• 수학 영역 [B형] •

수학 B형 정답

1	③	2	④	3	②	4	④	5	①
6	③	7	⑤	8	③	9	①	10	②
11	⑤	12	⑤	13	④	14	⑤	15	④
16	①	17	③	18	③	19	①	20	②
21	③	22	[eqn: 32]	23	[eqn: 18]	24	[eqn: 37]	25	[eqn: 34]
26	[eqn: 42]	27	[eqn: 24]	28	[eqn: 90]	29	[eqn: 835]	30	[eqn: 69]

해 설

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: 9 ^{{2} over {3}} TIMES 3 ^{- {1} over {3}} =3 ^{{4} over {3}} TIMES 3 ^{- {1} over {3}} =3]

2. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log_3 {27} = 3 `]이므로

[eqn: log_3 {27^3} = 3 log_3 {}27 = 3 times 3 = 9``]

[eqn: left(log_3 {27} right) ^3 =3^3 = 27``]이다.

따라서 [eqn: `log _{3} 27 ^{3} +(log _{3} 27) ^{3} =9+27=36`]이다.

3. [출제의도] 행렬 계산하기

[eqn: 2A-AB= {pmatrix{``~~6&~0``#``-2&~4``}} - {pmatrix{``0&~~~6``#``2&~-2``}}]

[eqn: = {pmatrix{``~~6&~-6``#``-4&~~~6``}}]

4. [출제의도] 역행렬의 성질 이해하기

[eqn: A+A ^{-1} =3E``]이므로

[eqn: A ^{2} + LEFT ( A ^{-1} RIGHT ) ^{2} `][eqn: = LEFT ( A+A ^{-1} RIGHT ) ^{2} `-2E=9E-2E=7E``]이다.

5. [출제의도] 등차수열의 합의 공식 이해하기

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: 2d=a _{100} -a _{98} =6]에서 [eqn: d=3]

따라서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 2], 공차가 [eqn: 3]인 등차수열이다. 따라서

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{10} = {10 TIMES LEFT ( 4+9 TIMES 3 RIGHT )} over {2} =155]

이다.

6. [출제의도] 역행렬과 지수 문제 해결하기

[eqn: x=0,```y=0] 이외의 해를 갖기 위해서는

행렬 [eqn: {pmatrix{``2 ^{a} &~-1``#``8&~2 ^{a} -6``}}]의 역행렬이 존재하지 않아야 한다.

[eqn: 2 ^{a} (2 ^{a} -6)+8=0]

[eqn: 2 ^{a} =t]로 치환하면 [eqn: t ^{2} -6t+8=0]이다.

[eqn: t=2] 또는 [eqn: t=4]이므로 [eqn: a=1`] 또는 [eqn: a=2]이다.

따라서 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 3`]이다.

7. [출제의도] 지수함수와 로그함수 문제 해결하기

[eqn: y=3 ^{{x-1} over {2}} -4]에서 [eqn: y+4=3 ^{{x-1} over {2}}]
양변에 밑이 [eqn: 3]인 로그를 취하면
[eqn: log _{3} LEFT ( y+4 RIGHT ) = {x-1} over {2} ` LEFT ( `y>`-4` RIGHT )]이므로
[eqn: x=2`log _{3} LEFT ( y+4 RIGHT ) +1]이다.

따라서 구하는 역함수는 [eqn: y=2`log _{3} LEFT ( x+4 RIGHT ) +1` LEFT ( `x>`-4` RIGHT )]이므로 [eqn: a+b+c=7]이다.

8. [출제의도] 등차수열을 이용하여 실생활 문제 해결하기

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: C]

[eqn: D]

[eqn: E]

[eqn: 5]개 컵에 들어 있는 물의 양을

[eqn: a-2d`,~a-d`,~a`,~a+d`,~a+2d`]라고 하면

[eqn: LEFT ( a-2d RIGHT ) + LEFT ( a-d RIGHT ) +`a+` LEFT ( a+d RIGHT ) + LEFT ( a+2d RIGHT ) =800`]이므로

[eqn: `a=160`]이다. 따라서 컵 [eqn: C``]에 들어 있는 물의 양은 [eqn: 160 rm `ml]이다.

[다른풀이]

[eqn: S _{2n-1} = {LEFT ( 2n-1 RIGHT ) LEFT { 2a+ LEFT ( 2n-2 RIGHT ) d RIGHT }} over {2}]

[eqn: = LEFT ( 2n-1 RIGHT ) LEFT { a+ LEFT ( n-1 RIGHT ) d RIGHT }]

[eqn: = LEFT ( 2n-1 RIGHT ) a _{n}]

이므로 [eqn: a _{n} = {S _{2n-1}} over {2n-1}]이다.

