◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형/‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 써 넣으시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 선택 과목, 답을 표기할 때에는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점, 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

2006학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지

수리 영역 (나형)

제 2 교시

성명			수험번호						3

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수리 영역 (나형)

‘나’형

수리 영역 (나형)

‘나’형

[eqn: {54^2 TIMES 21 ^{3}} over {28}]의 값은? [2점]

1

8

① [eqn: 3 ^8 TIMES 7]

② [eqn: 3 ^8 TIMES 7^2]

③ [eqn: 3 ^8 TIMES 7^3]

④ [eqn: 3 ^9 TIMES 7]

⑤ [eqn: 3 ^9 TIMES 7^2]

[eqn: {log _{8} `a} over {2} `= `{log _{4} `b} over {4} `=`{log _{2} `4} over 8]일 때, [eqn: a ^{2} `b]의 값은? [2점]

①   [eqn: 4]

②   [eqn: 8]

③  [eqn: 16]

④  [eqn: 32]

⑤  [eqn: 64]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( sqrt {n ^{2} +3n`+`5} -n RIGHT )]의 값은? [2점]

①  [eqn: 1]

② [eqn: {3} over {2}]

③  [eqn: 2]

④ [eqn: {5} over {2}]

⑤  [eqn: 3]

다음 무한수열 중에서 수렴하지 않는 것은? [3점]

① [eqn: LEFT { LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2n} RIGHT }]

② [eqn: LEFT { {n} over {2n+1} RIGHT }]

③ [eqn: LEFT { {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} } over {n+1} RIGHT }]

④ [eqn: LEFT { {1- 3^n} over {1+ 3 ^{n}} RIGHT }]

⑤ [eqn: LEFT { {1} over {log _{2} (n+4)-log _{2} `n} RIGHT }]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -5x-1=0] 의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta] 라 할 때,

행렬 [eqn: A= pmatrix{~`2``&~~ alpha ``#`beta ``&~-2``}]에 대하여 [eqn: A ^{5}]과 같은 행렬은? [3점]

2

8

①  [eqn: 6A]

②  [eqn: 9A`]

③ [eqn: 25A]

④ [eqn: 27A]

⑤ [eqn: 81A]

양의 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 연산 [eqn: ◎]를 [eqn: a`◎`b=a ^{`2`b} `]이라 정의할 때,

<보기>에서 옳은 것을 모두 고르면? [3점]

		보 기
ㄱ. [eqn: a`◎`1=1`◎`a] ㄴ. [eqn: {1} over {a} `◎`b= {1} over {a`◎`b}] ㄷ. [eqn: a`◎` LEFT ( {1} over {2} b RIGHT ) `= {1} over {2} LEFT ( a`◎`b RIGHT )]

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: sqrt {2 sqrt {2}}], [eqn: sqrt {2 ^{sqrt {2}}}], [eqn: ( sqrt {2} ) ^{sqrt {2}}]의 대소 관계는? [3점]

① [eqn: sqrt {2 sqrt {2}}][eqn: <][eqn: sqrt {2 ^{sqrt {2}}}][eqn: <][eqn: ( sqrt {2} ) ^{sqrt {2}}]

② [eqn: sqrt {2 sqrt {2}}][eqn: <][eqn: root2 ^{root2}][eqn: =`][eqn: ( sqrt {2} ) ^{sqrt {2}}]

③ [eqn: root2 ^{root2}][eqn: =`][eqn: ( sqrt {2} ) ^{sqrt {2}}][eqn: <][eqn: sqrt {2 sqrt {2}}]

④ [eqn: root2 ^{root2}][eqn: <][eqn: ( sqrt {2} ) ^{sqrt {2}}][eqn: <][eqn: sqrt {2 sqrt {2}}]

⑤ [eqn: ( sqrt {2} ) ^{sqrt {2}}][eqn: <][eqn: sqrt {2 sqrt {2}}][eqn: <][eqn: root2 ^{root2}]

이차 정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면? (단, [eqn: E`]는 단위행렬, [eqn: O`]는 영행렬이다.) [3점]

		보 기
ㄱ. [eqn: A+B=E`]이면 [eqn: A ^{2} -B ^{2} =A-B`]이다. ㄴ. [eqn: A ^{2} =`2A]이면 [eqn: A=O`] 또는 [eqn: A=2E`]이다. ㄷ. [eqn: AB=A]이고 [eqn: BA=B`]이면 [eqn: AB``=BA]이다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: log _{10}` 1.23= alpha]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{9} (-1) ^{k-1} ``log _{10} `(123 TIMES 10 ^{k-1} )]의 값은?

