제2교시 수리영역

[인문계 정답]

1.	②	2.	③	3.	④	4.	③	5.	③	6.	④	7.	⑤	8.	③
9.	④	10.	②	11.	④	12.	④	13.	②	14.	①	15.	②	16.	①
17.	⑤	18.	④	19.	⑤	20.	③	21.	①	22.	②	23.	①	24.	⑤
25.	18	26.	-14	27.	16	28.	4	29.	89	30.	51.92

1. [출제의도] 복소수를 계산할 수 있다.

[eqn: (1+i)^2`=1+2i`+i^2`=1+2i-1=2i`]        [eqn: (1+i)^4`=(2i)^2`=4i^2`=-4`]

∴ [eqn: (1+i)^2`+(1+i)^4] [eqn: =-4+2i`]

2. [출제의도] 근과 계수의 관계를 이용할 수 있다.

[eqn: α+β=-m``,`αβ=2]이므로

[eqn: 1 over α + 1 over β`=`{α+β}over{αβ}=`-`m over 2`=`-3`]   ∴ [eqn: m=6`]

3. [출제의도] 역행렬을 구하고, 두 행렬의 덧셈을 할 수 있다.

[eqn: A^-1`=`1over{3-2}`PMATRIX { { ````3}& {-2 }`# {-1 }& {````1 }` }][eqn: `=`PMATRIX { { ````3}& {-2 }`# {-1 }& {````1 }` }]

∴ [eqn: A`+`A^-1`][eqn: =PMATRIX { { 1}& {2 }`# {1 }& {3 }` }][eqn: `+`PMATRIX { { ````3}& {-2 }`# {-1 }& {````1 }` }][eqn: =PMATRIX { { 4}& {0 }`# {0 }& {4 }` }]

따라서, [eqn: A`+`A^-1`]의 모든 성분의 합은 [eqn: 4+4=8`]

4. [출제의도] 나머지정리를 이용하여 다항식의 나머지를 구할 수 있다.

[eqn: f(x) = ( x + 1 )^3 + 3 ( x + 1 )^2 + 3 ( x + 1 ) + 1] 이라 놓으면

[eqn: f(x)]를 [eqn: x + 2]로 나눈 나머지는 나머지정리에 의해

[eqn: f(-2) = (-1)^3` + 3CDOT(-1)^2` +3CDOT(-1) + 1 = 0]

[다른풀이]

[eqn: x +1 = t ``]라 놓으면

[eqn: ( x + 1 )^3 + 3 ( x + 1 )^2 + 3 ( x + 1 ) + 1][eqn: = t^3 + 3 t^2 + 3 t + 1][eqn: = ( t + 1 )^3][eqn: = ( x + 2 )^3]

따라서, 주어진 식을 [eqn: x + 2]로 나눈 나머지는 [eqn: 0]이다.

5. [출제의도] 주어진 집합의 연산을 이해할 수 있다.

ㄱ. [eqn: A TRIANGLE `B`=`(A-B)`cup`(B-A)`],    [eqn: B△A=`(B-A)`cup`(A-B)`]

∴ [eqn: A△B`=`B△A`]이므로 참

ㄴ. [eqn: A TRIANGLE `A`=`(A-A)`cup (A-A)`=emptyset`] ∴ 거짓

ㄷ. [eqn: A^c`△B^c`=(A^c`-B^c`)cup`(B^c`-A^c`)`][eqn: `=left{A^c`cap(B^c`)^c`right}cup`left{B^c`cap(A^c`)^c`right}]

[eqn: =(A^c`capB)cup(B^c`capA)]   [eqn: =(B-A)cup(A-B)`]

[eqn: =B△A=A△B]   ∴ 참

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ 이다.

6. [출제의도] 지수법칙을 이해할 수 있다.

위와 같은 순서로 키를 누르면, 계산기는  [eqn: root{ root2 } × 4] 를 계산하게 된다.  즉, [eqn: root{ root2 } × 4 = (2^ {1 over 2})^ { 1 over 2 }×2^2 = 2^ {1 over 4 } × 2^2 = 2^ { 1 over 4 + 2 } = 2 ^ { 9 over 4 }]

을 계산한 값이 화면에 나타나게 된다.

7. [출제의도] 이차부등식과 절대값 기호가 포함된 부등식을 풀 수 있다.

[eqn: x^2`-2x-8＜0`]  ⇔ [eqn: (x+2)(x-4)＜0`]  ⇔ [eqn: -2`＜`x`＜4`]

[eqn: vert`x-a vert`＜b`]   ⇔ [eqn: -b`＜`x-a`＜b`]     ⇔ [eqn: a-b`＜`x`＜`a+b`]

이 때, [eqn: a-b=-2`], [eqn: a+b=4`]  ∴ [eqn: a=1`,`b=3`]

따라서 [eqn: a`b=3`]

8. [출제의도] 도형의 비례관계를 이해하고 이를 이용하여 도형의 자취를 구할 수 있다.

오른쪽 좌표평면에서

[eqn: rmP it(x`,`y),rmC it(x'`,`y')]라 하고

주어진 원의 중심을 [eqn: (`a`,`b`)`]라 놓으면 P의 자취의 방정식은

B

O(A)

Q

P(x, y)

C(x',y')

[eqn: y`]

[eqn: x``]

[eqn: (x-a)^2`+(y-b)^2`=1`]…㉠

[eqn: rm△OQP``∽``△OBC`]이므로

[eqn: rmbarOC`=`2`barOP `]

∴ [eqn: x'`=2x`,`y'`=2y`]

즉, [eqn: x`=`1over2`x'`,`y`=`1over2`y'`]이므로

㉠에서 [eqn: (`1over2`x'-a)^2`+(`1over2`y'-b)^2`=1`]

양변에 4를 곱하면 [eqn: (``x'-2a)^2`+(``y'-2b)^2`=2^2`]

따라서 C의 자취의 방정식은[eqn: (``x-2a)^2`+(``y-2b)^2`=2^2`]이므로

반지름의 길이가 2인 원이다.