따라서 [eqn: a _{3} = {S _{5}} over {5} =160]이다.

9. [출제의도] 지수와 로그의 성질 문제 해결하기

[eqn: a ^{logx} =x]에서 양변에 [eqn: log`]를 취하면 [eqn: log`x`log`a=log`x]이므로 [eqn: log`x LEFT ( log`a-1 RIGHT ) `=0]이다. 이 식이 모든 양수 [eqn: x`]에 대하여 성립하므로 [eqn: log`a=1]이다. 그러므로 [eqn: a=10]이다.

[eqn: x ^{log`b} =b]에서 양변에 [eqn: log`]를 취하면 [eqn: log`b`log`x=log`b]이므로 [eqn: log`b` LEFT ( log`x-1 RIGHT ) =0]이다. 이 식이 모든 양수 [eqn: x`]에 대하여 성립하므로 [eqn: log`b=0]이다. 그러므로 [eqn: b=1]이다

따라서 [eqn: a+b=11]이다.

10. [출제의도] 등비수열의 합의 공식 추론하기

[eqn: A _{1}]

[eqn: A _{2}]

[eqn: boldCDOTS]

[eqn: boldCDOTS]

[eqn: S _{1} = {8} over {9}]

[eqn: S _{2} = {8} over {9} S _{1} = LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: S _{3} = {8} over {9} S _{2} = LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{3}]

[eqn: VDOTS]

수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: {8} over {9}]이고 공비가 [eqn: {8} over {9}]인 등비수열이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{10} S _{n} `= {{8} over {9} LEFT { 1- LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{10} RIGHT }} over {1- {8} over {9}} =8 LEFT { 1- LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{10} RIGHT }]
이다.

[다른풀이]

[eqn: n`]번째 잘라낸 정사각형의 넓이의 합을 [eqn: T _{n} `]이라 하면 수열 [eqn: LEFT { T _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: {1} over {9} `]이고 공비가 [eqn: {8} over {9} `]인 등비수열이므로

[eqn: S _{n} `=1- sum _{k=1} ^{n} T _{k} =1- {{1} over {9} LEFT { 1- LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{n} RIGHT }} over {1- {8} over {9}} = LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{n}]

이다.  따라서

[eqn: sum _{n=1} ^{10} S _{n} `= {{8} over {9} LEFT { 1- LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{10} RIGHT }} over {1- LEFT ( {8} over {9} RIGHT )} =8 LEFT { 1- LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{10} RIGHT }]

이다.

11. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 실생활 문제 해결하기

먼저 주어진 등식 [eqn: T _{i} V _{i} ^{```` gamma `-1} =T _{f} V _{f} ^{``` gamma `-1}]에 기체몰 열용량 비 [eqn: gamma = 5 over3]를 대입하여 정리하면

[eqn: T _{i} V _{i} ^{```` {5} over {3} `-1} =T _{f} V _{f} ^{``` {5} over {3} `-1}]

[eqn: T _{i} V _{i} ^{```` {2} over {3}} =T _{f} V _{f} ^{``` {2} over {3}}]

이다. 문제의 조건에서 [eqn: T _{i} =480``], [eqn: V _{i} =5`]이고

[eqn: T _{f} =270`]이므로 각각을 [eqn: T _{i} V _{i} ^{```` {2} over {3}} =T _{f} V _{f} ^{``` {2} over {3}}]에 대입하여 정리하면

[eqn: 480 TIMES 5 ^{{2} over {3}} `=`270 TIMES V _{f} ^{{2} over {3}}]

[eqn: 16 TIMES 5 ^{{2} over {3}} `=`9 TIMES V _{f} ^{{2} over {3}}]

[eqn: V _{f} ^{{2} over {3}} = {16} over {9} TIMES 5 ^{{2} over {3}}]

[eqn: V _{f} ^{} = LEFT ( {16} over {9} RIGHT ) ^{{3} over {2}} TIMES LEFT ( 5 ^{{2} over {3}} RIGHT ) ^{{3} over {2}}]

[eqn: V _{f} ^{} = {64} over {27} TIMES 5= {320} over {27}]
이다.

