: x_3]

[eqn: x_4]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: p]

함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: p]만큼 평행이동한 것이므로

[eqn: g(x)=(x-p) ^{2}]이 된다.

이차함수 [eqn: y=x^2]의 그래프와 직선 [eqn: y= 1 over 2 x+1]의 교점 [eqn: rmA], [eqn: rm B]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: x_1`,~x_2]라 하면 [eqn: x_1`,~x_2]는
방정식 [eqn: x^2 = 1 over 2 x+1]의 근이 된다.

따라서 이차방정식 [eqn: 2x^2 -x-2=0]의 두 근의 합

[eqn: x_1 + x_2 = 1 over 2]이다.

같은 방법으로 이차함수 [eqn: y=(x-p)^2]의 그래프와  직선 [eqn: y= 1 over 2 x+1]의 교점 [eqn: rmC], [eqn: rmD]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x_3`,```x_4]라 하면 [eqn: x_3`,```x_4]는 방정식 [eqn: (x-p)^2 = 1 over 2 x+1]의 근이 된다.

그러므로 이차방정식 [eqn: 2x^2 -(4p+1)x+2p^2 -2=0]의

두 근의 합 [eqn: x_3 + x_4 = 2p+ 1 over 2]이다.

따라서 [eqn: x_1 + x_2 + x_3 + x_4 =1+2p]이므로 [eqn: 1+2p=9]이고, [eqn: p=4]이다.

15. [출제의도] 이차함수의 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: a=b]이면 [eqn: f(x)=(x-a)^2]이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) GEQ0]이다. (참)

ㄴ. [eqn: f(x)=x^2 -(a+b)x+ab]이므로

[eqn: f(x)= x^2 - (a+b)x+ LEFT ( a+b over 2 RIGHT )^2 + ab- LEFT ( a+b over 2 RIGHT )^2]

[eqn: =LEFT ( x- { a+b over2 RIGHT )^2 + ab- LEFT ( a+b over 2 RIGHT )^2]

[eqn: =LEFT ( x- { a+b over2 RIGHT )^2 - LEFT ( a-b over 2 RIGHT )^2]이다.

따라서 [eqn: f(x)]는 [eqn: x= a+b over 2]일 때 최솟값은

[eqn: f left( {a+b}over2 right)`=`- LEFT ( a-b over 2 RIGHT )^2]이다. (참)

ㄷ. 이차함수 [eqn: f(x)]는 아래로 볼록하고, [eqn: f left( a+b over2 right)]를

최솟값으로 가지고, [eqn: 0<a<b]에서

[eqn: {a-b} over {2} < {b-a} over {2} < {a+b} over {2}]이므로

[eqn: f LEFT ( {a-b} over {2} RIGHT ) >f LEFT ( {b-a} over {2} RIGHT ) >f LEFT ( {a+b} over {2} RIGHT )]이다.

[eqn: {a+b}over2]

[eqn: {b-a}over2]

[eqn: {a-b}over2]

[eqn: y=f(x)]

따라서 [eqn: f LEFT ( b-a over 2 RIGHT )<f LEFT ( a-b over 2 RIGHT )]이다. (참)

[다른풀이]

ㄷ. [eqn: f LEFT ( b-a over 2 RIGHT )=LEFT ( b-a over 2 -a RIGHT ) LEFT ( b-a over 2 -b RIGHT )]

[eqn: =LEFT ( b-3a over 2 RIGHT ) LEFT ( -a-b over 2 RIGHT )]

[eqn: ={ ( 3a-b)(a+b) }over 4]이고

[eqn: f LEFT ( a-b over 2 RIGHT )=LEFT ( a-b over 2 -a RIGHT ) LEFT ( a-b over 2 -b RIGHT )]

[eqn: =LEFT ( -a-b over 2 RIGHT ) LEFT ( a-3b over 2 RIGHT )]

[eqn: ={ ( 3b-a)(a+b) }over 4]

이므로

[eqn: f LEFT ( b-a over 2 RIGHT )-][eqn: f LEFT ( a-b over 2 RIGHT )][eqn: = (a+b) over 4 LEFT (4a-4b )]

[eqn: =(a+b)(a-b)]이다.