9. [출제의도] 순열과 조합을 이용하여 여러 가지 경우의 수를 구할 수 있다.

(ⅰ)  [eqn: 0``,``1``,``2``,``3``,``4``,``5``,``6``,``7``,``8``,``9`] 에서

[eqn: 2`]종류의 숫자를 선택하는 방법의 수는 [eqn: `_{ 10}^`rmC _2`=`45`]

(ⅱ) 두 수 □와 ○이 선택되었을 때

□,○,○,○로 만들 수 있는 전화번호의 수는 [eqn: {4`!} over {3`!}`=`4`]

□,□,○,○로 만들 수 있는 전화번호의 수는 [eqn: {4`!} over {2`!`2`!`}`=`6`]

□,□,□,○로 만들 수 있는 전화번호의 수는 [eqn: {4`!} over {3`!`}`=`4`]

(ⅰ),(ⅱ)에서 [eqn: 45` TIMES `(`4`+`6`+`4`)`=`630`] (개)

10. [출제의도] 새롭게 정의된 함수를 이해할 수 있다.

정수 [eqn: n`]에 대하여

(i) [eqn: n≦`x`＜`n+`1over2`]일 때, [eqn: f(x)`=`x-`n`]

(ii) [eqn: n+`1over2`≦`x`＜`n+`1`]일 때, [eqn: f(x)`=`-x`+n+`1`]

따라서 [eqn: -3≦``x``≦3`]에서 함수 [eqn: f(x)``]의 그래프와 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 부분을 나타내면 다음과 같다.

[eqn: y`]

O

[eqn: x``]

-1

-2

-3

1

2

3

[eqn: scale 60 1over 2`]

따라서, 함수 [eqn: f(x)``]의 그래프와 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는

[eqn: 6times` LEFT ( `1over2`times`1over2` times`1`RIGHT ) ``=`3over2`]이다.

11. [출제의도] 부등식의 기하학적인 의미를 이해하여 곡선의 특징을 알 수 있다.

ㄱ. [eqn: {f(b) - f(a)} over b-a`>0`]에서[eqn: b`>`a`]이므로 [eqn: f(b)-f(a)`>`0`]이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: f(b)`>`f(a)`]     … ㉠

[eqn: {f(c) - f(a)} over c-a`<0`]에서 [eqn: c`>`a`]이므로 [eqn: f(c)-f(a)`<`0`]이다.

∴ [eqn: f(c)`<`f(a)`]    … ㉡

㉠, ㉡에서[eqn: f(c) `<` f(a`) `<` f`(b`)`]는 참이다.

ㄴ. ㄱ에서[eqn: f(a`) `<` f`(b`)``,][eqn: ``f(b) `>`f(c)`]이고

[eqn: y`]

O

[eqn: x``]

a

b

c

[eqn: y=f(x)`]

[eqn: y=f(x)`]는 연속함수이므로

구간[eqn: (`a`,``c``)]에서 증가에서 감소로

바뀌는 곳이 반드시 있다. ∴ 참이다.

ㄷ. 오른쪽 그림에서 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 주어진 조건을 만족하지만

[eqn: x=c`]에서의 미분계수가 [eqn: x=b`]에서의 미분계수보다 크므로

부등식[eqn: f``'(c`) `<` f``'(b`) `<` f``'(a`)`]은 성립하지 않는다.   ∴ 거짓이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ 이다.

12. [출제의도] 주어진 규칙을 이해하고 이를 이용하여 조건에 알맞은 수를 찾을 수 있다.

규칙에 따라 수를 적으면 아래와 같은 한가지 뿐이다.

10	11	20	21	22	23
9	12	19	18	17	24
8	13	14	15	16	25
7	30	29	28	27	26
6	31	32	33	34	35
5	4	3	2	1	36

따라서 (가)에 알맞은 수는 28이다.

[오답피하기]

10	C	20	21
B	D	E
	F	G	H	16
A		3	2	1	36

[eqn: 1`]에서 [eqn: 10`]까지 적는 방법은 1→A[eqn: ->]B[eqn: ->][eqn: 10`]으로 유일하다. 왜냐하면,  위의 그림처럼 1→A[eqn: ->]B[eqn: ->][eqn: 10`]의 길을 택하지 않고 화살표 방향을 택하면 어두운 부분을 채울 수 없다.

C에는 [eqn: 11`], D에는 [eqn: 12`]만 가능하다. 또한, [eqn: 20`]이 이미 적혀 있으므로 E에는 [eqn: 19`]만 가능하다. 따라서,  F에는 [eqn: 13`], G에는 [eqn: 14`], H에는 [eqn: 15`]로 정해진다.

이와 같은 방법으로 빈칸을 채워나가면 정답과 같이 유일하게 채울 수 있다.

13. [출제의도] 주어진 조건을 이해하고 참이 되는 명제를 찾을 수 있다.

병규는 세 사람과 다른 티셔츠를 샀으므로 [eqn: P`] 또는 [eqn: Q`]를 샀다.

(즉, [eqn: R`]는 사지 않았다.)

이 때, 준호와 영철, 민기와 영철이가 서로 다른 티셔츠를 샀으므로 준호와 민기는 [eqn: R`]를 샀음을 알 수 있다.