12. [출제의도] 행렬의 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: B ^{2} =A+E``]를 [eqn: B ^{4} =A+2E``]에 대입하면

[eqn: (A+E) ^{2} =A+2E`]이다. 따라서 [eqn: A ^{2} +A=E`]이다. (참)

ㄴ. [eqn: B ^{`2} -A`=E```]에서 [eqn: B` LEFT ( B ^{`2} -A RIGHT ) =B`]이므로

[eqn: BA=B ^{3} `-B``]이다. 같은 방법으로 [eqn: ` LEFT ( B ^{`2} -A RIGHT ) `B=B`]이므로 [eqn: AB=B ^{3} `-B``]이다. 따라서 [eqn: AB=BA`]이다.(참)

ㄷ. [eqn: A ^{2} +A=E`]에서 [eqn: A(A+E)=E``]이고 [eqn: B ^{`2} =A+E`]이므로 [eqn: AB ^{2} =E`]이다. 따라서 [eqn: AB`]의 역행렬은 [eqn: B`]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[다른풀이]

ㄷ. [eqn: A ^{2} +A=E`]이므로 [eqn: A`]는 역행렬을 가진다.

한편, [eqn: A=B ^{2} -E`]를 [eqn: B ^{4} =A+2E`]에 대입하여 정리하면 [eqn: B ^{4} -B ^{2} =E`], 즉,	[eqn: B LEFT ( B ^{3} -B RIGHT ) =E`]이다. 그러므로 [eqn: B`]도 역행렬을 가진다. 따라서 행렬 [eqn: AB`]의 역행렬이 존재한다. (참)

13. [출제의도] 로그함수와 수열 문제 해결하기

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: \O]

[eqn: y=k]

[eqn: \A]

[eqn: \B]

[eqn: \C]

[eqn: 2 ^{-k}]

[eqn: 2 ^{k}]

[eqn: y= LEFT | `log _{2} x` RIGHT | `]

[eqn: rm A it (2 ^{-k} ,~k),~rm B it (2 ^{k} ,~k)]이므로 [eqn: x]좌표가 [eqn: 2 ^{m}]([eqn: m]은 정수)의 꼴인 점의 개수는 [eqn: -k`]부터 [eqn: k`]까지 정수의 개수이다. 따라서 [eqn: a _{k} `=k- LEFT ( -k RIGHT ) +1=2k+1]이다.

그러므로

[eqn: sum _{k=1} ^{15} a _{k} = sum _{k=1} ^{15} (2k+1)=2 TIMES {15 TIMES 16} over {2} +15=255]

이다.

[다른풀이]

[eqn: k=1]일 때, [eqn: rm A(2 ^{-1} ,~1),~B(2 ^{1} ,~1)]이고 [eqn: a _{1} =3]이다.

[eqn: k=2]일 때, [eqn: rm A(2 ^{-2} ,~2),~B(2 ^{2} ,~2)]이고 [eqn: a _{2} =5]이다.

[eqn: k]가 증가할수록 양 끝점이 두 개씩 늘어나므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 3]이고 공차가 [eqn: 2]인 등차수열이다.

따라서 [eqn: `a _{k} =2k+1]이다.

그러므로

[eqn: sum _{k=1} ^{15} a _{k} = sum _{k=1} ^{15} (2k+1)=2 TIMES {15 TIMES 16} over {2} +15=255]

이다.

14. [출제의도] 지수방정식 이해하기

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: \O]

[eqn: y=k]

[eqn: \A]

[eqn: \B]

[eqn: \C]

[eqn: a]

[eqn: 4]

[eqn: y= LEFT | `log _{2} x` RIGHT | `]

점 [eqn: rm A]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a]라 하면 삼각형 [eqn: rm `ABC`]의 넓이 [eqn: S``=` {1} over {2} TIMES 4 TIMES (-log _{2} `a)]이다.

점 [eqn: rm B]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: a+4]이므로 [eqn: -log _{2} `a=log _{2} `(a+4)]이다.

[eqn: a ^{2} +4a-1=0]이 되고 [eqn: a`=`-2± sqrt {5}]이고 [eqn: a`=`-2+ sqrt {5}](진수조건에 의해 [eqn: a>0])가 된다.

넓이 [eqn: S``]를 계산하면 [eqn: S`=log _{2} `(-2+ sqrt {5} ) ^{-2}]이므로

[eqn: 2 ^{S} `=(-2+ sqrt {5} ) ^{-2} `]

[eqn: = {1} over {9-4 sqrt {5}}]

[eqn: =9+4 sqrt {5}]

이다.