[3점]

① [eqn: 2+ alpha]

3

8

② [eqn: 3- alpha]

③ [eqn: 4+ alpha]

④ [eqn: 5 - alpha]

⑤ [eqn: 6 +alpha]

다음 세 수에 대한 상용로그의 지표의 합과 가수의 합을 차례대로 나열한 것은? [4점]

[eqn: 0.02],     [eqn: 200],     [eqn: 2500]

① [eqn: 3], [eqn: log_10 `2]

② [eqn: 3], [eqn: log _{10} `6.5]

③  [eqn: 3], [eqn: 1]

④ [eqn: 4], [eqn: 0]

⑤ [eqn: 4], [eqn: log _{10} `6.5]

그림과 같이 길이가 [eqn: 4]인 선분 [eqn: rm A _{1} B]를 지름으로 하는 반원 [eqn: rm `D _{1}]이 있다.

호 [eqn: rm A _{1} B]를 이등분하는 점을 [eqn: rm C _{1}], 점 [eqn: rm B]를 지나면서 선분 [eqn: rm A _{1} C _{1}]과 접하고 중심이 선분 [eqn: rm A _{1} B] 위에 있는 반원을 [eqn: rm `D _{2}], 반원 [eqn: rm `D _{2}]가 선분 [eqn: rm A _{1} B]와 만나는 점을 [eqn: rm A _{2}]라 하자.

호 [eqn: rm A _{2} B]를 이등분하는 점을 [eqn: rm C _{2}], 점 [eqn: rm B]를 지나면서 선분 [eqn: rm A _{2} C _{2}]와 접하고 중심이 선분 [eqn: rm A _{1} B] 위에 있는 반원을 [eqn: rm `D _{3}], 반원 [eqn: rm `D _{3}]이 선분 [eqn: rm A _{1} B]와 만나는 점을 [eqn: rm A _{3}]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 얻은 반원 [eqn: rm `D _{it n}]의 호의 길이를 [eqn: l_{it n rm}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } l _{it n rm}]의 값은? [4점]

[eqn: rmD _{1}]

[eqn: rm D _{2}]

[eqn: rm A _{1}]

[eqn: rm B]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm A _{3}]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: rm C _{2}]

[eqn: rm D_{3}]

⋅

⋅

⋅

[eqn: 4]

① [eqn: 2(1+ root2 ) pi]

② [eqn: 2(2+ root2 ) pi]

③ [eqn: 2(3+ root2 ) pi]

④ [eqn: 2(2+ 2 root2 ) pi]

⑤ [eqn: 2(3+ 2 root2 ) pi]

[eqn: a _{1} =1], [eqn: 2a _{n+1} +a _{n} =2] (단,  [eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots])를 만족시키는

수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면? [4점]

4

8

		보 기
ㄱ. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} - 2over3 RIGHT }]는 공비가 [eqn: - {1} over {2}]인 등비수열이다. ㄴ. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {`a _{n}}]은 수렴한다. ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``a _{n}]은 수렴한다.

① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

원 [eqn: rmO] 위에 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B]가 있다. 점 [eqn: rm A]에서 원 [eqn: rmO]에 접하는 접선 [eqn: l]과 선분 [eqn: rm AB]가 이루는 예각의 크기가 [eqn: 18°]이다. 선분 [eqn: rm OB] 위의 한 점 [eqn: rm C]에 대하여 삼각형 [eqn: rm `OAC]의 세 내각의 크기가 등차수열을 이룰 때, 가장 큰 내각의 크기는? [4점]

[eqn: rmB]

[eqn: rmO]

[eqn: rm A]

[eqn: rm C]

[eqn: 18°]

[eqn: l]

①  [eqn: 68°]

②  [eqn: 72°]

③  [eqn: 76°]

④  [eqn: 80°]

⑤  [eqn: 84°]

그림은 직선 [eqn: y=2x]와 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: 1]개, 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 [eqn: 2]개, [eqn: CDOTS], 한 변의 길이가 [eqn: n]인

정사각형 [eqn: n]개를 나타낸 것이다.

원점으로부터의 거리가 [eqn: 1+2+3+ CDOTS +n]인 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rm A]를

지나고 [eqn: y]축에 평행인 직선이 [eqn: y=2x]와 만나는 점을 [eqn: rm B]라 하자.

[eqn: 6]

[eqn: rm B]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: vdots]

[eqn: CDOTS]

[eqn: rmA]

[eqn: y=2x]

[eqn: 1]

[eqn: 3]

다음은 이를 이용하여 어떤 수열의 합을 구하는 과정이다.

모든 정사각형들의 넓이의 합은 직각삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이와 같으므로,

[eqn: rm= {1} over {2} TIMES bar{OA} TIMES bar{AB}]이다.

(가)

[eqn: rm bar{OA} `= it 1+2+3+ `CDOTS` +n]이고  [eqn: rm bar{AB} `=]  이다.

(나)

따라서,   [eqn: =]  이다.

(가)

(다)

이 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} +` CDOTS` +n ^{2}]	[eqn: n ^{2}]	[eqn: {n(n+1)(2n+1)} over {6}]
②	[eqn: 1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} + `CDOTS` +n ^{2}]	[eqn: n(n+1)]	[eqn: {n(n+1)(2n+1)} over {6}]
③	[eqn: 1 ^{3} +2 ^{3} +3 ^{3} + `CDOTS `+n ^{3}]	[eqn: n(n+1)]	[eqn: {n(n+1)(2n+1)} over {6}]
④	[eqn: 1 ^{3} +2 ^{3} +3 ^{3} + `CDOTS` +n ^{3}]	[eqn: n(n+1)]	[eqn: LEFT { {n(n+1)} over {2} RIGHT } ^{2}]
⑤	[eqn: 1 ^{3} +2 ^{3} +3 ^{3} + `CDOTS` +n ^{3}]	[eqn: n^2]	[eqn: LEFT { {n(n+1)} over {2} RIGHT } ^{2}]

다음은 자연수 [eqn: n]에 대하여

5

8

[eqn: ```1`=`1 ^{3}]

[eqn: `3+`5``=`2 ^{3}]

[eqn: ``7+9+11`=`3 ^{3}]

[eqn: `13+15+17+19``=`4 ^{3}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: sum _{i=1} ^{n}` (2i+n ^{2} -n-1)=n ^{3} `]

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

[증명]

ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: 2 `․ `1+1 ^{2} -1-1=1^3 `]이므로 성립한다.

ⅱ) [eqn: n=k]일 때 성립한다고 가정하면

[eqn: sum _{i=1} ^{k} `(2i+k ^{2} -k-1)=k ^{3}`]이다.

[eqn: n=k+1]일 때 성립함을 보이자.

[eqn: sum _{i=1} ^{k+1}]

(가)

[eqn: = sum _{i=1} ^{k} `(2i+k ^{2} -k-1)+ sum _{i=1} ^{k} `2k`+]

(나)

[eqn: =k ^{3} +3k ^{2} +3k+1]

[eqn: =(k+1) ^{3}]

그러므로 [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.