따라서, 네 사람이 산 티셔츠는 다음 표와 같이 [eqn: 2`]가지 경우가 있다.

	[eqn: P`]	[eqn: Q`]	[eqn: R`]
병규	1
준호			1
민기			1
영철		1
계	1	1	2

	[eqn: P`]	[eqn: Q`]	[eqn: R`]
병규		1
준호			1
민기			1
영철	1
계	1	1	2

그러므로 항상 옳은 것은 ㄷ 이다.

14. [출제의도] 주어진 수열의 규칙성을 찾아 문제를 해결할 수 있다.

오른쪽 그림과 같이 [eqn: 1`]이 적힌 점을 중심으로 하고 한 변의 길이가 [eqn: n`]인 정육각형의 밑변의 오른쪽 꼭지점에 있는 수의 수열을 [eqn: LEFT { `a_n` RIGHT }`]이라 하면

[eqn: LEFT { `a_n` RIGHT }`] : 1, 7, 19, 37, …,

이 수열의  계차수열은

[eqn: 6`,`12`,`18`,`…,6n`,`…]

따라서 [eqn: a_n`=1+ SUM from { { k}=1} to n-1 6k`]

[eqn: =`1+3n(n-1)`]

[eqn: a_10`=`271`], [eqn: a_11`=`331``], …

따라서 331은 11번째 항이므로 1이 적힌 꼭지점에서 331이 적힌 꼭지점까지의 거리는 10이다.

[오답피하기]

[eqn: 1`]이 적힌 점을 중심으로 한 변의 길이가 [eqn: n]인 정육각형의 변 위에 있는 수의 개수는

한 변의 길이가 1일 때, [eqn: 2, 3, 4, cdots, 7`->6개`]

한 변의 길이가 2일 때, [eqn: 8,9,10, cdots, 19`->12개`]

한 변의 길이가 3일 때, [eqn: 20, 21, 22, cdots, 37`->18개`]

…

한 변의 길이가 [eqn: n`]인 정육각형 위에는 [eqn: 6n`개]의 수가 있음을 추측할 수 있다.

이 때, 한 변의 길이가  [eqn: n`]인 정육각형의 변과 내부에 있는 수의 전체 개수는 331보다 작거나 같으므로

[eqn: 1 + 6․ 1 + 6․2 + 6 ․3 + cdots + 6 ․n ≦ 331]

[eqn: 1 + 6 ․ n(n+1) over 2 ≦ 331],   [eqn: n(n+1) ≦ 110]   ∴[eqn: n=10`]

따라서, [eqn: 331`]은 한 변의 길이가 10인 정육각형의 맨 마지막 수이므로 1과의 거리는 10 이다.

15. [출제의도] 수의 성질을 이용하여 주어진 명제를 증명할 수 있다.

[eqn: a`^2`+`b`^2`=`3`(`3`q_1`^2`+`3`q_2`^2`+````2`q_1`r_1`+`2`q_2`r_2`````)`+`r_1`^2`+`r_2`^2`]

에서 [eqn: a`^2`+`b`^2`] 이 [eqn: 3`]으로 나누어 떨어지려면

[eqn: r_1`^2`+`r_2`^2`]이 [eqn: 3`]으로 나누어 떨어져야 한다.

그런데 [eqn: r_1``,``r_2`]는 [eqn: a``,``b`]를 [eqn: 3`]으로 나누었을 때의 나머지이므로

[eqn: r_1`=`0``,``1``,``2`], [eqn: r_2`=`0``,``1``,``2`]이다.

따라서 [eqn: r_1`^2`+`r_2`^2`]이 [eqn: 3`]으로 나누어 떨어지려면

[eqn: r_1`=`0```,``r_2`=`0`]  이어야 한다.

∴[eqn: a`=`3`q_1`````,`````b`=`3`q_2`]

[eqn: THEREFORE `]  [eqn: a`^n`+`b`^n`=`3^n``(`q_1`^n`+`q_2`^n`)`]이므로

[eqn: a`^n`+`b`^n``(`n`=`3`,`4`,`5`,` CDOTS ``)`]은 [eqn: 3`]으로 나누어 떨어진다.

16. [출제의도] 사인법칙을 이용한 문제해결과정을 추론할 수 있다.

삼각형[eqn: rm OPA]에서 사인법칙을 이용하면

[eqn: rm {sin (∠OPA )} over barOA = {sin(rm ∠PAO )} over {bar OP}] 이므로

[eqn: rm {sin (∠OPA )} = barOA ․ {sin(rm ∠PAO )}over {bar OP}]

이 때, [eqn: rm bar OP`=1`]이므로 [eqn: rm bar OA over bar OP`]는 [eqn: rm `barOA`]로 일정하다.

따라서, [eqn: rm ∠PAO =][eqn: pi over 2]  일 때 [eqn: sin(∠rm PAO )]가 최대이므로

[eqn: rm {sin (∠OPA )}]의 최대값은

[eqn: rm {sin (∠OPA )} =`barOA`․sin{pi over2 }`=`][eqn: rm barOA`]

17. [출제의도] 확률을 이용하여 기대값을 구할 수 있다.

임의로 적은 답이 맞을 확률은 [eqn: 1over5`]이고 틀릴 확률은 [eqn: 4over5`]이다.

따라서 틀린 문항의 감점 점수를 [eqn: x`]라 하면 임의로 답을 적었을 때 기대되는 점수는  [eqn: 1over5`cdot5`-`4over5`x`=`0`]

∴ [eqn: x=``5over4`= `1.25`]

18. [출제의도] 좌표평면 위에서 도형의 성질을 이해할 수 있다.