[다른풀이]

[eqn: rm A it (2 ^{-k} ,`k),`````` rm B it (2 ^{k} ,`k)]이므로

[eqn: S``=` {1} over {2} TIMES 4 TIMES k=2k]

[eqn: rm ` {bar{AB}} `=4`]에서 [eqn: 2 ^{k} -2 ^{-k} =4]

[eqn: 2 ^{k} =t`]라 두면 [eqn: t-t ^{-1} =4]

[eqn: t ^{2} -4t-1=0`]

[eqn: t=2+ sqrt {5} `]([eqn: BECAUSE ````t>0])

[eqn: 2 ^{k} =2+ sqrt {5} `]

[eqn: 2 ^{S} =2 ^{2k} = LEFT ( 2 ^{k} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( 2+ sqrt {5} RIGHT ) ^{2} =9+4 sqrt {5}]

15. [출제의도] 지수법칙을 이용한 거듭제곱근 추론하기

[eqn: alpha =` root {3``} of {2+ sqrt {5}}], [eqn: beta = root {3``} of {2- sqrt {5}} ``]라 두면

[eqn: alpha beta & = root {3``} of {2+ sqrt {5}} root {3``} of {2- sqrt {5}} = root {3``} of {(2+ sqrt {5} )(2- sqrt {5} )}# & = root {3``} of {-1} = {BOX{`-1~}}]

이다. [eqn: alpha + beta =x``]라 하면

[eqn: ( alpha + beta ) ^{3} = alpha ^{3} +3 alpha ^{2} ` beta `+3 alpha beta ^{`2} + beta ` ^{3}]을 이용하여

삼차방정식 [eqn: x ^{3} +3x-4=0`]을 얻을 수 있다.

[eqn: x ^{3} +3x-4=0`]

[eqn: (x-1)(x ^{2} +x+4)=0`]

에서 이 방정식의 실근은 [eqn: x=1`]뿐이므로 [eqn: alpha + beta =1`]이다.

따라서 [eqn: alpha + beta =1`]과 [eqn: alpha beta = {BOX{~~-1~~}}]인 실수 [eqn: alpha ``],[eqn: `beta `]를 두 근으로 하는 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차방정식은 [eqn: {BOX{``x ^{2} -x-1=0`}}]이다. 이 이차방정식의 두 근 [eqn: alpha ``],[eqn: `beta `]가 [eqn: beta <0< alpha ``]이므로 [eqn: ` root {3``} of {2+ sqrt {5}} ``= {BOX{` {1+ sqrt {5}} over {2}}}]이다.

따라서 [eqn: a=`-1`], [eqn: b= {1+ sqrt {5}} over {2} `]이므로

[eqn: a+10b=`-1+10 LEFT ( {1+ sqrt {5}} over {2} RIGHT ) =4+5 sqrt {5} `]이다.

16. [출제의도] 여러 가지 수열 이해하기

[eqn: sum _{k=1} ^{1} a _{k`} `=1], [eqn: sum _{k=2} ^{4} a _{k} =2 ^{2}], [eqn: sum _{k=5} ^{25} a _{k`} =5 ^{2}], [eqn: sum _{k=26} ^{676} a _{k`} =26 ^{2}]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{677} `a _{k} ``=`1+4+25+676+a _{677} ``=`777] 이다.

따라서 [eqn: a _{677} =71]이다.

17. [출제의도] 지수부등식과 로그부등식 문제 해결하기

[eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2x ^{2}} - LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{13x-6} GEQ 0]에서 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2x ^{2}} GEQ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{13x-6}]

[eqn: 2x ^{2} -13x+6 LEQ 0`]이고 [eqn: {1} over {2} LEQ x LEQ 6]이므로

[eqn: A= LEFT { `1,``2,``3,``4,``5,``6` RIGHT }]이다.

[eqn: log _{3} LEFT ( 5x+6 RIGHT ) - {2} over {log _{x} 3} >0]에서

[eqn: log _{3} LEFT ( 5x+6 RIGHT ) -log _{3} x ^{2} >0]

[eqn: log _{3} LEFT ( 5x+6 RIGHT ) >log _{3} x ^{2}]

[eqn: x ^{2} -5x-6<0]이므로 [eqn: -1<x<6]이다.

로그의 정의에 의해 [eqn: 0<x<6,````x != 1]이므로

[eqn: B= LEFT { `2,``3,``4,``5` RIGHT }]이다. 그러므로 [eqn: A-B= LEFT { `1,``6` RIGHT }]이다.

따라서 [eqn: A-B]의 모든 원소의 합은 [eqn: 7`]이다.