[eqn: 0<a<b]에서 [eqn: a+b>0], [eqn: a-b<0]이므로 [eqn: (a+b)(a-b)<0]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( b-a over 2 RIGHT )<f LEFT ( a-b over 2 RIGHT )]이다. (참)

16. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계 이해하기

[eqn: x ^{2} -3x-2=0]의 두 근이 [eqn: alpha ,`` beta]이므로

근과 계수의 관계에 의해

[eqn: alpha + beta =3,``` alpha beta =`-2]

또한 [eqn: alpha]는 [eqn: x ^{2} -3x-2=0]의 근이므로

[eqn: alpha ^{2} -3 alpha -2=0]

즉, [eqn: alpha^2 -3alpha=2]이다.

[eqn: alpha ^{3} -3 alpha ^{2} + alpha beta +2 beta = alpha LEFT ( alpha ^{2} -3 alpha RIGHT ) + alpha beta +2 beta]

[eqn: =2 alpha + alpha beta +2 beta]

[eqn: =2 LEFT ( alpha + beta RIGHT ) + alpha beta]

[eqn: =6-2=4]이다.

따라서 [eqn: alpha ^{3} -3 alpha ^{2} + alpha beta +2 beta]의 값은 [eqn: 4]이다.

17. [출제의도] 이차방정식을 활용한 실생활 문제해결하기

[eqn: 3 over 10 = {E`_2} over {E`_1} = {1 over 2 GM`_2`^2 TIMES LEFT ( 1 over 4 - 1 over 16 RIGHT )} over{1 over 2 GM`_1`^2 TIMES LEFT ( 1 over 5 - 1 over 20 RIGHT ) }] [eqn: = {{M`_2`^2} over {M`_1`^2} } TIMES 5 over 4]이다.

[eqn: 3 over 10][eqn: = {{M`_2` ^2} over {M`_1`^2} } TIMES 5 over 4]이므로 [eqn: {{M`_2 `^2} over {M`_1`^2} } = 3 over 10 TIMES 4 over 5 = 6 over 25]

따라서 [eqn: {{M`_2} over {M`_1} } = sqrt`of { 6} over 5]이다.

18. [출제의도] 삼차방정식의 근의 성질을 활용하여 문제해결하기

삼차방정식 [eqn: x^3 -5x^2 +(k-9)x+k-3=0]에서 조립제법을 이용하여 인수분해하면

[eqn: -1]	[eqn: 1]	[eqn: -5]	[eqn: k-9]	[eqn: k-3]
		[eqn: -1]	[eqn: 6]	[eqn: -k+3]
	[eqn: 1]	[eqn: -6]	[eqn: k-3]		[eqn: 0]

[eqn: x^3 -5x^2 +(k-9)x+k-3][eqn: =(x+1)(x^2 -6x+k-3)]이다.

[eqn: x=`-1]은 주어진 삼차방정식의 해이다.

따라서 [eqn: x ^{2} -6x+k-3=0]은 [eqn: 1]보다 큰 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.

[eqn: f(x)=x^2 - 6x+k-3]이라 하면

[eqn: 1]보다 큰 서로 다른 두 실근을 갖기 위해서는

판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D over 4 =9-k+3>0]이므로
[eqn: k<12]이다.                                [eqn: CDOTS CDOTS ~㉠]

또한, [eqn: f(1)=1-6+k-3>0]이므로 [eqn: k>8]이다. [eqn: CDOTS CDOTS ~㉡]

[eqn: 3]

[eqn: 1]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: x]

따라서 ㉠, ㉡을 모두 만족하는 [eqn: k]의 값은 [eqn: 8<k<12]이므로 정수 [eqn: k]는 [eqn: 9`,~10`,~11]이다. 그러므로 모든 정수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 30]이다.

19. [출제의도] 이차방정식과 이차함수의 관계를  활용한 문제해결하기

[eqn: rmC]

[eqn: 2sqrt`of3]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmP]

[eqn: 2]

[eqn: rmD]

[eqn: rmE]

점 [eqn: rm P]에서 변 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm D]라 하고 변 [eqn: rm AB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm E]라 하고 닮음을 이용하면 [eqn: rm bar PD][eqn: =a]이면 [eqn: { rm bar CD} = sqrt { 3}a], [eqn: {rm bar BD }= (2-a) sqrt { 3}]이므로

[eqn: { rm bar PB }^2 = a^2 +3(2-a)^2 = 4a^2 -12a+12]이고,

[eqn: { rm bar PC }^2 = a^2 +3a^2 = 4a^2]이다.