오른쪽 그림에서 [eqn: rmbarAD`]가 [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: rmH`]라 하자.

삼각형[eqn: rmAHF`]가 한 변의 길이가 2 인 정삼각형이므로 [eqn: rmbarOH`=`sqrt3`],

따라서 [eqn: rmH`(`0`,``sqrt3`)]

[eqn: rmG`]는 [eqn: rmbarAH`]의 중점이므로

[eqn: a=`{1+0}over2`=`1over2`],[eqn: b=`{0+sqrt3`}over2`=`sqrt3 over 2`]

∴ [eqn: a b`=`sqrt3 over4`]

19. [출제의도] 원의 접선의 성질을 이해하고 이를 도형에 적용할 수 있다.

오른쪽 그림과 같이

[eqn: rm bar AP = bar BP `]이므로 공통현 [eqn: rmbarAB`]의 수직이등분선은 두 원의 중심[eqn: rmO`]와 [eqn: rmQ`(`3`,``4`)`]및 점 [eqn: rmP`]를 지난다.

[eqn: rmQ`(`3`,``4`)`]

따라서[eqn: `b over a`=`]([eqn: rmbarOP`]의 기울기)

[eqn: =`]([eqn: rmbarOQ`]의 기울기)

[eqn: =`4over3`]

20. [출제의도] 회전체의 부피를 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

그릇 윗 부분의 단면은 반지름의 길이가 20cm인 원이므로 강우량 90mm의 비가 내렸을 때, 원통형 그릇에 고인 물의 부피는

[eqn: 20^2`pi×9` rm(cm^3`)`]                  … ㉠

회전체 모양의 그릇에 고인 물의 깊이를 [eqn: h`]cm라 하면

[eqn: pi ` INT _{ 0}^{h }`8`y``d`y`=` pi` { [4y^2`]}`_{0 } ^{h} `][eqn: =4pi h^2`]  … ㉡

㉠, ㉡ 에서 [eqn: 20^2`pi×9`][eqn: =4pi h^2`]

∴ [eqn: h^2`=900`], [eqn: h=30`](cm)

21. [출제의도] 극한값을 구할 수 있다.

점 [eqn: rmA`]를 지나는 원의 반지름의 길이는

[eqn: rmbarOA`=`itsqrt{a^2`+b^2`}][eqn: =sqrt{a^2`+2a`}]  (∵ [eqn: b=sqrt2a`])

점[eqn: rmB`]를 지나는 원의 반지름의 길이는[eqn: rmbarOB`=`it a`]

∴ [eqn: f(a)`=rmbarOA`-barOB`]

[eqn: =sqrt{a^2`+2a`}-a`]

∴[eqn: lim from { a -> inf } f(a)`]

[eqn: =lim_a->inf`(sqrt{a^2`+2a`}-a`)]

[eqn: =lim_a->inf`{a^2`+2a`-a^2`}over{sqrt{a^2`+2a}+a}][eqn: =lim_a->inf`{2`}over{sqrt{1`+`2over a}+1}][eqn: =1`]

22. [출제의도] 주어진 도형을 이해하여 삼각형의 넓이를 구할 수 있다.

4개의 꼭지점을 각각 [eqn: rm`A`,`B`,`C`,`D`]

라고 할 때, 이들로 만들 수 있는 삼각형은

오른쪽 그림과 같이 [eqn: rm△ABC `,~ △ABD `]

의 2 가지이다.

[eqn: rm△ABC`] 는 이등변삼각형이므로

[eqn: rm△ABC`=`1over2`× 2 ×`root24`=`2sqrt6`]

또, [eqn: rm△ABD`]는 직각삼각형이므로,

[eqn: rm△ABD`=`1over2 × 4×3 = 6]

이 때, [eqn: 6``＞`2root6] 이므로 최대 넓이는

[eqn: 6`]이다.

23. [출제의도] 속도와 거리의 관계를 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

시속을 초속으로 바꾸면 [eqn: 72`]km/시는 [eqn: 20`]m/초이므로 브레이크가 작동되는 순간부터 [eqn: t`] 초 후의 차의 속력 [eqn: v`] 는   [eqn: v = 20 - 4t`]

[eqn: v = 20 - 4t`=0`]에서 이 자동차가 정지할 때까지 걸린 시간은 5초이다. 따라서, 이 시간동안 움직인 거리는

[eqn: s`= INT _{ 0}^{5 } v` dt ``= INT _{ 0}^{5 } (20-4t) ` dt`][eqn: ` =` [ 20t - 2t^2 ]_0^5 ` = `50`](m)

24. [출제의도] 상용로그를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.

1월과 5월에 내린 비의 수소이온의 그램이온수가 각각 [eqn: a`,~b`]이므로

[eqn: 4.44`=log_10`1over{a}],   [eqn: 4.44=-log_10`a`]       [eqn: ∴`a`=`10^-4.44`]

[eqn: 5.04`=log_10`1over{b}],    [eqn: 5.04=-log_10`b`]       [eqn: ∴`b`=`10^-5.04`]

[eqn: {a}over{b}`=`{10^-4.44}over{10^-5.04}`=`10^{-4.44+5.04}`] [eqn: =`10^{6over10}=`10^{3over5}``] [eqn: =`10․`10^{-`2over5}]

[eqn: =`10`․`2over5`=`4``]

25. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 계산할 수 있다.

[eqn: 2`^17`+`4`^8`+`16`^4`=`2`^17`+`2`^16`+`2`^16`] [eqn: =`2`^17`+`2` CDOT ``2`^16`]

[eqn: =`2`^17`+`2`^17`][eqn: =`2` CDOT `2`^17`][eqn: =`2`^18`]

∴ [eqn: ```□`=`18`]

26. [출제의도] 행렬을 이용하여 연립방정식의 해를 구할 수 있다.