18. [출제의도] 상용로그의 지표 이해하기

[eqn: n`]이 한 자릿수이면 [eqn: a _{n} `]은 [eqn: n`] 자릿수이므로 [eqn: b _{n} =n-1],

[eqn: n`]이 두 자릿수이면 [eqn: a _{n} `]은 [eqn: 2n`] 자릿수이므로
[eqn: b _{n} =2n-1]이다. 따라서

[eqn: sum _{n=1} ^{20} b _{n} = sum _{n=1} ^{9} LEFT ( n-1 RIGHT ) + sum _{n=10} ^{20} LEFT ( 2n-1 RIGHT )]

[eqn: =`- sum _{n=1} ^{9} n+ sum _{n=1} ^{9} LEFT ( 2n-1 RIGHT ) + sum _{n=10} ^{20} LEFT ( 2n-1 RIGHT )]

[eqn: =`- sum _{n=1} ^{9} n+ sum _{n=1} ^{20} LEFT ( 2n-1 RIGHT ) =355]

이다.

19. [출제의도] 로그함수와 수열의 문제 해결하기

[eqn: rmA]

[eqn: rm C]

[eqn: y=log _{2} x]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: rm B]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

세 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B], [eqn: rm C]의 각각의 [eqn: y`]좌표가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 [eqn: x`]좌표는 등비수열을 이룬다.

따라서 세 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B], [eqn: rm C]의 각각의 [eqn: x`]좌표를

[eqn: a,``ar,``ar ^{2} `]([eqn: a>0], [eqn: r>1])

이라 하자. 점 [eqn: rm F]는 선분 [eqn: rm DE]를 [eqn: 9:5`]로 외분하는 점이므로 [eqn: ar ^{2} = {9ar-5a} over {9-5}]이다. 따라서 [eqn: r= {5} over {4} `]이므로

[eqn: {{bar{rm OE it}}} over {{bar{rm OD it}} + {bar{rm OF it}}} = {{5} over {4} a} over {a+ {25} over {16} a} = {20} over {41} `]

이다. 그러므로 [eqn: p+q=61`]이다.

[다른풀이1]

세 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B], [eqn: rm C]의 각각의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: a,``b,``c`]라 하자. 세 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B], [eqn: rm C]의 각각의 [eqn: y`]좌표가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 [eqn: log _{`2} `a], [eqn: log _{`2} `b], [eqn: log _{`2} `c]는 이 순서대로 등차수열을 이룬다. 그러므로

[eqn: 2log _{`2} `b=log _{`2} `a+log _{`2} `c]이므로 [eqn: b ^{2} =ac`]이다. 따라서 [eqn: a], [eqn: b`], [eqn: c`]가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 공비를 [eqn: r`]이라 하면 [eqn: b=ar], [eqn: c=ar ^{2} `]이다.

점 [eqn: rm F]는 선분 [eqn: rm DE]를 [eqn: 9:5`]로 외분하는 점이므로 [eqn: ar ^{2} = {9ar-5a} over {9-5}]이다. 따라서 [eqn: r= {5} over {4} `]이므로

[eqn: {{bar{rm OE it}}} over {{bar{rm OD it}} + {bar{rm OF it}}} = {{5} over {4} a} over {a+ {25} over {16} a} = {20} over {41} `]

이다. 그러므로 [eqn: p+q=61`]이다.

[다른풀이2]

점 [eqn: rm F]는 선분 [eqn: rm DE]를 [eqn: 9:5`]로 외분하는 점이므로 세 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B], [eqn: rm C]의 각각의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: a], [eqn: a+4k], [eqn: a+9k]라 하자. 세 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B], [eqn: rm C]의 각각의 [eqn: y`]좌표가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 [eqn: log _{`2} `a], [eqn: log _{`2} ` LEFT ( a+4k RIGHT )], [eqn: log _{`2} ` LEFT ( a+9k RIGHT )]는 이 순서대로 등차수열을 이룬다. 그러므로

[eqn: 2log _{`2} ` LEFT ( a+4k RIGHT ) =log _{`2} `a+log _{`2} ` LEFT ( a+9k RIGHT )]이므로

[eqn: LEFT ( a+4k RIGHT ) ^{2} =a LEFT ( a+9k RIGHT ) `]이다. 따라서 [eqn: a=16k`]이므로

[eqn: {{bar{rm OE it}}} over {{bar{rm OD it}} + {bar{rm OF it}}} = {20k} over {16k+25k} = {20} over {41} `]

이다. 그러므로 [eqn: p+q=61`]이다.

20. [출제의도] 여러 가지 수열의 규칙성 추론하기

	[eqn: 1]열	[eqn: 2]열	[eqn: 3]열	[eqn: 4]열	[eqn: 5]열	[eqn: cdots]
[eqn: 1]행	[eqn: 1]	2	3	4	5	[eqn: cdots]
[eqn: 2]행	2	4	7	11	16	[eqn: cdots]
[eqn: 3]행	3	7	14	25	41	[eqn: cdots]
[eqn: 4]행	4	11	25	50	91	[eqn: cdots]
[eqn: 5]행	5	16	41	91	182	[eqn: cdots]
[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: DDOTS]

[eqn: a _{1} ``=1]

[eqn: a _{2} `=`2+2=4]

[eqn: a _{3} `=`3+4+3=10]

[eqn: a _{4} `=`4+7+7+4=22]

[eqn: VDOTS]

그러므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 다음의 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]을 계차수열로 가진다.

[eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } ````:````3,``6,``12,` CDOTS]

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 3`]이고 공비가 [eqn: 2`]인 등비수열이므로 [eqn: b _{n} `=`3 BULLET 2 ^{n-1}]이다.

[eqn: a _{n} `=`1+ sum _{k=1} ^{n-1} 3 BULLET 2 ^{k-1} ``]

[eqn: =`1+3 BULLET {2 ^{n-1} -1} over {2-1}]

[eqn: =`3 BULLET 2 ^{n-1} `-2]

따라서 [eqn: a _{n}][eqn: =`3 BULLET 2 ^{n-1} `-2]이다. 그러므로

[eqn: a _{1} ``+a _{2} +a _{3} `+` CDOTS +a _{20} `][eqn: =` sum _{k=1} ^{20} (3 BULLET 2 ^{k-1} -2)]

[eqn: =`3 BULLET {2 ^{20} -1} over {2-1} `-40]

[eqn: =`3 BULLET 2 ^{20} `-43]

이다.

21. [출제의도] 역행렬이 존재하지 않는 조건 이해하기

행렬 [eqn: LEFT ( ` {matrix{x`&y#`a&`b`}} ` RIGHT ) `]의 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: bx-ay=0]이다.

ⅰ) [eqn: a=0]일 때

[eqn: b=1`]이므로 점 [eqn: rm Q LEFT ( 0,```1 RIGHT )]이고 점 [eqn: rmP``]는 직선 [eqn: x=0`]([eqn: -1<y<1]) 위에 존재한다. 그러므로 세 점 [eqn: rmO], [eqn: rm P], [eqn: rm Q]가 일직선 위에 있다.

ⅱ) [eqn: a != 0]일 때

[eqn: y= {b} over {a} x]이므로 세 점 [eqn: rmO], [eqn: rm P], [eqn: rm Q]가 일직선 위에 있다.

ⅰ), ⅱ)에 의해 점 [eqn: rmP`]가 존재하는 영역은 그림에서 색칠한 부분이다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: \O]

[eqn: rm Q itLEFT (a,~b RIGHT )]

[eqn: rm P LEFT ( it x,~y RIGHT )]

[eqn: y= {1} over {4} x ^{2} +1]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

이제 곡선 [eqn: y= {1} over {4} x ^{2} +1]과 접하는 직선 [eqn: y=mx]의 기울기 [eqn: m`]을 구하자.

[eqn: mx= {1} over {4} x ^{2} +1]에서 [eqn: x ^{2} -4mx+4=0]이고

[eqn: {D} over {4} =4m ^{2} -4=0`]이다.

그러므로 [eqn: m=`±1]이므로 두 접선은 수직이다.

따라서 점 [eqn: rmP]가 존재하는 영역의 넓이

[eqn: S`= {1} over {2} TIMES 1 ^{2} TIMES {pi } over {2} TIMES 2= {pi } over {2}]이다.

22. [출제의도] 등비수열 계산하기

[eqn: a _{1} =2`]이고 공비를 [eqn: r]이라 두면 [eqn: a _{3} =2r ^{2} =8`]이다.
그러므로 [eqn: r ^{2} =4]이다. 따라서 [eqn: a _{5} =2r ^{4} =32`]이다.

23. [출제의도] 그래프와 행렬 사이의 관계 이해하기

이 그래프의 변의 개수가 [eqn: 9]이므로 행렬의 모든 성분의 합은 [eqn: 9 TIMES 2=18]이다.

24. [출제의도] 여러 가지 수열 계산하기

[eqn: sum _{k=1} ^{9} {2} over {(2k-1)(2k+1)}][eqn: = sum _{k=1} ^{9} LEFT ( {1} over {2k-1} - {1} over {2k+1} RIGHT ) `]

[eqn: = LEFT ( 1- {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {5} RIGHT )][eqn: +` CDOTS `+ LEFT ( {1} over {15} - {1} over {17} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {17} - {1} over {19} RIGHT ) `]      [eqn: =1- {1} over {19} `= {18} over {19}]

따라서 [eqn: p+q=37`]이다.