ⅰ), ⅱ)에 의해서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

이 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)
①	[eqn: 2i+k ^{2} +k-1]	[eqn: k ^{2} +3k+1]
②	[eqn: 2i+k ^{2} +k-1]	[eqn: k ^{2} -3k+1]
③	[eqn: 2i+k ^{2} +k+1]	[eqn: k ^{2} +3k+1]
④	[eqn: 2i+k ^{2} -k+1]	[eqn: k ^{2} -3k+1]
⑤	[eqn: 2i+k ^{2} -k+1]	[eqn: k ^{2} +3k+1]

[eqn: x], [eqn: y]가 각각 [eqn: 2]자리，[eqn: 3]자리의 자연수일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면? [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: xy]는 4자리 또는 5자리의 자연수이다. ㄴ. [eqn: y=10x]이면 [eqn: log _{10} `x]와 [eqn: log _{10} `y]의 가수는 같다. ㄷ. [eqn: 1overx]은 소수 둘째 자리에서 처음으로 [eqn: 0]이 아닌 수가 나타난다.

① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정육면체가 있다.

[그림 1]은 이 정육면체의 각 모서리를 수직이등분하여 분리된 정육면체들을 나타낸 것이다.

[그림 2]는 [그림 1]의 정육면체들의 각 모서리를 수직이등분하여 분리된 정육면체들을 나타낸 것이다.

(1회 시행 후)       (2회 시행 후)

[eqn: CDOTS]

[eqn: 4]

[그림 1]            [그림 2]

이와 같은 시행을 계속해 나갈 때, 5회 시행 후 분리된 모든 정육면체들의 겉넓이의 합은? [4점]

①  [eqn: rm 3 TIMES 2 ^{10}]

②  [eqn: rm 3 TIMES 2 ^{12}]

③  [eqn: rm 3 TIMES 2 ^{15}]

④  [eqn: rm3 TIMES 2 ^{17}]

⑤ [eqn: rm``3 TIMES 2 ^{20}]

단 답 형

6

8

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =8`], [eqn: sum _{k=1} ^{10} b _{k} =10]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} (2a _{k} -b _{k} +3)]의 값을

구하시오. [3점]

두 이차 정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B`]가

[eqn: A```-`B= LEFT ( matrix{0&````-3`#12&``````````2} RIGHT )], [eqn: 2A+B= LEFT ( matrix{`6&````````3`#`9&```````7} RIGHT ) `]을 만족시킬 때,

행렬 [eqn: A]의 [eqn: (2,``1)``]성분과 행렬 [eqn: B`]의 [eqn: (2,``2)``]성분의 합을 구하시오.

[3점]

자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c] 에 대하여 [eqn: A=pmatrix{`a&```1`#`b&```c`}]의 역행렬이 존재하지 않고, [eqn: 1+ {1} over {a+ {1} over {b+ {1} over {7}}} = {178} over {121}]을 만족시킬 때, [eqn: A ^{2} `]의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

정수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: 2 `^{a} times3 `^{b} = sum _{n=1} ^{INF }` {1} over {n(n+2)}]가 성립할 때,

[eqn: a ^{2} +b ^{2} `]의 값을 구하시오. [3점]

그림과 같이 [eqn: 1]부터 [eqn: 1000]까지의 자연수가 쓰여진 흰색 종이 띠에 [eqn: 1]부터 시작하여 공차가 [eqn: 4]인 등차수열의 수가 있는 부분에는 빨간색, [eqn: 3]부터 시작하여 공비가 [eqn: 3]인 등비수열의 수가 있는 부분에는 파란색을 칠하였다. 빨간색과 파란색이 겹쳐 칠해진 부분에 쓰여진 수 중에서 가장 큰 수를 구하시오. [4점]

연립방정식 [eqn: pmatrix {` a&````8` # `4 &````b` } pmatrix {`x `# `y`}`= pmatrix {`0 `# `0`}]이 [eqn: x=0], [eqn: y=0] 이외의 해를 가질 때, [eqn: a+2b]의 최소값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 양수이다.) [3점]

7

8

이차 정사각행렬 [eqn: A]의 [eqn: (i,``j)``]성분 [eqn: a _{ij}]가

[eqn: a _{ij} =] ([eqn: i+2j]의 양의 약수의 개수)

일 때, 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합을 구하시오. (단, [eqn: i=1], [eqn: 2], [eqn: j=1], [eqn: 2]) [4점]

어떤 학생이 계발활동 시간에 목걸이를 만들고자 한다. 그림과 같이 세 종류의 인조 보석 , , 을 사용하여 처음에는  [eqn: 1]개,  [eqn: 1]개,  [eqn: 2]개를 꿰고 난 뒤, 다음 규칙을 순서대로 반복한다.