[eqn: cases{`ax+by`=`-2`#`cx+d y`=`-1`}] 을 행렬로 나타내면

[eqn: A` PMATRIX { {x`` }& # {y`` }& } =PMATRIX { {-2`` }& # {-1`` }& }]  ∴ [eqn: PMATRIX { {x`` }& # {y`` }& } =`A^-1`PMATRIX { {-2`` }& # {-1`` }& }]     …㉠

한편, [eqn: A PMATRIX { { 1}& { 2``}& # {3 }& { 4``}& }][eqn: `= PMATRIX { { 1}& { 0}& # {0 }& { 1}& }]이므로 [eqn: A^-1`= PMATRIX { { 1}& { 2``}& # {3 }& { 4``}& }] …㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: PMATRIX { {x`` }& # {y`` }& } =PMATRIX { { 1}& { 2``}& # {3 }& { 4``}& }PMATRIX { {-2`` }& # {-1`` }& }][eqn: = PMATRIX { {-4`` }& # {-10`` }& }`]

∴ [eqn: α+β`=-14`]

27. [출제의도] 곡선 위의 두 점 사이의 대칭관계를 이용하여 문제를 해결 할 수 있다.

[eqn: y`=`(`x`+`1`)`(`x`-`2`)`] 를 원점에 대하여 대칭이동한 곡선은

[eqn: -`y`=`(`-`x`+`1`)`(`-`x`-`2`)`] [eqn: THEREFORE `] [eqn: y`=`-`(`x`-`1`)`(`x`+`2`)`]

이 때,  [eqn: rmP``,``Q`]는 두 곡선

[eqn: y`=`(`x`+`1`)`(`x`-`2`)`]와 [eqn: y`=`-`(`x`-`1`)`(`x`+`2`)`]

위에 있으므로 [eqn: rmP``,``Q`]는 두 곡선의 교점이다.

연립방정식[eqn: cases{`y`=`(`x`+`1`)`(`x`-`2`)` # `y`=`- `(`x`-`1`)`(`x`+`2`)`}] 를 풀면

[eqn: x`^2`=`2``````,`````x`=`+-`root2`]

[eqn: THEREFORE `]  [eqn: cases{`x`=`root2` # `y`=`-`root2`}`]  ,  [eqn: cases{`x`=`-`root2` # `y`=`root2`}`]

[eqn: THEREFORE `] [eqn: rmoverlinePQ`^2`=`2^2`left{(root2`)`^2`+`(-root2`)`^2`right}`=`16`]

28. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 주어진 식의 최소값을 구할 수 있다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에서

[eqn: α+β`=`a`], [eqn: αβ=b`],       [eqn: γ+δ=`b`], [eqn: γδ=`a`]

∴[eqn: 1overα`+`1overβ`+`4overγ`+`4overδ`][eqn: =`{α+β}overαβ`+`4(γ+δ)overγδ`]

[eqn: =`a over b`+`{4b}over{a}][eqn: ≧2sqrt{a over b `cdot`4b over a`}=4`]

등호는 [eqn: a=2b`(``a`≧16`)]일 때 성립한다.

<참고> 두 이차방정식 [eqn: x^2`-ax+b=0`]과 [eqn: x^2`-bx+a=0`]의 두 근이  모두 양수이므로

b

O

a

4

4

[eqn: a>0`,`b>0`],[eqn: a^2`-4b≧0`], [eqn: b^2`-4a`≧0`]

따라서 [eqn: (`a`,`b`)]의 존재범위는 그림에서 어두운 부분이다.

29. [출제의도] 일상생활과 관련된 문제를 연립방정식으로 해결 할 수 있다.

주문 받은 A형 세트를 [eqn: x]개, B형 세트를 [eqn: y]개, C형 세트를 [eqn: z]개라 하면

비누의 개수는 [eqn: 3x + 3z =690`],  [eqn: x + z =230`]   …㉠

치약의 개수는 [eqn: 2x +2y = 346] ,  [eqn: x +y = 173`]    …㉡

샴푸의 개수는 [eqn: y+ z = 225]                …㉢

㉠+㉡+㉢ 에서 [eqn: 2( x + y + z)= 628]

∴ [eqn: x + y + z = 314]                        …㉣

㉣-㉢ 에서 [eqn: x = 89`]

따라서, A세트는 [eqn: 89`]개가 주문되었다.

학년	남학생수	여학생수
1	108[eqn: k`]	100[eqn: k`]
2	106[eqn: k`]	100[eqn: k`]
3	110[eqn: k`]	100[eqn: k`]

30. [출제의도] 비례관계를 이해하고 이를 이용하여 문제를 해결 할 수 있다.

학년별 남학생과 여학생의 수가 오른쪽 표와 같다고 하면

(남학생 비율) [eqn: =`{324`k} over {624`k}` TIMES `100`]

[eqn: =`27 over 52` TIMES `100`][eqn: =`51.92`]([eqn: %`])

[자연계 정답]

1.	②	2.	③	3.	②	4.	①	5.	③	6.	④	7.	⑤	8.	③
9.	④	10.	②	11.	③	12.	④	13.	⑤	14.	①	15.	②	16.	①
17.	⑤	18.	④	19.	⑤	20.	③	21.	④	22.	①	23.	①	24.	⑤
25.	18	26.	-14	27.	16	28.	4	29.	89	30.	4.25

※ 자연계 문항 중 해설이 없는 문항은 인문계 문항과 같음

3. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 주어진 식을 간단히 할 수 있다.