25. [출제의도] 행렬의 거듭제곱 이해하기

[eqn: A= {pmatrix{``1&~0``#``3&~1``}}]

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{``1&~0``#``3&~1``}} {pmatrix{``1&~0``#``3&~1``}} = {pmatrix{``1&~0``#``6&~1``}} = {pmatrix{``1&~0``#``2ㆍ3&~1``}}]

[eqn: A ^{3} = {pmatrix{``1&~0``#``6&~1``}} {pmatrix{``1&~0``#``3&~1``}} = {pmatrix{``1&~0``#``9&~1``}} = {pmatrix{``1&~0``#``3ㆍ3&~1``}}]

[eqn: VDOTS]

따라서

[eqn: A ^{n} = {pmatrix{``1&~0``#``3n&~1``}}]

이다. 그러므로 [eqn: a _{n} =3n`]이고 [eqn: 3n>100`]를 만족하는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: 34`]이다.

26. [출제의도] 여러 가지 수열 추론하기

수열 [eqn: LEFT { S _{2n-1} RIGHT }]은 [eqn: S _{1} =a _{1} `=1]이고 공비가 [eqn: 2]인 등비수열이므로	[eqn: S _{2n-1} `=2 ^{n-1}]이다.

수열 [eqn: LEFT { a _{2n-1} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} `=1]이고 공차가 [eqn: 3]인 등차수열이므로

[eqn: a _{2n-1} `=`3n-2]이다.

[eqn: S _{14} =S _{15} -a _{15} `]이므로

[eqn: a _{14} `=S _{14} -S _{13}]

[eqn: = LEFT ( S _{15} -a _{15} RIGHT ) -S _{13}]

[eqn: =S _{15} -S _{13} -a _{15}]

[eqn: = LEFT ( 2 ^{7} -2 ^{6} RIGHT ) -22]

[eqn: =42]

이다.

27. [출제의도] 지수함수 이해하기

[eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-3} +6]의 그래프는 [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x}]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 6`]만큼 평행이동한 것이다.

따라서 [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x}]의 그래프 위의 점 [eqn: LEFT ( 0,```1 RIGHT ) `]이

[eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-3} +6]의 그래프 위의 점 [eqn: LEFT ( 3,```7 RIGHT ) `]로 이동한다. 그러므로 [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-3} +6]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x+1]의 교점은 [eqn: LEFT ( 3,```7 RIGHT ) `]이다.

[그림1]의 [eqn: A`]부분과 [eqn: B`]부분의 넓이가 서로 같으므로 구하고자 하는 도형의 넓이는 [그림2]와 같이 색칠된 평행사변형의 넓이와 같다. 따라서 구하는 도형의 넓이는 [eqn: 4 TIMES 6=24]이다.

[eqn: y=2x+9]

[eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-3} +6`]

[eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x}]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: \O]

[eqn: 1]

[eqn: y=2x+1]

[eqn: rm A]

[eqn: \B]

[그림1]

[eqn: y=2x+9]

[eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-3} +6`]

[eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x}]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: \O]

[eqn: 1]

[eqn: y=2x+1]

[eqn: 4]

[eqn: 6]

[그림2]

28. [출제의도] 로그방정식 이해하기

[eqn: {cases{x ^{2} =y ^{3}#x ^{y} =y ^{x}}}]

두 식의 양변에 상용로그를 취하면

[eqn: 2`log`x=3`log`y````]……㉠

[eqn: y`log`x=x`log`y```]……㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: {2`log`x} over {y`log`x} = {3`log`y``} over {x`log`y``} ``]

따라서 [eqn: {2} over {y} = {3} over {x}]이므로

[eqn: 2x=3y]

이다. 이 식을 [eqn: x ^{2} =y ^{3} `]에 대입하면

[eqn: x ^{2} = LEFT ( {2} over {3} x RIGHT ) ^{3}]

[eqn: x ^{2} = {8} over {27} x ^{3}]

이다. 따라서 [eqn: x= {27} over {8}]이고 [eqn: 2x=3y]에 대입하면 [eqn: y= {9} over {4}]이다. 그러므로 [eqn: 16( alpha + beta )][eqn: =90]이다.

[다른풀이]

[eqn: x ^{2} =y ^{3} `]에서 [eqn: y=x ^{{2} over {3}}]

이 식을 [eqn: x ^{y} =y ^{x} `]에 대입하여 정리하면

[eqn: x ^{x ^{{2} over {3}}} =x ^{{2} over {3} x}]

이다. [eqn: x>1`]이므로

[eqn: x ^{{2} over {3}} = {2} over {3} x]

이다. 양변을 세제곱하면

[eqn: x ^{2} = {8} over {27} x ^{3} `]

이다. 따라서 [eqn: x= {27} over {8}]이고 [eqn: y=x ^{{2} over {3}}]에 대입하면 [eqn: y= {9} over {4} `]이다. 그러므로 [eqn: 16 LEFT ( alpha + beta RIGHT ) =90`]이다.