[eqn: { rm bar PB }^2 +{ rm bar PC }^2 =8a^2 -12a+12][eqn: =8 LEFT ( a- 3 over 4 RIGHT )^2 + 15 over 2]이므로
최솟값은 [eqn: 15 over 2]이다.

[다른풀이]

[eqn: rmC]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmP]

[eqn: 2]

[eqn: rmD]

[eqn: 2sqrt`of3]

변 [eqn: rm AC]위의 임의의 한 점 [eqn: rm P]에 대해 [eqn: {rm bar PC =][eqn: x]라 하자. 점 [eqn: rm B]에서 변 [eqn: rm AC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm D]라 하면

삼각형 [eqn: rm BDP]는 직각삼각형이다.

피타고라스 정리에 의해서 [eqn: rm {bar PB}^2 = {bar PD}^2 + {bar BD}^2]이고,

삼각형 [eqn: rm ADB]는 [eqn: angle {rmA}=60DEG]인 직각삼각형이므로

[eqn: rm barAB =2], [eqn: rmbar AD =1], [eqn: rm bar DB = sqrt { 3}]이다.

[eqn: rm bar PD = 4-bar AD -bar CP][eqn: =4-1-x=3-x]이므로

[eqn: rm {bar PB }^2 =][eqn: (3-x)^2 + (sqrt `of{ 3})^2]이다.

따라서

[eqn: {rm bar PB}^2 +{rm bar PC}^2][eqn: =(3-x)^2 +( sqrt { 3})^2 + x^2]

[eqn: =x^2 -6x+9+3+x^2]

[eqn: =2x^2 -6x+12]

[eqn: =2 LEFT ( x^2 -3x+ 9 over 4 RIGHT )- 9 over 2 +12]

[eqn: =2 LEFT ( x- 3 over 2 RIGHT )^2 + 15 over 2]

이다.

따라서 최솟값은 [eqn: 15 over 2]이다.

20. [출제의도] 이차방정식의 근의 성질과 복소수의 성질을 이용하여 문제해결하기

복소수 [eqn: alpha]가 이차방정식 [eqn: x^2 -px+p+3=0]의 한 근이면 [eqn: bar alpha]도 근이므로

[eqn: alpha =a+bi]라 하면, [eqn: {bar{alpha }} `=a-bi] ([eqn: a,``b]는 실수, [eqn: b!=0])이고,

근과 계수의 관계에 의해

[eqn: alpha + bar alpha `=2a=p`,``alpha bar alpha `=a ^{2} +b ^{2} =p+3]이므로

[eqn: a= {p} over {2} ,````b ^{2} =`-a ^{2} +p+3=`- {p ^{2}} over {4} +p+3]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

[eqn: alpha ^{3} = LEFT ( a+bi RIGHT ) ^{3}]

[eqn: =a ^{3} +3a ^{2} bi-3ab ^{2} -b ^{3} i]

[eqn: = LEFT ( a ^{3} -3ab ^{2} RIGHT ) + LEFT ( 3a ^{2} b-b ^{3} RIGHT ) i]

[eqn: alpha ^{3}]이 실수이므로 허수부분인 [eqn: 3a ^{2} b-b ^{3} =0]이다.

[eqn: b != 0]이므로 [eqn: b ^{2} =3a ^{2}]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: `- {p ^{2}} over {4} +p+3=3 LEFT ( {p} over {2} RIGHT ) ^{2}]을 정리하면

[eqn: p ^{2} -p-3=0]이다.

따라서 근과 계수의 관계에 의해 모든 실수 [eqn: p]의 곱은 [eqn: -3]이다.

[다른풀이1]

이차방정식 [eqn: x^2 -px+p+3=0]이 허근을 가지므로

판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D= p^2 -4(p+3) < 0]이므로

[eqn: -2 < p< 6]이다.

이차방정식 [eqn: x^2 -px+p+3=0]의 한 허근이 [eqn: alpha]이므로

[eqn: alpha^2 -p alpha+p+3=0]이 성립한다.

즉, [eqn: alpha^2 = p alpha -p-3]이다.

[eqn: alpha^3 `=` alpha^2 times alpha][eqn: =p alpha^2 -(p+3)alpha]

[eqn: =p(p alpha - p-3)-(p+3)alpha]

[eqn: =(p^2 -p-3)alpha -p(p+3)]이므로

[eqn: alpha^3]은 실수, [eqn: p(p+3)]은 실수, [eqn: alpha]는 허수이므로

[eqn: p^2 -p-3=0]이다.