[eqn: sin`2` theta `=`2`sin` theta `cos` theta `]이므로  [eqn: sin`80`DEG`=`2`sin`40`DEG `cos`40`DEG`]

[eqn: {sin10°cos30°+cos10°sin30°}`] [eqn: =sin40°`]

∴[eqn: {sin`80`DEG} over {sin10°cos30°+cos10°sin30°}`] [eqn: =`{2sin40°cos40°}over sin40°`]

[eqn: =`2cos40°]

4. [출제의도] 분수부등식과 이차부등식의 해를 구할 수 있다.

[eqn: {A}~:~ 1 over x+2 + 1 over x-3 `≧` 0],  [eqn: ~ 2x-1 over {( x + 2 )( x - 3 )}` ≧` 0]

[eqn: ( x + 2 )( 2x - 1 )( x - 3 )` ≧` 0] ([eqn: x`not=-2`,~x`not=3`])

∴[eqn: -2` <` x` ≦` 1 over 2 ,~ x` >` 3]

[eqn: { B} ~:~ x^2`-2x-8`≦ 0], [eqn: (x+2)(x-4)≦0``]    ∴ [eqn: -2≦x≦4``]

∴[eqn: A `CAP B```][eqn: = LEFT { x`vert`-2``<``x``≦``1over2``또는~3``<``x``≦``4``RIGHT }]

따라서 집합 [eqn: A `CAP B```]에 속하는 정수는 [eqn: -1,~0``,~4``]이므로 모든 정수의 합은 [eqn: 3``]이다.

7. [출제의도] 이항방정식의 해를 구하여 이를 도형에 적용할 수 있다.

주어진 방정식의 해를 [eqn: z= r ( cos theta + i sin theta )]라 놓으면

[eqn: z^3 = r^3 ( cos 3theta + i sin 3theta )]                        …㉠

한편 [eqn: i = cos ( 2k pi + pi over 2 ) + i sin ( 2k pi + pi over 2 )]([eqn: k]는 정수) …㉡

㉠과 ㉡에서 [eqn: r= 1]이고 [eqn: 3theta = 2k pi + pi over 2]   즉, [eqn: theta = 2over 3 k pi + pi over 6]

여기서, [eqn: k = 0, 1, 2]를 대입하면

[eqn: z_1 = cos pi over 6 + i sin pi over 6],  [eqn: z_2 = cos 5over 6 pi + i sin 5 over 6 pi], [eqn: z_3 = cos 3 over 2 pi +i sin 3 over 2 pi]

이 때, [eqn: z_1 , z_2 , z_3]를 복소평면 위의 점[eqn: rmP_1 it( z_1 ) `,` rmP_2 it( z_2 ) `,` rmP_3 it( z_3 )`]로 나타내면[eqn: vert z_1 vert = vert z_2 vert = vert z_3 vert = 1]

[eqn: arg (z_2 ) - arg (z_1 ) = arg(z_3 ) - arg (z_2 )][eqn: = arg (z_1 ) - arg (z_3 ) = 2over 3 pi]

이므로 [eqn: rm△P_1 P_2 P_3`]는 정삼각형이다.

따라서, [eqn: rm bar{ P_1 P_2} = bar{ P_2 P_3} = bar{ P_3 P_1}]

⇔  [eqn: vert z_1 - z_2 vert =vert z_2 - z_3 vert = vert z_3 - z_1 vert]

이 때, [eqn: vert z_2 - z_1 vert ^2][eqn: = 1^2 + 1^2 - 2 ․ 1․ 1․ cos 2 over 3 pi `][eqn: = 3`]

∴[eqn: vert z_2 - z_1 vert = root 3]

∴[eqn: vert z_1 - z_2 vert + vert z_2 - z_3 vert + vert z_3 - z_1 vert `][eqn: = 3 root 3`]

11. [출제의도] 치환적분을 이용하여 주어진 식을 간단히 할 수 있다.

[eqn: int_0^{a over 2} left{f`(x)+f`(a-x)right} dx ``][eqn: =int_0^{a over 2} f`(x)dx+int_0^{a over2}f`(a-x)dx `]

[eqn: int_0^{a over 2} f`(a-x)dx `]에서 [eqn: t=a-x`]라고 놓으면 [eqn: dx=-dt`]이고

[eqn: x=`0``]일 때 [eqn: t=a``]이고, [eqn: x=`a over2``]일 때  [eqn: t=`a over2``]이다.

∴ [eqn: int_0^{a over 2} f`(a-x)dx `][eqn: =int_{a }^{a over 2} f`(t)``(-dt)][eqn: =int_{a over2}^a f`(t)``dt] [eqn: =int_{a over2}^a f`(x)``dx]

∴[eqn: int_0^{a over 2} left{f`(x)+f`(a-x)right} dx ``][eqn: =int_0^{a over2 } f`(x)dx+int_{a over2}^a f`(x)dx `][eqn: =int_0^{a} f`(x) dx ``]

13. [출제의도] 주어진 일차변환을 이해하고 이를 도형에 적용할 수 있다.

[eqn: pmatrix {```1~&-1``#1&````~1``}][eqn: =`sqrt2`pmatrix {```1over sqrt2`~&-``1over sqrt2```#`1over sqrt2`&`````1over sqrt2```}]

[eqn: =`sqrt2`pmatrix {```cos pi over 4`~&-`sin pi over 4```#`sin pi over 4`&`````cos pi over 4```}]

이므로 일차변환 [eqn: f``]는 원점을 중심으로 [eqn: pi over4``]회전시킨 회전변환과 원점을 중심으로 [eqn: sqrt2``]배 확대시킨 닮음변환의 합성변환이다.