29. [출제의도] 등비수열 이해하기

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: \O]

[eqn: \C_1]

[eqn: \C_2]

[eqn: \C_3]

[eqn: \O_{1}]

[eqn: rm O _{3}]

[eqn: \G]

[eqn: \H]

[eqn: y= sqrt {3} x]

[eqn: rm O _{2}]

세 원 [eqn: C _{1} ,``C _{2} ,``C _{3} `]의 반지름의 길이는 이 순서대로 등비수열을 이루므로 세 원 [eqn: C _{1} ,``C _{2} ,``C _{3} `]의 반지름의 길이를 각각 [eqn: a,``ar,``ar ^{2} `]이라고 하자. 원 [eqn: C _{1} `]의 중심과 원 [eqn: C _{3} `]의 중심 사이의 거리는 [eqn: 12]이므로

[eqn: a+2ar+`ar ^{2} =12`] ……㉠

이다.

세 원 [eqn: C _{1} ,``C _{2} ,``C _{3} `]의 중심을 각각 [eqn: rmO _{1}], [eqn: rm O _{2}], [eqn: rm O _{3}]라 하자. 점 [eqn: rm O _{3}]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH``], 점 [eqn: rmO _{1}]에서 선분 [eqn: rm O _{3} H]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmG`]라고 하면 [eqn: ANGLE rmO _{3} O _{1} G=30°]이므로 [eqn: {bar{rm O _{1} O _{3} it}} =2 {bar{rm O _{3} G it}}]이다.

따라서

[eqn: a LEFT ( 1+2r+r ^{2} RIGHT ) =2a LEFT ( r ^{2} -1 RIGHT )]  ……㉡

이다.

㉡에서 [eqn: r=3]이고 이것을 ㉠에 대입하면 [eqn: a= {3} over {4}]이다.

따라서 세 원의 넓이의 합은

[eqn: LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{2} pi + LEFT ( {9} over {4} RIGHT ) ^{2} pi + LEFT ( {27} over {4} RIGHT ) ^{2} pi = {819} over {16} pi]

이다. 그러므로 [eqn: p+q=835]이다.

30. [출제의도] 수열 및 상용로그의 지표와 가수 문제 해결하기

[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =n]이라 하면

[eqn: n=f LEFT ( a RIGHT ) LEQ f LEFT ( root {10} of {10} a RIGHT ) LEQ f LEFT ( root {10} of {10 ^{2}} a RIGHT ) LEQ f LEFT ( root {10} of {10 ^{3}} a RIGHT ) LEQ ` CDOTS][eqn: LEQ f LEFT ( root {10} of {10 ^{9}} a RIGHT ) LEQ f LEFT ( root {10} of {10 ^{10}} a RIGHT ) =n+1]

이고 [eqn: sum _{k=1} ^{10} f LEFT ( root {10} of {10 ^{k}} a RIGHT ) =94]이므로

[eqn: f LEFT ( root {10} of {10} a RIGHT ) =f LEFT ( root {10} of {10 ^{2}} a RIGHT ) =f LEFT ( root {10} of {10 ^{3}} a RIGHT ) =` CDOTS `=f LEFT ( root {10} of {10 ^{6}} a RIGHT ) =9], [eqn: f LEFT ( root {10} of {10 ^{7}} a RIGHT ) =f LEFT ( root {10} of {10 ^{8}} a RIGHT ) =f LEFT ( root {10} of {10 ^{9}} a RIGHT ) =f LEFT ( root {10} of {10 ^{10}} a RIGHT ) =10]

이다. 그러므로

[eqn: 9 LEQ {1} over {10} +log`a<10]	………①

[eqn: 9 LEQ {2} over {10} +log`a<10]	………②

[eqn: VDOTS]

[eqn: 9 LEQ {6} over {10} +log`a<10]	………⑥

[eqn: 10 LEQ {7} over {10} +log`a<11]	………⑦

[eqn: VDOTS]

[eqn: 10 LEQ {10} over {10} +log`a<11]	………⑩

이다. 이 [eqn: 10`]개의 부등식은 ⑥, ⑦만 연립하면 충분하다. 따라서 [eqn: 9.3 LEQ log`a<9.4]이므로 [eqn: 0.3 LEQ g LEFT ( a RIGHT ) <0.4]이고 [eqn: 30 LEQ 100g LEFT ( a RIGHT ) <40`]이다. 그러므로 [eqn: M+m=39+30=69`]이다.