Ⅰ. 는 바로 전 단계에 꿴 의 개수보다 [eqn: 1]개 더 많이 꿴다.

Ⅱ. 는 바로 전 단계에 꿴 의 개수보다 [eqn: 2]개 더 많이 꿴다.

Ⅲ. 는 Ⅰ과 Ⅱ에서 꿴 과 의 개수를 더한 만큼 꿴다.

인조 보석 [eqn: 200]개를 사용하여 목걸이를 만들었을 때, 목걸이에 있는 의 개수를 구하시오. [4점]

5 지 선 다 형

실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: |``a-1`|+|`b-2`|=0]일 때,

행렬 [eqn: pmatrix{`````a &``````b#-b&```````a ``}]의 역행렬은? [3점]

①  [eqn: {1} over {5} LEFT ( ` matrix{`1&``-2`#`2`&``````````1`} RIGHT )]

②  [eqn: {1} over {5} LEFT ( ` matrix{``````1````&2`#-1`````&2`} RIGHT )]

③  [eqn: {1} over {5} LEFT ( ` matrix{```````1`&```2`#-2`&````1`} RIGHT )]

④  [eqn: {1} over {5} LEFT ( ` matrix{``````2&```2`#-1`&````1`} RIGHT )]

⑤  [eqn: {1} over {5} LEFT ( ` matrix{`````2&````1`#-1`&```2`} RIGHT )]

두 순서도에서 인쇄되는 [eqn: S] 와 [eqn: T]에 대하여 [eqn: S```-T]의 값은?

[4점]

예

아니오

[eqn: N`` larrow N+1]

끝

시작

[eqn: N`` larrow ``1]

[eqn: S``` larrow ``1`]

[eqn: S`` larrow S+2N]

[eqn: N``＝5`?]

[eqn: S] 를 인쇄

끝

시작

[eqn: N`` larrow ``1]

[eqn: T``` larrow ``1`]

[eqn: T`` larrow T+2N]

[eqn: N``＝5`?]

[eqn: T] 를 인쇄

[eqn: N`` larrow N+1]

예

아니오

① [eqn: -12]

8

8

② [eqn: -10]

③    [eqn: 0]

④   [eqn: 10]

⑤   [eqn: 12]

[eqn: A ^{2} `-`3A+`E```=A`-`2E] 를 만족시키는 행렬 [eqn: A]의 역행렬은?

(단, [eqn: E] 는 단위행렬이다.) [3점]

①  [eqn: -`3`(A-4E`)]

② [eqn: - {1} over {3} (A-4E`)]

③   [eqn: {1} over {4} (A-4E`)]

④   [eqn: {1} over {3} (A+4E`)]

⑤    [eqn: `3`(A+4E`)]

수렴하는 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 무한급수

[eqn: left ( a _{1} - {2} over {1 ^{2}} RIGHT ) + LEFT ( a _{2} - {2+4} over {3 ^{2}} RIGHT ) +cdots+ LEFT { a _{n} - {2+4+6+ CDOTS +2n} over {(2n-1)^2} ` RIGHT }+ CDOTS]

이 수렴할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n}]의 값은? [4점]

①  [eqn: 0]

② [eqn: {1} over {6}]

③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {2}]

⑤  [eqn: 1]

단 답 형

무한등비급수 [eqn: cos ^{2} theta +cos ^{2} theta` sin theta +cos ^{2} theta `sin ^{2} theta +` CDOTS] 의 합이

[4점]

[eqn: {18} over {13}]일 때, [eqn: {10} over {tan theta }]의 값을 구하시오.

[eqn: left( ~~~0< theta < {pi } over {2}right)]

단,

※  확인사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.