따라서 점[eqn: rmP_1`,~P_2`,~P_3`,~P_4`,~P_5`]를  좌표평면에 나타내면 위의 그림과 같다.

∴(오각형[eqn: rmP_1`P_2`P_3`P_4`P_5``]의 넓이)

[eqn: =rm TRIANGLE OP_1`P_2`+TRIANGLE OP_2`P_3`+TRIANGLE OP_3`P_4`+TRIANGLE OP_4`P_5`]

[eqn: =`1+2+4+8`=15``]

19. [출제의도] 벡터의 내적을 계산할 수 있다.

오른쪽 그림과 같이

[eqn: rm vec HF`=`][eqn: rm vec DB`]이고,

[eqn: rm∠DBF`=`90°`]이므로

[eqn: rm∠BDF`=`θ`]라 하면

[eqn: rm vec DF` CDOT ` vec HF`][eqn: =`rm bar DB`]×[eqn: rm bar DF`]×[eqn: cosθ`]

[eqn: =`rm bar DB`^2`](∵[eqn: cosθ`][eqn: =rm {barDB}over{bar DF}`])

[eqn: =sqrt10`^2`=10`](∵ [eqn: `rm bar DB`=sqrt{1^2`+3^2`}`=`sqrt10`])

21. [출제의도] 사인법칙을 이용하여 극한값을 계산할 수 있다.

[eqn: rm TRIANGLE OAB``]에 사인정리를 적용하면

[eqn: rm{barAB}over{sin theta }`=`{barOB}over{sin2 theta }``]   ∴ [eqn: rm{barAB}over{barOB}=`{sin theta }over{sin2 theta }``]

∴ [eqn: rm lim from { theta ->0 } {barAB}over{barOB}`][eqn: = lim from { theta ->0 } `{sin theta }over{sin2 theta }``][eqn: = lim from { theta ->0 } `{sin theta }over{2sin theta`cos theta }``][eqn: = lim from { theta ->0 } `{1 }over{2`cos theta }``=`1over2``]

[참고]

직선 [eqn: l`]이 반직선 [eqn: rmvecOX``]와 이루는 각의 크기 [eqn: 2 theta ``]가 반대방향(왼쪽 방향)일 때에도 성립한다.

[eqn: rm∠OAB`=`pi`-2θ`]이므로

[eqn: rm{barAB}over{barOB}=`{sin theta }over{sin(pi-2 theta) }`=`][eqn: `{sin theta }over{sin2 theta }``]

22. [출제의도] 평행한 두 평면 사이의 거리를 구할 수 있다.

d

β : [eqn: `x + 2y + 2z =7 ``]

α :[eqn: `x + 2y + 2z =1 ``]

오른쪽 그림과 같이 접하는 구의 단면을 생각하면 두 평면[eqn: α , `β`]에 동시에 접하는 구의 지름의 길이는 두 평면

[eqn: α ,`β`]사이의 거리[eqn: d`]와 같다.

평면[eqn: β`]위의 한 점[eqn: (-1 , 2, 2)`]에서 평면[eqn: α`]까지의 거리를 구하면

[eqn: d = {vert -1 + 4 + 4 -1 vert }over root { 1^2 + 2^2 + 2^2 } = 2]

30. [출제의도] 주어진 상황을 타원의 방정식을 이용하여 해결할 수 있다.

단면을 나타내는 타원의 방정식은

[eqn: {x^2}over{6^2}`+`{y^2}over{5^2}`=1``]

철제빔의 길이가 6m이므로 철제빔까지의 높이를 [eqn: h`]m라 하면

[eqn: (3,~h)``]는 타원 위의 점이므로  [eqn: {3^2}over{6^2}`+`{h^2}over{5^2}`=1``]

∴ [eqn: h=`{5root3}over2``][eqn: =4.25`](m)

[예․체능계 정답]

1.	②	2.	③	3.	④	4.	③	5.	③	6.	④	7.	⑤	8.	③
9.	③	10.	②	11.	⑤	12.	④	13.	②	14.	②	15.	②	16.	①
17.	⑤	18.	④	19.	⑤	20.	①	21.	①	22.	②	23.	①	24.	⑤
25.	18	26.	12	27.	16	28.	4	29.	89	30.	51.92

※ 예․체능계 문항 중 해설이 없는 문항은 인문계 문항과 같음

3. [출제의도] 삼각함수의 값을 계산할 수 있다.

[eqn: (1+sin pi over4 )`` (1-cos pi over4 )``(1+tan`pi over4 )][eqn: = ( 1+{sqrt2}over2 ) ( 1-`sqrt2 over2 )(1+1)`]

[eqn: =`( 1 - 1 over 2 )․2`=`1`]

9. [출제의도] 주어진 함수의 그래프를 이해하여 로그값을 구할 수 있다.

[eqn: a=2^1`=2`], [eqn: b=2^a`=2^2`=4`]

∴[eqn: log_2 a`b`=`log_2 (2`cdot4`)`][eqn: =log_2`2^3`=3`]

11. [출제의도] 삼각함수의 성질을 이용하여 두 곡선의 교점에 대한 문제를 해결 할 수 있다.

교점을 [eqn: rmP(`θ`,`α)`]라 하면

[eqn: ( theta -1`)^2`+α^2`=1], [eqn: α=cos theta `]

위의 식을 연립하여 풀면

[eqn: ( theta-1`) ^2`+cos^2` theta =1],  [eqn: ( theta-1) ^2`=1-cos^2` theta]

θ

[eqn: ( theta-1) ^2`=sin^2` theta](∵[eqn: sin^2` theta `+cos^2` theta `=1`])

[eqn: theta-1`=-sin` theta] (∵ [eqn: 0< theta`<1``])

∴ [eqn: theta`=1-sin` theta]

14. [출제의도] 주어진 도형의 구조를 이해하여 문제를 해결 할 수 있다.