[eqn: -2]

[eqn: 1over2]

[eqn: 6]

[eqn: p]

[eqn: y=p^2 -p-3]

[eqn: f(p)=p^2 -p-3]이라 하면

[eqn: f(p)= left( p - 1over2 right)^2 - 13over4]이다.

ⅰ) 축 [eqn: p= 1over2]은 [eqn: -2]와 [eqn: 6] 사이에 존재하고

ⅱ) [eqn: f(-2) > 0 `,``f(6)>0]

ⅲ) [eqn: f left( 1over 2 right) <0]이므로 실근이 존재한다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의해 [eqn: p^2 - p - 3 =0]의 두 실근은

[eqn: -2]와 [eqn: 6]사이에 존재한다.

따라서 [eqn: alpha^3]이 실수가 되는 모든 실수 [eqn: p]의 값의 곱은 [eqn: -3]이다.

[다른풀이2]

이차방정식 [eqn: x^2 -px+p+3=0]이 허근을 가지므로

판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D= p^2 -4(p+3) < 0]이므로

[eqn: -2 < p< 6]이다.

이차방정식 [eqn: x^2 -px+p+3=0]의 한 허근이 [eqn: alpha]이므로

[eqn: alpha^2 - p alpha +p+3=0]이고, [eqn: alpha^2 -p alpha +p^2 = p^2 -p-3]이다.

식의 양변에 [eqn: alpha+ p]를 각각 곱하면

[eqn: alpha^3 + p^3 = (alpha+p)(p^2 -p-3)]이므로

[eqn: alpha^3 = (p^2 -p-3)alpha -p(p+3)]이다.

[eqn: alpha^3]이 실수이므로 [eqn: p^2 -p-3=0]이다.

21. [출제의도] 나머지정리를 이용한 다항식 추론하기

조건 (가)에서 [eqn: x=1`]을 대입하면 [eqn: P(1)=0]이다.

[eqn: x=7]을 대입하면 [eqn: P(5)=0]이다.

[eqn: P(x)]는 삼차다항식이므로 조건 (나)에 의해

[eqn: P(x)=(x^2 -4x+2)(ax+b)+2x-10]이다.

(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수)

[eqn: P(1)=0]이므로 [eqn: -a-b-8=0]

따라서 [eqn: a+b=`-8]이다.	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

[eqn: P(5)=0]이므로 [eqn: 35a+7b=0]

따라서 [eqn: 5a+b=0]이다.	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

㉠과 ㉡에 의하여 [eqn: a=2], [eqn: b=`-10]이다.

따라서 [eqn: P(x)=(x^2 -4x+2)(2x-10)+2x-10]이므로
[eqn: P(4) =][eqn: `-6]이다.

[다른풀이1]

조건 (가)에서 [eqn: x=1`]을 대입하면 [eqn: P(1)=0]이고,

[eqn: x=7]을 대입하면 [eqn: P(5)=0]이므로 상수 [eqn: a`,``k`]에 대하여

[eqn: P(x) = a(x-1)(x-5)(x-k)]이다. (단, [eqn: a!=0])

위 식을 조건 (가)에 대입하면

[eqn: a(x-1)(x-3)(x-7)(x-k-2)]

[eqn: =a(x-7)(x-1)(x-5)(x-k)]

이므로 [eqn: (x-3)(x-k-2)= (x-5)(x-k)] 즉, [eqn: k=3]이다.

따라서 [eqn: P(x) = a(x-1)(x-3)(x-5)]이다.

조건 (나)에 의해 [eqn: P(x)]를 [eqn: x^2 -4x+2]로 나눈 몫을

[eqn: Q(x)]라 하면

[eqn: a(x-1)(x-3)(x-5)=(x^2 -4x+2)Q(x) +2x-10]

즉,[eqn: a(x^2 -4x+3)(x-5)=(x^2 -4x+2)Q(x) +2x-10][eqn: cdots]㉠

[eqn: x^2 -4x+2=0]의 해를 [eqn: alpha]라 하면 [eqn: alpha^2 -4alpha+2=0]이므로 식 ㉠에 [eqn: x`=`alpha]를 대입하면 [eqn: a(alpha-5)=2alpha -10]

즉, [eqn: a=2]이다.

따라서 [eqn: P(x) = 2(x-1)(x-3)(x-5)]이므로 [eqn: P`(4)=`-6]이다.

[다른풀이2]

조건 (나)에 의해 [eqn: P ( x ) = ( x ^{2} -4x+2 ) Q ( x ) +2x-10]
으로 둘 수 있다.([eqn: Q(x)]는 일차식)

조건 (가)에 위의 식을 대입하면 좌변은

[eqn: ( x-1 ) P ( x-2 )]

[eqn: =(x-1) left{ (x-2)^2 - 4(x-2)+2 right}Q(x-2)+2(x-2)-10]

[eqn: = ( x-1 ) ( x ^{2} -8x+14 ) Q ( x-2 ) +2 ( x-7 )]

우변은 [eqn: ( x-7 ) P ( x )]

[eqn: = ( x-7 ) left{ ( x ^{2} -4x+2 ) Q ( x ) +2 ( x-5 ) right}]

좌변과 우변을 비교하면

[eqn: ( x ^{2} -8x+14 ) Q ( x-2 )]가 [eqn: x-7]을 인수로 가져야 한다.

즉, [eqn: Q ( x-2 )]는 [eqn: x-7]을 인수로 가져야 한다.

그러므로 [eqn: Q ( x-2 ) =a ( x-7 )]이 되어 [eqn: Q(x)=a(x-5)]를 얻는다.

또한 [eqn: a ( x ^{2} -4x+2 ) ( x-5 ) +2 ( x-5 )]가 [eqn: x-1]을 인수로 가지므로

[eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: a(1-4+2) TIMES ( -4 ) + ( -8 ) =0]이다.

따라서 [eqn: a=2]이다.

다항식 [eqn: P ( x ) =2 ( x ^{2} -4x+2 ) ( x-5 ) +2 ( x-5 )]이므로

[eqn: P(4)=`-6]이다.

22. [출제의도] 항등식 이해하기

등식 [eqn: x ^{2} `+`5x`+`7`=`(`x`-`1`) Q(`x)`+`a`]에 [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: 1+5+7=a]이다.

따라서 [eqn: a=13]이다.

23. [출제의도] 이차함수와 직선의 위치관계 이해하기

이차함수 [eqn: y=x^2 +5]의 그래프와 직선 [eqn: y=mx]가 접해야하므로 방정식 [eqn: x^2 +5=mx]는 중근을 가져야 한다.

그러므로 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D=m ^{2} -20=0]이다.

따라서 [eqn: m ^{2} =20]이다.

24. [출제의도] 연립부등식의 성질 이해하기

부등식 [eqn: |`x-1`|le6]의 해를 구하면 [eqn: -6 le x-1 le 6]이므로 [eqn: -5 le x le 7]이다.

부등식 [eqn: (x-2)(x-8)le0]의 해를 구하면 [eqn: 2le x le8]이다.

그러므로 연립부등식의 해는 [eqn: 2 le x le 7]이다.

따라서 [eqn: alpha + beta]의 값은 [eqn: 9]이다.

25. [출제의도] 미지수가 3개인 연립일차방정식 이해하기

[eqn: LEFT { ` {matrix{x-2y=10~~~~~``&`` CDOTS CDOTS ~㉠#x-y-z=8~~~~``&`` CDOTS CDOTS ~㉡#x+3y+z=`-12&`` CDOTS CDOTS ~㉢}} RIGHT .]

㉡+㉢을 계산하면

[eqn: 2x+2y=`-4]	[eqn: cdots][eqn: cdots~㉣]

㉠+㉣를 계산하면 [eqn: 3x=6]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉤

㉣, ㉤에 의해 [eqn: x=2], [eqn: y=`-4], [eqn: z=`-2]이다.

따라서 [eqn: xyz=16]이다.

[다른풀이]

㉠+㉡+㉢을 계산하면 [eqn: 3x=6]이므로 [eqn: x=2]이다.

㉠, ㉡에 의해 [eqn: y=`-4], [eqn: z=`-2]이므로 [eqn: xyz=16]이다.

26. [출제의도] 곱셈공식을 활용한 문제해결하기

[eqn: {rm barAC} `=x], [eqn: {rm bar CB}`=y]라 하면 [eqn: x+y=8]이고, [eqn: x^3 + y^3 = 224]이다. 두 정육면체의 겉넓이의 합은 [eqn: 6(x^2 + y^2 )]이므로 [eqn: xy]의 값을 구해야 한다.