아래 그림은 한 변의 길이가 2인 정육각형을 삼등분한 세 면을 각각 한 종류의 마름모로 색칠한 것이다.

이 때, 두 가지 모두 각 면과 닮음인 ,,모양이 각각 4개씩 필요하다.

이 때, ,,의 개수를 각각 [eqn: x`,`y`,`z`]라 하면

[eqn: x = 4 , y = 4 , z = 4 ``]

만약 그 이외의 값 [eqn: x = 1, `y = 1 , `z = 10`]이 존재한다면

모양 3개와 모양 3개로 이루어진 도형을 6개로 채울 수 없다. 즉, [eqn: x = 4 , y = 4 , z = 4 ``]로 유일하다.

[참고]

왼쪽의 도형을 좌우상하로 평행이동하거나 회전이동시키는 등 다양한 방법으로 색칠할 수 있으나 [eqn: x , y , z`]의 값은 항상 일정하다.

17. [출제의도] 합성함수의 대응관계를 구할 수 있다.

[eqn: (f CIRC f) (1) = f(f(1))=f(2)=3]

[eqn: (f CIRC f) (2) = f(f(2))=f(3)=4]

[eqn: (f CIRC f) (3) = f(f(3))=f(4)=1]

[eqn: (f CIRC f) (4) = f(f(4))=f(1)=2]

이므로 합성함수 [eqn: f CIRC f`]의 대응관계는 ⑤와 같다.

20. [출제의도] 주어진 두 함수의 그래프의 교점을 이용하여 문제를 해결 할 수 있다.

점 [eqn: rmP`,~Q``]의 [eqn: x``]좌표를 각각 [eqn: alpha ,~ beta ``]라 하면

[eqn: rmP`( it`alpha ,~a alpha ),~rmQ`it( beta ,~a beta `)``]  … ㉠

[eqn: y=x^2`-1]와 [eqn: y=ax``]를 연립하면

[eqn: x^2`-1=ax``]

[eqn: y=ax`]

[eqn: y=x^2`-1``]

[eqn: x^2`-ax-1``=0`]       …㉡

㉠, ㉡에 의하여

∴ [eqn: alpha + beta=a`` ``], [eqn: alpha ` beta ``=-1``]

㉠에 의하여

[eqn: rmbarOP`․barOQ`it=sqrt{ alpha ^2`+(a alpha )^2`}․sqrt{ beta ^2`+(a beta )^2`}`]

[eqn: =vert` alpha beta `vert`sqrt{ 1`+a^2 `}․sqrt{ 1 `+a ^2`}`]

[eqn: = 1`+a^2 `=10`] (∵[eqn: alpha ` beta ``=-1``])

∴ [eqn: a=3``](∵ [eqn: a>0``])

21. [출제의도] 방정식의 실근을 함수의 그래프를 이용하여 찾을 수 있다.

오른쪽 그림과 같이 두 그래프의 교점의 [eqn: x`] 좌표값이 주어진 방정식의 실근이 된다.

또, [eqn: x=`1over2`]일 때 [eqn: y=log_2`x+1`=`0`]이므로 α가 속하는 범위는

[eqn: 0 < α < 1 over 2] 이다.

23. [출제의도] 최대공약수와 최소공배수의 성질을 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

[eqn: f``(x`)`=`x`^3`+`2`x`^2`-`x`-`2`] , [eqn: g``(x`)`=`x`^2`+`a`x`+`b`]

[eqn: G`=`x`-`1`], [eqn: L`=`x`^4`-`5`x`^2`+`4`] 라 놓으면

[eqn: 1`+`a`+`b`=`0``````````````` CDOTS CDOTS ````````````㉠`]

[eqn: f``(x`)`][eqn: =`(`x`+`2`)`(`x`-`1`)`(`x`+`1`)`][eqn: =`G`(`x`+`2`)`(`x`+`1`)`]

[eqn: g``(x`)`=`x`^2`+`a`x`+`(-1`-`a`)`] (∵㉠ 에서)

[eqn: =`(`x`-`1`)`(`x`+`1`+`a`)`=`G`(`x`+`1`+`a`)`]

[eqn: L`=`x`^4`-`5`x`^2`+`4`=`(`x`+`2`)`(`x`-`2`)`(`x`+`1`)`(`x`-`1`)`]

[eqn: =`G`(`x`+`2`)`(`x`+`1`)`(`x`-`2`)`]

[eqn: THEREFORE `]   [eqn: x`+`1`+`a`=`x`-`2`]

[eqn: THEREFORE `]   [eqn: a`=`-`3`````,``````b`=`2`]

[eqn: THEREFORE `]   [eqn: a`b`=`(-`3)` TIMES `2`=`-`6`]

26. [출제의도] 이중근호를 풀 수 있다.

[eqn: P`=root{4+2root3`}`+`root{4-2root3`}`] [eqn: =(root3`+`1)+(root3`-1`)`]

[eqn: =2root3``]   ∴ [eqn: P^2`=12`]

[다른풀이]

[eqn: P^2`=(root{4+2root3}`)^2`+`(root{4-2root3}`)^2`+2(root{4+2root3}`)(root{4-2root3}`)]

[eqn: =(4+2root3`)`+(4-2root3`)`+2root{16-12}``]

[eqn: =8+4=12``]