[eqn: (x+y)^3 = (x^3 + y^3 ) +3xy(x+y)]이므로 [eqn: 8^3 = 224 + 3xy`times 8]에 의해 [eqn: xy=12]이다.

[eqn: x^2 + y^2 =(x+y)^2 -2xy]를 이용하면 [eqn: x^2 +y^2 = 40]이고,

두 정육면체의 겉넓이의 합은 [eqn: 240]이다.

[다른풀이]

[eqn: {rm barAC} `=x]라 하면 [eqn: {rm bar CB}`=8-x]이므로 [eqn: x^3 +(8-x)^3 =224]
이고, [eqn: x^3 -x^3 +24x^2 -192x+512=224]이므로

[eqn: 24x^2 -192x+288=0]이다.

[eqn: x^2 -8x+12=0]이므로 [eqn: (x-6)(x-2)=0]이다.

[eqn: x=6] 또는 [eqn: x=2]이므로 두 정육면체의 변의 길이는 각각 [eqn: 6]과 [eqn: 2]이다.

따라서 두 정육면체의 겉넓이는 [eqn: 6times6^2 + 6times2^2 = 240]이다.

27. [출제의도] 미지수가 2개인 연립이차방정식 이해하기

[eqn: LEFT { `` {matrix{``x ^{2} -y ^{2} =6~~~~~~~~~~&` CDOTS CDOTS `㉠#(x+y) ^{2} -2(x+y)=3&` CDOTS CDOTS `㉡}} RIGHT .]

식 ㉡에서 [eqn: x+y=t]라 하면 [eqn: t^2 -2t-3=0]이므로

[eqn: (t-3)(t+1)=0] 즉, [eqn: t=3] 또는 [eqn: t=`-1]이다.

그러므로 [eqn: x+y=3] 또는 [eqn: x+y=`-1]이다.

한편, [eqn: x], [eqn: y]는 양수이므로

[eqn: x+y=3]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

식 ㉠을 인수분해하면 [eqn: (x+y)(x-y)=6]이므로

㉢에 의해 [eqn: 3(x-y)=6]이다.

따라서 [eqn: x-y=2]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉣

이다.

㉢+㉣을 계산하면 [eqn: 2x=5]이므로 [eqn: x= 5over2]이다.

[eqn: x= 5over2]를 ㉢에 대입하면 [eqn: y= 1over2]이다.

따라서 [eqn: 20xy=25]이다.

[다른풀이]

[eqn: LEFT { `` {matrix{``x ^{2} -y ^{2} =6~~~~~~~~~~&` CDOTS CDOTS `㉠#(x+y) ^{2} -2(x+y)=3&` CDOTS CDOTS `㉡}} RIGHT .]

[eqn: x+y=alpha `,``xy=beta]라 하면 [eqn: (x-y)^2 = (x+y)^2 -4xy]이므로

[eqn: (x-y) ^{2} = alpha ^{2} -4 beta]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

식 ㉡에 의해 [eqn: alpha^2 - 2alpha-3=0]이 된다.

그러므로 [eqn: alpha=3] 또는 [eqn: alpha=`-1]이고 [eqn: x], [eqn: y`]는 양수이므로 [eqn: alpha=3] 즉, [eqn: x+y=3]이다.

따라서 식 ㉢은 [eqn: (x -y )^2 = 9-4beta]이다.

또한, 식 ㉠을 제곱하면 [eqn: (x^2 - y^2 )^2 = 6^2]이고, 등식을 정리하면 [eqn: (x+y)^2 (x-y)^2 = 6^2]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉣

식 ㉣에 [eqn: x+y=3]과 식 ㉢을 대입하면

[eqn: 3^2 (9 - 4beta) = 6^2]이므로 [eqn: 9-4beta= 4] 즉, [eqn: beta= 5over4]이다.

따라서 [eqn: 20xy=25]이다.

28. [출제의도] 복소수의 성질을 이용하여 추론하기

[eqn: z=a+b`i]([eqn: a`,``b]는 실수)라 하면 [eqn: z^2 = (a^2 - b^2 )+2ab`i]이고 복소수의 성질에 의해 [eqn: ( {bar z})^2 = bar{z^2 }]이므로
[eqn: (`barz `)^2 `=` a^2 `-` b^2 `-`2ab i`]이다.

따라서 [eqn: z^2 + ( {bar z})^2][eqn: =2(a^2 - b^2 )]이다.

조건 (나)에 의해 [eqn: z^2 + ( {bar z})^2]은 음수이므로

[eqn: 2(a^2 -b^2 )< 0]

즉, [eqn: 2(a+b)(a-b) < 0]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

조건 (가)의 [eqn: z=3x+(2x-7)i]에서 [eqn: a=3x], [eqn: b=2x-7]을

식 ㉠에 대입하면

[eqn: 2 LEFT { 3x+(2x-7)right}left{3x-(2x-7) RIGHT } =2(5x-7)(x+7)]이고

[eqn: (5x-7)(x+7)<0]이므로 [eqn: -7 < x < 7over5]을 만족하는

정수 [eqn: x]는 [eqn: -6`,~-5`,~-4`,~-3`,~-2`,~-1`,~0`,~1]이고

정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 8]이다.

29. [출제의도] 사차방정식 해의 성질을 활용하여 문제해결하기

[eqn: x^2 = t]([eqn: t ge0])라 하면 주어진 사차방정식은

[eqn: t^2 -9t+k-10=0]이므로 [eqn: t]에 대한 이차방정식이다.

즉, 방정식 [eqn: t^2 -9t+k-10=0]의 두 실근이 [eqn: 0]이상이어야 한다.

따라서 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D ge0], (두 근의 합)[eqn: GEQ 0,](두 근의 곱)[eqn: ge0]이어야 한다.

[eqn: D = 9^2 - 4 (k-10)ge0]이므로

[eqn: k le 121over4]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

(두 근의 합)[eqn: =9 GEQ 0]이므로

[eqn: k]의 값에 관계없이 성립한다.	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

두 근의 곱 [eqn: k-10 ge 0]이므로

[eqn: k ge10]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

㉠, ㉡, ㉢에 의해 [eqn: 10 le k le 121over4]이므로 모든 근이 실수가 되도록 하는 자연수 [eqn: k]는 [eqn: 10`,~11`,~ CDOTS `,~30]
이므로 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 21]이다.

30. [출제의도] 이차함수와 이차방정식의 관계를 활용하여 문제해결하기

[eqn: y`=`2x`+`k]

[eqn: y]

[eqn: {rmB}]

[eqn: rmB_1]

[eqn: {rmA}_1]

[eqn: rmA]

[eqn: rmC]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y`=`-x^2 `+`1]

점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면 [eqn: rm A it ( alpha `,~2 alpha +k)], [eqn: {rmB}(beta`,~2beta+k)], [eqn: {rmA}_1 (alpha`,~0)], [eqn: {rmB}_1 (beta`,~0)], [eqn: {rmC}left( - k over2 `,~0 right)]이고,
[eqn: alpha], [eqn: beta]는 이차방정식 [eqn: -x^2 +1=2x+k]
즉, [eqn: x^2 +2x+k-1=0`]의 근이므로
근과 계수의 관계에 의해
[eqn: alpha+beta=`-2], [eqn: alpha beta=k-1]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

이다.

삼각형 [eqn: rmACA_1]의 넓이를 [eqn: S_1]이라 하면

[eqn: S_1 = 1over2 left( -2alpha-k right) left( - k over2 -alpha right) = left (k over2 +alpha right)^2]이고,

삼각형 [eqn: rmBCB_1]의 넓이를 [eqn: S_2]라 하면

[eqn: S_2 = 1over2 left( 2beta+k right) left( beta+ k over2 right) = left (k over2 +beta right)^2]이다.

두 삼각형 [eqn: rmACA_1]과 [eqn: rmBCB_1]의 넓이의 합이 [eqn: 3over2]이므로

[eqn: left( alpha + k over 2 right)^2 + left( beta + k over2 right)^2 = 3over2]이고,

[eqn: (alpha^2 + beta`^2 ) +k(alpha + beta)+ k^2 over2 = 3over2]이다.

즉, [eqn: 2(alpha^2 + beta`^2 ) +2k(alpha + beta)+ k^2 - 3=0]이고,
㉠에 의해 [eqn: k^2 -8k+9=0]이다.

그러므로 [eqn: k = 4+- sqrt {7}]이고 [eqn: -2 < k < 2]이므로

[eqn: k=4- sqrt {7}]이다.

따라서 [eqn: p=4], [eqn: q=`-1]이므로 [eqn: 10p+q=39]이다.